（应用数学专业论文）板条裂纹问题的一种近似解法.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文提出了弹性板条内裂纹问题的一种近似解法，利用复变函数 的知识和奇异积分方程方法研究了板条内分叉裂纹和边缘裂纹问题。 用位错来模拟分叉裂纹，将集中位错放置在分叉点上，分布位错 分别布置在裂纹各分支上。首先给出了平面或反平面弹性情况下，边 界( 也即板条下边界) 自由的半平面内单分叉裂纹问题的复势函数。通 过用一个长的二分叉裂纹来代替板条上边界，以满足板条的上边界自 由，将板条内的分叉裂纹问题转化为半平面内的多分叉裂纹问题来处 理。根据边界条件建立了以集中位错强度和分布位错密度为未知函数 的c a u c h y 型奇异积分方程。利用半开型积分法则求解奇异积分方程， 进而得到工程上关心的裂尖处的应力强度因子值。在此基础上，进一 步研究了板条内的边缘裂纹问题。 用m a t l a b 程序编程，很容易实现本文所提出的数值计算方法。 文中给出了若干数值算例，其中一些特例用本文方法计算所得到的结 果与应力强度因子手册中的值是一致的。算例中计算得到的数值 结果和图表也可直接用于工程实际中。 关键词：板条，分叉裂纹，边缘裂纹，平面弹性，反平面弹性，位错， 奇异积分方程，应力强度因子 江苏大学硕士学位论文 i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，a na p p r o x i m a t em e t h o do fc r a c kp r o b l e mf o rs t r i pi s p r o p o s e d ，a n dt h eb r a n c hc r a c ka n de d g ec r a c kp r o b l e m si np l a n ea n da n t i - p l a n e e l a s t i c i t ya r ei n v e s t i g a t e ds y s t e m a t i c a l l yb yu s i n gt h e o r i e so fc o m p l e xf u n c t i o n sa n d t h es i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d t h eb r a n c hc r a c ki sm o d e l e db yar e a s o n a b l ed i s t r i b u t i o no ft h ed i s l o c a t i o n ，a p o i n td i s l o c a t i o ni sp l a c e da tt h eb r a n c hp o i n ta n dt h e d i s t r i b u t e dd i s l o c a t i o n sa r e a s s u m e da l o n ga l lt h eb r a n c h e s f i r s t l y ，c o m p l e xp o t e n t i a lo fs i n g l eb r a n c hc r a c ko f h a l f - p l a n ei np l a n ea n da n t i - p l a n ee l a s t i c i t yw h i c hs a t i s f i e dt h et r a c t i o n - f r e ec o n d i t i o n a l o n gt h eb o u n d a r y ( a l s ot h el o w e rb o u n d a r yo ft h es t r i p ) i sg i v e n t h ep r o b l e mi s c o n v e r t e dt ot h em u l t i p l eb r a n c hc r a c k sp r o b l e mi nh a l f - p l a n eb yr e p l a c i n gt h eu p p e r b o u n d a r yo ft h es t r i pw i t hat w oe q u a lb r a n c hc r a c kt os a t i s f yt h et r a c t i o n - f r e e c o n d i t i o na l o n gt h eu p p e rb o u n d a r y n e x tb ym a t c h i n gt h et r a c t i o na l o n gt h ec r a c k s ， c a u c h ys i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n sa r eo b t a i n e d ，i nw h i c ht h ep o i n td i s l o c a t i o na n d t h ed i s t r i b u t e dd i s l o c a t i o nd e n s i t ys e r v ea st h eu n k n o w nf u n c t i o n f i n a l l y ，b yu s i n ga s e m i o p e nq u a d r a t u r er u l e ，t h es i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n sa r es o l v e d t h u s ，t h es i f v a l u e sw h i c ha l ep a i dm o r ea t t e n t i o nt ob ye n g i n e e r si np r a c t i c ea tt h ec r a c kt i p sa r e c a l c u l a t e d t h ee d g ec r a c kp r o b l e m so fs t r i pa r ea l s oc o n s i d e r e do nt h eb a s eo f p r e v i o u ss t u d i e s u s i n gt h em e t h o dp r o p o s e di nt h i sp a p e ra n dm a t l a bp r o g r a mm a k e ss i f v a l u e sc a l c u l a t e dm o r ee a s i l y t h e r ea r el o t so fn u m e r i c a le x a m p l e sg i v e n ，o fw h i c h t h ec a l c u l a t er e s u l t so fs o m ee s p e c i a lp r o b l e m su s i n gt h i sm e t h o da r ef o u n dt ob ev e r y s i m i l a rt ot h o s ei nt h eh a n d b o o ko fs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s t h en u m e r i c a lr e s u l t sa n d c h a r t si nt h i sp a p e rc a nb ea p p l i e dd i r e c t l yi n t op r a c t i c e k e y w o r d s ：s t r i p ，b r a n c hc r a c k ，e d g ec r a c k ，p l a n ee l a s t i c i t y ，a n t i - p l a n ee l a s t i c i t y ， d i s l o c a t i o n ，s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n ，s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r i i i 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 弓霜彳 日期： b 1 年b 月l 葛日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 学位论文作者签名： 山司年险月懈e l i 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密囹。 弓丽叶指导教师签名：彦乏彳乙l o 呷卸即日 江苏大学硕士学位论文 1 1引言 第1 章绪论 传统安全设计强度理论认为，当最大应力小于材料的许用应力时，设计的结 构是安全的。按照这种方法进行安全设计的某些工程结构，尤其是使用高强度材 料的结构，在安装、试验、使用过程中，往往发生“低应力脆性破坏”事故。很 多断裂事故都是在低于材料屈服应力下发生的。例如，1 9 3 8 年3 月1 4 日，比利 时架设在阿尔伯特运河上的费廉尔德大桥断成三段，坠入河中。1 9 4 7 年至1 9 5 0 年，比利时有1 4 起桥梁构件发生脆性破坏事故，事后分析指出，事故大都是出 现初始裂纹造成的。1 9 5 8 年美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验发射时 发生爆炸，其材料是用屈服应力为1 3 7 g p a 的高强度钢，传统的强度和韧性指标 全部合格，而爆炸时的工作应力远低于材料的许用应力，调查研究表明，这种低 应力脆性破坏是由于深度为o 1 至1m m 的裂纹造成的。1 9 6 9 年1 1 月美国f 一1 11 机在执行飞行训练，做投弹恢复动作时，左翼脱落招致飞机坠毁，据分析，当时 飞机的速度、总重和过载等指标远低于设计载荷，主要是机翼大梁由于热处理不 当出现缺陷而引起低应力脆性破坏。1 9 7 9 年5 月2 5 日一架d c 一1 0 巨型三引擎 喷气客机，起飞后不久就掉了左边一具引擎，随即着火燃烧，然后爆炸坠毁，2 3 7 名乘客和机组人员全部死亡，事故原因是飞机上连接一具引擎与机翼的螺栓因疲 劳而断裂【1 。 这些破坏事故既无法用传统的材料力学观点解释，也无法用传统的材料机械 性能指标加以衡量。因为事故发生时的断裂应力远远小于材料的屈服应力，甚至 许用应力。而且过去认为强度很好的结构，如采用高强度材料和断面很厚的结 构，反而易于发生低应力脆断事故。通过调查研究，人们逐渐认识到，正是结构 中存在的裂纹或类裂纹缺陷致使结构强度大大降低，而传统上把材料视为无缺陷 均匀连续体的设计思想是不正确的。因此，分析断裂事故，研究裂纹体强度以及 裂纹发生、扩展的规律，并根据这一规律设计安全的工程结构、制定合理的质量 验收标准等，就成为十分迫切的问题。 断裂力学正是在此基础上逐渐发展起来的。断裂力学是研究含裂纹构件强度 江苏大学硕士学位论文 与寿命的一门固体力学新分支，它是结构损伤容限设计的理论基础。断裂力学可 分为线弹性断裂力学与弹塑性断裂力学两大类别，前者适用于裂纹尖端附近小范 围屈服的情况；后者适用于裂纹尖端附近大范围屈服的情况。就目前情况而言， 线弹性断裂力学在结构损伤容限设计中居重要地位。线弹性断裂力学是以各向同 性、均质的变形固体的二维弹性理论作为基础，利用连续体力学分析物体内的裂 纹为其中心内容；它又是以研究高强度钢等脆性材料的低应力脆性断裂为主要目 的；它也可以用来研究中、低强度钢等塑性材料不出现明显的塑性变形的一些脆 性断裂问题，它是宏观断裂力学的主要理论基础。在线弹性断裂力学中j 应力强 度因子是最重要的力学参量，它与结构几何形状和外载荷有关，控制裂纹尖端附 近的应力场与位移场。应力强度因子可以用于预测含裂纹结构在单调载荷作用下 的剩余强度以及在重复载荷作用下的剩余寿命，从而为工程结构的安全设计提供 可靠的依据。 在断裂力学发展过程中，对裂纹问题有过许多不同的研究方法。对于几何形 状及荷载比较特殊的简单问题，可直接用解析的方法进行计算。g i 乙i r v 洫等人 曾采用复变函数的方法对平面裂纹问题进行了系统的分析。 但由于工程实际中的问题相当复杂，解析分析十分困难，所以在后来的文献 中很少用纯的解析法来求解。近年来，随着计算机技术的迅猛发展，断裂力学的 数值方法研究有了很大的进展。目前，应用最广泛的是有限单元法和边界元法。 由于有限元法【2 】的数值离散比较规范，通用性较强，因此广受欢迎，也是至 今发展最完善的一种方法。用它求解多处损伤裂纹应力强度因子是最通用有效 的，但是该方法的最大缺点就是工作量太大，尤其是对复杂结构形式和广布损伤 情况，当设计改变或尺寸变化时，就需重新划分网格，重新计算。 边界元【3 】是继有限单元法之后发展起来的一种数值方法，它将边界积分方程 方法应用于断裂力学，将裂纹问题化为一般的边值问题进行处理。到目前为止， 边界元法已在断裂力学中有了相当广泛的应用。 近年来，在断裂力学中还发展了一种由边界积分方程演化过来的奇异积分方 程方法。通过分析边界与荷载条件，将问题归结为求解积分方程，然后采用解析 与数值离散相结合的方法来求解问题。目前在断裂力学中应用较广的是超奇异积 分方程方法和主值型奇异积分方程方法。 2 江苏大学硕士学位论文 超奇异积分方程由希腊学者n i i o a k i m i d i s 4 1 首先引入断裂力学。他使用 h r k u t t 的有限部积分法进行数值求解。y z c h e l a 、w t a n g1 5 - 9 等人曾用超奇 异积分方程方法解决了一系列裂纹问题。 还有一类较流行的奇异积分方程是主值型奇异积分方程。f e r d o g a n 1 0 】曾采 用主值型奇异积分方程方法对多种二维平面裂纹问题进行了系统的研究。主要是 使用积分变换的方法，将问题归结为求解带c a u e h y 核的奇异积分方程。通过求 解积分方程的未知函数来确定应力强度因子。f e r d o g a n 经过多年的研究，为这 种类型的奇异积分方程数值求解建立了系统的理论。 1 9 7 7 年，p s t h e o e a r i s 1 1 】利用合理的位错分布来模拟裂纹，直接得到以位错 密度( 或点位错强度) 为未知函数的奇异积分方程。求解方程得到的结果与应力 强度因子直接相关。这种分析方法对多裂纹、分叉裂纹、边缘裂纹等问题是十分 有效的。奇异积分方程的求解般是用直接数值解法，对未知函数离散化，化为 代数方程。本文在研究板条中的裂纹问题时就采用的是这种方法。 断裂力学研究含缺陷材料和结构的破坏问题，由于它与材料或结构的安全问 题直接相关，因此它虽然起步晚，但实验与理论均发展迅速，并在工程上得到了 广泛的应用。例如断裂力学技术已被应用于估算各种条件下的疲劳裂纹增长率、 环境问题和应力腐蚀问题、以及确定实验中高温和低温的影响。许多国家还制定 了断裂控制新标准及设计规范用于工程实际中，成为提高产品质量、保证产品安 全运行以及防止结构断裂事故的有力工具。 1 2 本论文的背景及主要工作 裂纹的存在大大降低了物体的承载能力，它将在较低的载荷水平下从裂纹端 开始出现扩展，最后导致物体断裂。因此，裂纹尖端邻域，裂纹表面的变形情况 对断裂强度的影响是很大的。在研究中，一般是从裂纹表面的变形情况，把裂纹 的扩展分成三种基本类型：张开型或简称i 型，是裂纹表面的相对位移沿着自身 平面的法线方向；滑开型或简称型，是裂纹表面的相对位移在裂纹面内，并且 垂直于裂纹前缘；撕开型或简称i 型，是裂纹表面的相对位移在裂纹面内，并且 平行于裂纹前缘的切线方向【l j 。i 、i i 型裂纹是平面问题；型裂纹是平面外问 题，称为反平面问题。 江苏大学硕士学位论文 在工程实际中，经常会遇到板条形结构体，这些工程结构元件在使用过程中， 常会由于材质中存在某种缺陷而产生应力集中或由于介质腐蚀而产生裂纹。因此 研究平面弹性或反平面弹性情况下，板条中含有分叉或边缘裂纹问题具有重要的 应用价值。 关于求解板条中裂纹的应力强度因子值，用保角映射法【1 2 1 可以得到一些封闭 解，但可解决的问题有限，通常为一些简单、对称的裂纹。因此，各种近似方法 得到了发展，解决了许多更复杂的问题。文献【1 3 】采用权函数方法研究了有限宽 板条内中心裂纹的平面弹性问题。文献0 4 - 1 6 采用f r e d h o l m 积分方程方法，分别 研究了平面弹性板条内平行裂纹、多裂纹和边缘裂纹问题。文献 1 7 ，1 8 采用超奇 异积分方程方法，分别对板条内单裂纹和共线裂纹问题进行了分析。但对板条中 的任意裂纹问题的研究并不多。文献 1 9 ，2 0 采用奇异积分方程方法分别研究了平 面和反平面弹性半平面多边缘裂纹问题。本文在此基础上，对板条内的任意位置 分叉和边缘裂纹问题进行了研究。采用在分叉裂纹分叉点放置一集中位错，沿各 分支放置某分布位错的方法【2 1 1 来模拟分叉裂纹，导出了求解板条内分叉或边缘裂 纹问题的奇异积分方程。首先给出了平面或反平面弹性情况下，边界( 也即板条 下边界) 自由的单分叉裂纹问题的复势函数。通过用一个长的二分叉裂纹来代替 板条上边界，以满足板条的上边界自由，将问题转化为半平面内的多分叉裂纹来 处理。根据边界条件建立了以集中位错强度和分布位错密度为未知函数的 c a u c h y 型奇异积分方程。数值计算时，利用半开型积分法则圈来求解奇异积分 方程，得出位错密度函数的离散值，进而计算裂纹尖端处的应力强度因子。最后 给出了具体数值算例，当把问题退化为相应无限大域或半平面内的裂纹问题时， 用本文方法计算所得结果与应力强度因子手册中通过保角变换得到的解析解 的值是一致的，其结果表明所采用方法是可行和正确的。此方法属于一种半解析 半数值的方法，由于充分利用了解析的结果，因而具有比较高的精度，同时又克 服了保角变换等解析法的局限，裂纹位置可以是任意的。 归纳起来，本文做的工作主要有以下几点： ( 1 ) 研究了集中力作用下反平面弹性板条中的分叉裂纹问题； ( 2 ) 研究了远处分布力作用下反平面弹性板条中的分叉裂纹和边缘裂纹问 题； 4 江苏大学硕士学位论文 ( 3 ) 研究了远处分布力作用下平面弹性板条中的分叉裂纹和边缘裂纹问题； ( 4 ) 给出了若干数值算例，用m a t l a b l z 3 1 语言编程，计算结果和用其它方法 得到的结果相比较，验证了本文方法的正确性和精确程度。计算得到的图表可成 为工程设计的依据。 江苏大学硕士学位论文 第2 章基本理论和方法 本文用到复变函数知识和奇异积分方程方法，故本章主要介绍其相关的一些 知识，并介绍论文要研究的问题及解决方法。另外需要说明的是，本文所有的讨 论都限制在线弹性的范围内，且体力不计。 2 1 基本理论 2 1 1 位错模型 为了求解弹性体内裂纹问题，引入位错模型【2 4 】，这是一种十分有效的分析方 法。位错是材料学中的一个概念，指的是晶体中的一种缺陷，会引起晶体的弹性 变形，影响晶体的力学性能。晶体中的位错有两种形式：刃型位错和螺型位错。 刃型位错导致晶体在平面内的弹性变形，而螺型位错引起晶体的纵向位移。分布 在一条直线上的位错，若前方受阻碍，则构成位错塞积群。在位错塞积群中，位 错可按间断的或连续的分布处理。按连续分布处理，能利用微积分，较为方便。 通过集中位错和分布位错( 或仅分布位错) 的合理叠加可以模拟任意分叉( 或边 缘) 裂纹。 ( a ) 原问题 o j - x o ) x o ( c ) ( b ) 分叉点的集中位错 ( c ) 沿第j f 个分支的分布位错 图2 1 用叠加原理得到的公式 f i g 2 1 f o r m u l a t i o no f t h eb r a n c hc r a c kp r o b l e mb yu s i n gt h ep r i n c i p l eo f s u p e r p o s i t i o n ： ( a ) t h eo r i g i u a lp r o b l e m ，c o ) ap o i n td i s l o c a t i o np l a c e da tt h eb r a n c hp o i n t , ( c ) ad i s t r f b u t i o np h c e da l o n gt h e - t hb r a n c h 具体地以反平面分又裂纹为例：如图2 1 所示，任一分叉裂纹( 图2 1 a ) 其 位错模型可以由两部分组成：( 1 ) 在分叉点o 有大小为日的集中位错( 图2 1 b ) ； 7 江苏大学硕士学位论文 ( 2 ) 沿各个分支裂纹有密度为_ ( j j ) ( 0 s j 吩，j = 1 ，? ，n ) 的分布位错( 图 2 i c ) 。 2 1 2 关于c a u c h y 型积分 c a u c h y 型积分方程在弹性理论、空气动力学以及很多数学物理领域中有重 要的应用。在断裂力学中c a u c h y 型积分方程得到了广泛的应用。在本文的工作 中，将主要用到c a u c h y 型积分，在这里首先回顾一下关于c a u c h y 型积分的一些 性质【2 5 】。 ( 1 ) h 6 1 d c r 指数 a 图2 2 曲线工 1 w , z ac u r v el 如图2 2 所示，若三为一简单光滑曲线( 它可能是一段弧，也可能是一条封 闭曲线) ，三的正方向是指从a 到b 的方向，用“+ 和“一分别表示三的左 侧和右侧。在三上给定函数厂o ) ，t 为三上的点，假定r = x + i y 。若对曲线三上 的每两点，1 ，2 皆存在不等式 i 厂( f 2 ) 一厂( ) l 彳i 乞一毛l 芦 ( 2 1 ) 式中彳与为正的常量，并且唧l 时，则称厂o ) 在三上满足h o l d e r 条件，或 简称为条件h ，彳称为h s l d e r 常量，而称为h 6 1 d e r 指数。 ( 2 ) c a u c h y 型积分 设厂( f ) 为曲线三上给定的( 一般为复的) 函数，并且将永远假定( 除非有相 反的声明) 函数( ，) 在通常意义下绝对可积。 沿着曲线工所取的积分 击势 8 ( 2 2 ) 江苏大学硕士学位论文 称为c a u c h y 型积分，其中z 为复平面上的某点。 现暂时假定z 不在上。于是积分( 2 2 ) 有完全确定的意义，并且为定义 在全平面上( 除了三上的点以外) 复变量z 的函数。如果用f ( z ) 表示此函数， 于是 心，= 去磐 ( 2 3 ) 同时也不难看出，函数f ( z ) 在全平面上( 除了三上的点以外) 为全纯。若 曲线三包含有闭曲线，则上述的论断应该理解为函数f ( z ) 在被曲线三所分割出 的平面的每一部分的内部为全纯。 其次，还可以看出，当z 趋向无穷远时f ( z ) 趋于零，即 f ( o o ) = 0 ( 2 4 ) ( 3 ) 积分主值 前面假定了公式( 2 3 ) 中的点z 不在积分衄线三上。现在设点z 与三上某 点“重合，姑且纯形式地写出式( 2 2 ) 为 击等 ( 2 5 ) 若厂瓴) 0 ，则当f = f o 时，被积函数与i f f o i 一一样，变为无穷。因此若仍旧停 留在通常的定义范围内，右边的积分是没有意义的。然而积分( 2 5 ) 在关于函 数f ( t ) 的某些假定之下却能给以确定的意义。 设厂( f ) 是定义在曲线三上的函数，t o 是三的一内点，在t o 的邻域内厂( f ) 满足 h 6 1 d e r 条 ，r l 与如分别为幻两侧的点，并且l f l t o i = 1 6 一t o l = 去互警 ( 2 8 ) 从左与从右皆可连续延拓到三上；换言之，存在边界值p 纯) 与f 一瓴) ，即当z 从三的左侧或右侧趋近于三的点，o 时f ( z ) 的极限。则 讹) = 去工等+ i f ( t o ) ( 2 9 ) 讹) = 去互等一i 1 删 ( 2 1 0 ) 此即著名的p l e m e l j 公式，此处在右边出现的积分为主值。 ( 5 ) c a u c h y 型奇异积分方程【2 4 1 考虑下面给出的方程 k 9 暑刀o ) 认力+ 三【她加) 出：g ( x ) o 三) ( 2 1 1 ) m 也t x 其中，函数召( 功，k ( x ，f ) 和g 都是给定在光滑曲线三上满足h 6 1 d e r 条件的函数， 吠x ) 为未知函数。等式( 2 1 1 ) 中的广义积分在c a u c h y 型积分主值的意义下存在。 奇异积分方程( 2 i i ) 的右端是加在未知函数认x ) 上的运算，用记号“k 弦表示， 并称其为带c a u c h y 核的奇异积分算子。 2 i 3 一类奇异积分方程的数值解法 积分方程建立以后，最重要的任务就是求解所得的积分方程。对于很多实际 问题，很难得到方程的解析解。因此，对积分方程进行数值求解具有重要的意义。 数值积分方法就是把积分方程化归为有限的线性代数方程组，然后进行求解。 如果把奇异积分方程写为r 差警也= p ( f o ) ，在断裂力学的分叉和边缘裂纹的 奇异积分方程方法中和本论文中，将会遇到下列情况，即函数g ( f ) 在t - - o 邻近无 奇异性，又它在t = a 处有一1 2 的奇异性。对这种情况宜利用a v b o i k o 和l n k a r p c n k o 介绍的半开型数值积分公式圈。其具体公式为 f 等昏= 薹掣 眨m l o 江苏大学硕士学位论文 式中， 这里， 2 2 f g 昏= 孰m = l 酏。， 4 ，= 罢s i n 2 黑 ( 聊= 1 ，2 , - - , m - 1 ) 4 ，2 万s 芴 ( 聊2 1 ， ) 厶2 暑 t i n - - a s i n z 竺( 舻1 ，2 ，m 丽 ( 舻1 ，2 ，川) 黾：口s i n 2 噬( 庐l 2 彤) 5 2 m 称r 一为积分点：称x 。为配置点。 研究的问题及解决方法 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 本文研究以下几种情况下裂纹的应力强度因子： ( 1 ) 集中力作用下反平面弹性板条中分叉裂纹的应力强度因子； ( 2 ) 远处分布力作用下反平面弹性板条中分叉裂纹和边缘裂纹的应力强度 因子； ( 3 ) 远处分布力作用下平面弹性板条中分叉裂纹和边缘裂纹的应力强度因 子。 本文所用基本方法是位错模拟裂纹和奇异积分方程方法，再者就是在半平面 裂纹问题的基础上来讨论板条内的裂纹问题。下面以分叉裂纹为例来解释一下本 文所用的方法。 图2 3 板条内分叉裂纹问题 f i g 2 3b r a n c hc r a c kp r o b l e mo fs t r i p l l 江苏大学硕士学位论文 如图2 3 所示，板条内有一任意分叉裂纹，板条上、下边界和裂纹面自由， 此问题可在半平面的基础上来考虑，复势函数仍用半平面内分叉裂纹问题的复势 函数，此时板条的下边界( 即半平面的边界) 已满足自由的条件，而对于板条上 边界，可用一水平的二分叉裂纹来代替。当分叉裂纹的两支足够长，便可与板条 的上边界自由条件等效，此时原问题就可转化为半平面内的多分叉裂纹来处理。 具体过程见第3 章和第4 章。 1 2 江苏大学硕士学位论文 第3 章反平面弹性板条内的裂纹问题 3 1 反平面弹性问题的应力、位移及合力 在反平面剪切中，引入复势缈( z ) 后，有下列关系口q 存在： 缈( z ) = g w ( x ，y ) + i f ( x ，y ) ( 3 1 ) 侣 厂( z ，y ) 2 蔓吒妙一c r 弦d x ( 3 2 ) 以z ) = = g 罢+ i 芸= 一i ( 3 3 ) c 拓戗 。 式中，复数z = x + i y ，g 为剪切弹性模量，w ( x ，y ) 为纵向位移，厂g ，y ) 为纵向 合力函数，仃诏为应力分量。 设斜面与x 轴正向之间的夹角为口，则在斜面上的剪切应力用表示为： o n , = i m ( - f 2 ( z ) e k ) ( 3 4 ) 3 2 反平面弹性半平面内的位错模型及其复势 ) ， g 图3 1 单个集中位错 矾晷3 1s i n g l ep o i n td i s l o c a t i o n ( 1 ) 点位错 图3 1 表示在一个半平面( 边界厶自由) 上一点z 。处，作用有一个集中位错 ( 或点位错) ，位错的强度大小为日( 日为实数) 。这种情况下，反平面弹性变形 场的复势可以表示为 2 0 , 2 6 , 2 7 】 江苏大学硕士学位论文 彩( z ) = 略( z ) + 嚷( z ) = - 警t n ( z 一气) + 一i i h l n ( z i ) ) ( 3 5 ) 一州坦c 力= 焉+ - 剥一 翔射 ) ， ， 黼4 衔、，4 苜厢 j 广一川。工喇”。 人a f 钿l l 厶自由 ox 图3 2 分布位错 f i g 3 2 d i s t r i b u t e dd i s l o a t i o n ( 2 ) 分布位错 由点位错的复势，即式( 3 5 ) 和( 3 6 ) ，可得反平面弹性半平面中单裂纹位 错模型的复势函数。如图3 2 所示，沿裂纹面作用有密度为办0 ) 的连续分布位 错。根据式( 3 5 ) ，把在微段凼上的分布位错看成强度为办( 譬) 出的点位错，通过 积分得到复势为 国( z ) = 彩p ( z ) + 国。( z ) 。 = 妻胁m 卜( 气+ 啦+ r 胁m 卜( _ + 矿肚) ( 3 7 ) 斌力= 口p ( 力+ 力。( z ) = 妻r 端州一妻r 鼎埘 仅8 ， 其中口为线段，的长度，口为从x 轴正向逆时针转到，正向所成的角度，z 。为1 的一个端点。 1 4 江苏大学硕士学位论文 3 3 反平面弹性板条内的裂纹问题 3 1 1 分叉裂纹问题 h f i g 3 3b r a n c hc r a c ko fh a f t - p l a n e 半平面内存在一个分叉裂纹，如图3 3 所示，建立直角坐标系，o x 轴与自由 边界重合。在分叉点放置一强度为h 的点位错，沿各分支放置密度为_ b ) ( 0 s j a j ，j = l ，2 ，n ) 的分布位错，由式( 3 5 ) ( 3 8 ) 以及叠加原理，可得半平面 内分叉裂纹问题的复势函数： 缈( z ) = 等l i l ( z 一) 一i i h m ( z t o ) + 去喜f 以( 一) m ( z - - z 0 - - 勺p i 乃) 呜 一妻善f 乃( _ ) h ( z 一一z o 吖一q ) 呜 ( 3 9 ) 噼而i h 一骊i h + 妻芸f 等呜 一妻芸f 害牿呜 & 埘 其中，z 为半平面上任意点，z 0 为分叉点，q 为第，条分支裂纹与x 轴正向之间 的夹角，a 为第，条分支裂纹长度， 为分叉裂纹总分支数。 下面根据第2 2 节中所讲的方法来解决反平面弹性板条内的分叉裂纹问题 江苏大学硕士学位论文 34 咖曲e m e kp r o b l e mo f s t r i p 如上，用位错模型来模拟分叉裂纹的方法，在分叉点0 l 和0 2 放置集中位错， 大小分别为凰和飓，在分叉裂纹l 各分支放置连续的分布位错，其密度函数分 别设为向，( 墨) ( o q _ ，= 1 ，2 ，m ) ；同理，在分叉裂纹2 的两支也放置连 续的分布位错，其密度函数分别设为吃，( 屯j ) ( o 屯- ， 吒，j = 1 ，2 ) 。 由式( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 以及叠加原理，此时的复势函数则写为： ，2 耦一葙+ 耦一葙 + 妻芸f 7 蒜电，_ 妻姜r = 熬电， + 妻喜f 7 蒜啦，一妻喜f 拣鸭，c 3 m ， 式中乞为第f 个( = - 1 ，2 ) 分叉裂纹的分叉点，l 为第1 个分叉裂纹分支数。 3 1 2 边缘裂纹问题 在半平面的情形，如图3 5 所示，若沿各边缘裂纹有密度为吃b ) ( o 0 7 【智 啊，( 西，) 呶， ”妄秘蒜咄一“， 注意与分叉裂纹不同的是不再有集中位错凰，而屯为边缘裂纹的外端点。 图3 6 板条内多边缘裂纹问题 f i g 3 6m u l t i p l ee d g ec r a c kc r a c kp r o b l e mo fs t r i p 一一 严七 江苏大学硕士学位论文 3 4 奇异积分方程的建立及其求解 如图3 4 ，对于第1 个分叉上第七( 庐1 ，2 ，一i ) 条分夏上、f 表面对皿嗣仕一 点：毛+ s l k e i ，如果裂纹表面上的应力已知且记为珞g 。) ，由式( 3 4 ) 和( 3 1 1 ) 可得奇异积分方程组： 丢m 七蜀+ 妻m 。鸩+ 委r 等等d ，妻姜r 墨埘- ，h ，b ，) d 岛， 十去粪f 7 屯。七g 一七h ，h + 妻喜f ”k 肚k 一量) + 厶埘k 一七溉，仗，k ， = h i ) ( o ，乒1 ，2 ，1 ) ( 3 1 5 ) 这里， 耻一r e ( 砉一砉 ，班r e ( 去一割， l 毛七一毛毛七一毛 z 扯一z 2一z 2 ( 西 ) ：一r e 尝，i - ，j , l k ( 嘶) = r e 导， l 七 。1 j i k l j k 2 j , l k ( 讪) ：- r e 兰，l 2 j , l k ( 嘶) = r e 去， 。i i 2 j - i k 。2 ， 式中符号t 表示歹= 七的那一项不包括在里面，毛，= 毛+ 西尸溉，乞，= 乞+ 是j 哟。 而对于第2 个分叉上第k ( k = l ，2 ) 条分支上、下表面对应的任一点 勉= 乞+ p 勉的应力应为零( 即表面自由) ，由式( 3 4 ) 和( 3 1 1 ) 则可得到另一 奇异积分方程组： 扛县+ 扛皿+ 廿兰叭凄聃如渤) 帆) 岘 + 三芸r 厶埘( h ，( 焉，) 电，+ 三喜r 7 墨妒t b ，) + 厶埘( 屯，鼢) ，( 是，) 呶， = 0 ( o ，扫1 ，2 ) ( 3 1 6 ) 1 8 江苏大学硕士学位论文 蚧一r e ，鱼一竺 ，m 2 k = - r e 鱼一鱼1 ， lz 2 女一气 z 2 t 一毛，j z 2 k z 2 z 2 七一乞| ( ) 一去，( ) = 去， ( 讪) 一去，( 铀) = 蠹， 其中五= z l + 西尸嘶，乞j = z 2 + s 2 尸吻，。 另外，根据位移单值条件还可以得到两个方程： 马+ 芝r u 啊，( f ) d r = o ( 3 1 7 ) 皿+ 艺f 2 7 吃( 砂= o ( 3 1 8 ) 下面给出方程( 3 1 5 ) 中g 。七) 的具体表达式。在这之前有必要先介绍一下叠 加原弹【2 8 1 。 p 圆广 白 曰：白 ：么i ： ，- 0 i 臣 i 哆 ( a ) ( d ) 图3 7 叠加原理的应用 f i g a 7a p p l i c a t i o no fs u p e r p o s i t i o n 如图3 7 ( a ) 所示的具有边缘裂纹的板条，只在无限远处作用有均匀的、大 小为p 的纵向剪切力。这时，问题( a ) 可以看成是问题( b ) 和( c ) 的叠加， 其中( c ) 问题裂纹面上的分布力和( b ) 问题裂纹位置处的应力大小相等、方向 相反。由于( b ) 问题是一个无裂纹问题( 如图3 7 ( d ) 所示) ，应力强度因子为 1 9 江苏大学硕士学位论文 零，所以求( a ) 问题的应力强度因子就可以转化为求( c ) 问题的应力强度因子， 即两者的应力强度因子是相等的。 对板条作用集中力时求解情况类似，都可以把求解原问题转换为求解只在裂 纹面上作用力时裂纹尖端的应力强度因子。 为了求解图3 7 ( c ) 问题裂纹尖端的应力强度因子，需要求解图3 7 ( c ) 中 裂纹位置处的应力。而图3 7 ( c ) 与( b ) 在裂纹位置处所受应力大小相等方向 相反，下面给出已知力作用下问题的解。 第一种情况，带分叉裂纹的板条，设在板条中线上o = 1 ，2 ) 处分别作用有集 中力霉( 喜丑= 。 ( 见图3 8 ) ，此时相应的复势函数为 噼善2 一南一南 a l 功 利用叠加原理，在求解裂纹问题中裂纹表面的作用力和集中力在连续物体裂纹位 置处引起的作用力相反，故集中力作用下裂纹面上任一点= 毛+ e 处应力 边界条件为 瓦( ) = 埘刃( ) e i )( k = l ，2 ，i ) ( 3 2 0 ) 将式( 3 1 9 ) 代入式( 3 2 0 ) ，得到 互七( 西七) = h 喜l 二芝元i 差 = z 了一三：i 南j ( 七= l ，2 ，一，m ) ( 3 2 1 ) 互七( 西七) = h 善l 一南一三：了三 二而j ( 七= l ，2 ，一，m ) 3 2 1 这里七为裂纹分支序号，i 为裂纹与x 轴正向之间的夹角。 第二种情况，带分叉裂纹的无限长板条，当无穷远处作用有分布力仃三= p ( 图3 1 1 ) 时，裂纹分支端的应力强度因子与无穷远处不受力的裂纹分支表面有 分布荷载时应力强度因子等价。此时，裂纹面上的分布力为 瓦( ) = p s i n i ( 七= l ，2 ，1 ) ( 3 2 2 ) 数值计算时，奇异积分的计算采用半开型积分公式阎 并且，若设 江苏大学硕士学位论文 讹) 2 括州0 s l j a l j , 川 2 ，m ) 。2 3 姒蚴2 妊州) 0 8 2 i a 2 j , 纠，2 ) 。2 4 则可将方程( 3 1 5 ) ( 3 1 8 ) 化为一组代数方程。解此代数方程，即可求出裂纹各 分支上分布位错密度函数的非奇异部分q j ( s 。_ ，) 在裂纹尖端的值，用下式可以直 接求出裂纹尖端的应力强度因子值 ，j = 一丽j ( q j ) ( y = 1 2 ，1 ) ( 3 2 5 ) 以上所讲为板条中分叉裂纹的奇异积分方程的建立及求解，对于板条内边缘 裂纹问题的奇异积分方程的建立可由式( 3 4 ) 和( 3 1 4 ) 得到，方程的求解方法 与分叉裂纹问题的相同。 3 5 数值算例 下面给出反平面弹性板条中分叉和边缘裂纹的数值算例。 图3 8 板条内的星形裂纹 飚3 8s t a r - s h a p e dc r a c ko fs t r i p 算例1 ：板条中有一星形裂纹，板条中线上( 星形裂纹的两侧) 作用一对大小相等 方向相反的集中力尸，板条两边界和裂纹面自由，如图3 8 所示。分支a 尖端的 应力强度因子表示成标准形式 d a = 厶( ，g 口，办口) 辜 ( 3 2 6 ) , 7 c a l 当分叉数为2 ，4 ，6 ，8 ，1 0 且咖与h a 分别变化时，分支a 尖端的应力强度 因子值分别见图3 9 和图3 1 0 。 2 1 江苏大学硕士学位论文 墨 奏 蓑 求 _ - 一冲= 2 4 卜n = 0 _ e - 黼 卜n = 1 0 i ，l l 1卜、 k 、 1 、 又、k 、l 、 、 图3 9k , , a = 2 s , g a 变化时分支a 尖端的 值( i l l3 神 l r i g 3 9t h e v a l u e s o f b r a n c ha w i t ha a = 2 5a n dt h ec h a n g i n go t g a 嘲固 墨 萎 蓑 求 _ 悻= 2 4 卜悻吗- 心 _ e 卜1 4 = 8 卜n = 1 0 滞 瓢 j淤 童、 k 蕊遘陲 卜 ； r t a 图3 1 0 暑励吒o k a 变化时分支a 尖端的 值( 图3 8 ) 蛋i 9 3 1 0 t h e f av a l u e s o f b r a n c h a w i t h g , 乒- - 2 o a n d t h e c h a n g i n g o f h , , a o 钯p 8 ) 图中实线是各种情况下分支a 端 值的拟合曲线，各记号点是拟合点。图 3 9 和图3 1 0 中的 可分别用下式表示： 当h a = 2 5 ，n = - 2 ，4 时， f ( g l a ) = o 6 7 4 3 + 0 7 6 1 0 e 一窖7 口- 0 11 4 6 ( g a ) e 9 7 口 ( 3 2 7 ) 当h a = 2 5 ，n = 6 时， f ( g l a ) = o 6