（基础数学专业论文）亚纯函数理论中若干问题的研究.pdf

难纯鼹数理论中若干问题的研究 专业：基础数学 研究生：攀纯红指导教舜：籁采兴 摘要 本文主要研究亚纯硝数正筑族，甄纯函数唯一性、复域内微分方程解的笈振 荡及拙戏她映射豹值分蠢问题。本文主要工作简述如下： 一在正规族方面，我们分g 研究了涉及徽分多项式与分担值以及涉及莛值 与分担谯的正规定则。涯明了 定璁2 3 5 设，为a 上亚纯醋数，k 、n 、q g n ，p ) = + a q l ( g 徊9 。+ + 碡 珈是多项式，并且设日苁f ，f ”) 是不含常数项的多项式，# 、6 为两个 刿别的脊穷复数，并且b 0 ，c 是非零有穷簸数。如果对任意， 芦：f ( z ) 的零 点重级囊少是k ，并且 f ( z ) = 0 ：，p ( f ”) 十h ( ，厂，f 衅) = a p t 尹”1 h ( f ，。f 壮，= 6 ：寺f ( z = c 则当2 时，在上正规，当k = 1 时，若“( m 十1 ) 6 ，( 卅= 1 , 2 ，) ，则相应的 结论残立。 定礁2 4 2 设芦= u 。( z ) ) ( k n ) ，其中每个f ( z ) 是a 内亚纯函数；义设 s = 弼砖，口、b c ，口6 。若对任意，4 、g “e ，霄 置1 ( ，。，s ) = 露1 ( 9 4 ，s ) 其中女、t 是满是 ，1 + 兰 k 的两个藏整数，刚，予a 内正虢。 二在难一性方面，我们赭重研究丁亚纯蝤数族 吼。 ，e m ( c ) f ( ：) 名c ，帮( r ，门+ 丙卜髟) = s 以，) 的曦一性，解决了孵中一般 个亚纯函数的分担值与唯一性f 葡蘧。 定理3 1 5 设工( = ) 吼( ，= l ，h ，n 4 ) ，若 1 靠鬲 盈鼻( 砬& 。( ：) 车l ( ，= l ，# ，五“；z ) ，划至少有n 1 个乃( = ) “= l ，h ) 相等t 三在复振荡方面，我们首先研究了一粪菲线性镦分方程静爱掇荡，_ 蒌明了 定理4 1 4 假设g ) 江o ) u 。o ，1 ) f 0 ) 江妨是经函数，菇f ( 吩) 1 ，f ，) 。，日、b 是复常数，满足a b 0 和a = c b ( o c 1 ) 。那么方程 ，。+ 4 ( z ) e 蒜，十再( 嚣) 8 拓，= f ( ：) 满足 ( i ) 豫去至多有令鼍熊的商穷级铡铃解磊( z ) 外，其余所有解有 互u ) 。a ( ) = 萨) = o o ； ( i i ) 如粜存在( i ) 中霄穷级例外解 ( 力，那么 。满足 a 仇) m a x 讧抗l a l l ； 若拶( ，) l ，且茗( 五) 盯( ) ，则有一眈) = m a x 毋( 砖l 定理4 l 5 假设 ( z ) 陋o ) ，d ，( z ) ( ，= o ，1 ) ，f ( 幻o ) 燕整嚣数，盈# 吩) l ， 仃( d j ) 1 ，仃妒) ，日、b 是复常数，满足d 6 0 和a r g a 毒a r g b 或口= c b ( o 1 ) ，烈力是非常数多项式，戏 联z ) = 联z ) 扩，其中a 拓) 是j # 零多项式，f 0 ) 是有穷级蹩函数。则微分方程 ，。+ e 。f + q ( z ) ，= f ( z l l 满足定理4 1 4 中所述性质( i ) ，且除去至多两个例外复数口及一个有辩级解 五( z ) 外的所有无穷级解厂( 0 有 五。c d = 毛；吒= i ， 其次我稍蕾先研究了类离除线性微分方程魍麴增长性，迂明了 是瑶o 。1 援焉扛) 晦跫整避数t 且口( t ) 。篓瑟勺。 到方翟 ，“) + 4 t t ( 三) p 小f ( 。) + + a ( z ) e 知2 f = 0 ( 4 2 1 ) 酶每个解，z ) 事毒无穷缀。 定理4 2 2 设4 ( = ) 忙o ) ，d ，( = ) 是整函数且口( ) l ，盯( d j ) 1 ( = o ，l - ， k 一1 ；k 2 ) ，口，c o ) ( j = 0 ，l ，k - 1 ) ，且满足a r g a l a r g a o ，a j = q q 鼍0 ( ，= 2 ，k - i ) ，或者q = 勺，o e s c ：2 圆婺。o - 拥 则微分方程( 4 2 1 ) 的每个解，( = ) p0 ) 有无穷级且口：( 门= 1 ，至多除去两个例 外复数 聂嚣研究了一类其夺f n ，1 1 ( 增长) 缀系数匏：除徽势方程跌豹增长牲，褥到 定理4 3 2 设4 ( = ) 、b ( z ) 均为整函数，分别具有( n ，1 ) 级( 舢、吒( ，且 满足( 蠢) p t f 壮) 搿，”) = 8 ， p ( ，雕) + 开盯，厂，蜉) 。6 薄f ( z ) = c t h e n ，i s n o r m a lo n a f o r k 2 2 ，a n d f o r k = 1 s o l o n g a s 4 ( m + 1 ) b ，( 蹦= l ，2 ，) s e c o n d l y , w es t u d y t h e n o r m a l i t yo faf a m i l yo fm e r o m o 璎h i cf u n c t i o n s c o n c e r n i n gm u l 卸l i c i t ya n ds h a r e dv a l u e sa n dp r o v et h ef o l l o w i n g t h e o r e m2 4 2l e t f = ，鳓( z ) ；，n ，劬m ee v 岬，( z ) b e 猷n o r p h i c f u n c t i o n i n a ，a n d s = 口，6 ，a 、b e c ，# b ，i f f o re v e r yf 、g 1 ， 磊铲，s ) = 否f ( 占“，固 v w h e r ek 、fb e p o s i t i v ei n t e g e r sw h i c hs a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n z l + 三 k t h e n i sn o r m a lo n 矗。 2 t h eu n i q u e n e s so f f a m i l y o f m e r o m o r p h i e f u n c t i o n s w e m a i n l ys t u d y t h eu n i q u e n e s so f t h e f a m i l y 研o f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s 孵= ，e m ( c ) ) 鹕- ( r ，) + 丙f 形) 叫，) ) a n ds o l v eam 蛳g e n e r a l p r o b l e mc o n c e r n i n gs h a r e dv a l u e sa n du n i q u e n e s si n 据 t h e o r e m 3 1 5 l e t f l ( z ) 9 ( ? = l ，- 一，口，n 4 ) ，i f 1 鬲， a n d 也a t 乃：) 五十 ( 0 暑l ( j = l ，扭厶 i z ) t h e n t h e r ee x i s t a t l e a s t n - 1f u n c t i o u so f 乃( z ) j = l ，n ) b e e q u a l 。 3 ，t h e c o m p l e xo s c i l l a t i o no f h n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f i r s t l y , w er e s e a r c ht h ec o m p l e xo s c i l l a t i o no fac e r t a i nn o n - l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，a n dp r o v et h ef o l l o w i n g t h e o r e m4 1 4l e t4 ( z ) ( 声o ) “= o ，1 ) ，f ( 站( 声谚b ee n t i r e f u n c t i o n sw i t h 疗( 以) 1 ，叮( ，) 1 ) t h e na l ls o l u t i o n s f ( z ) ( 掣0 ) o f t h e e q u a t i o n 尸十一f 力# 。广+ 磊f 西8 “，= f f 砖 s a t i s f y ( i )丑( 门z 五( ，) ；玎盯) = m ， e x c e p t a tm o s t 秘e x c e p t i o n a ls o l u t i o n 磊f 力w i t hf i n i t eo r d e r ( i i ) i f t h e r ee x i s t s a ne x c e p t i o n a ls o l u t i o n f 0 ( z ) w i t h f i n i t eo r d e r i n i ) ，t h e n 五( 习s a t i s f i e s 盯( ，；) s m a ) 【谚伉l 疗( 如1 j ；o ra 抗) = m a x 扛( 确l ，i fa ( f ) # l ， 互弛) o - ( f 0 t h e o r e m 4 + 1 5 l e t a j ( z ) ( 暑蛾b ( ：) ( = o ，l x f ( z ) ( 声o ) b e e n t i r e f u n c t i o n s w i t h f 名，) l ，疗( b ) l ，玎舻) ，嚣、bb e t w o c o m p l e x c o n s t a n t sa n dt h a t a b o a n da r g a a r g b o r g = e b ( o 。 1 ) ，叠( = ) i sa n o n - c o n s t a n tp o l y n o m i a l ，o r9 ( z ) = h ( z ) e k ，w h e r e h ( z ) i s n o n z e r o p o l y n o m i a l ，i s a ne n t i r ef u n c t i o nw i t hf i n i t eo r d e r t h e n a l l s o l 施o n s ，( = ) 妲0 ) o f t h ee q u a t i o n + g “，+ q ( z ) f = f s a t i s f y 茗盯) = 五( ，) = c r ( ，) = * ，五( 力；五( ，) = 口：( d = 1 e x c e p ta tl m _ o s tt w oe x c e p t i o n a lc o m p l e x 口a n da ne x c e p t i o n a ls o l u t i o n f o ( z ) w i t h f i n i t eo r d e r , s e c o n d l y ，w es t u d yt h eg r o w t ho fs o i n f i o n s o fc e r t a i nh i g h e ro r d e rl i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d p r o v e t h ef o l l o w i n g t h e o r e m 4 2 1l e t a f l z ) ( 皇- o ) b ee n t i r e f u n c t i o n s w i t h ( 4 ) c # ，曼銎。巳t t h e n a l l s o l u t i o n s f ( = ) ( 声o ) 。f e q u a t i o n ，+ 4 一l ( 砖2 “掣f 叫+ + 焉( ：) 群4 2 f ；o “2 。1 ) h a v e i n f i n i t eo r d e r t h e o r e m 4 2 2 l e t 4 ( = ) 姆o ) 、b 扛) b e e n t i r e k , n c t i o n s w i t h c ( a a l ，口( 哆) c ：= 脚m m a x c ，t h e na l ls 。l u d o 砷，( z ) po ) o f m e 州撕o “( 4 - 2 1 ) h a v e i n f i n i t e o r d e f a n dd ，( ，) ；1 ，e x c e p ta t m o s t t w oe x c e p t i o n a lc o m p l e xa o a tl a s t , w er e s e a r c ht h eg r o w t ho fs o l u t i o n so f 也es e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t h ( n ，1 ) o r d e r c o e f f i c i e n t s t h e o r e m 4 3 2 l 啦蠢( = ) 、雾( ：) b e 矗娥摊赣m e 畦铺s w i 盎( n ，王) 讲畦既_ ( 4 ) 、c o 蜱) r e s p e c t i v e l y , a n ds a r i s 玲盯。( 爿) 盯。( 口) 芦盯+ t h e na l ls o l u t i o n s f ( z x 崔0 ) o f t h e e q u a t i o n ，。+ a ( z ) f + 丑( z ) ，= 0 h a v e c r 。( ，) = ，o n + l ( ，) = 口 4 。t h ev a l u ed i s t r b u f l o no f q u a s i m e r o m o r p h i em 馥p p i n g w ed e f i n en e v a n l i n n ap o i n ta n db o r e lp o i n to fq u a s i m e r o m o r p h i cm a p p i n gi n t h eu n i tc i r c l ea n dp r o v ei t se x i s t e n c e t h e o r e m5 1l e t f ( z ) b e q u a s i m e r o m o r p h i c m a p p i n g i nn ( 韩，霞) f 1 ( 1 司 0 、v 口芒g ，教m 瓣姗粼刚酬州瞄，w e h a v 。 一l o g h ( f 疑一岛s ) ， a ) 、， 辩1 玄覃丽“ k e 州。幽撇o m i c f u n c t i o n ，e n t i r ef u n c t i o n ，n o r m a l f a m i l y ，d i 删a 1 p 。l 弹。碰a l ，s h 科e d v a l u e ，m u l t i p l i c i t yv a l u e ，u n i q u e n e s s ，礴彘f e 磊蛀艇。秘扭o n 三s ：i n 碰，o 妇。f g 蝴艘，h y p 昏。r d e r ，e x p o n e n t o f c o “e r g e n c e ，c e n l r a l 诚e x q u a s i m e r o m o r p h i c m a p p i n g i x 第一章甄缒函数理论的基础知识 努兰数掌家n e v a n l i n n a 予2 0 整纪2 0 年 弋刽立鲍值分森谚是盟纯融数正规 族理论，驻纯函数唯性理论殷微分方程复振荡理论等的主要研究工其。为此， 先撼要套缨n e v a n l i r m a 基本理论( 参阅文献 2 】，【3 】， 4 】) 。 蓄先翁定，本文总是嚣e 表豕复平瑟，且蠢；c u 枷) ；嬲( c ) 表示c 上驻 纯函数全体；n 表示全体正整数，r 表示全体实鼗，戳表示全体正实数。 对，( ：) 硝( c ) ，a e c ，我们用n ( r ，n ) 表示方程，( z ) = 口在i z 阵r 内裉酶个 数，并计及莛数。换富之，几藿掇诗几次，荔袭示方程，( = a 在j zj r 内 根的个数，但不计重数，换言之重根设计一次，相应的我 f 】定义： m 盯渺l 击m 坐字坐如叫嘲k g ， 研删= 葡一焉1 ) = ( 巫雩蚴国- ( 嘲姆 分别称为，( ：) 的。值点密指量及n 慎点精简密指量。类似墙可定义，( 印静 极点( 耩篱) 密指爨f o ，) # n ( r ，* ，) ( 对( ，) i _ 硕，0 0 ，) ) 。 我们约定l o g + x - m a x l o g x ，0 ，剩我粕定义 m ( 吖) = 去e l o g + | ，( 矿l 钟 8 卜击j - 1 f t o g + 而翻1 执口“ 我们称函数r 轵门= m ( r ，) + n ( r ，门为函数f ( z ) 的n e v a n l k m a 特征蠡数。 亚纯嚣数，0 j 灼级口与下级从力分别定义为 仃盯) # l 蕊ml o g 。t ( r , f ) 乒：一l ，i _ 垫m 等笋r - + l u e ， 甄纯函数，( z ) 的超级( n 定义为1 4 】 吼盯) 竽甄l i r a 警 设，国梵e 上整醋数，其零赢盏五，= ：，：。，显骞 i 铂i 矧= ：l o ，均有善k 2 懈 则，( z ) 的零点收敛指数置( ，) ；m 。显然， 五( 小艋, 。堕l o g 塑r 类似地，我们定义，( z ) 的不同零点收敛指数互( ，) 、二阶零点收敛指数 屯( ，) 及二蹬不嬲零点牧敛指数夏( ，) 分别戈 砸) ：照掣， 五( ，) = l r 磊一型趔l o g r ， w ) = 黛掣 类噻鬟遗，哥定义，( z ) 靛。一蕊杰收敛撵数、d 一篷不羁蠡牧毁撂数、= 羚 a 一值点收敛指数及二阶a 一德不同点收敛指数，即，( z ) 一口的零崩收敛指数、 不簿零蠡收敛搿数、二除零点毂敛指数及二除苇嗣零点毂簸指数。 定理1 1 ( n e v a n l i n n a 第一基本寇理) 设， 于l ：| r 懈内驻纯，矗c ，簧簦当0 r r 嚣幸露 2 厂1、 r 卜志j 钉( f ) + l o g 坩( 也7 ) 其中，c ，是厂( ：) 一口在；= 0 邻域内的展开式中最低次幂的系数，虽 p ( 叫) l _ l o g + a i + l 0 9 2 定理1 2 ( n e v a n l i n n a 藏二基本定理) 设，( 幻材( c ) 且不蜕化为常数，吩( j = l ，2 ，q ) 为q ( q 2 ) 个判别的复 数。则 时：) 豫唼卜南卜“。，)， o j 其中搅r ) = 2 f ，) 一( ，) + c 以专j ，且 s ( r ，y ) = o o o g ) p 峥m ) 濑，( 为有限级时 s ( 。i ) - o l o g ( r f ，磷秘- - o o ，r e ) 当，z ) 魏茏限缀对，至多豫去 个其考有限测度豹集会e 定理1 3 ( 对数导数引理) 设，( 0 予蚓r ( o 且 a o ) 内甄纯，且，( o ) 书o ，七n ，则当o r p m ( z ) 十；西t 曙南曲s + ；拍分击_ r + l o g + p + l o g + t c 其中& 为仅依赖于章的常数 定理1 4 ( m i l l o u x 不等式) 设，( 名) 予矧 最8 ) 内亚纯，若，( o ) o ，f ( o ) l ，f “( 0 ) o ， 则对于0 r r ，有 嘶小盼+ l 击h 南) 嘶，力 定理1 5 ( h a y m a n 不等式) 设，( z ) 力子h 最( 。) 起旺缝函数，不蜕化为多项式，若| i 舆且 f ( o ) # o ，；f 封( o ) l ；f 。+ 5 ( o ) 幸0 以及 f k + 1 ) ，+ 2 ( o ) ，1 ( o ) 1 ) 一( 七+ 2 ) ( ，“1 ( o 2 毋0 自8 对于0 r r 有 c ( ：+ 州 默：嘲耘l 南一 定理1 6 ( b u r e a u 引理) 设u ( r ) 是区间0 ，妒内的非负且非减的函数，设口、b e r + 使b 2 a 且 b 8 a 2 ，若不等式 u ( r ) a l o g + u ( r ) 十a l o g ：十6 于0 ， r p 成立，则不等式 v ( r ) 2 a i o g 善+ 2 b 予0 ，( r 0 ，称v ( ，) = m a x m ：( ，) 刊lr 卅 为，( z ) 的中心指标，若，= 0 ， 则y ( o ) = 夕，其中4 ，为，( z ) 的t a y l o r 展式中第一个非零系数a 定理l 7 设，扛) 是。级整函数，则 弘1 7 9 i n 等笋= 1 - 蠢ml o l g 万v ( r ) 定理1 8 ( w i m a n v a l i r o n 定淫) 设，( z ) 是超越整函数，占是常数满足o 艿 嬲l o g 掣 其中z c 、 0 且：不是g ( = ) 的极点。 引理2 3 4 l 磷设，( z ) = 。“十a 。一z h + + 口0 十簧舅，其中吩s e “= 。， 9 ，h ) 且a 。0 ；g ( z ) 和p ( z ) 是两互素的多项式且不恒为零，其中d e g q ( z ) 0 使得 h ( = ) 器材( f = o ，l ，g 一1 ) 0 ) 。由p ) = 岛可知 蚓= 咖蚂嘉一岛剁 由此可褥f | o ，使得l q ( o 峰埘 ( j z l s i l 。i = l ，g 一1 ) 。由条件及s f 理2 3 6 可知若f2 0 器；，( 毛) ：e ，到 i ，。( z 。) | 9 4 f = k a + l ，旦g 为毒穷级。因为g 。) 的零点重级至少是t ，由 h u r w i t z 定理，g ( o 的零点重级也至少是k 。设 q ( 脚) = 脚9 + a # 一l ( o ) c 0 9 q + + 口i ( o ) c o 则我们断言 ( i ) g 缮) 聋0 备q g ”g ) ) = a ； ( i i ) q ( g 鳓( ) ) 簪b ，= c 。 、 记l ( f ) ；p u ) 十日盯，厂，f 叩。 设g ( g o ) = 0 ，则由h u r v & z 定理，存在，_ 磊，使得当n 充分大时有 g 。( 幺) = p ：。( z 。+ p 。) = 0 ，因拢当 充分大时有，疋( ：。+ p 。彘 = a 。即 当n 充分大时有 ( 五( 毛+ 蠡势= p ( 1 ( 毛+ 砖点势+ 嚣饭( 磊+ f 噱) ，鼻4 ( + 卢：磊) ) ：( 种( 毛+ 以蠡) ) t + 曼岛( 乙+ 只) ( 好( + n 矗) ) l + 岛( 十p 。) 蚂( ( + 几) ，岔幻( = + 成势 j l = ( 占，f 。) y + 8 。_ ( ：。+ p 。蘸) ( g t 鼻) ) 9 。+ + 口l ( ? 。十p 。) g ( 苏) + 窆q 瓴+ 成) 蠢+ “蚂( 如虢) ，醪繇) ) 据h ( ，7 ，陶) 的假设可知，；，。，进而得杀 0 ，使摄 锱否il o g 必= 讪1 r 2 xg 蚓r f ( 毛) 2 j r 。 。 这是不可能成立的。事实上，一方面有等鑫妻争斗* ，另一方面，由引理2 3 菇 知，当n 斗m 时，等东筹斧是有并的，敌g ( 习不能为超越函数。 若g ( 力楚多项式，由g ”) 红和g g ) 的零点的级至少为我们可知g ( z ) 是女次多项式，此与结论( i ) 矛詹，因此g g ) 是有理函数 c a s e l q 2 若多项式叠p ) 一6 只有一个根，则q 汹) 一6 = 徊一口一其中口c 、 o 由 此w 得( g 雄悸) 一g ) 。，即g ”g ) # g 。出引理2 ，3 - 4 可得 艄。警+ v 咖。十而a 其中c 、d 、a 、靠。芒c 且卫o ，辫裂e 故 q ( g m ( 善) ) 一a = ( g t ”( f ) 一口) 9 一( 。一a ) = ( 寿) 9 一( 。一砷 因为g ( g ) 的零点重级至少是t ，所戳集合落e e ：g g ：。 至多有( m + 2 个不 同的元素，同甜集合鸶g ：q ( g g ) ) = # y f f ( m + k ) q 个不同的元素，此与结论 ( i ) 矛爨。 若多项式窑和) 一6 有至少两个不问的根，则毒褒岛、屯，鱼也，b t b 2 o ，使 得g 曲1 蟛) 趣，l = l ，2 ：由引理2 _ 3 4 和g 。暗) 6 1 ，可得占缔g ) = 魏+ 话i ， 这与g 渤管) 6 2 矛詹。 c a s e 2 口= i 诧时有( i ) g = 0 - g 仕= 4j 1 ( i i ) g # 6 t 若k 2 ，则有引理2 3 4 和g b ，可得 艄= 等咖。+ 寿- g ( a + 苦嘉， 其中c 、d 、a 、4 、a 0 c 且以0 ，m n 。 因必g ( ：) 的零点蓬级至少是女，嶷奢够。c ：窖g ) ：o 至多有( m + 哆 个不 鄹的元素，嬲时集合蟮c ：q ( g 悸) ) = a 有( m + ) 个不同的元素，诧与结论 ( i ) 矛盾。 若：1 ，则由引理2 3 5 可知口= ( m + 1 ) b ，此与寇瑶2 3 6 条件矛屠e 定理 2 3 6 谣毕。 2 4 涉及重僮与分担值豹难巍囊则 设矗= z ：l z i 1 ，s c c n s 妒，? s n ，女( = ) 是a 内亚纯函数。我们定义 蓉( 女，s ) = u ；滓( ：) 一。= o ，z e ，不计羹数 ， 口s 嚣“a ，s ) = u = 净( z ) 一8 = o ，z a ，重数sz 者，且不计重数 - 口# s 最近，张庆彩研究了涉及分撞馑懿亚纯菊数导数族，； ，“( 力 n ) 的正规 生，证明了 迤瑷2 4 1 设芦= ，( ；) ( 女s n ) ，其中每个，( # ) 是a 内亚纯函数。又设 s = f “，6 ，口、b e c ，口6 ：若对径意，( n 、芦，有 夙，s ) = 嚣( g 汹，回 到芦予a 内正规。 本文考虑重值，改进了上述结果，得到涉及耋墩与分担锼的亚纯函数导数 族的正规定则 定理2 4 ，2 设，= u h 0 ) n ) ，其中每个，( z ) 是内亚纯函数；又设 s = 口，砩，疗、b 芒g ，口# b ；若对经意f “、g e ，有 1 4 其中k ，n 且满足 繇扩，s ) = 磊( 一s ) 1 ) b “量 ( 2 4 2 ) 翔芦子内芷撬。 为证明定理2 4 2 ，先建立如下g 【理 引理2 4 1 设厂( = ) 是e t 超越蓝缝醢数，、 n 虽满足( 2 4 2 ) 式 n 、6 匹c 且打6 ，f 。( 0 ) o 、0 0 、a 、b ，佴”( 0 ，筘u ，辩8 fr , f c k ) ( r ，厂馥+ 1 ) 丙瓴，) ，井结合( 2 a 5 ) 式可褥 _ ( r 棚 式，纯篱著注意( 2 4 。2 ) 戏便可 得引理2 4 1 的结论。 下面证明定理2 4 2 秀则，出定理2 2 。1 ，不妨设，于：。= 0 处不正规，则由z a l e m a n 引瑷， 存在饼”) e z n 矗，矗- - * 0 ，岛- + 0 + ，使得 毋罅) = 鼻。( 毛+ 风筝) 斗g g ) 2 4 ，1 0 ) 按臻距内闭一致收敛，且g 婷) 是c 上非常数业纯函数因此有 反g ) = 成f “( z 。+ 成善，一g g ) ( 2 4 1 1 ) 矧剖小七 上上 弘卜志志坼坼 喃喃 按球距内闭一致收敛。 困窘惩) 崩c o r a n t ，则可选取磊使得 g ( 4 0 ) # 0 、8 、b ，