（基础数学专业论文）素域上拟约多项式的结构.pdf

摘要 本文的主要工作是研究素域和环上多项式环中不可约多项式的 结构和性质，在原来已经知道的一些不可约多项式的基础上，提出了 满射的概念，在研究满射多项式和不可约多项式的同时，发现了另一 类重要的多项式：拟约多项式，进而还证明了素域上多项式的诸多结 构定理和性质，如多项式环上的f e r m a t 定理，循环式的结构性质等。 设玎是正整数， 厂( x ) = 认工) ( 石一a 1 ) ( 石一a 2 ) ( 工一a 。) + l ， 其中口l ，口：，q 是互不相同的整数，妒( 工) 是整系数多项式，如果 d e g ( 缈( 工) ) = 厂刀，那么称厂( 石) 是一个拟约多项式。 通过对拟约多项式的研究得到了一系列的结果。证明了 ( 1 ) 当一5 且d 嗄烈砌 力时，拟约多项式 f ( x ) = 烈x x x q ) o 一哆) 缸一q ) + 1 在q 上不可约。 ( 2 ) 当甩5 且d 嗽贴) ) = 刀时，拟约多项式 f ( x ) = 烈x x x q ) o 一哆) o 一口| ) + 1 可约当且仅当存在整数c ，d 使得 烈x ) = c a ( x q ) ( x a 2 ) ( x q ) 土( c + d ) 。 进一步我们引进了强拟约多项式的概念。设刀是正整数， 厂( x ) = 伊( 工) ( 工一a i ) ( 工一a 2 ) ( x - a 。) + l ， 其中口l ，口：，是互不相同的整数，缈( x ) 是整系数多项式，如果 d e g ( f o ( x ) ) ，那么称厂( 工) 是一个强拟约多项式。 关于强拟约多项式的研究得到了其不可约的特征刻画。假设 厂( x ) = 伊( 石) o q ) o 一) o a 3 ) ( x 一口。) + 1 ，且伊( 石) = l 是强拟约多项式， 则厂( x ) 在q 上可约当且仅当c l l ，口：，口，n 。是四个连续的正整数。 进一步地推广上述思想我们引进了k 阶强拟约的概念。 设玎，k 都是正整数，厂( j ) = 伊( 石) ( ，+ 口。) ( ，+ 口2 k ) ( + 口) + 1 ，其中 口。，口：，是互不相同的整数，矽( z ) 是整系数多项式，如果 d e g ( 伊( x ) ) 1 ，并且不同a k 之间的距离大于2 ，那 么厂( j ) 在q 上不可约。 ( 2 ) 如果 厂( z ) = 缈( x ) ( 工2 + 口1 2 ) ( 工2 + 口2 2 ) ( z 2 + 2 ) + 1 ， 且吼都是非零整数，如果1 2 n 且d e g ( 厂( x ) ) 4 8 那么厂( x ) 在q 上不可约。 最后我们把上述思想方法推广到e u c l i d e a n 环上，讨论了这类环 上的诸多重要定理。还得到了一般环上关于多项式的其它定理，如证 明了e u c l i d e a n 环上的多项式f e r m a t 定理。 关键词：满射多项式，拟约多项式，强拟约，e u c l i d e a n 环。 a b s t r a c t t h i sp a p e ri s m a i n l y f o c u so nt h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so f i r r e d u c i b l ep o l y n o m i a lo v e rt h ep r i m ef i e l dp b a s e do nt h ew e l lk n o w n r e s u l t so fi r r e d u c i b l ep o l y n o m i a l ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fs u r j e c t i o n a f t e rs t u d y i n go nt h es u r j e c t i v ep o l y n o m i a la n di r r e d u c i b l ep o l y n o m i a l ， w ed i s c o v e ran e wc l a s so f p o l y n o m i a l n a m e dq u a s i - r e d u c i b l e p o l y n o m i a l f u r t h e r , w ea l s os h o ws o m em o r er e s u l t ss u c ha sf e r m a t t h e o r e mo np o l y n o m i a la n dp r o p e r t i e so fc y c l i cp o l y n o m i a l s u p p o s eh isap o s i t i v ei n t e g e r ， ( 石) = 伊( 石) ( 工一a 1 ) ( x a 2 ) ( x a 。) + l ， w h e r e a l , a 2 , - - , a a r ed i f f e r e n ti n t e g e r s ，缈( x ) i sp o l y n o m i a lo fi n t e g r a l c o e f f i c i e n t i fd e g ( 缈( 石) ) = ，刀，t h e nf ( x ) i sc a l l e dq u a s i - r e d u c i b l e p o l y n o m i a l b ys t u d y i n go fq u a s i - r e d u c i b l ep o l y n o m i a lw eg e te l e m e n t a r yr e s u l t s o np o l y n o m i a l so v e rp r i m ef i e l d s ，f o re x a m p l e ： ( 1 ) w h e n 力5a n dd 嗄烈) 刀，q u a s i r e d u c i b l ep o l y n o m i a l f ( x ) = 识x x x q x x 一巴) o 一) + l i si r r e d u c i b l eo v e rf i e l dq ( 2 ) w h e nn 5a n dd 嗄烈砌= 刀，q u a s i r e d u c i b l ep o l y n o m i a l ( 力= 酬z a t 一呸) o q 。) + 1 i sr e d u c i b l eo v e rf i e l dqi fa n do n l yi ft h e r ee x i s ti n t e g e r sca n dds u c h 烈x ) = c d ( x q ) ( x a 2 ) ( 工一巳) ( c + d ) a l s ow ei n t r o d u c es t r o n gq u a s i r e d u c i b l ep o l y n o m i a l i t sd e f i n i t i o n i sa sf o l l o w s ： s u p p o s eh i sap o s i t i v ei n t e g e r ， f ( x ) = c o ( x ) ( x a 1 ) ( x - a 2 ) ( x - - a 。) + l ， w h e r e a l 以2 ，口。a r ed i f f e r e n ti n t e g e r s ，c o ( x ) i sp o l y n o m i a lo fi n t e g r a l c 。e f f i c i e n t i f d e g ( c o ( x ) ) ，t h e n m ) i sc a l i e d s t r o n g q u a s i - r e d u c i b l ep o l y n o m i a l i nt h i st h e s i sw ea l s og e ts e v e r a ln e wc h a r a c t e r i z a t i o no ns t r o n g q u a s i - r e d u c i b l ep o l y n o m i a l f o re x a m p l e ，i f f ( x ) = 烈工) ( 工一a 1 ) ( 工一a 2 ) ( 石一a 3 ) ( x - a 4 ) + 1 ， a n dc o ( x ) ：li sa s t r o n gq u a s i - r e d u c i b l ep o l y n o m i a l ，t h e n 厂( x ) i s r e d u c i b l eo v e rf i e l dqi f f a i , 口2 ，口3 ，口4 a r ef o u rc o n s e c u t i v ei n t e g e r s f u r t h e rm o r e ，w ep r o p o s et h e c o n c e p to fs t r o n gq u a s i r e d u c i b l e p o l y n o m i a lo fo r d e r 疋ap o l y n o m i a li sc a l l e ds t r o n gq u a s i r e d u c i b l e p o l y n o m i a lo fo r d e rki f 厂( j ) = 伊( 工) ( 工+ q ) ( z + 口2 k ) ( x + ) + 1 ， w h e r ea i ，a 2 ，a na r ed i f f e r e n ti n t e g e r s ，na n dka r ep o s i t i v ei n t e g e r s ， c o ( x ) i sp 。l y n 。m i a l 。fi n t e g r a lc 。e f j f i c i e n t ，a n d d e g ( c o ( 砌 l ，a n de v e r yd i s t a n c e b e t w e e nd i f f e r e n t 口，吒a r eg r e a t e rt h a n2 ，t h e n 厂( 工) i si r r e d u c i b l e o v e rf i e l do ( 2 ) s u p p o s e 厂( x ) = 烈工) ( x 2 + 口1 2 ) ( 工2 + 口2 2 ) ( 工2 + 口。2 ) + 1 ， i saq u a s i - r e d u c i b l ep o l y n o m i a lo fo r d e r2 ，w h e r ea ，a r en o n z e r o i n t e g e r s ，i = l ，2 ，刀i f 1 2 行a n d d e g ( f ( x ) ) 4 8 ，t h e nf ( x ) i s i r r e d u c i b l eo v e rf i e l dq a tl a s t ，w ei n v e s t ig a t ep o l y n o m i a l so v e re u c l i d e a nd o m a i n sa n d s t u d ya tq u a s i r e d u c i b l ep o l y n o m i a l s m a n yk n o w nt h e o r e m sc o u l db e e x t e n d e dt oe u c l i d e a nd o m a i n ，s u c ha sf e r m a tt h e o r e mo np o l y n o m i a l s i no t h e rw o r d ，w ep r o v et h a t ： i f 厂( x ) ，g ( z ) ， ( 工) a r ep o l y n o m i a l so v e ra ne u c l i d e a nd o m a i nd ， a n d ( 厂( x ) ，g ( x ) ，z ( x ) ) 一1 s u c ht h a tn o ta l lo ft h e ma r ec o n s t a n t ，t h e n 厂( x ) ”+ g ( j ) “= ( x ) “w i l ln e v e rb et r u ef o ra l li n t e g e r sn 3 k e yw o r d s ：s u r j e c t i v ep o l y n o m i a l ，q u a s i r e d u c i b l ep o l y n o m i a l ，s t r o n g q u a s i - r e d u c i b l e ，e u c l i d e a nd o m a i n v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不合任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：鼽 6g 年 j 1 月 r 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 导师签名： 豫艘& 日期： 6 字年i1 月丫 日 日期：6 年i 乙月 日 素域上拟约多项式的结构 引言 判断域上的多项式是否可约是个很重要的研究课题在近世代 数领域和编码理论中有着广泛的应用。但在素域p 上的不可约多项式 研究却是异常地复杂。我们熟悉的有理数域q 是一个特征为零的素 域，虽然在特征为零的素域上存在着任意次的不可约多项式。但如何 判断素域上的多项式不可约性都异常艰难，国内外学者对之做了很多 的相关研究。8 m m 6 本文研究了满射多项式，通过对其性质和结构研究，发现了一 些对于拟约多项式很有用的结论，同时也得到了多项式的一些相关定 理，如整环上多项式的g o l d b a c h 定理，e u c l i d e a n 环上的多项式的 f e r m a t 定理以及循环式的诸多结论等等，在文章的后半部分研究拟约 多项式的时候得到了一系列新的方法，对于扩大对拟约多项式的认识 是有重要意义的。 本文中p 总表示素域，整数集合s 中元素的个数是用i s l 表示，另 外s 的宽度是用s 中的最大数减去最小数的值，用l i s i l = m a x s r n i n s 表 示，首项系数为1 的多项式简称为首一多项式，非零多项式厂( 工) 的次 数用d e g ( f ( x ) ) 表示。 博士学位论文 1 满射多项式 1 1 满射多项式的概念和性质 定义1 1 1 设厂( x ) p 【工】及集合scp ，tcp ，如果有厂( s ) = t ， 则称厂是s 到丁的一个满射多项式。 定理1 1 1 设集合ssp ，tc _ p ，如果i s i = ，则s 到丁的满 射多项式一定是存在的。 证明 设t = 地，6 2 ，吃) ，由l s l - - i t l ，必可选取两两不同的 a l , 口：，q s 。因此做l a g r a n g e 插值多项式 m ，= 缈冉器| ， 扛1 l：旧_ 口j 由此式便有厂( 吼) = 瓯，k = l ，2 ，刀，所以厂( s ) = t 。厂( 工) 是s 到丁的一个 满射多项式，证毕。 事实上，l a g r a n g e 插值多项式只要求x 的取值两两不同，所以定 理1 1 1 中的条件i s l - - i t l 可以减弱，得如下定理。 定理1 1 2设集合s p ，tc p ，如果l t i i s i 4 ，则s 到丁的 次 首一满射多项式在p 上一定是不可约的。 证明 设s = 口。，口：，) ，由定理1 1 2 ， s 到t 的满射多项式存 在。任设s 到r 的满射多项式厂( 工) ，由 f ( a ) = 1 ， 得 厂( x ) = ( x 一口1 ) ( x a 2 ) ( x q ) + 1 由命题1 2 2 ，厂( 工) 在p 上一定是不可约的，证毕。 类似地有 定理1 2 3 设集合s z ，r = 1 ) ，如果l s i = 4 ，则s 到丁的4 次 首一满射多项式在p 上是可约的充分必要条件是l l s l i = 3 。 事实上，由i s l = 4 ，| | s l i = 3 可知该条件即表明了q ，口：，口3 ，口。是连续的 整数，由命题1 2 3 得证。 1 一整数环上满射多项式的不可约性 命题1 3 1 设厂( x ) = x 4 + p x 2 + g q 【工】，则厂( x ) 可约3 a ，6 q ，使 得p = 2 a b 2 ，q = 口2 或者p = a + b ，q = a b 。 证明( 充分性) ( 1 ) 若p = 2 a b 2 ，q = 口2 ，则 f ( x ) = x 4 + ( 2 口一6 2 ) 工2 + a 2 = ( x 2 + 缸+ 口) ( 工2 一h + a ) 根c 素域上拟约多项式的结构 ( 2 ) 若p = a + b ，q = a b ，则 厂( x ) = x 4 + ( a + 6 ) x 2 + a b = ( j 2 + 口) ( x 2 + 6 ) ( 必要性) 已知厂( z ) 可约。若厂( 工) 有一次因式，则厂( 石) 有有理 ，于是x c l f ( x ) ，厂( c ) = o ，从而厂( 一c ) o ，推出( x 2 一c 2 ) i 厂( x ) 。 所以厂( x ) 必定有二次因式。可设 所以 因此 则 如果 所以 令 如果 f ( x ) = ( x 2 + 6 k + 口) ( x 2 + 6 又+ a ”) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) b = - b 6 ( 口。- a ) = 0 。 b 0 j a 。= a 7 ，令a = a t , b = b ， f ( x ) = ( 工2 + 奴+ 口) ( 工2 一h + 口) = x 4 + ( 2 口一b 2 ) 石2 + 口2 p = 2 a b 2 ，q = a 2 。 b = 0 j b = 0 ， a = 口，b = a 。 5 p = o 一 = 0 y “舶彤 叩 一： 一_ 口 = + + 厂么 ， ， j 1 j幽舶 博士学位论文 则 厂( x ) = ( x 2 + 口) ( 工2 + 6 ) = x 4 + ( 口+ 6 ) 工2 + a b ， 证毕。 命题1 3 2 设集合s z ，l s l 4 ，首一( x ) z 工】，使得 厂( s ) = 1 ) ， 则对于任意的b e z ，有厂( 6 ) 一1 。 证明：设 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 s ， 则 f ( a f ) = 1 ，i = 1 , 2 ，3 ，4 所以 厂( 工) = ( 工一口1 ) ( x a 2 ) ( x a 3 ) ( j a 4 ) g ( 工) + 1 若 厂( 6 ) = 一1 ， 则 ( 6 一a 1 ) ( 6 一a 2 ) ( 6 一a 3 ) ( 6 一a 4 ) g ( b ) = - 2 ， 而_ 2 只有4 个不同的因数，6 一a j ，b 一口：，b 一口，b a 4 彼此不同，是_ 2 的全部因数。但是任何绝对值大于1 整数，在它的分解式中是不可能 同时出现全部因数的，矛盾。证毕。 仿照命题1 3 2 的证明，可以得到下面的命题。 命题1 3 3 设集合s z ，i s i 4 ，首一厂( x ) z 工】，使得 厂( s ) = 1 ) ， 一 素域上拟约多项式的结构 _ - _ - _ _ - i - - _ - _ - _ _ _ _ - - - - _ - _ - _ - 一_ l 则对于任意的6 z ，有厂( 6 ) l p ，其中p 是素数。 命题1 3 4 设集合s 三z ，j s - 4 ，首一厂( x ) z m ，使得 厂( s ) = 卜1 ， 则对于任意的6 z ，有厂( 6 ) l 。 命题1 3 5 设集合s z ， s l 5 ，- 首- - f ( 工) z 工】，使得 厂( s ) = 1 ) ， ，g 皆为素数，则对于任意的6 z ，有厂( 6 ) l p q 。刚 命题1 3 6 设集合s z ，蚓5 ， 首- - f ( x ) e z 石】，使得 厂( s ) = 一l ， p ，口皆为素数，则对于任意的6 z ，有厂( 6 ) 朋一1 。 命题1 3 7 设首f ( x ) e z z 】，口，b , c , d z 两两不同，且 厂( 口) = ( 6 ) = 厂( e ) = 1 ，厂( d ) ：一1 ， 则口，b ，c ，d 一定是4 个连续的整数，且d 既不是口，6 ，p ，d 中最大的数，也 不是a ，b ，c ，d 中最小的数。 证明由假设可令 厂( 工) = ( 石n ) ( z 一6 ) ( x c ) g ( x ) + 1 = ( 工一d ) i i i ( x ) 一1 所以 厂( d ) = ( d 一口) ( d 一6 ) ( d c ) g ( d ) + l = 一l 即 ( 口一d ) ( 6 一d ) ( c d ) g ( d ) = 2 由于口一d ，b - d ，c d 互不相同，作为2 的因数分解，故必定有两 、个数分别取1 ，另一个数取2 或者取一2 。方面有两个数分别取1 7 博七学位论文 表明有两个数分别在d 的左右，即d 既不是最大的也不是最小的，另 一方面还有个数与d 之间的距离为2 ，表明了这4 个数是连续的整数， 证毕。 命题1 3 8 设集合s z ，i s i 3 ，首一厂( 工) z m ，使得 厂( s ) = 1 ) ， 则对于任意不同的两个数口，b z ，有f ( a 7 ) = 一1 与f ( b ) = 一i 不能同时成 l 业。 证明假设 侧= 删= 厂( c ) = 1 ， 且 ，弛，) = 厂( 叻= 一1 ， 不妨设a 兰扎 g ( s ) 冬 - 1 ，1 。 g ( s ) - 1 ，1 ) ， i s l 兰 + - 兰 d e 甙g c 瑚， g ( 石) 暑1 g ( 石) 三一1o d e g ( g ( x ) ) = 0 。 g ( s ) = - 1 ，1 ) = t ， 由定理1 3 1 ，吲5 ，所以g ( 工) 不存在。矛盾。 则有 因此厂( 工) 在q 上不可约。证毕。 此定理中的刀：8 就是最小值，如果刀= 7 时，可以令 f ( x ) = i x ( x - 1 ) 2 ( x _ 3 ) + 1 】【工( z 一1 ) ( 戈一3 ) + l 】 博+ 学位论文 厂( o ) = 厂( 1 ) = 厂( 2 ) = ( 3 ) = 1 ， 构成反例。 命题1 4 2 设整系数多项式 a x 2 + k + 1 在有理数域q 上不可约，并且设 缈( z ) = ( x a l x x a 2 ) ( x - - a n ) ， 其中口l ，口2 ，口 是以个不同的整数，刀7 。那么，多项式 厂( x ) = 口【缈( x ) 】2 + 6 伊( z ) + l 在q 上不可约。 证明：反设 其中 所以 因此有 且 或者 1 2 如果 厂( 工) = g ( 工) j j i ( x ) ， g ( x ) ，h ( x ) z x 】，d e g ( g ( x ) ) 刀，d e g ( g ( x ) ) 0 ， f ( a i ) = 1 ，i = l ，2 ，刀。 g ( q ) = l 或者g ( a ，) = 一1 ，i = 1 ，2 ，刀。 d e g ( g ( x ) 1 = 甩， g ( a i ) 暑1 ，i = l ，2 ，刀 素域上拟约多项式的结构 有 因此也有 且 得到 从而 g ( a f ) 善1 ，i = 1 ，2 ，n g ( 力= 岛( x a , x x a 2 ) ( x q ) l = 岛烈力l ， d e g ( h ( x ) ) = 刀， ( 吩) - 1 或者h ( a ，) 三一1 ，i = l ，2 ，以 i l ( 工) = 6 2 ( j a 1 ) ( 石一a 2 ) ( j a 。) 1 = 6 j 妒( x ) l ， 厂( 力= ( 岛烈x ) 1 ) ( 岛伊( 力1 ) = 岛6 2 妒( 工) 2 ( 6 i + 6 2 ) 缈( 石) + 1 因此比较厂( x ) 的系数得 a = 6 1 6 2 ，b = ( 包+ 岛) ，c = 1 ， 因此 与假设矛盾! 如果 且 或者 a x 2 + k + c = ( 岛z 1 ) ( 6 2 j 1 ) ， d e g ( g ( x ) ) 玎， g ( a f ) 羞1 ，i = 1 ，2 ，刀， 博士学位论文 则 g ( a f ) 暑一1 ，i = l ，2 ，力， d e g ( g ( x ) ) = 0 ， 也与假设分解的要求矛盾! 如果既有某些 g ( a i ) = 1 又有某些 g ( a f ) = 一1 ，i = l ，2 ，刀， 令 s = q ，口2 ，a 。) ， 则 g ( s ) = 1 ，一1 ) ， 而刀7 ，所以由定理1 3 1 ，这样的g ( x ) z 【x 】不存在。证毕。 同样此命题也可以推广到 1 5 。 命题1 4 3 设整系数多项式 a x 2 + h + 1 在有理数域q 上不可约，并且设 伊( z ) = ( x a 1 ) ( 工一a 2 ) ( x a 。) ， 其中口l ，口：，吒是行个不同的整数，刀5 。那么，多项式 厂( z ) = 口 矽( x ) 2 + 6 认工) + l 在q _ k 不可约。1 1 素域上拟约多项式的结构 2多项式的分解 2 1 环上和的不可约分解：整数环上多项式的g o l d b a c h 定理 对于多项式环z 【工】，也有类似于自然数的g o l d b a c h 猜想，叫做多 项式的g o l d b a c h 定理。陈述如下， 定理2 1 1 ( 多项式的g o l d b a c h 定理)对于任意的非零多项式 厂( 工) z 【x 】，在7 z x 中一定存在不可约多项式g ( 工) 和矗( 工) ，使得 厂( 工) = g ( x ) + j l ( 工) 成立。 证明设整系数多项式 厂( 工) = a n x 4 + + 口i x + a o ， 其中q o 。为了能够找到合适的不可约多项式g ( 石) 和 ( x ) ，我们 只需要将厂( x ) 的系数做适当的分解。 首先因为q 0 ，所以存在素数q 使得 g 弘。 令 玩= 口。一q ，巳5q ， 那么 b + c _ = 口 。 再取一个与q 不同的素数p ，于是p 与q 互素。 所以 博士学位论文 q c b 弘c - ， 其次由整数的性质，存在整数j ，使得 印+ t q = 1o 因此对于v o f 刀，令 b i = a i t q ，c i2 口i s p i 那么有 并且 qi b ，= a , t q ，ph = as s p 对于任意的0 o ，e = o ， 一芝lp , = o 设一。 o 。当疗之3 时，由命题1 有递推公式 整理后可为 反复递推下去有 因此 及 只：p , , i - 1 一p - 2 ， 斗 一三乞一t = 三( 只一- 一三只一z ，。 只一i 2 e 。一，= ( 丢) “一2 ( 足一互1 p i ) 。 = 丢一。+ ( 圭) ”2c b 一三只， 。 设刀阶行列式 q = 1 9 一 i o o _ 博士学位论文 命题2 2 2q = ( 一1 ) “也。( 显然) 命题2 2 3 行列式 兄= 只。 证明因为 r = 1 = 互，r 2 = i 3 = 最， 它们有相同的初始值，且当刀3 时，还有相同的递推公式 民= 兄一。一丢r 一： 所以 r = 只。 结合命题2 2 1 ，命题2 2 2 和命题2 2 3 可得 命题2 2 4q o 。 命题2 2 5 方程 x + 仃x 2 - d ： 工一4 x 2 一d 的解是 x = 归c 。s j t ， 其中 i = 二i ，r 0 得 证明由 两边平方 合并含x 的项 即 因此 所以 如果取 代入原式得 素域上拟约多项式的结构 x + 雨：e i t ( x 一：r 二i ) ( e i t 一1 h ：( e i t + 1 ) 而 ( 少一1 ) 2 j 2 = ( + 1 ) 2 ( z 2 一d ) x 2 ( e i t + 1 ) 2 一( 纱一1 ) 2 】= d ( 纱+ 1 ) 2 x 2 4 = a ( d + 1 ) 2 冉掣 =鱼4le ；j = i d ( 1 一i t - g - i t _ z 丁 ：鱼f c o s 三+ f s 洫三+ c o s 尘+ f s i n 生尘1 ：d c o s 2 一t 4i 222 2 ， 2 号，则有 一压c o s 量。 厢：拓s i n 三f ， 2 x + , ；一一- d 一拓c 。s 三t + 拓s i n t 一拓c 。s 芝t 拓s i n 主f o 一 o f一2一，一2 | l 砒 r一2一，一2 竺 ； = 博士学位论文 ：譬= e - 打 = 一 ；r e2 o 矛盾。 所以得 j = 拓c 。s j t 。 回到t o e p l i t z 多项式乙( 工) ，先有下面结论 命题2 2 6 如果 r ( x o ) = 0 ， 则l 且而一1 。 证明若而是方程 乙( 工) = 0 的根。一定有 瓦( 而) = 1 2 而 而 由命题2 2 1 和命题2 2 4 ，马上得出结论。 命题2 2 7 设风，g o 是方程 f 2 一+ i 1 = o 的根，而的假设同命题2 2 6 ，则 风q o o 证明注意到判别式 素域上拟约多项式的结构 即得证。 且 由v i e t a 定理， a = 一1 0 l p o + q o 2 x o ，p o q 。2 i 风= 华x o + j - 1 ，铲学 命题2 2 8 设，吼及的假设同命题2 2 6 、命题2 2 7 ，则 证明 t 。( x o ) = 互( ) ：而：风+ 吼：p 0 2 - - q 0 2 ， p o 一留o p 0 8 ”一q o “+ 1 p o g o 五( 而) 2 2 一百1 = ( 7 0 + q o ) 2 - p o q o = p 0 2 + p o q o + q 0 2 = p 岛。3 - 一g o q 。3 。， 对于甩= l ，2 时命题都成立。当月3 时， 乙( 而) = 而乙一。( 而) 一丢7 = ，一：( 而) ， 则有 不( 而) = ( p o + 吼) 7 ：l i ( ) 一p o q o t 一2 ( 而) k c x o ) 一p o t , 一。( ) = q o ( r 一i ( x o ) - p o t 一2 ( 而) ) = q 0 2 ( l 一2 ( x o ) - p o t , 一3 ( 而) ) = = q o ”2 ( t 2 ( x o ) - p o t , ( x o ) ) = q o 月 完全类似地 而 博士学位论文 两式消去瓦一。( ) 得 则 有 设n + 1 次单位根 t ( x o ) - q o 乙一l ( x o ) = p o ” 乙( 而) = p o ”+ 1 一q 0 4 + 1 p o q o 毛：c o s 姿州s i n 姿：e 等，七：o ，1 1 ，2 一，, ， s = 一+ l = ” 。庀= u ， ， 4 刀+ 1n + 1 。 风肿1 一吖+ 1 = ( - q 0 6 0 ) ( p o - q o s 1 ) ( p o - q o s 2 ) ( p o - q o s ) 由于p 。= = q o 及t o = l ，可得 命题2 2 9 正( 而) = ( 风一q 0 6 , ) ( p o q o 岛) ( t o q o e ) 。 命题2 2 1 0 若而是方程( x ) = o 的根，则对于某个k = 1 ，2 ，刀， p o q 0 6 k2 0 。 命题2 2 1 1 若而是方程z ( 石) = o 的根，则 证明由 ：c o s 要，七：1 ，2 ，2 ，玎。 2 c o s 鬲膏2 1 州一，玎。 ：x o + 雩g - i 及命题2 2 1 0 得 舞= q 再由命题2 2 5 便得 ，吼：x o - 雩c - 1 i 2 k x = e “，k = l ，2 ，刀 而：c o s 要，七：1 , 2 , - - , n 。 而2 c o s 鬲七2 。 素域上拟约多项式的结构 其中 设乃( x ) = o 的根的为 证毕。 五，屯，x ：c 。s 兰，七：l ，2 ，刀。 2 c o s 磊庀2 1 ，2 ，刀。 由此得到t o e p l i t z 多项式的分解式 命题2 2 1 2 对于t o e p l i t z 多项式l ( 工) ，有 驰，= ( 一。s 熹) ( x - - c o s ) ( 。s 焉) 。 博士学位论文 3 多项式环上的f e r m a t 大定理 在本节中设f i x 是一般域f 上的多项式环。n o ( 厂( x ) ) 表示厂( 工) 在其 系数域中不同根的个数，b ( 厂( x ) ) 表示厂( 工) 的基本多项式( 即厂( 工) 的所 有不同的首一不可约因式及厂( 工) 的首项系数的乘积) ，恒假设k 是某 个代数闭域。 3 1 多项式的根个数 命题3 1 1 设厂( x ) k 工】，则 n o ( 厂( z ) ) = d e g ( b ( 厂( z ) ) ) 。 证明由于闭域k 上的不可约因式只有一次式，因此厂( 工) 的不同 的根的个数等于厂( x ) 的两两互素的一次因式的个数。因此有 1 1 。( 厂( x ) ) = d e 甙b ( 厂o ) ) ) 。 证毕。 命题3 1 2 设 厂( x ) k 【x 】，厂( x ) 0 ， 那么 d e g ( f ( x ) ) = d e g ( j 【工) ，1 ( z ) ) + n 。( ( 工) ) ， 其中( 力是厂( 工) 的导数多项式，( 厂( 工) ，f 7 ( x ) ) 是厂( x ) 和厂7 ( x ) 的首一最大 公约式。 证明由代数学的基本知识可知 素域上拟约多项式的结构 b ( 删= 揣 所以结合引理l 得 d e g ( f ( x ) ) = d e g ( f ( x ) ，厂( z ) ) + d e g ( b ( 厂( x ) ) ) = d e g ( f ( x ) ，f ( x ) ) + n 。( 厂( x ) ) 。 证毕。 命题3 1 3 设非零多项式厂( x ) ，g ( 工) r x l ，它们不全为常数，并 且 则 则 所以 因为 所以 证明如果 因此厂( 石) 是常数。 同理能推得 u ( 石) ，g ( j ) ) = 1 ， f ( 石) g ( 工) - f ( x ) g ( 石) 0 。 f ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ( x ) = 0 ， f ( 工) g ( x ) = f ( x ) g ( x ) ， f ( x ) l f ( x ) g ( x ) ， ( 厂( x ) ，g ( 工) ) = 1 ， f ( x ) l f ( x ) ， 2 7 博十学位论文 g ( x ) l g o ) ， 因此g ( 石) 也是常数，矛盾。 证毕。 定理3 1 1 设 厂( x ) ，g ( 工) f i x ， 且都是非零多项式，则( 厂( x ) ，g ( x ) ) 在f 中没有根的充分必要条件是 n o ( 厂( x ) g ( 工) ) = n o ( 厂( z ) ) + n o ( g ( 力) 。 证明”j ”显然。 ”乍”若 ( 厂( 工) ，g ( x ) ) = d ( 工) 在f 中有根，则它们有公共根，因此乘积中不同的根的个数就会有少 于各个因子的不同的根的个数，即 n o ( 厂( 工) g ( 工) ) 0 ， 所以3