（工程力学专业论文）汽车转向轮摆振的分岔研究.pdf

摘要 车辆前桥、转向轮系统的摆振是一种相当复杂的振动现象。虽然国内外已经 发表了很多有价值的文章，但是摆振问题仍然没有彻底解决。随着汽车稳定性和 舒适性要求的不断提高，传统的线性方法已经不能满足复杂汽车系统的建模和减 振的要求。 本文以非独立悬架汽车n j 2 2 1 越野车为研究对象，建立了包括前轮绕其各 自主销摆动角和前桥绕其侧摆纵轴摆动角在内的三自由度力学模型，并考虑侧偏 角和侧偏力之间的非线性关系，系统全面地研究了汽车在运行过程中出现的分岔 现象。运用常微分方程的稳定性理论找到了汽车运行的平衡点并确定各个平衡点 的类型和稳定性，针对特性复杂的平衡点进行了深入的研究，利用h u r w i t z 判据 发现系统存在h o p f 分岔点，并得出汽车各参数设置对这些分岔点位置的影响。 运用非线性动力系统理论对汽车设计参数下的h o p f 分岔进行了分析，得到摆振 的类型及振幅与速度关系，并利用数值模拟方法验证了结果的可信性。为了更深 入地分析系统的动力学特性，本文对所得到的分岔方程进行了奇异性分析，建立 了该类系统受到微小扰动时的拓扑分岔解与开折参数之间的联系，得到了系统的 普适开折分岔图，可根据需要的运动模式，选择合理的系统参数。 本文从理论上对非独立悬架汽车前桥、转向轮系统摆振现象作了较为全面深 入的探讨，揭示出一些定性或定量的规律，对汽车参数的设计和动力学分析有一 定的指导意义。 关键词：摆振h 0 p f 分岔中心流形理论规范形理论奇异性理论 a b s t i u c t v e h i c l es t e e r i n gs y s t e ms h i m m yi sak i n do fc o m p l i c a t e dv i b r a t i o n t h o u g hm a n y v a l u a b l ep a p e r sh a v e b e e np u b l i s h e dd o m e s t i c a l l ya n do v e r s e a s ，t h ep r o b l e mi ss t i l l n o ts o l v e dt h o r o u g h l y w i t ht h er a i s i n go ft h ed e m a n do fh a n d l i n gs t a b i l i t ya n dr i d i n g c o m f o r t ，c l a s s i c a ll i n e a rm e t h o d sc a n tm e e tt h er e q u i r e m e n to fa u t o m o b i l es y s t e m i c m o d e l i n ga n dr e d u c i n gs h i m m ya n ym o r e i t h en o n l i n e a rr e l a t i o n s h i pb e t w e e ns h pa n g l ea n dl a t e r a lf o r c eh a sb e e n c o n s i d e r e dt oc o n s t r u c tas h i m m ym o d e lo ft h r e ed e g r e e so ff r e e d o m , w h i c hi n c l u d e s v i b r a t i o no ff r o n tw h e e l sa r o u n dt h ek i n gp i na x i sa n dv i b r a t i o no ff r o n tb r i d g ea r o u n d t h el o n g i t u d i n a la x i s ，t h es y s t e mp a r a m e t e r sa r eb a s e do nt h en j 一2 21c r o s s - c o u n t r y v e h i c l ew i t hd e p e n d e ds u s p e n s i o n t h eb i f u r c a t i o nc h a r a c t e r st h a tt h ea u t o m o b i l e r u n n i n ga r es t u d i e ds y s t e m a t i c a l l ya n dc o m p r e h e n s i v e l y 乃ee q u i l i b r i u mp o s i t i o n so f t h es y s t e ma n dt h e i rc h a r a c t e r sa l es t u d i e db yt h es t a b i l i t yt h e o r yo fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt h ef u r t h e tr e s e a r c ho nc o m p l i c a t e de q u i l i b r i u mi sc a r r i e d o u t 。i ti sf o u n dt h a tt h eh o p fb i f u r c a t i o n sa r ee x i s ti nt h i ss y s t e ma n dt h ei n f l u e n c e so f t h ea u t o m o b i l ep a r a m e t e r so nt h e s eb i f u r c a t i o n sa r ef o u n d e dw i t hh u r w i t zc r i t e r i o n t h eb i f u r c a t i o nc h a r a c t e r sa r ea n a l y z e db yn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e mt h e o r y ，t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ea m p l i t u d ea n dv e l o c i t yi s d i s c o v e r e da n dt h er e s u l ti s v a l i d a t e db yt h en u m e r i c a la n a l y s i sm e t h o d 脚m e a n so fc o n s t r u c t i n gt h er e l a t i o n so f t o p o l o g yb i f u r c a t i o ns o l u t i o no ft h i sk i n do fs y s t e ma n du n f o l d i n gp a r a m e t e r so ft h i s s y s t e m , u n i v e r s a lu n f o l d i n gb i f u r c a t i o nf i g u r e sa l eo b t a i n e d i ti sc o n v e n i e n tt oc h o i c e r e a s o n a b l es y s t e mp a r a m e t e r sa c c o r d i n gt or e q u i s i t em o t i o nm o d e l sb yt h e s ef i g u r e s c o m p r e h e n s i v er e s e a r c ho nt h es h i m m yo ff r o n tb r i d g ea n dt u r n i n gw h e e ls y s t e m o fd e p e n d e ds u s p e n s i o ns y s t e mi sp r e s e n t e d ，a n ds o m eq u a n t i t a t i v eo rq u a l i t a t i v e r e g u l a r i t ya r ef o u n d , w h i c hh a v es o m ed i r e c t i v es i g n i f i c a n c ef o rt h ed e s i g no f a u t o m o b i l ep a r a m e t e r sa n dd y n a m i c sa n a l y s i s k e yw o r d s ： s h i m m y , h o p fb i f u r c a t i o n ，c e n l t em a n i f o l dm e t h o d , n o r m a lf o r m m e t h o d , s i n g u l a r i t ym e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：痞，1 ；，瓠签字日期：砷年f 月f7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丕盗盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤盗盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数掘库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：詹上，、夕南 导师签名： 签字日期：矿7 年f 月 f7 日 张颉冯 签字日期：珈7 年月力日 | 第一章绪论 第一章绪论 广义的汽车操作机构应该包括直接进行操纵的转向机构和与其相连接的前 轮以及支撑前轮的前桥等三个部分。在汽车操纵机构的振动中，人们最关心的是 以下三种振动：前桥相对于车身的横向振动、前桥绕汽车纵轴的角振动和前轮绕 主销的角振动。这三种振动有一定的联系，又互相影响，从而成为一种复杂的振 动。因此在汽车工业中常将这三种振动统称为汽车的摆振。其中转向轮绕主销的 振动，即前轮摆振最为复杂，对汽车性能影响也最大，所以在本文做重点研究。 1 1 前轮摆振现象及危害 1 1 1 强迫型振动与自激型振动 为了让现代汽车获得较好的驱动性或舒适性，人们多采用在径向和侧向都有 弹性的充气轮胎作为其行走装置。由于轮胎有侧向变形，转向机构的横拉杆和纵 拉杆也都是有弹性的元件。因此，汽车行驶时，装有充气轮胎的转向轮在一定工 况下会发生绕主销的持续的振动现象，这种振动称为“转向轮摆振”。由于多数 汽车的转向轮为前轮，所以转向轮摆振又称为“前轮摆振9 99 俗称“摆头”【1 2 】。 根据摆振的振动特性和表现特性不周，汽车前轮摆振可以分为两类：是强迫振 动性质的高速摆振，二是自激振动性质的低速摆振。 汽车前轮的高速强迫摆振是在汽车直线行驶过程中，有个周期性的激励力 ( 或力矩) 作用在前轮上，使之产生绕主销的摆振。此时，汽车前轮的摆振频率 与作用在汽车前轮上的周期性的激励力( 或力矩) 的频率一致，而摆振的振幅与 这个周期性的激励力( 或力矩 的大小成正比。汽车前轮的强迫振动多是由于车 轮的失衡引起的：车轮回转时，由于动不平衡将产生沿车轮半径方向的离心惯性 力，它的水平分力对主销产生一个力矩，此力矩将使车轮绕主销回转。它是周期 性变化的，其频率决定于车速。当离心力的频率与前轮绕主销振动的固有频率接 近时，就会发生强烈的摆振。离心惯性力的垂直分力会引起前桥绕汽车纵轴转动 和使车轮上下跳动。 汽车前轮的低速摆动属于自激振动，一般认为是由弹性轮胎和地面的相互作 用，即地面对胎体产生的作用力和回正力矩引起的。汽车前轮自激振动的影响因 素较多，主要为轮胎特性和前轮的定位参数。虽然自激振动的频率低，但振幅较 第一章绪论 大，危害也较大p j 。 在这种自激振动系统中，存在着非线性阻尼的作用并且这种非线性阻尼对 于较小的速度有使振幅增大的趋势，是负阻尼作用4 ，对于较大的速度有使振幅减 小的趋势，是正阻尼作用。自激振动不需要周期性的外力驱动，仅靠系统内各组 成部分相互作用就能维持周期运动，即通过物体在运动中能引起周期性的作用力 来维持本身的振动【4 】。振动的频率和振幅均有自身的物理参数确定，与初始条件 无关。在实际中，自激振动现象在机械、无线电领域甚至人们日常生活中都是广 泛存在的。例如管弦乐器中的空气柱和弦乐器的弦发生自激振动使管弦乐器发出 动听的声音、车刀由于摩擦引起的切削颤振、电子管振荡器的振动、机械钟的摆 锤的摆动、水龙头由于水流的流动而嗡嗡作响、以及人体的呼吸和心脏的跳动等 都是自激振动。这些振动都不需要周期性的外力作用，却可以保持自身的振动。 从能量角度看，如果某一系统本身在运动中能把外部能源转化为激励的能 量，且外部输入能量大于或等于系统内部由于振动而消耗的能量，则系统的振动 可以依靠系统本身来维持。自激振动系统是一个反馈系统。 自激振动型的前轮摆振和强迫振动型的前轮摆振相比具有以下特点p j ： 1 自激振动的发生并不需要周期性的干扰源。当汽车在良好的路面上行 驶时，只要车轮受到一个偶然的冲击。就会产生一个初始偏转，在冲 击消失后，车轮摆振并不停止，而是变成稳定持续的摆振。要消除此 摆振除非采取制动或者减速等措施，否则，摆振不会消失。 2 自激振动并不像强迫振动那样在不稳定车速范围内必然发生，而是在 行驶过程中受到足够大的冲击时，才发生摆振。 3 车轮绕主销做自激振动时，车轮摆振频率与车轮转速( 相当于激振频 率) 并不致，在不稳定车速范围内其振动频率变化不大。 由此可见，自激振动与汽车自身设计参数关系更紧密，也更难以预防和消除， 所以本文主要研究汽车摆振的自激振动情形。 1 1 2 前轮摆振的危害 汽车在行驶过程中，若出现摆振，车轮的轨迹将是波浪形曲线。此时，汽车 出现所谓的“蛇行 现象。若经常出现“蛇行”现象，使轮胎经常处于滑磨状态， 便增加了轮胎的滚动阻力，加剧了轮胎的磨损，增大了转向机构的载荷，降低了 有关零件的使用寿命。在平直路面上行驶时，汽车出现这种现象还会影响直线行 驶的稳定性。另外，前轮摆振还会恶化汽车的操纵性，使驾驶员精神紧张，疲劳 加剧，从而影响行车安全。在这种情况下，驾驶员将被迫降低车速，致使汽车的 动力性、经济性降低，影响汽车的使用性能。“蛇行”现象严重时，还会伴随出 2 第一章绪论 现操纵机构、车架和车身的振动，使平顺性和操作稳定性变坏【6 】。 汽车前轮摆振不但是有害的，面且是较为常见的，是目前国内外汽车普遍存 在的问题之一。因此，汽车的摆振问题受到国内外汽车界的普遍重视。 1 2 国内外研究现状 国外关于车轮摆振的研究最早见于对飞机起落支撑轮的研究，而关于汽车前 轮摆振的研究有五十多年的历史，最早的研究工作是对赛车进行的【2 1 。有关汽车 前轮摆振的文献多发表在5 0 - 6 0 年代【7 j ，他们对摆振的因素进行了多方面的探讨， 取得了一些具有理论意义和实际意义的成果，其主要侧重于轮胎特性对摆振的影 响。为了使轮胎数学模型建立在可靠的理论基础之上，很早就有人专门研究轮胎 的特性。自从1 8 8 8 年英国人d u n l o p 利用充气轮胎原理首次生产出符合充气条件 的橡胶空气轮胎以后，汽车的行驶系普遍采用了在径向和侧向具有弹性的充气轮 胎，以获得良好的轮胎与地面的附着、乘坐舒适性和行驶平滑性。人们对轮胎的 研究也随之开始。在研究轮胎稳态方面，f r o r n m ( 德国) ，f i a l a ( 德国) 等人假 设轮胎骨架为无限长的弹性梁。并导出梁模型的数学表达式i s 】；在研究轮胎动特 性方面，不仅有前述梁模型，而且还有把轮胎骨架看成绷紧弦的弦模型( 荷兰， p a c e j k a t g ) 、单集中和双集中模型( 日本，板下和史、冈田正【1 0 】) 等，后者用 个或两个等效集中力来代替地面作用于轮胎上的侧向分布力，这些轮胎模型都经 过试验的验证，大量的理论研究和实践都证明，轮胎特性是影响摆振的重要因素。 国外对影响摆振的其它各方面因素及摆振的机理也做了大量的探讨，在大量理论 研究和试验的基础上，提出了些行之有效的减振措施。1 9 5 5 年m a r a t r a n t ( 英 国 在试验中用有两条纵向斜花纹的轮胎而减振，而s c h r a d e ( 美国) 采用更宽 更平的轮胎也得到同样的效果，这是通过改变轮胎的宽度或花纹而改变轮胎特性 从而抑制摆振。另外，还有改变前轮定位参数及某些汽车的机构参数来抑制摆振 等许多方法，这些方法都有效地消除了一些汽车的摆振闯题。例如通过研究外力 ( 矩) 作用在轮胎上的机械功讨论车轮的自激振动等【l 。针对不同车型出现的摆 振情况，在理论研究和试验的基础上，提出了一些比较有效的减振措施，例入通 过改变某些汽车的结构、物理参数来抑制摆振等 1 2 1 5 】。 在我国，对汽车前轮摆振问题的研究也有三十多年的历史。六十年代中期， 为了减轻c a l 0 b 型汽车的转向力，将其转向节中的止推垫片改成止推轴承，该 车就出现了前轮摆振现象。仿照它改装的其它车型的前轮摆振现象更严重【l6 i 。因 此，自七十年代后期，我国学者开始对汽车前轮摆振问题进行系统的研究，在理 论和试验方面做了大量艰苦的工作，取得了许多具有理论意义和实际意义的成 3 第一章绪论 果，特别是八十年代以来，陆续发表了几十篇有价值的论文，针对我国一些现有 车型摆振问题进行了深入的研究，提出了一些减振措施，解决了一些车型的摆振 问题。其中清华大学汽车工程系对影响转向轮摆振的各种因素作了全面的分析， 包括转向轮刚度、悬置以上的结构模特参数、车轮定位参数、轮胎特性等。长春 汽车研究所与清华大学汽车工程系合作研究了轮胎动态特性。采用郭孔辉院士提 出的汽车轮胎半经验公式，成功地解释了“蛇形”运动频率对汽车摆振的影响。 长春汽车研究所分析了转向系干摩擦和转向系间隙两种非线性因素对摆振的影 响。吉林工业大学汽车工程系研究了粘性阻尼与转向系统匹配的问题【1 7 硒】。关 于汽车摆振研究一般采用的研究流程为如图1 1 所示方案【2 j 。 图1 - 1n k r 5 5 l l w 载货汽车转向轮摆振系统研究方案流程图 为了控制车辆的摆振现象，国内外科研人员在轮胎模型和汽车前轮摆振模型 方面做了很多具有理论和实用价值的工作。纵观以往的研究成果，对非独立悬架 汽车所建立的前轮摆振数学模型有：三自由度数学模型【2 6 】、五自由度数学模型 2 7 , 2 8 1 和七自由度数学模型 3 1 ( 左右前轮的转角和侧向位移，悬架以上的侧倾摆动 第一章绪论 及前后桥绕轴线的侧倾摆动这七个自由度) ；对于独立悬架的汽车所建立的前轮 摆振数学模型主要是基于转向系统的五自由度数学模型【2 9 】和通过建立复杂的多 体动力学模型来研究车辆的摆振问题【3 5 1 。以往除了对摆振模型车建立力学和 数学模型进行研究外，还采用其它方法对摆振进行研究：文献 3 6 1 0 0 将经验的轮 胎物理仿真模型与动力转向系统的液压模型相结合，确立了种研究悬架和整车 系统动力学的仿真模型，通过这种方法能够有效地研究稳态振动现象和摆振、转 向粗暴以及车轮不平衡引起的悬架系统的瞬间响应问题；文献【3 7 】开发了种能 快捷模拟包括摆振在内的车辆系统复杂动力现象的应用系统；文献【3 8 】通过稳定 性理论研究车轮的自激振动。 目前国内对独立悬架和非独立悬架汽车摆振问题均有研究，但是由于摆振问 题的复杂性，人们对其机理的认识还远远不够，目前主要是根据经验来判断引起 摆振的原因及消除摆振。而且人们已经开始认识到系统的非线性因素在摆振的诱 发和有效控制方面所起到的决定性作用【3 蝴】。由于路面试验耗费很高，而车辆 的运行工况( 车况、路况) 又很难重复实现，所以，在计算机上对各种运行参数 和路面参数进行模拟非常容易。通过大量的仿真对车辆摆振的诱因及有效的抑制 措施进行的优化设计非常经济实用，工程研究人员从中逐渐摆脱了繁重的计算和 大量的手工绘图工作。课题研究以商业软件为手段，已是当今对复杂系统进行动 力学仿真和优化的主要趋势。 由于影响汽车前轮摆振的参数众多，参数之间的相互影响，加上与摆振有关 的结构的运动、受力的复杂性，使得研究尚未完善。总结国内外对摆振的研究工 作，可将影响摆振的结构参数归结为四个方面： 1 轮胎的机械特性和前轮定位参数； 2 汽车转向系统的结构参数； 3 悬置以上的结构模态参数； 4 悬架的有关参数。 国外的早期研究侧重于第一方面，但仍有许多问题尚未研究清楚。国内关于 摆振问题的研究已全面涉及到上述四个方面，尤其是在第一、第二方面投入了大 量的人力物力。第四方面的研究已引起研究人员的注意i 耳川。 1 3 本论文研究内容及各章安排 本文研究的是汽车的自激振动情况，采用的是非独立悬架结构的三自由度汽 车模型，其中轮胎的动态侧偏力的非线性特性采用的是g e r h a r d 】的魔术公式描 述。在这个系统中的轮胎侧偏力上，存在立方结构非线性项。选取速度v 为分岔 5 第一章绪论 参数，当分岔参数变化时，系统可能会产生诸如h o p f 分岔、极限环振动、周期 倍化以及混沌等现象，同时考虑了其它汽车参数对系统的影响。在本文中主要研 究系统的h o p f 分岔。 在参数取汽车设计数值时，系统有五个平衡点( 与速度无关) ，其中有四个 非零平衡点不会发生h o p f 分岔。本文主要针对x 。平衡点进行分析，利用h u r w i t z 判据得到各个参数变化对系统的摆振情况的影响，通过改变系统参数来抑制或消 除极限环摆振的发生；利用中心流形理论对常微分方程进行降维，得出其中心流 形，再利用动力系统规范形理论求出其在极坐标下的规范形，从而对在分岔点附 近的极限环振动现象进行分析，并通过数值分析验证了结果的可靠性。针对已经 得到的系统发生h o p f 分岔时的近似分岔方程，建立该系统受到微小扰动时的拓 扑分岔解与系统参数之间的联系，得到了系统的普适开折分岔图，初步分析了各 类保持分岔图。 在本文中，对于给定系统，运用h u r w i t z 判据判断系统是否发生h o p f 分岔， 借助于计算中心流形的m a t h e m a t i c a 程序简化系统得到中心流形上的约化方程， 以及计算规范形的m a t h e m a t i c a 程序得到约化方程在极坐标下的规范形，并利用 李雅普诺夫指数分析法判断系统的吸引子类型。对于得到的这些定性和定量的结 果，可以相应地进行分岔点分析、系统参数的影响分析以及系统对微小扰动的分 析，对于汽车前桥、转向轮系统参数的设计和动力学分析有一定的指导意义。 本文的各章安排如下： 第一章中阐述了汽车前轮摆振的类型、危害以及在国内外的研究发展现状， 陈述了领域内已有的研究成果。 第二章中，在一定的限制和假设条件下i 建立了三自由度力学模型，并考虑 轮胎侧偏力和滚动特性得到数学模型。初步对系统进行平衡点分析并研究各物理 参数变化对系统的影响，从而可以通过改变系统物理参数来消除或避免发生 h o p f 分岔。 第三章中对平衡点x 。进行深入分析，应用中心流形理论并借助于数学工具 m a t h e m a t i c a 程序把系统降维，应用规范形理论并借助于m a t h e m a t i c a 程序对分 岔点处中心流形约化方程进行化简得到其在极坐标下的规范形，得到其分岔图。 利用李雅普诺夫指数分析法和数值分析法验证结果的正确性。 第四章中研究系统发生h o p f 分岔时的近似分岔方程，建立该系统受到微小 扰动时的拓扑分岔图和各分岔参数之间的关系，初步分析了各类保持分岔图，发 现系统的动力学特性。 第五章 总结全文，并对进一步的研究提出一些建议。 6 第二章前桥、转向轮系统平衡点分析及参数影响 第二章前桥、转向轮系统平衡点分析及参数影响 本章以n j 2 2 1 越野车为研究对象，研究了具有非独立悬架车辆的前轮摆振 问题。关于汽车前轮摆振的计算研究，以往已经做了许多工作，并建立了各种模 型。本章仅对n j 2 2 1 越野车摆振系统中的前左、右轮分别绕各自主销的转角及 前桥绕其本身纵轴转动的角位移这三个自由度的数学模型进行平衡点分析并研 究参数变化对平衡点的影响。 2 1 前言 建立一个系统的模型是研究系统动态特性的重要手段之一。目前对于汽车上 的不同问题，已建立有各种各样的数学模型。对于前轮摆振当然也不例外。建模 型的主要依据是路上整车试验以及室内有关部件的结构参数测试试验。但是由于 研究方法及手段的限制，很多模型中要忽略_ 些次要因素，例如在非线性理论成 熟之前，汽车前轮的模型都是线性的【4 5 1 。摆振可分为强迫型摆振和自激型摆振。 强迫型摆振主要研究轮胎不平衡质量激励引起的共振现象【2 8 1 ，自激型摆振主要研 究线性化系统的稳定性，而对运动失稳后的运动性态，却很少有人提及。其实自 激型摆振是一种非线性动力学分岔现象，在临界摆振车速附近，车轮绕主销摆动 的运动性态发生了突然的变化。所以要深入的分析自激型摆振现象，必须采用非 线性的分析手段。 2 2 数学模型 2 2 1 前桥、转向轮系统力学模型 汽车行驶时，车轮可视为高速旋转的转子，而将绕主销转动的转向节视为该 转子的框架，从而构成一个二自由度的陀螺。根据力学中的陀螺近似理论可知， 当转子以自转角速度高速转动时，如果框架也以某角速度转动，则框架上将受到 一个力矩作用，此力矩称为陀螺力矩。在行驶中汽车的前轮，当前桥绕纵轴线以 某一角速度振动时，将出现陀螺效应，产生陀螺力矩作用在转向轮上，使车轮绕 主销振动；当车轮绕主销振动时，车轮绕横轴转动的动量矩矢量就改变方向，产 生陀螺力矩，此力矩也将影响前桥绕纵轴的振动。由此可见，车轮的陀螺效应使 第二章前桥、转向轮系统平衡点分析及参数影响 车轮绕主销的振动和前桥绕纵轴的振动相互影响。 两轮之间的梯形机构的刚度对摆振有重要影响。因此，应将两轮之间的转向 梯形机构视为弹性元件，而把左、右转向轮绕主销的摆动作为两个自由度系统来 考虑。此外，前轮定位参数( 如主销内倾角、后倾角、前轮外倾角以及前束等) ， 除了直接影响摆振外，还会影响轮胎特性，而轮胎特性也是影响摆振的重要因素。 在研究前桥和转向轮耦合系统的固有特性时，系统的阻尼总是存在的。 在建立模型过程中，有如下几点假设和简化【4 5 蛔： ( 1 ) 在前轮摆振系统中，忽略干摩擦、空隙等非线性因素的影响。 ( 2 ) 在摆振中，轮胎不发生侧滑移动。 ( 3 ) 由于横拉杆刚度对前轮摆振有较明显的影响，因而在模型中把横拉杆 作为一个弹性元件考虑。 ( 4 ) 在前轮摆振时，与振动有关的轮胎、车轮和联结件等简化为转动惯量、 弹簧和阻尼器。 ( 5 ) 忽略后轮及后桥振动对前桥摆振的影响。 ( 6 ) 为了使模型简化，忽略了悬架以上质量的振动，认为它固定不动。 ( 7 ) 认为前桥系统摆振时与车体耦合较弱，同时还认为前桥摆振时汽车行 驶方向不变。 基于以上考虑，可把n j 2 2 1 越野车前轮摆振系统简化为图2 1 所示的三自由 度力学模型，模型包含了前桥绕其侧摆纵轴( 顺时针为正) 摆动、右左轮分别 绕其主销摆动0 ，乱的三个自由度。 8 第二章前桥、转向轮系统平衡点分析及参数影响 ( c ) 图2 - 1 前桥、转向轮摆振力学模型 2 2 2 前桥、转向轮系统数学模型 下面我们分别考虑左、右前轮绕各自主销摆动以及前桥绕其本身纵轴侧摆的 运动微分方程。 当右前轮以角位移b 绕主销摆动时， 右前轮上作用有陀螺力矩屯i v 缈o ，还有 横拉杆的弹性恢复力矩6 2 k ，( 口。一0 2 ) 和阻力矩6 2 j ，( 矽，一矽：) 。当前桥振动时，轮 胎将产生侧向变形和垂直的附加变形，如图2 1 ( a ) 。此变形使地面对轮胎绕主销 的转动中，产生弹性耦合力矩p h r 7 | | c ，、l c 6 ，( y - p 缈。考虑轮胎的特性，地 面将有作用在轮胎上的侧向力矩和回正力矩e 尺) ，、m ，。 对于左前轮，由于受纵拉杆的作用，轮胎上除了受上述力作用外，还有纵拉 杆的弹性恢复力矩a 2 1 q 0 2 和阻力矩a 2 匹0 2 。孓 车轮振动时，作用在前桥上的力包括车轮绕主销角振动所引起的陀螺力矩 屯素台+ 云占：，轮胎及悬架所产生的恢复力矩 c 6 呼) 2 2 + 2 k ：d 2 妙，还有轮胎 侧向力合力产生的力矩( 只+ r ) 乃，以及由前桥角位移使轮胎产生侧向变形而引 起的恢复力矩2 p h 2 l c f ，。 根据拉格朗日定理建立起右轮绕主销的运动方程【4 7 】： l g ，+ j 百，+ b 2 k a ( o ，一0 2 j + 6 2 6 ，( 反一台2 ) + t 云妒+ 詈巴，( 7 一( 2 1 ) + p h r t i u e r ) ，一m l = 0 左轮绕主销的运动方程： 1 l + j 毋：+ b 2 k 3 ( 0 ：一q ) + b 2 也( 百2 一反) + 云矿+ 哮c 6 ，( y 一)( 2 2 ) + p h r y g t + 口2 毛口2 + 口2 6 1 0 2 一只r ) ，一m 2 = 0 9 第二章前桥、转向轮系统平衡点分析及参数影响 前桥绕其侧摆纵轴的运动方程： 加+ 2 d 2 6 ：驴+ 【g ( 詈) 2 2 + 2 k ：d 2 + 2 肋2 g t - i k 云幺一云扫：( 2 3 ) + 互 + ，2 办= 0 其中m ，= f , p ( i = 1 , 2 ) 。 2 2 3 轮胎动态侧偏力描述及滚动约束方程 准确有效的分析转向轮的摆振现象，需要对轮胎的动态侧偏力有准确的描 述。已发表的关于轮胎侧偏力的文章中有的采用的是线性方程 5 1 ，也有很多的非线 性的描述【4 8 】，这里采用文献1 2 6 ， 4 4 1 0 e 的魔术公式： e = s y + d ，s i n c a r c t a n b x ( 缈，一s ，) ( 1 一五x ) ( f ；1 ，2 ) ( 2 - 4 ) + e xa r c t a n b x ( 仍一只) 】) 、 一 、7 用泰勒公式展开到三阶得： e = 口1 伊f + 口3 缈，3 ( i = 1 , 2 ) ( 2 5 ) 根据文献【4 4 】建立轮胎滚动的非完整约束方程即侧偏角与摆振角之间的关 系： 办+ 兰仍+ 通一e 0 ，= 0 盯盯 盯 ( 2 - 6 ) 矽2 + 兰伊2 + 兰口2 一e 0 2 = 0 oo6 2 2 2 及2 2 3 节各式中各参数值及说明见本章末表1 。 令：0 1 = 五，馥= x 2 , 0 2 = x 3 , 幺= x 4 , 吵- - - - - x 5 ，纱= x 6 伊1 = x t , q 2 = x 8 则( 2 - 1 ) 、 ( 2 2 ) 、( 2 - 3 ) 、( 2 - 6 ) g - - j 化为： 子 戈= a x + f ( x ) i( 2 - 7 ) 其中x = & 1 ，x 2 ，x 3 ，工4 ，x 5 ，x 6 ，x 7 ，x 8 7 ； a = o100 0 k o 一万一c ok o jil o00 c o 一， 1 oo v i r y a l + 口l 融l o0 笪鱼型! 立生二至二鱼二生二竺竺二圭竺! 二三：二兰一堕 。 墨丝立! ! 生 lilil 融l 00 0 00l00 o v 盯 0 v k j r p 仃 0 o o ， 仃 1 0 c 月h a l h a l 3jj 0一兰0 盯 0 0 一兰 竺 赣 第二章前桥、转向轮系统平衡点分析及参数影响 一_ 眦) - 。，盟掣，0 一( r m 项。 2 3 平衡点分析 塑芷，o ， j r 一丝芋王一丝竿王，o ，o ) r 为非线性 j 3 j。 对非线性振动系统平衡点的类别及其稳定性的判定，是非线性动力学特性研 究的最基本也是最重要的内容之一。如果相应的线性近似系统的平衡点是不稳定 的，则原非线性系统的平衡点类别及其稳定性与其一致；当相应的线性近似系统 的平衡点特征根出现零实部时( 其它特征根都是负实部) ，原非线性系统的平衡 点既可能是稳定的焦点也可能是不稳定的焦点；当相应的线性近似系统的平衡点 特征根出现了正实部，即平衡点不稳定，那么原非线性系统的平衡点也是不稳定 的。对于第二种情况我们将在第三章对其进行更深入的研究。 由非线性动力学理论知，系统( 2 7 ) 系统的五个平衡点( 与速度v 无关) ： x o = o ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，o 7 互= 一x 2 = ( - o 7 0 0 7 7 1 ，0 ，0 7 5 1 0 9 2 ，0 ，_ o 1 0 1 5 6 6 ，0 ，0 7 0 0 7 7 1 ，_ o 7 5 1 0 9 2 r 五= 一x 4 = 0 310 7 4 3 ，0 ，0 2 210 8 ，0 ，_ o 0 2 9 8 9 5 3 ，0 ，- o 310 7 4 3 ，- 0 0 2 210 8 丁 对于x ，x 2 ，x ，x 4 四个平衡点，其位置随参数口，变化如图2 - 2 ( a ) 和( b ) 所示 ( 其中石z = 石= x 。= 0 ) 。由图2 2 ( a ) 和( b ) 发现参数变化对它们的位置影响不大， 因此不会发生h 0 p f 分岔，无摆振情况。经检验，其它参数对平衡点位置影响也 不大，都不会发生h o p f 分岔，不会发生摆振现象。 ( a ) x 2 = 一x ，随参数口，变化情况 第二章前桥、转向轮系统平衡点分析及参数影响 0 0 0 0 2 4 参数影响分析 ( b ) x ，= 一x 。随参数a ，变化情况 图2 - 2 参数a 。对四个平衡点位置的影响 考虑平衡点彳。，其j a c o b i a n 矩阵为矩阵彳。利用h u r w i t z 判据【4 9 】可知：当 ， 1 2 7 m s 时，系统的平衡点是稳定的；当1 2 7 m s 6 2 8 7 3 4 8 n m ，c 。 4 1 3 5 2 n s e c ， c 。 0 ，则x 间的差异蠡会越来越大而 混沌，从式( 3 1 7 ) g - i 定义李雅普诺夫指数为j 纠鲫詈k 爵 p 坳 对于多维系统，式( 3 1 5 ) 中的工变为z x = x 1 ，石2 ，x n ) 7 ( 3 一1 9 ) f = z ，厶， ) 7 ( 3 - 2 0 ) 初值为x o = o ，工2 0 ，x 。o 厂 ( 3 2 1 ) 其中1 3 为维数。 而式( 3 1 6 ) 中，j a e o b i 阵变成 a = = 甄 葫 舐l苏。 ；i 识既 晚 缸。 f i x - = x o 2 4 ( 3 - 2 2 ) 第三章汽车转向轮系统的h o p f 分岔分析 式( 3 1 8 ) 的定义仍可用，n 维系统的李雅普诺夫指数有n 个。 3 4 2 李雅普诺夫指数数值计算 将式( 3 - 8 ) ，在初值x ，( o ) = 2 , x ：( 0 ) = 0 1 ，( 0 ) = 0 2 7 时，代入计算李雅普诺夫 的m a t h e m a t i c a 程序【5 6 】，绘制出系统的李雅普诺夫指数谱，如图3 2 ( a ) 所示。 李雅普诺夫指数是0 - ，= 0 0 0 0 2 4 4 ，0 - ：= 0 ，0 3 = - 0 0 8 7 8 ，李雅普诺夫维数是 d ，= 2 0 0 2 7 8 ，根据文献e 5 3 1 和 5 6 结论知，系统此处为稳定的极限环；在初值 为五( o ) = 2 ，x ，( 0 ) = 0 1 ，( o ) = - 0 7 7 时，绘制出系统的李雅普诺夫指数谱，如图 3 2 ( b ) 所示。李雅普诺夫指数是吼= 0 ，仃，= 0 0 2 2 5 ，0 3 = - 0 0 4 9 3 8 ，李雅普 诺夫维数是d l = 2 0 2 1 3 ，吸引子为不动点，即平衡点是稳定的。 0 0 5 0 0 2 5 0 酗 s o 0 2 5 - 0 0 5 - 0 0 7 5 - 0 1 ( a ) 吣慨m 黼k ：乏 05 0 i 0 01 5 02 0 02 5 03 0 0 s t e p s ( b ) 图3 - 21 ，。= 1 2 7 m s 时，系统地李雅普诺夫指数谱 同理得到式( 3 1 0 ) 在初值而( 0 ) = 2 ，x 2 ( o ) = 0 1 ，( o ) = _ 0 1 7 时的李雅普诺夫 指数谱如图3 - 3 ( a ) 所示。李雅普诺夫指数是吼= 0 0 0 0 2 5 4 8 ，仃2 = 0 ， 0 3 = - 0 0 3 9 0 3 ，维数是d l = 2 0 0 6 5 3 ，系统在此处为稳定的极限环；在初值 而( 0 ) = 2 ，x 2 ( o ) = 0 1 ，( 0 ) = 0 1 7 时指数谱如图3 3 ( b ) 所示。李雅普诺夫指数是 第三章汽车转向轮系统的h o p f 分岔分析 仃l = 0 ，盯2 = - 0 4 5 7 2 ，0 3 三- 0 4 6 0 3 ，维数是d l = 2 0 2 6 1 ，吸引子为不动点， 平衡点是稳定的。 0 0 7 5 0 0 5 0 0 2 5 吕 o d 一0 0 2 5 - 0 0 5 - 0 0 7 5 们 謦 籼岬懒岫蝴嘶。 黼帅懒帅帅懒岬。 0i 0 02 0 03 0 04 0 05 0 0 s t e p s ( b ) 图3 - 31 ，。= 1 8 9 2 m s 时，系统地李雅普诺夫指数谱 3 5 数值模拟 在分岔点1 ，= 1 2 7 m s 处，转换回原物理坐标，得到只如下： 幺= x 】= 0 0 2 0 9 5 5 2 y 2 + 0 0 0 0 7 2 1 3 y 3 0 0 0 5 3 2 0 7 y 4 + 0 0 0 8 9 3 4 y 5 + 0 0 0 11 4 0 6 y 6 + 0 0 2 5 5 8 8 y 7 0 0 2 3 9 8 3 y 8 = 一0 0 0 0 1 2 5 2 0 4 # c o s + ( 0 0 2 0 9 5 5 2 0 0 0 0 1 9 7 4 3 7 ) s i n 痧 因此，在极限环振动中摆振角鼠的幅值为 ：，_ 二：- i 岛l = 4 ( 0 0 0 0 1 2 5 2 0 4 # ) 2 + ( o 0 2 0 9 5 5 2 0 0 0 0 1 9 7 4 3 7 # ) 2 ( 3 2 3 ) 方程( 3 2 3 ) q h 的巧同式( 3 1 3 ) 中对应，它是极坐标下极限环的幅值。 应用数学学习软件m a t h e m a t i c a 中的绘图函数命令，并根据方程( 2 7 ) 得到在 一定的初始条件( 而( 0 ) = 0 0 1 ，其它各变量初值为0 ) 下，= 0 5 时系统的相平面 图，见图3 4 ；= - 0 5 时的相平面图，见图3 5 。根据方程( 3 - 2 3 ) 得到的摆振角 第三章汽车转向轮系统的h o p f 分岔分析 在= 0 5 时的幅值为0 0 4 2 5 5 。 摆振幅值 图3 4u = 0 5 时的极限环振动的相平面图 0 叭 0 0 0 5 o0 0 0 5 0 0 1 摆振幅值 图3 - 5u = 一0 5 时的极限环振动的相平面图 下面是数值模拟结果与计算结果的比较： 表3 一i 7 娟值( 巡 数值仿真结果计算结果 0 5 1 5 1 0 90 0 5 0 0 4 3 0 0 4 2 5 5 1 00 0 4 90 0 5 0 4 8 1 50 0 6 2o 0 6 4 1 l 2 0 0 0 6 5 0 0 6 7 8 4 2 50 0 6 70 0 6 9 3 2 2 7 世型喏琶f 趔嫂蠖黟 第三章汽车转向轮系统的h o p f 分岔分析 3 0 0 0 6 8 1 0 0 7 0 9 0 同理，在分岔点v ，= 1 8 9 2 m s 处，转换回原物理坐标，得到0 1 如下： 1 9 1 = 五= 0 0 1 9 8 6 8 8 y 2 0 0 0 0 7 0 6 9 y 3 - 4 - 0 0 0 5 3 1 2 6 y 4 0 0 0 0 5 6 y 5 + 0 0 1 0 8 2 9 5 y ；+ 0 0 1 9 1 0 4 9 y ，一0 0 1 7 6 8 3 y r = o 0 0 0 0 7 4 3 5 3 1 c o s 矽十( 0 0 1 9 8 6 8 8 0 0 0 0 1 0 8 6 7 9 , u ) s i n 多