（工程力学专业论文）薄壁构件的非线性稳定性研究.pdf

摘要 摘要 薄壁结构由于晕景轻、强度大，具有明显的经济效果，冈此被广泛的应用于 工程实际。特别是随着钢材和轻合金材料强度的h 益提高，进一步促进了结构构 件向薄壁与向发展，其理论和应用技术也彳i 断向前发展。由于结构的多样性与复 杂性，使得薄壁构件的极限承载能力大多由稳定条件控制，稳定计算比强度计算 鼹得更为重要。因此，薄壁构什的稳定问题也越来越成为研究人员关注的焦点。 本文从薄壁构件的弯扭理沦出发，加入二阶非线性位移项，考虑了剪j 娅变的 影n 向，用u l 法增量珲沧导出薄壁构件的总势能方程，并根据最小势能原理，采 用线性l a g r a n g e 位移插值函数和三次h e r m i t e 位移捅值函数利用有限单元法求出 非线性微分方程的近似解，推导出薄壁构件的单元刚度矩阵。 本文编制了有限元程序e v g ，应用特征值法求解结构分枝点失稳问题的临界 荷载。另外，用增量法与n e w t o n r a p h s o n 迭代的混合法编制有限元分析程序n f e 。 先进行了薄壁直梁的算例分析，验证了本文理论及程序的正确性。随后，完成了 用直梁1 1 _ = l 元近似模拟曲梁的有限元分析。 本文在总结各种曲梁稳定极限承载公式的基础上，从t i m o s h e n k o 和g e r e 提 出的简支工字型直梁侧向失稳临界，| 岢载的公式出发建立回归模型，通过对火量的 有限元计算结果采用最小二乘法的非线性同归分析，得到了一个适用于工程及设 计中对薄壁曲梁极限承载能力估计的经验公式。 关键词：薄壁构件；稳定理论；有限元分析；几何非线性 华南理f 人学硕+ 学位论文 a n a l y s i so fn o n l i n e a rs 1 1 a b i l i t yo f t h i n 一a l l e ds t r u c t u r e s a b s t r a c t t h i n w a l l e ds t r u c t u r e sh a v eb e e nw i d e l yu s e di n e n g i n e e r i n gd u et oi t sm a n y o b v i o u sc h a r a c t e r i s t i c s ，s u c ha sl i g h tw e i g h t ，g r e a ts t r e n g t h ，e t c t h ed e v e l o p m e n to f t h es t e e la n da l l o ym a t e r i a l sg r e a t l yi m p r o v e st h ed e v e l o p m e n to ft h et h e o r ya n d a p p l i c a t i o no ft h et h i n w a i l e ds t r u c t u r e s s i n c et h ed e s i g no ft h et h i n w a l l e ds t r u c t u r e s i s g e n e r a l l yc o n t r o l l e db ys t a b i l i t y ，t h e r e f o r e ，t h ec a l c u l a t i o no ft h es t a b i l i t y i s e s p e c i a l l yi m p o r t a n tf o rt h i n w a l l e ds t r u c t u r e s b a s e do nt h eb e n d i n g t o r s i o nt h e o r yo f t h et h i n - w a l l e ds t r u c t u r e sa n dc o n s i d e r e di n f l u e n c e so ft h es h e a rs t r a i na n dt h et e r m s o fs e c o n do r d e rd i s p l a c e m e n t s ，t h i sp a p e ra p p l i e dt h eu l i n c r e m e n t a lt h e o r yt o d e d u c et o t a lp o t e n t i a l e q u a t i o n so ft h et h i n w a l l e d s t r u c t u r e s t h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o dw a su s e dt os o l v et h e s ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ea p p l i e ds h a p ef u n c t i o n sa r e l i n e a r l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n f u n c t i o na n dt h et h i r do r d e rh e r m i ti n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s i nt h i sp a p e r ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o dp r o g r a me v g ，u s i n ge i g e n v a l u em e t h o d ，i s c o m p o s e dt od e t e r m i n et h ec r i t i c a ll o a d so ft h eb r a n c hs t a b i l i t yo ft h es t r u c t u r e s a n d i n c r e m e n t a lm e t h o da n dn e w t o n - r a p h s o nm e t h o da r eu s et oc o m p o s et h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o da n a l y s i sp r o g r a mn f e s o m es i m p l ee x a m p l e so ft h et h i n w a l l e d b e a m sa r ec a l c u l a t e da n dt h ec o r r e c t n e s so ft h ep r o g r a m si sj u s t i f i e d a n dt h e n ，t h e s t r a i g h tb e a me l e m e n t sa r eu s e dt oa p p r o x i m a t e l ya n a l y z et h ec u r v e db e a m s b a s e do n s u m m a r i z i n gt h ed i f f e r e n t u l t i m a t e c a r r y i n g c a p a c i t y c a l c u l a t i o n f o r m u l a eo ft h es t a b i l i t yo ft h ec u r v e db e a m s ，t h i sp a p e ro b t a i n e dt h er e g r e s s i o nm o d e l f r o mt h ef o r m u l ao ft h el a t e r a ls t a b i l i t yc r i t i c a ll o a do ft h es i m p l ys u p p o r t e db e a m so f t i m o s h e n k oa n dg e r e b yt h en o n l i n e a rr e g r e s s i o n a n a l y s i so fag r e a td e a lo ff e c a l c u l a t i o nr e s u l t s ，t h i sp a p e ro b t a i n e das i m p l ee n g i n e e r i n gf o r m u l a ，w h i c hc a nb e c o n v e n i e n t l yu s e di ne n g i n e e r i n g k e y w o r d s ：t h i n w a l l e ds t r u c t u r e s ，s t a b i l i t yt h e o r y ，f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s ， g e o m e t r i c a ln o n l i n e a r i t y 儿 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行 研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。木人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华南理工火学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 日期：年月日 导师签名：魏 文厉乙 日期：五圹年月。日 第一章绪论 1 0 引言 第一章绪论帚一早三百t 匕 随着建筑和冶金等工业的迅速发展，交通和城市建设不断向前迈进，建筑结 构的构形不断向整体、大跨、高强、轻型，以及空间多样性曲线方向发展，其计 算理论也在不断地改进和完善。由材料力学中我们很容易知道，截而越开阔，他 的力学性能越好，并可以更有效的利用材料和节约材料。由于薄壁结构具有重量 轻、强度大、能充分利用材料的特点，具有明显的经济效果，被广泛的应用于工 程实际，例如桥梁工程和海洋工程的箱形、工字型和槽型梁柱，土木建筑中的各 种型钢，高层建筑中的钢筋混凝土核心墙，以及航空j ：业中的机翼构件和造船工 业中的船体构件等。特别是钢材和轻合金材料的强度臼益提高，进一步促进了结 构构件向薄壁方向发展。由于薄壁结构在：i ：程中应用中的范围不断扩火，使得薄 壁结构的理论和应用技术不断地向前发展，薄壁杆件结构力学已经发展成为弹性 力学的一个莺要的分支。由于该结构的多样性与复杂性，使得薄壁构件的极限承 载力大多由稳定条件控制，其稳定计算比强度计算更为重要。因此，薄壁构件的 稳定问题也越来越成为研究人员关注的焦点。 与材料力学中简单杆件的稳定问题相类似，薄壁杆件在杆端压力达至0 临界值 以后，也会出现失稳现象，但薄壁轩的稳定问题比起欧拉理论所阐述的一般杆件 更复杂。其区别在于简单杆件的失稳形态只考虑弯曲变形，开口薄壁杆件由于抗 扭性能很差，失稳时除了产生弯曲变形以外，甚至是主要产生扭转变形。由于薄 壁杆件扭转形态失稳形式不容忽视，其计算要比一般压杆稳定问题更为复杂，其 临界荷载也比简单杆件的为小。关于这一点，可做如下解释，在简单杆件的稳定 问题中，由于不考虑其扭转变形，即绕杆轴的扭转角始终保持为零。这相当于沿 杆件全长布置于一系列的扭转约束。由于这一约束的引入，使得临界荷载提高了。 在简单杆件巾只有压力作用下才有稳定问题，在薄壁杆件中，除了在压力作用下 的情况以外，在横向力、弯矩、甚至在轴向拉力作用下也会使杆件失稳。 1 1 薄壁构件基本理论 薄壁构件是指截面厚度较薄的杆件。其几何特征为杆件的长度z 远大于垂直 该方向横截面上的特征尺寸b ( 即横截面的最大尺寸) ，同时，横截面上的最大厚 华南理工大学硕士学位论文 度r 远小于b 。一般，这三个方向的尺寸满足关系式：t l b 0 1 ，b l l 0 1 0 2 。 薄壁杆件通常分为开口和闭口两类，当构件符合上述尺寸限制时，我们所采 用的薄壁构件理论具有足够的精度。由于壁厚与横截面的其他尺寸相比很小，弯 曲应力和约束扭转的翘曲应力沿厚度方向的变化也很小，实用上可以认为应力沿 厚度方向均匀分布。基于这一点，在二十世纪二、三卜年代，v l a s o v 【lj 就发展了 开口薄壁结构弯扭屈曲理论，提出了一套分析薄壁结构的系统方法，忽略了杆壁 中截面e 的剪切变形，并对薄壁构件的弯曲和扭转变形，提出了两条基本假设， 即： 在构件受力而变形的过程中，其横截面的形状始终保持不变。也就是说， 尽管各横截面可以产生垂直于截面的翘曲，但在其自身平面内的投影则始终保持 固定的形状。该假设通常被称之为刚周边假定。 假定沿截面中线的剪应变为零( 开口截面) 或剪力流为常数( 闭口截面) 。 在符合前面给定的尺、t 限制条件下，弯曲和约束扭转时产生的中面内剪应变对构 件内应力分布的影响很小。 这两条假设的适用性已经经过试验和理论的验证。根据这两条基本假设，在 薄壁构件理论中常用构件的中面代表构件本身，而用横截面的中线代表截面。这 样，截面中线上任意点的位移也就可以通过构件轴线的基本位移来表达。 1 2 薄壁直杆稳定性分析方法 开口薄壁结构构件自重轻，具有很高的工作性能，经济效果十分明显。然而， 跨中无侧向支撑的薄壁杆件，如果横向荷载施加在抗弯刚度比其侧向抗弯刚度和 抗扭刚度大得多的弯曲平面内，结构就可能先于强度破坏而丧失稳定。失稳时， 除了产生弯曲变形外，主要还产生扭转和翘曲变形。因此，薄壁杆件的侧向稳定 问题不同于古典e u l e r 稳定理论，比一般杆件的侧向稳定更为复杂。因此，对稳 定极限的精确计算也成为薄壁结构设计中及其重要的部分。 v l a s o v 1 】理论被称作薄壁结构屈曲分析的经典理论，这种方法没有考虑剪切 变形的影响，不能反映剪力滞后现象，在分析长细比较小的构件时会产生较大的 误差。后来，t i m o s h e n k o 和o e r e 2 1 广泛地开展了对开口截面直薄壁构件稳定行为 的研究，首先推导出简支工字型梁侧向稳定的基本微分方程。他们提出了工字型 梁在两端分别作用大小相等、方向相反的一对力矩时均匀弯矩临界值的闭合解； 当施加的力矩不相等时，稳定的控制微分方程是变系数的，得不到它的闭合解。 他们给出跨中受横向荷载作用的简支工字型梁在侧向失稳时的临界荷载的数值解 为： p c r = 2 2 旺iv g j ) ”汜 第一章绪论 式中n 是无量纲因子r g 7 e l 的函数，详见参考文献 2 】；日是截面关于两轴 弯曲刚度中的较小者；凰和g j 分别是截面的翘曲刚度和扭转刚度；三是工字型 梁的跨度。他们还分析了剪切变形的影响。b e n s c o t e r l 3 】通过引入两个广义位移函 数研究了闭口薄壁构件扭转问题中剪切变形的影响。但是，这些方法都有定的 局限性，只适用于一定的构件截面形状和荷载形式。 目前薄壁结构的研究较多地集中于以能量法为基础的半解析半离散方法。 r e i s s n e r 4 】用基于最小势能原理的位移法分析了箱型梁中的剪力滞后效应。c o u l l 和b o s e 5 1 采用连续化技术，提出一种分析高层建筑中的框筒结构的余能法，分析 中也考虑了剪力滞后效应。之后，龙驭球和辛克贵【6 j 认为截面应力由v l a s o v 所求 应力和自平衡应力两部分组成，并把自平衡应力的参数作为未知函数，用多项式 进行模拟，在c o u l l 方法的基础上发展了薄壁结构静力分析的余能法。与c o u l l 的方法相比，该方法的适用范围和精度得到了明显的改进，但余能法在求解位移 时不够方便。l a u d i e r o 和s a v o i a 7 1 提出了一种考虑剪切变形的位移法，该方法认 为横截面的纵向位移由v l a s o v 解和剪切变形引起的附加位移两部分组成。k o o 和 c h e u n g 8 j 提出了以混合变分原理为基础的混合解法，以翘曲应力和位移为独立的 基本未知量，用一种系统的方法来确定未知函数。该方法得出的应力和位移都比 较合理，但采用高阶多项式时计算结果不稳定。k o o 和w u 【9 i 提出了一一种考虑剪切 变形的位移变分法。随后他们【l0 】又引入了半离散的概念，提出了分析剪力滞后现 象的半离散位移法。该方法将薄壁结构横截面纵向翘曲位移转化成两个独立函数 的乘积，从而将能量变分原理的偏微方程转化成常微分方程。大部分学者分析时 插值函数采用多项式，阶数低时收敛慢，阶数高时计算不稳定，并且多数方法往 往只适用于简单规则的截面，应用范围受到限制。为了解决这些问题，x i n 【l l j 在 能量法的基础上，利用势能驻值原理，提出了一种系统的、薄壁结构通用的半解 析半离散方法。所谓半离散半解析方法就是用一系列己知的插值函数来模拟沿一 定方向的未知函数( 如翘曲位移w ，或应力盯的分布) ，而另一个方向的未知函数 可以通过求解常微分方程得到。文献【1 1 采用转换b 3 样条函数模拟构件截面的纵 向翘曲位移，并利用变分原理得到控制微分方程，最后用微分方程求解器求解得 到屈曲荷载。该方法采用真实节点位移作为变量，可以分析薄壁结构的静力、稳 定和动力问题，有效地描述剪力滞后效应。王书纯【l2 j 用该方法进行了轴压、纯弯、 偏压作用下薄壁结构屈曲分析。这种方法一方面利用了插值技术，具有有限元方 法处理问题的通用性和灵活性，另一方面利用了o d e 求解器的可靠性和自适应 功能，使得其半解析性质得到可靠的保证和充分的发挥。另外，由于采用了一种 灵活的分段样条插值系统，可以适用于任意截面形状的薄壁结构。 除了能量法外，有限元法也是一种被广泛采用的方法。有限元法是一种建立 在虚功原理上的近似的数值分析方法，是基于便分原理的里兹法的另一种形式。 华南理j 二人学硕士学位论文 传统的有限元法用平面应力单元、薄板单元、壳体单元及薄壁单元等多种单元形 式，获得了令人满意的结果，但是它们的共同缺点是需要占用大量的计算机内存。 1 9 6 8 年ykc h e u n g 首先提出了有限条分法i l ，与传统的有限元法相比，这种方 法自由度少，形成简单，计算量小，但用于有集中荷载作用的结构、多跨结构及 存在混合边界条件的结构等复杂情况时会遇到困难。为了解决这些问题，yk c h e u n g 等引入了样条函数，提出了样条有限条法1 1 。杨绿峰和李桂青等人提出 了样条里兹法【1 5 , 1 6 1 ，并且分析了开口薄壁结构的约束扭转和箱型梁剪力滞后效 应。样条罩兹法其实是用样条函数代替罩兹法中的试函数，是一种典型的变分近 似方法。之后，周增国等【l 采用随机位移法来分析钢结构的屈曲问题。他们将结 构离散为个有限自由度的系统，然后根据有限自由度系统平衡稳定性的定义和 随机位移法的基本原理，将稳定问题转化为无约束的多维优化问题，最后应用遗 传算法求出该问题相应于最优解的目标函数，从而得到临界载荷。近年来，吴秀 水 18 】利用势能原理提出了以分段线性函数作为横截面翘曲位移函数的薄壁结构 静力分析的有限杆元法，以杆端截面横向位移和结点纵向位移为未知量，与一般 有限元法不同的是其单元未知量数目是不固定的，与横截面的结点数有关，并且 采用分段线性函数模拟横截面的纵向位移。这种方法减少了计算量，但计算精度 不足。在此基础上，文献【1 9 利用转换b 3 样条函数【l l j 代替了分段线性函数对薄壁 结构纵向翘曲位移进行模拟，提出了样条有限卡t 元法。样条有限杆元法是一种基 于位移变分原理的通用有限元方法，采用真实节点位移作为参数，便于分肢处节 点位移的协调，可以用于任意横截面形状和任意的边界条件。姜美兰 2 0 1 利用这种 方法分析了横向荷载下双轴对称横截而形式薄壁结构的屈曲，得到了很好的结果。 章根树【2 ”对工字形钢梁在横向分布和集中荷载作用下，各板件内的横向正应力进 行了分析和对比，发现横向f 应力对横向荷载作用下单轴对称截面的钢梁的稳定 性有很大的影响，因此有时需考虑在支座截面和跨中集中荷载作用截面横向正应 力的影响，提出了钢梁稳定理论新的表述形式。 1 3 薄壁曲梁稳定陛分析 随着薄壁构件理论的发展和曰趋完善，自构件在各种荷载作用下的工作特性 已经很好地为大家所了解，理论研究的方向逐渐向弯曲构件转移。薄壁截面圆弧 曲梁理论可以看成为直的薄壁构件理论的自然延伸。 对于曲梁，比较深入的理论研究始于二十世纪五六十年代。t i m o s h e n k o 和 g e r e 2 1 在不考虑翘曲的情况下研究了狭长矩形截面拱均布径向荷载和两端等弯矩 作用时平面内和平面外的稳定问题。v l a s o v 采用内力曲率关系类比于直构件的 4 第一章绪论 方法，考虑曲率的影响进行修正直梁的内力表达式，从而建立了任意截面形式曲 梁的稳定平衡方程。其研究结果表明，翘曲位移是薄壁构件理论的基础，但遗憾 的是，他未能找到曲梁对应的翘曲位移。其后许多曲粱方面的研究都是以v l a s o v 的理论为基础的。d a b r o w s k i i ”】随后重新研究了不对称截而薄壁曲梁的弯扭问题， 补充了v l a s o v 推导中遗漏的项次。r a d e n k o v i c 等 2 3 , 2 4 i 用平衡扰动法研究拱平面内 的稳定问题和自然弯扭构件的稳定问题。o j a l v o 等 25 】采用同样的方法研究了环段 在沿弦向作用拉力或压力时的弹性稳定。平衡扰动法只根据平衡条件研究曲梁稳 定，没有考虑翘曲的影响。c h e n n y 2 6 j 对开口薄壁圆环在均布外荷载作用下的稳定 问题进行了研究，其中考虑了分布弹性约束对圆环稳定性的影响。 y o o 27 】考虑曲率因素将直粱的内力一位移关系作了修正，并代入总势能方程， 从而建立了曲梁稳定分析的基本微分方程。此后，y o o 等人 2 8 , 2 9 又给出了曲梁以 线性分析的精确解为形函数的有限元分析。分析中考虑了屈曲前变形对屈曲荷载 的影响，得到了与t i m o s h e n k o 和v l a s o v 完全不同的拱屈曲的解答，这引起了诸 多学者在该研究领域的兴趣和对曲梁理论的进一步讨论。为检验何种理论更为精 确，1 9 8 4 年r a j a s e k a r a n 和r a m m l 3 0 采用板壳单元计算曲梁均匀弯曲时的临界荷 载，发现拱在均匀受弯时的解答与v l a s o v 理论的解答更为符合。u s a m i 3 l j 则从薄 壁构件理论的基本假定出发，建立了开口薄壁曲梁的大位移理论，并用于拱的稳 定问题分析。他假定中面非线性剪应变为零，导出了后来为近来诸多研究者所采 用的翘曲位移近似表达式。y a n g l 3 2 也从薄壁构件理论的基本假定出发，针对双轴 对称工字形截面曲梁，导出了精确的翘曲位移，然后根据虚位移原理，建立了曲 梁稳定分析的基本方程。其后，他h 副对所提出的曲梁理论做了进一步的改进，提 出在曲梁的稳定问题研究中应计入径向应力仃。的影响，并且考虑曲率和各个内力 的影响。p a p a n g l i e s 和t r a h a i r l 3 4 j5 j 首先根据曲梁微元的空间变位关系给出轴向应 变和剪切应变的非线性表达式，然后代入总势能的二阶变分式中得到曲梁的稳定 平衡方程。r a j a s e k a r a n 等【36 】根据u s a m i 的翘曲位移，采用变分原理给出新的曲梁 稳定理论。k a n g 和y o o 3 7 , 3 8 l 同样采用u s a m i 的翘曲位移，推导了曲梁非线性问题 的基本方程，并对己有各种理论之间的分歧给出了自己的解释。 由于直梁的稳定理论相对比较成熟，b a z a n t 等【3 9 , 4 0 l 很自然地想到将直梁的 理论应用到曲粱的屈曲问题中，用多个直梁单元去逼近曲梁。他们的研究发现， 采用直梁单元分析拱的屈曲问题，无论怎样细分单元，都得不到令人满意的解答。 y a n g 和k u o l 4 i ，42 ，4 3 j 通过研究平面框架的稳定问题，发现曲梁的稳定涉及到构件的 空间大转动问题，应用传统的直梁理论不能保证构件屈曲后仍处于平衡状态。采 用半切向力矩概念来处理这个问题就能得到满意的结果。他们认为从直梁理论出 发的思路并没问题，只是采用简单类比的方法不妥。在文献 4 4 中，他们借助 m a c s y m a 程序，由直梁理论直接导出了曲粱的稳定方程。 华南理1 二大学硕士学位论文 国内也有很多学者对曲梁的稳定问题做过研究。李国豪对矩形、梯形、箱形 曲梁理论做了很多有价值的研究工作，他研究了大曲率薄壁箱形曲梁的稳定问题 4 5 】。夏淦提出了分析变曲率曲梁的理论。段炼4 7 l 在u s a m i 翘曲理论的基础上， 对单轴对称截面曲梁的稳定问题进行了研究。周文伟对闭合截面单元不考虑翘曲 的影响 4 8 , 4 9 j 导出空间曲梁单元在三维空间变形的应变一位移关系，并应用有限元方 法进行分析。王小岗l 5 0 l 构造出用于拱屈曲分析的1 2 2 0 节点三维退化曲梁单元。 童根树【5 l 】对单轴对称工字形截面圆弧曲梁两种不同放置情况下的翘曲位移、内力 表达式和基本方程进行了详细的推导。许钧陶和童根树”2 j 随后从旋转壳的剪应变 表达式出发，根据两个基本假定，得到了任意开口薄壁截面圆弧曲梁精确的翘曲 位移表达式，并在此基础上建立了曲梁线性分析的基本方程。他们同时在文章中 指出，u s a m i 导出的翘曲位移是近似的，引入假想薄壁截面并赋以翘曲坐标定义 的做法没有必要。童根树”3 j 通过对直梁稳定问题的研究，指出既然横向应力o - 。是 维持微元体的平衡条件所必须的，那么在稳定问题中它的影响就不该被忽略。 总的来说，曲梁的研究理论主要采用了平衡法、能量法以及基于变分原理的 虚功( 虚位移) 法。平衡法方法简单，物理意义比较明确，在曲梁理论中获得广 泛应用，但其缺点是容易遗漏项次，不便于考虑截面翘曲的影响，平衡扰动法也 属于平衡法。能量法的应用也很广泛 2 7 , 3 4 , 3 5 ，可以克服稳定问题分析中数学上的 困难。但文献【3 0 】认为y o o 的推导方法与v l a s o v 的理论一样，并不是完全可信的。 曲梁问题的研究应从虚功原理出发，才能建立更为可信的非线性理论，对于材料 进入弹塑性阶段的情况尤其应该如此。由于近年来己有各种理论之间存在明显的 分歧，限制了曲梁研究的进一步深入。究其原因主要归结为以下三点1 37 j ：推导方 法的不同；对于薄壁构件基本假设的诠释不同；推导过程巾对于曲率项的近 似程度不同。 1 4 薄壁构件稳定性试验研究 目前，对薄壁构件稳定性方面所做的试验研究主要集中于直梁，对曲梁的试验 研究并不多。1 9 8 0 年f u k u m o t o 5 4j 进行了三种不同跨度共7 5 根热轧工字形梁的试 验，梁的端部采用简支支承，跨中上翼缘作用集中荷载。试验过程中对试验梁的 尺寸、材料性质、残余应力以及初始挠度和扭曲均做了系统的测量，并用统计的 观点研究了各种参数的变化以及它们对屈曲的影响。1 9 8 1 年f u k u m o t o ”j 采用相 同的加载方式和边界条件又进行了两组不同跨度的6 8 根焊接工字梁的试验，同样 做了类似的测量和统计分析。研究他们发现焊接构件的承载能力普遍偏低，而且 变化范围更大。同年f u k u m o t o l 56 j 试验了2 组6 根焊接工字小曲率简支曲梁，曲 第一章绪论 率从l l o o 到1 1 0 0 0 不等，其中进行了残余应力的测量，并用传递矩阵法对极限 承载力进行对比分析。1 9 8 7 到1 9 8 8 年，p a p a n g e l i s 和t r a h a i r 4 p ”则针对双轴、 单轴对称工字形截面拱的稳定性进行了模型试验。1 9 9 5 年s h a n m u g a m 5 8 j 完成了2 组共1 0 根工字形曲梁的试验，并用板壳有限元( a b a q u s ) 进行了稳定极限承 载力分析。试验构件包括热轧和焊接两种截面，荷载作用在偏离跨中的位置，且 荷载作用点处设置了侧向约束。许强 5 9 】也进行了l s 根焊接工字形水平钢忿梁的 试验。试验结果表明在圆心角比较大的情况下，荷载位移曲线虽然是非线性关系， 但弯曲程度不明显，构件主要处于弹性工作阶段。随着圆心角的减小，荷载位移 曲线有明显的弯曲段，曲梁呈现出弹塑性工作的特点。 1 ，5 本文研究方法与内容 本文从薄壁构件的弯扭理论出发，导出截面上任意一点的位移表达式，根据 弹性理论对该位移表达式做适当的修f ，加入二阶非线性位移项的影响，非线性 应变项中也考虑了剪应变的影响，用u l 法增量理论导出总势能方程，并由最小 势能原理，得到了开口薄壁构件几何非线性微分方程的一般表达式，其中包含了 由于截面残余应变及杆件初位移等几何缺陷对总势能的影响。 在推导微分方程时，假定材料是完全弹性体、且杆件的变位均属小变位，可 以略去其中微小量的乘积。由此，得到的微分方程是一组线性方程。但平衡方程 依赖于荷载作用以后发生的变形。那么，荷载与变位的关系不再是线性关系，而 是属于几何非线性问题。 利用有限单元法求微分方程的数值解，其位移插值形函数采用线性l a g r a n g e 插值函数和三次h e m f i t e 插值函数，从而推导出薄壁构件的单元刚度矩阵。 编制有限元程序e v g ，应用特征值法求解结构分支点失稳问题的临界荷载。 另外，建立了薄壁构件u l 格式的刚度方程，并编制增量法与n e w t o n - - r a p h s o n 迭代混合使用的几何非线性有限元分析程序n f e ，计算考虑大变形效应下的薄肇 杆件临界屈曲荷载。 用自编的有限元程序进行薄壁直梁的算例分析，验证了本文理论及程序的正 确性。随后，进行用直梁单元近似模拟曲梁的有限元分析。结果表明，用直梁单 元模拟不考虑翘曲变形的曲梁在一定程度二来浇是可行的，其精度取决于划分单 元的数量。但对于翘曲影响1 - 分明显的薄壁曲梁来说，用直梁单元代替仍然存在 困难。两根相互垂直的构件组成的结构，由于一个构件的翘益必然导致与之垂直 的构件截面产生畸变，这与我们截面形状1 i 变的假定是冲突的。因此，必须引入 额外的假定进行简化才能进行分析。 本文在总结各种曲梁稳定极限承载公式的基础卜- ，从r i m o s h e n k o 和g e r e i l l 华南理l ：大学硕士学位论文 提出的简支工字型直梁侧向失稳临界荷载的公式出发建立回归模型，通过对大量 有限元计算结果的非线性回归，从而得到一个简单实用的公式。该经验公式形式 上与直梁公式类似，具有一定的理论基础和可比性。 第二章杆系结构的线弹性稳定分析 2 1 概述 第二章杆系结构的线弹性稳定分析 结构静力分析的目的是保证结构在给定外荷载作用下，具有足够的安全性。 结构的破坏一般可分为两种基本形式。一种称为强度破坏，另一种称为丧失稳定 破坏。结构的失稳破坏又可分为两类。如果是荷载达到一定的数值后，结构的平 衡状态发生了分支，则称为第一类失稳。如果是随着变形的开展，平衡不可能再 保持，则称为第二类失稳。在发生第二类失稳时，结构的位移一般已超出小位移 范围，结构某些部位的变形，也已超出弹性变形的范围，因此第二类稳定问题， 一般是几何非线性和材料非线性同时存在的双重非线性问题。一般需要考虑弹塑 性非线性大变形，采用有限单元法求其数值解。 工程实际中的结构失稳问题一般都属于第二类。但是，因为第一类失稳问题 的力学情况比较单纯和明确，在数学上作为求解本征值问题也比较容易处理，而 它的临界荷载又可近似地作为相应的第二类稳定的上限，所以在理论分析中占有 重要的地位。本章讨论薄壁杆件的第一类稳定问题，也就是在小变形范围内的线 弹性稳定问题。 2 2 稳定准则 2 2 1 平衡方程 弹性理论中的克希霍夫( k i r c h h o f f ) 假定， 假设体系的变形非常微小，平衡条件可按变形前 的几何构形建立。而在稳定理论中，平衡条件必 须按变形后的构形建立。这时就会出现解的多值 现象。克希霍夫定理不再适用。 在具有多值解时，用以表示体系荷载一位移 关系的平衡方程可以把体系各种可能的平衡状态 完全表示出来。将平衡方程在荷载一位移坐标系 中绘成曲线，称之为平衡状态曲线。 考虑图2 - 1 所示单自由度体系。长度为，的 b 图2l 单自由度体系 f i g 2 - ls i n g l ed o fs y s t e m 华南理上人学硕士学位论文 刚性杆a b 下端( b 点) 弹性固定，其转动刚度系数( 产生单位转角所需的力矩) 为c 。设在轴力p 和力矩m 。共同作用下，杆件产生倾角p 。则相对曰点的力矩平 衡方程可写成： p i s i n 0 9 + m o c o = 0 ( 2 1 ) 式( 2 - 1 ) 两端各除以c ，得到无量纲形式的平衡方程： 2 s i n 0 9 + 0 9 0 0 9 = 0 ( 2 - 2 ) 其中，旯= 罟，= 等a 方程( 21 ) 或( 2 - 2 ) 代表平衡状态下体系荷载与位移之间的关系，它们是 单自由度体系的平衡方程。将方程( 2 - 2 ) 在五一0 9 坐标系上表示出来，可得到以 为参数的一族曲线。 下面讨论两种情形： 1 ) 0 9 0 = 0 时，平衡方程( 2 - 2 ) 变为： ) s i n 0 9 = d ( 2 3 ) 由于s i n p 蔓妒，如果五s 1 0 ，则只有当妒= 0 时才能满足上述方程；如果五 1 0 ， 则除妒= 0 外，还存在两个非零的解：- + 0 9 。 2 ) 0 时，妒恒有一个以上的非零解。例如，若0 9 0 = 0 0 5 ，当五= 1 2 1 4 时， 可解得如下三个平衡位置：p = 1 1 6 ，妒= 一0 2 5 ，妒= 一o 9 0 。 2 。2 2 稳定判别的基本准则 上面的简单例子显示出问题解的多值性。那么，是否所有这些平衡状态都是 稳定的? 又如何判别它们的稳定性呢? 判别平衡状念是否稳定的基本准则是：假设对处于平衡状态的体系施加一个 微小干扰，当干扰撤去后，如果体系就恢复到原来的平衡位置，则该平衡状态是 稳定的：反之。如果体系偏离原来位置愈来愈远，则浚平衡位置是不稳定的；最 后，如果体系停留在新位置不动，则该平衡状态是随遇的，这是介于稳定与不稳 定之间的一种过渡状态或临界状态。 图2 2 中小球的三种不同位置可作 为上述论述的一种比拟。小球的这三个 位置都是平衡的，因为三处的切线都是 水平的。但在位置4 ，小球的平衡是稳 定的，在位置c ，是不稳定的，在位置b ， 则是随遇的。 、q l 夕太q - l 从 图2 2 平衡状态 f i g ，2 - 2b a l a n c e ds t a t e s 这种关于刚体平衡的稳定概念，也完全适用于弹性体系。区别仅在于图2 2 0 第二章杆系结构的线弹性稳定分析 所示小球的稳定性仅与所在曲面的形状有关，而弹性体系的稳定性则还与所作用 荷载的大小有关。 根据上述基本准则，可导引出三种常用的判别稳定性的具体准则： l 、能量准则 2 、静力准则 3 、运动准则 2 2 3 稳定的能量准则 2 2 3 1 最小势能原理 设一保守系统，当体系由位置1 变位到位置2 时，外力和内力做的功仅与始、 末位置有关，而与中间过程无关。若体系在内、外力系下处于平衡状态。根据虚 功原理，当体系经历一微小的可能位移时，内、外力对此位移所作的总功为零。 即： d 睨+ d 彬= 0 ( 2 - 4 ) 式中，占形为外荷载所做的功，j 彬为内力所做的功，外荷载做了功，外荷载的 势能就相应降低，因此外力功艿彬应等于外荷载势能增量圳。的负值；同理，内 力做功也应等于体系弹性势能增量d u 的负值，即：占睨= 一引r i 。，占彬= 一d u 。 代入式( 24 ) 则有： j 丌。+ d u = j ( 兀。+ u ) = 万兀= 0 ， 式中兀= 兀。+ u 为体系的总势能。 这表明，当体系处于平衡状态时，其总势能的一阶变分为零，即总势能应当 耿驻值。这一原理称为总势能驻值原理。 总势能驻值原理仅能确定体系的平衡位置，但并不能判别该平衡位置是稳定 的还是不稳定的。为此还必须进一步研究总势能的二阶变分。仍可用图2 2 所示 的小球来做比拟。盛小球的曲面的形状正好代表小球从其平衡位置偏离时其势能 的变化。由此可知，稳定的平衡相当于总势能的相对最小值，即二阶变分为正的 情形( 图2 - 2 a ) ，不稳定的平衡相当于总势能的相对最大值，即二阶变分为负的 情形( 图2 2 c ) ，最后，如总势能的二阶变分等于0 ，则相当于随遇平衡这一临界 状态( 图2 2 8 ) 。 结论是：体系处于稳定平衡状态时，其总势能应为最小值。这一原理可称为 总势能最小原理。 2 2 3 2 稳定的能量准则 根据上面的讨论，可将判别稳定性的能量准则概括如下， 华南理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 体系的平衡状态由j f i = 0 的条件确定； ( 2 ) 当j 2 n 0 时，该平衡状态是稳定的； 当d 2 f i 0 ，体系是稳定的。在五= 1 、 妒= 0 这一平衡状态，艿2 兀= 0 ，平衡是随遇的。 ( 3 ) 当a l 时，占2 兀可能为正、为负或为零，视驴值而定。稳定和不稳定 区域的界限可由如下的方程确定： 1 一五c o s q ，= 0 ( 2 - 6 ) 在前面曾得出= o 0 5 、五= 1 2 1 4 时的三个平衡位置：妒= 1 1 6 ，妒= 一0 2 5 ， 妒= 一0 ，9 0 。不难鉴别：妒= 1 1 6 和这两个平衡位置是稳定的，而p = 一0 2 5 这个平 衡位置则是不稳定的。 试将式( 2 - 5 ) 所代表的总势能用图形来表示。先将式( 2 - 5 ) 改写成： 罢：一妒叫1 - c o s ( o ) + 寻矿z ( 2 扪 无弯矩作用时q o = 0 ，则： 县：一a ( 1 - c o s ) + 妒： 8 ) 第二章杆系结构的线弹性稳定分析 将式( 2 - 8 ) 以五作为参数绘成曲线族，如图2 - 3 所示。 r c 毒 p 02 0 岔 图2 - 3r i c - 9 曲线 f i g 2 - 3 兀c 一妒c u r v e s 由式( 2 - 8 ) 表示的总势能的一阶和二阶变分为： 艿( 罟) = ( 伊一五s i n p ) 却 拶2 ( 1 一五c o s 妒) t 印2 母 令占( 罟) = 。，得到平衡方程： 2 s i n 妒= ( 2 - 9 ) 下面分别讨论不同丑值时的情形： ( 1 ) 五 0 ， 平衡是稳定的。相应地，图2 - 3 上z 1 0 时，方程( 2 - 9 ) 有三个解。 例如当五= 1 2 0 时，其三个解和相应的占2 丌 的正负号分别如表2 - 1 所示： 图2 3 上与丑= 1 2 0 相应的总势能曲线 华南理二i _ 人学硕十学位论文 在舻= 0 处有一负曲率，而在妒= 1 0 3 处具有正曲率。 对于有初始弯矩作用的情形( 0 ) ，总势能由式( 2 - 7 ) 表示。式( 2 - 7 ) 比式( 2 - 8 ) 多了一个线性项一9 0 p 。因此，图2 3 的曲线族仍然可以应用，只须 将妒轴逆时针转口角( 口= a r c t g ) 即可。各平衡位置出与新的与妒轴相平行的切 线来确定，它们的稳定性则由切点处曲率的方向来确定。图2 3 中表示了 = 0 0 5 、 = 1 2 0 时的三个平衡位置。 2 2 4 稳定的静力准则 这一准则可叙述如下：设探讨体系的某一平衡位置，如果与其无限接近的相 邻位置也是平衡的，则所探讨的平衡位置是随遇的。 因此，这一准则只能用来确定体系的临界状态。仍以前而讨论的单自由度体 系为例。在轴力尸与力矩共同作用下，平衡方程由式( 2 2 ) 表示： 2 s i n + 一妒= 0 由此方程可确定体系的平衡位置妒，其相邻位置用伊+ 劫来表示，其中 却1 。如果该相邻位置也是平衡的，则必须满足下列方程： 旯s i n ( 妒+ 巧妒) + 吼一妒一巧妒= 0 由于却1 ，可令s i n 却= 8 0 ，c o s 却= 1 。于是上列方程可改写成： 2 ( s i n 口o + 8 9 , c