（基础数学专业论文）有限群子群的阶个数对群的影响.pdf

有限群子群的阶，个数对群的影响 摘要 摘要 我们知道在群的理论研究中，常常要知道群的一些数量性质例如：群的阶，群 的元素的阶，同阶元的个数，子群的阶，子群共轭类的个数，一个群的s y l o w 子群的 个数等等这样一些数量性质是群论研究的重要内容反过来，知道群的一些数量性 质，是否可以得到群的性质呢? 这也是群论工作者十分关注的问题事实证明，从简 单的数量性质出发，的确可以得到很好的性质例如：奇数阶群可解；如果一个群只 有一个s y l o wp 一子群，则该s y l a wp 一子群正规，且是特征子群；r e ( g ) 表示g 的元 素阶之集，如果丌。( g ) = 1 ，2 ，3 ，5 ) ，则g 型a 5 等 子群的指数也是群的一个重要数量性质，本文第二章主要讨论了子群的指数集合 对有限群的影响，得出了如果两个群的子群的指数集合相等，若其中一个可解，则另 一个也可解，且两个群的阶也相等并对指数集合中的数字的连续性也进行了一定的 研究 若两个有限群子群的指数集合相等，显然子群的阶之集也相等，本文的第三章主 要讨论了子群的阶的集合对单群的影响，并用子群的阶的集合刻画了部分单群，并且 得出若两个单群的子群的阶之集相等，则这两个单群同构 子群的个数对有限群也有很大的影响，不少群论工作者对此也有很多的研究，如 g a m i l l e r 教授给出了所有真子群个数为1 0 或1 l 的有限群，并给出了交换群的子群 的个数的计算方法本文的第四章利用子群的个数给出了几类有限群的新刻画，当 g l = 2 p ；2 2 p ( p 为奇素数) ；3 p 2 ( p 3 ，p 为奇素数，且3 不整除p 一1 ) 时，g 可由子群 有限群子群的阶，个数对群的影响 摘要 的个数唯一确定 关键词：子群的阶；子群的指数；子群的个数；正规子群；同构；可解群 作者：孙晓寒 指导老师：施武杰教授 有限群子群的阶，个数对群的影响 a b s t r a c t a b s t r a c t w ba l lk n o wt h a ti ti sn e c e s s a r yt ok n o wal o to fq u a n t i t yp r o p e r t i e so ff i n i t eg r o u p s i nt h er e s e a r c ho ff i n i t eg r o u p st h e o r y f o re x a m p l e 、t h eo r d e r so fg r o u p s ；t h eo r d e r so f e l e m e n t so fg r o u p s ；t h en u m b e ro fs a m eo r d e re l e m e n t s ；t h en u m b e ro fc o n j u g a t ec l a s s e s o fs u b g r o u p s ；t h en u m b e ro fs y l o wp s u b g r o u p s t h e s eq u a n t i t yp r o p e r t i e sa r et h e i m p o r t a n tc o n t e n t so ft h ef i n i t eg r o u p st h e o r y c o n v e r s e l y , i fw ek n o ws o m eq u a n t i t y p r o p e r t i e so ff i n i t eg r o u p s ，c a nw eg e tt h e i rs o m ep r o p e r t i e s ? f a c t ss h o wt h a ti ti n d e e d c a no b t a i ng o o dp r o p e r t i e so ff i n i t eg r o u p sf r o ms o m es i m p l eq u a n t i t yp r o p e r t i e s f o r e x a m p l e ，i f af i n i t eg r o u ph a so n l yo n es y l o w p - s u b g r o u p ，t h e nt h i ss y l o wp s u b g r o u p i sn o r m a la n dac h a r a c t e r i s t i cs u b g r o u p ；o d do r d e rg r o u pi ss o l v a b l e ；丌e ( g ) r e p r e s e n t s t h es e to fe l e m e n t s o r d e ri ng ，i f7 r e ( g ) = l ，2 ，3 ，5 ，t h e ngi si s o m o r p h i ct oa 5 t h eo r d e ro ff i n i t eg r o u pi sa l s oa ni m p o r t a n tq u a n t i t yp r o p e r t y c h a p t e rt w oo ft h i s p a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h ei n f l u e n c eo ft h es e to fi n d e x e so fs u b g r o u p so nf i n i t eg r o u p s ， a n dg e t st h a ti ft h es e t s o fi n d e x e so fs u b g r o u p so ft w og r o u p sa r ee q u a l ，w h e r eo n e g r o u pi ss o l v a b l e ，t h e nt h eo t h e ri sa l s os o l v a b l e ，a n dt h e i ro r d e r sa r ee q u a l m o r e o v e r ， t h i st h e s i sa l s os t u d i e st h ec o n t i n u i t yo ft h en u m b e r si nt h es e to fi n d e x e so fs u b g r o u p s o ff i n i t eg r o u p s i ft h es e t so fi n d e x e so fs u b g r o u p so ft w of i n i t eg r o u p sa r ee q u a l t h e nt h es e t s o fo d e r so fs u b g r o u p so ft h i st w og r o u p sa r ea l s oe q u a l i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h e a u t h o rd i s c u s s e st h ei n f l u e n c eo ft h es e to fo r d e r so fs u b g r o u p so ns i m p l eg r o u p s ，a n d c h a r a c t e r i z e ss o m es i m p l eg r o u p sb yt h es e to fo r d e r so fs u b g r o u p s ，f r o mw h i c hw ec a n g e tt h a ti ft h es e t so fo r d e r so fs u b g r o u p so ft w os i m p l eg r o u p sa r ee q u a l t h e nt h e s e t w os i m p l eg r o u p sa r ei s o m o r p h i c t h en u m b e ro fs u b g r o u p sh a sm u c hi n f l u e n c eo nt h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p s m a n yr e s e a r c h e r so nt h eg r o u pt h e o r yh a v es t u d i e dal o t f o re x a m p l e g a m i l l e rh a s g i v e na l lf i n i t eg r o u p sw h o s es u b g r o u p sn u m b e ri se l e v e no rt w e l v e ，a n dg e tt h em e t h o d t h a tc a nc a l c u l a t et h en u m b e ro fs u b g r o u p so fa b e l i a ng r o u p s i nt h ef o r t hc h a p t e r ， t h ea u t h o rg i v e san e wc h a r a c t e r i z a t i o no fs o m ef i n i t eg r o u p sb yt h en u m b e ro ft h e i r s u b g r o u p s ，t h a ti sw h e ni g l = 2 p ，pi so d dp r i m e ；2 2 p ，pi sao d dp r i m e ； i sap r i m e ，3d o e s n td i v i d ep 一1 ) ，t h e ngi so n l yd e t e r m i n e db ym k e y w o r d s ：t h eo r d e r so fs u b g r o u p s ； g r o u p s ；n o r m a ls u b g r o u p ；i s o m o r p h i c ； 印2 ( p 3 ，p t h ei n d e x e so fs u b g r o u p s ；t h en u m b e ro fs u b s o l v a b l eg r o u p s i i i w r i t t e nb ys u nx i a o h a n s u p e r v i s e db yp r o f s h iw u j i e 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承 担本声明的法律责任 研究生签名： 嵫日期： 学位论文使用授权声明 2 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中。1 、5 有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致，除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名： 导师签 必妇：址亿 有限群子群的阶，个数对群的影响 引言 引言 在群的理论研究中，我们常常需要知道群的一些数量性质例如：群的阶，群的 元素的阶，同阶元的个数，子群的阶，子群共轭类的个数，一个群的s y l o w 子群的个数 等等这样一些数量性质是群论研究的重要内容反过来，知道群的一些数量性质， 是否可以得到群的性质呢? 这也是群论工作者十分关注的问题事实证明，从简单的 数量性质出发，的确可以得到很好的性质例如：奇数阶群可解；如果一个群只有一 个s y l o wp - 子群，则该s y l o wp 子群正规，且是特征子群；丌e ( g ) 表示g 的元素阶 之阶，如果7 r e ( g ) = 1 ，2 ，3 ，5 ) ，则g 垒a 5 等 子群的阶对群的影响也很大，例如，黎先华教授在文 1 】中用群的可解子群的阶刻 画了有限单群，在文【2 】， 3 】中用群的极大子群的指数集合刻画了有限单群王殿军在 文【4 】中用群的极大子群的阶之集刻画了有限单群本文第二章主要讨论了子群的指数 集合对有限群的影响，得出了如果两个群的子群的指数集合相等，若其中一个可解， 则另一个也可解，且两个群的阶也相等并对指数集合中的数字的连续性也进行了一 定的研究本文的第三章主要讨论了子群的阶的集合对单群的影响，并用子群的阶的 集合刻画了部分单群，进一步得出若两个单群的子群的阶之集相等，则这两个单群同 构 子群的个数也是有限群的一个重要数量性质，对子群的个数也有很多的研究例 如：g a m i l l e r 教授在文【5 】中给出了所有的真子群的个数为1 0 或1 1 的有限群，在文 【6 】中给出了交换群的子群个数的计算方法；王文中在文 7 】中给出了极大子群个数小 于5 的有限群；向建国在文 8 】中讨论了非正规子群的个数对有限群的结构的影响 本文的第四章利用子群的个数给出了几类有限群的新刻画，当l g l = 2 p ；2 2 p ( p 为奇素 数) ；印2 ( p 3 ，p 为奇素数，且3 不整除p 一1 ) 时，g 可由子群的个数唯一确定 有限群子群的阶，个数对群的影响第一章基本概念和基本结果 第一章基本概念和基本结果 g 始终表示一个有限群 我们用j g i 表示群g 的阶，7 r e ( g ) 表示g 中元素阶的集合，7 r ( g ) 表示群g 的阶 的素因子的集合，p 表示g 的s y l o w p 一子群，礼口表示g 的s y l o w p 一子群的个数 g t ( a ) 表示群g 中除1 之外子群的指数集合，- 8 ( g ) 表示群g 的除g 之外的子群的阶 之集，m t 表示g 的i 阶子群的个数，m 表示g 的所有子群的个数 我们得到如下结果： 定理2 1g 是有限群，则m ( g ) = 1 当且仅当g 是素数阶群 定理2 2g 是有限群，则n t ( a ) = l ，m l ，m 2 ，m ) ，其中m i ( 1 i ) 是素数 幂，当且仅当g 是p 群或p g 群 定理2 3 设g 1 ，g 2 为两有限群，若n t ( a 1 ) = 批( g 2 ) ，则i g l l = l g 2 i 定理2 4 若t ( g ) 中的数是连续自然数集，则其中的数最多连续到3 定理2 5g 1 ，g 2 是两有限群，g d a l ) = 批( g 2 ) ，若g 1 可解，则g 2 也可解 若两个有限群的指数集合相等，显然子群的阶之集也相等，用札( g ) 表示群g 的 除g 之外的子群的阶之集，本文的第三章主要讨论了子群的阶之集对单群的影响，得 出如下结论： 定理3 1 若g 1 ，g 2 是有限单群，则g s ( a 1 ) = n s ( a 2 ) 当且仅当g 1 兰g 2 定理3 2g 兰a 5 当且仅当帆( g ) = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，1 0 ，1 2 定理3 3g 兰l 2 ( 7 ) 当且仅当肌( g ) = ( 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，7 ，8 ，1 2 ，2 1 ，2 4 1 定理3 4g 皇a 6 当且仅当8 ( g ) = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，8 ，9 ，1 0 ，1 2 ，2 4 ，3 6 ，6 0 子群的个数对有限群也有很大的影响，不少群论工作者对此也有很多的研究，如 g a m i l l e r 给出了所有真子群个数为1 0 或1 l 的有限群，并给出了交换群的子群的个 数的计算方法本文第四章主要是用子群的个数来刻画几类有限群，结果如下： 2 有限群子群的阶，个数对群的影响第一章基本概念和基本结果 定理4 1 设f g l = 2 p ，p 是奇素数，则g 由m 唯一确定 定理4 2 设i g l = 3 p 2 3 ，p 为素数，且3 不整除p 一1 ) ，则g 由m 唯一确定 定理4 3 设i g i = 2 2 p ，p 为奇素数，当p 5 ，且g 不为情形( 2 ) 和( 6 ) 时，g 由 m 唯一确定 3 有限群子群的阶，个数对群的影响第二章有限群子群的指数集合对群的影响 第二章有限群子群的指数集合对群的影响 本章主要讨论了子群的的指数集合对有限群的影响 引理2 1 ( 9 1 ) 设g 是有限群，若dfi g i ，d 是素数幂，则g 有d 阶子群 引理2 2 ( 1 0 1 ) 设i g i = 西1 跨p 鲁，则g 可解的充要条件是，对于i = 1 ，2 ，q ， g 中存在p ：一h a l l 子群 定理2 1g 是有限群，则n t ( v ) = 1 ) 当且仅当g 是素数阶群 证明充分性，当g 是素数阶群时，g 没有真子群，所以g t ( g ) = 1 ) 必要性，设日是g 的任一子群，因为g t ( g ) = 1 ) ，所以i g ：h i = 1 ，即g = h ，故 g 无真子群，所以g 是素数阶群 定理2 2g 是有限群，则：v t ( v ) = l ，m l ，m 2 ，m t ) ，其中m i ( 1 i t ) 是素数 幂，当且仅当g 是p 群或p 口群 证明充分性，若g 是p 群，设l g i = p a ，则y t ( v ) = 1 ，p 1 ，矿- 1 ) ，即t ( g ) 中 的数全是素数幂若g 是p q 群，即i g i = p q ，所以眦( g ) = l ，p ，g ，其中的数全是素 数幂 必要性，当1 7 r ( g ) f = 1 时，设l g i = p a ，则g 有阶为p ，p 2 ，p 铲1 的真子群，此时 m ( g ) = 1 ，p 1 ，p a - 1 ) 全是素数幂，所以g 为p 群 当i 丌( g ) i = 2 时，设l g l = p a q f ，若a 1 ，则有s y l a w 定理知，g 中存在p ”1 阶 子群h ，则l g ：h i = p 矿，这与t ( g ) 中的数全是素数幂相矛盾故a = 1 ，同理p = 1 ， 所以g 是p q 群 当1 7 r ( g ) i 3 时，设l g i = p 1 p 呈2 醒。( t 3 ) ，由s y l 仇v 定理知g 中存在p 1 阶子 群，所以p 罗2 p t ( g ) ，这与( g ) 中的数全是素数幂相矛盾所以当1 7 r ( g ) i 3 时，( g ) 的数不可能全是素数幂即当n t ( c ) 中的数全是素数幂时，g 是p 群或p q 群 4 有限群子群的阶，个数对群的影响第二章有限群子群的指数集合对群的影响 定理2 3 设g 1 ，g 2 为两有限群，若n t ( g 1 ) = m ( g 2 ) ，则f g l i = l c 2 1 证明因为u t ( c 1 ) = m ( g 2 ) ，则i g l l 与i g 2 l 所含的素因子相同否则，设i g l l = p ? 1 理2 p 咒l g 2 i = p 1 p 笋p 鳄。，g 2 中有p 。阶子群，所以p 1 p 呈2 p 尹 p 呈。一1 肌( g 2 ) ，这与n t ( g 1 ) = n t ( g 2 ) 相矛盾故可设l g l i = p ? 1 硝2 p 尹，i g 2 i = i g l l = 彳1 p 争p ，设p 1 是g 1 的s y l o wp 1 一子群，q l 是g 2 的s y l o wp a - 子 群，所以i c l ：p 1 i = p 多。p 孑t ，i c 2 ：q 1 i = 谬毋，又因为她( g 1 ) = 批( g 2 ) ，所以 p 呈。p 尹= 谬p 9 。i ，所以q 2 = 侥，o l 。= 屈，同理a 1 = 凤，所以i c l l = i g 2 i 定理2 4 若肌( g ) 中的数是连续自然数集，则其中的数最多连续到3 证明设i g i = 2 i - 3 。乎s t 当p = 2 时，此时l g i = 2 i z ，地( g ) = l ，2 ，2 2 ，2 - 一1 ) ，要使挑( g ) 是连续的自然数 集，只有m ( g ) = 1 ，2 ) ，则此时i g i = 2 2 ，g 是q ，c 2xc 2 当p = 3 时，即i g i = 2 i - 3 i ：，则i 2 = 1 ，否则若i 2 2 ，设p 是g 的s y l o w2 一子群， 则i g ：p i = 3 i 。9 ，又因为肌( g ) 中的数是连续的，所以7 批( g ) ，即7jl g | ，矛盾所 以i 2 = 1 ，此时i g l = 2 卜3 ，另外i 1 = 1 ，否则若i 1 2 ，则i g i = 2 i ，3 1 2 ，因为2il g i ， 所以g 有2 阶子群，故l g i = 2 i t 一3 t ( g ) ，有因为m ( g ) 中的数是连续的自然数， 2 n 一3 6 ，所以5 批( g ) ，故5i g i ，矛盾所以i l = l ，即l g i = 6 ，挑( g ) = 【1 ，2 ，3 ) ， 此时g 为g 或s 3 当p 5 时，设t ( g ) = l ，2 ，3 ，p ， ) ，则i 2 p ，因为设p 是g 的s y l o w2 一 子群，则i g ：p i = 3 i z 5 。p i t 2 p ，所以i 2 p 当p 5 时，p 与印之间有素数存 在，这与p 是最大的素数相矛盾故当p 5 时，批( g ) 中的数不可能是连续的自然 数 综上所述，m ( g ) 中的自然数最多连续到3 另外，若( g ) 中的数除l 之外是偶数连续，则最多连续到4 即t ( g ) = 【1 ，2 ，4 ) ， 因为若6 ( g ) ，则6i g l ，所以3ii g ，即3 7 r ( g ) ，设i g l = 2 i 3 扣，则3 2 挑( g ) ，矛盾所以t ( g ) 中的数除1 之外偶数连续最多到4 ，此时i g i = 2 3 ，g 为 瓯，qxq ，q qxq ，d 8 ，q r 5 有限群子群的阶，个数对群的影响第二章有限群子群的指数集合对群的影响 若t ( g ) 中的数是奇数连续，则最多连续到5 ，即n t ( a ) = 【1 ，3 ，5 ) 设i g i = 3 i - 5 i 。， 若i l - 1 ，3 i ，t ( g ) ，又因为g t ( a ) 中的数是奇数连续，所以7 批( g ) ，即7 7 r ( g ) ，矛 盾所以i l = 1 ，同理i 2 = l ，此时i g l = 3 5 = 1 5 ，( g ) = 1 ，3 ，5 ) ，设i g l = 3 5 2 7 讧， 若i l = i 2 = i 3 = 1 ，即l g i = 3 x5x7 ，则g 是可解的，所以存在3 阶子群，故3 5 n t ( g ) ， 又因为批( g ) 是连续的奇数，所以3 3 t ( g ) ，矛盾故当n t ( a ) 中的数是奇数连续 时，最多连续到5 定理2 5g 1 ，g 2 是两有限群，n t ( a 1 ) = 批( g 2 ) ，若g l 可解，则g 2 也可解 证明 因为批( a 1 ) = 批( g 2 ) ，所以由定理2 3 知i g l i = l g 2 i ，设i g l l = i g 2 i = 疗p ：。，因为g 1 可解，所以由引理2 2 知，g 1 中存在疵一h a l l 子群( 1 i t ) ，设p 1 为g 1 的p i h a l l 子群，则ip 1 i = p 挚疵，所以l g l ：p 1 i = 砰，又因为n t ( a 1 ) = 挑( g 2 ) ， 所以p t ( g 2 ) ，故g 2 中有旌一h a l l 子群，同理可证g 2 中有p ：一h a l l 子群( 2 i t ) ， 所以由引理2 2 知g 2 可解 若把定理中的可解改为幂零，则定理不成立例如，令g 1 = 岛，g 2 = z 6 ，此时 n t ( a 1 ) = n t ( g 2 ) = l ，2 ，3 ) ，而磊幂零，鼠不幂零 6 有限群子群的阶，个数对群的影响第三章 有限群子群的阶的集合对群的影响 第三章有限群子群的阶的集合对群的影响 本章主要讨论了子群的阶之集对单群的影响 引理3 1 ( 1 1 1 ) 设m 是g ( q ) 的极大子群，则m 为下列群之一： ( 1 ) q 掣q 2 奄m ：( g l 凫( 口) 。却2 m ( q ) ) ，其中0 七k + m ：n ( 2 ) s p 2 k ( q ) o 却2 。( g ) ，其中0 k m k + m = 佗 ( 3 ) 2 ”( p s p 2 k ( q ) 2 s m ) 其中0 k k m = i t ( 4 ) g l 。( q ) 2 1 ) 其中仇3 ( 5 ) a u ( 口) 2 1 ) ( 6 ) p s p 2 k ( q m ) m ，其中k m = n ，m 是素数 ( 7 ) ( p s p 2 k ( q ) p o 。( q ) ) 2 ，其中k m = 礼，且m 2 ，不包含下列情形( 忌，m ) = ( 1 ，4 ) 且( m ，q ) = ( 2 ，3 ) ，( 3 ，3 ) 或( 2 ，5 ) ( 8 ) ( p s p 2 k ( q ) 22 ) ，其中( 2 k ) = 2 n ，m 是奇数 ( 9 ) p s p 2 。( q 0 ) ，其中q = q 8 ，且b 是奇数 ( i o ) p s p 2 。( q 0 ) 2 ，其中q = 靠 ( 1 1 ) 2 2 q 磊( 2 ) ，如果q 是素数，n = 2 ”，且q 三3 r o o d ( 8 ) ( 1 2 ) 2 2 ”0 磊( 2 ) ，如果q 是素数，扎= 2 m ，且q 三1 m d d ( 8 ) 引理3 2 ( 【1 2 】) g 为单恐一群，则g 同构于下列群之一：a s ( 阶为2 2 3 5 ) ，a 6 ( 阶 为2 2 3 2 5 ) ，l 2 ( 7 ) ( 阶为2 2 3 7 ) ，三2 ( 8 ) ( 阶为2 3 3 2 7 ) ，l 2 ( 1 7 ) ( 阶为2 4 3 21 7 ) ，l 3 ( 3 ) ( 阶 为2 4 3 41 3 ) ，玩( 3 ) ( 阶为2 5 3 3 7 ) ，吼( 2 ) ( 阶为2 6 - 3 4 5 ) 引理3 3 ( 【1 3 】) 设g 为单群，i g i = l u l ，m 为已知单群，则下述结论成立： ( 1 ) 若i m i = l a s l = i l 3 ( 4 ) 1 ，则g 竺a s 或l 3 ( 4 ) ( 2 ) 若i m i = i b 。( q ) l = i c n ( q ) j ，佗3 ，q 为奇数，则g 兰b n ( q ) 或c n ( q ) ( 3 ) 若l m l 不为上述情形( 1 ) ，( 2 ) ，则g 型m 7 有限群子群的阶，个数对群的影响第三章有限群子群的阶的集合对群的影响 引理3 4 ( 9 】) 6 0 阶非5 闭群必是单的 引理3 5 ( 1 9 ) 6 0 阶单群必同构如 定理3 1 若g 1 ，g 2 是有限单群，则虬( g 1 ) = 虬( g 2 ) 当且仅当g 1 竺g 2 证明充分性显然，下证必要性因为n 。( g 1 ) = n 8 ( g 2 ) ，所以由引理2 3 知】g 1 i = i g 2 i ，若g 1 ，g 2 为交换单群，结论显然成立现设g l ，g 2 是非交换单群，则由引理3 3 可知此时g 1 ，g 2 为a s ，l 3 ( 4 ) 或b n ( q ) ，g ( g ) ( 礼3 ，q 为奇数) ，当g 1 ，g 2 为a s ，l 3 ( 4 ) 时，由a t l a s 表知a 8 有阶为j a 7j = 2 5 2 0 的子群，而l 3 ( 4 ) 没有阶为2 5 2 0 的子群，所以 2 v 8 ( c 1 ) 眠( g 2 ) ，所以g 1 垒g 2 当g 1 ，g 2 为b n ( q ) ，g ( 譬) 时，由 1 4 ，p 7 2 】知，b n ( q ) 有极大子群0 五0 1 ( q ) ，而 i b 。( 口) ：d 元0 1 ( q ) i 隹丌t ( 瓯( 口) ) 即g ( 口) 中无阶为i o 元0 1 ( g ) i 的极大子群，下面证 明倪( 窜) 中也无阶为j d 1 ( 口) j 的子群令t = o i o l ( q ) j = 2 扩( n - - 1 ) ( 9 2 1 ) ( 擘4 1 ) ( q 2 ( n - 1 ) 一1 ) ( 矿+ 1 ) ，m 为( q ) 的极大子群，由引理3 1 知，m 共有1 2 种情形： m 为情形( 1 ) 时，令h ：垡坐2 趔，9 2 恕m ：( e l 七( 譬) xs p 2 仇( 口) ) ，则l m l1 日i ，1 日f ： q 铲( q 一1 ) ( q 2 1 ) ( q 。一1 ) ( q 2 一1 ) ( q 4 1 ) ( q 2 ”一1 ) ，其中0 k k + m = n ， 幽：三扩鱼二些：二! l 鲨二! 跹= ! 巡二坠：! 呈：二望 t2 1 ( q 2 1 ) ( q 4 一1 ) ( q 2 ( n - - 1 ) 一1 ) ( 譬n + 1 ) 此时分子，分母都含有礼项，当k = n 时， 一i u l ：一1 ( i n ! 里二! ：二1 2 ：鲨二! ! t2 ( q 2 1 ) ( q 4 1 ) ( q 2 ( n 一1 ) 一1 ) ( 口n + 1 ) 显然不整除i 曩| 当0 k 扎时，因为m 佗，所以( q ”+ 1 ) 不能与分子约去，所以 t 不整除1 日1 又l m f1 日j ，所以t 不整除i i l ，即当m 为情形( 1 ) 时，m 中无阶为t 的 子群 m 为情形( 2 ) 时，令日= 跏2 岛( g ) s p 2 。( q ) ，则1 日i = q ( k 2 + m 2 ) ( q 2 1 ) ( 口4 1 ) ( 口执一 1 ) ( 口2 一1 ) ( q 4 1 ) ( q 2 ”一1 ) ，且 z ff f h i ，0 南 m k + m = 礼，所以 一i h i ：一1 o ( n - 2 k m ) 鲨二! 巡二! l 鲨：二1 2 t2 。 ( q 2 ( k + 1 ) 一1 ) ( q 2 ( n - 1 ) 一1 ) ( g n + 1 ) 因为0 k 编 k + 仍= 视，所以( 矿+ 1 ) 不能与分子相约去，所以t 不整除1 日l ，即t 不整除l m l ，所以此时m 中无阶为t 的子群 有限群子群的阶，个数对群的影响第三章 有限群子群的阶的集合对群的影响 m 为情形( 3 ) 时，i m i = 2 m q k 2 m ( 口2 一1 ) ”( 口4 1 ) ( q 眈一1 ) m m ! ，其中 0 尼 k m = 佗，则 t i m i _ _ 2 m - 2 q k n - n 2 + n ( q 2 百_ 丽1 ) m 可- 1 ( j q 4f _ 1 瓦) m - 万1 可( = q 2 k 顶_ f 1 ) r 矿n - 1 , m ! 因为0 k k m = 礼，所以( 矿+ 1 ) 不能与分子约去，所以t 不整除i m i ，即m 中不含 阶为t 的子群 m 为情形( 4 ) 时，l m l ：口业笋( 口一1 ) ( q 2 1 ) ( 矿一1 ) ( 几3 ) ，则 t i m i 一1 2 口掣再q 薷普等q 2 地( n - - 1 ) t 1 ( 2 1 ) ( 口4 一1 ) (一1 ) ( 口“+ 1 ) 显然t 不整除i m i ，即m 中不包含阶为t 的子群 m 为情形( 5 ) 时，i m i ：口业乒( g + 1 ) ( q 2 一1 ) ( 矿一( - - 1 ) n ) ，则 丁i m i 可1 口掣番赫与等篙 显然t 不整除l m l ，即m 中不含阶为t 的子群 m 为情形( 6 ) 时，i m i = m q k 2 m ( 口2 m 一1 ) ( 口枷一1 ) ( 口鼽一1 ) ，其中k m = n ，m 为 素数，则 im!=一1qn(k-n+1)(q2m-萨1)=(q4顽m-f1j)厂(q百2(n丽-m可)-=1)(rqn-1)t 2 ( 口2 1 ) ( 口4 1 ) ( q 2 ( n 一1 ) 一1 ) 因为礼一m n 一1 ，所以( q 2 ( n 一1 ) 一1 ) 不能与分子约分，所以t 不整除i m l ，即m 中无 阶为t 的子群 m 为情形( 7 ) 时，m = ( p s p 2 七( g ) p o m ( q ) ) 2 ，其中p o m ( 口) 是o m ( 口) 的商群， 设h = ( p s p 2 ( 口) 0 。( q ) ) 2 ，则i m ii g l ，当m 为偶数时，不妨设m = 2 s ，i 驯一表示 ( p s p 2 k ( q ) o 云) 2 的阶，则 丁i g l - = 2 q k 2 - n 2 + n 器杀篙凳茹等 其中2 k s = n ，因为s 钆，所以( 矿+ 1 ) 不能与分子约分，所以t 不整除i h i 一，同理t 不 整除1 日i + ( 其中l h i + 表示( p s p 2 惫( g ) o 去) 2 的阶) 所以当m 为偶数时，t 不整除m 的阶 有限群子群的阶，个数对群的影响第三章有限群子群的阶的集合对群的影响 当m 为奇数时，不妨设m = 2 r + 1 ，此时1 日i = ；口2 + r 2 ( 口2 1 ) ( q 4 1 ) ( q 妣一 1 ) ( q 2 1 ) ( q 2 一1 ) ，其中d = ( 2 ，口一1 ) ，贝0 一i s l ：一1 。k 2 + r 2 - n ( 州) 鲨二! 烂二! l 鲨二! ! t d 1 ( q 2 ( k + 1 ) 一1 ) ( q 2 ( n - - 1 ) 一1 ) ( q n + 1 ) 其中( 2 r + 1 ) 忌= n ，所以r 1 ，则尼 1 ，否贝拈苦b = 1 ，贝8 m = g ( 口) ，矛盾所以i m i t ，即m 中无阶为t 的子群 当m 为情形( 1 0 ) 时，l i = 2 鲐2 ( 菇一1 ) ( 口8 1 ) ( q 2 n 一1 ) ，其中q = 菇，即相当 于情形( 8 ) 中的b = 2 ，所以由情形( 8 ) 的证明可知，m 中无阶为t 的子群 当m 为情形( 1 1 ) ，( 1 2 ) 时，显然i m i t ，所以m 中无阶为t 的子群 综上所述，瓯( q ) 中无阶为t 的子群，所以s ( 玩( g ) ) 虬( g ( 口) ) ，即当g 1 ，g 2 为 风( q ) ，g ( 口) 时，g 1 竺g 2 定理3 2g 笺a s 当且仅当地( g ) = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，1 0 ，1 2 证明必要性显然，下证充分性若s ( g ) = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，1 0 ，1 2 ，则丌( g ) = 2 ，3 ，5 ) ， 否则若7 7 r ( g ) ，则肌( g ) 中存在7 的倍数，这与s ( g ) = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，1 0 ，1 2 相矛 盾，所以可设l g i = 2 i 3 i ：- 5 i 3 ，若i 3 2 ，设p 是g 的s y l o w2 一子群，则i g ：p i = 3 i ：5 i 3 ， 无论i 2 ，i 3 取何值，3 i 2 5 i 。隹s ( g ) ，所以i 3 = 1 若i 2 2 ，同理设p 是g 的s y l o w2 一子群，则l g ：p i = 3 i 扎5 ，但3 i 。5 4 5 圣玑( g ) ， 有限群子群的阶，个数对群的影响第三章有限群子群的阶的集合对群的影响 所以i 2 = 1 另外i a = 2 ，若i l = 1 ，则l g l = 2 3 5 ，又因为1 2 u s ( c ) ，所以1 2 整除 l g i ，矛盾若i l23 ，设p 是g 的s y l o w5 一子群，则l g ：p i = 2 i 。3 2 4 隹u s ( c ) ，所 以i 2 = 2 ，即i g l = 2 2 3 5 = 6 0 若g 可解，则由p h a l l 定理知，g 中有1 5 阶子群，但1 5 岳肌( g ) ，所以g 不可 解若g 是5 一闭的，设p 5 是g 的s y l o w5 一子群，则b 司g ，f g p 5 i = 2 23 ，所以g r 可解，又r 是可解的，所以g 可解，矛盾所以g 是非5 一闭的，由引理3 4 可知， g 是单的，由引理3 5 得到g 笺a 5 定理3 3g 垒l 2 ( 7 ) 当且仅当肌( g ) = 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，7 ，8 ，1 2 ，2 1 ，2 4 证明 必要性，由a t l a s 表知，l 2 ( 7 ) 的极大子群为& ，7 ：3 ，所以虬( l 2 ( 7 ) ) = 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，7 ，8 ，1 2 ，2 1 ，2 4 充分性，设i g i = p 砖，其中p l p 2 1 ，则虬( g ) 中存在1 4 的倍数，矛盾所以i 3 = 1 i 2 = 1 ，否则若i 2 1 ，则虬( g ) 中存在9 的倍数，矛盾所以i 2 = 1 i l = 3 ，若i 1 4 ，则s ( g ) 中存在1 6 的倍数，矛盾所以i 1 3 ，若i 1 = l ，则 i g i = 2 3 7 ，所以4 不属于玑( g ) ，矛盾若i l = 2 ，则l g i = 2 2 3 7 ，所以8 不属于 肌( g ) ，矛盾故i l = 3 ，即i g i = 2 3 3 7 = 1 6 8 若g 可解，则由p h a l l 定理可知，g 中存在 2 7 卜h a l l 子群日，且f h i = 5 6 ，但 5 6 不属于s ( g ) ，矛盾所以g 不可解，设1 = g 1 g 2 g n = g 是g 次正规 子群，因为g 不可解，所以存在某个i 使得g i + 1 g i 为非交换单群，又l g 件1 c i 整除 i g i = 1 6 8 ，所以i g i + 1 g i = 1 6 8 ( 因为阶不大于1 6 8 的非交换单群只有a 5 ，l 2 ( 7 ) ) ，此时 只能g i + l