（基础数学专业论文）实赋范空间的四元代数化.pdf

摘要 受文章5 、1 0 1 和1 5 1 中有关实赋范空间的复化的影响，在本论文中 我们研究了实赋范空间的四元代数化并获得了一些好结果。特别，我 们讨论了一些自然的四元代数化过程，并通过张量积方法对四元代数 化进行系统的研究。利用该方法，我们证明了一个四元赋范空间可以 看作一个实赋范空间( 即该四元赋范空间的“实部”) 与皿的张量积 并且其上的张量范数是具有所谓性质( a ) 的r e 8 s o n a b l e 范数。而且， 我们还研究了皿一线性算子的范数与它的“实部”范数相等的情况。 关键字：四元代数四元范数四元赋范空间四元代数化范数d e s i r a b l e 范数 a b s t r a c t 1 1 1 丑u e n c e db yt h ew o r k s 吼【1 0 】a n d 【1 5 】o nc o m p l 谢丘c a t i o n so f r e 出n o r m e ds p a c e s ，w es t u d yi nt h i st h e s i sq u a t e r n i o n i z a t i o n so fr e 出 n o r m e ds p a c e sa j l do b t a j ns o m eg o o dr e s u l t s i p a r t i c u l a r ，w es t u d y s o m en a t u r a lq u a t e r n i o 血z a t i o np r o c e d u r e sa n d 舀v eas y s t e m a t i cs t u d y o fq u a t e r n i o n i z a t i o nt h r o u g ht e n s o rp r o d u c tt e c h i l i q u e u s i n gt h i s t e c h n i q u e ，r es h o wt h a taq u a t e r i o nn o r m e ds p a c ec a nb er e g a r d e d a sar e a ln o r m e ds p a c e ( i e t h e ”r e a lp 盯t ”o ft h i sq u a t e r n i o nn o r m e d s p a c e ) t o g e t h e r 谢t har e a s o n a b l ec r o s s n o r mo ni t st e n s o rp r o d u c tw i t h 丑s a t i s 铷n gt h es o - c a l l e dp r o p e r t y ( a ) m o r e o v e r ，w ea l s os t u d yt h e s i t u a t i o nw h e nt h en o r mo faq u a t e r n i o n1 i n e 龃o p e r a t o rc o i n c i d e sw i t h t h en o r mo fi t s ”r e a ld 盯t 7 】 k e y w o r d s ：q u a t e r n i o n q u a t e r n i o nn o r m q u a t e r i l i o nn o r m e ds p a c e q u a t e r n i o n i z a t i o nn o r m d e s i r d b l en o r m i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关予收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权镙存学位论文的印刷本和电子舨，并采用影印、缭印、 扫整、数字化或其它手羧保存论文；学梭有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件稠电子舨；在不以赢利为彝鲍的前 提下，学较可以适当复铡论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：弛龟翊、 枷。年j 胄；阳 l 经指磬教烬固意，本学位论文蒋予镰密，在年鳋密后遗餍 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 鼹密对闽：年月 强 各密缀的最长保密年限及书玛格式规定盍 l 下 年) 1 0 年) 2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 莽金乇7 、 沙。6 年r 月3 1 日 i n t r o d u c t i o 1i n t r o d u c t i o n a si sw e uk n o w n ，t h ed i s c o v e r yo fq u a t e r i l i o n ( i ti sw t i t t e na s ni sa t t r i b u t e d t ot h eg r e a ti r i s hm a t h e m a t i c i a nw r h a m i l t o n ( 1 8 0 5 1 8 6 5 ) h o w e 、r e r ，t h ei n t e r e s t i nq u a t e r n i o nv e c t o rs p a c e si sd u ei np 甜tt ot h e i rp o s s i b l e 印p l i c a t i o l l si np h y s i c s i t i sw 0 r t h m e n t i o n j gt h a tb i r l 【h o 丘a n dv o nn e u m a n ( 1 9 3 5 ) s u g g e s t e dt h ep o s s i b i u t y o faq u a t e r n i o i cq u a n t u mm e c h a n i c s i n1 9 6 2 ，f i n k e l s t e i na n dh i sc o - w o r k e r ss e t u pt h e 矗a m e w o r ko fq u a t e r n i o n i cq u a t u mm e c h a n i c s ( s e ef 4 】) f r o mt h e no n ，l i n e a r p r o b l e m si n v o l v i n gq u a t e m i o nh a sa t t r a c t e dt h ei n t e r e s to fs o m ep h y s i c i s t sa n d m a t h e m a t i c i a n s m 缸l yw o r l ( si t h i sd i r e c t i o nw e r ec e n t e r e dl 舡g e l yi nt h et h e o r yo fo p e r a t o r s o nq u a t e m i o nh i l b e r ts p a c e s ( s e e 6 】， 7 ， 17 ， 1 9 】，【2 0 】， 2 3 一 2 9 】) b e c a u s et h e s e o p e r a t o r sw e r ec o n s i d e r e da sp o s s i b l em o d e l st od e s c r i b eq u a n t u mp h e n o m e n a a t t h es 呦et i m e ，t h ef o u n d a t i o no fb a a c hs p a c e so 、r e rq u a t e r n i o nh a v ed e v e l o p e do n t h i sb a s i s ( s e e 8 ， 9 ，【1 3 ， 17 】， 1 8 ，【2 4 】- 【2 6 ) at l l r n i n gp o i n to ft h i s i e l do f r e s e a r c hi st h a tav e r yu s e f u lr e l a t i o ( i e e q u a t i o n ( 2 1 ) i no u rp 印e r ) f o u n di n t h ea r g u m e n to ft h e o r e m4 1o f 【2 4 w h i c hi m p l i e st h a tt h ec a t e g o r yo fq u a t e r i l i o n v e c t o rs p a c e si se q u i v a l e n tt ot h ec a t e g o r yo fr e 出v e c t o rs p a c e s ( s e e 【1 7 ) m o r e p r e c i s e l y ja n yq u a t e m i o nv e c t o rs p a c ei si s o m o r p h i ct ot h et e n s o rp r o d u c to fi t s ”r e mp 盯t ”w i t h b a s e do na b o v er e s u l t s ，o n ec a nc o n s i d e ra n yq u a t e r n i o nn o r m e ds p a c ea sa ”q u a t e r n i o n i z a t j o n ”o far e a ln o r m e ds p a c e h o w e v e r ，u n l i k et h ea l g e b r a i c 缸s i t u a t i o n ，ar e a ln o r m e ds p a c ec a h a em 哪7d 诳色r e n tq u a t e r n i o n i z a t i o n s t h ea i mo f t h i st h e s i si st os t u d yq u a t e r 血o n i z a t i o n s r e “n o r m e d 印a c e s i s e c t i o n2 ，w e 昏v e s o m eb a s i cn o t a t i o i l sc o n c e m i n gq u a t e r n i o n i z a t i o na n ds t u d ys o m en a t u r a lq u a t e 卜 1 1 i o n i z a t i o np r o c e d l l r e s i ns e c t i o n3 ，w ew i u 百v eam o r es y s t e m a t i c 印p r o a c ht o n o r m q u a t e r n i o n i z a t i o nu s i n gr e a s o n a b l ec r o s s n o r m so nj y 备型xo w ew i l ls h o w t h a taq u a t e r n i o n i z a t i o nn o r mi sa c t u a l l yar e a s o n a b l ec r o s s n o r mo nx o 丑丽t ht h e p r o p e r t y ( a ) ( s e ep r o p o s i t i o n3 6 ) c o s e q u e n t l y lo n ec a r e g a r da n yq u a t e r n i o n n o r m e ds p a c ea sar e 甜n o r m e ds p a c e ( i e t h e ”r e a lp a r t ”o ft h i sq u a t e r n i o nn o r m e d s p a c e ) t o g e t h e rw i t hag o o dc r o s s n o r mo ni t st e l l s o rp r o d u c tw i t h o n ec a n r e g 盯dt h er e s u l t si ns e c t i o n s2a d3a st h es t u d yo ft h er e l a t i o nb e t w e e n t h eo b j e c t so ft h ec a t e g o r yo fq u a t e m i o nn o r m e ds p a c e s 柚dt h o s eo ft h ec a t e g o r y o fr e 出n o r m e ds p a c e s ，w ew i uc o m p 缸et h ec o r r e s p o n d i n gm o r p h i s m si ns e c t i o n 4 i np 盯t i c u l a r ，i fti sac o n t i n u o u sq u a t e r 工l i o nl i n e a rm a pf r o maq u a t e r n i o n n o r m e ds p a c et oa n o t h e rq u a t e r i o nn o r m e ds p a c e ，t h e ni t s r e a lp a r t 2 _ ri sa 1 i t r o d u c t i o c o n 七i m l o u sr e a 玉l i n e 缸o p e r a t o rb e 时e e nt h ec o r r e s p o n d i n gr e a ln o r m e ds p a c e s ( s u c h a c o r r e s p o n d i n gi sa c t u a j l yb i j e c t i v e ) t h e r e f o r e ，i “sn a t u r 址t oa s kw h e t h e r | | t | | 一 l l t r i ns e c t i o n4 ，w ew m c o n s i d e rs o m es i t u a t i o l l sw h e n 也i se q u 出i t yh 0 1 d sa n d 舀v es e v e r 出e x a 皿p l e sw h e nt h i se q u a l i t yf 越1 s f i n a l l y w es h 0 1 l l dm e n 七i o nt h a to u rw o r k 盯eg r e a t l y 砌u e c e db yt h ew o r k o fh o l t za j l dk a r o w ( 5 ) ，t h ew o r ko fk i r w a 皿( 1 0 ) a sw e l la st h a to fm u z o n ， s a r a j l t o p o u l o sa n d 】0 n g e ( 1 5 】) o nc o m p l e x 击c a t i o n s 2 型! 里! ! 苎! ! ! ! ! 坐! 竺! ! 竺竺! ! ! 翌! ! 兰! 竺里! 竺 2n o r m q u a t e r n i o n i z a t i o n sa n ds o m ee x a m p l e s f i r s t ，w es h 址lr e c a us e v e r 出c o n c e p t sa n ds o m ef u n d a m e n t a | l 【i l o w l e d g e ba f o u rd i m e n s i o n 出i 艮v e c t o rs p a c e w i t h ab a s i s ( 1 ，t ，矗后 s u c h t h a t l j su n i t o f a n d i 2 = j 2 = 2 = 一1 ，巧= 女= 一如，j = i = 一j ，觇= j = 一i t h e i n v o l u t i o n ”丰”o n i sd e 血e db y ( o + 托+ 巧+ d ) = o 一6 i 一町一d m o r e o v e r ，t h en o r ml lo n 衄i sd e t e n l l j n e db y 1 0 + b 主+ 0 + d 七1 ：= 、五f 干百互_ 干i 研 i n t h e f o u o w i n gw e w i ua l s o d e n o 钯e 1 = 1 ，e 2 = i ，e 3 = j ，e 4 = 七n o t e t h a tw e c a n i d e n t i 匆r8 sas u b s p a c eo f i n t h eu s u 出s e n s e d e f i i l i t i o n2 1 俐“劬d 咖扎z 缸o nj 3 2 圳ar i 曲t 衄_ v e c t o rs p a c ee 拈u e c t d r 印o c e eo e rr 凹e 地盯伽i 执血r 面胁m u 2 t 印屁c o i d 犯：e es 口i 咖翻口0 2 fn z i d m s 巧 n 9 托一m o d 札f e s i m “。r 崎，叫e c o nd 币竹e2 啦一u e c t o rs p o c e 俐上耐e6 eof 够一口e c t o rs p 口c e 口扎d 。疵夕胁一勘t d r 印o c es 钍c z 危o ( p f ) 口= p ( g ) ，0 ro 礼可eo 佗d p ，q 皿2 现e 仃ei sc o f f e dn - v e c t o rs p a c e l e txb ear e a lv e c t o rs p a c e i ti sw e 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m d r ep 他c 妇e 哂，s 札p p o s e 忱o f 拈o 一口e c o r 印o c e 吼e 凡 。巴：= f ：g 可= 可g ，o r 礼可口皿) 诂or e n f 口o r 印n c es “c 忱o tf 竺( f ) 珏一 e c t d r 印o c eo n d ( ( 兄) ) z = 兄 凡r 琥e r m o 咒，0 rn n 可r e o f 可e c d r 印o c e sxo 删l ( 粕，l 备) = l r ( x ，y ) t h ea b o v el e m m at e l l su st h a tt h ec a t e g o r yo fi 阻v e c t o rs p a c e si si s o m o r p h i c t ot h ec a t e g o r yo fr e dv e c t o rs p a c e s ( 【t h e o r e m1 8 ，17 )h o w e v e r ，t h es i t u a t i o ni s d i 丘色r e n tw h e nn o r m sa r ec o s i d e r e d d e f i n i t i o n2 4 “1 3 2 5 ，3 2 6 。凡d 3 2 z6 抄l e eb eni 一 e c t o r 号p n c e 倒aq u a t e r n i o ns e m i n o r m ( 皿) o 礼e 诂。如礼c t i o 他入：e _ 酞+ s 让c 危掘血t ： r ja ( z + ) 曼a ( z ) + a ( 掣) 剀入( q 正) = 1 9 1 入( z ) ，0 r 血2 fz ，可伽e 口n d 口机向o d d 饿。礼，彬es o 抚o tai soq u a t e r i l i o nn o r m ( o r - n o r m ) 玎 z e ：) 、( 茁) = o ) = ( o ) 阳j 巧ai s q 钍n 抬m i o n 礼d m to 礼e 饶e 几抚ep o 打佤刈i sc n “e dq u a t e r n i o nn o r m e d s p a c e ( o r l n o r m e ds p a c e ) e 礼d 巧n e 口讥e 饥co 孔e 的t h e 如r m u l 口d ( z ，可) = a ( z 一可) z h i s 。sc o f 2 e dt h em e t r i ci n d u c e db yt h eq u a t e r n i o nn o r mo fe r c ) a 一n d r m e d 印n c ee i ss 矾dt ob eb 皿_ b a i l a c hs p a e e 铲h em e t 盹cdi 钆d u c e d6 9 t e 口u 凸t e m i o 礼扎d r r nai sc o m p z e t e 4 n o 珊q u a t e r n i o n i z a t i o i l sa n ds o m ee ) 【咖p l e s s u p p o s et h a t ( e ：7 ) i saq u a t e r i o nn o 珊e ds p a c e i t h ea r g u m e to f t h e o - r e m 4 1 ，2 4 】，h o r w i t za n d s o rd e 舫ea 融l i n e a rm 印p ：e _ eb y ( z e )( 2 1 ) i n t h e f o u o w i n g ，、eu s e t h en o t a t i o n r e i r l s t e a d0 f p t h i s m 印r e h a ss o m eg o o d p r o p e r t i e sa sf o l l o w i n g ： ( m 1 ) r e ( q z ) = r e ( z q ) ( m 2 ) e z = r e ( e ) ( m 3 )z = ：，r j e ( e ：z ) e 。 ( m 4 )，y ( r e ( z ) ) 7 ( z ) t h ed e t a i l s t h e s ec a nb ef o 衄di nf l e m m a1 5a n dr e m a r k1 6 ，1 7 卜 l e m m a2 5 f b ro 扎zi 佗( e ，7 ) ，t em 印，：皿+ d 皇声n e d6 y ，( 鸟) = = 7 ( 冗e ( q z ) ) p r o o f t h i sf o u o w sf r o mt h ei e q u a h t i 镪i y ( r e ( q z ) ) 一一y ( r e ( 舶z ) ) i 7 ( r e ( q z 一 钓z ) ) 7 ( ( g 9 0 ) 2 ) = i g 9 0 1 7 ( z ) ( f o ra n yq ，咖) 口 仇纳e 他m o 讥d e r 盯t 矗妇o n i c f e ，( x ，【| | 1 ) 拈o s s 让m 鲥幻6 er e o ? n d r m e d 印c e 口n dx 拈i d e 扎t 诉甜叫i 抚( x ) z0 sr e 口2 钉e c t o r 印n c e ，ed e 凡d t e t ku 他i t 印h e r e 盯 k 一日口礼o c s p n c ee 心= 鼹，c ，j n db e 矾e 札咒村6 0 f f0 ，el e tc ( e ，f ) 似s p e c t i 钌e f ，c r ( x ，y ) jb e 耽es 以0 ，0 2 。u n d e d 丑一托n e 。r 印e m o 倦加m 丑一扎d r m e d 印n c ee r r e 印e c 挽 e 匆，6 d 让咒d e d 豫一托礼e o rm 印s ，而mr 一佗o r m 翻印口c e 到i n t d 一咒o r m e d 印o c e f r 把印e c 抚w e f 可，r - 仡o m z e d 印n c e 叼盯y = 豫， e 伽t e r ( x ，r ) n sx + d e 丑n i t i o n2 6 l e ( x ，| | i i ) 拒。r e o fn o r m e d 印。c e 俐肌船冼o t ( ，) 诂。q u a t e m i o 工l i z a t j o no f x 矿i snq 钍凸把m i d 佗n 。r md n ) ，o n d 向r 口佗鲈e 把m e n tz x ，1 丑( z ) = i i z | i 俐aq 让q 匏m 曲n 钯8 t i o 札( 粕，) d ，伍，u 1 i ) 拈s n 谢t d 抛d e s i r a b l e 玎 ( z 1 + i z 2 + j 现+ 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ec o m p l e x m c a t i o n so fr e a in o r m e ds p a c e s ，w ec o n s i d e rh a wt o d e 血eq u a t e r n i o nn o r m so n 硒c o m p a t i b l ew i t h | | t h en a j v ea p p r o a c hi sa s f o l l o w s ： z ，+ i z 。+ j z 。+ 南z 。| | 。m = v ，兀i 习彳；可i 习可干1 t 五邓丁干研( 2 2 ) h o w e v e r ，t h i si sn o ti ng e n e r 出aq u a t e r i o nn o r m i f a c t ，s i m i l a rt ot h es i t u a t i o n o fc o m p l e x m c a t i o ni n 14 】，w eh a v et h ef o l l o w i l l gr e s u l t p r o p o s i t i o n2 8 ( ，| | 1 | n 。t ) 诂凸g 口t e i d n 几。什n e d e c t d rs p o c e 矿口礼dd n 冶矿 ( x ，| l i i ) i s 。r e 口fi 佗佗e r p 阳d u c t 印o c e p r o o f 号) l e tx c = x + i x u n d e rt h eh y p o t h e s i s ：( ，| j 【| 。 ) i sa c 一o r m e ds p a c e ，w h e r el i z l + i z 2 1 i 。i = 、l i z l0 2 + l l z 2 1 1 2 h e n c e ，b y 【14 ，xi sa g i r m e rp r o d u c ts p a c e = 1t h i sf o u o w sf r o md i r e c tc a l c u l a t i o n 口 n 7w eg i v es o m ee x 锄p l e so fq u a t e r n i o nn o r m s i n 1 0 ，k i r w a ng a eac l a s s o fn o r m s ，口o t h ec o p l e 妯c a t i o no far e a ln o r m e ds p a c ex w bw o u l dl 此 t oc o i l s i d e rs i m i l a rc o n s t r u c t i o nf o rn o r mq u a t e r i l i o n i z a t i o n h o w e v e r ，s i n c et h e m u l t i p l i c a t i o ni n 皿i sn o tc o m m u t a t i v e ，w en e e dt oc o 璐i d e rt h ev 出u e so fi l r e ( 加) l 】 w i t h ，9 s h b yt h ep r o p e r t i e so f 一l i n e a rm 印r e ，w eh a e 4 叩= r e ( 叩) + i r e ( 矿 z g ) + j r e ( j + z 9 ) + r e ( + 硼) = e 。r e ( e 挑9 ) n = 1 t h es e t 岛= g ：川= 1 ) i sac o m p a c tg r o u pu n d e rm m t i p l i c a t i o na n dt h e n o r mt o p o l o 目7 t h e r ee ( i s t san o r m a l i z e d ( 1 e 托一) h a a rm e a s u r eyo n 岛w bc a n c o n s i d e rt h ef b l l o w i n gf 皿c t i o n a l s 6 n o 皿q u a t e r l l i o 面z a t i o n sa n ds o m ee ) ( a m p l e s f o ra n y1 p ，g ，。c z ，：= ( 五l ：。丘【：。( 妻l j r e c e ： z g ，“，) ；d v c ，a v c ，) ； f o rp = o 。a n d1 g 础) = = ( 2 | = 1 凡( 器黜挑酬j ) 4 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u a t e m i o nh o m o g e n e i t yo f f 0 r a 皿yn o nz e r oe l e m e n tfi n ，s i n c evi st r a 皿s l a t i o ni n v a r i a n t ，w eh a v e ，。c ，t 。，= ( 五l ：。五 ：，( 宴”r u e c e ：h ，z s ，”，) ；a v c h ，a v c 夕，) j 刮i 饥上( 彝e