（基础数学专业论文）rds型李代数.pdf

摘要 通过对李代数理想格的讨论，研究李代数的结构和分类，是一个有趣的课题。 本文根据理想格满足的一些条件，定义了r d s 型李代数。所谓的r d s ( r e s p e c td i r e c t s u m so fi d e a l s ) 型李代数就是通过对李代数的理想格进行讨论，从而定义一类特殊 的李代数。这类李代数范围比半单李代数要大，所以对它结构和分类问题的研究可 以促进李代数结构研究的进程。 本论文分为四章： 第一章刻划了n r d s 的一些性质，并且得到了关于特征零代数闭域f 上有限维 n r d s 型李代数一系列结果，特别是当n 2 时，决定了所有的n - r d s 型李代数。 第二章给出了r d s 型李代数的性质，证明了对任意正整数n ，存在n 维可解r d s 型李代数。 第三章给出了维数小于等于四的r d s 型李代数的结构和分类。 第四章给出四维可解r d s 型李代数结论的修正，通过对一维中心的五维不可 解李代数的讨论，确定它不是r d s 型李代数。 本论文的主要工作就是对r d s 型李代数进行研究。这一章在前三章的基础上， 对四维可解r d s 型李代数的结论不完善的部分给出了修正，并且进一步讨论了部分 五维李代数。 关键词：理想格；r d s 型李代数；中心 a b s t r a c t n es t r u c t u r ea n dc l a s s i f i c a t i o no fal i ea l g e b r ai sd i s c u s s e db yl o o k i n gi n t ot h e l a t t i c eo fi t si d e a l s ，w h i c hi sv e r yi n t e r e s t i n gw o r k r d st y p el i ea l g e b r a sa l ed e f i n e db y s t u d y i n gt h el a t t i c eo fi t si d e a l s r d s t y p el i ea l g e b r ai sas p e c i a lc l a s so fl i ea l g e b r a w ed e f i n ei tt h r o u g hs t u d y i n gi t si d e a ll a t t i c e t h i sc l a s so fl i ea l g e b r a si sm o r et h a nt h es e m i - s i m p l el i ea l g e b r as oi tc a nh e l pu st oa c c e l e r a t e t h ew h o l el i ea l g e b r a s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rs o m ep r o p e r t i e so fn - r d st y p el i ea l g e b r a sa r eo b t a i n e da n das e r i e so fr e s u l t s a r eo b t a i n e dw h e nt h eb a s ef i e l di sc h a r a c t e r i s t i cz e r oa n da l g e b r a i c a l l yc l o s e d p a n i c u l a d y ，i nt h ec a s e o fn 7 2a l lt h en - r d st y p el i ea l g e b r a sa r ec o n s t r u c t e d t h es e c o n dc h a p t e rw eg i v es o m ep r o p e r t i e so fr d st y p el i ea l g e b r a s t h ee x i s t e n c et h e o r e m o fs o l v a b l er d st y p el i ea l g e b r a si sp r e s e n t e d 1 n h et h i r dc h a p t e rt h es t r u c t u r ea n dc l a s s i f i c a t i o no fl i ea l g e b r a sw h o s ed i m e n s i o n a li sl o w e ro r e q u a lt of o u r t h ef o r t hc h a p 自盯w eg i v et h ea m e n d m e n to fr e s u l t sa b o u tf o u r - d i m e n s i o n a ls o l v a b l er d s t y p e l i ea l g e b r a sa n ds t u d yt h ef i v e - d i m e n s i o n a lu n s o l v a b l el i ea l g e b r a sw h o s ec e n t r a ld i m e n s i o n a li s1t o d e t e r m i n en o tr d s - t y p el i ea l g e b r a n em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri st os t u d yo fr d st y p el i ea l g e b r a s t h i sp a p e ri sa b o v et h r e e c h a p t e r s r e s u l t sa b o u tf o u r - d i m e n s i o n a ls o l v a b l er d s - t y p el i ea l g e b r a sa r ea m e n d e da n ds o r l 他 r e s u l t sa b o u tf i v el i ea l g e b r a sa l es t u d i e d k e yw o r d s ：l a t t i c eo fi d e a s ：r d st y p el i ea l g e b r a ；c e n t e r 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文 中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意 义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论 文或成果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名： 套霞日期：州年6 月弓日 一d 。， v 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本 人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单 位仍然为青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密q o ( 请在以上方框内打“) 论文作者签名： 李霞日期：聊年i 月罗日 导师签名： 多喀矽：扣日期：砌夕年朗弓日 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使用) 2 1 青岛大学硕士学位论文 引言 通过对李代数理想格的讨论，研究李代数的结构和分类，是一个有趣的课题。 在这个问题上，许多数学工作者也做了一些有益的探索并取得了一定的进展。 【4 】中作者给出了在某些域上的维数小于等于四的可解李代数的一个分类。 但是对于更高维数的分类则没有更好的结果。 【5 】中作者则将维数小于等于7 的幂零李代数做出了一个完全的分类。我们 知道幂零李代数是可解李代数的一类。所以它的分类对我们的研究也是很有帮助 的。 f 6 】中作者从“几乎”可换李代数出发，讨论了它的理想格满足的三条主要 性质。证明了：若一个可解李代数的理想格同构于某个“几乎 可换李代数的理 想格，则该可解李代数也是“几乎 可换的。 吲中作者讨论了理想格满足可补与分配性质的李代数，它的根的维数最多 是1 。 【8 】中作者则通过定义一些单理想给出了低维( 小于等于4 ) 可解李代数的分 类，这里运用了计算机程序来实现其算法。 【1 】中作者根据理想格满足的条件，定义了n r d s 型李代数的概念，刻划了 它的一些特性，特别是，对n 2 决定了所有n r d s 型李代数。证明了r d s 型 可解李代数的存在性并且给出了小于等于三维德r d s 型李代数的完全分类结。 果。 【2 】中作者在前面工作的基础上，解决了四维r d s 型李代数的结构和分类问 题。 这类李代数范围比半单李代数要大，所以对它结构和分类问题的研究可以促 进李代数结构研究的进程。 本论文分为四章： 第一章刻划了n r d s 的一些性质，并且得到了关于特征零代数闭域f 上有 限维n r d s 型李代数一系列结果，特别是当n 2 时，决定了所有的n r d s 型李代 数。 第二章给出了r d s 型李代数的性质，证明了对任意正整数n ，存在n 维可 解r d s 型李代数。 第三章给出了维数小于等于四的r d s 型李代数的结构和分类。 第四章给出四维可解r d s 型李代数结论的修正，通过对一维中心的五维 不可解李代数的讨论，确定它不是r d s 型李代数。 本论文的主要工作就是对r d s 型李代数进行研究。这章在前三章的基础 上，对四维可解l i d s 型李代数的结论不完善的部分给出了修正，并且进一步讨论 了部分五维李代数。 第一章n - r d s 型李代数 第一章n - r d s 型李代数 1 1n r d s 型李代数定义及例子 定义1 1 1设厶工是域f 上李代数，w 、矽分别表不厶三的理想格， 满同态厂：三一l 称为r d s 同态，如果它满足下面的条件： ( 1 ) 若、1 2e w ，且nl 一0 ，则厂“) nf ( 1 2 ) = 0 ； ( 2 ) 若，l 、j 2e w ，i t j lnj 2 = 0 ，则有01 2 形，使得n1 2 = 0 ， 且厂“) = j 。，f ( i 2 ) = j 2 。 定义1 1 2 如果任何以为定义域的满同态都是r d s 同态，则称是 卜r d s 型李代数( 或r d s 型李代数) ，记为l e & ；对n l ，如果l 的任何理 想含于民一。内，则称工是n r d s 型李代数，记为l r 。 引理1 1 1设l 是域f 上李代数，缈是l 的理想格，则是r d s 型李代 数当且仅当： ( 1 ) 若k ，i l ，1 2e wr 1 1ni 2 = o ，则：k n f f 。o ，2 ) = ( kn1 1 ) o ( kn1 2 ) ( 2 ) 若j 1 ，j 2e w ，有，l ，2 使，ln ，2 = o ，j 1 一，1 + j ln j 2 ，厂2 一，2 + j 1n ，2 证充分性若是r d s 型李代数， ( 1 ) 设厂：呻为r d s 同态，取l ，1 1e w ，且n1 2 = o ，使得 f ( 1 1 ) = 叫f ( 1 2 ) = 鸭 f ( 1 1 。i ：) = 1 1 i 2 ( l 。，：) nk 所以有：kn ( i io ，2 ) = ( kn ) o ( k n 1 2 ) ( 2 ) 设f 0 三呻纥n 歹2 为r d s 同态，取，1 ，2 e w ，厶，2e w 且 n ，22 o ，使得厂u 。) = 乡互n j ：，f ( j ：) 一乡n j ： 2 青岛大学硕士学位论文 1 + j 1 a j l m a 1 2 + j l f 1 m 则在同构意义下：j 1 = + j lnj 2 ，j 2 = 1 2 + j 1n 厂2 。 必要性：对于任意满同态厂：三一zw ，w 分别是厶的理想格。反证法： ( 1 ) 若，1 2e w ，n1 2 霉0 ，但厂( 厶) n 厂( ，2 ) 0 则存在非零元素 y e f ( 6 ) nf ( 1 2 ) ，及，葺e 1 2 ，( 葺) = ，( 吒) = y 。所以 厂瓴) 一厂0 2 ) = 厂“一石2 ) = 0 ，所以有- - x 2e k e r f ，又因为 五一x 2 厶，故而- x 2 k e r fn “o l ) 一( k e r rv 1 1 1 ) o ( k e r fn 1 2 ) 。 e k e r f ，从而y 高0 ( 矛盾) ( 2 ) 若以，j ：e w 且n ，2 = 0 ，因为- 1 ) = ，扩1 u 2 ) - - j 2 ， 且有厂- 1 u 1 ) n 厂- 1 u 2 ) = k e r r ，由条件中( 2 ) 知 厂- 1 “) 一厂1 “+ ，lf l j 2 ) z k e r r + f - i u 2 ) = f - 1 ( 2 + c i j 2 ) = k e r r + t 2 ， 故厂( ) = j 。，厂化) = j 2 。 例1 1 1 一维李代数是n r d s 型李代数，二维非可换李代数是n r d s 型李代数， ( n 1 ) 。 例1 1 2 设f 是零特征代数闭域，则fe 有限维半单李代数是n r d s 型李代数， ( n 1 ) 。 因为半单李代数可以写成单李代数的直和的形式，则其理想都是这些单 理想的直和的形式，再根据定义，结论显然是成立的。 注：这个例子说明n - r d s 型李代数的范围比半单李代数的要大 3 第一章n - r d s 型李代数 1 2n r d s 型李代数的基本性质 本章通过研究n - r d s 型李代数，得出这种李代数一些特性。特别是当n 2 时， 决定了所有的n - r d s 型李代数。 引理1 2 1n - r d s 型李代数的同态像还是n - r d s 型李代数。 证利用同态基本定理和引理1 1 1 可以证明。 定理1 2 1设三是可解n r d s 型李代数，且n 苫2 ，则d i m ls2 。从而 可推出l - - 0 或是一维李代数或二维非可换李代数。 证设的导代数列为：三一0 0 30 d 3 “) ；0 ，且) 0 ，则 z 鬈是可换r d s 型李代数( o sfs n ) 。贝l jd i m z 名m ) 一1 。若= d i m l 苫3 ，则 驴。2 ) ，p 4 ) 分别是三维、二维r d s 型理想，且以c 沙。2 ) 。则产生矛盾，故 d i m 三s2 。 引理1 2 2 设是尸上半单李代数，x e l 且到的任一单理想的投影不为 零，则有y e l ，使得x , y 生成的子代数等于乞。 证见参考文献【8 1 1 9 1 引理1 2 3 设l so r 是理想s 和r 的直和分解，且s 半单，则- ，是工 的理想当且仅当，= j ，o j ：，其中 ，：分别是s ，r 的理想。 证 由引理1 2 2 可以证明。 定理1 2 2 设一so 丁是理想直和，s 半单，则上是n - r d s 型李代数当且 仅当丁是n - r d s 型李代数。 引理1 2 4 ( l e v i 分解定理【1 0 】) 设三是f 上李代数尺；砌也是l 的极大可 解理想，则有三的半单子代数s 使得t s o r 。这一分解称为三的l e v i 分解， 5 称为的l e v i 因子。 定理1 2 3 对n 芑2 ，三是n - r d s 型李代数当且仅当r a d l 是下列三个中的 一个：0 ，一维李代数，二维非可换李代数。 证必要性，由假设是2 - r d s 型李代数。令r = r a d l ，则尺佃) 是三的理 想，从而是r d s 型的。设尺的导代数列是： r = 尺( o 2 尺( 1 尺( “+ 1 ) ；o 尺( 4 一0 则尺么( m ) 是可换r d s 型李代数，d i m r ( o r ( j + 1 ) 一1 ，o s f s 力。 类似定理1 2 1 的证明，必有砌以的维数不超过2 ，故尺只能是定理中列举 的形式。 充分性，设l = s o 尺是l 的l e v i 分解，月是的极大可解理想。 4 青岛大学硕士学位论文 若s = o 结论显然成立； 若s 乒0 ，s 在r 上的伴随作用使r 成为一个s 模，由表示的w e y l 定理可以 证明f s ，r 1 h 10 ，从而lt so 尺是理想直和，再由定理1 2 2 可知l 是n - r d s 型 李代数。 推论1 2 1 设是，上李代数，且f 厶l 1 ；l ，则上是半单的当且仅当工 是2 - r d s 型李代数。 注：由定理1 2 3 我们决定了所有nz2 的情形，以后主要考虑1 - r d s 型的， 即r d s 型李代数。 5 第二章r d s 型李代数 第二章r d s 型李代数 引理2 1r d s 型李代数的同态像还是r d s 型李代数。 证利用同态基本定理和引理1 1 1 可以证明。 引理2 2 设三是幂零李代数，并且是r d s 型的，则d i m l51 。 证设是非零的幂零李代数，则其中心z 伍) 一0 ，则三至少有一个一维理 想届同态像也是幂零的r d s 型李代数。若d i m l 卜1 ，将得到一个二维幂零的 、 r d s 型李代数。直接验证，这是不可能的，所以d i m ls1 。 引理2 3r d s 型李代数的中心的维数不超过1 。 证r d s 型李代数的中心是一个幂零的r d s 型李代数，由上面的证明，所 以r d s 型李代数的中心的维数不超过1 。 注：根据这一引理，在讨论r d s 型李代数的分类时，我们分为中心为零和 具有一维中心两种情况进行讨论。 由l e v i 分解定理，我们知道，一个一般的李代数可以分解为其极大可解 理想r ；r a d l 和的半单子代数s 的直和的形式；定理1 2 2 则说明是否是 r d s 型李代数依赖于月是否是r d s 型李代数。而例1 1 2 说明半单李代数就是r d s 型李代数，所以对r d s 型李代数的研究主要归结于对可解r d s 型李代数的研究。 但是这种可解r d s 型李代数是否存在呢? 下面我们就讨论可解r d s 型李代数 的存在性问题。首先，给出一个r d s 型模的概念。 定义2 1设三是，上李代数，是卜模，如果满足下面条件，则称肜是 r d s 型模： ( 1 ) 若n 、n l 、n 2 是膨的子模，j e n in n 2 0 ，则 n ( 1o n 2 ) 一nnn lo nn 2 。 ( 2 ) 若n 。、n 2 是m 的子模，则有子模n 。7 、n 2 使n l n n 2 一0 ，且 l n l + 1n n 2 ，n 2tn 2 + lnn 2 。 显然，是r d s 型李代数当且仅当卜模( 通过伴随表示) 它是r d s 型模。当 半单时，利用表示理论( 见文献盯3 ) 可以对有限维r d s 型卜模做完全分类，这就 是下面的定理： 定理2 1设是，上半单李代数，矿是有限维p 模， v = k ( a ) o 吒( 屯) o o k ( 九) ，则v 是r d s 型模当且仅当相应的支配整权 a 两两不同，即：凡乒t ，f j 。 6 青岛大学硕士学位论文 有了上面的这些准备，下面通过对线性变换和不变子空间的准备，构造一类 可解r d s 型李代数并得到：对任何正整数肛至少存在一个n 维的可解r d s 型李代 数。 首先引入一个结果，证明过程见文献n 。 引理2 4 设是可解r d s 型李代数，则： ( 1 ) 。皿，工 是的余维数为l 的理想； ( 2 ) 不能分解为两个非零理想的直和。 为了下面构造可解r d s 型李代数的需要，再给出一个基本，不变子空间的 定义。 定义2 2 设y 是f 上1 7 维线性空间，丁是矿上的线性变换，选取矿的基 巳r 气乞r 氐，使得： a0 1b1 0 。 i0 ： i； 0 0 0 0 1。 0 u o ； 丸； 1。0 01 九 则心。+ + 嘞，l ais s ，1s 五墨屯都是矿的不变子空间。简称基本，不变子空 间。 引理2 5设k 丁如上述定义2 2 且s = l ，则矿的非零不变子空间都是基 本丁不变子空间。 引理2 6 设k 丁如上述定义2 2 则：矿的任何不变子空间都可以表示为基 本丁不变子空间的直和营五乒a s ，f ，。 证 必要性：y 反i y _ 。设a = 如= a ，则不变子空间f ( 气。+ e 2 。) 不能表示成基 本，不变子空间的直和。 充分性： 令k ；心。+ 量，1 墨is s ，v = k o k 设形是任一不变子空间，4 f = t kf t 形，t 哆) ， 则4 是含在k 内的基本厂不变子空间， 则可以假定4 = 如1 + + ，l s is s 。今证：4c w ，1 s i s s 。 7 印；饥；幻；饥即；饥；即；绌 第二章r d s 型李代数 取i ；s ( 其他情形证法类似) 。 设晶一五+ 玉一1 柳+ 气形，其中薯o 4 ，l s i ：s - 1 ， 而。一口1 1 白l + + 气，则： 玩一q l 编1 + 口1 2 瓴l + 编2 ) + 飞一l + ) t ) 1 ；砜一九风一口1 2 气l + + 一1 + 屯1 + 一l 1 + 气1 + ( 丸一a ) 气， 其中，鼍1 z 巩o 、一弛o 4 ，2s fss 一1 ，且ne w 。 继续这个过程最终得到：气e w ， 进一步可推出4e w 。于是w = 4o 一o a s 。 下面给出本章的一个主要的结论。 定理2 2设矿是尸上刀维线性空间，n ) l ，是矿上的线性变换，定义v 中乘法使v 成为可换李代数，作分裂扩张：。f t ( d v ，则： 三是r d s 型李代数当且仅当z 非退化，并且任何特征子空间的维数是1 。 证 必要性：选取矿的基q ，气t ，气，使得：线性变换丁在这组 基上的作用如定义2 2 中的作用。 若对应特征值凡，特征子空间的维数大于1 ，取两个无关的向量口，令 k = f + 声) ，- f a ，1 2 = ，它们不满足引理2 1 中的( 1 ) ，故特征子空间的 维数是1 。 现证丁非退化。若不然，设凡= 0 。因为特征子空间的维数是1 ，有 a a j , f ，由引理2 3 ，y 的任何基本丁不变不变子空间均可表示成下列基本 ，不变不变子空间的直和： 如1 ，心l + 心2 ，f e , 1 + + f e 2 1 ，心1 + ，f e 2 l + + 2 f e n ，f e n + f e l 2 ，f e i l + + f e s t i 下面分两种情况进行讨论： 毛一1 ，令厶t 心。，l 2 = ( f e 2 ，+ 。+ f e 2 。：) o o ( 心。+ + k ) o 刀 8 ( 2 ) 青岛大学硕士学位论文 不难验证：厶，岛都是l 的理想，并且l 一厶。厶，这与引理1 2 3 矛盾。 扣1 ，一( 心。”+ b ) o o ( 心。+ + ) o ( 心t + + 氏t ) o 刀 jt ”+ 魄：) o o t + + 心) o 。+ 。+ 以) o 容易证明厶，是的理想，但不存在理想，、_ ，使得，7 n ，一0 ，并且 ，一，+ ，n ，j = j + ，n - ，这与引理1 1 1 的( 2 ) 矛盾 充分性 由假设( 1 ) 式中凡乒i ，i j ，且九一0 , 1 siss ，因此含在矿中 的理想一定是( 2 ) 中某些式子的直和。由于丁的作用方式，的真理想含在v 内，故只有有限个非零真理想，它们都是( 2 ) 中某些式子的直和，直接验证 可知引理2 1 的条件都成立，故是r d s 型李代数。 9 第三章小于等于四维r d s 型李代数的结构 第三章小于等于四维r d s 型李代数的结构 3 1 1 - 3 维r d s 型李代数的结构 例子3 1 1一维李代数是p , d s 型李代数；二维非可换李代数是r d s 型李代数。 定理3 1 2 设l 是三维可解李代数，e ，厂，g 是三的一组基，则是r d s 型李代 数当且仅当下列情形之一成立：( - - 维李代数的完全分类见文献n 羽) ( 1 ) p ，厂 。o ，e ，g ze ， 厂，g = a f ，( a 一0 , 1 ) ( 2 ) 【p ，i ；o ，【e ，g 】；e + f l f ，【，g 】= ，( 卢一0 ) 证假定f 是代数闭域，并且c h a r f 一0 或者c h a r f 3 。现分几种情况讨论如下： ( a ) 陋， = o 贝ul 是幂零李代数，i f i d i m l = 3 ，由引理2 2 l 不是r d s 型李代数。 ( b ) d i m l ，三 一1 且 ，l c z ( l ) ，此时己是幂零的，所以l 不是r d s 型李代数。 ( c ) d i m l ，三 = 1 且 ， 不含于z 犯) 内。这时可选取l 的基 e ，g ) ，使得 l = ( f e + f f ) o r g ，【e ， ；e 。而且n + 可，f g 都是理想。取j ，= f e + f f ， ，2 = f e + f ( f + g ) ，则不存在理想直和o 厶使得：= 厶+ j 。n j 2 ， j 1 一l + a j 2 。由引理1 1 1 ，l 不是r d s 型李代数。 ( d ) d i m l ，l = 2 l ，l 是二维可换理想，分几种情形( 下面 e ，f ，g ) 是的基) ： ( 1 ) 乘法表为：【e ，i - 0 ，【e , g = e， ，g = 厂 此时容易证明= ，0 + 厂) ，1 2t f ( 2 e + f ) ，k = f ( s e + 2 厂) 是理想，但是 k n “o l ) = k 0 ，( kn ) o ( kn 厶) = 0 ，由引理1 1 1 ，l 不是r d s 型李代 数。 ( 2 ) 乘法表为： p ，厂】；o ，- ，g = p ，【，g - a i ( a o ，1 ) 容易验证l 只有理想：0 ，f e ，可，凡+ 可，根据引理1 1 1 ，l 是r d s 型李代数。 ( 3 ) 乘法表为： e ，f - o ， e ，g = e + f l f ， ，g 一厂 ( 声幸o ) 容易验证l 只有理想：0 ，坷，f e + 矸，工根据引理1 1 1 验证，是r d s 型李代数。 1 0 青岛大学硕士学位论文 3 2 四维r d s 型李代数的结构 引理3 2 设三是四维李代数，凡是其一维中心。若l 不可解，则l 一定 是r d s 型李代数。 证由l e v i 分解一so r ( s 是半单子代数皿是根基) ，f h 一定在尺中若 不然，励在s 中，则s 有一维的可解理想f h ( 中心是可解的) ，矛盾。而s 半 单，则d i m s ；3 。所以，s 是三维半单李代数，而r 一励是r d s 型李代数。从 而是r d s 型李代数。 引理3 2 2设x ，y 是线性空间y 上的两个线性变换，d i m v 一2 ， 防，y = a r ( a 0 ) 。通过半直积构造李代数三一殿+ 刀+ y ，其中隗可换 的，则不是r d s 型李代数。 证不妨假设口= 1 ，其他情况证明类似。取y 特征向量 ，。扩张成y 的一组基， 则y 对应的矩阵为( 吉之) 。设x 对应的矩阵为( ：三) ，由阻，】，】y 得印y = o 即 + 如一。令九= 一九一a 计算防，y 】= y 得a = 。y 一( 三三】其中宰乒。此时 x = ( d ：1 三) 。容易确定l 的理想有。， ，毋+ 啊，凡+ 凡：，口+ + 心，三。 可以验证此时不是r d s 型李代数。 我们只要考虑可解的情况就可以了。令厶2 乡厶，则。是三维可解李代数， 根据定理3 1 2 ，我们有下面的引理。 引理3 2 3 若是r d s 型李代数，则有基p ，厂，g ，h 【e ，】= 九j l【e ，厂】= 枇 艇 e , g h = e + a 蚴2 h 心地1 ) ( 1 ，或修新蚴。s f - l - 九j i l 棚删胜。 l 胁，z 】= 0i 防，石 = 0 证由条件，厶是r d s 型的，故根据定理3 1 2 ，有上述的换位关系。 定理3 2 1 设是r d s 型李代数，则具有引理3 2 1 3 中所描述的基及 由( 2 ) 式所给出的换位关系，并且 乒0 ，九乒0 。 证见参考文献 2 引理3 2 4 设，是中c 为零的四维李代数，若l 不可解，则l 一定是r d s l l 第三章小于等于四维r d s 型李代数的结构 型李代数。 证由l e v i 分解l so 尺其中s 是半单子代数，r 是根基。由s 半单，则 d i m s 一3 。所以刀是一维李代数，是曰ds 型李代数。从而三是r d s 型李代数。 引理3 2 5 三可解时，则具有一维理想励。 证由1 i e 定理易知结论成立。 令厶2 乡厶，则工，是三维可解李代数，所以我们有下面的引理。 引理3 2 6 若是r d s 型李代数，则有基e ，f ，g ，h 使： 【e ，】= 柚 他，厂】； i i 修掐或掺船嚣砌朋 l 胁，z 】一z ( x ) hl 防，x 】一z ( x ) h ( 其中x 取e ，g ) 证由条件，厶是r d s 型的，故e h 定理3 1 2 ，有上述的换位关系。 定理3 2 2 设是r d s 型李代数，并且具有引理3 2 5 中所描述的基及 由( 1 ) 式所给出的换位关系，则必有下列情形之一成立： 错误! 未找到引用源。厶一0 ，九0 ，九；0 ，z ( e ) 0 ，a ( f ) 一0 错误! 未找到引用源。 。0 ，a 2 0 ，如0 ，z ( e ) = o ，a ( f ) 一0 n 朝 证见参考文献 3 定理3 2 3 设是r d s 型李代数，并且三具有引理3 2 5 中所描述的基及 由( 2 ) 式所给出的换位关系，则必有下列情形之一成立： 错误! 未找到引用源。 a 0 ) 、z ( f ) 不全为零 错误! 未找到引用源。z ( e ) 一z ( f ) = 0 时， a 不全为零，i = 1 ，2 ，3 。 证见参考文献 3 青岛大学硕士学位论文 第四章四维r d s 型李代数的结果及五维r d s 型李代数的部分 结论 命题4 1 设l 是四维可解的r d s 型李代数，对的基p ，厂，g ，h 来说，满足： 以厂】= 砌 i 【e ，g 】一e + 劈+ a ：h 1 厂，g 】= 厂+ 砌 峙，x 】= o ( 凡0 ，五0 ；z ；e ，g ；o ) 由定理3 2 1 0 ，毛- 0 。由j a c o b i 等式计算： f e ，厂 ，g 暑 枇，g ；o 1 e ，【厂，g 】+ 【， g ，p 】= p ，+ 屯j i l 卜 厂，唧一, o f a ：h - 2 九j l l 得凡= o 矛盾 这样的l 不存在。 命题4 2 设l 是四维可解的r d s 型李代数，对l 的基e ，f ，g ，h 来说，满足： f e ，】| 砌 峙g 叠e + 彬 i l s ，, e g 】 ；- a a ( p t 沙+ 九办( 其中口乒。，1 ：a ( e ) ，a ( ，) ，a ( g ) 不全为。) 陋小w 冲 峨g 】= a ( g ) h 由定酗2 2 得激二数二麓二潞二潞；：2 e hj a c o b i 等式计算： f e ，g ，h = e + a 2 h ，j 1 1 = 一a ( e b g ，j i l 】 + g ，胁，司】- e ，一a ( g ) + g ，a ( e = o f 【 厂，g ，h 一 口厂+ 枇，h = - a a ( f ) h 1 【厂，【g ，h i 】+ 【g ，肛，f 】- i ，一a ( g 沙】+ 【g ，a ( f ) h f f io f p ，儿g “枇，g 一枇( g ) 1 e ， ，g 】+ 厂， g ，e 】= l ，a ，+ 缈】+ 厂，唧一a ：h - ( a + 1 ) a l h 一九a ( e ) + 九a ( ，冲 知l a ( e ) - z ( f ) 一0 ， 一o ，a ( g ) 一0 。” 2 a 0 ) 一a ( 厂) ；o ， 一0 ，a ( g ) 。( 口+ 1 ) ，0 第四章四维r d s 型李代数的结果及五维r d s 型李代数的部分结论 对1 ，令v f e + 可+ 勋，则，v 卜0 ，v 是一个可换李代数。此时l 作用在v 上的矩阵为 100 0口0i ，是非退化矩阵，由定理2 2 ，l t 是r d s 型李代数。 九如x ( g ) j 对2 ，l 所有包含砌的理想是砌，f e + 励，可+ 励，f e + 可+ 励，三。若l 还有 不含励的理想，在，中任取工；k l e + 七2 厂+ 七3 9 + 七4 h 左作用i l ：由 j i l ，x e l 得k 3 a ( g ) he i 得k 3 = o 左作用e ： 由 e ，x ，得七： j i l j 得七：= o 左作用厂：由 厂，工 j 得一七，砷，得毛；o ，k 4 = o ，x - o 因此，； o ) ，此时由引理1 1 1 容易证明，是r d s 型李代数。 命题4 3 设l 是四维可解的r d s 型李代数，对l 的基p ，厂，g ，h 来说，满足： fe ，f j ；柚 盼g - - - e + ，+ 缈 l l f ，, e g 】 ；= a f ( e + a 3 h ( a ( e ) ，a ( 厂) ，a ( g ) 不全为。) 陋州= a ( f ) h g 】；z ( g ) h 由j a c o b i 等式计算： f ，g ，h - s + 劭，尼 | 一z ( f ) h 1 ， g ， + g ， ，f = 厂，一a ( g ) 】+ g ，- z ( f ) h - a ( g ) a ( f ) h - a ( g ) a ( f ) h = 0 【吣 ，h = e + f l f + 锄， 卜- a ( e ) h - f l a ( f ) h 1 e ， g ， + g ， 办，e 】 = e ，一a ( g ) + g ，- z ( e ) h = a ( e ) a ( g ) h - a ( e ) a ( g ) h = o f e ，几g = 砌，g = ；h z ( g ) h b ，g 】+ m g p 】 = p ，厂+ 劭】+ 【，一e - f l f 一& h f f i2 ；h h - z ( e ) z 3 h + a 2 z ( f ) h 知激二袋f ) f f i o 得s 怒二姑：二警乏二言蔷二兰 1 4 青岛大学硕士学位论文 f e ，f - o g 】一p + 卢厂+ 矽 圳篇譬“j i l 似咖。， 厂】一0 r 陋g 】一a ( g 冲 令v f e + f f + f h则i v ，y 1 一o ，v 为可换李代数，l 作用在v 上，对应矩阵 f 三0 l 。0 1 ，为非退化矩阵，由定理2 2 ，为r 。s 型李代数。 尢屯a ( g ) j 阽f = a l h 峙g 】一p + f l f + 砂 圳篇等嵋j i m 厂】= 0 队g 】= 2 h 由定理3 1 2 ，工包含f h 的理想为，f h ，f h + 可，f e + 可+ f h ，三 若还有不含f h 的其它理想，取，中任意元素x k l e + k 2 f + k s g + k 4 h 作用厂：- k l 凡 + 尼3 ( 厂+ a s h ) e i 作用e ：k s e 1 得缸= 0 从而k ，。0 x = k 2 f + k 4 h ，容易证明，是r d s 型李代数。 下面是关于五维r d s 型李代数的部分主要结果： 定理4 1 设l 是五维李代数，曰是其一维中心。若l 不可解，则l 不是r d s 型李代数 证由l e v i 分解lts0 r ( 其中s 是半单子代数，r 是极大可解理想) ，f 为一维中心，故h 可解hcr ，故d i m s 量4 。从而d i m s 一3 ，d i m r 一2 。 若l tso 尺 ( s ，尺均是己的理想) 尺为二维可解理想hc 尺，j r 可换，由知尺不是r d s 型李代数，再由定理1 2 2 ： 第四章四维r d s 型李代数的结果及五维r d s 型李代数的部分结论 不是r d s 型李代数。 若l ，so r( s 不是l 的理想) 不妨设s ，r 的一组基分别为吒，以，匕和，使得 sif h o 囝f x 。o f y o ；r | f it 移f i t ；lif h 。of x oo f y a9 f l 囝f l f h a ，x 。】= 2 以 i h a ，k 一一暖 i 以，匕】= 九 对应乘法表 x o ，】= 口，+ 6 1 ，( 其中幸f f i x a ，k ，h a ，7 ) 陋，】葺口2 ，+ b 2 i 陋，】ma 3 ，+ b 3 i 奉】一0 事实上，这样的李代数不存在。取定，对以，匕，h a 中任意两个，计算： f x a ，k ” 吃，7 = a 3 i + b 3 i 1 以， k ，】+ 匕， j7 ，l 】一 以，口：i + b 2 i7 】+ 匕，一口1 i - b 。l 】；也口。i - a a i 以，九 ， = 一2 兄， 一- 2 0 ，i + b ：i ) 1 x 。，【丸，】卜【吃，【，x 。】 - 【以，口，+ 】+ 【吃，- a l i - b l i = b 3 a l i - a 3 b l i f 【砭，h a ，” - 哑，7 ；2 ( a ：i + b # 3 1 【匕，【k ，7 】+ 【k ， ，匕】= 【匕，口，i + b 3 i 】+ 【k ，一口：i - b 2 i 】一6 3 口：i - b 2 a 3 i 由j a c o b i 等式可推出 r 如= 6 3 io a一32臼-。b：2a魄1口-。a一2b口1，61得6i 2 6 2 = 也= o r 口。口：2 口，2o 1 2 a ：= 咖2 一b 2 a 3 此时，l 的乘法表 f h a ，x 。 = 2 x a 陋，匕】= 一珥 以，e 】= 呢 ( 其中事一x 。，k ，吃，j ，) 奎】= 0 掌】= o 与l 有一维中心矛盾。 1 6 结论 结论 本论文首先介绍了n r d s 型李代数的定义；接着给出了它的一些主要性质； 证明了一个李代数是n r d s 型李代数的充分必要条件。 接着我们研究了1 - r d s 型的，即r d s 型李代数的主要性质；给出了r d s 型 李代数的一个等价定义；证明了可解r d s 型李代数的存在性；通过线性变换构造 了一类可解r d s 型李代数。 随后我们研究维数小于等于4 的r d s 型李代数的结构问题。 最后我们给出四维可解r d s 型李代数结论的修正，通过对一维中心的五维 不可解李代数的讨论，确定它不是r d s 型李代数。 1 7 参考文献 参考文献 l 王宪栋n - r d s 型李代数及其构造华东师范大学学报( 自然科学版) 1 9 9 8 ( 4 ) ：1 0 1