（基础数学专业论文）矩形除半环的分配格.pdf

摘要 半环可以看作是南分配律联系着的同一非空集合上的两个半群，其 中的一个半群的性质影响着另一个半群乃至整个半环。与p a s t i j n ，g u o 和s e n 在文 1 所研究的左c l i f f o r d 半环相对应，本文引入和研究了除 半环( 左除半环，矩形除半环) 等概念。进一步还讨论了除半环( 左除 半环，矩形除半环) 的分配格以及乘法半群为矩形群的半环与s 。中成员 的m a l t c e v 积m r g os 。，探讨了这些半环与他们的乘法半群之间的关系， 获得了这些半环的若干刻划，给出了除半环( 左除半环，矩形除半环) 的分配格以及m r g 。s 。中的半环的次直积分解。 关键词：半群、半环、分配格、次直积、m a l c e v 积、同余。 e 矧逶熟 a b s t r a c t as e m i r i n gi sa na l g e b r a ( s ，+ - ) w i t ht w ob i n a r yo p e r a t i o n s + a n d s u c ht h a tb o t ht h ea d d i t i v er e d u c t ( s ，+ ) a n dm u l t i p l i c a t i r er e d u c t ( s ，) a r es e m i g r o u p sc o n n e c t e db yl i k e r i n gd i - s t r i b u t i v el a w s ，c o r r e s p o n d i n gt ol e f tc 1 i f f o r ds e m i r i n gs t u d i e db yp a s t i j n g u oa n ds e ni np a p e r 1 ，w ei n t r o d u c ea n ds t u d y t h es o - c a ll e dd i v i d e d s e m i r i n g s ( 1 e f td i v i d e d s e m i r i n g s ，r e c - t a n g u i a rd i v i d e d s e m i r i n g s ) ，f u r t h e r d i s c u s st h ed i s t r i b u t i v e l a t t i c e so fd i v i d e d s e m i r i n g s ( 1 e f td i v i d e d s e m i r i n g s ，r e c t a n g u l a rd i v i d e d s e m i r i n g s ) a n dt h em e m b e ro fm r g 。s t w h i c hi s t h em a l c e v p r o d u c t o ft h es e m i r i n g sw h o s em u l ti p li c a t i v er e d u c t sa r er e c t a n g u l a rg r o u p sa n dt h em e m b e ro f s e ，i n v e s t i g a t e t h er e f a t i o nb e t w e e nt h e s es e m i r i n g sa n dt h e i rm u l t i p l i c a t i v e r e d u c t s o b t a i nt h ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h e s es e m i r i n g s ，g i v e o u tt h e i rs u b d i r e c tp r o d u c td e c o m p o s i t i o n s k e yw o r d ：s e m i g r o u p ；s e m i r i n g ：d i s t r i b u t i v el a t t i c e ： s u b d i r e c tp r o d u c t ：m a l vp r o d u c t ；c o n g r u e n c e 独创性声明 本文声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中加以特别标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 、o 学位论文作者签名：、和他：签字日期：一。d 乒年6 月8 日 第一章绪论 半环代数理论的研究始于十九世纪末。v a n d i v e r 在1 9 3 4 年对半环做 了首次较为系统的研究。目前，半环理论已十分丰富，其应用已遍及到 组合学，函数分析，拓扑，图论，自动机，语言，量子物理和欧氏几何 等许多领域，现今已有几本关于半环的理论和应用的专著( 见文 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 。 一个半环是指具有两个元运算“+ ”和“”的非空集合s ，且满足 条件： ( 1 ) ( s ，+ ) 和( s ，) 都是半群； ( 2 ) ( v a ，b ，c s )( 口+ b ) c = a c + b cc ( a + 6 ) = c o + c 6 从代数的观点来看，半环可以看作是由分配律联系着的同一非空集 合上的两个半群。这样，半群理论上的观点和方法有助于研究半环。近 年来，美国，印度，中国，香港等地的一些著名的代数半群研究专家从 半环的半群角度出发，对半环做了一系列新的研究。 完全正则半群是一类非常重要的半群类，它的代数理论是非常丰富 的( 见书 6 ) 。我1 f i h 道c i i f f o r d 半群，左群的半格和矩形群的半格都 是纯整的完全正则半群。近年来，g h o s h 介绍了环的分配格 文7 ，g u o ， p a s f i j n 和s e n 介绍了左c 1 i f f o r d 半环( 即左环的分配格) ，其加法半群 分别为c 1 i f f o r d 半群和左群的半格。受此启发，本文讨论了与之相对应 的乘法c 1 i f f o r d 半环，左除半环的分配格，矩形除半环的分配格和乘法 半群是矩形群的半环与s 。中成员的m a l h v 积m r g 。s 。，他们分别为乘法半 群是c 1 i f f o r d 半群，左群的半格和矩形群的半格。同时，利用文 8 中 z h a o ，g u o 和s h u m 的( 2 ，2 ) 型代数的坚固构架的结论和方法对他们的结 构与性质进行了研究。 在研究中，我们注意到g r e e n 关系在研究半群时扮演着重要的角色。 在一个半环s 上，加法半群和乘法半群都有各自的g r e e n 关系，我们用 9p ，印形分别表示乘法半群的g r e e n 关系，在正则半群中定义如下： 口妒b 铮s a = s b ( 口，b s ) 日。笫6 营a s = b s ( 玎，b s ) a j b 营s a s = s b s ( a ，b s ) 设半环s 的乘法半群是完全正则半群，由书 6 定理i i4 5 可知 = 旦，每一个彩一类是s 的乘法半群( s ，) 的子群。对任意的a es ，我 们用口。表示何。中口的逆元素。用a o 表示h 。中口的恒等元。表示口所在 的形一类。如果d ，b s ，显然a , a b 当且仅当a o = b o 。 同时我们还注意到半环的幂等元对整个半环产生重要的影响，我们用 e ( s ) 表示半环s 的乘法幂等元的全体，e ( s ) = l 口e s 。 幂等元半环是一类1 f 常重要的半环类，它是满足附加恒等式 x + x “x x “x 的半环，通常用i 表示。b i r k h o f f 定理告诉我们，一个等式类 是一个簇，反之亦真，所以幂等元半环是簇。分配格簇，s 。半环簇和i d 半 环簇都是幂等元半环的子簇，其中分配格簇由附加恒等式 x y 。y x ，x + y * y + e + x y “x 确定，通常用d 表示，s 。半环簇由附加恒等式 x y “y x 确定，i d 半环簇由附加恒等式x + y zz “+ y ) + = ) ，删+ = “ + = ) ( y + ：) 确定。 对任意给定的半群类v ，我们用v 表示半环s 的乘法半群( s ，1 在v 中。例如，g 表示半环s 的乘法半群( s ，) 是群的半环类，它的成员被称 为除半环。r e se ，r e g 】分别表示半环s 的乘法半群( s ，) 是矩形带 半 格，矩形群 。 两个半环类v 和w 的m a l c e v 积用v 。w 表示，它是由如下性质的半环s 组成：在s 中存在半环同余p ，使得商半环s p w ，若每一个p 类是s 的 子半环，则它属于v 。且p 称为半环s 的w 同余。 本文研究了除半环( 左除半环，矩形除半环) ，除半环( 左除半环， 矩形除半环) 的分配格和m r g 。s 。中的半环，讨论了这些半环与它们的乘 法半群之间的关系，给出了这些半环的若干刻划及其成员的次直积分解。 在本文的第一章，我们先对半环研究的背景和现状作了初步介绍， 给出了与本文有关的概念，为后面的研究做了准备。第二章研究了 m r g 。s 。中的半环的结构特征及次直积分解。第三章研究了乘法c 1 i f f o r d 半环的结构特征和次直积分解。第四章研究了矩形除半环及矩形除半环 的分配格的结构特征和次直积分解以及纯整的矩形除半环的分配格。第 五章研究了左除半环及左除半环的分配格的结构特征和次直积分解以及 纯整的左除半环的分配格。 第二章m r g 。s 。中的半环 本章给出m r g 。s 。中的半环的定义及若干刻划，证明了旦是半环上的 同余，利用了( 2 ，2 ) 型代数的坚固构架的结论和方法，给出了m r g 。s 。 成员的次直积分解。 定义2 1 半环s 叫做乘法矩形群半环，是指它的乘法半群( s ，) 是 矩形群。我们用m r g 表示所有的乘法矩形群半环类。口 定理2 2s m r g 。s 。当日仅当旦是s 上的最小s 。同余，且每一个9 一类是m r g 中的半环。 证明：设s m r g 。s 。，则在s 上总存在一个同余p ，商半环s p s 。， 每一个p 一类是m r g 中的半环。因为s 的乘法半群( s ，) 是矩形群的半格， 是完全正则半群，那么9 是( s ，) 上的最小半格同余，所以我们有9 p 。 另一方面，对任意的“s ，由于p ，是m r g 中的半环，它的乘法半群是半 环s 的乘法半群的完全单子半群，所以p 9 。这就证明了p = 9 。所以9 是s 上的最小s 。同余，l i 每一个9 一类是m r g 中的半环。 反之，若口是s 上的最小s 。同余，且每一个旦- 类是m r g 中的半环。 则s m r g 。s 。 为了讨论m r g 。s 。成员的次直积分解，我们需要回忆文 8 中的下述 概念： 定义2 3 我们称一个( 2 ，2 ) 型代数( b ，+ ，) 是一个构架，是指在 b 上存在一个下半格序“”，且满足： 对v a ，b b ，日+ 6 d 6 ，a b 口 b ，其中 b = 9 1 6 口，6 ) 。 口 定义2 4 ( & ，+ ，) ，口s 鳓是两两不相交的半环，其中b 是构架， 口：s 。_ s 。( 口卢) 是一族单同态，满足下列条件：v 甜，b ， ( 1 ) 。= 1 n ； ( 2 ) 如果d y ，那么o j p f ，= 纯， ( 3 ) 如果口 ，那么 s d 妒口y + sp 妒b r s 。+ p 妒t b r ， s 。妒口。y s b 9 b 。y s 印9 印。y ， 在s = us 。上定义运算如下： 口+ b = ( 口妒。，。卢+ 6 妒卢，。，) 妒。+ 卢a 一卢， a b = t q 妒。d 、。b 币87 d 、r 1 9 。，a “8 对v a s 。，b s p ，我们能够证明( s ，+ ，) 是个半环，用s = ( b ；s 。口) 表 示，称s = u n s 。是半环s 。的坚固构架b 。口 引理2 5 若b s 。，在b 上定义一个下半个格序“”： v a ，b ba 蔓b 铮a b = a ，则b 是构架。 证明：v a ，b b ， ( h 6 ) ( d 6 ) = a ( b ( a 6 ) ) = a ( a 6 ) = a b ， ( d + 6 ) ( 口 6 ) = ( a + 6 ) ( 口 6 ) = a ( a a 6 ) + b ( a 6 ) ：a b + 口 b = a b 所以a b 口 6 ，a + b 口a b ，则b 是一个构架，并且曲= a a b = g 占 口，6 ) 。 口 定理2 6 设s m r g 。s c ，那么s 是m r g 中半环s 。的坚固构架b 当且 仅当s 的乘法半群( s ，) 是矩形群的坚固半格。 证明：设半环s 的乘法半群( s ，) 是矩形群的坚固半格，根据书 6 定 理1 3 和定理i v l 6 ，我们有对任意的o r 卢b 和任意的des 。，存在唯 一的e ( ) ，使得a = a e 口，且n a e 。，由书 6 定n i v l 3 ，定理1 6 和定理1 7 可知，( s ，t ) = ( b ，) ；( s 。，) ；吼p 】，其中( b ，) 和( s 。，) 分别 表示引理2 5 中的半环占和m r g 中半环s 。的乘法半群，且。定义为： ( v a s ) 口，p 2 e a a = a g 口 由于半环s 的乘法半群是矩形群的坚固半格，对v 口，b s 。，存在 ，厶，g p e ( ) ，使得： 口，卢= p f 口= a e p ，6 妒。，卢= a b = 6 名，( 口+ 6 ) 吼卢= g 一( 口+ 6 ) = ( 口+ b ) g 口 根据书 6 引理1 3 ，我们有 ( 口+ 6 ) 妒。，卢= a g 卢+ 略p = e r a ge + f 扣gb = a e b gb + 蟛3 9b = ( 玎妒。，口+ 6 妒。口) g 口 类似地，我们可得( 口+ 6 ) ，p = g p 0 ，口+ b e p 。p ) ， 所以( a + b ) t p 。，f = 口吼口+ 6 吼，口。 这就证明了吼。是一个半环同态。 最后，对任意的口s 。，6 s 口，存在，岛，g 掣e ( ) ，使得 n 币q 坤2e 口o n 2n e 卸 b 单p 。，= k 囊= b 。3 ， ( d + 6 ) 妒。+ 芦印= g 叩( 口+ 6 ) = ( 口+ b ) g 邪 类似地，我们可得 + 6 ) + 卢，叩= g 印妒。印+ b 口印) = ( 口印+ 6 郇) g 卵 这就得到了+ 6 ) 吼帕叩= d 印+ b q ，p 、印，所以我们有 a + b = + 6 ) 妒。+ p , a f l - + i 芦，印= 0 p 。印+ 6 伊卢，卵) 一- i 口印 由定义2 4 ，我们知半环s 是m r g 中半环s 。的坚固构架b ，其中 酬旦= b ，s 。是半环的9 类。 反之，如果s 是m r g 中半环的坚固构架b ，显然半环s 的乘法半群是 矩形群的坚吲半格。口 定理2 7 设半环s m r g 。s 。，那么s 是m r g 中成员和引理2 5 中的 s 。中成员的次直积，当且仅当s 的乘法半群( s ，) 是矩形群和半格的次直 积。口 第三章乘法c l i f f o r d 半环 本章研究了乘法c l i f f o r d 半环的结构和特征，证明了彤是半环上的 最小分配格同余，给出了乘法c l i f f o r d 半环成员的次直积分解。举例说 明乘法c 1 i f f o r d 半环未必是除半环与分配格的次直积。 一、乘法c l if f o r d 半环的特征结构及次直积分解 定义3 1 1 半环s 叫做除半环，是指s 的乘法半群( s ，) 是群。我们 用g 表示所有的除半环类。口 引理3 1 2 在除半环s 中，下列命题等价： ( 1 ) ( 3 a s ) d + a = ， ( 2 ) 1 n + 1 = 1n ， ( 3 ) ( v a s ) 日+ 口= 口 证明：由( 1 ) 推出( 2 ) ：假设存在a s ，使得a + a = n ，我们有 口= ( 1 s + l s ) 口，因( s ，) 是群，故1 s + 1 n = l s 。 由( 2 ) 推出( 3 ) 和由( 3 ) 推出( 1 ) 是显然的。 从以上引理，我们知道，如果除半环s 的加法半群( s ，+ 1 中至少包含 一个幂等元，那么( s ，+ ) 是； ；。 口 定义3 1 3 半环s 叫做乘法c l i f f o r d 半环，是指s 是除半环的分配 格。我们用go d 表示所有乘法c 1 i f f o r d 半环类。 口 定理3 1 4s g 。d 当且仅当彤是半环上的最小分配格同余，且每 一个彩一类是除半环。 证明：设s g 。d ，则在s 上总存在一个同余p ，商半环s p d ，每 一个p 类是除半环。因为( s ，) 是c 1 i f f o r d 半群，根据书 6 定理2 4 知舻= 9 ，所以彩是( s ，) 上的最小半格同余，故穿p ，又每一个p 类是 除半环，男是除半环上的泛关系，我们有p 驴，也就是说p = 舻，所以 彤是半环上的最小分配格同余，且每一个彤一类是除半环。 反之，若穿是半环上的最小分配格同余，且每一个形一类是除半环， 则s 是除半环的分配格，即se g 。d 。口 定理3 1 5 若s g 。d ，则s 满足：对v d ，b s ， ( “6 ) o = ( 6 “) o ，( “+ 6 ) o = ( 6 + 口) o ，( n + “6 ) o = “o 证明：设s g 。d ，则彤是半环上的最小分配格同余，即n b 第6 n ， 口+ 6 盘尸b + 口口+ 口6 盘尸口，序i 以， ( 口6 ) o = ( 6 口) o ，( d + 6 ) o = ( 6 + 口) o ，( 订+ a b ) o = 口o 口 定理3 1 6 若半环s g 。d ，那么s 是除半环的坚固分配格，当且仅 当s 的乘法半群( s ，) 是群的坚固半格。 证明：显然分配格d 是构架，由于d 量s t , g m r g ，所以 g 。d m r g 。s 。，根据定理2 6 和定理3 1 4 ，结论是显然的。 口 定理3 1 7 设se g 。d ，那么s 是除半环和分配格的次直积，当且仅 当s 的乘法半群( s ，) 是群和半格的次直积。 口 定理3 1 8 设s g 。d ，那么s 是除半环的坚固分配格当且仅当s 的 乘法半群( s ，) 是e 一酉的。 证明：设s g 。d ，则s 的乘法半群( s ，) 是c 1 i f f o r d 半群，若( s ，) 是e 一酉的，根据书 6 推论i v 3 7 可知，( s ，) 是群的坚固半格，由定理 3 1 6 ，我们知道，s 是除半环的坚固分配格。 反之，若s 是除半环的坚固分配格，则s g 。d ，且s 的乘法半群( s ，) 是群的坚固半格，根据书 6 推论3 7 可知，( s ，) 是e 一酉的。 口 由定理3 1 6 ，定理3 1 7 和定理3 1 8 ，我们很容易得到如下定理： 定理3 1 - 9 半环s 是除半环和分配格的次直积当且仅当s g 。d ，并 且s 的乘法半群( s ，) 是e 一酉的。 口 若s 是除半环的坚固分配格，则s 一定是除半环的分配格，即乘法 c l i f f o r d 半环，反之，除半环的分配格未必是除半环的坚固分配格。 例如：s 是任意一个乘法c 1 i f f o r d 半环，且s 中的元素不全是乘法幂 等元，在s 中并入一个零元素： c 。一r s 如果s 中有零元素 “ 。s u 0 否则 对v s s ，5 0 ：o s ：o ，s + o = o + s = s ，o + 0 = 0 o = 0 ，则s o 仍是一个乘法 c l i f f o r d 半环，由于对v s s ，s o = 0 s = 0 e ( s ) ，而s 不一定是乘法幂等 元，所以( s o ，) 不是e 一酉的，根据定理3 1 8 ，我们知道s o 不是除半环 的坚固分配格。 第四章矩形除半环的分配格 本章研究了矩形除半环及矩形除半环的分配格，讨论了这些半环与 它们的乘法半群之间的关系，进一步分析了它们的次直积分解，讨论了 纯整的矩形除半环的分配格。 一、矩形除半环 定义4 1 1 半环s 叫做乘法矩形带半环，是指它的乘法半群( s ，) 是 矩形带。我们用r e 表示所有的乘法矩形带半环类。口 命题4 1 2 若s r e ，则s i 。 证明：设s r e ，贝0 ( s ，) 是矩形带，对v a ，b s ，s 满足a b a = 口，所以， 十= 1 2 3 + 玎3 = “( “+ 口) ( ，= ，所以s i 。口 定义4 1 3 半环s 叫做矩形除半环，是指s 同构于乘法矩形带半环和 除半环的直积。 口 我们用r e g 表示所有的矩形除半环类。 引理4 1 4 设s 是矩形除半环，假设s 兰s ，s ：，其中s r e ，s ：g ， 那么对任意的( p d ) ，( ，6 ) s s ：， ( p ，日) 彤( 厂，6 ) e = 厂 证明：设s 是矩形除半环，假设s 兰s ，s ：，其中s i r e ，s ：g ，那么 对任意的( e ，口) ，( 厂，6 ) s ，s ：，用a “和b “表示除半环s ：的乘法群中d 和b 的 逆元素。 如果e = f ，那么( e ，a ) ( ，a 。6 ) = ( 厂，6 ) 和( ，6 ) ( e ，b 。“) = ( e ，口) 这就推出了 ( p ，口) 舅( - 厂，6 ) 。类似的( p ，a ) s e ( 厂，6 ) ，所以我们有( p ，口) 彤( ，6 ) 反之，设( e ，口) 彤( 厂，6 ) ，那么( p ，日) 舅( 厂，6 ) ，则存在( g ，c ) ，( ，d ) s 1 s 2 ， 使得( 曙，4 c ) = ( e ，口) ( g ，c ) = ( ，6 ) 和( 乃，b d ) = ( ，6 ) ( ，d ) = ( p ，口) ，这就推出e g = f 和乃= e ，这就是说，在半环s 的乘法矩形带中e 舅，类似的，从 ( e ，口) 箩( ，6 ) ，我们可以证明，在半环墨的乘法矩形带中，e p 厂，所以，e ：，。 口 推论4 1 5 对一个矩形除半环s ，我们有 ( 1 ) ( s ，) 是矩形群； ( 2 ) 彤是s 上的半环同余； ( 3 ) s 的每一个彤一类是s 的一个子除半环。 证明：设s 是一个矩形除半环，假设s = s 。s ：，其中s 。r e ，s ：g ， 显然( s ，) 同构于( s l ) 和l ( s ：，) 的直积，这就证明了( 1 ) 成立，从上 述引理，我们可以得到( 2 ) 成立，从( 2 ) 我们也可以推出( 3 ) 成立。 口 引理4 1 6 设半环s 是矩形除半环，在s 上定义一个二元关系如下： ( v a ，b s ) a y b 矿( 口) = 矿( 6 ) 那么y 是半环s 上的除半环同余。 证明：从书 6 引理i i5 5 和命题i i5 6 ，我们知道，y 是半环s 的乘 法矩形群上的最小群同余，在剩余的部分，我们仅需要证明y 也是半环s 的加法半群上的同余。设口，b s 且a y b ，根据书 6 引理i i5 5 和推论i i i 5 3 ，我们有玎= a o b a ob = 6 0 a b o ，并且e ( s ) = d oi s ) 是半环s 的乘法矩形 群的一个子带，那么，对任意的c s ，我们有： d + f = ( 日+ c ) o ( d + c ) ( 日+ c ) o = ( d + c ) o a ( o + c ) o + ( 口+ c ) o c ( d + c ) o = ( n + c ) o o b a o ( “+ c ) o + ( a + c ) o c ( a + f ) o = ( 口+ c ) o 口o b o b b o 口o ( 口+ c ) o + ( 口+ c ) o c ( a + c ) o = ( 口+ c ) o b ( a + c ) o + ( d + c ) o c ( a + c ) o = ( 口+ c ) o ( 6 + c ) ( 订+ c ) o 通过转换a 和b 的角色，我们类似地可以证明 6 + c = ( 6 + c ) o + c ) ( 6 + c ) o ，根据书 6 引理i i5 5 ，我们有0 + c ) _ y ( 6 + c ) 。 对偶地，我们有( c + a ) y ( c + 6 ) ，故y 是半环s 的加法半群上的同余。口 定理4 1 7 半环s 是矩形除半环当且仅当s 满足下述条件： ( 1 ) s 的乘法半群( s ，) 是矩形群； ( 2 ) 男是s 上的半环同余。 证明：根据引理4 1 5 ，必要性是显然的。 充分性：设半环s 的乘法半群( s ，) 是矩形群且形是半环同余，根据 引理4 1 6 我们知道y 是半环s 的最小除半环同余，根据书 6 命题i i 5 6 ， 我们有9 = 彤。y 是s 上的泛关系，影n y 是s 上的恒等关系，我们定义映射 弘s 寸s 彤s y ，( v a s ) ，a c p = ( 日。y 。) ，很容易验证妒是一个同构，即 仍s 兰彤s y ，其中s 彤r e ，s y g ，这就表明了s 是矩形除半环。 口 二、矩形除半环的分配格 我们用r e g 。d 表示所有的矩形除半环的分配格类 定理4 2 1 半环s 是矩形除半环的分配格，即s r e g o d ，当且仅当 9 是s 上的最小分配格同余，且每一个9 一类是矩形除半环。 证明：设半环s 是矩形除半环的分配格，则存在半环同余p ，使得s p 是分配格，每一个p 一类是矩形除半环。因为s 的乘法半群( s ，) 是矩形群 的半格，是完全正则半群，那么旦是( s ，) 上的最小半格同余，我们有 9 p 。另一方面，对任意的“s ，由于p 。是矩形除半环，它的乘法半群 是半环s 的完全单了半群，所以p s 9 。这就证明了p = 9 。也就是说口是 s 上的最小分配格同余，且每一个9 一类是矩形除半环。 反之，若9 是s 上的最小分配格同余，并且每一个9 一类是矩形除半 环，由定义可知，s 显然是矩形除半环的分配格。口 定理4 2 2 若半环s 是矩形除半环的分配格，则s 满足：对v 口，b s ， ( 口6 ) o = ( 口6 ) o ( 6 日) o ( 口6 ) o ， ( 口+ 6 ) o = ( 口+ 6 ) o ( 6 + d ) o ( 4 + 6 ) o ， “”= ( d + a b ) o n o = d o ( d + b a ) o = ( a b + 口) o a o = 口o ( b a + d ) o 证明：设半环s 是矩形除半环的分配格，则旦是s 上的最小分配格同 与专，所垃 刑v a ，b s ，口6 9 b ，口+ 6 旦6 + d 9 + 日b 由于每一个旦一类是矩形除半环，它的乘法半群是矩形群，所以 ( 日6 ) o = ( “6 ) o ( 6 日) o ( 口6 ) o ， ( 口+ 6 ) o = ( 口+ 6 ) o ( 6 + 口) o ( 口+ 6 ) o ， 口o = ( 口+ a b ) o a o = 甜o ( 口+ b a ) o = ( a b + 口) o a o = 口o ( b a + 口) o 口 定理4 2 3 若s 是矩形群的半格，则s 是纯整的。 证明：设s 是矩形群的半格，对v e ，f e ( s ) ，根据定理4 2 2 和书 6 引理1 1 4 4 ，我们有 e f = ( 矿) ( 矿) o = ( 矿) 2 ( 盯) = ( 矿) 2 ( 旷) o ( f e ) o ( e f ) o = ( 矿) 2 ( e f ) o = ( ) 2 ， 所以s 是纯整的。口 定理4 2 4 设半环s 是矩形除半环的分配格，那么s 是矩形除半环的 坚固分配格当且仅当s 的乘法半群( s ，) 是矩形群的坚固半格。 证明：显然分配格d 是构架，由于d s c ，r e g m r g ，故 r e g 。d m r g 。sc ，根据定理2 6 和定理4 2 1 ，结论是显然的。口 定理4 2 5 设半环s 是矩形除半环的分配格，那么s 是矩形除半环与 分配格的次直积，当且仅当它的乘法半群( s ，) 是矩形群和半格的次直 积。口 引理4 2 6 半群s 是矩形群的强半格，当且仅当s 是矩形群的半格， 且e ( s ) 是正规带。 证明：设半群s 是矩形群的半格，且e ( s ) 是正规带，根据定理4 2 3 可知半群s 是纯整的，则对 f i e ，f ，g e ( s ) ，e f e e g e = 咖= e g f e = e g e e f e ，所以e s e 中的幂等元是可换的，即e s e 是一个逆半群，根据书 6 引理i v 2 3 ，我们 知道e s e 是c l i f f o r d 半群，那么s 是局部c 1 i f f o r d 半群，根据书 6 定理 i v l 6 知，s 是完全单半群的强半格，又由书 6 推论i i l 5 3 知，纯整的完 全单半群是矩形群，这就证明了半环s 是矩形群的强半格。 反之，若半环s 是矩形群的强半格，显然它是矩形群的半格，根据书 6 定理1 6 和定理4 2 3 ，我们得到e ( s ) 是正规带。 口 引理4 2 7 若半环s 是矩形除半环，则下列命题等价：( v a ，b es ) ( 1 ) a - t b e ( s ) ； ( 2 ) b a 一1e e 。( s ) ； ( 3 ) a b 一1 e ( s ) ； ( 4 ) b - l a e ( s ) 。 证明：( 1 ) j ( 2 ) ：设a 一6 e ( s ) ，由书 6 引理i i2 2 ，我们直接可 得b a 。e ( s ) ( 2 ) j ( 3 ) ：设妇一- e 。( s ) ，根据书 6 引理i i2 2 和引理i i 2 3 ， 并且半环s 的乘法半群( s ，) 是矩形群，我们有 a b 。= ( a b 一) 一】一= 【( a b 一) o ( 6 一) 一1 ( 6 一。日) o a 一1 ( a b 一) o 一1 = 【n o ( a b 一1 ) o b o b b o ( 6 1 口) o 口。口一1 口o ( a b 一1 ) o b o 一1 2 【a o b o b b o a o a 一1 d o b o 】一1 = 曲o ( b a “) 6 0 。1 2 d o b o 】。 = a o b o e 。( s ) ( 3 ) j ( 4 ) ：设a b te e ( s ) ，根据书 6 引理1 1 2 2 ，我们直接可得 b - l a e ( s ) 。 ( 4 ) 墨( 1 ) ：设b 一口e 。( s ) ，类似( 2 ) j ( 3 ) ，我们可以推出a - l b e ( s ) 成立。 口 引理4 2 8 设半环s 是矩形除半环，对任意的a ，b s a y b 营口。b e ( s ) 证明：设半环s 是矩形除半环，对v a ，b s ，若a y b ，由书 6 引理 i i5 5 ，我们有：口o b a o ，b = 6 0 a b o ，根据书 6 引理1 1 1 6 和定理4 2 3 ， 我们有口b = 口一1 ( 6 0 a b 。) = d 一。( 口o b o “o ) 曲o = 口一1 曲o ：口。b 。e ( s ) 。 反之，如果a - l b e 。( s ) ，那么根据引理4 2 7 和书 6 引理l i6 ， 口= 日。口。日口o = 口o ( 口一1 b ) a o a a o = 口。口一。b a a o = 玎。日一b ( b b 一1 ) a a o = d o ( “一1 b ) b o b b o ( 6 1 a ) a o ：a o b a o ，类似地，我们可以证明b ：b o a b o ，也就是说a y b 。 口 引理4 2 9 若半环s 是矩形除半环，则对任意的吼b s ，a 彤a b a 。 证明：设半环s 是矩形除半环，则s 的乘法半群( s ，) 是矩形群，根 据书 6 3 命题i i l l 1 ，我们有对任意的a ，bes ，a o ：( a b a ) o ，所以a 彤a b 口。口 定理4 2 1 0 半环s 是矩形除半环的坚固分配格当且仅当s 是矩形除 半环的分配格并且满足： ( 1 ) e ( s ) 是正规带； ( 2 ) ( s ，) 是e 一酉的： ( 3 ) 剥v e ，g e 。( s )p + 磨舻( p + ，) ( p + g ) 矿+ g 形( p + g ) ( 厂+ g ) 证明：设半环s 是矩形除半环的分配格并且满足e ( s ) 是正规带， ( s ，) 是e 一酉的，同时，对v e ，g e ( s ) p + 磨g ( e + 厂) ( p + g ) 矿+ g 形( p + g ) ( 厂+ g ) 。 由于半环s 是矩形除半环的分配格，e 。( s ) 是正规带。根据引理4 2 6 ， ( s ，) 是矩形群的强半格，根据书 6 定理1 3 和定理i v l 6 ，我们有： 对任意的口卢d 和任意的口e s 。，存在唯一的e ( ) ，使得e ，口= 口， 且口a e 。，由书 6 定理1 3 ，定理1 6 和定理1 7 可知， ( s ，) = 【( d ，) ；( s 。，) ；口】，其中( d ，) 和( s 。，) 分别表示分配格d = 影旦 和矩形除半环s 。的乘法半群，其中，s 。是半环的9 一类，且。定义为： ( v a s 1 a 妒，。= eb q = a e 。 下面我们证明，是单射： 对v a ，be s 。，存在p f ，厶e ( & ) ，使得： 盯妒口，芦= p 卢口= 口p 口，d 一。吼，卢= 日一1 p 卢= p 口口一，b t p 。，卢= 厶6 = 鱼，j 如果口吼，= 6 p ，贝1 a e p = ，e 口口= 矗6 。 若a e 口= b f , ，则 a e p 口“= h a 口。p p ，( 两边右乘口“) a a 。p p = b a “厶， ( 根据书 6 里：i v 2 7 ) “。= b a “口o 厶p 口= b a 。p ，( e ( ) 是矩形带，e ( s ) 是正规带) 由于( s ，) 是e 一酉的，所以妇一1 e 。( s 。) ，根据引理4 2 7 和引理4 2 8 ， 我们得到b y , 。 又因为e ( s 。) 是矩形带，所以b a = 6 0 ( b a “) “o = b o a o ，则， = a o = b a 一1 = b o 口o = 6 0 口o b 。= 6 。， ( ( s ) 是正规带) 类似地，我们可得= e p b 。，所以6 。，根据书e 6 5 1 里i v l 3 知， l 3 = e3 由t 2 0 e 。= 6 0 ，我们可得： 盯o e 口+ 口o = b o e 口+ 口。， ( 两边右加口。) a 0 ( p 口+ a 0 ) 盘。= 口o e a a o + 日o = a o p 卢+ 口o = b o e 卢+ 口o = 6 。p 卢b 。+ 日o ， ( 根据书 6 引理1 3 ) 甜。席4 a o ( p 口+ “o ) 口o = 6 0 p 芦b o + 口o 。晕r ( 6 0 + a o ) ( p 卢+ 口o ) ( 6 0 + 口o ) ， ( 根据引理4 2 9 和已知条件) 口o = 【( 6 0 + 口o ) ( p d + 口o ) ( 6 0 + 口o ) o = ( 6 0 + a o ) o ( e 。+ 臼。) 。( 6 。+ ( 1 0 ) 。( 根据书 6 定理1 1 8 5 ) = ( 6 0 + “o ) o 类似地，我们可得b o = ( 6 0 + 日o ) o ，所以，口o = ( 6 0 + 口o ) 0 _ 6 0 ，即日彤6 。 因为a 矽6 且a y b ，所以a = b ，这就证明了妒是单射，也就是说半环s 的 乘法半群是矩形群的坚固半格，根据定理4 2 4 ，我们得到半环s 是矩形 除半环的坚固分配格。 反之，设半环s 是矩形除半环s 。的坚固分配格d ，显然s 是矩形除半 环的分配格，它的乘法半群是矩形群的坚固半格，根据引理4 2 6 知， e ( s ) 是正规带。 j 时v “，d ，e ( s 。) ，d 芒s 卢，j 旨e a = 岛e ( s 印) ，贝, l je a = e 妒。叩a ( o 卢，叩 = f o , ，由于( s 叩，) 是矩形群，是e 一酉的，所以口，卵e ( s 印) ，因矿是单 同态，根据书 6 引理i i2 4 ，口e e ( s 。) ，这就证明了( s ，) 是e 一酉的。 对v e e 。( s 。) ，f e 。( s 口) ，ge e ( s ，) ， 伯+ f g ) 2 = e + 套七鬼e + 是 = e + e ( p ，时j 9b 日脚g i ；p y 坤7 七如b ? 。o r g ( o r ? g o r e ( p c , q 脚+ ，译p 即g 母y 。畸 = k 口 + e l p ，? 衄y f e p h 竹g p y n 盼七，妒p 口j y g 妒y c , p r e ( , o 口n 升七如8 ，, y p r g ( oy 口j y w 口- + ij y 坤y = p 。n + e 9 。? 。, p r g t p y 。 + f eb 。j 7 e 9 4 n 酚+ 加8 ，瞬9 9 y ，d 钾坤未p y n 曲 ( p + 厂) ( p + g ) = e + e g + 砖+ 起 = e + e r p , ，? ，y g oy n y + j 挚p ? a p e ( o a 坤七) b 。p r g t , o y b r = k ，。 + e 舻m 叩y g t p y 时+ 98 4 y e 爷，j 研+ 如8 j 。4 y 9 9y 呻y w 基卧。y 所以0 + ，) 扣十g ) = 0 + 店) 2 。 n n s 刚，是矩形除半环，根据推论4 1 5 ，每一个彤一类是s 。+ 的子 除半环，所以，计唐彤( p + 后) 2 = 扣+ 似e + g ) ，类似地，我们可以证明 矿+ g 彤和+ g ) ( ，+ g ) 。 口 由定理4 2 1 0 ，我们直接可得如下定理： 定理4 2 1 1 半环s 是矩形除半环和分配格的次直积当且仅当s 是矩 形除半环的分配格并且满足： ( 1 ) e ( s ) 是正规带； ( 2 ) ( s ，) 是e 一酉的； ( 3 ) 对v e ，厂，g e ( s )p + f g e ( e + 厂) ( p + g ) 旷+ 9 9 1 ( e + g ) ( 厂+ g ) 口 三、纯整的矩形除半环的分配格 下面我们将讨论的半环，其乘法幂等元e ( s ) 成为其子半环，称这样 的半环是纯整的，用0 表示所有的纯整的半环类。 我们用r e g 。d n o 表示所有的纯整的矩形除半环的分配格类。 弓i 理4 3 1 若s r e g 。d n o ，贝0 对v e ，f e ( s ) ，( p + 厂) o = e + 厂。 证明：设s r e g 。d n o ，则e 。( s ) 是s 的子半环，所以p + 厂e 。( s ) ， 我f f 有( p + ，) 一= e + f ，贝0 ( p + 厂) o = ( p + ，) ( p + 厂) = ( p +