（应用数学专业论文）中国股市相依风险的研究.pdf

北方工业大学硕士学位论文 摘要 金融风险的研究动因是由于隐含风险因子在许多未知变化下而导致的金融资产 的损失或收益。金融机构的发展受到许多风险情况的限制。为了更好的预测和控制风 险，研究者和金融机构设计了许多度量风险的方法，其中v 报方法是最常采用的方 法。但是基于假定单个资产收益正态，风险资产间收益线性相关计算、，报与实际情 况并不相符。c o 硼a 理论的出现和应用为将风险分析和多变量时间序列分析提供了 一个新的方向。用c o p m a 来刻画金融市场间的相关结构，不仅可以选择更好的描述 风险资产收益的分布函数，还可以将金融市场间的相关结构剥离出来，更全面地刻画 风险资产间的相依程度。 本文介绍了c 0 p 试a 理论，因单一c o p l l l a 函数并不能全面的描述金融市场复杂多 变的情况，给出了更适合描述股市风险资产的具有时变性和变结构的c 0 p u l a 模型。 利用上证指数、深证综指日收益率数据( 2 0 0 1 年9 月1 1 日至2 0 0 7 年1 1 月3 0 日) 对混合c o p l l l a 模型和单一的c o p u l a 族模型应用于v 报的计算作了实证分析，结果表 明混合c o 叫a 在估算v 剁僦的精度方面优于仅基于单一c o 叫a 函数的估算方法。 尾部相关性可以较好地描述极端事件出现时资产间的相互作用。以往实证研究表 明，通常情况下，尾部相关性在市场大幅下跌期较强，而在市场上涨期较弱。因此尾 部相依关系的研究对了解、控制股市出现重大风险非常重要。本文对此也进行了比较 系统的阐述，并且给出了具有较强尾部相依关系的变结构c 0 p u l a 模型。 关键词：c o p u l a 相依结构尾部相依、，报 北方工业大学硕士学位论文 l u s l 娼o fd e p e n d e n c yi nt h ec h i n e s es t o c km a r k e t a b s t r a c t i h em o t i v a t i o no f 句 1 趾d a lr i s ki st 1 1 e1 0 s s0 rg a i l lo f 廿l e 丘n a n c i a l 舔s e t sc a u s e db y m 锄yl l i l c 喇抽m 镐c h a i 垮懿f o r 纽i i n p l i e dr i s kf a c t 0 l1 1 屺d 吖e l o p m e n to f 丘i m l d a l i n s t i 删。璐i s 州e c tt 0m 锄yr i s k si i lm e 陀嫡以。璐ho r d e ft ob e t t e rp r e d i c ta n d 咖l m er i s l 【，t 1 1 er 豁e 雒c ：h e 岱趾d 助锄c i a li n 如伽o n sd c s i g nam m l b 盯o fr is ：km 朗s i l r e m e n t m e t h o d s ，i n 舡c hv ，a ri s 髑e dm o s to f l 饥h o w e v b 鹄e d0 n 也e 鹄s u m p 矗0 nt 1 1 a tm e 心o f as i n 西ec a p 砒a r en o m a l ，t l l ei n c o m el i n e 盯d 唧啷1 d e n tc a l c i l l a ：t i o no f v 搬i n 也e r i s ka 鼹e t sd 0 伪n o tm a t i 出廿坞a c t i l a ls h 撕o n 1 h ee m 明弘脱：锄da p p l i c 撕o no fc m l a t h c 0 巧f 0 rn s k 觚a l y s i sa n dm u l 廿v a r i a ：b l et i n l es 舐馏a n a l y s i sp r 晰d ca 枷；wd i r e c t i o n o d 叫a i sl l s e dt 0d 髂c r i b em ec o r r d a t i o ni 1 1f h l 龇l d a lm 破e t 咖肋鹏，n o to i l l y 啪幽s e ab e t t e rd e s c r i p t i o no ft h eg 血so fr is _ kc a p i t a ld i 蛐曲嘶o n 缸玳嫩。坞b l l ta l 啪s t r i p 伽t 血ec o r r e l a 位o ni n 伍1 锄- c i a lm a r k e ts t m c t u r e m o r ef i l l l yd e s c r i b ef h e1 e v e lo fd e p 饥d e n c i i n l er i s k a s s e 怊 h l i sp a p c 0 p l l l a 血e 0 巧i si i l 仃1 ) d u c e d be c _ 哪es i r 四e ( ：o p l l l af i l | 1 c t i o nc 姐n o t 山：s c r i b et 1 1 e c o m p l e x 趾dv o l a t i l e 丘i l 孤c i a lm a 出e t sc 0 仰p 诎e 璐i v d 弘、7 l ，e 舀v em o r e s l l i t a b l ec o p u l am o d dw i t l lv 撕a b i l i t ) r 强dc h 锄g e 灿c t u ，砌c hd 销耐b em er i s k 弱s e t s o fs t o c km 砌础u s 吨s h 锄g h a is t o c kh l d e xa n ds h z l 嘲lc o m p 0 s i t es t o c k 砌e x ( s e p t 锄曲e r1 1 ，2 0 0 1t 0n o v e n l b 盯3 0 ，2 0 0 7 ) ，w em a l ( ea 如1 p i r i c a l 觚a l y s i sa b o u tm e d c o p u l am o d e la n das i i l 西em o d e la p p l y i l l gt h ev a r c a l c l l l 撕o n t h er e s u l ts h o wm a tm 泌e d c 0 p l l l ai sb 甜e r 也觚as i l l 哲ec o p u l a 黟o u pt os i i n u l a t et l l ed 印即d e l l c eo f t l l er i s k 部s e t s t l i i ld 印e n d e n c e 咖b eu s e dt od e s c 曲e 砷髓a c t i o ni n 弱s e t s 、地姐m ee x 仃e m ee v 锄t s a r i t h ep 嬲t 锄p i r i c a ls t i l d i 馅s h o wt h a u 1 1 d e r l en o m a lc i ：r 伽s t 觚c 镐，m et a i l d 印锄d 肌i ss 昀n g e ri nt l l ed e c l 协e ds u b s t a i l t i a l l yp 耐o do fm em a f k 鸭b u t i i lt l l ep 嘶o d o fr i s 迦m 疵e t i ti s 嗍k 瓯n e r e f o r et l l er e s e a r c ho f l et a i l d 印铋d e i l c ei sv 唧 i n l p o r t a n tt 0u n d e r s t a n da n dc o n t r o lo fm ei i 两o rr i s ko ft l l es t oc _ km a r k e t t h i sp 印e ra l s 0 m a l ( 铝am 0 s y s t e i n 撕ce x p o s i t i o i l 锄d 百v 镐av a r i a b l e 咖c t u r ec 0 p u l am o d e l 、i ma s 仃0 n g e rt a i ld 印e n d 髓c e k e yw o r d s ：c o p u l 如d 印e n d 饥c es 缸u c t i 玳，t a i ld e p e l l d e n c e ，r 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j 壁友王些太堂或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：弹鼬签字日期：口吕年r 月衫日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解j e 友王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权曼量友王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：0 跚 签字日期：卅海s 月为日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 北方工业大学硕士学位论文 1 引言 1 1 选题的目的和意义 随着经济全球化和金融一体化的趋势，国际金融交易业务迅猛增加，衍生工具急 剧膨胀，资产证券化快速发展，全球金融环境和金融市场发生了重大的变化。金融创 新的深化，使金融市场呈现出前所未有的波动性，金融机构面临的风险加大，金融市 场风险突出，金融风险防范意识加强，风险监管和控制力度加大，同时，风险的计量 和评估更加困难。因此，许多国际性的金融机构在风险管理方面投入了大量资源。可 以说，金融风险引起了全球工商企业、金融机构、政策当局及学术界的密切关注，金 融风险管理成为金融机构经营管理的核心能力之一。同时，以金融工程和现代金融理 论为核心的金融风险管理研究也成为学术界的热点问题。 近些年来，世界上一些大的金融机构，如巴林银行、德国金属期货公司、日本大 和银行，以及像美国加州奥兰治县财政部门等这类机构，都在金融市场上遭受了几十 亿美元的巨额损失，尤其是去年美国的次贷危机对全球金融市场的影响依旧在持续 中。国际金融市场上接二连三的出现金融风波，不仅凸现出金融风险管理的重要性， 也使人们认识到以往使用的定性管理方法不能再适应和满足当前金融风险管理的需 要。v 报正是在这个背景下产生的一种处理各类型资产构成的投资组合的不同市场风 险，并且将各种市场因素所引起的风险整合为一维数值的风险度量方法。其中，标志 着金融风险管理领域的重大突破之一就是j p m o 唱趾提出的砌s k m 锱t r i c s 风险控制模 型，他给出了估计金融机构潜在损失的基本方法。v 抿的核心功能就是风险度量，他 可以测量不同市场因子、不同金融工具所构成的复杂证券组合和不同业务部门的总体 市场风险暴露，这是传统金融风险管理所不能做到的，因此它广泛适用于包括利率风 险、汇率风险、股票风险以及商品价格风险和金融衍生品风险在内的各种市场风险度 量。它将多种市场风险简单明了的换算成一个指标数值( v 砜值) ，可以概括的反应 整个金融机构的风险状况大大方便了金融机构各业务部门对有关风险信息的交流，也 方便了机构最高管理层随时掌握机构的整体风险状况，因而非常有利于金融机构对风 险的统一管理，而且通过调节置信水平，还可以得到不同的置信水平上的v 报值， 不仅使管理者更清楚地了解到金融机构在不同程度上的风险状况，也可适应不同的管 理需要。 目前，v 出因其在量化风险和动态监管方面的独特优势，已广泛应用于金融机构 北方工业大学硕士学位论文 的风险测量、技校评估、风险监管等诸多方面。巴塞尔委员会的银行业有效监管的 核心原则，也将v 狐列为确定风险资本充足性的基准性方法。事实上，v 搬已成为 金融风险管理的主流方法和一种新兴的风险管理文化。 但是，传统的v 出计算都是假定单个资产收益的正态，资产组合中不同的风险资 产收益线性相关。但是在实证研究中，资产收益分布一般有比正态分布更厚的尾部， 而且各资产之间存在非线性关系，特别是在v 出的估计中，用简单的线性相关来描述 多变量的尾部相关性显然是不充分的。多变量之间的关系最完备的刻画应该是它们的 联合分布。因此需要使用新的工具描述他们的联合分布来表达相关性，进而更全面准 确地捕捉金融风险。 s k l a r 于1 9 5 9 年提出的c o p l l l a 理论【3 】：一个边缘分布均为连续分布的联合多元分布 函数可以分解为相应的边缘分布和一个将各边缘分布与联合分布联系起来的联接函 数，该连结函数就是多元分布的c o p u l a ，且c 却叫a 包含了随机变量间所有的相关信息。 根据s k l 盯的理论，可以用c 0 p l l l a 来刻画金融市场间的相关结构，而且可以将金融市场 间的相关结构剥离出来，用c o p l l l a 进行深入研究。用c o p u l a 分析相关结构能克服相关 性度量的缺点，它是对相关性的全面刻画，具有更广的应用范围和更强的实用性。而 与基于联合分布函数的建模方法相比，c 0 p m a 模型更为灵活。首先，c o p 试a 模型不限 制边缘分布的选择，而且c o p u l a 函数有很多分布族，当二元或多元正态分布假设被拒 绝时，可以用不同的边缘分布和c o p u l a 函数以达到最好的拟合效果。其次，c o p u l a 模 型可以将随机变量之间的相关程度和相关模式有机的结合在一起，不仅可以得到度量 相关程度的相关参数，还可以得到描述相关模式的c o p m a 函数，因此可以更全面的刻 画随机变量之间的相关关系，从而可以建立更为有效的风险管理模型。此外，我们熟 知的几种重要的一致性和相关性侧度，如k e n d 枷f ，s p e 锄姐p 都可以由c o 叫a 函 数给出，特别的，对一些c o p u l a 函数，这些测度还与c 0 p l l l a 函数中的参数有一一对应 关系，且很容易求得。 另外，在金融风险分析中人们最关注的是金融资产的尾部相关性。也就是想知道 当一个随机变量x 发生大幅度增加或者大幅度减小时，随机变量】，也发生大幅度增加 或者大幅度减小的概率。而c o p u l a 函数用来处理金融资产间的尾部相关性非常方便， 可以由c o p u l a 函数方便的得到上( 下) 尾相关系数九( 丑) ，相当于将风险量化，这样风 险管理者就可以根据尾部相关性预测到某一金融资产( 市场) 发生大幅变化时，相关 金融资产( 市场) 发生大幅变化的概率，以便及时进行控制，这在金融风险管理中尤 北方工业大学硕士学位论文 其重要。 而我国的市场经济刚刚建立，金融市场正处在转型过程中，金融市场没有完全放 开，市场风险的作用并不明显。但是随着我国加入w t o ，金融业是首先面临挑战的 行业，改革和调整势在必行。利率的市场化、资本项目的开放、证券市场的飞速发展 以及衍生工具的发展等都将逐步成为现实，市场风险会日益显现和复杂。在金融市场 一体化、自由化的趋势下，我国金融业必将与国际惯例接轨，执行国际风险管理的标 准，所以要求我们建立完整有效的市场风险计量管理系统。例如，我们购买几支股票 ( 指数) 的投资组合，我们用常用的风险度量工具i r 来度量，那么这几支股票( 指 数) 的联合风险( 或相依风险) 如何来度量，要回答这些问题就必须首先研究这几只 股票的相关程度，因此，我们需要引入一种新的度量股市相关程度的工具c 0 p m a 。 c o p l l l a 的出现对于我们精确的认识股票( 指数) 相依关系，从而可以建立起更为有效 的风险管理模型。 1 2 国内外研究现状 从上部分的研究意义中可以看出，最早c 0 p u l a 理论源于1 9 5 9 年的s h 盯定理，它的 主要含义是随机变量的多维分布函数可以用其连续的一维边际分布的函数来唯一表 达。n e l s 饥r b 所著的a nh 栅c t i o nt 0c 0 p _ i l l a 中，作者给出了各种各样的c o p u l 弱 来描述两( 多) 元资产的相依结构，其中包括椭圆c o p u l a 族，阿基米德c o p u l a 族等， 这些c o p l l l a 族很好的刻画了金融市场上尖峰厚尾特性的数据的相依结构。使用c 0 p u l a 函数描述金融市场中各种资产的相依结构，出r i c h t s ，p ，a e i n b r 池s ，p ，a m c n e i l a n dd s 缸训衄锄( 2 0 0 2 ) 给出了c 0 p u l a 函数在金融市场上的风险管理，投资组合的选 择，资产定价等方面的应用。在金融风险管理中刻画金融资产收益的联合的分布是一 个很重要的问题，一般来说金融资产的收益的分布都是厚尾分布，其联合分布函数可 以通过c o p u l a 函数来刻画。对一个特定组合的风险值氓) ，可以从合适的联合分布 通过使用m o n t ec a l l o 模拟来计算。当相依结构固定时，l u i 鼢t i b i l e t t i ( 2 0 0 2 ) 给出了风 险越大的资产不一定会导致风险大的投资组合。p a 仕0 n ，a j ( 2 0 0 2 a ) ，( 2 0 0 2 b ) 和( 2 0 0 4 ) 给出了一个c o 叫a 模型的两阶段最大似然估计量，同时也刻画了股票市场 表现出在下降阶段比上升阶段具有更强的相关性。 目前国内股市风险的研究也很活跃，孙志宾( 2 0 0 4 ) 运用c o p u l a 函数进行了中国 股市相依结构的统计研究，找到了刻画中国股市相依结构的最优c o p u l a 函数。韦艳华、 北方工业大学硕士学位论文 张世英但0 0 5 ) 针对金融市场间存在的非线性和非对称尾部相关特性，提出了一类具有 变尾结构特性的c 0 p 试a 函数，并结合g 舢烬h 模型，构建了具有尾部变结构特性的 l 峪c 叩_ u l a g - 6 眦h 模裂，并将其应用于中国股票市场非对称尾部相关结构的研究。 史道济，姚庆祝( 2 0 0 4 ) 依据c 叩m a 与s p 伽衄锄p 、k 锄d a n t 和尾部相关系数1 1 之间的关 系，在一个c 0 p u l a 族内进行适当变换，得到新的c 叩_ i l l a 使得可以更好的拟合样本的各 个性关系数，建立了较好的数学模型。刘国光，许世刚( 2 0 0 4 ) 针对金融市场资产收益 的非正态分布以及资产组合中不同的风险资产的非线性相关，将c o p l l l 理论用于资产 组合的v 出估计值中，并给出了基于c o p _ 1 1 1 a 的v 水算法。统计分析表明c 0 p u l a 理论的 v a r 在估算的精度方面优于传统的方法，可以更广泛的捕获各风险资产的相关信息。 连接函数已经成为风险管理领域强有力的工具。汪飞星，陈东峰( 2 0 0 5 ) 利用c o p u l a 方 法给出了相依风险函数的最优界，并对上证指数和深圳指数的收益率风险进行了实证 分析，并讨论了在c 0 p _ u l a 中的参数以及不同c 0 p m a 类对界线的影响程度。此外还有一 些基于极值理论与c 0 p l l l a 函数在金融风险相关性分析中的应用。马玉林( 2 0 0 6 ) 将极值 c o p _ i l l a 函数应用于组合的风险价值估计中，并对8 种行业指数进行实证分析，证明了 c o p l l l a e 、，1 方法好于正态分布的v 承模型，采用极值c o p u l a 函数可以更好的捕捉到 分布尾部的相关关系。 综合国际与国内人们对c 0 p l l l a 理论的应用和分析，虽然c o p u l a 理论在金融与保险 市场上有广泛的应用，但是还没有一篇完整的论文介绍混合c o p u l a 、具有时变性的 c 0 p u l a 理论，及其实证应用；并且对尾部相依性也没有系统的论述，基于此原因，笔 者对c o p u l 理论在风险管理中的应用做了比较全面的论述。 1 3 论文结构和内容安排 本文以金融风险管理的市场风险管理作为实证基础，结合c 0 p u l a 函数和m o n t e c a l l o 模拟技术，对中国证券市场的综合指数进行相依风险的风险管理实证分析，并 比较全面的介绍了尾部相依性。 本文分为五章，第一章为引言部分。引言部分介绍了论文的研究意义、目的等， 并给出了论文的结构安排。第二部分主要论文所应用的c o p u l a 理论方法，包括c o 叫a 理论及其性质、基于c o p u l a 函数的相依系数，以及混合c 0 p u l a 模型及其参数估计的 方法。第三部分对具有时变性的c 0 p l l l a 函数进行了介绍并给出了混合c 0 p u l a 和具有 时变性的混合c o 叫a 函数c 。第四部分介绍了风险管理的方法和定义，以及基于 北方工业大学硕士学位论文 c 0 p 啊a 理论的v a r 算法，并对不同的算法进行实证分析，进行比较。第五部分系统 的介绍了尾部相依性，并给出了具有较强的尾部相依结构的尾部变结构的c o 叫a 和 混合c 0 p l l l a 模型。 最后是本文的结论部分，结合全文内容及其实证结果，给出了本文的综述性总结。 北方工业大学硕士学位论文 2c o p u l a 理论及相依性度量 研究金融市场的风险，关键在于研究金融风险资产之间的相关关系，对其相关结 构构建合理的数学模型。而运用c o p u l a 理论构建数学模型，可以将多元分布分解为 单个变量的边缘分布和一个描述变量之间相关结构的c o p l l l a 函数，即可以将边缘分 布与相关结构分开来研究，这使建模问题大大简化，同时提高了模型的实用性，并且 有助于对很多金融问题的分析和理解。 在本章中，我们将系统地介绍论文所应用的c o 叫a 理论方法，包括c 0 p u l a 理论 及其性质、基于c 0 p u l a 函数的相依系数，以及其参数估计的方法。 2 1c o p u i a 的定义及基本特征 2 1 1 c o 叫a 的定义【2 】 定义2 1 刀维c o 叫a 是具有下面性质的函数c ： ( 1 ) d o m c = j ”= 【0 ，1 r ； ( 2 ) c 是有基底的和刀一增的； ( 3 ) c 的边际q 满足：q 似) = ( 1 ，1 ，“，1 ，1 ) = ，对一切“，。 简单来说，c o 叫a 是把多维随机变量的联合分布与其一维边际分布联系起来的 函数，通常称为连接函数。假设我们有刀个资产的投资组合，各个资产收益的边际分 布函数分别为互( 五) ，互( 而) ，e ( 毛) ，其联合分布函数为，( 五，毛，) 。在实际中， 通常边际分布是容易得到的，而联合分布则很难给出。著名的s k l 盯定理将多维随机 变量的联合分布与边际分布联系起来。 定理2 1 ( s l d a r 定理) 【3 】令f 为刀维分布函数，其连续边际分布为墨，最， e ，则存在函数c 有下面唯一的c o p u l a 表达式： ，( 五，恐，) = c ( 互( 五) ，互( 恐) ，c ( 毛) )( 2 1 ) 根据s l ( 1 盯定理中的( 2 1 ) 式，我们就可以通过c 0 p l l l a 函数c 由边际分布来构 建多元联合分布，在股市中就是去刻画多个风险资产的联合分布。很自然的想到用 北方工业大学硕士学位论文 m o n t ec d o 来模拟相依数据，而c o 叫a 理论在模拟过程中起重要作用。 为了说明用c o 叫a 构建多元联合分布的方法我们考虑边际分布和c 0 p l l l a 函数都 是已知的简单情形，有关边际分布和c o 叫a 函数的估计问题在后面的章节将作深入 讨论。 显然，任意边际分布函数巧“) o = 1 ，2 ，刀) 的值都可以看作是，= 【o ，1 】上均匀分 布随机变量q 的取值。f 一1 记作f 的伪逆( p j e u d 0 一概e ) 函数。例如有： x = f 一1 ) = 呻酬f ( 曲”) 。假定边际分布函数互，e ，c 是连续的，那么由s k l 盯 定理可知，存在唯一的c 0 p m a 函数c ，使： c “，吃，材。) = f ( 五，屯，) = ，( 巧- 1 “) ，巧1 他) ，巧1 ( ) ) ( 2 2 ) 因此，只需独立的模拟【o ，1 】均匀随机变量，f = 1 ，刀，而( 互- 1 ( ) ，巧1 心) ， 巧1 0 。) ) 的联合分布就是f 。在上述拟合过程中，【0 ，l 】上均匀分布q 的随机模拟是很 容易实现的。 一个可行的办法是采用条件分布的方法来模拟。考虑刀 2 的情形，用 c ：( 嵋，) = c 以l ，吩，1 ，1 ) ，i = 1 ，刀 ( 2 3 ) 表示c ( 嵋，) 的第f 维边际分布，记c l 。) = ，q ( 1 l l ，) = c ( 1 l l ，) 。假定 ( u ，u ) 一c ( ，) ，则给定前f 一1 个分量时u 的条件分布为 c ：“k ，。) = 研q 0 时是严格单调增的变换。 ( 2 ) 由连接函数c ( ，屹，) 导出的一些相关性描述指标，比经典的线性相关 系数更加符合人们的要求。因为通常的相关系数实际上是线性变换下不变的一种相关 性指标，涉及到非线性变换的相关性，它就会导出错误的结论。但是由连接函数c 所 引出的度量相关性的指标就能够保持在严格单调增变换下的相关性，比线性相关的范 围要宽。 2 共同单调性( c o m o t 0 1 1 i c i 劝任意的二元c o p u l a 函数c ，对于五，而 o 1 】有： 形( 五，而) = m a x “+ 恐一1 ，o ) c ( 五，而) m i l l 五，而) = m ( 西，而)( 2 5 ) 随机变量五，而成为共同单调的( c 0m o n o t o n i c ) ，若c o p u l a 函数满足 c ( 五，毛) = m ( 五，吒)( 2 6 ) 我们称c 为f r e c h e t u p p e r c 0 p u l a 。 0 ( 1 ) 共同单调的充要条件z l ，z 2 为共同单调当且仅当：( z l ，z 2 ) = ( k ( z ) ，匕( z ”对于 j 一切随机变量z 及巧单增、匕单降函数成立。其中= 表示两边的随机变量具有相同的 北方工业大学硕士学位论文 分布。特别对于严格单降函数r ，z 2 = ，则z i ，乙是共同单调的。 共同单调的随机变量是指他们的联合分布函数是一类特殊的分布_ f r e c h e t 分 布。即若边际分布为互( 五) ，e ( ) ，则联合分布就是f ( 五，毛) 2 唑巧( 而) ， 这是相应的连接函数自然就有c ( 岣，吻，) 2 啵吩。事实上可以证明：若 ，( 五，毛) 是连续的，则存在连续的单调函数彳，z 及随机变量孝使 f ( 而，毛) = 尸【石( d 而，z ( 善) 毛】 ( 2 7 ) 这意味着考察刀种不同的风险资产，等同于考察存在同一潜在风险源的若干风险资 产，例如相邻地区的火险就有类似性质。实际上任何连接函数c 都有性质： c ( 地，吃，) 2 映吩 ( 2 8 ) 因此m e t 分布是一个“上界。由可知对于一些风险资产虽然不知道它们真实的 c ( 啊，吃，) ，但用c ( 均，吃，) 2 酏去代替则不会低估有关情况。 ( 2 ) 共同单调性的应用实际中应用较多的是下述情形：设五，毛为随机变量， 巧，e 分别为其边际分布，且e l 而i ，f = 1 ，2 ，捍，令 y = 五+ + 毛，矿= 互1 ( u ) + + 巧1 ( ( 2 9 ) 其中u 是【0 ，l 】上均匀分布，互q 是边际分布巧的伟逆函数。则对于任何函数有 尉( 功尉( 矿)( 2 1 0 ) 这表明对于风险的估计，用矿来衡量时，不会比用矿衡量低估。容易看出，如果要 求出y 的分布，必须从而，毛的联合分布出发，这是很困难的，而矿只涉及边 际分布，这是可操作的。 上述结论可以加以推广，设q ，巳皆为正数，令 y = c l 而+ + q 而，矽= c l 互_ 1 ( u ) + + 巳巧1 ( u ) 则尉( 功删( 形) 依然成立。以上性质对于保险定价和金融风险管理是有用的，由于形的分布 是可以估计的，由此得到的金融风险度量至少是一种可以参照的指标。 3 c 0 p u l a 的相依性度量指标 o 北方工业大学硕士学位论文 相容性的度量指标k ( n e l s 1 9 9 8 ) ，设随机变量五和屯的c o p u l a 函数是c ，足 是一个相容性度量( 删笺聊坞o f c 0 n c 0 柑锄c e ) ，如果它满足以下性质： ( 1 ) k 定义在每一对连续随机变量( 五，艺) 上； ( 2 ) 一1 = 疋一z 玉，c 鼍j = l ； ( 3 ) 黾而= ； ( 4 ) 若五和而独立，则k 而= b = o ，其中c 上= u y ； ( 5 ) 疋而悬= 邑。一而= 一毛丙； ( 6 ) 若c l = p = 最( 玩砭) ，其中b 是x 的累积分布函数，故： 带入公式( 2 ) 可得到： c 帆( 耻刚i x 忱) = 击矿( 力出 公式( 3 ) 中，厂( 工) 为随机变量x