（基础数学专业论文）交换子群与群的结构研究.pdf

交换子群与群的结构研究 摘要 本文的目的是研究交换子群对有限群结构的影响，主要结果共分四个 部分 在第一部分3 1 中，给出了若干由交换子群的中心化子或正规化子满足 的条件所确定的有限群的结构描述 本文第二部分3 2 ，通过考虑某些交换子群的中心化子一致于正规化 子，得到了p _ 幂零群和p 闭群的若干充分条件 在第三部分3 3 中，通过限制二元生成交换子群、初等交换子群、极大 交换子群、循环子群。极小子群等的中心化子一致于正规化子，得到了交 换群和循环群的若干充要条件，改进了z a s s e n h 定理和陈重穆在文献【2 j 中提出的定理0 , 3 本文第四部分3 4 ，主要讨论了交换子群对有限群可解性的影响，得到 了有限群可解的若干充分条件 关键词一有限群中心化子正规化子交换群循环群p 幂零群p - 闭群 可解 垦主至塑兰垒堡皇 皇整壁墨墨塑壁塑堑塞 缸 s t u d yo na b e l i a ns u b g r o u p sa n d t h es t r u c t u r eo fg r o u p s a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ew i l ls t u d yh o wa b e l i a ns u b g r o u p si n f l u e n tt h es t r u c t u r eo ff i n i t e g r o u p s ，t h e r ea r ef o u rs e c t i o n si no u rr e s u l t s i nt h ef i r s ts e c t i o n n a m e l y3 1 , w eo b t a i n e de o b i ed 目c r i p f i o no ft h es t r u c t u r eo f s o i n b 矗硝t eg r o u p sw h ec e n t r a l i z e r so rn 啪强a 嗡8o fa h e l i a us u b g r o u p ss a t i s f ys 铆皿e c o n d i t i o n s i nt h es e c o n ds e c t i o n ，n a m e i y3 2 ，w ec o n s i d e rb o r n ea b e l i a ns u b g r o u p ew h o c e n - t r e 妇c sa r ee q u a lt oi t sn o n n a l i z e m y s omo b t a i ns o m es u f s c i e n tc o n d i t i o n so fp - n i l p o t e n tg r o u p ba n dp - c l o s lg r o u p s i n t h e t h i r d 嘴c 伍o n ，n a m e l y 3 3 。w e c o n s i d e r f l o m e a b e l i a n s u b g r o u p s ，b u c h 酷a b e l i e n s u b g r o u p sg e n e r a t e db yt w od e m e n t s ，e l e m e n t a r ya b e l i a ns u b g r o u p s ，m a x i m a la h e l i a n b g r o u p s ，c y c l i c a ls u b g r o u p s ，m i n i m a li m b g r o u p s ，w h o s ec e n t r a l i z e r sa r ee q u a lt o i t s n o r m a l z e t a , s om o b t e i u8 0 m en e c a r ya n ds u f l i c i e u tc o a d i o u so fa b e l i a ng r o u p sa n d c y c l i cg r o u p s ，a n di m p r o v ez a s s e n h a u st h e o r e ma n dc h e nc h o n g m u ，t h e o r e m0 3 i n r e f e r e n c e 2 i nt h el a s ts e c t i o n ，n a m e l y3 4 。w em a i n l yd i s c i 螂h o wa b e u a ns u b g r o u p si n f l u e n t t h es o l v a b i l i t yo ff i n i t eg r o u p s ，w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o mo fs o l v a b l e g r o u p s k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ；o c a t r a l i s e r ；n o r m a l i z e ；a b e l i a ng r o u p ；c y c u e g r o u p ；p - n i l p o t e n tg r o u p ；p - c h s e dg r o u p ；s o l w b l e - 厂 广西大学硕士学位论文 交换子群与群的结构研究 1 第一章引言 交换子群在群的结构研究中扮演着十分重要的角色，特别是利用交换子群的中心 化子和正规化子，目前已有不少研究，其中比较经典的结果有ti - i z a s s e n h a u s 在【1 1 1 中证明了对g 的每个交换子群a 恒有c o ( a ) = n a ( a ) 当且仅当g 是交换的陈重 穆在【2 ，定理o 3 】中证明了若g 的每个交换p 子群的正规化子一致于中心化子，则g 为交换的b u r n s i d e 证明了若存在p s y 功( g ) ，使得c g ( p ) = r g ( p ) ，则g 为p 一 幂零的【3 ，第2 章，定理5 4 1 m m i y a m o t o 在【4 】中证明了若对g 的每个交换子群a 恒有g ( a ) c a ( a ) 答a u t ( a ) ，则g 可解 近些年，关于交换子群对有限群结构影响的研究十分活跃。以下是关于交换子群 研究的一些新成果对每个交换子群a ，显然有a c b ( sj ( 由，于是李世荣 在【5 】中研究了对每个交换子群a 恒有c o ( a ) = b ( a ) 或c g ( a ) = a 的有限群，称 之为n c 群。得到了关于n o 群的以下结果 定理1 设g 为n c 群，则下述结论成立， 1 g 可解当且仅当g 同构于下列群之一 ( 1 ) 交换群； ( 2 妒阶非交换p 群，p 为素数； ( 3 ) 对称群岛； ( 4 ) f r o b e n i u s 群p z 矗，其中f r o b e n i u s 核p 为矿阶初等交换群，f r o b e n i u s 补z 。为仇阶循环群，m 为奇数； ( 5 ) 醌x 历，其中 q a ，z 胡1 ； ( 6 ) v ，其中瞰纠1 ，v = 缸，b la p = 妒= 矿= l ，c = n ，6 】，口c = ，6 c = 西) ，t ，l 为奇数且m i p + 1 ； 2 g 不可解当且仅当g 同构于如或p s l ( 2 ，7 ) 此外，李世荣在【1 3 】中研究了对每个交换子群a 均有i ( a ) ：c o ( a ) i 2 的有 限2 - 群。称之为 d 群。有如下结果 定理2 。设g 为有限非交换2 - 群，则下述条件等价 ( 1 ) a 为a d 群； ( 2 ) a z ( a ) 是二面体群； - ， ( 3 ) g 有一个指数为2 的交换子群且g ，循环 循环子群是特殊的一类交换子群，李世荣庞素琳在【9 】中研究了每个循环子群 皆次正规或反正规的有限群； 定理3 。设g 为有限群，若g 的每个循环子群皆次正规或反正规当且仅当g 为 下列群之一， ( 1 ) g 为幂零群； ( 2 ) c 非幂零，g = g x p ，其中( a ) 幂零；( b ) p s y t p ( c ) ，p 循环；( c ) z ( c ) = c d r 即( p ) 是p 的唯一极大子群；( d ) p 无不动点作用在g ，上 利用极小子群的中心化子和正规化子来研究群的幂零性，可解性已有许多结果 文献【1 4 】得到t 设g 为奇数阶群，若g 的极小子群x 都含于z ( g ) ，即c g 僻) = b ( x ) = g ，则g 幂零文献【15 】将这结果推广到超可解群：设g 为奇数阶群， 若g 的极小子群都在g 中正规，则g 超可解对这一定理有许多推广，例如。若g 的所有索数阶及4 阶循环子群均正规于g 内，则g 超可解 在【16 】中，张勤海，赵俊英得到如下结果， 定理4 若g 中每个素数阶子群都在g 的中心，且g 的每个截断与四元数群不 同构，则g 幂零 王坤仁在【l j 7 】中通过分析内幂零群的结构，利用极小子群给出了幂零群的若干 充分条件； 定理5 。g 是每个极小子群均正规于g 的幂零群的充要条件是g 的每个极小 子群均含于z ( g ) 中。并且g 不以下述2 7 矿阶2 - 基本群为子群：其勖l o w 2 - 子群不 是a b e l 群。并且口 1 定理6 ，g 是每个极小子群均含于z ( g ) 中的幂零群的充要条件是g 的每个极 小子群均正规于g ，并且g 不以下述口- 基本群为子群t 其8 l l l o w q - 子群或为口阶群。 或为非交换的2 _ 群 关于可解性，李世荣在【8 l 中获得了下述结果， 定理7t 若对任意素数p 5 及g 的每个极小p 子群x ，( x ) 次正规或 0 僻) = ) ，则g 可解 定理7 改进了c l 删a s 的结果 定理8 t 设p 是奇素数，如果对每个极小p 阶子群x ，c d x ) 次正规，则g 为p 可解 ，tlllr ， 定理9 ，设p 是奇素数，如果对每个p 阶元茹，i g ：c a 0 ) l 是素数方幂，则 g 为p 可解 杜妮在1 6 】中引进了p c 群概念t 称g 为p n c 群，若对g 的每个极小子群x 均有c a ( x ) = b ( x ) ，证明了p n c 群是介于幂零群与2 - 闭群之间的类可解群其 次。考虑极小子群的中心化子与群的可解性的关系。给出了可解群的若干充分条件t 定理l o ：若对任意素数p 5 及g 的每个极小p 子群x 。c c ( x ) 次正规或x 为n e 释。嫩g 可褥 定理i i 者对任意素数p 5 及g 的每个极小p 子群x ，c d x ) = n o ( x ) 或x 在g 中蹦【正规，则g 可解 定理1 2 若对任意素数p 5 及g 的每个极小p 子群x ，c d x ) = n o ( x ) 或x 在g 中争正规，则g 可解 定理1 3 若对任意极小子群x c a ( x ) = n a ( x ) 或x 在g 中有补。则g 可 解 在这篇文章里。我们利用某些交换子群的中心化子和正规化子来继续研究其对有 限群结构的影响，给出了若干由给定的条件所确定的有限群的结构描述，得到了莘 零群、p 闭群，可解群的若干充分条件及交换群和循环群的若干充要条件 本文所使用的符号都是标准的，参考文献1 3 】3 ；所涉及的群都是有限的 第二章预备知识 2 。1 基本概念 定义2 1 ( 【7 】) 称群g 为a 群，若g 可解且其每个s y l o w 子群均交换 定义2 2 ( 【3 】) 设g 是有限群，日g ，称日为g 的反正规子群，若均g ，有 夕( h ，h g ) 定义2 3 ( 【1 0 】) 令h g ，h 叫做争正规的，如果存在k 鱼g ，使得g ；e k 且 日n 耳，其中1 t o 为何在g 中的核 2 2 主要性质及引理 引理2 1 ( 【l o 】，第8 章，定理3 4 ) 设有限群g 的每个真子群均p 幂零，但g 非 手零。则 ( 1 ) g 的每个真子群幂零； ( 2 ) lgi - 矿矿，其中p ，q 为互异素数，口，b 均为正整数； ( 3 ) g 的s y l o w p - = 乎群p 塑g ，且若p 2 ，e x p ( p ) = p ，若p = 2 ，e 岔p ( p ) 4 ； ( 4 ) g 的s 耖z 晰子群循环 引理2 2 设g 为有限群，若对g 的每个循环子群a 恒有 璺g ，则g 为交换 群或h a m i l t o n 群 证明；若g 非交换，设日为g 的任子群，由假设比h ，( z ) g g ，从而 h 粤g 。由日的任意性，g 为h a m i l t o n 群 引理2 3 设g 为有限群，a 为g 的极大交换子群，则a = c g ( a ) 证明t 若c a ( a ) a ，取$ c a ( a ) a ，令b = 缸，脚，则b 交换且b a ，矛 盾于a 的选取。故a = c a ( a ) 引理2 4 ( 【3 】，第4 章。定理2 7 ) 设g 为幂零群，若h g ，则h ( 日) 引理2 5 ( 【3 】，第2 章，定理5 4 ) 设g 为有限群，p s 功( g ) ，若c o ( p ) = n g ( p ) ， 则g 为p 幂零 引理2 6 设g 为有限群，且对每个交换子群日均有c b ( 日) = ( 日) 或h 璺g ， 设a 为f ( g ) 的极大交换子群，则a g g 证明：反证若a 不正规于g ，由假设c b ( a ) = n a ( a ) ，所以 r f ( o ) ( a ) = c r f 似) ，又a 为f ( 回的极大交换子群，由引理2 3 ，c 奢( g ) ( a ) = a ，从而n f ( a ) ( a ) = a ，由引理2 4 ，a = f ( g ) 。于是a 鱼g 。矛盾 引理2 7 设g 幂零，且对每个交换子群a 均有c a ) = v o c a ) 或a g g ，则对 g 的每个非交换子群日，日宴g 证明：若存在日的极大交换子群a 不正规于g ，由假设c g ( a ) = _ j v o ( a ) ，从 而n h ( a ) = c 膏( a ) = a ，由引理2 4 ，h = a 交换，矛盾，故日的每个极大交换子 群均正规于g 。，从而日里g 引理2 8 ( 【3 】，第2 章，定理5 5 ) 设p 为i g i 的最小索因子，p 勖t p ( g ) 。若p 循环，则g 有正规p - 补 引理2 9 设g 为有限群，h g 。若日在g 中反正规，则n a ( h ) = h 证明t 若日在g 中反正规，则的g ，有g ( h ，h g ) ，取g ( 日) ，即推出 b ( 日) = h 引理2 1 0 设g 为幂零群。若对每个非循环子群的极大交换子群日均有c a ( h ) = n a ( h ) 或h g g ，则对g 的每个非交换子群k ，k 旦g 证明t 设置为的任极大交换子群。若c d h ) = n d h ) ，则日= c k ( 田= n k ( h ) ，由引理2 4 ，k h 交换，矛盾，故耳的每个极大交换子群均正规于g ，从 而k 里g 引理2 1 1 ( 【2 】，第4 章。定理4 5 ) 内2 - 闭群定义关系如下， g = “6 ) ，n 2 。= 垆= 1 ，0 - - 1 她= 6 ，口为奇素数 引理2 1 2 ( n ，第2 章，定理2 4 ) 若g 是内循环群。则g 为p 口口阶酽基本群，或 矿阶初等交换群，或四元数群 引理2 1 3 设g 为有限群，若对g 的每个非循环s y t o w 子群的极大交换子群p 均有( p ) = g ( p ) ，则g 有超可解型s y l o w 塔 证明t 令l g i _ p 口1 p 尹群，p l p 2 侥 g o = 1 为其s y l o w 塔群，倪一l = 忍只，l q l q i = p ，且q 一1 9 岛，其 中毋s y 轨( g ) ，i = 2 ，o 又因为( 1 a , 一l i ，i g , g , 一1 1 ) = 1 ，所以q 一, c h a r g l ，从而 a 一1 璺g ，i = 2 ，毛故g 有超可解型5 y l o w 塔 引理2 1 4 ( 1 2 】) 设g 为内超可解群。贝! i ( 1 ) a = p m ，p 为g 的正规s v f 伽p 子群。超可解，p 圣) 为a 壬( a ) 的 极小正规子群，且p 非循环 ( 2 ) 若p 2 ，e 印( p ) = 弼若p = 2 ，e 印( p ) s4 ，此时g 为内幂零群 ( 3 ) 当尸为a b e l 群时，p 为初等a b e l 群 “) 当p 为非a b e l 群时，圣( p ) = z ( p ) = p ， ( 5 ) 存在z p 诤( p ) ，使得( 动不正规于g 引理2 1 5 ( 【3 】，第5 章，定理6 2 ) 设有限群g 的所有s u t o w 子群皆为循环群，着 g 交换，则g 为循环群；若g 非交换，则g 为由下列定义关系确定的亚循环群 g = ( a ，6 ) ，扩= 扩= 1 ，b - 1 口6 = 口r ，( ( r 一1 ) n ，m ) = 1 ，r 竹e 1 ( 竹砌) ，i g f = t m 引理2 1 6 ( 【6 】) 设g 为有限群，若对每个极小子群x 均有c b ( x ) = g ( x ) ，则 g 为2 - 闭 引理2 1 7 ( f 2 1 ，第4 章，定理4 6 ) 内3 - 闭群g 有下述两大类型； j g 可解时，1 1 g i = 3 a q ，q 为素数。3 iq 一1 ，矿4 = 护= 1 ，i i - 1 6 0 = 6 l ，t ( m 础) 指数为3 l 2 i g i = 3 。q 2q 为素数，( 3 ，q 一1 ) = 1 ，q 3 ，0 3 。= 伊= = 【6 ，c 】= 1 ，1 1 - - 1 k = e , a 一1 = b - 1 c - - 1 ： 3 1 g i = 3 0 q 3 ，q 为素数，q 3 ( 1 ) q = 2 ，g 之跏 洲缸子群为四元数群，n 3 = 6 4 = = 1 ，6 2 = c 2 ，西= b - 1 c ，口一1 6 口= c ，o 一1 = 西( 2 ) 口5 ，矿= 护；伊= f 6 ，c 】9 = 1 ，1 6 ，c 】= d ，【6 ，田= 【c ，司= l ，1 1 - 1 h = c ，口- 1 = b - 1 c - 1 j ，g 不可解时，g 圣( g ) 些p s r ( 2 ，2 ，p 为奇素数，且西( g ) = 0 3 ( g ) 引理2 1 8 ( 1 1 ) 设i g l = 5 r p a “，) l “，n 3 ，i = 1 ，8 或a 士2 ( m o d 5 ) ，i = 1 ，8 ，若g 为内5 一闭可解群，则g 必为下列口- 基本群之一， ( d g = 8 ，6 ) ，i g i = 5 0 口，q 三1 ( 仃i 耐5 ) ，i d i = 5 。，lb i = 口，铲= 6 r ，r 5 兰l ( m o 由) ，r l ( ”l 础) ； p d g = ( n ，6 ，c ) ，l g l = 5 a 矿，q 三一1 ( m o d 5 ) l 口i = 5 0 , ，降l = l c l = q ，扫i = c ，伊= 矿1 ，r 2 + r 一1 兰o ( m d d 口) ，此时有两型： ( i i ，n 妒；2 ，【b ，c l = l ； 苎墨兰塑圭壁垒堡墨塞苎墨墨登盟丝垫翌塞 7 ( i i ，功芦= 3 ，眈c 】6 = p ，c 】；【6 ，c j 1 引理2 1 9 ( 1 2 】，第2 章，定理2 2 ) 设g 为内交换p 群，则g = ( a ，砷，g ，= c ) ，c = 【口，6 】，且s z ( 回 引理2 2 0 ( 2 1 ，第1 章。定理1 1 ) 设g 为内幂零群，则 ( 1 ) g 的阶为矿矿，其中p ，q 为相异素数； ( 2 ) g 有正规勖l o w 子群。设为s y l o w q - 子群q ，此时g 的s y l o w p - 子群尸循 环，设p ；缸) ，则垂( p ) = ( 扩) 含在g 的中心z ( g ) 内； ( 3 ) 着q 为a b e l 群，则q 为初等a b e l 群 引理2 2 1 ( 3 】，第3 章，定理6 5 ) 有限内交换群g 必为可解群 引理2 2 2 ( 【3 】，第4 章，定理5 1 0 ) 设g 为有限p 群，且g 的每个交换正规子群 皆为循环群， ( 1 ) 若p 2 ，则g 本身是循环群； ( 2 ) 若p 一2 ，则g 中有循环极大子群 引理2 2 3 ( f 7 】，第3 章。定理1 1 9 ) 设g 为一个非a b e 2 - 群，g i g 是( 2 , 2 ) 型初 等交换群，则g 是个二面体群或广义四元效群或拟二面体群 引理2 2 4 ( ( 2 1 ，第2 章，定理2 5 ) 设p 为奇素数，如果p 群g 的每个矿阶子群 为循环，则g 为循环 引理2 2 5 ( 1 2 ，第1 0 章，定理1 0 4 2 ) 若有限群g 有个奇阶幂零极大子群m ， 则g 可解 第三章主要结果 3 1 交换子群与群的结构研究 定理3 1 1 设g 为有限群，且对每个交换子群a 均有c o ( 锄= n o ( a ) 或a g g 则下列结论成立； ( 1 ) g 可解，g ，幂零； ， ( 2 ) g = n 日，其中日为交换h a l l - - i p 群，为下列群之一( a ) 交换群；( b ) 类2 亚交换群；( c ) 类3 亚交换群；( d ) 类3 非亚交换群； ( 3 ) 若g 幂零，则g 的幂零类西g ) 3 i ( 4 ) 0 的导长r ( 回3 证明t ( 1 ) 设p 鼬2 ( g ) 若p 里g ，则g 为2 - 闭，t i p 可解，从而g 可解若 p 不正规于g ，则必存在p 的极大交换子群只不正规于g ，由假设c 台( 马) ； ，口( 尸1 ) ， 由引理2 3 ，p l = ( ( p 1 ) = ( 忍) ，由引理2 , 4 ，p = p l ，所以c b ( 尸) = g ( p ) ，由引 理2 5 , g 为蛸零，设日为正规2 - 补，日可解，又g i h 釜p ，g i h 可解，故g 可 解下征g ，幂笨由g 可解，令g = n ) k ，其中n = 僻s y 概( g ) 1 只望研， 耳= ( p j s y 锄( g ) l 马不正规于g ) 显然幂零，下证交换若马不正 规乎g ，则存在只的极大交换子群p j l 不正规于g ，由假设c a ( p j l ) = n g ( 马1 ) ， 所以马z = ( 弓- ) = b ( 弓- ) ，由引理2 4 ，忍= 乃1 ，故c g ( p j ) = b ( 马) ，从而 c k ( b ) = 坛( 易) ，由引理2 5 ，k 为乃- 幂零。由p j 的任意性，k 为幂零，从而k 交 换又g i n 鲁k ，所以g ，n ，故g ，幂零证毕 ( 2 ) 由g 可解，令g = n h ，其中n = ( 毋s v z p , ( g ) 1 只笪g ) ，日一 ( 弓s y 慨( g ) i 马不正规予g ) 幂零，由( 1 ) 知日交换显然亦满足定理条 件，设a l ，a 2 ，厶为的所有极大交换子群若非交换，由引理2 6 ，a 里n ， = 1 ，2 ，礼v 1 k a , a ，则非交换，由引理2 7 ，k 里n 所以v k i a j ，a ，k 他璺，a ，故巩为交换群或h a m i l t o n 群，i = 1 ，2 ，n ( a ) v a ，a 均 交换由于1 n z ( n ) = n a ，又n a 同构于( 阻1 ) ( 也) ( ，如) 的个子群，所以胆( ) 交换，此时为类2 亚交换群( b ) v a ，似不全为交 换设 交换，坞为h a m i l t o n 群。i j 由于似交换，所以，a ，故 为亚交换又 鸺为h a m i l t o n 群，类为2 。所以3 如，山= n i a ， r 4 ，川似爿= 1 ， 故3 4 又3 ，a ，由i 、j 的任意性，有3 n a = z ( ) 所以 帆= m ，卅一1 但3 1 ，若3 = 1 ，则，z ( ) = n a ，从而v a ，川蚀交 换，矛盾此时为类3 亚交换群( c ) v a ，a 均为h a m i l t o n 群a 类为 2 ，故3 a a , = f a ，a ，a 】= 1 ，故飓a 所以1 1 ，则耳非 交换，由引理2 1 0 ，k 雯n ，所以r a 川厶屯，耳胁璺川巳4 b 从而舶为交换群或 h a m i l t o n 群，i = 1 ，2 ，仇( 1 ) v a ，a 均交换由于1 i ，取$ z ( p ) ，o ( z ) = p ， 则p c f g ( ( ) ) ，由假设c 台( $ ) ) 循环，但p 非循环，矛盾，因此极小阶反例不存在， 故g 超可解 ( 2 ) 设p 为g 的任一s y t o w 子群，p 1 ，则z ( p ) 1 ，取霉z ( p ) ，o ( 功一p ， 则p c b ( ( z ) ) ，由假设c o ( 伽) ) 循环，所以p 循环设p 为l g i 的最小素因子， p s 咖( g ) ，由引理2 8 ，g 为p 幂零 ( 3 ) 由( 2 ) 知g 的每个勋l o w 子群皆为循环群，由引理2 1 5 ，g 为循环群或亚循 环群 口 定理3 1 6 设g 为有限群。若对每个极小子群a 均有n o ( a ) 交换，则 ( 1 ) g 为2 - 闭； ( 2 ) g = h k ，其中日为交换曰讲f 予群，耳为奇数阶a 群 证明：设p 为g 的任一s i l l o w 子群，p l ，则z c p ) 1 ，取极小子群 a z ( p ) ，则p ；p ( 锄 b ( 4 ) ，于是p 交换下证g 为2 - 闭，若g 非二闭，则 苎盎竺塑圭竺垒堡圭塞丝壁墨壁壁丝塑堑塞 1 2 存在甄g ，使得甄为内各闭。由引理2 1 1 ，( 1 = 弛，6 ) ，a 垆= b q = l ，矿1 乩= b - 1 q 为奇素数，则硒= k ( ( 6 ) ) g ( ( 砷) ，尬交换，矛盾，故g 为2 一闭，从而g 可解， 令g = h x k h = 僻s y 慨( 回1 只里g ) ，k = ( 弓s y 锄( g ) i 弓不正规于g ) 显然盯幂零，于是日交换，又g 为各闭，于是k 为奇数阶j 4 群 口 注，若上述定理条件改为。对每个极小子群a 均有c a ) 交换”，则定理结论不一 定成立，例如对称群岛满足条件，但岛= p a p = ( ( 1 2 3 ) ) ，g = ( ( 1 2 ) ) 但有下述 定理成立， 定理3 1 7 设群g 的2 阶子群皆次正规，且对每个极小子群4 均有c o ( a ) 交 换。则 ( 1 ) g 为二闭； ( 2 ) g = h x k ，其中日为交换日o l f - 子群，k 为奇数阶a 群 证明：设p 为g 的任一勖z 伽子群，p l ，则z ( p ) 1 ，取极小子群 a z ( p ) ，则p c p 似) c d a ) ，于是p 交换下证g 为纠铂，若g 非2 - 闭，则 存在j q g ，使得j h 为内二闭，由引理2 1 1 ，j b = 缸，6 ) ，口炉= 护= 1 ，口一1 b a = b - l , q 为奇素数。若口= l ，由假设 司司g ，于是( o ) 司司硒，进而( 口) 粤髓，1 ( 1 为禾闭。 矛盾下设口 1 ，令a = a 炉“) ，“口2 口4 ) = 2 ，又( 矿- 1 ) ( 6 ) = ( a 2 a 1 ) 6 ) ，于是 a z ( 玛) ，硒= c k , 似) c d 一4 ) ，甄交换，矛盾，故g 为2 一闭，从而g 可解，令 g = h k k 1 ，h = 僻s y 概( g ) 1 只塑g ) ，k = 马s y 锄( g ) l 马不正规于 回显然日幂零，于是日交换，又g 为2 闭，于是耳为奇数阶以群 注定理3 1 6 ，定理3 1 7 中的群g 不一定超可解，例如交错群山满足定理条 件，但山非超可解 定理3 1 8 设g 为有限群，若对每个非循环子群a ，均有a 一 b ( a ) ，则 1 g 为超可解群； 2 g 为亚循环群； 3 g 为p 幂零群，其中p 为f g i 的最小素因子； 4 若g 幂零，则g 为循环群或矿阶初等交换群或四元数群仉； 5 着g 非幂零。则g 为下列群之一t ( 1 ) g = hxkh 为循环日耐j - 子群，k 为引理2 1 5 定义的循环群或亚循环群； ( 2 ) g = 日e h 为循环h a 圩群，k ；lx p ，二为引理2 1 5 定义的循环群 或亚循环群，p s 功( g ) ，p 为p 2 阶初等交换群； ( 3 ) g = 日k ，h 为循环h a l l - 子群，k = 工矾，l 为引理2 1 5 定义的循环群或 亚循环群，q 8 s y t 2 ( a ) 证明t1 设g 为极小阶反例，显然定理条件对子群遗传，则g 为内超可解群， 由引理2 1 4 知存在p 勖细( g ) ，使得p 里g ，且p 非循环，由假设p = g ( p ) ，又 p 里g 于是p = ( p ) = g ，g 幂零，矛盾，因此极小阶反倒不存在，故g 为超可 解群 2 由g 可解，则存在极大子群a 粤q b 似) = g a ，由假设a 循环，又 g a 1 = 素数，c a 循环，故g 为亚循环群 3 若g 非p 幂零，则存在k g ，使得k 为内p 幂零，由引理2 1 ，k = p 4q ，p s u l l , ( k ) ，q 勋t q ( i r ) ，q 循环若p 循环，由于p 为i g l 的最小素因 子，p 亦为i k l 的最小索因子，由引理2 8 ，k 为p 幂零，矛盾若p 非循环，由假 设，尸= r g ( 一，于是p = k ( 尸) = k ，k 幂零，矛盾综上，g 为珀手零 4 若g 幂零。v a 1 ，则每个只均循环，从而g 循环。矛盾，故r = 1 ，g 为内循环p _ 群由引理 2 1 2 知，g 为矿阶初等交换群或四元数群仉 5 若g 非幂零，v p 勋咖( 6 9 ，由3 知p 为循环群或为矿阶初等交换 群或四元数群仉( 1 ) v p s y 咖( g ) ，p 脑，由假设知尬循环。又i m 舰i = 素数，不妨设 i m ，i = p ，则q 毛，于是q 循环，矛盾，故q 不为内循环群由g 可解， 令g ；h 蜀k 1 ，h = 假勖慨( g ) i8gg ) ，k = ( 马s y 锄( g ) i 马不 正规于g ) 显然日幂零，由( 1 ) 知，w j - , 只循环。于是日循环对于k ， 若v 乃k ，乃均循环，则耳为引理2 1 5 定义的循环群或亚循环群，否则，存在 p 甄p 勋如( g ) ，p 为内循环，且v q 墨q s u t q ( a ) ，q p ，q 循环。若p 为 矿阶初等交换群，由假设尸= ( p ) ，于是p = c i r ( p ) = j ( 尸) ，由引理2 5 ，k 为 p 幂零，设二为正规p 补，k = 工p ，由( 2 ) 知工的每个8 y l o w 子群皆循环，于是 三为引理2 1 5 定义的循环群或亚循环群。若p ；钒，则存在日衅群l k ，使得 k = 8 ，证毕 口 注t 定理3 1 8 中的群g 不一定幂零，例如对称群岛满足定理条件，但岛非幂零 定理3 1 9 设g 可解，着对每个非交换子群a 均有a = 小k ( a ) ，则 1 g 为亚交换群； 2 着g 幂零，则g 为交换群或内舭缸卜群； 3 若g 非幂零。则g 为下列群之一， ( 1 ) g = 1 1 ) k 日为交换h a l l - 子群，为a 群； ( 2 ) g = i tx k ，日为交换日n l l 寻群，k = l p ，l 为a 群，p 为内a b e l p - 群， p s 冶( g ) 证明：1 由g 可解，则存在极大子群a g g ， r g ( a ) = g a ，由假设a 交换， 又j a a i = 素数，g a 循环，故g 为亚交换群 2 若g 幂零，y a 1 ，则每个只均交换，从而g 交换。矛盾，故r = 1 ，g 为内交换p 群 3 若g 非幂零，v p s u l p ( a ) ，由2 知p 或为交换群或为内交换群( 1 ) v p 勖咖( g ) ，p n ，由假 设知尬交换，又i m m l l = 素数。不妨设i 蛳i = p ，则q s m ，于是q 变换， 矛盾，故q 不为内交换群。由g 可毹。令g = 日j k 1 ，日= ( r 勖f p ( g ) 1 只里g ) ，k = ( 马8 y 吻( g ) l 马不正规于g ) 显然日幂零，由( 1 ) 知，v _ 只目只 交换，于是日交换对于k ，若v 马k 马均交换，则k 为a 群，否则，存在 p e p 劬如( g ) ，p 为内交换，且v q 蜀q s u t q ( a ) ，g p ，印交换，则存在 i - i a l t - 子群l k ，使得k = l p l 为a 群 1 2 1 注：( 1 ) 定理3 1 9 中的群g 不一定超可解，例如交错群山满足定理条件。但也非 超可解 ( 2 ) 对每个非交换子群a 均有a = 舀( 由的群g 不一定可解，例如交错群如 满足条件，但a 5 非可解 定理3 1 1 0 设g 为有限群。若对g - + 极小子群a 均有a c 矗( a ) 。则g ；磊 或g = 名x 幺，其中p q , p ，q 为互异素数 证明：若g 交换，设a 为g 的任极小予群，于是由假设有a = g b ；g ，g 为索数阶循环群若g 非交换，v p s y 酗( g ) ，设i p i = 矿，以为尸的任一极小 子群。若n l ，则c o ( a ) c f p ( 田 a ，由假设知矛盾放礼= 1 ，l g i 无平方 因子，由引理2 1 5 知g 为亚循环群，则存在循环子群gg ，使得g 循环， 由于g 非交换，则l l ， 不妨设a j v = 伽n ) = 伽) ，g = 和) ，设口为( 动的任一极小子群，由假 设b = c b ( b ) ，于是b = c 锄( b ) = 协，由于l g l 无平方因子，且a n 1 ，则 l ( 圳= q p 于是ig | = w ，g = 名名，其中p g p ，q 为互异素数 口 推论3 1 1 设g 为有限群，若对每个极小子群a 均有a = b ) ，则g = 磊 证明： 设a 为g 的任一极小子群，则由假设a = r g ( a ) = c i g ( a ) ，若g 不为p 阶循环群，由定理3 1 1 0 知g = 磊磊，其中p q , p ，口为互异素数，则 磊 1 为有限群，g 至多有4 个非平凡交换子群当且仅当g 为 下列群之一t ( 1 ) 彩( 2 ) 和i ( 3 ) 勿i “) ；( 5 ) 乃；( 6 ) 忍易i ( 7 ) z e ；( 8 ) 勿。； ( g ) q s j ( 1 0 ) 磊历，( 1 1 ) z 3 x 磊l 证明充分性t 显然成立； 必要性，分两种情形进行讨论( 1 ) 若g 循环，由题设，l g l 至多含4 个索 因子，若i g l 含4 个索因子。不妨设i g i = 卯西2 疗p r | ，n21 ，fz1 ，2 ，3 ，4 则存在 g 1 日l = p l p 2 p 3 m i t 含1 2 个非平凡交换子群，矛盾若i g i 畲3 个素因子。不 妨设i g i = p r l p r 2 p ；a ，r 1 ，i 一1 ，2 ，3 则存在日g ，1 1 1 i = p l 耽船h 含6 个非平凡 交换子群，矛盾若j q 含2 个索因子，不妨设ig | = 砰癣，n 1 ，i = 1 ，2 若r 1 ，r 2 中有个大于等于3 ，不妨设7 1 3 ，则存在i t g ，1 日i = p 溉日含6 个非平凡交 换子群，矛盾故n ，r 2 2 若i g i = p - 耽，g 含2 个非平凡交换子群，符合题设着 ig | = p 犯，g 含4 个非平凡交换子群，符合题设若l g l _ p 翻，g 含7 个非平凡交换 子群，矛盾。若i g l 只含1 个索因子，不妨设l g l = 矿，n l ，g 含f l 一1 个非平凡交 换子群。由题设t l 一1 4 ，于是1 n 5 ( 2 ) 若g 非循环，则存在日q 使得日为内循环，由引理2 1 2 知日为矿口 阶g _ 基本群，或矿阶初等交换群，或四元数群仉若日= 仉，由于q 8 含4 个非平 凡交换子群，于是必有g = 日= 仉若= 磊磊，日含p + 1 个非平凡交换子 群，由题设p + 1 4 ，于是p 3 若p = 3 ，- 含4 个非平凡交换子群，于是必有 g = 日= 历历若p = 2 ，日含3 个非平凡交换子群，若g 日，则g 至少含5 个 非平凡交换子群，矛盾故g = h = 历易含3 个非平凡交换子群。符合题设若 日为p 口g 阶口基本群，若口3 ，- 至少含口阶，p 阶，矿阶，p g 阶，p 2 口阶5 个非平 凡交换子群，矛盾若口= 2 ，含口阶、p 阶、粥阶3 个非平凡交换子群。又目的矿 阶非平凡交换子群不唯一，日的非平凡交换子群个数大于4 ，矛盾若口= l ，日的非 平凡交换子群个数为印+ l + l 4 ，卸2 ，其中n 1 护2 于是必有n = 1 ，p = 2 ， 且3 i2 9 ，于是口= 3 ，此时日含4 个非平凡交换子群，故g = - = 忍x 历 口 定理3 1 1 2 坳 r ( g ) ，若对每个非循环p 子群a ，g ( a ) c 台( a ) 仍为p 群，则g 超可解 证明：设g 为极小阶反例，v 日g ，设a