（基础数学专业论文）红利分配和信用风险问题研究.pdf

摘要 摘要 红利分配问题自从上世纪以来一直都是金融研究的一个热点问题它主要 来源于对股份制公司金融财务决策问题的研究。现代金融学研究的核心问题 是企业的金融财务决策，决策的核心问题是收益与风险的权衡，管理的目标 是企业价值的最大化。1 9 6 1 年m i l l e ra n dm o d i g l i a n i 证明了在完全确定性的假 设下股份制公司的资产可以看成股份持有者收到的红利的现值。后来s e t h ie t a 1 ( 1 9 8 4 ，1 9 9 1 ) ，s e t h i ( 1 9 9 6 ) 证明了在随机环境下这个结论也是成立的 因此，对于股份制公司来说，企业的价值可等同于股份持有者收到的红利的现 值，企业价值的最大化也就是股份持有者收到的红利的现值的最大化。一直以 来，很多学者从保险精算的角度来考虑股份制保险公司的红利分配问题，讨论 最优的红利分配策略以及公司的破产概率问题。 投资优化问题也一直都是金融研究的热点和前沿问题。自h a r r y m a r k o w i t z 第一次系统地利用数理统计的语言描述了金融市场上投资者的可 能行为，建立了投资组合理论最早的均值一方差模型以来，随着全球各主要金 融市场的迅速发展，投资机会的日益增多，投资环境的不断复杂化以及现代数 学科学的发展，许多学者利用现代数学方法、工具研究了各种投资优化的模 型。目前，由于金融全球化以及中国加入w t o 的影响，中国的金融市场与国际 接轨势在必行，投资者将面临更多的投资机会以及更加复杂的投资环境，故开 展投资优化问题的研究具有重要的实际意义。 因此，本文研究的第一个问题就是将投资优化问题与红利分配问题综合起 来考虑，并且为了更加贴近实际情况，我们假设市场对投资策略是有约束的， 即市场限制卖空以及借款。这是一个有约束的随机控制问题由于有约束条 件，它比人们通常从事的无约束的随机控制问题困难得多，这是本文解决问题 的难点。利用随机控制理论我们推得了该问题值函数对应的h j b 方程是一个有 约束的完全非线性二阶常微分方程。基于微分方程的理论我们讨论了值函数的 性质，最优的红利分配策略以及一定条件下公司的最佳投资策略，最后给出了 在此条件下值函数的解析表达式 通过对基于投资约束的红利分配问题的研究，我们知道最优的红利分配策 略是障碍策略，但是人们经过研究发现若公司采用障碍策略进行红利分配的 话，公司一定会破产。因此，考虑到公司的成长性有人提出了对红利分配策 同济大学博士学位论文 略加入一些限制。本文研究的第二个问题是在跳扩散模型框架下考虑了采用门 槛策略进行分红的股份制保险公司股东在公司破产之前累计收到红利的期望贴 现值( 即公司价值) 、公司的破产概率以及g e r b e r - s h i u 贴现惩罚函数。在跳扩 散框架下，这些函数满足的是一个具有间断系数的两相积微分方程边值问题， 即函数在分红门槛两侧分别满足不同的积微分方程，这个问题的求解具有一定 的难度。本文给出了一种新的一般的方法求解该类问题，最后得到了该类问题 的通解的闭合解形式。 对于给定红利分配策略的红利分配问题，人们比较关心的是采用给定的 红利分配策略时，怎么选择红利分配水平才能使值函数达到最优? 因此，对 于红利分配问题我们最后讨论了对于给定的红利分配策略( 障碍策略和门槛 策略) ，它的最优的分红水平以及当最优的分红水平被达到时值函数应当满 足的条件，并给出了一个证明该条件的一般框架。这是本文的第三个问题。 在该问题中，采用障碍策略进行分红与采用门槛策略进行分红是两个不同类 型的自由边界问题，问题的难点在于得到相应的自由边界条件。1 9 6 5 年诺贝 尔经济学奖获得者s a m u e l s o n 曾指出：这个条件来自于h i g hc o n t a c t 原理，即解 在最优策略附近具有较高一阶的可微性，接着m c k e a n ( 1 9 6 5 ) ，m o e r b e k e ( 1 9 7 6 ) ， o k s e n d a l ( 1 9 9 0 ) 分别对一相情形，即解在最优策略一侧具有平凡形式，进行了 证明，而对二相情形至今没有任何结果。本文中我们提出了一个新的研究框 架，并对一般二相问题的h i g hc o n t a c t 原理给出了严格证明，从而对无穷区问情 形( 常微积微分方程) 和有限时间区间情形( 抛物积微分方程) 分别建立了障 碍策略和门槛策略的最优红利分配模型 最后。随着金融市场的发展和完善，投资者对金融风险的承受力的增强， 发行企业债券成为公司融资的重要渠道。但企业债券的明显特性是具有信用风 险。本文着重研究了三种信用相关合约的定价问题。首先采用约化与结构化相 结合的方法在违约强度服从随机过程的假设下给出了公司债券定价的解析表达 式；其次考虑了一种采用了降低信用风险手段即建立偿债基金的债券的定价； 最后我们研究了嵌入信用风险因素的股票期权以及权证的定价问题。 关键词：红利分配，b a r r i e r 策略，t h r e s h o l d 策略，h i g hc o n t a c t 原理，最优 投资，投资约束，信用风险，偿债基金，期权定价 n s t t a c ta b a b s t r a c t s o m et h e o r i e sa b o u td i v i d e n dp a y m e n ta n dc r e d i tr i s ka r ed i s c u s s e di nt h i s p a p e r u s i n gt h e o r i e so fs t o c h a s t i ca n a l y s i sa n df i n a n c i a le n g i n e e r ，b a s e do nt h e - o r i e so fp d e ，t h eo p t i m a ld i v i d e n dp a y m e n ta n di n v e s t m e n ts t r a t e g i e sa n dt h e r u i np r o b a b i l i t yo fas h a r ec o m p a n ya r ec o n s i d e r e da 8w e l l 阳s o m e t h i n ga b o u t c r e d i tr i s k f i r s t l y , o p t i m a li n v e s t m e n ta n dd i v i d e n dp a y - o u ts t r a t e g i e so fac o m p a n y s u c h 船a ni n s u r a n c ef i r mi sd i s c u s s e d w 色a s s u m et h er 圈e r v eo ft h ec o m p a n y i sm o d e l l e db yab r o w n i a nm o t i o na n dt h ec o m p a n yc a ni n v e s ti t sr e s e r v ei na r i 8 k ya s s e tw h o s ep r i c ep r o c e s si sg o v e r n e db yag e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n t h e o b j e c t i v ei st of i n da l li n v e s t m e n tp o l i c ya n da d i v i d e n dd i s t r i b u t i o ns c h e m et o m a x i m i z et h ee x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo ft h et o t a ld i v i d e n dd i s t r i b u t i o n s 、t h e m a i nf e a t u r eo ft h i sp a p e ri st h e r ea r ec o n s t r a i n t so ni n v e s t m e n ts u c ha ss e l l i n g - s h o r ta n db o r r o w i n gc o n s t r a i n t s t h ec s s ei nw h i c ht h e r ei sn or e s t r i c t i o no nt h e d i v i d e n dp a y - o u ti sd e a l tw i t hh e r e 弛g i v e sr i s et oam i x e dr e g u l a r - s i n g u l a r s t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e m ad e l i c a t ea n a l y s i 】si sc a r r i e do u to nt h eh a m i l t o n - j a c o b i - b e u m a n ( h j b ) e q u a t i o n ，l e a d i n gt ot h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n dd i v i d e n d d i s t r i b u t i o np o l i c i e s b a s e do nt h i s 眦a n a l y t i c a le x p r e s s i o no ft h ev a l u ef u n c t i o n i so b t a i n e d s e c o n d l y , t h er u i np r o b a b i l i t yo fa ni n s u r a n c ec o m p a n yi sd m c u s s e d i nt h e a b s e n c eo fd i v i d e n d s ，t h es u r p l u so fa ni n s u r a n c ec o m p a n yi sm o d e l l e db yac o m - p o u n dp o i s s o np r o c e s sp e r t u r b e db yd i f f u s i o n d i v i d e n d sa r ep a i da tac o n s t a n t r a t ew h e n e v e rt h em o d i f i e ds u r p l u si sa b o v et h et h r e s h o l d ，o t h e r w i s en od i v i d e n d s a r ep a i d t w oi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o rt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dd i v i d e n d p a y m e n t sp r i o rt or u i na r ed e r i v e da n dc l o s e df o r ms o l u t i o n sa r eg i v e n a c c o r d - i n g l y , t h eg e r b e r - s h i ue x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na n ds o m er u i nr e l a t e d f u n c t i o n a l s ，t h ep r o b a b i l i t yo fu l t i m a t er u i n ，t h et i m eo fr u i na n dt h es u r p l u sb e - f o r er u i na n dt h ed e f i c i ta tr u i n ，a r ec o n s i d e r e da n dt h e i ra n a l y t i ce x p r e s s i o n sa r e g i v e nb yg e n e r a ls o l u t i o nf o r m u l a s f i n a l l yt h em o m e n t - g e n e r a t i n gf u n c t i o no f t h et o t a ld i s c o u n t e dd i v i d e n d su n t i lr u i ni sd i s c u s s e d 旦茎奎耋堡圭兰堡望塞 t h i r d l y , t h eh i g hc o n t a c tp r i n c i p l ei no p t i m a ld i v i d e n dp a y m e n ti sc o n s i d - e r e di nt h ef r a m e w o r ko fj u m p - d i f f u s i o n ，i e ，t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dd i v i d e n d p a y m e n tp r i o rt or u i ns h o u l dh a v em o r er e g u l a r i t i e sa tt h eo p t i m a ld i v i d e n dp a y - m e n tb o u n d a r yw h e nt h eo p t i m a ld i v i d e n dp a y m e n tl e v e li st a k e n t h ep r o b l e m i sd i s c u s s e di nt h i sp a p e rw i t ht h ea s s u m p t i o nt h a tt h es u r p l u so fa ni n s u r a n c e c o m p a n yi s9 0 、，e m e db yac o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o n a n dd i v i d e n di sp a i da c c o r d i n gt oab a r r i e rs t r a t e g yo rat h r e s h o l ds t r a t e g y 7 n l e h i g hc o n t a c tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rt w oc a 日荡n o to n l yi nt h ei n f i n i t eh o r i z o n b u ta l s oi nt h ef i n i t eh o r i z o n f i n a l l y , 8 0 m ep r o b l e m so nc r e d i tr i s ka x ed i s c u s s e d i nt h eb e g i m l i n g a n a n a l y t i c a lp r i c i n gf o r m u l ao fc o r p o r a t ed e f a u l t a b l eb o n dw i t hb o t he x p e c t e da n d u n e x p e c t e dd e f a u l ti nt h et w o - f a c t o rm o d e la n dt h r e e - f a c t o rm o d e l ，r e s p e c t i v e l y i nt h ec a s eo ft h et w o - f a c t o rm o d e l ，t h ei n t e r e s tr a t ei sc o u s t a n t ，t h ea s s e tp r o c e s s i 8g o 、r e r n e db ya g e o m e t r i cb r o w n l a np r o c e s sa n dt h ed e f a u l ti n t e n s i t yf o l l o w sa v 曲i c e k 1 i k em o d e l w m l ei nt h ec a s eo ft h r e e f a c t o rm o d e lt h es h o r ti n t e r e s tr a t e i sa s s u m e ds t o c h a s t i ca n df o l l o w sv a s i c e km o d e l t h e nt h eb o n dw i t h8 i n l ( i 玎【争 f u n di sc o n s i d e r e d t h ee x p l i c i te 坤r e s s i o no ft h eb o n di so b t a i n e d i nt h ee n da n e wp r i c i n gf o r m u l ao fs h a r eo p t i o ni sg i v e n t h et r a d i t i o n a lb - sm o d e li so nt h e a s s u m p t i o nt h a tt h ep r i c eo fs h a r ei sg o v e r n e db yg e o m e t r i cb r o w n l a nm o t i o n ， w h o s ed r a w b a c ki so b v i o u s l yt h a tt h ep r i c eo fs h a r ec a nn o tb ez e r oo rt h ef i r m i s s u i n gt h es h a r e sw i l ln o tg ob a n k r u p t c y i td o e s n tm a t c ht h er e a lm a r k e t i n t h i sp a p e r ，w ed e a lw i t ht h ec r e d i tr i s ko ft h ef i n nw i t hr e d u c e df o r ma p p r o a c h ， o b t a i n i n gt h ep r i c i n gf o r m u l af o rt h eo p t i o na n dw a r r a n t w ea l s od i s c u s st h e i m p a c to ft h ec r e d i tr i s ki np r i c i n go fo p t i o n k e y w o r d s ：b a r r i e rs t r a t e g y ；c o m p o u n dp o i s s o nm o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o n ； d i v i d e n dp a y m e n t ；h i g hc o n t a c tc o n d i t i o n ；t h r e s h o l ds t r a t e g y ig e r b e r - s h i ud i s - c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n ；r u i nr e l a t e df a n c t i o n a i s ；c o n s t r a i n t so ni n v e s t m e n t ；c r e d i t r i s k ；r e d u c e d - f o r m ；o p t i o np r i c i n g ；s i n k i n g - f u n d i v 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。同意如下 各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本：学校有权保存学 位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存 论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务； 学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在 不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术 活动。 学位论文作者签名： 年月日： 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 指导教师签名： 年月 日 学位论文作者签名： 年月日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 签名： 年月日 第1 章引言 第1 章引言 在过去的整个2 0 世纪里，金融学的发展经历了数次里程碑式的革新，定量 研究越来越引起人们的重视，数学的思想和方法在整个现代数理金融研究中得 到了广泛、深入和成熟的运用。1 9 5 2 年h a r r ym a r k o w i t z 提出的投资组合理论通 常被认为是现代金融学的发端。这一理论的问世，使金融学开始摆脱纯粹描述 性的研究和单凭经验操作的状态，数量化方法进入了金融领域。m a r k o w i t z 的工 作所开始的数量化分析技术和m m 理论中的无套利均衡思想想结合，酝酿了后 续一系列金融学理论的重大突破。 投资优化问题从上世纪以来一直都是金融研究的热点和前沿问题。自h a r r y m a r k o w i t z 第一次系统地利用数理统计的语言描述了金融市场上投资者的可能行 为，建立了投资组合理论最早的均值一方差模型以来，随着全球各主要金融市 场的迅速发展投资机会的日益增多，投资环境的不断复杂化以及现代数学科 学的发展，许多学者利用现代数学方法、工具研究了各种投资优化的模型。目 前，由于金融全球化以及中国加入w t o 的影响，中国的金融市场与国际接轨势 在必行，投资者将面临更多的投资机会以及更加复杂的投资环境，故开展投资 优化问题的研究具有重要的实际意义 红利分配问题来源于对股份制公司金融财务决策问题的研究。现代金融学 研究的核心问题是企业的金融财务决策，决策的核心问题是收益与风险的权 衡，管理的目标是企业价值的最大化。1 9 6 1 年m i l l e ra n dm o d i g l i a n i 证明了在完 全确定性的假设下股份制公司的资产可以看成股份持有者收到的红利的现值。 后来s e t h ie ta 1 ( 1 9 8 4 ，1 9 9 1 ) ，s e t h i ( 1 9 9 6 ) 证明了在随机环境下这个结论 也是成立的。因此，对于股份制公司来说，企业的价值可等同于股份持有者收 到的红利的现值，企业价值的最大化也就是股份持有者收到的红利的现值的最 大化。一直以来，很多学者从保险精算的角度来考虑股份制保险公司的红利分 配问题，讨论最优的红利分配策略以及公司的破产概率问题。 在本文中我们在前人的基础上首先考虑了基于投资约束的最优红利分配问 题，即将投资优化问题与最优红利分配问题综合起来研究，并且为了更加贴近 实际，考虑了市场对投资策略有约束的问题。在此情形下得到了公司最优的红 利分配策略以及一定条件下的公司的最优的投资策略，并且给出了在此条件下 值函数的闭合解形式 同济大学博士学位论文 通过对基于投资约束的红利分配问题的研究，我们发现最优的红利分配 策略是障碍策略，但是人们经过研究发现若公司采用障碍策略进行红利分配 的话，公司一定会破产。因此，考虑到公司的成长性，有人提出了对红利分 配策略加入一些限制。在本文中，我们讨论了当公司采用t h r e s h o l d 策略进行 红利分配时公司股东最终收到的期望贴现累计红利分配、公司的破产概率以 及g e r b e r s h i u 贴现惩罚函数。这些函数满足一个两相的间断系数积微分方程问 题，我们最终得到了解决这类问题的一般方法，并给出了它的闭合解形式。 对于给定红利分配策略时的红利分配问题，人们自然比较关心采用给定的 红利分配策略时，怎么选择红利分配水平才能使值函数达到最优? 因此，对于 红利分配问题我们最后讨论了对于给定红利分配策略，它的最优的分红水平以 及当最优的分红水平被达到时值函数应当满足的性质问题。通过研究我们发现 当最优的分红水平问题满足的是一个自由边界问题，即此时值函数要满足h i g h c o n t a c t 原理。对于这个问题，我们不仅讨论了无限时间区间上的情形也讨论了 有限时间区间上的情形而且对于两种情形我们均讨论了采用障碍策略和门槛 策略时的情况。对于前者来说，它是一个一相问题；而对于后者，值函数满足 的是一个间断系数的两相积微分方程问题( 包括o d e 和p d e 情形) ，这大大增 加了问题的难度。幸运的是，我们解决了这些难题并找到了一个通用的方法证 明h i g hc o n t a c t 原理。 对于红利分配问题，我们分为三章来考虑。首先是基于投资约束的最优红 利分配问题 1 1 基于投资约束的最优红利分配问题 在这一节里我们介绍一下基于投资约束的最优红利分配问题最优红 利分配模型来源于对股份制公司金融财务决策问题的研究。现代金融学 研究的核心问题是企业的金融财务决策，决策的核心问题是收益与风险 的权衡，管理的目标是企业价值的最大化。1 9 6 1 年m i l l e ra n dm o d i g l i a n i 1 7 发表论文证明了在完全确定性的假设下股份制公司的资产可以看成股份持 有者收到的红利的现值。后来s e t h ie ta 1 ( 1 9 s 4 ，1 9 9 1 ) 2 1 2 2 ，s e t h i ( 1 9 9 6 ) 2 3 i 正 明了在随机环境下这个结论也是成立的。红利分配问题研究的就是如何制 定最优的红利分配策略使得公司的价值最大化。因此，对于股份制公司来 说，企业的价值可等同于股份持有者收到的红利的现值，企业价值的最大 化也就是股份持有者收到的红利的现值的最大化。自从上世纪以来很多学 2 第1 章引言 者从事这个问题的研究，其中有很大一部分从保险精算的角度来考虑最优 分红问题，比如d ef i n e t t i ( 1 9 5 7 ) 9 ，b o r c h ( 1 9 6 7 ，1 9 6 9 ) 2 3 ，b i i h l m a n n ( 1 9 7 0 ) 6 1 ， g e r b e r ( 1 9 7 2 ，1 9 7 9 ) 1 0 【1 1 】以及b u z z i ( 1 9 7 4 ) 7 。 在研究最优分红模型时，人们对公司资产运营过程的建模主要有三种：一 种采用古典的c r d m e r - l u n d e r b e r g 模型( 1 9 0 3 ) ，即复合p o i s o n 过程：一种采用 控制扩散模型；还有一种是把前两种过程综合起来的跳扩散模型。s a d l l e ra n d s h e p p l l 9 11 9 9 6 年证明了控制扩散过程可以看成是复合p o z s s o n 过程的极限过程。 之后很多学者在这方面有很大的兴趣，在控制扩散模型下从不同的角度讨论 了最优红利分配问题：a s m u s s e na n dt a k s a r ( 1 9 9 7 ) 1 1 考虑了仅有分红控制的模 型，公司的收入和风险来自自营业务h o j g a a r da n dt a k s a r ( 1 9 9 8 ) 1 2 考虑具有 风险控制的最优分红模型，他们在a e i l l l 目s e na n dt a k s a r 的基础上考虑了采取 成比例再保险来控制风险。t a k s a ra n dz h o u ( 1 9 9 s ) 2 0 1 考虑具有债务支付的模 型。h o j g a a r da n d7 i 豳a r ( 2 0 0 1 ) 【1 5 】研究了考虑投资的模型，在利用再保险控制 风险的同时，公司将资产全部投资到某种证券上时的最优分红模型。c h o i l l i ， t a k s a ra n dz h o u ( 2 0 0 3 ) 8 研究了采取商业手段来控制公司风险的分红模型。张 磊( 2 0 0 4 ) 考虑支付交易费的分红模型。 在本文中我们考虑了一个股份制保险公司的投资分红问题。假设公司的 资产过程x ( t ) 服从控制扩散模型，公司投资a ( t ) 元在一种风险资产上，这种 风险资产的价格过程服从几何布朗运动。市场对投资策略有限制，假设限制 卖空以及借款，即投资头寸a ( t ) 必须满足0sa ( t ) 曼x ( t ) ，其中a ( t ) o 表 明投资不能卖空，a ( t ) x ( o 表示不能从外部借款进行投资，即投资不能超 过公司总的资产值。我们的目标是寻找最优的分红以及投资策略以使得公司 的价值最大化，根据m i l l e ra n dm o d i l i a n i 的理论，也即是使得股东在公司破产 之前累计分得的贴现红利最大化。这是一个有约束的最优控制问题。利用随 机控制理论我们可以推得该问题的值函数对应的h j b 方程是一个有约束的完 全非线性二阶常微分方程。基于微分方程的理论我们讨论了值函数的性质， 最优的红利分配策略以及一定条件下公司的最佳投资策略，并且得到了在此 条件下值函数的解析表达式。相比于前人的研究来说，本部分的难点在于考 虑了公司进行投资并且投资策略是有约束的。这是一个比较复杂的完全非线 性h a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a n ( h j b ) 方程的一个自由边界问题分析透彻这个问 题，有重要的理论和实际意义 3 同济大学博士学位论文 1 2 跳扩散模型下采用门槛策略的红利分配问题 在保险精算领域人们从事最优红利分配问题的研究已经有半个多世纪了 在传统意义上，保险公司的精算主要是跟公司的的金融管理以及其他的金融系 统有关，特别是跟他们的清算有关系。但是人们发现如果采用古典模型来确 定公司的破产概率，公司的残值能够无限制的增长，这是非常不现实的。于 是，d ef i n e t t i 9 1 9 5 7 年提出了一个更有实际意义的模型，即考虑保险公司的 红利分配问题。特别地，他考虑了一个离散的分红模型：保险公司分别以概 率毒周期性地获得+ 1 元或一1 元，如何制定最优的分红策略使得公司股东累计收 到的期望贴现红利最大化? d ef i n e t t i 经过研究发现最优的分红策略一定是障 碍( b a r r i e r ) 策略，即存在一个最佳的分红水平，我们称之为障碍，当公司的资 产值超过这个障碍时公司就把超过的部分当成红利分配出去，如果公司的资产 值低于这个障碍，公司就不分配红利。d ef i n e t t i 的这个思想引起了很多学者的 兴趣，m i y a s a w a ( 1 9 6 2 ) 3 2 ，t a k e u c h i ( 1 9 6 2 ) 3 4 ，以及m o r i l l ( 1 9 6 6 ) 3 3 都作了基础 性的工作。此后在各种情形下寻找最优的分红策略的问题也被纷纷被研究，比 如我们在第一节里面介绍的各种考虑最优分红的情况。 人们经过研究发现，在上述各种情况下最优的分红策略总是障碍策略， 也即是存在个分红水平b ，在b 处公司修正后的资产值被反射，超过的部分被 分红。但是这样得到的红利流跟实际中的情况不太符合，因为在采用障碍策 略进行分红的情况下，人们发现公司最终肯定会破产。为了改善这种情况， 有些学者对红利分配策略加上一些限制，j e a n b l a n c - p i c q u $ 和s h i r y a e v 1 6 1 以 及a s m u s s e n 和t a k s a r 1 1 提出了一种有界红利率的策略，即每单位时间支付的 红利不应当超过一个上限，我们记为o l 他们证明了在这种情况下最优的分红策 略为广义障碍策略，这里我们称之为门槛策略( t h r e s h o l ds t r a t e g y ) 。在这个分红 策略下，存在一个门槛b ，当公司修正后的残值超过b 时，单位时间内以事先确 定的常数比率口支付红利，若残值低于门槛b ，则不支付红利。 很多学者对采用门槛策略进行分红的红利分配问题进行了研究。首 先g e r b e ra n ds h i u 2 7 1 2 0 0 6 年对公司资产过程服从控制扩散模型时的红利分 配问题作了透彻研究，并分析了他们的金融意义，然后他们的另外一篇 文章g e r b e ra n ds b _ i u 2 6 考虑了资产过程为复合p o i s s o n 过程的情况。l i na n d p a v l o v a 3 0 1 2 0 0 6 年也针对资产过程为复合p o i s s o n 过程的红利分配问题进行了详 细的讨论前面的这些研究不论假设公司的资产过程服从控制扩散模型还是复 4 第1 章引言 合p o i s s o n 过程，均假设保险公司单位时间内收到的保费为常数，这是与实际现 象不太符合的，因此本文中我们考虑了资产过程服从g e r b e r ( 1 9 7 0 ) 5 8 扩展后的 模型跳扩散模型，即在古典的c r a m 4 m e r - l u n d e r b e r g 模型中加入了一项独立 的扩散运动，表示随机干扰造成的保费收入的不确定性，比如季节、气候、经 济波动、国际环境等各种随机因素造成的影响。 在本文中我们考虑下面的残值过程： n ，( o x ( t ) = z + d + a w ( t ) 一芝：历，t 2 0 ， ( 1 2 1 ) 面 其中 ( t ) ；t 0 ) 是p o i s s o n 过程，强度为a ，表示到t 时刻为止累计发生的理赔 次数，磊，t = 1 ，是独立于 ( ) ；t2o 的独立同分布随机变量，具有分布 函数p ( z ) = p ( z 力以及密度函数p ( z ) ；f 彤( t ) ；2o ) 是一个标准w e i n e r 过 程，独立于复合p c 恤0 n 过程s ( t ) ：= e 骘五且盯 o 为波动率在上面的模 型中，z = x ( o ) 芝。是初始资产值，c = a p l ( 1 + 日) 是单位时间内收到的保 费，0 0 是安全因子。 保险公司按照门槛策略支付红利。对于t20 ，设d ( t ) 为到t 时刻为止累计支 付的红利，则 x ( t ) = x ( t ) 一d ( t )( 1 2 2 ) 为t 时刻公司的残值过程。我们称贾( t ) 为修正后的残值过程。设6 0 为贴现 率，巩j 为公司破产之前的贴现红利支付，即 ，死 见 = e r i d ( t ) ，( 1 2 3 ) 其中b 为红利分配水平，乃为破产时刻。 对于z20 记y ( b ) 为见，b 的期望值， y p ；6 ) = e 【口蚰f x ( o ) = 卅( 1 2 4 ) 经过分析我们知道值函数y ( z ；6 ) 在门槛b 的两侧具有不同的函数形式，记为 y ( z ；： h 扛6 l o sz s6 ( 1 2 5 ) i ( z ；，b s z ：五， t 20 ( 1 3 1 ) f f i l 其中 ( t ) ；t o ) 是p o i s s o n 过程，强度为a ，表示到t 时刻为止累计发生的理赔 b 第1 章引言 次数。五，i = 1 ，是独立于 ( t ) ；t o ) 的独立同分布随机变量，具有分布 函数p ( z ) = p ( zs2 ) 以及密度函数p ( z ) ( t ) ；t 0 ) 是一个标准w e i n e r 过 程，独立于复合p o i s s o n 过程s ( ) ：= 磐五且盯 o 为波动率。在上面的模 型中，。= x ( o ) 芝o 是初始资产值，c = a p l ( 1 + p ) 是单位时间内收到的保 费，0 0 是安全因子。 保险公司按照障碍策略或者门槛策略来支付红利即对于给定的红利分配 水平b 0 ，如果公司修正后的残值低于b ，则不支付红利；如果残值高于b ， 则将超过的部分当成红利分配出去( 障碍策略情形下) 或者以事先确定的比 率n 2o 支付红利。 对于t 0 ，设d ( t ) 为到t 时刻为止累计支付的红利，则 x ( t ) = x ( t ) 一d ( t )( 1 3 2 ) 为t 时刻公司的残值过程。我们称戈( ) 为修正后的残值过程设5 0 为贴现 率，瓦为公司的破产时刻，i k j 为无限时间区间上公司破产之前累计的贴现红 利支付，即， 见 = e - e d d ( t ) ， ( 1 3 3 ) j 0 则对于z 0 ，记y ( z ；6 ) 为见b 的期望值， v ( z ；b ) = e 【d ，, i x ( o ) = 叫( 1 3 4 ) 最优的红利支付问题为找一个最优的红利分配水平6 ，使得 y ；6 ) 2 “n 1 8 ：d x 。v ( 墨6 ) ( 1 3 5 ) 那么对于给定的水平b ，在障碍策略情形下， 吩) ： 罨， 0 “6 ( 1 3 6 ) i k ( z ；b ) = z b + n ( 6 ；6 ) ，b z 其e e y l ( x ) 满足下面的积微分方程( l i 2 8 ) c 1 m 垒i i t - h , 7 ( $ ；6 ) + d ( z ；6 ) 一( a + 6 ) h ( z ；6 ) + a m ( z 一罨b ) p ( z ) d z = 0 ， o j 0 ( 1 3 7 ) 以及边界条件 k ( o ；6 ) = 0 ， ( 1 3 8 ) 巧( 6 ；b ) = 1 ( 1 3 9 ) 边值问题( 1 3 7 ) ( 1 3 9 ) 的解可以表示为如下形式( l i 2 8 ) ( 巧6 ) ：桨 ( 1 3 1 0 ) gl d j 7 同济大学博士学位论文 其中g 扛) 为问题( 1 3 7 ) 一( l 3 8 ) 在区间z ( 0 ，o 。) 的解。所以( 1 3 5 ) 成立的必要条 件等价于 g c b ) = 0 也即是 吖( 6 一0 ，6 ) = 0 ( 1 3 1 1 ) 由6 z 6 时具有一个平凡形式的解 k 0 ；6 ) = ( 6 ；矿) + z 一6 因此我们只需要考虑0 z 6 时y ( z ；6 ) 的形式这种情况称为最优红利分配 的一相问题。 上面的讨论非常简单明了，但是不幸的是这种方法不能推广到一般情形。 因为在其他的最优问题中比如采用门槛策略的最优红利分配问题中，问题的解 不能表示成形如( 1 3 1 0 ) 的特殊形式。为了证明更一般情形下的h i g hc o n t a c t 原 理，我们必须找到一个新的方法并且这种方法的证明不能依赖于问题的解的 形式。 采用门槛策略的最优红利分配问题是找一个最优的门槛矿使得 y p ；矿) 2 “m 。a 。x 。v ( x ；b ) ( 1 3 1 4 ) 采用门槛策略进行分红时，值函数y ( z ；6 ) 在门槛的两侧分别具有不同的表示形 式，记为 咐： 吲罨咄吣“6 ( 1 3 1 5 ) ik ( z ；6 ) ， b z 第1 章引言 其中h ( z ；6 ) ，k ( 分别满足下面的边值问题， l 扛) = 0 ，( 1 3 1 6 ) 和 c 2 k ( z ) = 0 ， ( 1 3 1 7 ) 这里c 1 如( 1 3 7 ) 定义， c 2 皇雩嘭( z ；6 ) - 4 - ( c 一口