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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 具有互性质及相似性质的环的交换性 摘要 环论作为一门重要的代数学科，它是代数几何和代数数论的基础。有许多 其它相关学科都涉及到环。交换性是环的重要性质之一，交换性的研究有助于 环的其它性质的探讨。同时，交换代数本质上是研究交换环的。因此，研究环 的交换性具有非常重要的意义。 本文利用交换性常用工具( 如根性，幂零性等) 结合零因子、正则元、中 心及亚直不可约环以及密度定理等相关知识，深入研究了某些满足可变恒等式 条件的环，特别是对具有e 性质及相似性质的环的交换性进行了研究，得到了 关于半质环以及任意环的较广泛的交换性条件。并在某些特殊环的交换性方面 取得了进一步的结果，得到了一些新的结论。 全文共分三部分，主要工作如下： 本文首先阐述了课题背景和目的、意义、国内外研究现状及本文的主要内 容。 。 然后给出了本文所涉及到的基本概念及相关结论，并在半质环中讨论了满 足更一般的多项式条件的环的交换性问题，推广了半质环的两个交换性条件。 本文最后研究了任意环的交换性，主要讨论了具有丘性质及相似性质的环 的交换性，共分两部分：推广了具有强e 性质的环的交换性，得到了具有e 性质的环的两个交换性条件；并对具有与e 性质相似性质的环进行了深入探 讨，证明了有正则元的环的三个交换性条件。本章是本文的主体部分。 关键词半质环；正则元；e 性质；交换性 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 c o m m u t a t i v i t y o fr i n g sw i t hf kl p r o p e r t ya n d s i m i l a rp r o p e r t y a b s t r a c t r i n gt h e o r e ya s a ni m p o r t a n ta l g e b r a i cs u b j e c ti st h eb a s eo fa l g e b r a i c g e o m e t r ya n da l g e b r a i cn u m b e rt h e o r e y r i n g sa r cc o n c e r n e da b o u tm a n yo t h e r r e l a t i v es u b j e c t s c o m m u t a t i v i t yi so n eo ft h ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so fr i n g sa n dt h e s t u d yo fc o m m u t a t i v i t yi sb e n e f i c a lt od i s c u s s i o no fo t h e rp r o p e r t i e so fr i n g s a tt h e s a m et i m e ，c o m m u t a t i v er i n g sa r cs t u d i e di nc o m m u t a t i v ea l g e b r a t h e r e f o r e ，s t u d y o fc o m m u t a t i v i t yo fr i n g si so fi m p o r t a n ts i g n i f i c a n c e w i t ht h er e l a t e dk n o w l e d g eo fz e r o - d i v i s o r s ，n o r m a le l e m e n t s ，t h ec e n t e ra n d s u b d i r e c t l yi r r e d u c i b l er i n ga n dd e n s i t yt h e o r e ma n ds oo n ，u s i n gt h e u s u a lt o o l s ( s u c ha sr a d i c a l ，n i l p o t e n te t c ) o fc o m m u t a t i v i t y , s o m cr i n g ss a t i s f y i n gv a r i a b l e i d e n t i t i e se q u a t i o na r es t u d i e dd e e p l y i np a r t i c u l a r , t h ec o m m u t a t i v i t yo fr i n g s w i t h 疋一p r o p e r t y a n ds i m i l a rp r o p e r t ya r cs t u d i e d s o m ew i d ec o m m u t a t i v e c o n d i t i o n so fs e m i p r i m e 血g sa n da r b i t r a r y 血g sa r co b t a i n e di nt h i sp a p e r a n dt h e f u r t h e rr e s u l t so nt h ec o m m u t a t i v i t yo fs o m ep a r t i c u l a rt i n g sa r eg a i n e d ，s o m en e w c o n c l u s i o n sa r ea b t a i n e di nt h i sp a p e r t h ec o n t e n to ft h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r a r ea sf o l l o w s ： f i r s t ，t h eb a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a n c eo ft h et h e o r i e s ，t h ei n t e r n a l ，e x t e r n a la c t u a l i t y a r cs h o w e d ，a n dt h em a i nr e s u l t so fa r ed e s c r i b e d s e c o n d ，s o m ed e f m a t i o n sa n dc o n c l u s i o n sw h i c ha r er e l a t i v et ot h i sp a p e ra r e o v e n t w oc o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so fs e m i p r i m er i n ga r eg e n e r a l i z e db ys t u d y i n g t h ep r o b l e mo fc o m m u t a t i v i t yo fs e m i p r i m er i n g ss a t i s f y i n gm o r en o r m a lp o l y n o m i a l c o n d i t i o n s l a s t ，c o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so fa r b i t r a r yr i l l g sa r es t u d i e di nt h i sp a p e r t h e c o m m u t a t i v i t yo fr i n g sw i t he p r o p e r t ya n ds i m i l a rp r o p e r t ya r em a i n l yd i s c u s s e d t h ec o n t e n to ft h i sc h a p t e rc o n s i s t so ft w op a r t s t h ec o m m u t a t i v i t yo fr i n g sw i t h h 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 s t r o n ge - p r o p e r t yi sg e n e r a l i z e d ，a n dt w oc o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so fr i n g sw i t h 疋一 p r o p e r t ya r ea b t a i n e d a n dt h er i n g sw i t hs i m i l a re - p r o p e r t ya r cs t u d i e di nt h ep a p e r , a n dt h r e ec o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so fr i n g sw i t hn o m a le l e m e n t sa r eg a i n e d t h e c o n t e n to ft h i sc h a p t e ri st h em a i n p a r to ft h i sp a p e r k e y w o r d ss e m i - p r i m er i n g , r e g u l a re l e m e n t s ，e - p r o p e r t y , c o m m u t a t i v i t y l 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文具有互性质及相似性质的环 的交换性，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立 进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人 已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：榔九日期：7 研年乒月罗日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 具有最性质及相似性质的环的交换性系本人在哈尔滨理工大学攻读硕 士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理 工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈 尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提 交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密曲。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名：袁痈杨 日期： 砷年牛月7 日 导师签名：砺歹甲 日期：1 年矿月矿日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题背景 环论作为- - f - j 重要的代数学科是代数几何和代数数论的基础，有许多其它 相关学科领域都涉及到环。交换性是环的重要性质之一。交换环具有许多很好 的性质，数学的很多分支( 例如，代数几何，代数数论，交换代数等) 都是建 立在交换环的基础之上的。证明了一类环是交换的，对这类环就可以得到很多 随之而来的一系列理论结果，这不仅仅对于环论，而且对数学的其它分支常常 是很必要的。在目前的应用领域( 例如信息论、编码和密码学等) 中，交换环 的相应理论也得到了一定的应用。例如，著名数学家h y m a nb a s s 在代数k 理论 方面的主要工作之一，就是建立在“如果环a 是交换的，则凰爿为交换环 这 一事实基础之上的。交换性的问题最终体现为二元换位子为零的多项式条件被 满足，因此，研究满足可变恒等式条件下的环的结构对环的交换性的研究具有 重要意义。傅昶林等曾给出强e 性质下一般结合环的交换性特点，而更为宽松 的疋性质下的情况至今没有见到，因此对具有e 性质的环的交换性进行研 究，给出更一般的交换性判定条件是十分必要的。 1 1 1 国外发展状况 环的交换性曾是代数研究的热点问题，它起源于二十世纪初w e d d e r b u r n 提出并证明的“有限体必为域 这一结论，从此引出了一个更为广泛的交换性 问题：对于任意的一个环，在何种条件下为可交换的呢? 很多著名的数学家对 此都颇感兴趣，并为此投入了很多的精力进行了相应的研究工作。j a c o b s o n 和 h e r s t e i n 等均在这一领域内做出了杰出的贡献。 j a c o b s o n 于1 9 4 5 年推广了著名的w e d d e r b u m 定理，证明了- 若对环尺内 任意元素z ，有依赖于x 的正整数刀“) 1 ，使z 4 0 ) 。工，则尺为交换环【l i 。 k a p l a n s k y 于1 9 5 1 年推广了与交换性有关的w e d d e r b u m 定理，n o e t h e r 定 理，华罗庚定理以及j a c o b s o n 的另一个定理。 下面介绍一下h e r s t e i n 的主要结论： 1 9 5 0 年，h e r s t e i n 证实了v a n d i v e r 的猜想而把w e d d e r b u m 定理推广成：若环 尺的零因子恒在中心内且每个元素恒生成有限子环，则尺交换；1 9 5 1 年，证明 了：若有n 1 使环r 的元素恒满足r z z 俾) ，则尺是交换环 2 1 ；并于1 9 5 2 年将其进一步推广为n ( x ) 有界时成立；1 9 5 3 年，又推广了j a c o b s o n 定理，证明 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 了：满足矿一x e z 即可交换【3 1 。随着研究的进一步发展，h e r s t e i n 接着把此推 广为：对任意的ae r ，都有多项式o ) 使a 2 p 。( a ) 一a e z 似) ，则尺为交换 环；h e r s t e i n 于1 9 5 5 年将其进一步再推广为：若对环内任意元素l y ，有依赖于 x ，y 的多项式p ( f ) 使z x 2 p o ) 与y 可换，则尺为交换环 4 1 。这就是著名的 h e r s t e i n 定理。j a c o b s o n 定理和h e r s t e i n 定理是交换性领域中重要的两大定理， 是我们研究环的交换性的理论基础。1 9 5 4 年，h e r s t e i n 把1 9 5 0 年证明的结论中 的条件“零因子恒在中心内削弱为“诣零元素恒在中心内；1 9 5 7 年， h e r s t e i n 还证明了：环r 为交换的必要而且只要对x ，y e r ，恒有n ( x ，y ) 1 使得 ( x y 一弦y o ，”ix y y x 成立【5 j ；h e r s t e i n 于1 9 6 1 年把j a c o b s o n 最初的尺满足矿i z 即交换的结果推广为：若对环尺有n 1 使x 一，为尺到尺上的一个自同态，则 r 为交换的。 国外很多著名的数学家对环的交换性都进行了相应的研究工作。 利用h e r s t e i n 的结果，b e l l u c e ，j a i n 与m e n o n 等得出了广义交换环的一些交 换性条件。 g u p t a 于1 9 7 2 年得到有l 的结合环恒满足( 叫) 2i ( 弦) 2 且无加法周期为2 的元 素时必为交换环【6 】。 a w t a r 于1 9 7 3 年证明了：恒满足x y 2 x y x 2 y e z 俾) 的半质环为交换的。 q u a d r i 于1 9 7 8 年证明了：恒满足砂+ y x 2 y z ( r ) 的半质环必为交换环 7 1 。 m o h a r r a m 于1 9 8 7 年证明了：有l 的环尺中任意元素满足 x y y ”x n , x 】10 伽 1 ，刀1 ) ，则尺为交换环 s l 。 t h o m a s 于1 9 9 1 年将其推广为m 0 ，) ，) 1 , n 1 时成立 9 1 ；在1 9 9 3 年又证明 了：有1 的p ，一环尺中任意元素x ，y 恒满足矿p “，) ，】1 防，y “p 或 ，b “，y 】1 【x ，y “】) ，沏 1 ) 并r m ，n 互素或n i x ，y 】i n0 ，可知b ，y 卜0 ，则r 为交 换环【1 0 j 。 a b u j a b a l 于1 9 9 8 年证明了：满足【矿，y h 一y 。k ，y ”1 y 的半质环为交换 环。进而研究了有1 的环的交换性问题【1 1 】。 r o b e r t o 于2 0 0 0 年证明了：无幂零元的有限环为交换环【1 2 1 。 m a h a r r a m ，j a d d a h 于2 0 0 2 年证明了：有单位元的左单式环若满足多项式 【f ( x p y 覃) 一x 7 y ，茗卜0 ，q ) a 2 z 【a 】，则它是交换环【1 3 l ：又二于= 2 0 0 3 年证明 了：有单位元且m 一扭自由的结合环尺，若满足 【( 砂) “+ ) ，“，z 卜【o 历) ”+ y ”矿，石】，且【z ”，y ”】一0 ，v 七，y e r ，( 尺) 则尺是交换环【1 4 1 。 h a z a ra b u k h u z a m 和a d i ly a q u b 于2 0 0 6 年探讨了有零因子的环的结构【1 5 1 。 2 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 a b u k h u z a m ，h a z a r h 和b e l l ，h o w a r de 以及y a q u b , a d i l 于2 0 0 6 年又证明了关 于周期环的几个交换性定理【堋。 a d i ly a q u b 于2 0 0 6 年讨论了弱周期环及其交换性【1 7 1 。 a n d r z e j e w s k i 于2 0 0 6 年给出了环的交换性的若干注记【1 8 】。 k h a n ，m o h a r r m 于2 0 0 7 年讨论了满足一定条件的环的分类【1 9 1 。 可见，在上述交换性的研究中，更多研究的是与多项式有关的特殊环的交 换性，进而研究一般环的交换性。 1 1 2 国内研究现状 我国是在7 0 年代开始进入研究交换性这一领域的。几十年来，在对交换 性的研究中得到了许多很好的结论，为这一理论的发展做出了杰出的贡献。 牛凤文于1 9 7 8 年证明了：设尺为b e a r 半单纯环且有整数朋2 对任意 v a l ，口2 ，a 。e r ，都有a l a 2 a 。- a w a 2 a 1 ，则尺为交换的 2 0 1 ；并在1 9 8 2 年，用一个新的方法证明了h e r s t e i n 于1 9 5 7 年证明的定理。谢邦杰在1 9 8 2 年 推广了w e d d e r b u r n 定理而得到了周期环为域的两个充要条件。 郭元春于1 9 8 2 年证明了：若环尺满足对任意的五y 尺，都有大于1 的整数 押一疗o ，y ) ，s - - s ( x ，) ，) ，t f o ，y ) ，使得( 砂) 4 一矽。，y ，且满足 ( x y ) 4 “ y ) l i by x 的环为交换环；满足似) “。) 一叫( 玎 1 ，z 1 , 2 n z + 1 ) 的k 一半单 环为交换环；幂零元诣零指数有界的b a e r 半单纯环尺中任意元均有正整数 刀 ，y ) 1 使( x y 一弦y k y ) - 0 ，则足为交换环； 满足a b “- b “a “ ( 棚( 口，6 ) ，n ( a ，6 ) 有界) 的b a e r 半单纯环为交换环等一系列结论1 2 l i 。 王崇寿于1 9 8 5 年证明了满足( 砂) 叫w ) 一( 眵y ) e z 僻) ( 刀o ，) ，) 有界) 的半质 环为交换环吲。 随着交换性研究的深入，特别是多项式条件的增多，使得对各条件进行概 括，寻找普遍规律的工作显得格外的重要和必要。傅昶林等人在此方面做出了 很大的贡献。 傅昶林于1 9 9 1 年给出了环的交换性与它所满足的多项式系数和之间的紧密 联系，利用多项式系数将多个结果做了统一推广，从而简化并丰富了环的交换 性条件，使当代的交换性研究有了新的研究思路。傅昶林、郭元春于1 9 9 5 年对 满足可变恒等式的半质环，在某种有界条件下给出了一个判断环交换性的简便 准则，并且对无界的情况也得到较为广泛的结论1 2 3 1 。傅昶林、杨新松于2 0 0 2 年 提出并证明了具有强e 性质的环的一个重要的交换性定理 2 4 1 。傅昶林、杨新 松、陈光海于2 0 0 3 年又将h e r s t e i n 定理进行了更为深入的推广吲。 3 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 戴跃进于1 9 9 4 年证明了一类p i 环的交换性条件，这使很多结论成为其推 论闭。 郭华光于1 9 9 7 年推广了王崇寿于1 9 8 5 年得到的结论及邱琦章于1 9 8 6 年得到 的结论，证明了半质环的多个交换性结论 2 7 1 ；并于1 9 9 8 年证明了满足下列条件 的半质环为交换环：对v x ，) ，只，存在整数s i s o ) 1 ，fit ( x ) 1 ， ( si s ( y ) 1 f - t ( y ) 1 ) ，使得 x y ，r y 卜0 成立，从而推广了邱琦章得出的结 论洲。 吴伟于2 0 0 4 年对素环上的导子进行了讨论例。同年，于东，卢玉贞对有单 位元的结合环进行了研究，为我们证明环的交换性提供了一种理论方法【刈。 谢中根于2 0 0 5 年对半质环的中心元与交换性进行了深入的探讨，丰富了交 换性的理论成果p 1 1 。 一7 陈光海于2 0 0 6 年给出并证明了环的一个交换性定理【3 2 】。同年，朱捷、于宪 君也给出了关于半质环的几个交换性定理【3 3 l 。 张立彬，于宪君，王树忠于2 0 0 7 年证明了满足 厶o ”y ) 一y x ”e z 职) 或厶”) 一y x ”e z 似) 的半质环是交换的。 从以上文献可以看出，多项式条件是交换性研究中最常遇到的。随着多项 式数量的增多，如何将若干多项式综合概括为一个统一形式变得十分必要。对 于更具概括性的条件的研究将是今后研究的主要方向。 1 2 课题来源 本课题来源于黑龙江省自然科学基金。 1 3 本文的主要研究内容 满足可变恒等式的环的交换性研究是交换性研究的主要问题之一，环的交 换性的近期成果主要分为两大类：第一大类是建立某些具体环的交换性条件， 另一类是将一些环的交换性条件拓广为更一般的环的交换性条件或将多个具体 条件概括为统一形式。 本文主要是利用交换性研究的常用工具( 如根性、幂零性等) 利用零因 子、正则元及中心元等的性质，研究某些满足可变恒等式的环的交换性。 本文具体内容如下：首先推广了某些具体的环的交换性条件。在半质环中 讨论了满足更一般的多项式条件的环的交换性问题，推广了半质环的两个交换 性条件。得到了： 4 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( 1 ) 一个半质环尺是交换的当且仅当以下条件之一成立： b ”y 。+ 夥“z ，x 】z 俾) ：防5 y + y x y ，x 】z ) h ”y “一叫“z ，z 】z 职) ：b y 一y x y ，x 】z 似) 其中，x ，y 为r 的任意元，m ，n ，s ，t 为正整数。 此结论是对m o h a r r a mak h a n ，m 八q u a d r ia n da s m aa l i 以及沈竹得出的 结论的推广。 关于半质环的交换性，本文还推广了胡付高的结论，证明了： ( 2 ) 设尺是半质环，若对任意z ，y ，z e r ，z 一0 ，存在自然数n n ( x ，y ，z ) 1 ， 使得 b 一磁g q ) ，y 】。1k - x z g ( z ) ，y 】 则r 为交换环。 其次将一些环的交换性条件拓广为更一般的环的交换性条件。本文研究的 核心内容是具有最性质及相似性质的环的交换性条件。 利用最性质给出了一般结合环的较广泛的交换性条件，这是将多个条件概 括归纳的结果。 ( 3 ) 设m 1 是一个固定正整数，若尺是一个( 2 m 一1 ) 一扭自由的结合环，且 r 有正则元，则尺为交换环当且仅当尺满足 【m x y - 1 + ( 1 - m ) y 七- 1 石+ ，舡，y ) ，y 】i m0 对所有的x ，ye r 都成立。 ( 4 ) 设，o l ，t 2 ) - m t l t 2 + ( 1 一m ) t 2 k - 1 t 1 + l t 2 ，及f ( t 1 ，t 2 ) 蕾【f ( t 1 ，t 2 ) ，t 2 】，当 r 是( 2 m 一1 ) 一扭自由，且r ( r ) 一妒时，若对慨，ye r ，都存在一个整数 n ( x ，y ) 1 ，使得伊o ，y ) ) ”( y ) 一f o ，y ) ，则尺是交换环。 满足可变恒等式的环的交换性研究是交换性研究的主要问题之一，为了计 算上的方便，很多证明都是基于有单位元条件下进行的。本文将单位元条件弱 化为正则元，得到了： ( 5 ) 设尺是有正则元的环，如果尺满足 c 1 沏，尺) ，c 6 ，尺) 及q 似) ，m2 1 是一固定正整数 那么r 为交换环。 ( 6 ) 设尺是有正则元a 圣j 俾) 的环，如果尺满足 c l 沏，r j 似”，c 6 伽，r j 僻”，q 伽) ，m 鼍1 是一固定正整数 那么r 可交换。 ( 7 ) 设尺是有正则元的环尺，如果尺满足 c l ，r n ( r ) ) ，c 6 ，r n ( r ) ) ，q 沏) ，m21 是一固定正整数 5 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 那么r 可交换。 这属于满足与e 性质相似条件的环的交换性研究。 6 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 2 1 预备知识 第2 章半质环的交换性 2 1 1 基本定义 定义2 1 1 3 习设r 是环，若尺的理想p 满足： 1 p r ： 2 若a r b e p ，则a p 或6 p ； 则称p 为尺的质理想。 定义2 2 3 5 1 6 i 若环尺的零理想是质理想则称尺为质环。 定义2 3 3 5 1 6 2 设q 是环尺的理想，对于尺中任意理想a ，当a 2 q 时就有 a 互q ，那么q i l q 做尺的半质理想。 定义2 4 3 5 1 6 5 若环尺的零理想是半质理想时称尺为半质环。 定义2 5 删若环尺除自身及零理想外没有其它理想，则尺称为单纯环，或 简称为单环。 定义2 6 1 3 6 1 妨假定 足i i e i 是一组环墨的集合，设尺是 r ) 的完全直 和，由 ，i ( ，；i r ) 组成的子环，如果 ，呻r i , f ， 是尺到足上的同态( 满同态) ，即尺墨，那么尺叫做 r ) 的亚( 次) 直和。 定义2 7 p 5 】8 5 在一般环r 中，引入一种新的结合法o ，假定a ，a 是尺中 的两个元素，我们规定ao 口7 一口+ 4 + a a 这个结合法。叫做尺的拟乘法。 定义2 8 3 5 1 8 6 当ao a 一0 时，则称口是a 的右拟逆元，a 是a 的左拟逆元， 这时我们又说a 是尺的左拟正则元，口7 是尺的右拟正则元。r 中元a 的左拟逆 元同时又是口的右拟逆元，那么它就叫做a 的拟逆。假如口是左拟正则元同时 又是右拟正则元，那么a n 做拟正则元。 定义2 9 1 3 7 1 若环尺中有非零元a ，b 满足口6 0 ，则称a 为尺的左零因子， b 为r 的右零因子。若a 既为尺的左零因子又为尺的右零因子，则称a 为尺的 零因子。在不至混淆时，0 也被看作零因子。 定义2 1 0 3 5 6 7 环尺中的元a 如果不是尺的左或右零因子，就叫做正则元。 定义2 1 1 3 5 1 8 7 环r 的左( 右) 理想满足“其中任意元都是r 的拟正则元 7 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 时，叫做环尺的拟正则左( 右) 理想。 定义2 1 2 1 3 6 舯环尺中所有拟正则左理想的和是r 中最大的拟正则理想， 叫做环尺的j a c o b s o n 根基，用，俾) 或- ，表示。 定义2 1 3 p 6 1 9 2 如果环r 的j a c o b s o n 根基，一尺，那么尺叫做根基环，如果 j1 1 80 ，那么r 叫做，一半单纯环，或简称，一半单环。 定义2 1 4 0 6 1 1 町假定m 是尺的极大左理想，如果似：尺) - 0 ，那么r 叫做 ( 左) 本原环。 定义2 1 5 1 3 习1 拍设a 为环尺的元素，若有正整数m ，使口一一0 ，则称a 为 尺中的幂零元。 定义2 1 6 3 6 1 0 假定l 是环尺的左理想，如果其中任意元都是幂零元， l 就叫做幂零元左理想( 或诣零左理想) 。 定义2 1 7 1 3 s ! 环r 中所有幂零理想之和是一个诣零理想叫做尺的b a e r 根。 用b ( 尺) 表示。当曰( 尺) = 0 时，尺叫做b a e r 半单纯环，或简称口一半单纯环。 定义2 1 8 哪若环r 的所有非零理想的交非零，则称尺为亚直不可约环。 其所有非零理想的交日叫做r 的心。 定义2 1 9 【u t , 3 s 如果多项式( t ，t 2 ) 一l ( t 。，t 2 ) + ，2 1 3 f 。，t 2 ) ， 其中 l ( t 1 ，t 2 ) - 茸。t 2 扣1 ，或4 t 2 k - l t l ，2 0 1 ，t 2 ) 不含t l 的一次项，则说( t ，t 2 ) 对x - t i 具有强e 性质。 定义2 2 0 2 5 抛设( t 。，t ：) 具有吒性质，若环r 满足与( t 。，t ：) 相关的某可 变恒等式，则称环r 具有e 性质。 2 1 2 基本结论及若干引理 定理2 1 1 3 9 1j 一半单环同构于一组本原环的亚直和。 定理2 2 1 3 9 p 2 6 假定r 是本原环，那么有体k 存在，使得尺与全矩阵环k 同构，即r 奠k 。或对于任意m ，r 有子环如一疋。 定理2 3 【柏l 半质环同构于一组质环的亚直和。 定理2 4 4 1 】任意环均同构于一组亚直不可约环的亚直和。 定理2 5 【4 2 】设尺为质环，是尺的非零理想，若，是交换环，则尺交换。 引理2 1 1 4 3 1 设，是一个含刀个非交换未定元，一谭的系数互质的整系数 的多项式，那么下列陈述是等价的： ( 1 ) 对任意满足厂一0 的环尺，换位子理想c 俾) 是诣零理想； ( 2 ) 任意满足厂l i r a0 的半质环是交换的； ( 3 ) 对每个质数p ，( 卯o ) ) ：不满足厂一0 。 8 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 引理2 2 1 2 p 5 7 如果对于环尺中任意元x ，y ，都存在依赖于x ，y 整系数多项 式q ( x ) ，使得y y 2 q ( y ) 与x 可交换，那么r 可交换。 引理2 3 1 4 4 i 2 1 7 若【b ，y 】，工】- 0 对所有x ，ye r 成立，则防”，y 】- m x 剃k ，y 】 对每个正整数m 都成立。 2 1 3 符号意义 本文用足表示结合环，本文中的多项式均为整系数的。文中用z 俾) 表示 r 的中心，d 俾) 一缸e ri 砂e r ，y 一0 ，使得一o - = 甄y 一0 ，r ( r ) 一r d 俾) ( ，俾) 中的元素在本文中被称为正则元) ，即r ( r ) 表示r 中全体正则元的集， c 俾) 表示环尺的换位子理想，俾) 表示环尺的幂零元的集合，曰俾) 表示环尺 的b a e r 根，俾) 表示环尺的j a c o b s o n 根，日表示亚直不可约环的心，a 代 表h 的双边零化子，记为a l i r aa n n h ，用b ，y 】一x y y x 表示r 中任意元素x ，y 的换位子。并引入记号陋，y 】。似) 4 - ( y x ) 4 。 2 2 关于半质环的若干交换性条件 p j 半质环的交换性已经完全解决了，目前关于半质环的交换性主要是满 足可变恒等式的情况。 2 2 1 关于半质环的若干交换性条件1 1 9 8 9 年m o h a r r a m a k h a n ，m aq u a d r ia n d a s m a a l i 证明了这样的结论： 引理2 4 t 4 5 1 一个半质环是交换的当且仅当以下条件之一成立： ( 1 ) i x ”y 4 一x y “x ，石卜0 ：( 2 ) b y 一芦y ，z 】10 其中，x ，y 为尺的任意元，m ，n ，s ，t 为正整数。 2 0 0 5 年沈竹把这一结果进行了平推，证明了： 引理2 5 m 一个半质环r 是交换的当且仅当以下条件之一成立： ( 1 ) b 4 y “+ 叫“x ，x 】一0 ：( 2 ) 【工。y + y x 5 y ，z 】一0 其中，x ，y 为尺的任意元，m ，n ，s ，t 为正整数。 显然b ”y “x y “x ，z 】；0 时必有k ”y “- + x y “x ，z 】z 俾) ，但反之未必。故 将条件p 4 y 4 x y ”x ，工】= 0 换成k “y ”x y “工，x l z ( n ) 值得探讨。本节讨论了 满足p ”y 4 x y 4 z ，x e z 俾) 的半质环的交换性，推广了文献 4 5 4 6 的结论，给 出了定理： 定理2 6 一个半质环r 是交换的当且仅当以下条件之一成立： ( 1 ) i x ”y “+ 】吵4 x ，z 】z 僻) ；( 2 ) i x y + y x y ，x 】z ( r ) ： 9 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( 3 ) b ”y 4 一砂“z ，x e z 俾) ；( 4 ) k y 一声y ，x e z 俾) 其中，x ，y 为尺的任意元，m ，n ，s ，t 为正整数。 证明( 1 ) 必要性是显然的，只需证明充分性。 令，o ，y ) 一x y ”x + 砂“工2 - - x 肿1 y 。一工2 y ”工，显然有f o ，y ) e z 似) 。 令，o ，y ，z ) 一【f o ，y ) ，z 】，显然有厂o ，y ，z ) - 0 。 对每个质数p ，取 z 。( 三吕) ，y 。( ：) 工，y e ( z p ) 2 x 2 注意n x 4 - z ，y 。1 y ，v m ，n e z + ，则有 盹小侣挣z 从而( z p ) a ：不满足多项式恒等式f ( x ，y ，z ) 一【f o ，y ) ，z 】一0 。 故由引理2 1 ，知r 为交换环。 同理可证得半质环满足( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 之一条件时，尺为交换环。证毕。 2 2 2 半质环的交换性条件2 2 0 0 4 年，胡付高给出了结论： 引理2 6 1 4 7 l 设尺是一个半质环，若对任意元素x ，ye r ，存在自然数 n1 n ( x ，y ) 1 使 k ，y 】。k ，) ，】 则尺为交换环。 本节受其启发，将多项式中的x 换成工一珊( z ) ，证明了： 定理2 7 设尺是一个半质环，若对任意石，y ，z e r ，z o ，存在自然数 n1 n ( x ，y ，z ) 1 使 【z x z g ( z ) ，y 】。一【x 一獬0 ) ，y 】 则尺为交换环。 证明由于对任意z ，y ，z e r ，z 一0 ，存在自然数，l n ( x ，y ，z ) 1 使 k x z g ( z ) ，y 】。1b - x z g ( z ) ，y 】 ( 1 ) 当尺为体时，则有 k ( 1 一馏q ) ) ，y 】。一p ( 1 一绍q ) ) ，y 】 若对于任意的z e r 均有1 一z z ( z ) 一0 ，则取z1 x ，则有 k - - x 2 z ( x ) ，y 】一0 则由引理2 2 知尺为交换环。 1 0 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 若有某个z e r 使得1 一z g ( z ) 一0 则有 x o - z g ( z ) ) o - z a ( z ) ) ，y 】。一 x o - z a ( z ) ) 一o - z g ( z ) ) ，y 】 即 b ，y 】。- h ，y 】 故由引理2 6 知尺为交换环。 ( 2 ) 当r 为j a c o b s o n 一半单纯环时， 由定理2 1 知r 为本原环足的亚直和。 若r 不为体时，由定理2 2 知，r 有子环同态于某体d 上的二阶矩阵环。 取z 一置2 ，y1 1 ，z 1e 1 2 ，但 b 一獬0 ) ，y l 。一p 一勉9 0 ) ，y 】 此与r 应满足r 的性质相矛盾，再由( 1 ) 知r 为交换环。 ( 3 ) 当r 为半质环时， 由定理2 3 知尺为质环r 的亚直和，所以不妨设尺为质环。 若，俾) 一o ，则r 为j a c o b s o n 一半单纯环，由( 2 ) 知r 为交换环。 若，僻) 一o ，v x ，y ，z e j 俾) ，z 一0 ，易知1 一z s ( z ) 可逆。 则 x o - z g ( z ) ) 一o - z a ( z ) ) ，) ，】。= x o - z a ( z ) ) 一1 0 一j 笞( z ) ) ，y 】 即 k ，y 】。一k ，y 】 故由引理2 6 知j 俾) 为交换环，则r 含有一个非零的交换理想。 故由定理2 5 ，知尺为交换环。证毕。 定理2 7 条件中当譬伫) 。0 时，恰为引理2 6 ，故引理2 6 是定理2 7 的一 种特殊情况，即定理2 7 是对引理2 6 的一个推广。 2 3 本章小结 本章首先给出了本文所涉及到的概念及相关定理，这些内容在其它各章中 将不再赘述。 本章利用零因子、正则元及亚直不可约环以及稠密性定理等相关知识，得 到了关于半质环的一些交换性条件。主要有： 本章推广了文献 4 5 4 6 ，给出了定理： 定理2 6 一个半质环尺是交换的当且仅当以下条件之一成立： ( 1 ) 陋”y 4 + 砂“z ，x 】z 职) ；( 2 ) i x y + 罗y ，工】z 俾) ； ( 3 ) b ”y 4 一矽4 工，z 】z ( j r ) ；( 4 ) 陋5 y 一y x y ，x 】z 职) 其中，x ，y 为尺的任意元，册，n ，s ，t 为正整数。 本章对文献 4 7 1 也进行了推广，证明了定理 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 定理2 7 设尺是一个半质环，若对任意x ，y ，z e r ，z 一0 ，存在自然数 刀1 n ( x ，y ，z ) 1 使 k 一磁g ( z ) ，y 】。1p 一珊0 ) ，y 】 则尺为交换环。 本章的概念及结论为后面各章的证明奠定了基础。 1 2 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第3 章任意环的交换性 设，( f l ，f 2 ，0 ) 是含n 个非交换未定s t 。，f ：，t 一的本原多项式，未定元集合 x ，y 满足x u y - t 。，f ：，f 。，工n y - 妒。为便于讨论，如文 2 3 1 ，我们把集合 z 中元素看作同一个元素t ，把集合y 中元素看作同一个元素t ，。于是尺满足 以元多项式的问题可以化成尺满足二元多项式的问题。交换性的问题最终体现 为满足二元换位子为零的多项式条件。因此，研究满足某可变恒等式条件下的 环的结构对环的交换性的研究具有重要意义。傅昶林、杨新松曾给出强e 性质 下一般结合环的交换性特点，而更为宽松的e 性质下的情况至今没有见到，因 此对具有e 性质及相似性质的( 满足某可变恒等式条件的) 环的交换性进行研 究，给出任意环的交换性判定条件是十分必要的。 3 1 具有尸性质的环的交换性 h e r s t e i n 在文【5 】中给出了一个非常著名的定理：若对环尺中任意元素 x ，y ，均存在自然数n ( x ，y ) 1 ，使扛，y 1 4 0 y ) - i x ，y 】，则尺为交换环。傅昶林 在文【2 3 】中定义了强最条件，在近期的文1 2 4 中，傅昶林和杨新松推广并证明 了： 引理3 1 1 u 1 6 3 6 设，l ( f 。，t ：) + ，2 0 。，t ：) 是一个对x p 。 具有强最性质的多项 式，若r 满足【， ，y ) ，y 卜0 ，则当r ( r ) 一驴，且，2 中不含对f ：次数小于k 一1 的项时，r 为交换的。若k 一1 或尺有1 ，则只要厂满足强e 性质，r 即为交换 的。 这是很多已知结果的统一推广，又由此得到了h e r s t e i n 著名定理的如下推 广： 引理3 2 t i n 6 铂设，l ( f 。，t ：) + a ( t 。，t ：) 是一个对z - f 。 具有强e 性质的齐次多 项式，若对尺中任意元素毛y e r ，存在一个正整数n ( x , y ) 1 使得 【厂o ，y ) ，y 】州而力一【厂0 ，y ) ，y 】 n r 为交换的。当k 一1 或r 俾) 一妒时，厂只需对p ， 具有强e 性质即可。 因为强e 性质，多项式厂l ( f 。，t ：) 一定可以写成形式f 。t ：卜1 或t 2 - 1 t ，。本节 的目的是把兀换成臃f ，t ：扣1 + ( 1 一历y ：k