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i n z 与形式三角矩阵环的零因子图 研究生：徐承杰 导师：易忠 专业：基础数学 方向：代数及其应用 年级：2 0 0 6级 摘要 环论与图论是数学中的两个非常重要的分支，它们不仅内涵丰富，而且在许多其它数 学分支( 如组合数学、几何学、自动机理论以及编码理论等) 中也有重要应用. 环的零因子 图，主要是使用图性质研究代数系统，它提供了一种研究数学问题的新方法. 环( 或群) 的 零因子图是最近二十年来才产生的一个新型研究领域，引发出了很多有趣的结果和问 题近十年来，它已成为国际上的一个热门研究领域 iz和z是抽象代数中环论的两个重要的环，常被作为例子散见于各类抽象代数教 材及论文中，本文讨论了代数整数环z的模n剩余类环 n z 的零因子集合、单位乘群、 素谱以及 j zn 的局部环直和分解，并在这些结果的基础上，研究了 n z 的零因子图的 直径、平面性及围长；本文还讨论了形式三角矩阵环的无向零因子图的直径，并简要地研 究了任意含幺交换环上二阶上三角矩阵环的零因子图. 具体地说，全文共分为四章： 第一章介绍了环的零因子图的发展历史，本文的研究背景，理论来源和研究意义. 并 给出了本文所用到的一些基本概念与符号. 第二章主要讨论了代数整数环z的模n剩余类环 n z 的零因子集合、单位乘群、 素谱以及 j zn 的局部环直和分解( 定理 2 . 2 . 3 ，定理 2 . 2 . 4 ) ，这些结果对我们后面的研 究是非常有用的. 第三章主要是探讨有限含幺交换环的零因子图的若干图论性质，从而直观的反映环的 零因子的内部结构. 在第二章的基础上，讨论了有限交换环 n z 的零因子图的直径( 定理 3 . 1 . 2 ) 、平面性( 定理 3 . 2 . 4 ) 与围长( 定理 3 . 3 . 2 ) ，本章的主要结果即将在湖南工业大学 学报 2 0 0 9 年第 2 期发表. 第四章主要讨论一类非交换环即形式三角矩阵环的无向零因子图. 形式三角矩阵环是 一类非常重要的非交换环，在环论的许多教材及文献中，它经常被作为反例出现. 本章第 一节中，在m为r无扰模的条件下，我们给出了形式三角矩阵环的零因子集合；本章第二 节，我们对形式三角矩阵环的无向零因子图的直径做了一些探讨( 定理 4 . 2 . 4 ，定理4 . 2 . 6 ， 定理 4 . 2 . 9 ) ，定理 4 . 2 . 4 证明了任意形式三角矩阵环的零因子图直径只能为 2 或 3 . 紧接 着，定理 4 . 2 . 6 在m为r无扰模的条件下，给出了任意形式三角矩阵环的零因子图直径为 2的一个必要条件，而定理 4 . 2 . 9则在某一前提下，为我们提供了形式三角矩阵环的无向 零因子图直径为 2 的一个充要条件，这三个定理对于形式三角矩阵环的零因子图的研究是 ii 非常有意义的. 在这一章的最后一节中，我们利用本章前两节的结论讨论了任意含幺交换 环上二阶上三角矩阵环的无向零因子图的直径( 命题 4 . 3 . 2 - 命题 4 . 3 . 6 ) ，得到了本文的最 后一个定理，即任意含幺交换环上二阶上三角矩阵环的无向零因子图的直径为3的一个判 定定理( 定理 4 . 3 . 7 ) . 文章的最后部分是本文的结束语，一方面，我们总结了本文的主要工作并介绍了本文 的若干后续工作；另一方面，我们阐述了作者关于环的零因子图的几个十分感兴趣的问题. 关键词：零因子；零因子图；直径；平面性；围长 iii the zero divisor graphs of n z a n d f o r m a l t r i a n g u l a r m a t r i x r i n g s graduate student: xu chengjjie supervisor: professor: yi zhong subject: basic mathematic direction: algebra and its applications grade:2006 abstract ring theory and graph theory are two very important mathematical branches, which are not only of great theoretical interest in themselves but also found important applications in many other branches of math (such as combinatorial mathematics, geometry, automata theory and coding theory, etc.). the zero divisor graphs of rings, using properties of graphs to study algebraic structures, has become an exciting research topic in the last twenty years, leading to many fascinating results and questions. in the past ten years, it has become a hot research field. iz and z are two important rings in abstract algebra, often as scattered examples in materials and thesis of various types of abstract algebra. in this paper, at first, we discuss the set of zero divisors, units group, prime spectrum of n z , and the local ring direct sum decomposition of j zn . on the basis of these results, we give the diameter, the girth and planarity of the zero divisor graphs of n z . in this paper, we also study the zero divisor graphs of formal triangular matrix rings, and briefly study the zero divisor graphs of 22 upper triangular matrix rings. specifically, the text is divided into four chapters: in the first chapter, we summarize the history of the zero- divisor graph, and the background of this paper. at the same time, we give some notations and basic definitions of ring theory and graph theory. in the second chapter, we discuss the set of zero- divisors , units group, prime spectrum of n z and the local ring direct sum decomposition of j zn .(theorem 2.2.3, theorem 2.2.4), these results are very useful for our following studies. in the third chapter, on the basis of the second chapter, we discuss the diameter (theorem 3.1.2), planarity (theorem 3.2.4) and girth (theorem 3.3.2) of n z . the major findings of this chapter published in the journal of hunan university of technology in 2009 (2). in the fourth chapter,we mainly discuss the undirected zero divisor graphs of a kind of non- commutative rings(the formal triangular matrix rings). in many materials and thesis of ring theory, they appear frequently as counter- examples. in the first section of this chapter, when m is a torsionless rmodule, we have given the set of zero divisors of an arbitrary formal iv triangular matrix ring.in the second section of this chapter, we make some discussions about the diameter of the zero divisor graphs of the formal triangular matrix rings (theorem4.2.4, theorem4.2.6, theorem 4.2.9).theorem 4.2.4 points out that the diameters of the zero divisor graph of an arbitrary formal triangular matrix ring are 2 or 3. theorem 4.2.6 provides a necessary condition for that the diameter equals 2. and then theorem 4.2.9 gives a necessary and sufficient condition for that the diameter equals 2 when a given condition is satisfied. these three ones are of great values to studies on the zero divisor graphs of formal triangular matrix rings. in the final section of this chapter, we discuss the diameter of the undirected zero divisor graphs of 22 upper triangular matrix rings (proposition 4.3.2- propositions 4.3.6), and then, we obtain the last theorem of this paper, that is, when the diameter of the undirected zero divisor graph of 22 upper triangular matrix rings on an arbitrary commutative ring is 3(theorem 4.3.7). the last part of the paper is the concluding remarks of this paper, on one hand, we summarize the main tasks and introduce the future studies of this paper; on the other hand, the author describes some questions on zero divisor graphs, which are very interesting to himself. keywords: zero divisor; zero divisor graph; diameter; planarity; girth 论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工 作及取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或其 他机构已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名： 日期： 论文使用授权声明 本人完全了解广西师范大学有关保留、使用学位论文的规定。广西师范 大学、中国科学技术信息研究所、清华大学论文合作部，有权保留本人所送 交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密 论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布（包括刊登）论文的全部或部分 内容。论文的公布（包括刊登）授权广西师范大学学位办办理。 研究生签名： 日期： 导 师签名： 日期： 1 第一章 绪论 1.1 研究背景 环论与图论是数学学科的两大重要分支，环论与图论的研究已经在数学的许多分支中 体现了它们的价值（如组合学、几何学、自动机理论等）. 使用图性质研究代数系统，已 成为近二十年来数学研究的一个热点问题，其间产生了许多重要的结果，同时提供了一种 研究数学问题的新方法. 环上的零因子图的研究刻画了环的零因子的结构, 使得抽象的代 数系统的结构能用图直观地表示出来, 同时, 非同构的代数系统可能有相同的零因子图, 这 也揭示了非同构的代数系统之间的某种共性. 近十年来，环的零因子图的研究引起了国内 外诸多专家学者的浓厚兴趣, 并且得到了很多十分漂亮的结果 一般认为，环的零因子图的概念最先是由 i . b e c k于 1 9 8 8年在文献 1 中提出来的， 对于交换环r, 他定义了一个简单图( ) 0 r, 其顶点集为r的所有元素, 两个不同的顶点x 和y有一条边相连当且仅当0 xy =. 通过图来研究环, 这种方法是 i . b e c k 首先提出的, 其重 要意义在于把一个环跟一个图对应起来, 但是 i . b e c k 的主要兴趣是利用着色数对有限环进 行了分类, 他讨论了着色数不大于 3的情况, 并且提出了一个猜想: 交换环的着色数等于它 的团数. 但是在1 9 9 3 年, d . d . a n d e r s o n 和m . n a s e e r 在文献 2 中举出了一个反例否定了i . b e c k的猜想, 同时还找出了在同构的意义下着色数等于 4的所有有限环. 在此后的几年里, 几乎没有人再进行这方面的研究. 直到1 9 9 9 年, d . f . a n d e r s o n 和p . s . l i v i n g s t o n 在文献 3 中将 i . b e c k 的关于环的零因子图的定义作了如下改进: 令环r的非零零因子集合( ) * d r为 ( )r的顶点集, 两个不同的顶点x和y有一条边相连当且仅当0 xy =. 显然, ( )r是 ( ) 0 r的一个子图, 它能更好地阐明环的零因子的结构. a n d e r s o n 和 l i v i n g s t o n 证明了任 意含幺交换环的零因子图是连通的, 并且其零因子图的直径不大于 3 . 此外, 他们还证明了 当r是a r t i n环时, 交换环的零因子图的围长或者是无穷大, 或者不大于 4 , 并且提出猜想: 当交换环r不是a r t i n环时, 此命题也是成立的. d e m e y e r和 s c h n e i d e r在 4 , 定理 1 . 6 , m u l a y在 5 , ( 1 . 4 ) 分别证明了这个猜想, 同时文献 6 给出了此命题的一个更为简洁 的证明. 此后, 诸多学者开始研究一些具体环类的零因子图的性质. d . f . a n d e r s o n , r . l e v y 和 j . s h a p i r o在文献 7 中研究了 v o n - n e u m a n n正则环的零因子图, m . a x t e l和 j . s t i c k l e s 在文献 8 中研究了交换环的理想化的零因子图, 他们还和j . c o y k e n d a l l 在文献 6 中研究了交换环上的多项式环和形式幂级数环的零因子图的性质, 唐高华教授等在文 献 9 中研究了模n高斯整数环的零因子图的性质. 同时, 诸多数学家还对一般的交换环的 零因子图的性质做了一些有益的探索, 如( )r的平面性( 1 0 , 1 1 ) , ( )r的自同构群 ( 3 ) 及自同态幺半群( 1 2 ) 等. 2 在 2 0 0 3年, r e d m o n d在文献 1 3 中推广了交换环的零因子图的定义. 他提出了交换环 的基于理想的零因子图的定义: 设r是一个交换环, i是r的一个理想, 基于i的交换环 r的零因子图是一个简单图( ) i r, 其顶点集为|,xriyrixyi 使得，两个不同 的顶点x与y有一条边相连当且仅当xyi. 显然，若0i =, 则( )( ) i rr=. r e d m o n d 在文 献 1 3 中主要讨论了( ) i r的连通性, 团数, 围长, 平面性, 还讨论了哪些图可以作为交换环 的基于理想的零因子图, 获得了丰富的成果. 同时, 在同构意义下， r e d m o n d 还找出了 5 个 顶点的环的零因子图的所有情形. 类似于交换环的零因子图, s . p . r e d m o n d在文献 1 4 中介绍了非交换环的零因子图的 两种定义. 设r是一个非交换环，其零因子图)(r的顶点集为 )(rz，并且任意不同的两 顶点yx,相邻当且仅当0=xy或者0=yx，这个图是一个无向零因子图，后面研究发现，这 个图的很多性质与交换环的零因子图都是一样的. 而非交换环的另一种图则是有向的，其 零因子图)(r的顶点集为 )(rz, 并且任意不同的两顶点yx,之间存在一条有向边yx 当且仅当0=xy. 关于这方面的一些结果可参见 1 5 , 1 6 , 1 7 等文献. 此外，零因子图的定义还被推广到交换半群上, 即交换半群的零因子图( 1 8 ) , 对于这 一问题的研究，也已有了很多精彩的结果( 1 8 , 1 9 , 2 0 , 2 1 , 2 2 ) . 零因子图的研究对于刻画代数系统的结构具有重要意义, 其重要性在于它可以清楚的 刻画抽象的代数系统的几何直观, 特别是对含有有限个元素的代数系统, 其优越性非常显 著. 本文主要研究了环 n z 及形式三角矩阵环的零因子图的直径，围长及平面性.z是 抽象代数中环论的一个非常重要的环， n z 是z的模n剩余类环，所以对 n z 的研究 是有意义的. 形式三角矩阵环也是环模理论中非常重要的一类环，很多非常重要的例子（尤 其是反例 2 3 ）都是利用这一类环而得出的，近三十年来，一些学者又在这方面做了大量 专门的研究( 2 4 , 2 5 ) ，因此，形式三角矩阵环的零因子图的研究也是非常有意义的. 1 . 2预备知识 在本节中, 我们主要陈述一些基本概念及符号. 定义 1 . 2 . 1 2 6 ，定义 1 . 1 . 2 一个图g是一个偶对),(ev, 记作),(evg =, 其中 ( 1 )v是一个集合，其中的元素称为图g的顶点； ( 2 )e是无序积vv 的一个子集合，其元素称为图g的边； 我们分别用)(gv和)(ge表示图g的顶点集合与边的集合. 图g的顶点个数叫做图g的 阶. 图),(evg =中形如),(vv的边)(gvv也就是端点重合为一点的边叫做环. 若连接同 一对顶点的边数大于 1 ，则称这样的边为重边. 没有环及重边的图称为简单图，本文所研究 的图都是简单图. 每一对不同的顶点均有一条边相联的简单图称为完全图.n阶完全图记作 n k . 设 1 v和 2 v是g的顶点子集，使= 2121 ),(vvgvvv且g的每一条边的一个端点 在 1 v中，另一个端点在 2 v中，则称g为二部图，记作);,( 21 evvg =. 如果 1 v中的任一顶点 3 与 2 v中的每一个顶点都有且仅有一条边相连，则称g为完全二部图. 若还有mv = 1 ， nv= 2 ，则完全二部图g记作 nm k , . 此外，关于图的其它定义( 如途径、道路、连通和平面 图) 可参见文献 2 6 . 当定义 1 . 2 . 1 ( 2 ) 中无序对改为有序对时，我们称这样的图为有向图. 关于有向图的一些概念可参见 2 6 ，第十二章 . 此外，本文所用数论知识参见文献 2 7 ， 有关模的相关知识参见文献 2 8 . 定义 1 . 2 . 2 3 设r是一个含幺交换环，环r的零因子图( )r的顶点集为r的非零零 因子集合( ) * d r，两个不同的顶点x和y有一条边相连当且仅当0 xy =. 显然，这是一个无向图，两个不同的顶点x和y的距离),(yxd定义为yx,之间所有道 路中最短路的长度,( )r的直径)(,),()( =rdyxyxdsuprdiam, ( )r的围长 )(rgr 定义为( )r中所有圈的最小长度. 关于非交换环的零因子图的定义主要有两种，一种是无向图，另一种是有向图. 这里 只给出它们的定义，关于非交换环的零因子图的其它相关结论可参见文献 1 4 . 定义 1 . 2 . 3 1 4 设r是一个非交换环，其无向零因子图)(r的顶点集为( )d r ，并且 任意不同的两顶点yx,相邻当且仅当0=xy或者0=yx. 定义 1 . 2 . 4 1 4 设r是一个非交换环，其有向零因子图)(r的顶点集为( )d r , 并且 任意不同的两顶点yx,之间存在一条有向边yx 当且仅当0=xy. 4 第二章 关于 n z 的代数结构 izzbabia+=,和zzbaba+=, ( 其中i为虚数单位， 13 22 i = +为 3 1x =的根，并且有01 2 =+) 是抽象代数中环论的两个重要的环，它们常被作为例子 散见于各类抽象代数教材及论文中. 在文献 2 9 中，于萍教授等人专门讨论了代数整数环 z的素元及剩余类环，并且证明了 z 为欧氏环，从而是主理想整环，进而是唯一分 解整环. 在文献 3 0 中，唐高华教授等人又研究了iz的模n剩余类环izn的素谱和零因 子. 本文作者正是受到了文献 2 9 , 3 0 的启发，在本章中研究了代数整数环 z 的模n剩余 类环 n z 的零因子集合、单位群、素谱以及 n z j 的局部环直和分解. 在不致混淆的前 提下，本章用a表示 n z 中的a，ab+代替ab+表示 n z 中的元素, 为了书写的方便， 我们并没有把 n z 中的理想写成剩余类的形式( 例如：i是z的理想，若( )ni，我们 仍用i表示 n z 的理想( )in+) . 此外， 除非特别说明， 本章中所指环均为有限含幺交换环. 2.1 预备知识 设r是一个整环，ra0且a不是单位，我们定义： ( 1 ) 若a在r中只有平凡分解即a只能分解为一个单位与其相伴元的积，则称a是一 个不可约元； ( 2 ) 若a bc必有a b或a c，则称a是一个素元( 有关环论的知识参见文献 3 1 - 3 5 ) . 在整环中，素元一定是不可约元，但反之未必. 但是在唯一分解整环中，素元等价于 不可约元. 此外，由于 z 为主理想整环，故在 z 中，有以下两条成立： ( 1 ) za为素元)(a为 z 的非零素理想； ( 2 ) za为不可约元)(a为极大理想. 这是因为：( 1 ) 若a为素元，则)()()(acabcababcaabc或或，从而)(a 为 z 的非零素理想；反之，若)(a为非零素理想，则)()()(acababcbca或 caba 或，因此a为素元. 从而( 1 ) 成立. ( 2 ) 若a为不可约元，则)(a为极大理想，否则存在 )(bi =使得)(a)(b，因而ab，这与a为不可约元矛盾. 反之，若)(a为极大理想，则有a 为不可约元, 不然，存在cb,)( * rur 使得bca =，从而)(a)(b，这与)(a为极大理想 矛盾. 从而( 2 ) 成立. 注意到 z 是唯一分解整环，其素元等价于不可约元，故在 z 中， 非零素理想等价于极大理想. 事实上，在任一主理想整环中都有，非零素理想等价于极大 理想( 证明过程与上面的情形完全一样) . 下面，我们给出本章中经常出现的一些重要的引理，即引理 2 . 1 . 1 - 引理 2 . 1 . 8 . 引理 2 . 1 . 1 关于 n z 的以下结论成立： 5 ( 1 ) /( ) n zzn； ( 2 ) 2 /(1) nn zzxxx +； ( 3 ) n z 为主理想环； ( 4 ) 2(mod3)n 且n为素数 n z 为域. 证明 ( 1 ) 定义对应: n fzz，对任意zba+, 有 (), , , n f ababa bz a bz+=+, 易知f为映射，且为满的环同态，又因为 ker()0fabf abab=+=+=， 一方面, 由0)()()(=+=xfnbaxnx可知,)ker()(fn ；另一方面, 由+ ba )ker( f知,=+)(baf0ab+=，而0ab+=nbna 且 ab+zn)(n=，故 )()ker(nf，从而)()ker(nf=，由同态基本定理知( 1 ) 成立. ( 2 ) 定义对应: nn z xz，对任意)(xzxf n ，有( ( )( )f xf=，易知，为 映射且为满的环同态，考察的核 ker = ( ) ( ( )()0 n f xz xf xf=， 注意到在 n zx 中，若为)(xf的根，则( )f x必含有因子 2 1xx+或其同余式，从而的 共轭复数也是)(xf的根, 因此 ()0f =()( )xf x 2 1( )xxf x+ 2 ( )(1)f xxx+， 故ker = 2 (1)xx+. 再由同态基本定理有， n z / n zx 2 (1)xx+. ( 3 ) 由文献 2 9 知 z 为欧氏环，因而是主理想整环，即 z 中的每一个理想都是 主理想，从而 n z 的理想都为主理想，所以 n z 为主理想环. ( 4 ) 由 2 9 ，定理 1 可知，2(mod3)n 且n为素数n为 z 的素元. 若2(mod3)n 且n为素数，则n为 z 的素元，故( )n为 z 的非零素理想进而是极大理想，因此 n z ( )zn为域，所以2(mod3)n 且n为素数 n z 为域；反之，若 n z 为域, 则( )n为 z 的极大理想，从而( )n为 z 的非零素理想，故n为 z 的素元，因此 2(mod3)n 且n为素数. 所以结论( 4 ) 成立. 引理 2 . 1 . 2 3 1 ，习题 3 . 1 . 8 设r为有限环，则( ) p specr d rp = 且( )( )u rrd r=. 引理 2 . 1 . 3 3 2 设r为有限环，则specr=maxr. 引理 2 . 1 . 4 设p为素数， k p zr =，( )ip=是r的p生成的主理想，则 22k ip =. 证明 ( )pprpr rr=， 由于( )abip=+ 0(mod) 0(mod) ap bp ，所以,a b仅可从 pppppp kk ,2, 2 , , 0 中取值，因而ba,各有 1k p种取法，故 22k ip =. 引理 2 . 1 . 5 3 3 ，4 . 1 1 定理 6 ( 1 )(,)1 mnmn zzzm n= ； ( 2 ) 设 12 12 s kkk s npp= p是n的标准素分解式，则 1 1 kks s n pp zzz. 引理 2 . 1 . 6 3 4 ，2 . 7习题 9 设 1m rrr，则r的单位乘群( )u r有直积分 6 解 12 ( )()()() m u ru ru ru r=，进而若() i u r=ik ，则 1 ( ) m u rkk=，1,im i . 引理 2 . 1 . 7 3 5 ， 1 . 5 定理 1 . 5 . 7 设trf:是环满同态，a是r中包含)ker( f的 理想( 素理想) 的集合，b是t中理想( 素理想) 的集合，则 )(,:ifiba 是一一对应的. 引理 2 . 1 . 8 ( 中国剩余定理) 3 5 ，1 . 5 定理 1 . 5 . 9 设 n iii, 21 是环r的两两互素的 理想，记 n iiii 21 =，则 ),()(,: 21 1 n n i i iriririr i r i r +=+ = 是同构. 注意到有限个环的直积与直和是同构的，故上式中 = n i i i r 1 可换为 i n i i r =1 . 2.2 n z 的代数结构 上一节，我们已经给出了一些必要的预备知识，在这一节中，主要给出了 n z 的 零因子集合与单位乘群( 及其阶数) 、素谱以及 n z j 的局部环直和分解. 我们先给出当n 的素因子个数为1时， n z 的零因子集合与单位乘群的相关结论， 并且在环的同构意义下， 确定了 j r ，其中j为r的 j a c o b s o n 根，即定理 2 . 2 . 1 ，然后再对更一般的情形进行讨论. 定理 2 . 2 . 1 设 n rz = ( 1 ) 当3kn =时，r为局部环，其唯一的极大理想为(1)，且 21 ( )3 k d r =，( )u r 21 2 3 k =，此时 3 r z j . ( 2 ) 当,1(mod3) k npp=时，r为半局部环，r有两个极大理想( ),( )，其中p = 为p在z中的分解，)()(prj=， 2122 ( )2 kk d rpp =， 221 ( )2 kk u rpp =+ 22,k p 此时，r j pp zz. ( 3 ) 当,2(mod3) k npp=时，r为局部环，其唯一的极大理想为( )p，此时，( )d r = 22 ( ), k pp = 222 ( ), kk p r u rppz j =. 证明 ( 1 ) 由文献 2 9 知 z 为欧氏环，进而是唯一分解环. 在复数域中，1 2 + xx有 因式分解)(1 2 =+xxxx，令1x =得 2222 )1 ()1)(1 ()1)(1 ()1)(1 (3=+=， 因而 kkkk22 )1 () 1(3=，再由文献 2 9 知为 z 的单位，1 为 z 的素元，因 7 此(1)为 z 的素理想，即极大理想，又由引理 2 . 1 . 7 可知， n z 的素理想与 z 中 包含( )n的素理想是一一对应的，而由 kkkk22 )1 () 1(3=可知， z 中包含( )n唯一的 极大理想为(1)，故(1)为 3 k z的唯一极大理想，因此 3 k z为局部环，再由引 理 2 . 1 . 2 知)1 ()(=rd, 因而( )(1)d r=，以下证明(1) 21 3 k =，记集合 ,0(mod3) n axyx yzxy=+， 下证(1)a=, 任取 ,rabr=+(1)(1)()rab=+=()(2abb+)a ， 因()(2)30abbab+=，故(1),ra 即(1)a. 反之,xya +，由) 3(mod0+ yx知 2 , 33 n xy xy z + ， 因而 2 () (1)(1) 33 xyxy xy + +=+， 从而(1)a, 这就是说(1)a=. 因此只要r中xy+满足xy+0(mod3), 而在 )3( k n nz=中，),(yx的所有选择方法数为 2 3 k 种. 并且当3kn =时，0 xy+)3(mod的选 取种数与) 3(mod1+ yx及)3(mod2+ yx的选取种数相等，故满足0 xy+)3(mod的r 中元素个数为 2 21 3 3 3 k k =，所以( )(1)d r= 2 21 3 3 3 k k =，从而有 ( )u r 2 ( )3 k rd r= 21 3 k = 21 2 3 k ， 另一方面(1)j=， (1) rr r j j = 2 21 3 3 k k 3=，从而 3 r z j . ( 2 ) 由文献 2 9 可知，当)3(mod1p时，p在 z 中的唯一素因子分解为p =， 其中与都是p的互素的素因子，故 k p 在 z 中的唯一素因子分解为 kkk p=， 所 以 z 中包含( )p的极大理想为 12 ( ),( )mm=， 故r仅有两个极大理想，从而为半局部 环. 又 12 ,m m 极大，故必有 12 mmr+=，即 12 ( ),( )mm=在 n z 中是互素的，由 12 ,i i 互 素 121 2 iii i=i 3 2 ，1 . 2 习题 1 2 知， 12 jmm= 12 m m =()()p =. 再由引理 2 . 1 . 4 可知j= 22k p ，而作为群，有,1,2 i jmr i=，所以j整除,1,2 ii mmr i =，考虑到p 是一个素数，故 i m (1,2i =) 不得不为 21k p ，那么 ( )d r = 12 mm 12 mmj=+= 21 2 k p 22k p ， ( )u r = r 2 ( ) k d rp= 21 2 k p 22k p +， 再由引理 2 . 1 . 8 知 12 rrr jmm 而 i r m 为域，且,1,2 i r p i m =，所以 i r m ,1,2 p zi=，因此 pp r zz j . 8 ( 3 ) 当1k =时，由引理 2 . 1 . 1 ( 4 ) 可知，r为域，从而是局部环. 当2k 时，由文献 2 9 知，p在 z 中不可约，故( )p是 z 中包含( )n的唯一极 大理想，从而( )p是 n z 的唯一极大理想，因此r为局部环. 由引理 2 . 1 . 4 知 j=( )p= 22k p ， 2 ( )( ) k u rrd rp= 22k p ， 因而 2 r p j = 所以r j 为 2 p 阶有限域. 又由引理 2 . 1 . 1 ( 4 ) 知，当2(mod3)p 时， p z 为 2 p 阶域. 故 p r z j . 为研究n的素因子个数大于 1 时 n z 的相关代数结构，我们先给出以下命题，即 命题 2 . 2 . 2设 12 12 s kkk s npp= p是n在z中的标准素分解式，则 1 1 kks s n p p zzz. 证明 我们只要证明,m n互素时， mnmn zzz，由引理 2 . 1 . 5 ( 1 ) 知 mn z m z n z，因而 () mnmn zzz，故只要证明( m z ) n z mn zz. 而这个验证过程与 3 0 ， 定理 3 ( 2 ) 的证明是类似的， 故此处不再赘述. 命题 2 . 2 . 2 告诉我们，当n的素因子个数大于 1 时，我们总是可以把 n z 分解为一 些结构更为简单的环的直和，这样，我们不难得到定理 2 . 2 . 3 ，即 定理 2 . 2 . 3 设 n rz =, 110 11 3 lk s kk qppn s = tl t q是n在z中的标准素分解式，其 中1(mod3),2 ij pq( mod3)，,1 ij k l ，tjsi1 ,1. 则 ( 1 ) 当 0 0k =时， 111 (),(),(),(),(), ss specrq=,( ) t q,. 当 0 1k 时， 111 (1),(),(),(),(),(), ss specrq=,( ) t q,，其中sip iii =1 ,. ( 2 ) 当 0 0k =时，2specrmaxrst=+. 当 0 1k 时，21specrmaxrst=+ +. ( 3 ) 当 0 0k =时， 11 () st jpp qq=. 当 0 1k 时， 11 (1) st jpp qq=. ( 4 ) 当 0 0k =时， 111 tss qqpppp zzzzzz j r . 当 0 1k 时， 111 3 tss qqpppp zzzzzzz j r . 证明 ( 1 ) 当 0 0k =时，由文献 2 9 知，n在 z 中的不可约分解为 1 11 ( k n =) 1 1 )( l k ss q s tl t q， 其中sip iii =1 ,. 且), 2 , 1(,si ii =是 z 的素元，从而在 z 中包含)(n的素理 想为)(),(),(),(),(),( 111tss qq，由引理 2 . 1 . 7 可知 9 111 (),(),(),(),(), ss specrq=,( ) t q, 当 0 1k 时,n在 z 中的不可约分解为 ts l t l k ss k kkk qqn 11000 111 22 )()()1 () 1(=，其中sip iii =1 ,. 同 0 0k =之情形可得 111 (1),(),(),(),(),( ) ss specrq=,，( ) t q, ( 2 ) 由( 1 ) 直接观察可得. ( 3 ) 当 0 0k =时，因为r为有限环，所以 specrmaxr=,jmaxrspecr= =, 若 12 ,