（工程力学专业论文）重心有理插值配点法及其应用.pdf

山东建筑大学硕士学位论文 摘要 重心型插值公式具有计算量小、数值计算稳定性好和增加新的插值节点不需重新计 算原有插值节点基函数的优点。将经典的l a g r a n g e 插值改写为重心插值公式，配合切 比雪夫点作为插值节点可以避免l a g r a n g e 插值的振荡性，有效地提高l a g r a n g e 插值的 插值精度。在重心插值公式中，通过对插值权的不同选取，可以得到重心有理插值格式。 相比多项式插值，重心有理插值具有更好的节点适应性。 对一维重心型插值公式、插值节点分布、插值精度和插值算法做了评述。给出了各 种插值格式的表达式、相关的计算机编程算法和插值算例。对一维重心型插值的国内外 研究成果作比较研究和评述，给出一些重要的重心型插值公式和相应的性质，同时给出 重心型插值公式的计算算法和一些典型函数插值的算例，以说明各种插值方法的插值精 度。本文通过大量的算例分析，探讨重心有理插值的计算精度。 采用重心有理插值近似未知函数，建立未知函数的微分矩阵，提出求解微分方程边 值问题的重心有理插值配点法。给出了重心有理插值配点法的具体计算公式，讨论了边 界条件的施加方法。给出了重心有理插值配点法求解微分方程边值问题的数值算例。数 值算例表明了本文所提方法具有很高的计算精度。 以重心有理插值近似未知函数，建立未知函数的微分矩阵，提出分析连续梁变形的 重心有理插值单元法。根据连续梁的支撑和载荷条件，将连续梁划分若干单元，在每一 个单元上采用重心有理插值近似梁的位移，采用配点法离散梁的控制方程，得到单元的 刚度矩阵，组装得到梁的整体刚度矩阵。根据边界条件和单元间的连续条件，修正整体 刚度矩阵和外力向量，得到线性方程组，求解得到梁的变形。得到变形位移后，利用微 分矩阵直接计算得到梁的转角。给出了不同支撑和载荷条件下，连续梁的变形的数值算 例。 数值算例表明，重心插值配点法具有公式简单、程序实施方便、计算精度高和数值 稳定性好的优点。重心插值单元法不但具有较高的计算精度，而且能够适应各种梁构形 和复杂载荷条件。 关键词：重心有理插值，微分方程，连续梁，配点法，重心l a g r a n g e 插值，重心插 值单元法 山东建筑大学硕士学位论文 b a r y c e n t r i cr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nc o l l o c a t i o na n d i t sa p p l i c a t i o n a b s t r a c t t h ea d v a n t a g e so fb a r y c e n t r i ci n t e r p o l a t i o nf o r m u l a t i o n si nc o m p u t a t i o na r es m a l l n u m b e ro ff l o a t i n gp o i n to p e r a t i o n s ( f l o p s ) a n dg o o dn u m e r i c a ls t a b i l i t y a d d i n gan e wd a t a p a i r , t h eb a r y c e n t r i ci n t e r p o l a t i o nf o r m u l ad o n tr e q u i r er e n e wc o m p u t a t i o na l lb a s i sf u n c t i o n s i tc a l la v o i dt h eo s c i l l a t i o no fl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o nb yu s i n gb a r y c e n t r i ci n t e r p o l a t i o n f o r m u l a t i o n sa n ds e c o n dk i n do fc h e b y s h e vp o i n t sf i t si n t e r p o l m i n gp o i n t s i nb a r y c e n t r i c i n t e r p o l a t i o nf o r m u l a t i o n s ，t h ed i f f e r e n tw e i g h tc o r r e s p o n d st od i f f e r e n tt y p ei n t e r p o l a t i o n t h em o s to ft h i si n t e r p o l a t i o na r eb a r y c e n t r i cr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n t h eb a r y c e n t r i cr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n sh a v em o r en o d ea d a p t a b i l i t yt h a nt h ep o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o ni nc o m p u t m i o n i nt h i sp a p e r , r e v i e w e da r et h eo n e d i m e n s i o n a lb a r y c e n t r i cf o r m u l a t i o n s ，d i s t r i b u t i o no f i n t e r p o l a t i o np o i n t s ，i n t e r p o l a t i n ga c c u r a c ya n di n t e r p o l m i o na l g o r i t h m a n dp r e s e n t e da r et h e f o r m u l ao fi n t e r p o l a t i o n ，a l g o r i t h m sa n d s o m en u m e r i c a le x a m p l e s a n dm a d es o m e c o m p a r i s o na n dr e v i e w e dt ot h er e s e a r c hr e s u l t sa th o m ea n da b r o a d ，g i v e ns o m ei m p o r t a n t f o c u so fb a r y c e n t r i ci n t e r p o l a t i o nf o r m u l aa n dt h ec o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e s ，a n dt h e c a l c u l a t i o nf o r m u l ao ft h eb a r y c e n t r i ci n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m s ，a n ds o m et y p i c a le x a m p l e so f i n t e r p o l a t i o n n u m e r i c a le x a m p l e ss h o w e dt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o dh a sh i g ha c c u r a c y t h ed i f f e r e n t i a t i o nm a t r i c e so fu n k n o w nf u n c t i o na r ec o n s t r u c t e db yu s i n gb a r y c e n t r i c r a t i o n a li n t e r p o l a t i o n t h eb a r y c e n t r i cr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nc o l l o c a t i o nm e t h o d ( b r i c m ) f o r s o l v i n gb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sp r e s e n t e d g i v e nt h es p e c i f i c c a l c u l a t i o nf o r m u l aa n dd i s c u s s e dt h em e t h o do fp r e s s u r i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n a n dg i v e n n u m e r i c a le x a m p l e so fs o l v i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mu s i n gt h e m e t h o do f b a r y c e n t r i c r a t i o n a li n t e r p o l a t i o nc o l l o c a t i o n t h en u m e r i c a l e x a m p l e s d e m o n s t r a t et h a tt h ep r o p o s e dn u m e r i c a lm e t h o dh a v ea d v a n t a g e so fs i m p l ef o r m u l a t i o n s ， e a s yp r o g r a m m i n ga n dh i g hp r e c i s i o n t h ed i f f e r e n t i a t i o nm a t r i c e so fu n k n o w nf u n c t i o nw e r ed e r i v e db a s e do nb a r y c e n t r i c r a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n t h eb a r y c e n t r i ci n t e r p o l a t i o n e l e m e n tm e t h o df o r a n a l y z i n g d e f o r m a t i o no fc o n t i n u o u sb e a mw a sp r e s e n t e d a c c o r d i n gt ot h ec o n d i t i o n so fs u p p o r t e do f i i 山东建筑大学硕士学位论文 b e a ma n dl o a d s ，t h eb e a mw a sd i v i d e di n t os e v e r a le l e m e n t s t h ed i s p l a c e m e n to fb e a mw a s a p p r o x i m a t e db yb a r y c e n t r i cr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，a n dt h eg o v e r n i n ge q u a t i o no f b e a mw a s d i s c r e t eb yc o l l o c a t i o nt e c h n i q u e t h es t i f f n e s sm a t r i xa n df o r c ev e c t o ri na ne l e m e n tw e r e o b t a i n e d a s s e m b l i n gs t i f f n e s sm a t r i c e sa n dv e c t o r so fd e m e n t si n t og l o b a ls t i f f i a e s sm a t r i x a n dv e c t o r , as e to fa l g e b r a i ce q u a t i o n sw a so b t a i n e d a p p l y i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n d c o n t i n u o u sc o n d i t i o n so f b e a m ，t h ed e f o r m a t i o no f b e a mc a nb eo b t a i n e db ya l g e b r a i cs y s t e m t h er o t a t i o no fb e a mc a nb ec o m p u t e dd i r e c t l yb yd i f f e r e n t i a t i o nm a t r i c e s s o m ee x a m p l e so f b e a mu n d e rd i f f e r e n ts u p p o r t e dc o n d i t i o n sa n dl o a d sc o n d i t i o n sw e r ea n a l y z e db yb a r y c e n t r i c i n t e r p o l a t i o ne l e m e n tm e t h o d t h en u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t e dt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o dh a v e a d v a n t a g e so fs i m p l ef o r m u l a t i o n s ，e a s yt op r o g r a m m i n g ，h i g ha c c u r a t ea n db e s tn u m e r i c a l s t a b i l i 够 n u m e r i c a le x a m p l es h o w e dt h a tt h ea d v a n t a g e so fb a r y c e n t r i cr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n c o l l o c a t i o nm e t h o di nc o m p u t a t i o na les i m p l ef o r m u l a e ，e a s yt op r o g r a m m i n g ，h i g hp r e c i s i o n a n dg o o dn u m e r i c a ls t a b i l i t y b a r y c e n t r i cr a t i o n a li n t e r p o l a t i o ne l e m e n tm e t h o dn o to n l yh a s h i g l lc a l c u l a t i o na c c u r a c ya n dh a sa d v a n t a g e so fa d a p t i n gt ov a r i o u sb e a ms h a p ea n d c o m p l e xl o a dc o n d i t i o n s k e yw o r d s ：b a r y c e n t r i cr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，d i f f e r e n t i a t i o nm a t r i c e s ，c o n t i n u o u s b e a m ，c o l l o c a t i o nm e t h o d ，b a l y c e n t r i cl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ，b a l y c e n t r i ci n t e r p o l a t i o n e l e m e n tm e t h o d m 原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究取得 的成果。除文中已经注明引用的内容外，论文中不含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得山东建筑大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 承担本声明的法律责任。 学位论文作者签名： 学位论文使用授权声明 本学位论文作者完全了解山东建筑大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 山东建筑大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权山东建筑大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它手段保存、汇编学位论文。 保密论文在解密后遵守此声明。 学位论文作者签名： 导师 签名： 日期垒乒么：也 日期芝夏：名! 皇 一 山东建筑大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 研究背景 常见的工程结构，例如梁、板壳问题的控制方程一般为微分方程的初边值问 题，而微分方程的求解一般有解析法【1 和数值方法。由于解析法只能求解简单的 微分方程，对于复杂问题不能给出准确的数值解，所以人们一般选择数值方法求 解微分方程的初边值问题，并且大量的算例表明采用数值方法能得到很好的近似 值。工程梁的弹塑性问题、热传导以及自由振动方程等本质上都是求解微分方程 的初边值问题。目前国内外偏微分方程求解的教科书中，在求解解析解时，超越 方程很难得到准确的解【2 羽，以致基本上达不到理想的计算精度，或者解析解的计 算公式冗长繁琐，不方便工程应用。而用数值方法可以方便得到方程的数值解。 因此寻求计算效率高，数值稳定性好，具有较好收敛性的数值方法是解决实际问 题的重要途径。 传统的求解微分方程初边值问题的方法有有限元方法和差分法。有限元方法 是一种求解椭圆型偏微分方程的数值方法，在工程技术领域得到了广泛的应用。 无单元法是近年来发展起来的求解偏微分方程的一种新型数值计算方法，它告别 了对单元的依赖。目前己出现了多种无单元方法，例如无单元伽辽金法、无单元配 点法等。从总体上这些方法又分为两大类：依靠背景网格的非纯正无单元法和依靠 节点分布的真正无单元法。伽辽金法属于第一类，配点法属于第二类。无网格伽 辽金法( e f g m ) 【。卜9 】是近几年发展起来的与有限元相似的一种数值算法。它采用移 动最小二乘法构造形函数，从能量泛函的弱变分形式中得到控制方程，并用拉氏 乘子满足本征边界条件，从而得到偏微分方程的数值解。该法只需节点信息，不 需将节点连成单元。但是无网格伽辽金法( e f g m ) 需要对控制方程的弱变分形 式进行积分，计算公式麻烦、边界条件不能直接施加，而且程序实施复杂。 配点法作为数值求解微分方程边值问题的计算方法具有计算公式简单、程序 实施方便的优点。常用的数值求解微分方程的配点法，主要有拟谱法( 谱配点法) 1 0 - 1 4 】、微分求积法【1 5 - 1 7 、径向基函数配点方法、b 样条配点法、h e r m i t 配点法等。 谱配点法是基于未知函数的谱函数展开，采用配点技术求解微分方程的数值方法。 常用的谱配点法是基于未知函数的c h e b y s h e v 多项式展开，得到各阶导数的微分 矩阵【l8 1 。微分求积法直接将未知函数及其各阶导数表示成未知量在计算节点值的 山东建筑大学硕士学位论文 加权线性组合，一般采用多项式函数确定未知近似函数的加权系数。径向基配点 法将未知函数采用径向基函数展开，由于径向基函数只与空间距离有关，而无需任 何网格剖分，正是这个特征使得径向基配点法具有非常简洁的形式。径向基配点法 【1 9 1 在求解含有突变边界条件的问题时，靠近边界区域的数值解往往出现较其他区 域大的误差，这主要是因为径向基函数的形状参数一旦被选定，就使得模拟缓变部 分的径向基在突变部分产生较大的误差，反之则反，这就是径向基配点法所缺乏的 弹性。 对于给定的计算节点，可以通过l a g r a n g e 插值公式插值节点未知函数值， 得到未知函数在节点的插值近似多项式，采用配点法可以求得未知函数在节点的 值。但是当节点数量较大时，l a g r a n g e 插值公式是数值不稳定的，著名的r u n g e 现象说明了这一问趔2 0 1 。因此，在数值计算中人们很少采用l a g r a n g e 插值公式作 为未知函数的近似函数。将l a g r a n g e 插值公式改写为重心公式形式，得到重心 l a g r a n g e 插值公式。在重心l a g r a n g e 公式中，若改变插值权，即得到一种重心有 理插值【2 l 】。b e r r u t 提出一种简单的重心有理插值权2 2 1 。2 0 0 7 年f l o a t e r 提出一种 无极点的重心有理插值公式，其具有很高的插值计算精度。与其他插值近似方法 相比，f l o a t e r 提出的重心有理插值，不但在c h e b y s h e v 点上具有很高的近似精度， 而且对于工程中常用的等距节点也具有很高的近似精度，是一种理想的插值近似 方法【2 3 】。 1 2 配点法评述 众所周知有理插值能得到比多项式插值更好的近似值。尤其是处理大量节点 出现的时候，但是有理插值不能避免极点的出现，2 0 0 7 年m i c h a e ls f l o a t e r 和 k a ih e 肌籼【2 4 】提出了一种重心有理插值，这种插值方法对于任意分布的节点， 都避免了极点的出现，而且具有比较高的精确度。这种方法是比较简单的，首先 选择一个近似函数厂： 口，b jr ，其次选择一系列的点 a = 而 五 = b 选择一个唯一的最高次数为n 的插值多项式以，且满足见( 五) = 厂( 五) ， 0 f 甩。 2 山东建筑大学硕士学位论文 然而见在逼近厂时，可能得不到好的近似值。当n 值增大的时候有可能发生 振荡，最著名的r 岫g e 现象就证明了这一点，取厂( 工) = 再1 7 ，薯 一5 ，5 a 毛：一5 + 丝，当，l 寸o 。时，这一系列的多项式b 将发生振荡。为了避免这种振荡 现象，b e r r u t 和t r e f e t h e n 2 5 】等人选用c h e b y s h e v 节点作为插值节点。目前比较流 行一种方法是利用样条( 分段多项式) 【2 6 近似未知函数，对于很多类型的插值和近 插值同样能得到指数收敛率【2 刀。b e n 叫和m i t t e l m a n n 2 8 1 提出利用高阶的有理函数 ，1 ) = 盟辜1 一 ( 1 1 ) 弋17 啮 匀x - - i fl = uj 近似性。其中插值权可取下列形式 驴，职再1 j ，i ( l 2 ) j = o “i “j 多项式p n 自身可以改写成重心的形式，在数值方面b e r r u t 和t r e f e t h e n 3 0 1 利 用它来计算l a g r a n g e 插值，虽然( 1 2 ) 避免了极点的出现，但是在一般的插值点处 不能得到好的近似值。1 9 8 8 年b e r r u t 选用另一种权函数w = ( 一1 ) ，i = o ，1 ，n 。则 窆盟厂( 五) 毗) _ 警萨 ( 1 3 ) v ! 二! r u n g e 函数，对于任意分布的节点，当刀专0 0 时，以o ( 1 n ) 收敛。2 0 0 5 年h e r m a n n , 山东建筑大学硕士学位论文 f l o a t e r 利用( 1 3 ) 来求解任意平面的极坐标值。但是数值算例表明( 1 3 ) 所示的插值 函数计算精度比较低。 f l o a t e r 所提出的重心有理插值方法的构造比较简单，选择任意的整数 0 d 疗，记b ( 功，i = 0 , 1 ，n - d 为在d + 1 个节点薯，l ，而+ d 上的多项式插值， 即p ( x k ) = ( ) ，k = i + 1 ，i + d ， 州= 秀署 n 4 ， 且 铷) = 瓦嚣习 m 5 ) 其中，是多项式插值p o ，见一d 与凡，以一d 的融合函数。由( 1 5 ) 可以看 出函数乃只依赖于插值节点五，所以插值函数，一依赖于线性节点的值 ( 薯) 。对于每一个d = o 1 埘，都给出了一系列有理插值，并且在实数 范围内任意一个插值函数都没有极点的出现。并且对于d 1 ，h 一0 时， 厂c 如2 口，6 】，插值函数以o ( h “1 ) 收敛。其中 h _ ，m ，( 稚l 一而) ( 1 6 ) o 一一 a y _ l 利用局部融合函数近似法去构造整个域内的近似，这种思想在计算数学中并 不是一种新思想，例如，1 9 7 4 年c a tm u l l ，r o m t 3 1 】提出融合多项式插值，利用b 样条函数作为融合函数。对多变量离散节点的插值，s h e p a r d t 3 2 1 提出也可以利用局 部融合插值法近似未知函数，其中它的融合函数是基于插值节点的欧几里德距离。 目前移动最小二乘法是比较流行的一种插值方法，这种方法的整体近似也是由 局部近似得到的。在有理插值中f l o a t e r 等人第一次提出融合函数的概念，与其他 融合方法不同，虽然( 1 5 ) 中的融合函数五没有局部支撑，但是，在整个域内都是 无限光滑的。 因为，- 的分子和分母的最高次数为，l ，所以有文献知道，厂可以改写成重心 ( 1 1 ) 的形式，为了得到这种形式，首先将( 1 4 ) d p 的多项式b 改写成l a g r a n g e 的形 山东建筑大学硕士学位论文 式。 其中 p 如) 2 薹j = 顿z 。导( ) 席= l ，膏一七一， 将b 带入( 1 4 ) 中的分子中得到： 董帕荆=昏，兰击巅寺c扩窆去f(xk)i=0 i = 0k = i y = ij ，kj k = o 五( z ) a ( 工) = ( 一1 ) n ( 砟) 2 当 一 t， i 一 一 t =i驴ej)顿。去=ii：k-di_kiej = i ) 。k。j k “k 一“j 对于分母可以按照同样的方法得到： n - d 以( 功= ni w k i = 0 k = o 一 七 这种形式给出了一种简单的快速的计算，的方法。而且这种形式可以利用 s c h n e i d e r ，w 锄一3 4 】的导数公式计算，的各阶导数。 微分求积法直接将未知函数及其各阶导数表示成未知量在计算节点处的加 权线性组合，一般采用多项式函数确定未知函数近似函数的加权系数。对于给定 的计算节点，可以通过l a g r a n g e 插值公式插值节点处未知函数值，得到未知函数 在节点的插值近似多项式，采用配点法可以求得未知函数在节点的值。但是当节 点数量较大时，l a g r a n g e 插值公式是数值不稳定的，著名的r u n g e 现象说明了这 一问题。因此，在数值计算中人们很少采用l a g r a n g e 插值公式作为未知函数的近 似函数。将l a g r a n g e 插值改写为重心公式形式，得到重心型l a g r a n g e 插值公式【3 5 】。 重心l a g r a n g e 插值公式具有极好的数值稳定性【3 6 1 ，选取适当数量的第二类 c h e b y s h e v 点作为插值点，重心l a g r a n g e 插值多项式可以以机器精度逼近任意光 滑函数【3 7 1 。王兆清【3 8 1 提出采用重心l a g r a n g e 插值建立未知函数的微分矩阵提出求 解常微分方程初值问题的重心插值配点法，并提出一种新的初始条件的施加方法。 1 3 研究目的及意义 以上数值方法的区别在于近似未知函数的技术不同。有限元法和有限差分法， 虽然在工程领域有广泛的应用，但是他们的解只具有1 2 阶的近似精度。拟谱方 s 山东建筑大学硕士学位论文 法虽然具有指数收敛率，但是它对于工程中常用的等距节点却不适用。 本文研究一种基于重心插值数值求解微分方程和工程问题的新型数值分析方 法。主要研究问题之一是基于重心有理插值近似未知函数的重心有理插值配点法， 用于数值求解微分方程的边值问题；研究问题之二是基于重心l a g r a n g e 插值近似 未知函数的重心插值单元法，用于分析复杂梁的变形问题。 重心有理插值配点法，是基于有理函数来近似未知函数，它最大的优点在于， 不但对于c h e b y s h e v 节点，而且对于工程中常用的等距节点，同样具有很好的收 敛性。而且它的计算公式简单，程序实施容易。为数值求解结构中的问题，又提 供了一种好的计算方法。 6 山东建筑大学硕士学位论文 第2 章一维重心型插值 2 1 引言 插值在工程数值计算方面有着广泛的应用，例如有限元方法中形函数的建 立、科学计算可视化过程中图形图像的显示等，都需要应用到插值理论。在一维 的情况下，插值方法主要有l a g r a n g e 插值、分段线性插值、样条插值和有理函数 插值等【2 0 1 。l a g r a n g e 插值是一种多项式插值，在数值分析理论分析方面有着重要 的作用，但是在等距节点插值过程中，当节点数量较大时，l a g r a n g e 插值表现出 极大的数值不稳定性，使得l a g r a n g e 插值精度急剧下降。著名的r u n g e 函数 l a g r a n g e 插值的振荡性，正说明了l a g r a n g e 插值的这一缺陷。 近年来国际数值分析学者致力于l a g r a n g e 插值数值稳定性方面的研究，取得 了许多新的成果，改进了l a g r a n g e 插值数值不稳定性的缺陷。同时研究发现采用 有理函数作为插值基函数，可以显著地提高插值精度。并且l a g r a n g e 插值和有理 函数插值都可以表示为一种重心插值的形式。通过不同权的选取，可以得到不同 的插值格式，丰富了一维插值的类型【2 1 1 。 本章首先对一维重心型插值的国内外研究成果作比较研究和评述，给出一些 重要的重心型插值公式和相应的性质。随后给出重心型插值公式的计算算法和一 些典型函数插值的算例，以说明各种插值方法的插值精度。 2 2 重心l a g r a n g e 插值 2 2 1 l a g r a n g e 插值和n e w t o n 插值 设有甩+ 1 个不同的插值节点，= o ，1 ，z ，和相对应的一组实数乃。若采 用多项式插值，则在次数不超过n 的多项式空间中，求一个插值多项式p ( x ) ，使 得多项式p ( x ) 满足p ( ) = 乃，- ，= o ，1 ，l 。 多项式插值问题有唯一解，插值多项式可以写成l a g r a n g e 插值公式； p ( 工) = t ，( x ) f j ( x ) = 兀( x - x k ) 兀( x j 一矗) ( 2 1 ) k = 0 ， k = 0 ，k , j 7 山东建筑大学硕士学位论文 这里( z ) 称作l a g r a n g e 插值基函数，满足一下性质： ，( 五) = 颤 ( 2 2 ) l a g r a n g e 插值公式( 2 1 ) 在插值节点较少时，具有很好的插值精度，其存在的 主要缺陷是【2 5 】： ( 1 ) 计算量是o ( n ) ； ( 2 ) 增加新的插值节点，需要重新计算； ( 3 ) 当节点数量很大时，插值是不稳定的。 我们知道，多项式插值也可以写成n e w t o n 形式，通过一系列的插商计算， n e w t o n 插值公式可以写成 p ( x ) = 九而 + 九x o ，五 一x o ) + 九x o ，五，恐】( 工一x o ) ( x 一五) + ( 2 3 ) + 九x o ，五，】( x x o ) ( x 一西) ( z 一毛一1 ) n e w t o n 插值公式当增加新的插值节点的时，只需计算最后一个插商，相比 l a g r a n g e 插值公式要方便的多，但是当节点数量很大时，插值仍是数值不稳定的。 2 2 2 改进的l a g r a n g e 插值【2 2 】 注意到公式( 2 1 ) 中插值基函数( x ) 可以写成： l ( x ) = ( x x o ) ( x - x 1 ) ( 工一x ) ( 2 4 ) 定义重心权： 哆= 1 兀( x j 一& ) ，j = o ，1 ，疗 ( 2 5 ) 七 也就是哆= 1 1 7 ( _ ) ，则插值基函数可以表示为： 式： 似) 刮( 工) 毒驴。，1 ，疗 ( 2 6 ) 将公式( 2 6 ) 带入l a g r a n g e 插值公式( 2 1 ) ，得到l a g r a n g e 插值的另一种表现形 ( 2 7 ) 砻。脚 ； ，)j 8 x = x p 山东建筑大学硕士学位论文 l a g r a n g e 插值公式( 2 7 ) 称作改进的l a g r a n g e 插值公式。改进的l a g r a n g e 插 值公式是向后稳定的，增加一个新的插值点仅需o ( ，z ) 次运算。 2 2 3 重i l , l a g r a n g e 插值 利用插值公式( 2 7 ) 插值常数1 ，可得下面恒等式 1 = 窆j = o 似h 喜南 ( 2 - 8 ) ，= o 一“， 将公式( 2 8 ) 两边分别去除公式( 2 。7 ) 两边，得到重心l a g r a n g e 插值公式 窆当乃 m ) = 错 ( 2 9 ) 售x x j 重心l a g r a n g e 插值公式在分子和分母都包含插值权哆，因此哆的任何非零 倍数仍是插值权。由公式( 2 5 ) 可知，插值权仅依赖于插值节点的分布，因此对于 重心l a g r a n g e 插值是向前稳定的【2 2 1 ，但对于数值分析中常用的等距节点插 值，其插值是病态的。通过选择一些特殊的插值节点分布，重心l a g r a n g e 插值具 2 2 4 一些特殊节点分布的重心l a g r a n g e 插值权 对于一些特殊的节点分布l a g r a n g e 插值权具有非常简单的表达形式。对于区 间【- 1 ，1 上的等距分布节点，h = n ，通过对公式( 2 5 ) 直接计算得 哆= ( 1 ) 州篇 消除与_ ，无关的因子，得到等距节点重，i i , l a g r a n g e 插值的插值权 哆= ( 一1 ) ”7 ( 2 1 0 ) 除非n 较小，多项式插值对于等距节点是病态的。当节点分布密度与函数 ( 1 一x ：) 成比例，也就是节点分布在区间的两端较密，在区间中间较稀疏时，多 9 山东建筑大学硕士学位论文 项式插值具有很好的数值稳定性【2 引。满足这样条件的最简单节点分布是切比雪夫 点族。 。 第一类切比雪夫点为： 而紫2 n2 ，削 1 ，咒 ( 2 1 1 ) 。 + ，2u ，i ，咒r ，11 、 其重心l a g r a n g e 插值的插值权为： 哆_ ( _ 矿s i n 紫 ( 2 1 2 ) 第二类切比雪夫点为： x j = c o s 刀 ! ，= 0 ，l ，刀 ( 2 1 3 ) 其重心l a g r a n g e 插值的插值权为 耻肜创 哆2 ( 一1 ) 口，。【1 ，。咖批 ( 2 1 4 ) 2 2 5 重心l a g r a n g e 插值的计算程序 以i g e 函数厂( x ) 2 + 2 5 x 2 ) 为例，说明重j i 二 l a g r a n g e 插值的良好数值稳 定性及计算程序。在区间【- 1 ，1 】上令n = 1 0 0 ，以第二类切比雪夫点作为插值节点， 插值计算区间 - 1 ，1 】上的2 0 0 0 个点的近似值。利用m a t l a b 编写计算程序，计算 程序简单如下： n = 1 0 0 ； f u n - - i n l i n e ( 1 ( 1 + 2 5 宰x 2 ) ) ； x = 一c o s ( p i 宰( 0 ：n ) n ) ； n = l e n g t h ( x ) ； f = - f u n ( x ) ； 、= o 5 ；o n e s ( n 一1 ) ；o 5 】( 一1 ) ( ( o ：n ) ) ； x x = l i n s p a c e ( 一l ，l ，2 0 0 ) ； n u m e r = z e r o s ( s i z e ( x x ) ) ； d e n o m = z e r o s ( s i z e ( x x ) ) ； l o 山东建筑大学硕士学位论文 e x a c t = z e r o s ( s i z e ( x x ) ) ； f o r j = l ：n x d i f f = x x - x ( ：i ) ； i fx d i f 卑o t e m p - - w ( j ) x d i f f ； n u m e r = n u m e x + t e m p 木f i j ) ； d e n o m = d e n o m + t e m p ； e n d e x a c t ( x d i 忙o ) = 1 ； e n d f f = n u m e r d e n o m ； j j = f i n d ( e x a c t ) ； f f ( j j ) = f u n ( x x ( j j i ) ) ； p l o t ( x ，x x ，i f , - ) 程序绘制的图形( 如图2 1 ) 所示，本算例计算的插值点最大绝对误差为 9 3 9 4 0 e - 0 0 4 。通过大量的数值计算表明，对于等距节点插值重心l a g r a n g e 插值表 现为极大地数值不稳定性，但是对于切比雪夫节点的插值，重心l a g r a n g e 插值具 有极好的数值稳定性【3 9 1 。 2 3 重心有理插值 2 3 1 重心有理插值的一般形式 在数值分析中，有些时候插值节点是无法自由选择的，例如事先给定了插值 节点及其对应函数值的插值问题。特别是等距节点插值问题，l a g r a n g e 插值多项 式插值是不稳定的。可以采用分段多项式插值，例如样条插值，克服多项式的数 值不稳定性问题【2 4 1 。 有时候有理函数插值比多项式插值具有更高的插值精度，采用有理函数插值 可以有效克服插值的不稳定性问题。记一个有理函数区间r 一其元素是有分子 次数不超过m 的多项式和分母次数不超过n 的多项式构成的有理函数。问题是对 山东建筑大学硕士学位论文 于给定的节点分布和对应的函数值，是否存在一个有理函数满足插值条件? 下面 的定理说明有理函数插值问题一定有解2 5 1 。 1 0 9 0 8 0 7 0 6 x 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 1一-i-一-j-【-j-，i-j-j【-l-jl-一 - 1- 0 8- 0 6- 0 4- 0 200 20 40 60 81 x 图2 1r u n g e 函数的重心l a g r a n g e 插值 定理设 ( _ ，乃) ，j = o ，1 ，z 为丹+ 1 个实数对，_ 互不相同。 吩，j = o ，1 ，咒) 以，：鞋u j 脚工一i ( 2 ) 反之，任何一个插值 ( _ ，乃) ，j - - o ，1 ，1 ) 的有理函数均可以表示为公式 山东建筑大学硕士学位论文 ( 2 15 ) 的重心插值形式。 定理说明，对于给定的插值节点及函数值，存在无穷多重心有理函数插值， 并且所有的有理函数插值都可以写成公式( 2 1 5 ) 的重心插值形式。 如何选择插值权，使得重心有理函数插值具有尽可能高的插值精度，是实 际应用有理函数插值的中心问题。 b e t r u t 最初建议采用 u i = ( 一1 ) 七，k = 0 ，1 ，n( 2 1 6 ) 作为重心有理函数插值的插值权【4 0 1 。其插值近似阶为o ( h ) ，这里 h 问m ，1 a x 加。 i “一i ) 。后来b e r r u t 及其合作者采用特殊的插值节点分布和增加 极点方法，提高重心有理插值的插值精度4 1 。4 6 1 。 2 3 2 高阶重