（基础数学专业论文）退化分圆hecke代数的specht模的判别式.pdf

d i s s e r t a t i o n d i s c r 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文：l毽仪分回丛舭印冰木孙坤i黟j武， lo i 是在华东师范大学攻读砺左博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 作者签名：气象鸺 日期：加声年 0 w ew i l lp r o v et h ec a t e g o r yo f 咒f m o d u l e sa n dt h ec a t e g o r yo fm o d u l e so fg r o u pa l g e b r a so fs o m es y m m e t r i cg r o u p s a r em o r i t ae q u i v a l e n tu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s u s et h i sc o n s e q u e n c e ，w ec a n d e c i d ew h e t h e rt h ed i s c r i m i n a n t so ft h ec e l lm o d u l eo f 咒fc o n t a i nt h ef a c t o rpo r n o t i ns u m m a r y , w eg i v eac r i t e r i o nf o rd i s c r i m i n a n t so fd e g e n e r a t ec y c l o t o m i c h e c k ea l g e b r a 咒fb e i n gn o n - d e g e n e r a t eo v e ra na r b i t r a r yf i e l d ，t h i si st h em a i n r e s u l to ft h ep a p e r k e yw o r d s ：d e g e n e r a t ec y c l o t o m i cq - s c h u ra l g e b r a ，d e g e n e r a t ec y c l o t o m i ch e c k e a l g e b r a ，j a n t z e ns u mf o r m u l a ，c e l l u l a ra l g e b r a ，j mb a s i s ，m o r i t ae q u i v a l e n t 4 目录 1 引言 1 2 退化的分圆h e c k e 代数及退化分圆q - s c h u r 代数 2 3 眈的g r a m 行列式 9 4 j a n t z e n 和公式 2 0 5 5 和“的不可约模2 2 6 s 和他的b l o c k 分类2 4 7 m o r i t a 等价2 6 参考文献 3 2 致谢 3 3 1 引言 设兄是一个含单位元1 的交换环，在【8 】中，r d i p p e r ，g ，j a m e s ，a m a t h a s 定义 了交换环r 上的分圆q - s c h u r 代数& ，证明了& 是g r a h e m - l e h r e r 意义下的c e l l u l a r 代数【1 1 】在【1 4 】中，g j a m e s ，a m a t h a s 证明了& 的j a n t z e n 和公式设f 是一个 域，利用这个公式，g j a m e s ，a m a t h a s 给出了分q - s c h u r 代数昴和分圆h e c k e 代 数死f 的判别式非退化的判别准则在【1 5 】中，s l y l e ，a m a t h a s $ | 用j a n t z e n 和公 式给出了砩和死f 的不可约模的b l o c k 分类 s a r i l 【i ，a m a t h a s ，芮和兵在【4 】中证明了定义在交换环上的退化的分 i 固h e c k e 代数是c e l l u l a r 代数，在此基础上，本文证明对定义在特征零的域上的退化 分圆q s c h u r 代数和退化分圆h e c k e 代数也有j a n t z e n 和公式作为这些结果的应 用，我们可以确定定义在整环z 乱l ，缸r 】上的退化分圆h e c k e 代数的c e l l 模的判 别式的形如仳i 一让 + a ，1 i j r ，- n a 1 ； d ) 正正+ l 正= 正+ 1 正正十1 ，1 i n 一2 ； e ) 五l i = l i + 1 正一1 ，l 五= 正l 件l 一1 ，1 i 佗一l ； ，) 正岛= 岛互i f 歹i ，歹+ l ； 9 ) l i l j = l j l if o r1 i 入，u ，h 丁似) ) 线性张成称( c ，a ) 为a 的一组c e l l u l a r 基，如果满足如下条件： 5 a ) 存在一个肛线性代数反自同构木：a 一a ，满足( 磙) + = 砣，v 入a ，覃，t 7 - ( 入) ； b ) 对任意入人，s ，t 丁( a ) ，a a ，存在不依赖s 选取的常数n r ，使得 c 酗a 兰n 硷m d d a a b 丁( a ) 我们称a 是c e l l u l a r 代数，如果a 有一组c e l l u l a r 基 在本文中，我们考虑的模均为右模 假设a 是c e l l u l a r 代数对任意的a a ，g r a h a m l e h r e r 1 1 1 定义了右c e l l 模c a 作为自由r - 模，c a 有一组基 0 i t 丁( a ) 对任意o a ， 0 n = , - b 4 ， b e t ( x ) 这里的常数由定义2 3 ( b ) 给出 利用定义2 3 ( b ) ，g r a h a m - l e h r e r 【1 1 】证明了下面的结果：在c e l l 模c a 上，存 在唯一的对称结合双线性( ) ：c a c a _ r ，使得对于任意的u ，臼丁( 入) 以 础，t 7 ( a ) ， 磕磕兰( 0 ，0 ) c u a b ( r o o da a ) 这里的结合性等价于：对所有a a 以及z ，y c a ，( x a ，y ) = ( z ，y a ) g r a h a m - l e h r e r 定义 r a d c a = z c a i ( z ，y ) = 0 ，v y c a ) 由于双线性型( ) 的结合性可知，r a d c a 是c a 的a - 子模g r a h a m l e h r e r 定义 l a = c a r a d c a 并证明了下面的结论： 定理2 4 【1 1 】设r 是域如果p a ，_ i 王l u 0 ，则右a 一模是绝对不可约的 进一步，集合 i a ，l p o ) 构成了所有不同构的不可约a 一模的完全集 下面的定义由a m a t h a s 在【1 7 1 中给出 定义2 5 设a 是c e l l u l a r 代数， 砼1 5 ，t 丁( 入) ，a a ) 是a 的一组c e l l u l a r 基称a 中 一族交换元素的集合 l l ，l m ) 为a 的j m 元素，如果q = l ，v 1 i 扎且存 4 在一族常数 c t ( i ) r i t 丁( a ) ，1 i m ) 使得对所有的i = 1 ，2 ，m ，v a a ，章，t 丁( a ) ， 磙厶三q ( i ) e ：t + u 矗 u d t ( m o da a ) 此时称集合 磙1 5 ，t 丁( a ) ，入a ) 是a 的j m 基注意到c e n u l a r 代数的j m 元素 和j m 基是成对出现的，在前文已经交代清楚的情况下，我们直接称c s t ) 是j m 基 为了叙述咒的c e l l u l a r 基，我们需要一些组合知识 一个合成q = ( o i ，q 2 ，) 是非负整数的有限序列，我们用i n l 表示序列 中各元素之和n 的多重合成是合成詹) 的有序r 元组p = ( p ( ，p ( r ) ) ，满 足：l l t t ( 七) i = n 我们称p ( 七) 是肛的第七个分支一个分戈l j 是一个非增序列的 合成，如果一个多重合成的每个分支都是分划，则称为多重分划n 的全体r 重合 成记为a ，( 竹) ，全体r 重分划i g 炭a + ( n ) v a ，p a r ( n ) ，如果v ，七，i 0 ，1 k 7 ， 七一1i七一li 护i + 妒i + ， j = lj = lj = lj = l 则记p 垒p ，则垒是( n ) 上的一个偏序，称垒是支配序，此时( a ，( n ) ，垒) 是一个偏序 集如果p 皂，p ，则记为p 定义2 6 ( 1 ) 设a = ( 6 1 ，6 2 ，) 是弱递增整数r 元组定义= n ：7 ， 且7 r 。t = ( l 1 一t “。1 ) ( l 2 一牡“1 ) ( l o 一u 汁1 ) ( 2 ) 假设p a ，( n ) 定义和= 丌b ，其中，玩= 1l 肛o i ，1 i r ( 3 ) 跏a r ( n ) ，定义却= u 6 。死，其中6 p = 6 p ( 1 ) 6 p ( 小 ( 4 ) 设m p = ，m p = m p w 定义退化的分圆q - s c h u r 代数是自同态代数 s = e n d n ( o j c m p ) 设a 人r ( 佗) ，r = ( 1 ，2 ，r ) y o u n g 图【刈是集合 【刈= ( i ，j ，七) n n r l l j a ：七) 一个a 一表丁是从a 图到n r 的映射特别地，$ 寄- t i 5 ) 9t = ( t ( ，丁( 7 ) ) 如 果t 值域中( i ，七) 的个数等于p ：蚋，则称t 是p 型a 一表给定( t 七) ，( 歹，1 ) n r ，如果后 z ，或者k = z ，i s u p t 由此知( 掌) 中c i = 1 ，即识正= 岛以+ 仇又因 r e s t 0 ) = r e 8 。( i + 1 ) ，7 e s t ( i + 1 ) ： r e 8 ，( i ) 我们有 c r e s t ( i ) 矽, + r e $ s ( i ) 仇= ( 岛以+ b t ) l i + l = 讥五厶+ l 一饥( 厶正+ 1 ) = r e 8 。( i ) 以正+ 讥 一1c , r e s 。( i l l 以+ r e s 。( i ) 以+ 以 c , ( r e s t ( i ) 一r e 8 。( i ) ) 缈= 以，则c ；i = ( r e 8 t ) 一r e s 。( i ) ) 一1 所以 1 3 引理3 1 3 4 ，6 1 0 】设m a = 7 r a z a = i r b z a 则协= r e 8 t a ( 6 ) a 其中 a ) = n 七r 兀纠( 世) ! 命题3 1 4 设t s t d ( a ) ，则( 以，仇) = 7 t 证明：首先假设t = t x ， u = 丌b z a 则由定理3 9 ( b ) ，仇 ( 妒p ，妒p ) 由定义( 愀 ，妒p ) 妒丁 t 三妒t t 妒t t m d d 砂 = 妒t ，因此( 识，识) = 妒t t 妒t x t x ( m a ) = = 妒t a t x ( r e x ) = 妒t p ( 1 ) 7 n a = m a m a = m a z a = a m a 丌b 三似m a r o o d 因此( 妒t ，妒t ) = 似 现在假设t p ，则存在5 s 纪( a ) 使得与t ，蓐= t ( i ，i + 1 ) 由推论3 1 0 c k e t = 也( 正+ q ) ，a = ( r e 8 。( z ) 一r e s t ( i ) ) 利用砰= 1 ，( 仇，识) = 0 ，我们有： ( 呶，以) = ( 亿互+ q 以，以正+ 口仇) = ( 如五，以正) + 2 a ( 讥五，也) + q 2 ( 识，以) = ( 魄砰，以) + 2 q ( 吨正，讥) + q 2 ( 他，识) = 2 q ( 以五，以) + ( 1 + q 2 ) ( 以，以) = ( 1 一0 2 ) ( 讥，以) 很容易计算1 一口2 = 巫型坐鼍愁东咎篡焉铲竺业 对偏序”作归纳，可得( 呶，仇) = 7 t 推论3 1 5 的m 行列式g ( 入) = n t 跗( 入) m 证明：由于，t = 么( 1 ) ，因此的g r a m 矩阵的行列式是兀t _ s d ( a ) 讯 下面我们将证明( 妒r ，妇) = 竹为此我们需要几个引理 引理3 1 6 设t t o ( 入，) ，t = l a s t ( t ) 则存在6 5 r ，使得 妇咖p = 讥+ 玩以 肚 t 1 4 证明： b 妒t p t , o ( 1 ) = c r ( m p ) = 5 i o t ( m p ) +a s l ，o s ( m p ) = m r + n s m s s rs 睁? 因为s t 号l a s t ( s ) pl a s t ( t ) ，所以存在n - 冗使得 m t + n s m s = 拙+ n | m = 忱( 1 ) + n | ( 1 ) spt覃lt_ t 因此有惦够p p = 帆+ 咖tn 1 = 坝+ 叫k 讥 给定t 兀( a ，p ) ，d d ( f i r s t ( t ) ) ，令6 a n d 6 p d 一1 = 6 即，v t a ，( 礼) 引理3 1 7 设t & d ( a ) ，t 譬p ( t ) 记m p 翟霄_ 则存在留r 使得 帆妒p p 一舒妒t + 留妒s s t o r = r e s t ( 曲 即) 如果喂半标准的，否则叼= 0 证明： 引理3 2 1 设t s t d ( x ) ，t = p ( t ) ，则识妒p 弘= 硝惦 证明：设( i ，k ) n r ，扩第i 行的元素为耖，y + 1 ，z ，则 识妒p t p l ；t , ，七m p ) = 识妒弘弘( m 肛) l 氛= 矾( l y + l 掣+ l + + l z ) 妒p 弘( m p ) 所以 矽t 妒p t p l ：七= 妒t ( l 暑，+ + l 。) 妒p t p = r e s t ( i ，七) 矽t 妒p 丁p ， 因此，若s 兀( a ，p ) ，s t ，则妒t 妒p t e s = 0 又因为呶咖弘唿，则识妒p t p = e s ( a ，肛) 似妒s ，r t s r ，因此若s t ，r t s = 0 那么有识妒p 弘= r t t 矽t 下面我们证明研= 碟对用归纳法首先设t = f i r s t ( t ) ，则以= 帆+ 5 t k 设m p = u b x p ，则 c t 妒t w t = 卿p t p + 九妒。m 即 引 t = ( r e s t ( b ) v t ) 咿t + c s 船 s p t 1 6 矿a r t t = 硝 下面设t f i r s t ( t ) ，则存在i ，1 i n ，量乳d ( a ) 使得毒= t ( i ，i + 1 ) ，声t ，p ( 5 ) = p ( t ) 所以有忱= 五又因为( i ，i + 1 ) 6 弘，所以妒p 弘正= 缈p p 仇咖弘= 们刊妒p 弘- ( 1 刊以妒p = 鹗措讥妒p p 由归纳假设上式等于 r e s 5 ( i ) 一r e s t ( i ) + 1 一r e s t ( i )r e s 。( i ) 碟妇= 硝惦 定理3 2 2 设丁兀( 入，p ) ，则( 惦，妇) = 竹 因此 证明：令t = l a s t ( t ) ，则有硝惦= 识妒严p 由引理3 1 6 ： 咖妒p p = 识+ 6 | 以 5 t 硝( 掣，掣留) = ( 口，仇妒p ) = ( 妒t 够知p ，以) = ( 掣留妒弘弘，仇) ( 仇，坝) + 6 5 ( 讥，识) = ( 仇，仇) 5 t 因为( 仇，讥) = 讯，7 t = 硝竹所以( 惦，惦) = 7 t 推论3 2 3 设a a ( n ) ，p a r ( n ) 则g p ( a ) = l - i t ( a ) 竹 下面我们将把g p ( a ) 改写成便于应用的形式，处理方式类似- 与j a m e s ， m a t h a s & f 1 4 】中关于分圆q - s c h u r 代数的工作j a m e s ，m a t h a s 在f 1 4 】中给出了 下面一系列概念 定义3 2 4 设a ( n ) ，c l ，2 ， a ) 定义的列c 为( 七) 的第j 列 b ) 令s ( c ) = k c ) 令侥= 扎一歹+ 0 七y 则序列 ，r n ) 将c 写为c = ( r 一七) n + 0 ，歹 1 ，2 ，几) p = ( 俄，风，风+ l ，仍n ，风一1 ) n + 1 ，屏n ) ， 是的b e t a 数序列 定义3 数西( q a ) b ) 定义d ，( q ) = ( 一1 ) 2 ( u ) + + 。( 坼i 兀( ，7 - ) i ； c ) 给定a ，( n ) ，定义d r ( ) = l t o ( 丁) 1 现在固定a a ，( n ) ，肛人，( 几) ，p = ( p 1 ，屏n ) 是a 的b e t a 数则叱( 卢) = l 兀( a ，p ) i i f ( i ，k ) n r 是使得肛o 的极大值令z = p 5 科则每一个半标准 表丁恰好有z 个值等于( i ，七) ，而且这些值位于丁的不同列的底部用1 ，2 ，r 扎来 指标入的列，将包含( i ，七) 的列标记为c = c 1 c 2 s ( c ) o rs ( b ) = s ( c ) ，风风+ 九) 命题3 2 6 a a ，( n ) ，p a ，( n ) ，卢是a 的6 e 厶礅则 q ( a ) = i l 之1c e r nb e s ( h ，c ) 证明：对n 用归纳 ( 傀一成+ h + 缸。( 。) 一仳。( 6 ) ) 缸( 反，风+ h ，艮一氐，风) 为了便于应用，下面我们将进一步改写上述公式设z = ( i ，歹，k ) 【刈， 用表示z 对应的r i mh o o k ( 在a ( 蠡) 中) 2 4 l l ( r z ) = 喾y i + 1 是的l e gl e n g t h ， 定义r e s ( ) = 7 e s ( 厶) ，其中厶是的f o o tn o d e ，也就是说厶是a ( k ) 包含z 的列的最 后一个格子 定义3 2 7 设入，a ，( 礼) 如果入，令纵p = 1 ，否则令 g x = e 列= ( - 1 ) “( ) + 盯( 俐 z 【刈y e m m = 【刈 ( r e s ( r = ) 一r e s ( 勺) ) 岛， 注3 2 8 由于( z ，y ) 要出现在纵p 的因子中，必须满足【】= 因此纵，= 1 除 非入( 七) = 正，( 七) 除了至多两个七r 如果纵p 1 ，入( 七) ( 蚋，入( 2 ) z ，( n ，k z ， 则纵p = ( d + u k u 1 ) 土1 ，一n d n 如果入，在第k 个分支不同，则纵p = 2 ，a ，b 1 ，2 ，佗) 锱 酬 h 器 a m a t h a s 证明了下面一个关键引理，参见【1 6 】 1 9 引理3 2 9 1 6 ，5 2 6 】设a a + ( n ) ，p = ( p 1 ，阮) 是a 的6 e 撤，设整数6 ， 满 足1 b n ，h 1 则存在合成7 - 使得4 ( p 1 ，仇一h ，艮) 0 x 当h = 如，z = ( a ，b ) 在这种情形下， d r ( f 1 1 i 一，尻一h ，风) = ( 一1 ) h - u ( 7 。) 西( q l ，a 。) ( o t l ，a n ) 是从移去n mh o o kr x 得到的图所对应的分划的6 e n 数 推论3 3 0 设r = z u l ，u ，】，则g p ( a ) = 兀肘( n ) ( 纵) 叱( 川 证明：r 的分式域是k = q ( u l ，嘶) ，则k 满足假设3 8 ，因此命题3 2 7 在k 上 成立，但由g p ( a ) 的定义知g p ( a ) r 由引理3 3 0 可知只有当一个f o o tn o d e 在c 列 的r i mh o o k 肯e 够被移至 f o o tn o d e 在6 列的r i mh o o k 时，叱( 卢1 ，尻+ ，皮一 h ，屏n ) 才不为o 因此g 肛( a ) 能够写成推论中的形式 注3 3 1 因为g u ( 入) 就是咒的s p e c h t 模的g r a m 行列式g ( a ) ，因此 g ( 入) = ( 纵，) 俐川i v e a + ( n ) 定叉3 3 2 受到【4 】中定理6 1 l 的, g 发 定义3 3 2 退化g e n e r i c 分圆h e c k e 代数饨的庞加莱多项式是z 札1 ，u 2 ，u r 】中的 元素，定义为 尸( 札，u ，) = 佗! i ii i ( d + u k 一札z ) 1 七 f r - n 0 i ，a ( n ) 唧( 纵p ) 畔 证明：设p 人( n ) ，a 堡p 因为( 色l ，诉) o ，所以g “( a ) o 在r 中因 此我们能运用j a n t z e n 的结果于峨妒t p t p ，由此得到 吩( g p ( 入) ) = t 0d i m f 昨妒p 弘( t ) 又因为丸( a ) = d i m f w p 妒t 一弘，咋( g p ( 入) ) = p a ，( n ) 叱( ) 咋( 纵，) ，则 d i m f 昨妒丁“弘( i ) = 叱( ) 唧( 纵p ) = 咋( 纵) d i m f 哗纷弘 i o v e a + ( n )p a ( n ) 由上述引理可得结论 注4 4 因为入时，纵p = 1 ，因此咋( 纵，) = 0 上述定理右边只需对满 足a 的a ，( 扎) 求和即可 对于s p e c h t 模蹄可以得到类似的结论： 定理4 5 设入a ，( n ) ，户i r ( u l ，砬，) 0 则 罐( ) h 唧( 加) g i 0 v e h + ( n ) 5 s 和咒的判别式 ， 在本节中，我们假设f 是一个域1 i t c h a r f = o 或者c h a r f ，1 下面我们将 描述定义在域f 上的w e y l 模 s p e c h t 模的不可约性对这样的域f ，设t 是f 上的 不定元，令o = f 口，t 1 】丌是f 阮t 一1 】在素理想7 r = ( t 1 ) 的局部化易知p 是主 理想整环，且o t r o 笺f 。令7 o = n o ( x ) 是定义在0 2 - 的退化分圆h e c k e 代数， 其参数五= u d m ，显然x 在同态0 _ f 下的象是z i 且有咒f 竺7 o o d f 而且 p o ( x l ，坼) 0 因此上一节证明的j a n t z e n 和公式总是成立的，我们依然沿 用上一节的记号 定理5 1 设a a ( n ) 则昨不可约当且仅当吩( 跏) = o 对所有满足入p 的 衅( n ) 证明：r a d 咐= 哪( 1 ) ，哪不可约当且仅当w f a ( 1 ) = 0 如果存在 a ( 礼) 使得唧( 纵y ) o ，则假设在支配序下极大，则邱是定理4 3 右边的合成因 子，而且只出现一次所以有阶( 1 ) 0 ，因此w 可约 另一方面，如果咋( 纵，) = o 对所有满足入p 的a ， ) ，则由定理4 3 知r a d w = 0 ，因此昨不可约 容易看到上面定理证明的第二部分给出了研= d 的充分条件下面我们刻 画必要条件 定理5 2 设a 人，( n ) 更l i a ) 罐= d 当且仅当昨不可约j b ) 蹄= d ；当且仅当卟( 纵p ) = o 对所有满足a 的人( n ) 证明：( 号) 设筛= d ，则$ 的g r 锄行列式是f 中的非零元素其行列式是 g u ( a ) + p r = i i ( 纵) 九( | ，) + p r 1 ，a 产( n ) 因此( 纵p ) 叱( p ) 可尺，对所有a t ( n ) 另一方面，w 的g r 锄行列式为 g p ( a ) + p r = i ii i ( 纵p ) 缸+ p r p a r ( n ) p a r ( n ) 王，a ( n ) 若乩( p ) 0 ，则由( 纵) 九( p ) 毛p r w 得鲰p 的任何次方都不属于p 兄另外显然 有乩( ) = 0 专钆( 1 ，) = 0 ，由此可得( 9 入p ) 丸( p ) 砷r 对所有l ，a 产) ，p a ，) 2 3 也就是说昭的g r 锄行列式不为零，从而昨不可约 ( 仁) 设昨不可约，则咐= 罐而蹄竺咐妒p p ，d 竺f d 妒p p ，从而罐= 球 注5 3 在 6 】中，b r u n d a n - k l e s h c h e v 证明了定义在复数域上的退化分圆h e c k e 代 数和有限、- 代数的一些模范畴m o r i t a 等价利用这个m o r i t a 等价，b r u n d a n k l e s h c h e v 证明了退化分圆h e c k e 代数的c e l l 模是不可约的当且仅当有限w 代数 的模范畴中对应的s t a n d a r d 模是不可约的，后来被b r u n d a n k l e s h c h e v 在7 1 中 完全解决从而b r u n d a n - k l e s h c h e v 得到一个判别准则，判定退化分圆h e c k e 代数 的c e l l 模何时为零 6 s 和咒的b l o c k 分类 在本节中，我们假设f 是一个域k c h a r f = 0 或者f n 我们将给出昂和咒f 的 不可约表示的b l o c k 分类 首先我们将w e y l 模的j a n t z e n 和公式定理改写成如下形式： 定理6 1 设入 ( n ) ，尸l r ( 砬l ，, f i ，) 0 ，则 【咐( i ) 】= 凡【畔】 i o 蚝a ( 件) 在格罗滕迪克群妊( 昴) 中，其中凡是如扎t 托竹系数，值为以p = 咋( 鲰p ) 对于a ，人( n ) ，4 d x p 一【昨：群】，定义 以p = p 叱p ， p a ( n ) p p 皂p 因此以矿表示邱在0 t ow ( 1 ) 的合成因子中的重数 推论6 2 设a p a ，( n ) ，则d 札以p ，且呶p 0 铮以p 0 证明：因为氏p = 【岍( 1 ) ：硝】，由此可得结论 引理6 3 i 殳a x z ，则a 时( 再) 纵【咐】= o 在j i c 0 ( 昂) 中当且仅当姒= o 对所有 的入a t ( n ) 证明：因为| i c o ( 砩) 是基为_ 【印】f 入a m ) ) 的自由z 模，而 f 昨】i a 人，( 咒) ) 与 上述基之间的变换矩阵为对角线为1 的上三角矩阵，因此 咐】l 入a ( 扎) ) 也 是j i c o ( 蹄) 的一组基 定义6 4 设a ，p 人，( 礼) ，如果存在多重分划序列a o = a , a z ，扎= 弘使 得厶t k + l 0 或者氐+ ，丸0 ，0 i 0 昨( i ) 】= ，也 衅】，则对所有 o e j v 有碍在同- - b l o c k q ，即位于昨所在的b l o c k 因此p 时( n ) 以p 【w 】所对 应的模的合成因子也都位于同- - b l o c k 中，与昨在同一b l o c k 设a 7 是a ，( n ) 的 子集，其元素是使得畔与附不在同一b l o c k 的则p a ，厶p 【晔】= 0 ，因 此 = 0 ，a 7 从而有若以0 ，则眦与岬在同一b l o c k 中 ( 兮) 设咐与哗在同- - b l o c k q ，因此a 与p 是c e l ll i n k 的，由此我们不妨设以p 0 ， 因此以“0 那么我们能找到l 人) 使得厶p 。0 ，d p 。肛0 ，a 魄堡p 因 此a t ，1 若1 = p ，则已得证若2 1 p ，重复上述过程，由于a ，( n ) 是有限集，因 此有限次后我们有a = 坳1 沈陟收= p 且厶一l 魄0 ，d 魄p 0 ，0 i k 从而a 一。，“ 定理6 6 设入，p a ，( n ) ，则醛与群在同一6 2 0 c 七当且仅当咐与畔在同一6 j d 磕 证明：设蹄与群在同- - b l o c k ，因此存在序列入= a o ，入1 ，a 膏= p ，罐与$ 件1 有公共的合成因子故不妨设d 菩0 ，d ；! 是蹄的合成因子，则我们有【昨：f u 】= 【罐：d # 】0 因此昨与w 管在同- - b l o c k o 另一方面，设m = 0 “m p ， i t = b 1 + b 2 + + 鼠是b l o c k 分解，则m = m t - i = m b x0m b ：o om 取，因此 k s = e n d n ( m ) = e n d n ( m b lo o m b a ) = e n d n ( m b i ) ， i - - - - l 所以5 的b l o c k 个数不少- i - 7 - t 由此可知若昨与畔在同一b l o c k 中，则蹄与群在同 一b l o c k 三 2 6 7 m o r i t a 等价 本节的工作受到 9 】的启发在第五节中，我们解决了域特征为。或者大于n 时 的情形，本节将利用m o r i t a 等价来解决其余情形本节中涉及的概念均来自于【9 1 ， 结果及其证明大多与【9 】类似，为了文章的完整性，我们仍然给出部分结论的证明 定义7 1 i t a ( r ，礼) 是至多r 部分不为。的n 的分划的集合，任意入人( r ，几) 令( a ) = 【a o ，a l ，a r ，e ? a o = 0 ，a i = ：1 记a 【r ，n 】一 ( 入) ：a a ( r ，n ) 引理7 2 【9 ，1 1 】 8 ) a i r ，礼1 = 【咖，a l ，a ，】：0 = a o n 1s 口r n ，8 t z ，) 6 ) 任意a ，b a i r ，n 】，如果对每一个i 有a i 玩，讹一- 4b 则5 是a 【r ，n 】上的 一个偏序，由此a 【r ，礼 是一个偏序集而且将a 映到( 入) 的映射三：a ( r ，礼) - - + a 【r ，n 】是偏序集间的同构特别地，v 入，p a ( t ，n ) a 里p 兮( 久) ! ( p ) c ) 如果e = 三_ 1 是映射三的逆，则对a = a i l a p ，几1 ，有 o ( a ) = ( a l a o ，a 2 一a l ，n m n m 一1 ) 如果a5b ，a b ，则记a - 砷，a k = a 回忆退化分i 圃h e c k e 代数觎的定义，它由五，一1 ，l l ，k 生成，且 满足一些关系式( 2 1 ) 设蛐是由乃，r 一1 生成的子代数，易见其同构于对称 群6 n 的群代数为了记号统一，我们用衄( 6 a ) 表示g n ( o y o u n g 子群6 a 的群代数 定义7 7 【9 ，2 6 】设a a i r ，n 】，定义 o ) r o ( x ) = l ，丌。( z ) = 兀：l ( 岛一z ) ，v a 0 ，z r ； b ) 7 r a = 7 r a i ( u 2 ) 7 r a r _ l ( 札r ) ； c ) 亓a = 7 r a l ( u r - 1 ) 一。( 札1 ) 这里7 r a 即是2 6 ( 1 ) 定义的丌a 一致 引理7 8 【9 ，2 8 】设a ，b h r ，n 】，则丌a 亓b ，= o 及亓a h r b ，= o 除非a 冬b 接下来我们将利用【9 】9 中的方法，在一定条件下对任意a a i r ，礼】构造幂等 元e a 命题7 9 9 ，3 1 】设a a i r ，佗】，今v a = 丌a 黾亓a ，h a = 巩则有 a ) 7 r a 噩亓a ，= ( 6 a ，) = 矾( 6 a ) 而且，v a 正= 丑1 ) 吆一。，v s l 6 a ，； b ) 对每一个i = 1 ，2 ，n ，有v a l i v h ( g t ) n 皿( g a ，) ，l t v a 皿( 6 i ) n ( 6 a ) 特别地，v a l i = 吻，如果存在硝g