（基础数学专业论文）迭代保次的平面多项式映射及一个迭代方程的解.pdf

第i 页 迭代保次的平面多项式映射 及一个迭代方程的解 基础数学专业 研究生石勇国指导教师张伟年 非线性科学已成为现代科学研究的一个热点，其中迭代动力系统扮演着十 分重要的角色它在混沌方面的研究结果给人们整个知识体系带来了继相对论 与量子力学之后又一次巨大的冲击而迭代方程是以迭代为基本运算形式的方 程，它与动力系统、微分方程、差分方程及积分方程成为紧密相关的现代数学分 支，深刻地影响着自然科学与工程技术的发展在本文的绪言中简要地介绍了 动力系统和迭代方程的发展历史，提出了本文主要解决的问题 第二章总结了有关共轭的一些结论共轭是研究动力学性质最基本而且最 重要的工具我们简要地介绍有关s c h r 6 d e r 方程的一些结论、共轭的性质以及 共轭在动力系统标准化中应用的具体例子 第三章研究了任意次迭代次数仍不增的平面多项式映射计算一个多项式 映射的迭代是十分困难的迭代使得一维非线性映射的次数迅速地增加，但是 一个有趣的现象是某些二维非线性映射经过迭代后次数不会超过原来的次数 寻找任意次迭代都保次的平面多项式映射是一个计算量非常大的工作，还涉及 到定理机械证明的方法本文克服了这些困难，给出了两条简单而且有效的方 法判别一个平面多项式映射是否迭代保次在本章，对于二维2 次这样的多项 式映射我们给出了充分必要条件；对于一般的二维f ( 2 2 ) 次这样的多项式映 射，其中一类我们给出了充分必要条件；剩下的一类，我们也给出了充分条件 第四章研究了迭代方程，= 1 i f 一个函数的逆何时等于它的倒数，这个 问题实际是要求解函数方程f - 1 = 1 f 许多数学研究者对此都很感兴趣一些 人证明了这样的函数的存在，并且在区间( 0 ，0 0 ) 可能有无穷多个不连续点；另 第i i 页 外一些人给出了函数方程f _ 1 = i f 的实解的完整描述和所有的亚纯解我们 知道，描述一个迭代函数方程大范围的解和刻画一个非单调函数的迭代根都是 非常困难的本文在前人的基础上，不仅给出了上面方程f l m = i f 的所有逐 段连续解的构造方法，而且在复数域范围内，我们给出了它的大范围解析解的 精确公式这些结果推进了前人的主要结论，也对非单调函数迭代根问题取得 了一些进展 关键词：迭代，多项式，迭代保次，平面映射，迭代函数方程 a b s t r a c t 第i i i 页 t h ei t e r a t i v e l yd e g r e e - p r e s e r v i n gp l a n a rm a p s a n d t h es o l u t i o n so fo n ei t e r a t i v ee q u a t i o n m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：y o n g g u os h i s u p e r v i s o r ：w e i n i a nz h a n g n o n l i n e a rs c i e n c eh a sb e c o m eah o tt o p i ci nw h i c hi t sb r a n c h i t e r a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m ( i d s ) p l a y sa k e yr o l e r e s u l t so fi d si nc h a o sh a v eb r o u g h ta s e c o n ds u r g eo nt h eo v e r a l lh u m a nk n o w l e d g ea sh a dd o n et h et h e o r yo fr e l a t i v i t y a n dq u a n t u mm e c h a n i c si t e r a t i v ee q u a t i o n s ，e m p l o y i n gi t e r a t i o na st h eb a s i c o p e r a t i o na n dt h r o u g hi n t r i n s i cc o n n e c t i o n sw i t hd y n a m i cs y s t e m ，d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，a n di n t e g r a le q u a t i o n s ，h a v ep r o f o u n di n f l u e n c e o nn a t u r a ls c i e n c e sa n dt e c h n o l o g i c a ld e v e l o p m e n t t h ep r e f a c eo ft h i st h e s i s s u m m a r i z e st h eh i s t o r yo fd y n a m i cs y s t e ma n di t e r a t i v ee q u a t i o n ，a n dp o s e st h e p r o b l e m st h et h e s i st r i e st os o l v e c h a p t e r2p r o v i d e ss o m er e s u l t so nc o n j u g a c y , w h i c hi st h em o s tb a s i ca n d i m p o r t a n tt o o lt oe x t r a c tc e r t a i nc h a r a c t e r i s t i c so fd y n a m i cs y s t e m s w ew i l l i n t r o d u c eb r i e f l ys o l n er e s u l t so ns c h r s d e re q u a t i o n ，t h ep r o p e r t i e so fc o n j u g a c y , a n dp r o v i d ec o n c r e t ee x a m p l e so nt h ea p p l i c a t i o n so fc o n j u g a c yi nn o r m a l i z a t i o n o fd y n a m i cs y s t e m s i nc h a p t e r3i sd e v o t e dt ot h es t u d yo fi t e r a t i v e l yd e g r e e _ p r e s e r v i n gp l a - n a rp o l y n o m i a lm a p s c o m p u t a t i o no fi t e r a t e so fap o l y n o m i a lm a p i sd i f f i c u l t i t e r a t i o ni n c r e a s e st h ed e g r e eo fa1 - dn o n l i n e a rp o l y n o m i a lm a ps h a r p l 矿b u t a ni n t e r e s t i n gp h e n o m e n o ni st h a ts o m ee x a m p l e so f2 - dn o n l i n e a rp o l y n o m i a l m a p sw h o s ei t e r a t e sh a v ed e g r e e sn og r e a t e rt h a nt h e m s e l v e sd oe x i s t t of i n d t h i sk i n do fp o l y n o m i a lm a p si saw o r ko fb i g g i s hc o m p u t a t i o n a le f f o r t sa n da l s o 第i v 页 a b s t r a c t i n v o l v e di nm e t h o d so fm e c h a n i c a lt h e o r e mp r o v i n g b r e a k i n gt h r o u g ht h i sd i f - f i c u l t y ，w ep r o p o s et w oe a s yb u te f f e c tm e t h o d st h a td e t e r m i n ew h e t h e rap l a n a r ( ie ，2d i m e n s i o n a l ) m a pi sd e g r e e - p r e s e r v i n gu n d e ri t e r a t i o n s s p e c i f i c a l l yi n t h i sc h a p t e r ，an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t ( i f f ) c o n d i t i o no ht h ed e g r e e - i n v a r i a b i l i t y u n d e ri t e r a t i o n so ft h ep l a n a rp o l y n o m i a lm a p so fd e g r e e2i sg i v e nw h i l ef o r g e n e r a lp l a n a rp o l y n o m i a lm a p st h a ta r ec a t e g o r i z e di n t ot w oc l a s s e s jw ep r o v i d e a ni f rc o a d i t i o nf o ro n eo ft h e m a n dt h eo t h e rw i t has u 衔c i e n tc o n d i t i o n i nc h a p t e r4 ，t h ei t e r a t i v ee q u a t i o n ，【”】：1 fi si n v e s t i g a t e df o ra na r b i t r a r yi n t e g e rmg i v e ni ti sa ni n t e r e s t i n gp r o b l e mw h e nt h ei n v e r s eo faf u n c t i o n a n di t sr e c i p r o c a ld om e a nt h es a m et h i n g t h i sp r o b l e mp r o p o s e saf u n c t i o n a l e q u a t i o nf 一1 = 1 fa n d w a si n v e s t i g a t e db ym a n y m a t h e m a t i c i a n ss o m ep e o p l e p r o v e dt h a tt h o s ef u n c t i o n sfe x i s ta n dm a y h a v ea ni n f i n i t en u m b e ro fd i s c o n t i n u i t i e so n ( 0 ，o o ) o t h e r sd i s c u s s e dt h ee q u a t i o nm o r eg e n e r a l l yo nt h er e a ll i n e ra n dt h ec o m p l e xp l a n eca n dg a v eac o m p l e t ed e s c r i p t i o nf o rr e a ls o l u t i o n s o nra n da n a l y t i cs o l u t i o n sa n dm e r o m o r p h i cs o l u t i o n so nc a sk n o w n i t i sv e r yd i f f i c u l tt od e s c r i b eg l o b a ls o l u t i o n so fm o r eg e n e r a li t e r a t i v ef u n c t i o n a l e q u a t i o n sa sw e l la st oc o n s t r u c ti t e r a t i v er o o t so fo n en o n m o n o t o n i cf u n c t i o n b a s e do nt h er e s u l t so ft h et r a i l b l a z e r s ，w eg i v et h ec o n s t r u c t i o no fa l lp i e c e w i s e c o n t i n u o u ss o l u t i o n so ft h ee q u a t i o nf l ”】= 1 fi nt h ec o m p l e xp l a n ec w e p r o v et h a tt h i se q u a t i o nh a se x a c t l ym 一1m e r o m o r p h i cs o l u t i o n sa n dg i v et h e e x p l i c i tf o r m u l ao ft h e s es o l u t i o n s t h e s er e s u l t sg e n e r a l i z et h er e s u l t so ft h e t r a i l b l a z e r sa n dh a v ea l s os o m ed e v e l o p m e n to nc o n s t r u c t i n gi t e r a t i v er o o t so f o n en o n 。m o n o t o n i cf u n c t i o n k e y w o r d s ：i t e r a t i o n ，p o l y n o m i a l ，i t e r a t i v e l yd e g r e ep r e s e r v i n g ，p l a n a r m a p ji t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n 致谢 本文是在导师张伟年教授的严格细心的指导下完成的 多年来，是导师始终不渝的关怀、鼓励、教诲和帮助，使作 者得以顺利完成学业他诲人不倦的师德、严谨的学风和在 动力系统方面的造诣给予作者深刻的启迪和影响，使作者受 益终身在此，作者向导师表示深深的敬意和感谢! 作者衷心感谢加拿大w a t e r l o o 大学c h e i 凯n g 教授 给予的指点 衷心感谢博士研究生陈丽、张万雄和陈兴武的指导和帮 助感谢同班同学邹兰、陈晓丰、廖静池和王志华多年来的 帮助 感谢所有关心、支持和帮助我顺利完成学业的老师、同 学和朋友也感谢我的家人多年来对我的理解和支持 第一章绪论 2 0 世纪下半叶，数理科学中最为活跃、引人瞩目并又影响深远的研究邻域 无疑就是非线性理论它的应用涉及到物理学、化学、生理学、天文学、地理学、 生物学乃至经济学和社会科学等许多学科同时，它在混沌方面的研究结果给 人们整个知识体系带来了继相对论与量子力学之后又一次巨大的冲击目前， 非线性理论已渗透到几乎所有的学科之中，其所起的作用相当于微积分在1 9 世 纪对自然科学与工程技术的影响一样 “动力系统”起源于n e w t o n 研究物体运动的动力学，它刻画了物体的状态 ( 位移、速度等) 随时间变化的规律后来，人们将现实问题中的状态( 如温度、浓 度、密度、价格和产量等) 随时间的变化的关系也广义地称之为动力系统在数 学表示上，动力系统有微分方程形式的连续型动力系统和差分方程形式的离散 型动力系统，两者的差别在于系统的状态变化在时间上是连续的还是离散的连 续型动力系统可以通过取时间“1 ”离散化，从而得到相应的离散型动力系统 离散型动力系统如果可以嵌入流，则可以转化到连续型动力系统那么，“非线 性动力系统”就是那些在数学表示上能够用非线性微分方程或差方程描述的系 统例如，气象上描述大气对流过程的l o r e n z 方程，化学反应中的扩散方程， 电学中的v a nd e rp o l 方程，生物学中反映种群数量变化的v o l t e r r a 方程，经济 学中的蛛网模型和世代叠交模型( o v e r l a p p i n gg e n e r a t i o n sm o d e l ) 等等都是著 名的例子 人们在研究天体力学中著名的三体问题时候，发现无法求其解析解( 以函 数或级数形式表示的解)并且开始意识到可能该方程本身是不可求积( 求解) 的首先明确指出这一点的是被认为非线性动力系统之父的数学家兼哲学家h p o i n c a r d 鉴于此，hp o i n c a r d 开创了对相空间中微分方程全局性问题的定性 研究，并首先格拓扑分析方法和分支概念引入到微分方程中正是由于他远见卓 识的思想启发了后来人们对非线性动力系统研究到了2 0 世纪2 0 年代，v a n d c rp o l 对电路振荡进行深入的研究，导致了奇异微扰理论的建立，a n d r o n o v 在运动方程的研究中引入了结构稳定性概念在世纪5 0 年代，由k o l m o g o r o v 第2 页第一章绪论 提出，a r n o l d 和m o s e r 证明的卡姆( k a m ) 定理，对不可积h a m i l t o n 系统动 力学渐近行为作出了重大的突破，人们认识到在不可积的h a m i l t o n 系统相空间 中，一般都包含有无规则运动的区域1 9 6 3 年，美国气象学家l o r e n z 采用数 值计算的方法对他提出的模型进行分析，形象生动地给出了混沌理论中“蝴蝶 效应”同时，a r n o l d 给出的“猫映射”s m a l e 描述的“马蹄映射”，从离散动 力学角度对混沌形成作出了拓扑学上形象的解说2 0 世纪7 0 年代末，美国人 f c i g e n b a u m 从简单的差分方程迭代运算中发现了倍周期分岔现象的标度规律， 随后他用重正化群方法证明这种标度规律的普适性，并计算出了普适的标度常 数他的这一工作大大地激发了人们对非线性动力学的研究兴趣，越来越多的 动力系统中所存在的混沌现象被揭示出来关于通向混沌之路过程的研究，使 人们看到了从有序向无序发展，而对于混沌中的结构和统计性质以及整个系统 演化中的普适性规律的不断深入研究，使人们认识到系统从无序重新走向新的 有序( 见【6 6 ) 1 1 共轭与共轭方程 共轭是研究动力学性质最基本而且最重要的工具通过共轭，我们可以将 双曲映射局部线性化( 即h a r t m a n 线性化) ，从而研究映射的结构稳定性；通过 共轭，我们可以研究映射的规范形由s m a l e 马蹄映射可以共轭到符号动力系 统那么，在我们研究映射动力学性质的时候，寻找桥函数h ，使得映射是否共 轭到符号动力系统，从而研究混沌现象 考虑下面的共轭方程 ( ，( z ) ) = 9 ( ( 。) ) ( 1 1 1 ) 如果方程( 111 ) 存在双射的解h ：x y ，那么映射f ：x x 和g ：y y 称为共轭的称双射h 为桥函数或共轭函数 与方程( 1 11 ) 有关的重要类型有：s c h r s d e r 方程( 当x 和y 为r 的子 集) 口( ，( z ) ) = s a ( z )( 1 1 2 ) 1 2 非线性映射迭代的复杂性第3 页 其中5 瓞“。”，和a b e l 方程 口( ，( z ) ) = a ( x ) + a ，a k n( 1 13 ) 它们分别表示函数，与线性函数g ，g ( v ) = s y 和g ( y ) = y + a 共轭；还有 b s t t c h e r 方程( 当g ( y ) = y v 和n = 1 ) p ( ，( z ) ) = 口( z ) 】9( 1 14 ) 以及交换函数方程 ( ，( z ) ) = ，( ( z ) )( 1 15 ) 在第二章，我们简要地介绍有关s c h r 6 d e r 方程的一些结论，共轭的性质以 及共轭在动力系统标准化中应用的具体例子 1 2非线性映射迭代的复杂性 很多现代科学研究领域都和迭代有关如分形、混沌、信号处理等等p 觇 设f ：x x 是集合x 到自身的一个映射，对正整数n ，记 ，o ( o ) = x ，f “( z ) = fo f ”1 ( z ) ，z x ， 其中。表示函数的复合，称广为，的n 次迭代p “ 迭代是自然界和人类生活中的普遍现象x 射线的透射可看作射线衰减 率的迭代，流体渗流、传热、生物体的生长、人口预测等过程也都包含了迭代现 象在计算机科学研究中，由于计算机技术的飞速发展，迭代运算便于在计算机 上实现的优点凸现出来，各种各样的计算问题，在计算机上都可应用迭代程序 求解在数学中，递推关系，差分方程，逼近微分方程解的p i c a r d 序列，后继 函数和相空间的p o i n c a r 6 , 映射都是迭代事实上微分方程的许多定性问题都可 以化为拓扑空间上的连续映射的迭代来处理通过对迭代的研究，我们可以预 侧系统在未来的状态和发展趋势有时通过迭代我们也可以追溯系统在过去的 运动过程因此，研究迭代的规律非常重要 第4 页第一章绪论 有关映射迭代的研究，至少可追溯到一百多年以前s c h r 6 d e r l 53 1 、a b e l ( 1 】 和b a b b a g e l l 7 1 等数学家的工作由于迭代运算是一种非线性运算，它与代数运 算的迥然不同，研究工作艰难曲折到了近代，在物理学、化学、天文学、力学 等学科的推动下，非线性动力系统的研究成为世界范围内的学术热点并不断作 出重大发现 在上个世纪，人c f x 十于一维映射的研究取得了丰硕的成果1 9 6 4 年， s a r k o v s k i i l 础】首先发现了一维函数周期性的序关系但在十几年的时间内没有 被人们所重视直到1 9 7 5 年，l i 和y o r k e 在美国数学月刊上发表了一篇题 为“周期3 蕴含着混沌”的短文【列】，其中证明了沙可夫斯基定理的一个特款， 立即引起了人们广泛的兴趣以及三十多年前在数学、物理、生物等多个学科引 人注目的费根堡( f e i g e n b a u m ) 现象i 列，n ，列】得到的f e i g e n b a u m 常数可以 与圆周率”、自然常数e 和黄金分割数相媲美这些工作促进了现代迭代理论 的发展，而且影响深远 人们对于二维映射的研究也毫不逊色早在二十世纪初，j u l i a 就研究了二 次多项式f ( z ) = 轳一c 的迭代【“j m a n d e l b r o t 在复数域中也研究了这样的多 项式的迭代【4 1 ，删】，它可以实化成平面映射f ( x ，y ) = ( z 2 一y 2 一白，2 x y q ) ， 其中c r q 分别为参数c 的实部和虚部著名的j u l i a 分形集就是对固定某个c 时，由所有使得，的极限集有界的初始值z o ，y o 组成，而m a n d e l b r o t 分形集则 是由所有使得，的极限集有界的参数值c 组成之后，人们构造了许多的映射 | 4 4 ”j ，研究了它们的极限集，得到了许多优美的分形图案一类研究得很多的 平面多项式映射是h 6 n o n 映射【弱】：h ( x ，y ) = ( 1 + y a x 2 ，k ) 当b l 很小时， h ( xy ) 和l o g i s t i c 映射b ( z ) = p z ( 1 一z ) 一样会发生倍周期分岔现象i 驯】，直 到产生混沌的吸引子其他一些映射，如所产生的奇怪吸引子不同于h 4 n o n 映 射的c m l 模型【、k a w a k a m i 映射f 2 6 】以及变形的k a w a k a m i 映射【27 j 也 为人们所深入研究在平面映射中参数变化和非线性项的影响，导致了复杂而 有趣的现象产生有大量的工作致力于这方面的研究( 见f 1 8 ，2 5 ，3 3 ，3 4 1 ) 5 13 迭代方程第5 页 1 3 迭代方程 迭代方程作为现实世界中抽象出来的一种十分重要的模型，具有广泛的现 实意义和应用背景事实上，研究动力系统不变流形的典型方法( p e r r o n 和b o g o l i u b o v 方法) 归根到底是把问题化成一个迭代方程例如，简单地考虑一平 面映射t ：( z ，y ) 一( y ，f ( x ，) ) ，其不变曲线y = h ( x ) 必定满足方程 ( ( z ) ) = ，( z ， ( z ) ) 【3 l ，4 n ，此外，研究倍周期分岔f l l ，4 跏涉及的f e i g e n b a u m 方程f ( x ) = 一，( ，( 一o z ) ) n 就是一个迭代方程在动力系统许多方面的研究如保守微分同胚 的横截同宿点【“j 、规范形问题h 等都要涉及讨论迭代方程 考虑下面的迭代方程 尸( z ) = 9 ( z ) ( 1 3 1 ) 其中9 ( z ) 给定如果函数，满足方程( 1 3 1 ) ，我们称，为函数9 ( z ) 的m 次的 迭代根对于求一般函数方程的解，用逐段定义是非常有效的方法 求迭代根是一个古老的问题，早在百年前，b a b b a g e 1 l 。a b e l 1 1 等数学家 就开始了这方面的研究迭代根又牵动着动力系统这一现代数学分支的发展， 多年来一直被人们所关注1 9 5 0 年i s a a c s 列】在一篇精辟的论文中完成了一个 奠基性的工作，给出了抽象集上自映射的迭代根存在的充分必要条件关于复 函数，在k o e n i g s 曲】局部结果的基础上，1 9 5 0 年k n e s e r h j t ) 做出了整函数e 2 的二次迭代根的全局结果之后r i c e m 】等人作了进一步的工作关于实函数， b 6 d e w a d t in 、f o r t 2 4 、k u c z m a m 等人的工作具有开创性，近三十年来这方 面的工作又有不断的推进关于区间上逐段单调连续映射的迭代根，1 9 8 3 年张景 中和杨路【“j 讨论了逐段单调连续函数的迭代根，得到了非常漂亮的结果，使 得这一古老而困难的课题有了新的进展，为中国函数方程领域作出了开拓性的 贡献在他们的指引下，科研工作者前仆后继，得到了这方面的许多成果如孙 太祥和席鸿建等人【5 9 ，6 0 ，6 1 ，6 2 ，6 3 给出了区间上k 段单调连续映射具有k 阶 迭代根的充要条件、讨论了区间上所有型函数、反型函数、平顶单峰双 峰连续自映射的迭代根问题；张广远j 7 0 , 儿】得到了一类线段自映射互相共轭的 充要条件，并研究了另一类区间自映射的共轭及迭代根的存在问题；麦结华【4 j 】 给出了圆周上自同胚有v 阶迭代根的充要条件有关迭代根的研究，波兰数学 第6 页第一章绪论 家kb a r o n 、w j a r c z ) r k 【3 l 以及张景中、杨路和张伟年1 7 3 1 都有较为全面的 综述 作为对迭代根问题的自然推广，人们对各种迭代函数方程的研究产生了浓 厚的兴趣文献【3 7 】总结这方面早期的工作近几十年来，又涌现出一些好的工 作这方面的工作大致可分为三个方面，一方面是方程中关于迭代是线性的，即 所谓线性型( 或多项式型) 的迭代方程；另一方面是方程中关于迭代是非线性的 迭代方程，即所谓非线性型迭代方程；第三方面是平面映射的不变曲线方程关 于二阶迭代方程的研究直接起源于平面映射的不变曲线问题例如，w a g n e r 6 4 ， n a b e y a 4 6 】和d h o m b r e s 1 5 1 在分别研究某类不变曲线问题时，最终都归结到讨 论下面的迭代方程 ，2 ( z ) = a f ( x ) + ( 1 一a ) x 的解后来，赵立人 6 9 1 用函数级数逼近法对更一般的二阶方程 a j ，( 。) + a 2 f 2 ( 。) = = f ( z ) ，z ，= f a ，6 进行了研究，然而对一般的n 次迭代方程用级数逼近法却变得十分困难 1 9 8 6 年，张伟年1 7 4 ，7 5 首次用不动点理论研究了如下多项式型迭代方程 a l ，( z ) + a 2 ，2 ( z ) - t - + a 。，“( z ) = f ( z ) ，z ，= 【a ，b 】 在所谓规范化假设：。a 。= 1 下，给出了此方程连续解的存在性、唯性和稳 定性定理近年来，这方面的研究不断取得了新进展 5 5 ，6 5 ，6 7 ，6 8 - 1 4 本文的主要进展 上面5 1 2 小节所提到的著名映射在迭代运算下多项式的次数都会不断增 加然i l i i - 个有趣的现象是有些平面多项式映射在迭代下次数不会增加如； 唯卜协 j a - ， 其中x = c o l ( x ，口) ，c o l 表示列向量由数学归纳法易得： 州x ) 一 ，纠， 5 1 4 本文的主要进展第7 页 于是p ( x ) 的次数不大于f ( x ) 的次数人们希望找到所有这样在迭代运算下 次数不增加的平面多项式映射用d e g ( f ) 表示多项式f 的次数如果f 满足： d e g ( f ”) d e g ( r ) ， v n 2 ， ( 1 4 2 ) 则称f 是迭代保次的用c ”k 引表示所有复数域中关于z ，y 的n 维多项式 的全体考虑一般的平面2 次多项式映射f ：c 2 一c 2 ，r ( x ) c 2 k 乩其中 x = c o l ( x ，) 若f = 1 ，则显然f 是迭代保次的寻找任意次迭代都保次的平面 多项式是一个计算量非常大的工作，还涉及到机械证明的方法本文克服了这 些困难，给出了两条简单而且有效的方法判别一个平面多项式映射是否迭代保 次在第三章，对于二维2 次这样的多项式映射我们给出了充分必要条件；对 于一般的二维t ( z 2 ) 次这样的多项式映射，其中一类我们给出了充分必要条 件；剩下的一类，我们也给出了充分条件 另外一个有趣的问题是一个函数的逆何时等于它的倒数这个问题实际上是 一个函数方程，- 1 = 1 i ，许多数学家都研究过此问题阢6 ，心1 e u l e r 和f o r a n 圳证明了这样的函数的存在，而且在区间( 0 ，( 3 0 ) 可能有可数无穷多个不连续 点在1 9 9 8 年，c h e n 等i 刨在r 和复平面c 上讨论这个函数方程更一般的情 形，给出了实解的完整描述和所有的亚纯解我们要问一般的情形：什么时候函 数的m 次迭代与n 次幂相等，即 f l ”i = f “，( 1 4 3 ) 其中m ，n z 这里，的m 次的迭代，用，l ”l 表示即t i m ( x ) = ，( ，【r n - - 1 1 ( z ) ) 和眦z ) = z 当，可逆时，注意到f t 一1 】= f 对于m 2 与n 1 的情形，n g 和张伟年1 4 8 1 考虑了方程( 1 4 3 ) 并且描 述了所有连续的实解 在第四章，我们继续他们的研究，对于m 为任意的正的或负的整数和n = 一1 ，讨论了方程( 1 4 3 ) ，即下面的迭代方程 ，【”】= 了1( 1 4 4 ) j 我们知道，描述一个迭代函数方程大范围的迭代根和刻画一个非单调函数的迭 代根都是非常困难的在 8 和【4 8 的基础上，我们不仅给出了方程( 1 44 ) 的 第8 页第一章绪论 所有逐段连续解的构造方法，而且在复数域范围内，我们给出了它的大范围解 析解的精确公式这些结果推进了( 8 】的主要结论，也对非单调函数迭代根问题 取得了一些进展 全文共分四章第一章简要地介绍了动力系统和迭代方程发展的历史，提 出了本文将要解决的主要问题第二章总结了关于共轭以及s c h r 6 d e r 方程的一 些结论第三章研究迭代保次的平面多项式映射第四章研究了一个迭代函数 方程的逐段连续解与亚纯解 第二章共轭与s c h r s d e r 方程 在本章，我们将讨论关于共轭的一些结论和共轭方程( 11 1 ) 的特殊类型 s c h r s d c r 方程 o ( j ( z ) ) = s 口( z )( 2 01 ) 在第一节，我们简要地介绍一个s c h r s d e r 方程的局部解析解的结论及其关 于解析迭代根的一个重要定理；第二，三节，分别介绍了共轭的性质以及共轭在 动力系统标准化中应用的具体例子 2 1s c h r s d e r 方程的解 设x 为任意的集合，和g 在x 上是自映射我们寻找变量替换z 7 = h ( x ) 将，变成9 关系式子y = g ( z ) 在新坐标下应取形式y = g ) 分别用h ( y ) 代 替y ，h ( x ) 代替，因此我们得到h ( y ) = 9 ( ( z ) ) ，或者 ( ，( z ) ) = 9 ( ( z ) ) ( 因为 y = ，( z ) ) 通常我们要求函数h ( z ) 具有某些附加性质，因为我们想返回原来变 量，应要求 ( z ) 可逆我们经常要求h 充分正则通常人们感兴趣的是两个函 数是通过d 类函数共轭还是通过一个解析函数共轭( 当x 是c “的子集) 变量替换是一种常用的化简手段假设在某集合x 上研究下面的方程 设存在可逆解i ：x x ，令z 7 = 五一1 ( z ) ，妒= h 。 ，则方程( 2 1 1 ) 变为 f ( ( z ，) 妒( z ，) 1 1 】f 】( 9 ( z ，) ) ) = 0( 212 ) 于是将，变为g 如果g 比，更简单，则方程( 212 ) 比( 2 1 1 ) 更容易解决 下面我们给出一个特殊情形s c h r s d e r 方程解的表达式，更多的结果参见 3 7 ，3 8 1 9 第1 0 页第二章共轭与s c h r s d e r 方程 定理2 1 1 设xcc 是原点的邻域，：x c 是非平凡的解析函数，满足 f ( o ) = 0 且，7 ( o ) = s 如果s 是p - 次单位根，则s c h r 5 d e r 方程一j 矽有原点 邻域的局部解析解当且仅当 广( z ) = z 并且其通解为 p 一1 ( z ) = s 1 妒( ，( 。) ) ， i = o 其中# 是原点邻域任意的解析的函数 定理2 1 2 设xcc 是原点的邻域，：x c 是非平凡的解析函数，满足 f ( o ) = 0 且，( o ) = s 如果s ( 0 ，1 ) 或s 属于s i e g e l 集，则映射，剐好有 个局部解析的次迭代根是某个固定的正整数j ，所有根由下面的公式给出 庐( z ) = 1 7 - 1 ( s 1 盯( z ) ) ，z ucx 其中s l “代表任意s 的个复根中的一个，u 为原点或不动点的邻域，且 口：l i m 型，z u n + s n 。 是s c h r s d e r 方程口0 ，= s o 的一个局部解析解 相应的证明参看 3 7 ，3 8 2 2 共轭的性质 很多情形，从某点的局部邻域( 通常是，的不动点) ，变到g 只是充分的于 是我们需要寻找方程 ( ，( z ) ) = g ( ( z ) ) 局部可逆的解h 假设x 是= 0 r 的一个邻域( 不失一般性，我们总能够将平移到原点) ，当 d e t 彤( o ) 0 ，( 2 2 1 ) 那么h ：x x 在0 周围一定可逆更进一步，为了保持，的不动点为0 ，我 们假定 h ( o ) = 0( 2 2 2 ) 2 2 共轭的性质第1 1 页 我们首先介绍光滑共轭的定义及符号 定义2 2 1 函数f ：x x 和g ：x x ，其中x 是在r “原点的一个邻 域，称为是c 7 共轭或a - 共轭的当且仅当存在一个有r ( 1 ) 阶连续偏导r 或 解析，的函数h ( z ) 满足俾2j ，和偿2 到，并且使得，一( r 扛) ) = 9 ( ( z ) ) 在原点 的邻域成立 这样出现在上面定义下的每个函数构成了一个群在函数复合的运算下， 容易得到，每个共轭关系是传递的如果在某个函数类里，任意两个函数通过同 一个函数 共轭，则他们是自共轭的 下面是我们总结两个结果： 定理2 2 1 设x 是k “原点的一个邻域，设函数_ 厂：x x 和g ：x x 在 原点处可微，且f ( o ) = g ( o ) = 0 如果，和g 是伊- 共轭或a 一共轭，那么矩 阵，( o ) 与9 7 ( o ) 共轭因此他们有相同的j o r d a n 标准形 证明对于h0 f = g 。h 可微，我们得到 ( ，( z ) ) ，( z ) = 9 ( h ( z ) ) 7 ( z ) 由( 2 2 1 ) ，当令z = 0 ，我们有 ，( 0 ) = c - 1 9 ，( 0 ) g ， 其中c ：= 7 ( 0 ) ，即表示，( o ) 与g l ( 0 ) 共轭或相似 口 当条件f ( o ) = 9 ( o ) = 0 不满足时，由张筑生著的书中【7 8 】关于双曲线性映 射的局部共轭分类可知，两个局部共轭的线性映射不一定有相同的j o r d a n 标 准形例如：a 1 = d i a g ( 2 ，2 ) 和a 2 = d i a g ( 一2 ，- 3 ) 下面的定理给出了共轭与轨道结构之间的联系 定理2 2 2 函数f ：x x 和9 ：x x 是共轭的当且仅当它们是轨道同构 的，即对任意的7 n ，n n 和每个z ，x ，存在一个双射h ：x y 使得 ，”( z ) = ，“( ) 甘g m ( ( z ) ) = 9 “( ( ) ) ( 2 23 ) 第1 2 页第二章共轭与s c h r s d e r 方程 证明如果，和g 共轭，则存在h ：x y 使得ho f = g o h 成立于是由归 纳，h0 ，t = 9 1oh ，i n 则 ，”( z ) = ，“( y ) 辛h 。，“( z ) = g ”。 ( ) g m ( ( z ) ) = 9 “( ( ，) ) 相反，如果( 223 ) 成立，那么对于m = 1 ，n = 0 ，我们有9 ( ， ( z ) ) = ( ”) 当 = ，( 。) ，即是，和g 通过h 而共轭 口 上面的性质说明同一共轭函数类的函数具有相同的动力学性质更进一步， 他们也有共轭的迭代根 2 3 共轭的应用 共轭是研究动力学性质最基本而且最重要的工具下面我们给出两个简单 而具体的应用 例2 3 1 研究二次映射f ( x ) = o z 2 + b x + c 对于不同的参数情况，我们分两类 进行讨论 当( 6 1 ) 2 4 a 一1 0 时，作同胚 z ) = t - b 2 + 2 b + 4 a c z 一去 且设 、一b 2 + 2 b + 4 a c 2 面一 于是有g l ( x ) = 九i 10 f oh l ( x ) = 1 一a z 2 当( b 一1 ) 2 4 a 一1 = 0 时，作同胚 吲z ) = ：1 z 一去， 于是有9 2 ( x ) = 崎1o fo h 2 ( z ) = z 2 因此研究二次映射f 的动力学性质，只需要研究g l = 1 一a 。2 和9 2 = z 2 的性质 23 共轭的应用第1 3 页 例2 3 2 研究研究单位区间上的单峰函数，( z ) = 4 z ( 1 一z ) ，z 【0 ，1 】作同胚 ( z ) ：= s i n 2 ( 等) ，z i o , 1 】_ 则 北) = h - lo fo h ( z 卜2 x , 叫，糍i 于是 将曲线单峰函数，共轭到折线单峰函数9 因此研究复杂的曲线函 数动力学性质，可以先考虑简单的折线函数性质 第三章迭代保次的平面多项式映射 用c “ky 表示所有复数域中关于z ，y 的n 维多项式的全体在本章，我们考 虑一般的平面1 次多项式映射f ：c 2 一c 2 ，f ( x ) c 2 k ，y 】，其中x = c o l ( x ，) 若f - 1 ，则显然f 是迭代保次的在第一节，我们给出了平面z ( z 2 ) 次多项 式映射f 迭代保次的充分条件1