（基础数学专业论文）亚纯函数的亏函数、奇异方向和正规族理论.pdf

皿纯函数的亏函数、奇异方向和币规旗理论 基础数学专业 研究生：卢谦指导教师：顾永兴教授 摘要奉义主要研究业纯蛹数的v 出i r 0 i i 弓函数、奇异方向和i 煳籁酬论。现 将一i ? 些i 竹二概述蜘j _ r ： 一、关于驱纯函数的v a l h o l t 亏函数 张：奉论文的第j 二章巾，我们首先讨论外平嘲= | 十o 。内的柯穷级超越业纯 阳数，得到其y 。衙一弓踊数满足如下定理 2 7 l ： 定理21 o 2 0 设，( z ) ，l p ( z ) 为歼平i i i ；i h 6 ，_ p m ( 垂) ) ，0 6 6 ，妒 4 ( _ p ) ，0 6 1 ) ! i l | j 地必为l 1 桀介。 = 、代数体函数的奇异方向 往年 仑文的第三章| l ，我们讨论代数体函数的奇异力向心题。关于代数体 晒数的b l e v a l f i i n n a 力- 向，我们给n in e v a n l i n n a j ：r 向的定义( 地定义3 3 o a o ) ，还得到 这类斤i l 】的存在忭朝i 卜； 定理33o3 1 【2 5 】、歧u ( z j 为 0 ，0 6 ；，侄崽复数n c u t o o l t 恤订 二= 十o 。( 0 02 ) 仝多除去2 十峨( 。) j 个例外能n 。 定理3 7 0 a s l 2 s 】设u ( 2 ) 为h 十o o 山由( 3 2 1 ) 确定的u 值代数体蛹爨，煞势为p ， o p + o o 。则存在方向( 妒o ) ：i 1 r g z = 蜘，0 茎伽 0 - 0 6 ，任意复数n g u o 。 ，忸柏 一百i 一些坐业二坐业旦坚型：p ( o 0 ，3 ) r _ 十 i o 盯 垒多除太2 十帆( u ) j 个例外值n 。 三、亚纯函数族的正规性 在奉论文的最后部分，我们前先讨论一一个值分布问趣，然扁从一i 个方而讨 i 仓r 业纯酌数旌的正规性 1 、微分多项式，仙j n 的侬分稚 袖：返部分 j ，我们j 卜要讨沦微分多项，一n 的债分砷i ，甜_ 坌! i | 其零点 钉觅穷多个的条中 ：，h j 如l 卜- 结粜p 4 1 ： 定理4 10 3 6 设，( z ) 为个超越业纯函数，其仅有重数至少为t 十2 的零点。则 划j ：任意的j f i 粒数k ，( ) 墩任何非零有穷复值无穷多次。 定理4 1 0 3 8 设，( z ) 为个超越业纯两数，其仪重数至少为十1 的零点，l i 仪柯煎级饭点。则对f 1 i l j 意的j i ：摧数，f f ( tj l 议t t 十1 l ：零钉穷复值无匆多次。 2 、与微分多项式，一口有关的i 规定则 红艾【2 4 】，我们衙到如卜三个j f 规定j j l l j l 2 4 1 ： 定理421l 殴，为隧域口内的业纯函数媛，内每个泊数，仪仃- r 数牟 少为k 十2 f # j 零点。如果确：阢域口内恒i f ( 1 ，则，必神：域曰山正规； 定理4 2 1 2 设，为i 疆域口内的全纯函数旅，内每个函数，e 刊又有正数至 少为+ 1 的零点。如粜i i ( l ，煦口，必在区域口内正j ； i f 。 定理42 13 设，为逸域口内的业纯函数族，l j ! l 每个函数，州陡有煎数仝 少为k 十l 的零点，儿仪有雨级极点。如果在区域口内恒有f f f 1 ，则，必确! 区 域口内j i i 规； 3 、分钏仇i ，i l ：规定则 f 1 ：奉i ! j 艾巾，我们”涂了业纯函数族b 其导数分= l i l 币f a 的难规性，铜到! q i pj 1 ：规定灿2 2 l ； 定理43l1 殴y - 为区域d 内的业纯函数族，其中每个晒数，( z ) 的零点雨数均 ，m ，k 为满足( 43 3 ) 的n i 雅数，n ，6 ，c 个复数，n 6 ，n ，b 0 。籍对每个，( = j ，面，( o ) 一- - d m ，) ( n ) ，1 1 面，( 叫c 耳( c ) 。则当k 三= 2 时必柯_ 芦在区域口内i i ：规；! 鼍； 1 1 1 , 1 ，4 h ( n 十1 ) 6 州l ! 三自，柏：区域口内1 i ：规。 j 、全纯函数涉及齐次微分多项式的正规定则 定m 4 4 i 1 【2 3 】设，= ， 为区域d 内的全纯函数媛，a l ( z ) ，2 ( = ) ，- ，一，n ( ；) 区域d 内 纳伞纯两数。对于铘个函数，( z ) ，其零点币数k ( k 为非负烂数) ，h ( z ) o ，i ( o ) i 1 。r i h o ) i 1 。嚣h ( ；jo f l ，神：区域口内正规，则，存d 内也正规。 填i jh ( z ) = ， 射( z ) + a i ( 。) ， “( ；) 。 ，# l 定理44 t2 1 2 3 l 设，= ，为区域d 内的全纯函数放，对于t e 意的，( z ) ，( ；) 0 ，嚣 ，。h ( z ) l l ( z ) ， 在区域口内j i i 规，则，也在区域口内j i ：规，其l ih ( = ) b n i ( 。) ，d 2 ( ：) ，一，n - ( z ) j 定理44 1 i , j l 的丰h l 司。 、 定理44 4 ，1 1 2 3 1 设，= ， 为区域d 内的伞纯幽数族，埘每个，( z j 芦，( z ) 的零 枣厦獭至少硇h ( = ) o hi h ( o ) i 1 。嚣旗 虮，( z ) i ，( 。) ，l 正规，i i , i y = ( ， 也 确；口f ；i ! | 小规。处l f | ( z ) = ( ，埘( 。) ) 9 十h ( f ，1 ，f ”，仙_ 1 ) l f l j h l ，( “1 ) 为关】二，。，”， j = = 次微分多项= i = i = 。美键词业纯函数 ，一u 的q 次p 项全纯系数n ，( ；) ，j = 1 ，2 ，p v a l i ，m 0 蛹数，代数体幽数，仝纯函数， 复合函数微分多项式n e v a n l i n n a 方l f u ，j u l i a ：方向b o r e s 。方向，侦分稚，分 砌仉，分缸i 函数，j e 规旌。 v o nt h ed e f i c i e n tf u n c t i o n s ，t h es i n g u l a r d i r e c t i o n sa n dn o r m a lf a m i l yt h e o r yf o r t m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d o n t ：l uq i a ns u p e r v i s o r ：g uy o n g x i n g a b s t r a c t f h ea i mo ft h i sw o r ki st ( 】c o n s i d e rs o m ep r o b l e m sr e l a t e dt ot h ed e f i c i e n tt h e o r y ， t h es i n g u l a rd i r e c t i o nt h e o r y , t h ev a l u er d i s t r i b u t i o nt h e o r ya n dt h en o r i f l t lf m n i l y t h e o r yf o rm c r o m o r p h i cf u n c t i o n s o u rm a i nw o r k sa r ef o l l o w i n g ： 1 0 uv a l i r o nd e f l c i e n tf u n c t i o n so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s f o raf u a c t i o nm c r o m o r p h i co nt i l ep l a n ei z l + o 。w i t hf i n i t eo r d e r ，w eo b t a i n t h ef o l l o w i n gr e s u l t 2 7 ： t h e o r e m2 1 0 2 0l e t ( z ) b eaf u n c t i o nn m r o m o r p h i co nt h ep l a n e 6 ，妒 1 ( 垂) ，0 6 1 f i n a l l y ，w ea l s o f i n dt h a tt h ec o r r e s p o n d i n ga b o v ee o l l d t l s i o nh o h l o ri n c f o m o r p h i cf u u c t i o n sw i t hi n f i n i t eo r d e r t h e o r e m2 3 0 2 8l e tf c + ) b eaf u n c t i o nm e r o m o r p h i co i lt i l ep l m i e 6 ，妒 ，l ( 妒) ，0 6 1 j v 【 x h e nh 5m u s th e 仕一s e t 2 o nn e v a n l i n n ad i r e c t i o n so fa l g e b r o i df u l w t i o n s t h e o r e m3 3 0 3 1 1 2 5 ls u p p o s et h a tu ( z ) i s 一v a l u e da l g e b r i o df u n c t i o nd e - t i u e db ye q u a t i o n ( 2 2 1 ) i nm 十( ) 。i fu ( 2 ) s a t i s f i e s j i m 佃s u p 掣= + o 。 ( 0 0 4 ) t h e nt h en e v a n l i n n ad i r e c t i o nd e f i n e db yd e f i n i t i o n ( 3 3 0 3 0 ) m u s te x i s t t h e o r e m3 7 o 3 4 2 5 ll e tu ( z ) b ea na l g e b r i o df u n c t i o ni nt h e o r e m3 3 0 3 1 t h e nt h e r ei sad i r e c t i o na s ) ：a r g z = 妒o ，0 曼妒o 0 ，0 6 i ra n da n yc o m p l e xn u m b e r cu o 。 o u t s i d ea tm o s t2 十【氐( u ) le x c e p t i o n a lv a l u ed t h e o r e m3 7 0 3 5 2 5 1s u p p o s et h a t “( z ) i s 一v a l u e da l g e b r i o df u n t i o nd e - f i n e db y ( 3 2 1 ) i n 4 = o ow i t hf i n i t ep o s i t i v eo r d e rp ，0 p + ，t h e nt h e r e i sad i r e c t i o n ( 妒o ) ，0 妒o 0 ，0 占 吾a n da n yc o m p l e xn u m b e r “at 3 o o o u t s i d ea tm o s t2 十f 奴( u ) 】e x c e p t i o n a lv a l u e4 3 n o r m a l i t yc r i t e r i af o rf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i nt h i sc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ev a l u ed i s t r i b u t i o no fd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l ，( 。) ，仙( z ) 一。a n dc o n s i d e ri t sc o r r e s p o n d i n gn o r m a l i t yc r i t e r i a f i n a l l y , w ea l s o o b t a i nn o r m a l i t yf o rm e r o n m r p h i cf u n c t i o n sf a m i l ys h a r i n gm u l t i p l i c i t yv a l u e s a n dn o r m a l i t yo fc o m p o s i t i o n so fh o l n m o r p h i cf u n c t i o n sa n dt h e i rd i f f e r e n t i a l p o l y n o m i a l ( 1 ) z e r o so fd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l ，缸) ，( ( z ) 一“ l nt h i s1 ) a r t ，w cm a i n l ys t u d yt h ev t d u ed i s t r i b u t i o no fd i f f e r e n t i a lp o l y n o - m i a l ，( z ) ，( z ) 一na a t dd i s c o v e r e ds o m ec o n d i t i o nu n d e rw h i c h ，( z ) ，( j ( z ) s t i l l t a h sa n yn e l l z e l of i n i t ec o m t ) l e xn m n b e ri n f i n i t e l yt i m e s 7 f l i e s er u l t sa r e f o l h j w i n g 2 4 】 t h e o r e m4 1 0 3 6l e tf u n c t i o nf ( z ) b em e r o m o r 。p h i ca n dt r a n s c e n d e n t a li n t h ep l a n e ，a l l ( ) fw h o s ez e r o sh a v em u l t i p l i c i t yk + 2a tl e a s t t h e nt h ed i t f e r e n t i a lm o n o m i a l ，( o ) ，( z ) o ff ( z ) a b s u m e ；a l ln o n z e r of i n i r ec o m p l e xn u m b e r i n f i n i t e l yt i m e s ，w h e r eki sa ni n t e g e rn u m b e r v i i t h e o r e m4 1 0 3 bl e tf u n c t i o nf ( z ) b cm e r o n i o r p h i ca n ( 1t r a n s c e n d e n t a li n t h ep l a n e a l lo fw h o s ez e r o sh a v em u l t i p l i c i t yk + la tl e a s ta n da l lo fw h o s ep o l e h a v em u l t i p l i c i t y2a tl e a s t t h e nt h ed i 圩e r e n t i a lm o n o m i a lf ( z ) f ( ( = ) o f ，( z ) t u u n l c s a l ll l o l l z e r of i n i t ec o m ) l e xn u m b e ri n f i n i t e l yt i m e s ，w h e r eai sa ni n t e g e r n u m b m ( 2 ) n o r m a lc r i t e r i ar e l a t i o nt od i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a lf ( z ) f ( z ) 一a i nr e f e r e n c e 【2 4 ，w eg e tt w on o r m a l i t yc r i t e r i ar e l a t e dt od i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l ，( o ) ，( ；) 一n t h e o r e m4 2 1 1l e t ，b eaf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si nt h ed o m a i n d a l lo fw h o s ez e r o sh a v em u l t i p l i c i t yk + 2a tl e a s t s u p p o s et h a tf o re a c i f ，f ( z ) f ( 。) af o rz d ，t h e n ，i sa n o r m a lf a m i l yo nd ，w l l e r e i s l | o i t z c i of i n i t ec o m p l e xn m n b e ra n dk li sa ni n t e g e rn u m b e r t h e o r e m4 2 1 2l e t2 - b eaf a m i l yo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n si nt h ed o m a i n 上) a l jo fw h o s ez e r ( 谢h a v em u l t i p l i c i t yk + la tl e a 8 t s u p p o s et l m tf o re a c h f 2 - ，( z ) ，( q ( 。) af o rz d ，t h e n ，i sa n o r m a lf a m i l yo nd ，w h e r e “i s n o n z e r of i n i t ec o m p l e xm l t u b e ra n dk li sa ni n t e g e rn u m b e r t h e o r e m4 2 1 3l e t ，b eaf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n e t i o n si nt h ed o m a i n 上) ，h l lo fw h o s ez e r o sh a v em u l t i p l i c i t y 七十la tl e a s t ，a n do fw h o s ep o l e sa r e m u l t i p l e s u p p o s et h a tf o rc a c hf 2 - ，( z ) ， 女) ( z ) af o rz d ，t h e n2 - i sa n o r m a if a m i l yo nd ，w h e r eui sl i o n z e r of i n i t ec o m p l e xn u m b e ra n dk li sa n i a t e g e rn u m b e r ( 3 ) s h a r i n gm u l t i p l i c i t yv a l u e sa n dn o r m a l i t y i nr e f e r e n c e 【2 2 1 ，w es t u d yt h en o r m a l i t yc r i t e r i af o rf m n i l i e 8o fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n ss h a r i n gn m l t i p t i c i t yv a l u e sw i t hi t sd e r i v a t i v e sa n do b t a i nt h ef o l l o w i n g c o n c l u s i o n t h e o r e m4 3 1 1l e t2 - b ea f a n f i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si nt h ed o r a a i n d ，a l lo fw h o s ez e r o sh a v em u l t i p l i c i t yka tl e a s t j ，m ，ka r ct h r e ep o 出t i v en u m b e r s s a t i s f y l o g ( 4 3 3 ) ，o ，b ，ca r ct h r e ec o m p l e xn u m b e r s ，a b a ，6 0 f o re a c h f u n c t i o n ，( g ) ，i f 砖( o ) = 郦o ) ，a n d 雷p ) ( 6 ) c 面，( c ) w h e n 2 ，t h e n ，i san o r m a l f a m i l yo i l d w h ( ；nk = l ，i f ( a t m + 1 ) 6 t h e n 2 - 以s o i san o r l n a l f a m i l yo n d ( 4 ) n o r o r a l _ h m i l yr e l a t i o nt ot h eh o m o g e n e o u sd i f f e r e n t i a lp o l y n o - t l d a i s t h e o r e m4 4 1 1f 2 3 l e t2 - = ，1b eaf a m i l yo fh o l o m o r p h i ef u n c t i o n so n d o m a i r , 口，a l lo f w h o s ez e r “h a v e m u l t i p l i c i t y k a t l e a s t ，a n d a t ( z ) ，n 2 ( z ) ，一，“k ( z ) b ch o l o n t o r p h i cf u n c t i o n so i ld f o rf ( z ) ，ts e t t i n g v t l l 孑 k ， 0 。 z k = 0 i fh ( z ) 0 ，l ( o ) i l ，l ( o ) i 1 ，a n dh ( z ) o f i r ，i sn o r m a lo nd ，t h e n ， a l s ni sn o r m a lo n7 9 w h e r eki sp o s i t i v en u m b e r t h e o r e m4 4 1 2 1 2 3 1l e ta - = ， b eaf a m i l yo fh o l o m o r p h i ef l m c t i o n so i l d o m a i n7 9 ，e a c hf u x m t i o no fw h i c hd o e sn o tv a n i s h i f 、 ，0h ( z ) l f ( z 】，) w a s n o r m a lo i l 口，t h e n ，a l s ow a sn o r m a lo n7 9 w h e r ea l ( o ) ，2 ( z ) 1 一，( o ) | a n d ( z ) h a v et h es a l n em e a n i n gi nt h e o l m4 4 1 1 t h e o r e m4 4 4 1 1 2 3 1l e t ，= ， b eaf a m i l yo fh o l o m o r p h i cf m m t i o n so n d o m a i n7 9 ，a l lo fw h o s ez e r 0 8h a sm u l t i p l i c i t yka tl e a s t ，h ( z ) d o e sn a tv a n i s h a n di ( o ) j li f ，oh ( z ) l f ( z ) ，) w a sn o r m a lo i l 口，t h e n ，a l s ow a 8n o r m a l o n 口w h e r e h ( z ) = ( f ( z ) j 。+ h ( f ，f ，仙。) a n dh ( f ，f ，( k - ! ) i sh o m o g e n e o u sd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a lo fd e g r e eqw i t h h o l o m o r p h i cc o e f l i c i e n t q ( z ) ，j = 1 ，2 ，pa b o u t f , f ，”，f ( “” k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，v a l i r o nd e f i c i e n tf u n c t i o n s ，a l g e b r o i d f a n c t i o n s ，t t o l o m o r p h i cf u n c t i o i m ，c o m p o s i t i o n sf u n c t i o n s ，d i f f e r e n t i a lp o l y n o - m i a l ，n e v a n l i n n ad i r e c t i o n s ，j u l i ad i r e c t i o n s ，曰e ld i r e c t i o n s ，v a h md i s t r i b u t i o n s ，s h a r i n gv a l u e ，s h a r i n gf h n e t i o n s ，n o r m a lf a m i l y i x c h a p t e r1 值分布论的基本理论 埘r个牡函数或业纯函数，( = ) j 任崽复数“，丘挫，( ；) = = n 烂柏：f i 瞄 及其根的多少与分靠情况怎样等问题，常常牲一些理沦与誉际r f ! 需鬻研究 | ；l i 题：1 9 t t l 纪木期，著名数学家亩p i c a r d 乖l 雷b o r e l 对此获得丫突t 1 的j 茂哭， 以后竹许多学者从事这方谢的研究，闪m 形成了摧函数与纯两数值分布删 论。 ：f l i ：位分稚沦的发展中，nn e v a n l i n n a 有着i 亘人的贡献。1 9 2 5 印他u l 进业纯函 数的特征函数。批i l 建靠州个坫奉定理，被称为n c v h n h a 理论a1 9 2 9 1 1 , l - a l l i b r s 硐lt s h i m i z u 曾分捌独赢地日i 进球谢特征函数，它吁n e v a n h 眦- a 的特 i l 函数j 棚荠个有界鲢，并能廿 j l 特征函数的 些重要性瓶，刑它簿蚪直 个钉趣的几何解释。闪此，人们常常称之为a h l f o r s - s h h n i z u 特钲理论。返砦锥 奉理沦a 复分析矬论的研究中起着1 分熏裴的作j 1 j 。 i i 丽我们简要这此理论( 参地f 3 “【4 8 l ，【4 6 ，【4 9 d 1 1 n e v a n l i n n a 理论 枉奉沦爻h 我们约定：n 袭永伞体计：整数，r + 袭d 伞体j f 实数，r 表乃： 伞体实数，o ，投示玎半而h 十o o 。 1 1 1 n e v a n l i n n a 特征函数与级、下级 设f ( z ) 为c 的弧纯函数，我 f j i jn ( r ，) 记，( z ) 存r 内的极点的个数( 按 m 数计算) 砺h ( n ，) 表示，( ；) 在川sr 内的小同极点的个数( 枣极点仪计算一 次) 。特剃地。n ( o ，) 表小，( = ) 存z = 0 的重数。因此。对于复数n ，n ( r ，7 毛) 表 示盯程，( zj = = n 积：sr 内的报的个数( 重根按重数计赞：) ，n ( n 忐) 表示由襁 ， 。j = n 西吲墨r 内的币尉根的个数【蕴撒仅计算次) 。 定义1 1 1 - l 我们分别称 _ l v ( n ，j f 坐生巫蚴。( o ，j j 岬r 矾，) ：f 塑垡型蚴d l + 瓦( o ，) l 卵r 为，( z ) 的极点的螂指量f l i 桔简密指量。蛳称 胪j ( 蛳誊坐盏n 1 0 ，了唧r 讯，兰) = z 7 要曼越壹蝴击脚 为，( 。) 的“仇i , t 1 的密指挝垌i ，( ；) 的“一位点的精简密指盟。 定义1 1 1 2 刈tz 0 ，我们称 一z ( 1 0 y 删，= 。：i ：。 ，：f f j i l i 刈数。 定义1 1 1 3 我们称 m 扣j j _ 去j c 埘”卸) i 却 m ( ，7 乞) = 嘉小哪+ l 丽苦i i 如 分；l j 为i i ( z ) l l t l i 7 i 末可的j f _ ! 埘数祚= r 1 的平均值。冉 l 寸，l i ：j y 记m ( r ，志) 为m ( 1 。，= 二= 】或m ( ，n 】。 钉，这螬定义，我们i q 。以n e v a n l i a n a 特祉函数的定义绷if ： 定义1 1 1 4 ( 特征函数) 我们称 7 1 扣，) = m ( nf ) + n ( r ，) 为l ( o 的w j m m t 特祉函数，简称为，( z ) 的特= i l l ! 函数。 定义1 1 1 5 ( 级与下级) 酏 ( ，) = l i i h s u p t 0 9 t t 一( r , f 一) p ( = | ，i 。m + i n 。f l o , y f r i 磊b _ , f ) 哉1 i i 称 ( ，) 卿1p ( ，) 分j j i l 为，( = ) 的级羽l 下级。 位1 1 】卜述融5 j 辋i 定义，应川p o i s n o n k n 8 e n 公代i 咀得到 定理1 1 ，1 6 ( n e v a u l l a “a 第一基本定理) 设“z ) 为 半新川 r ( o 。) 内韭纯。以 n 为f r 感十l ，复f 卉，冲l 对。fo r r 彳f ，f 三) 2 i 。( n ，】十t o p i c a l 十e ( j j e l lc t 为暑i 竹：鲰 的7 h y l m 腱代i 第。个非零系数，山 i s ( r ) i 2 叫+ i u i 十1 0 9 2 定理1 1 。1 + 7 ( n e v a x d i u t m 第二基本定理) 设，( z ) 为开平而h o 。 f f ( o ) 0 o o ；，( o ) 0 j j ! q 对二 二0 r r 有 m ( r ，) + m ( r ，n 。) 曼2 t ( r ，) 一i 1 ( r ) _ s ( n ，) 毖i 1 ( 7 ) = ( 2 ( j ，) 一( ，) ) + 1 v ( n 事 娟，) 锄， ：j + m ( r 嵩击) 呐+ 警伽z 伽厕1 1 1 2 对数导数的基本目i 理 矗：分析第矩奉定删的余项s ( r ，) 和实际应j h 中。卜到定理1 分厦璎。 引理i i 2 1 ( 对数导数朗基本引理) 设，( 。) 为开5 r 而川 r ( r ! m ) 山业纯。特 f ( o ) 0 ，o 。，则刘于f ) r p r 有 州n 了f 1 ) c l 【lr4 l o g 十1 0 9 1 i 志十2 f 叼弓 - f3 l o g + 二十4 1 0 9 + p 十4 l o g + y 1 ( “，) 人们将此0 i 删“成： 引理1 1 2 2 殴，( z ) 为歼、f m i = l k ( r 曼o o ) 内北纯。嚣，( u j 0 ，则划j o f p 代f j m ( 1 ，了f t k ) ) c1+1+志+109十tell l o g1 0 9 ；m f n 了) + + 赢i i； 十z o g + 十l o g + p 十1 0 9 t ( “，) 为f 处娜j l 理1 1 2 1 q ，的t o g + t ( t , ，) 这 项，我们恬常锔要著私的b o t e lq 1 矬，洲 引理1 1 2 3 ( b o r e l 引理) r j 设r ( r ) 在r o r r o o 是连续、非减幽数， t oo ) 三1 ，! l i | j 除去r 的个壤合蜀) 后恤有 1 。( ” 孑函) 2 1 。( ”) 玩的线性测度小超过毪 f 圳殴1 ( r ) 矗：r r r o o 楚连续、二小碱函数，1 ( ) i ，则除j ；r 的个 艇乩后1 h t y f r 1 ( 赫) 2 t ( r ) i i 屯。孟曼2 。特，川地，t p 一 r jr p ( 号，则铺j j 蔓n u ( n p jl 勺必f ，使1 ) 成0 。 3 使川，；l 删j 1 _ 2 ：1 f i 理l ，1 ，23 ，可以证l j 第一：基奉定理的余项s ( r ，) 具钉血f t l ：质： 定理1 1 2 4 设，( z ) 为，f 平_ i i i i 鼻( 皇军唑) 内掣纯。一i 蜕化为常数，s ( r ，) 为 第一攀奉定理的余项。则；， z ) 为有穷级n 4 有 s - ( r ，) = o ( i o g r ) ，( r 一) ； ：_ l ( z ) 为无穷级h 、i 奄 s | ( f - ，j o l o s ( , 7 1 ( ，) ) l ，( ，- 一，) l i 埔e 额除太个集合，其线性测度为有穷。 l 。1 3 亏值理论 我们简单介纠哼值理论们基奉概念羽i 罄奉结粜。 定义i i 3 1 ( 亏譬) 设，( = ) 为开f 面j 二的超越业纯函数。n 为任意复数。“i m ，) 屯搿错, = l - l i 攀错 则称6 ( n ，) 为“刈j j ：，( z ) 的寸挺。 祷易发现o d ( ，j s1 。 定义1 1 3 2 ( 亏值) 甜n 刈十，( 。) 的寸量6 ( n ，】人十0 ，则称复数n 为姐纯c a 数l l z ) 的馈。也称之为舨n 妇n “例外债。 芙r 亏伉j 亏挝，它们具有翔i f 基木性质 定理1 1 3 3 ( 亏曩关系式) 设，( z ) 为开平i i j ：i i ：的超越业纯函数，| i ! i j ，扛) 的0 俯 伞多为。i j 数集。f i 眠，) 2 ( 1 r 1 1 ) 下i | f i 姓v a | i r o n 。丁值i 亏量的定义 定义1 1 3 4 ( v a u r o n 亏值与亏量) 设，( 。) 为开平i l i il 的超越业纯晒数，n 为t e 意复数。记 ( n = u 翌兰p ! 等杀掣 则称f “f l 为n 刈j 二，( z ) 的t “m j 量。於“刈卜，( z ) 的弓量( n ，j 人。j ， m i j 称复数“为业纯i _ i ；数，( 。) 的v a l i r o n0 似。 4 l a h l f o r s 覆盖曲面理论 1 2 1 球面距离 在值分布理论及其应川l | ，我们常常川到球蕊距高遮贝，其定义蜘ir ： 定义1 2 1 1 ( 球面距离) 设n 为任崽复数。记 。一而蒜蒜u o 。 ，护 ： i 丽甭雨 “一 则称k ( u ，a ) 为n 与u 之问的球l i i = f 距离。 1 2 2 a h l f o r s - s h i m i z u 几何特征 定义1 2 2 1 ( a h l f o r s - s h i m i z u 几何特征函数) 记 撕小辅l 蹁如； ! i i j 称 吲叫) = 掣m 为u ( z ) 的 删m x s h i m i z u 儿何特征函数。 笑1 二u ( z ) 的a h l f o r s s h i l a i z u 几何特征函数t o ( r ，u ) ，我们可以证明它= f ； f l ff 牲 ( 1 ) 糟以h 0 表示r 在u 扛) 下的琢域，f r 是h 通过测地投影于( o ，0 ，1 ) 为心， 为半径的球面l ：的i 忖i i l 】| i 块，则a ( r ，u ) 表示b 的球i l i i 俩：j ! i 除以”，其 i ih l i i f f i i f i f 垂 按其映照的雁数汁算。 ( 2 ) 1 j ( f ，u ) 址f 0 9 r 的凸增函数； ( 3 ) ( n u ) jt ( r u ) 只村 筹个自+ 辫量； ( 4 ) 畦 扣，班去小四赢却l o g 丽 则钉 r 0 ( r ，) 十n ( r ，“) = y 1 ( r ，u ) 返类似1 n c v a l | | i l m a 的第。丛小定胖。 5 1 2 3 a h i f o r 8 覆盖曲面理论 1 儿何的预备知识 在直径为l 的掣曼球面v ，t ：，我们应该荚注y 上的点集舯摩其鲫题： i _ | | 缱 的民度按通常的定义对1 二v 上两点只。b ，只j 马之间的蛳璃肆v 一! ：肄捧 蔷簟麓黜黧弊瑟蓊壁嘉翡嚣套黎键缨臻雾翥署藿趣嘉善华篙慧望高罄螽倒上的两部分小的最短的部分的跃度。集合e 的直径楚指e 。 l 两点之问的鹏! 离o 删f j 器氇巯藩弓骧端套成醐分。假设，径 小挚襄j 紫品字葑罐零 0 ；糯零璺笺 德慧嚣罄尉癸警赫謇骂。口；麟 小于 。罚e7 。到焉 的距离甭少为 的点组成的集合构戚一。个半球咖。 这个半球衙一；j1 ：雯，完全包含在7 的硝个互补区域之一内。屿区蜷称翔 的外部，砸另一个称为1 的内都。假如1 的赢径不小于 t 则7 的外部、内 部没有定义。 设d a 避妇d a n 闭曲线 的l j ! i 责i 【噬域，则d ( 瓯) = 6 ( 7 ) 。事实i ：，i i i 二l 二6 ( d o ) 的 鬟攀耘嚣豢留簿筹笺器? 碧罂琛拿象盂瓢竺器毒苛曩i d 9 0 锅讥觥1 袤器完伞相对称因为风包含存某一个半球湎之内。假设只是 的内点t 我们 町以沿蚓移动a ，稍锻增犬p 1 b ，这与p 1 0 是最大的假设矛盾。从而p 1 二 马均在1h 则d ( _ 0 ) = p 1 8 羔6 ( 7 ) 。设1 由有限多条彼此孤市的j o r d a ni t l t 线 饥，他，m 组成。) t 内翻f 分别为d i ，d 2 ，- ，d 儿，我 l j l 圭1j ( 1 ) 、i j 妇i ，i 司甥! i j j 知i 刚j 风) = 6 ( 7 ) 黎曼球硼# i j 以使川通常的办法使其成为黎曼曲面，从i f u 解析曲线弧能定义。 设。避解析i l i 线弧i 一卜的点r 的邻域