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高阶奇异边值问题多个正解的存在性 m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s o fh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 学科专业：基础数学 研究生：孟凡博 指导教师：史国良副教授 天津大学理学院 二零零八年六月 中文摘要 本文主要研究高阶奇异边值问题多个正解的存在性 全文共分为六章来详细论述上述问题 第一章为前言，主要介绍所研究问题的一些背景，以及本文所要研究的问题 第二章主要给出了本文所得到的结论 第三章主要给出了一些相关定义和基本定理，利用这些工具研究如下奇异边 值问题多个正解的存在性 f c p ( x ”( ) ) 】”= ( 屯z ( ) ) + f 2 ( t ，z ( ) ) ，0 o ，t ( 0 ，1 ) 非线性项在 t = 0 ，t = 1 处奇异 第四章证明了本文第二章中给出的定理，通过锥拉伸锥压缩不动点定理得到 了两个正解存在的充分条件 第五章给出了定理的相关应用 第六章为结束语，总括全文的工作 关键词：奇异边值问题；多重正解；不动点定理；锥 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so f h i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i l lb ec o n s i d e r e d t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t os i xc h a p t e r s t h e 缸s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w ei n v e s t i g a t et h eb a c k - g r o u n do ft h i sp a p e r ，a n dm a k cp l a n sf o rt h er e s e a r c ho ft h ep r o b l e m t h en e x ts e c t i o ng i v e st h ec o n c l u t i o n so ft h i sp a p e r 。 t h et h i r ds e c t i o nc o n s i s t so fd e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m sa n dm a i n l yi n v e s t i g a t e s s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s = a ( t ，z ( t ) ) + 庀( t ，z ( t ) ) ，0 0 ，t ( 0 ，1 ) i nt h ef o u r t hs e c t i o nas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt w op o s i t i v e s o l u t i o n si sg i v e nb yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m so fc o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o n o fn o r mt y p e t h ef i f t hs e c t i o ng i v e st h ea p p l i c a t i o n so fo u rt h e o r e m s a tl a s t ，w es u m m a r i z et h er e s u l t so ft h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ； m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n s ； f i x e d p o i n tt h e o r e m ；c o n e 啪擀 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得蠢壅盘堂或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：磊栉横 签字目期： 枷够年多月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤注盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘垄盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 亍僦文储繇掰 签字日期：加凹年舌月纱日 导师签名：炙同钦 签字日期：胖月三日 第一章前言 第一章前言 具有奇性的常微分方程出现在气体动力学、流体力学、边界层理论等 应用科学中，非线性微分方程的奇异边值问题是微分方程领域中一个十分重 要的研究领域 本文考虑四阶奇异p - l a p l a c i a n 边值问题 擀d j 篡篙+ f 2 ( t , x x ( 1 010 ”0 “q ( 1 - ) 【z ( o ) = ) = z “( ) = z ( 1 ) = 、。 其中 ，丘c ( ( o ，1 ) ( 0 ，。) ， 0 ，。) ) f l ( t ，1 ) 0 ，2 ( t ，1 ) 0 ，t ( 0 ，1 ) ，厶满足 如下条件 ( h ) ：存在常数a 1 , p 1 ( o a l 肛l 1 ) ；入2 ，p 2 ( 1 a 2 p 2 ) ，使得对于 t ( 0 ，1 ) ，z ( 0 ，d o ) ，i = 1 ，2 ，有 c 地五( t ，z ) ( ，c x ) c 凡 ( t ，z ) ，0 c 1 ，( 1 2 ) c 五( t ，z ) ( t ，c z ) c m ( ，z ) ，c 1 ，( 1 3 ) 2sp 。，如为奇函数，定义为 ) = 。8 ， p - - 2 8 塞 ( 1 4 ) 当( 1 1 ) 中的函数 ，丘连续时，此类问题是非奇异的，这方面的研究结果 相对较多，文献 6 - 8 】研究了四阶微分方程非奇异边值问题解的存在性和唯一 性 当( 1 1 ) 中的函数 + ，2 在端点t = 0 和t = l 处至少有一个为无界时，此 类问题是奇异的( 条件( h ) 属于奇异情形) ，这方面的研究结果相对较少 韦忠礼在文献【1 】中利用上下解方法和极大值原理，给出了四阶奇异超 线性边值问题 f 。( 4 ) ( t ) = f ( t ，z ( ) ) ，0 t 1 ) 阶超线性奇异两点边值问题 f ( 一1 ) “z ( 2 m ) = f ( t ，z ( ) ，z ”( ) ，z ( 2 ( m - 1 ) ( ) ) ，0 t 1 ， iz ( 2 i ) ( o ) = z ( 2 ) ( 1 ) = 0 ，i = 0 ，1 ，m l ， 正解存在的充分必要条件，其中函数，满足拟齐次条件 r p a g a r w a l 与d o r e g a n 在文献 3 】中给出了二阶奇异边值问题 fz ”( t ) - 4 - 咖( ) b ( z ) ) - i - ( z ( ) ) 】= 0 ，0 t 1 ， iz ( o ) = x ( 1 ) = 0 ， 存在两个非负解的充分条件。采用的方法主要是k r a s n o s e l s k i i 锥上不动点定 理与非线性l e r a y - s c h a u d e r 选择性定理 r p a g a r w a l 与d 0 r e g a a 在文献 4 】中给出了二阶奇异边值问题 i 一+ f ( t ，。) = 0 ，0 0 ，i = 0 ，1 , t ( 0 ，1 ) 目前，边值问题的研究中所存在的问题是，当非线性项为超线性时，解存 在性结果不多，在解存在的充分必要条件方面，还有大量问题需要研究对边 值问题多个解的存在性，得到的结果较少，本文通过锥拉伸锥压缩不动点定 理给出了边值问题( 1 1 ) 两个正解存在的充分条件 2 第二章结论 符号表示 第二章结论 昂= 。c 2 0 ，1 】i 讳( z ) c 2 ( o ，1 ) ) ， 砖= z 昂i 如( ) 辱c 1 f o ，1 nc 2 ( o ，1 ) ) 定理2 1 令f ( t ，z ( t ) ) = ，l ( t ，z ( t ) ) + f 2 ( t ，z ( t ) ) ，如果 。 小1 叫馋，) d t 8 击 ( 2 1 ) 成立，则( 1 1 ) 至少有两个日正解z 1 ( t ) ，x 2 ( t ) 满足o r 忙10 1 | j z 2 i | r 其中n r 为常数，石1 + 石1 = 1 定理2 2 令，( ，z ( t ) ) = ( t ，z ( ) ) + 是( t ，z ( t ) ) ，如果 。 z 1 巾1 ) d t 8 击 ( 2 2 ) 成立，则( 1 1 ) 至少有两个写正解z 1 ( t ) ，z 2 ( 亡) 满足0 r 1 1 2 1 1 1 0 ，使当z d 且忙一x o l i o ( 6 仅与有关) ，使得对任何 t l ，t 2 a ，6 1 ，当i t l t 2 l 5 时，对一切。a 有 i x ( h ) 一z ( 2 ) j 0 ，则如( s ) = 1 3 l p - 2 s = s p 从而可得s = ( s ) 】声= ( s ) 1 ( q _ 1 ) ，故如( s ) 的逆函数为蛞1 ( s ) = s q 1 = l s l g - 2 s = 西q ( s ) 类似可证明，当s 0 设t = 兰，那么0 t 1 ，由q l 1 ，可得t q 一1 + ( 1 一t ) 。- 1 1 因 此，( 兰) g 一1 + ( 1 一! ) g 一1 1 从而有z g 一1 一可叮一1s ( z 一3 ) g 一1 故，如( z ) 一奶( 影) s 如 一剪) 口 令了= f 0 ，1 】，x = c o ，1 】 l = s u p l z ( t ) l 挺j 为x 中的范数，则在此范数下x 为b a n a c h 空间 5 第三章引理与注释 设a ( t ，s ) 为下面二阶边值问题的g r e e n 函数 f z ”( t ) = o ，0 t 1 ， 【z ( o ) = z ( 1 ) = 0 。 即 g ( ，s ) = s ( ( 1 1 一- 。t ) ) ，, 。o _ t s 0 ，t ( 0 ，1 ) 故存在0 口 0 ， 其中j o = 【q ，纠 令e o = ( 1 一卢) 口，则易知上面的g r e e n 函数具有如下性质： c ( t ，5 ) a ( s ，s ) ，( t ，s ) j j ； a ( t ，s ) 之e o ，( t ，s ) j o 而； c ( t ，8 ) 之e o a ( f ，5 ) ，t j o ，( ，s ) j z ( 3 1 ) ( 3 2 ) p = zz c o ，1 1 ，z ( ) o ，t m i 而n z ( t ) 2e 。i i z l l ) ， 易知p 是c o ，1 】中的锥 算子a ：x x 定义为 ( 删= f og f ) 筇1 ( 0 1g ( 和) 以如) ) 如) 磷 = z 1g 跏。( o c ( 和) 饰，如) ) d s ) 武 ( 3 3 ) 对于固定的z ( ) c o ，1 1 ，z ( t ) 0 ，取常数e l ，使c l l l x l l 1 ，1 c 1 1 由( 1 2 ) 和( 1 3 ) 可得 f ( t ，z 1 ( ) ) f ( t ，z 2 ( t ) ) ，z 1 ( t ) x 2 ( t ) ，t j ( 3 4 ) ， ，z ) ) ( 去) p 1 ( t ，c z ( t ) ) + ( 去) p 2 止 ，c - z ) ) ( 扩脚) + ( 扩枷) ( 3 5 ) 6 第三章引理与注释 若( 2 。1 ) 成立，则有 z 1g ( t ，s ) 厂( s ，z ( s ) ) d s z 1s ( 1 一：) c f p l ( s ，1 ) + c _ p 2 ，j ( s ，1 ) d s ( c f m + c f p 2 ) s ( 1 一s ) f ( s ，1 ) d s 可知算子a 有定义 从而，奇异边值l ；- j 题( 1 1 ) 有b 正解等价于下面积分方程 雄) _ 倒归f lg 跏。( z 1g ( 和) ，( s s ) ) d s ) ( 3 6 ) z ( 。) _ a z ( 。) = ( 。，溉l 上g ( 洲，( s ，z ( s ) ) d s ) ( 3 6 ) 有c o ，1 】的正解，即等价于算子a ：x x 有正的不动点 引理3 5 如果( 2 1 ) 成立，那么a ( p ) cp 证明：vz p 有 a z ( t ) = z 1g ( ，) 西q ( f 0 1g ( f ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s ) 必 。j 心0 硪) 如( z 0 1g s ) ，( 叫( s ) 汹、必- ， = e o a x ( z ) 其中t j o ，z z 因此 r a 而i na x ( 。) e o l l a x l l 即a x p 从而a ( p ) cp 口 引理3 6 a ：p p 是全连续算子 证明：先证明a 是紧算子， 设qcp 是有界集，即vz q ，存在l 1 0 ，使得恻l l 1 取常数c 2 0 ， 使得c 2 l l 1 ，1 c 221 ，vz g t 我们有 f ( t ，z ( ) ) c i p l f l ( t ，c 2 z ( t ) ) + c ；p 2 f 2 ( t ，c 2 z ( t ) ) c 芦1 ( ，1 ) + 丐舰f 2 ( t ，1 ) i 朋f ( t ，1 ) + 巧阳y ( t ，1 ) = ( 百m + i p 2 ) ，( ，1 ) 7 第三章引理与注释 从而有 a z ( 圳= t g ( t ，) 如( z 1g ( ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s ) j 厂0 1g ( ，) 吠如( z 0 1s ( 1 一s ) ，( s ，z ( s ) ) d s )， 如( 小1 - s ) 帅一s ) ) d s ) 西q ( 0 1s ( 1 一s ) ( 百m + i 触) ，( s ，1 ) 幽) = 如( i p l + i 舰) 如( 上1s ( - 一s ) ，( 3 ，) d s ) 即a q 一致有界 因c ( t ，s ) 在j j 上连续，从而是一致连续，故v 0 ，| 6 0 ，使得当 i t l 一t 2 l 0 使得对 每个凡= 0 ，1 ，2 ，都有j | z n | j 二2 8 第三章引理与注释 取常数c 3 ，使得c 3 l 1 l ，l c 3 l ，则对佗= 0 ，l ，2 ，有 f ( t ，x 。( ) ) = f l ( ，z 。( ) ) + f 2 ( t ，x n ( ) ) ；f 1 ( 六l c 3c 3 z 。( ) ) + ，2 ( t ，三c 3c 3 。( t ) ) s 百m f l ( t ，c 3 2 ：。( t ) ) + c 3 叫2 a ( t ，c 3 x 。( t ) ) i m f l ( t ，1 ) + c i h ( t ，1 ) ) s ( 酉m + c ；m ) f ( t ，1 ) 又因 l a x n ( t ) 一a x o ( t ) l = lz 1g ( t ，f ) 妒。( 0 1g ( ，s ) ，( s ，z 。( s ) ) d s ) 一f og ( t ，f ) 咖g ( o lc ( f ，s ) ，( s ，z 。( s ) ) d s ) 武 = iz 1g ( t ，, , o q ( o lc ( ，s ) ，( s ，z 。( s ) ) d 5 ) 一咖。( z 1g ( f ，s ) ，( s ，z 。( s ) d s ) l 毋。( o lc ( f ，s ) ，( s ，z 。( s ) ) d s ) 一咖。( o lc ( f ，s ) ，( s ，z 。( s ) d s ) s i 咖。( o lg ( ，s ) ，( s ，z n ( s ) ) d s lg ( ，s ) ，( s ，z 。( s ) d s ) i = i 咖。( o lc ( f ，s ) ，( s ，z n ( s ) 一，( s ，z 。( s ) 】d s ) l s 。( o lg ( 专，s ) 【，( s ，z 。( s ) 一，( s ，z 。( s ) 】d s i ) 如( z 1 g ( 和) i ，( s ，州s ) - ，( s ，州s ) id s ) 5c q ( f 0 1g ( s s ) 引沪加，啾s ) 陋) 由上面两式，( 2 1 ) ，f ( t ，x ) 的连续性，及l e b e s g u e 控制收敛定理可知，ij a z n a z o i j 一0 ，_ 。) 即a ：p p 是连续算子 综上可知a ：p 叶p 是全连续算子口 9 第四章定理的证明 第四章定理的证明 疋埋2 。l 网让明：湖- t - z 只恻l = l ，则usz 彤s 归l l = 上田1 ) 利 ( 3 4 ) 可知 j = l z lg 踟。( o lc ( 如) m s ) ) 印武l 伽“胤。( 小l 叫馋m d s ) = 扣叫如( 小_ 彬( s ，班s ) 纵小- 叫馋d s ) f 回i i e 明vz 只肛f l = 1 ，甭a x z 。 假若存在某个z p l i x l f = l ，使得a x = z 由范数的定义知，存在t o ( 0 ，1 ) 使得x ( t o ) = i = 1 从而有 一 1 = 雄。) = 倒勘三t 。( 1 - t o ) o g ( f 。1s ( 1 - s ) 馋，1 ) d s ) 引小叫m 川d s ) 才眉，从叨1 反议个战且，j 尿筇魁飙豆 由g r e e n 函数的性质可知，v 茁p t j o 时有 a z ( t ) = z 1g ( t ，f ) 咖。( z 1g ( f ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s ) 必 r g 刚。( r g s ) ，( s ，如w s ) 必 “p 刊如( e 。r m 一枷d s ) 、 。( f l - a 溉( f 肌一s ) ) d s + f 脚烈s ) ) 幽) 1 0 第四章定理的证明 当z ( t ) p ，l ，( 4 1 ) 则7 1 ，t j o 时，有c s x ( t ) c s o l l x l l 1 由( 1 2 ) ，( 1 3 ) 得 丘( 州) ) = 2 ( ，磊1c 5 z ( ) ) c 5 叫2 丘( t ，c 5 。( t ) ) c 5 一p 2 ( c 5 z ( t ) ) a 2 丘( t ，1 ) = 考一抛x a 2 ( t ) f 2 ( t ，1 ) r = m 觚 1 由( 4 2 ) 知，vz p 恻l = r 时有 悄球) 1 1 吲一口) 俳渺。( f ，2 ( s ，小) ) d s ) e o ( p 一刚水。) ( f c 扩咛2 掷 1 ) 如) e 。( p 一口) 咖。( 。) 如( 一q ) 鼋2 一纰e j 2i i z i i 入2 仡) = e 。一q ) 九( ( 一q ) 窖2 讹s 2 ) 酬z i i 2 ) = 印( p q ) 咖( ( p q ) c 5 a 2 - i t 2 0 2 + 1 t 2 ) c q ( r a 2 ) 2r = i i x l l 取 q 1 = z xil l z i i r ) ， q 2 = z xj 忙i | 1 ) ， q 3 = z xi | | zj i r 】 由引理( 3 2 ) ，结合以上内容可知，a 在p 中有两个不动点x l ( t ) ，z 2 ( t ) c 2 【0 ，l 】，满足 r | i z l l l 1 i i x 2 1 i 0 ，o 0 ，使l 1 ，则t l 1 ，从而由( 1 2 ) ，( 1 3 ) 可得 f ( t ，z 1 ) ) = a ( t ，z l ( t ) ) + 1 2 ( t ，。1 ( t ) ) = ( ，l z l ( ) ) + 尼( t ，l x l ( t ) ) o 一 ( 圭) 如( l z ，( t ) ) m ，。( t ，) + ( 圭) 如( 二。，( t ) ) 却丘- ) ) = l m - a - ( z 1 ( ) ) p ，1 ) + l t , 2 一 z ( z l ( ) ) p 2 丘 ，1 ) 1 2 第四章定理的证明 所以当t ( o ，a ) 时有 = z 1g 跏。( z 1g s ) ，( s ，州s s ) 式 z 1g ( t ，) ( z 1g ( ，s ) l m - a 1 ，( 8 ) 严 ( s ，1 ) d s ) 必 + z 1g ( t ，) 如( z 1g ( ，s ) l - a 2 扛，( s ) ) m 止( s ，1 ) 如) 必 毋。( l m - h ( 0 咿- ) 小斌蛾( r g 蝴，1 ) d s ) 磁 地( 泸以z 垆) z 1g 漱( r g s ) ，2 ( s 1 ) d s ) 武 c q ( l m - a 1 ( e o 1 q ) 小蛾蛾( f g 州s ) 诞 + c a ( l m - a 2 垆亿) 和锚溉( f 嘶) 2 k 小“溉( f g s ) 必 = 2 耳眙叫f + 1c - 刮如( r g s ) 武 2 k f c l 卅t jo , ( lg 心蚺) 碟 2 k 嘞( 州卢一酬r ( 1 卅武 其中 k = m i n 协( l m - a 1 ( ) p 1 t 1 ) ，咖。( 泸。2 ( 彤) p 2 见) ) 所以x l ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) 类似可证明x l ( t ) 0 ，t ( p ，1 ) 故z l ( t ) 是奇异边值问题( 1 1 ) 的正解，同理可证明x 2 ( t ) 也是奇异边值问 题( 1 1 ) 的正解 定理2 2 的证明： 假若( 2 2 ) 成立，则( 2 1 ) 成立由定理2 1 的结论知( 1 1 ) 有两个b 正解 z 1 ( ) ，z 2 ( t ) p 下证明z l ( t ) ，x 2 ( t ) 碍，以z l ( t ) 为例，要证明如( z l ( t ) ) c 1 【o ，1 】选择正 1 3 第四章定理的证明 数l ，使得l 1 ，则l 肛l ，由( 1 2 ) ，( 1 3 ) 可得 f 0 1i ( ，( s ) ) ) ，i d s = z 1 ，( s ，z ( s ) ) d s = o i $ i ( s ，z z ( s ) ) d s z 1 丘b z ( s ) ) 出 其中m = m a x l p ，l 一地) 由上式可知( 锄( x l ( s ) ) ) 绝对可积，故如( z 1 ( ) ) c 1 o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) 同理可证明如( z 2 7 心) ) c 1 【o ，1 nc 2 ( o ，1 ) ，证毕口 1 4 丘 z 一、 l l + d 0 b 聃 呐广厶 1 f ， 、一、厂协劫吆 g m 一 一 第五章相关应用 第五章相关应用 例题，考虑p = 2 时( 四阶) 拟线性常微分方程的两点边值问题 x(4)(t：)=-x)m“(t)+，(0)xn(“t),0，(1) 识 0 。我们有下面的 结论：问题( 5 ，1 ) 具有两个非零正解钆( ) 与z 2 ( ) ( 属于c 2 0 1 1 ) ，满足 z 1 ( ) 0 ，x 2 ( t ) 0 ，( 0 t 1 )( 5 2 ) rsupz 1 ( t ) 1 s u pz 2 ( t ) r ， ( 5 3 ) 0 t 10 t l 其中nr 为正常数 验证：令a ( t ，z ( ) ) = z m i t ) ，2 ( t ，z ( ) ) = z ”( t ) ，其中仇，n 如上所述由于 z 1 ( 1 一t ) ，( t1 ) 出= z 1 t ( 1 一纠 ( ，1 ) + f 2 ( t , 1 ) 】班 = t ( 1 一t ) ( 1 + 1 ) d r = 2 | t ( 1 一t ) d t o ，t ( 0 ，1 ) 故存在0 q 0 ， 其中j o = 口，例 令 尸= z z c o ，1 j ，z ( t ) o y t l l i 如i l z ( ) e 。f 。i f ， 其中c o = ( 1 一p ) q ，易知p 是c 【o ，1 】中的锥 考察算子 倒归1 g 慨 ) z 1g ( 和) 似s ) 】”+ ) 】8 d s d 摹 ( 5 5 ) 由第三章的论证可知，a ：p p 是全连续算子 对于x ( t ) p ，忙c l = 1 ，则0 x ( t ) s 忙i l = 1 从而有 l a x ( t ) i = f f 0 1a ( “) f og ( 和) 似酬”+ ) 】n ) d s 必f 1 8 ( 1 一s ) i i z | i ”+ i i z i i n ) d s s2 s ( 1 一s ) d s j 0 如武f f 0 1s ( 1 一s ) l i z + i i m + i i z + i i “) d ： 2 小h ， ( 5 6 ) 则r 1 由( 5 7 ) 可知，vz p i i x l i = r 时，有 l i a x ( t ) l 晶( 夕一q ) 2 忙o i i r i i ) 礼 r = i i = l l 取 q l = ( z xl l l z l i 7 ， q 2 = z xli i z i i 1 ) ， f t 3 = x xi 恻l r 1 7 ( 5 7 ) 、i， 击 c = 厂 口 一 p n + 2 0 p 2 ，i 觚m = r 取 第五章相关应用 由引理( 3 2 ) ，结合以上内容可知，a 在p 中有两个不动点x l ( t ) ，x 2 ( t ) c 2 o ，1 】满足( 5 3 ) 下面证明x l ( t ) ，x 2 ( t ) 满足( 5 1 ) 式 由于当0 0 ，0 t 1 证毕口 1 8 第六章结束语 第六章结束语 本文主要研究高阶奇异边值问题多个正解的存在性 本文受 1 】( 2 】的启发，研究四阶奇异p - l a p l u c i a n 边值问题 f 【奶( z ”( ) ) 】”= ，l ，z ) ) + f 2 ( t ，z ( ) ) ，0 0 ，t ( 0 ，1 ) ，正满足 如下条件 ( h ) ：存在常数a 1 ，肛l ( o a l p l 1 ) ；a 2 ，舰( 1 a 2 弘2 o o ) ，使得对于 t ( 0 ，1 ) ，z ( 0 ，o 。) ，i = 1 ，2 ，有 c m 五( ，z ) 五( ，c z ) 一厶( ，z ) ，0 c l ， 一4 ，z ) 五( 亡，c z ) c m ( t ，z ) ，c2l ， 2 p ，咖为奇函数，定义为 ，= 。s ， p - 2 s , 誊 本文对所研究的边值问题得到了两个正解存在的充分条件，在某些程度 上推广了【1 r 1 2 】的结果 1 9 参考文献 参考文献 1 z w e i ，p o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ff o u r t h o r d e rd i f c r e n t i a le q u a t i o n s ，m a t h s i n i c a ，4 2 ( 1 9 9 9 ) ，7 1 5 7 2 2 ( i nc h i n e s e ) 2 g s h i ，s c h e n ，p o s i t i v es o l u t i o n so fe v e nh i g h e r - o r d e rs i n g u l a rs u p e r l i n e a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，c o m p u t e r s ，m a t h a p p l 4 5 ( 2 0 0 3 ) ，5 9 3 6 0 3 3 r p a g a r w a l ，t w i ns o l u t i o n st os i n g u l a rd i r i c h l e tp r o b l e m s ，j m a t h a n a l a p p l 2 4 0 ( 1 9 9 9 ) ，4 3 3 4 4 5 【4 r p a g a r w a l ，e x i s t e n c et h e o r y f o rs i n g l ea n dm u l t i p l es o l u t i o n st os i n g u l a r p o s i t o n eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 7 5 ( 2 0 0 1 ) ， 3 9 3 4 1 4 【5 】d o r e g a n ，e x i s t e n c et h e o r yf o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， k l u w e ra c a d e m i c ，d o r d r e c h t ，1 9 9 7 6 s c h r o r d e rj f o u r t ho r d e rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；e s t i m a t e sb y t w o - s i d e db o u n d s j ，j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 4 ，1 8 5 ( 1 ) ：2 1 5 2 2 2 7 7g u p t acp e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l t sf o rt h eb e n d i n go fa ne l a s t i c b e a me q u a t i o na tr e s o n a n c e j ，j m a t h a n a l a p p l ，1 9 8 8 ，3 5 ( i ) ：2 0 s 一2 2 5 8 】u s m a n ira au n i q u e n e s st h e o r e mf o rab o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j p r o c a m e rm a t hs o c ，1 9 9 7 ，7 7 ( 2 ) ：3 2 9 - 3 3 5 9 s z c h e na n dy z h a n g ，s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nah a l f - l i n e j ， j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 5 ，1 9 5 ：4 4 9 - 4 6 8 【l o y s l i u ，e x i s t e n c ea n du n b o u n d e d n e s so fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs i n g u l a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nh a l f - l i n e j ，a p p l 。m a t h 。c o m p u t ，2 0 0 3 ，1 4 4 ： 5 4 3 5 5 6 1 1 b y a n ，d 0 r e g a na n dr p 。a g a r w a l ，u n b o u n d e ds o l u t i o n sf o rs i n g u l a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nt h es e m i - i n f i u i t ei n t e r v a l ：u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o na n dm u l t i p l i c i t y j ，a p p l m a t h c o m p u t ，2 0 0 6 ，1 4 7 ：6 2 9 6 4 4 2 0 参考文献 1 2 】z z h a n g ，ar e m a r ko i lt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n so fas u b l i n e a r e l l i p t i cp r o b l e m j ，n o n l i n e a ra n a l ，2 0 0 7 ，6 7 ：7 2 7 - 7 3 4 1 3 x z h a n g ，l l i ua n dy w u ，e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs e c o n d o r d e r s e m i p o s i t o n ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nt h eh a f t - l i n e j ，a p p l m a t h c o m p u t ， 2 0 0 7 ，1 8 5 ：4 7 3 4 8 4 1 4 b y a na n dy l i u ，u n b o u n d e ds o l u t i o n so ft h es i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m sf o rs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nt h eh a l f - l i n e j ，a p p l m a t h c o m p u t ，2 0 0 4 ，1 4 7 ：6 2 9 6 4 4 1 5 jp k p a l a m i d e sa n dg n g a l a n i s ，p o s i t i v e ，u n b o u n d e da n dm o n o t o n es o 1 u t i o n so ft h es i n g u l a rs e c o n dp a i n l e v ee q u a t i o no nt h eh a l f - l i n e j ，n o n l i n e a r a n a l ，2 0 0 4 ，5 7 ：4 0 1 4 1 9 1 6 】p k e l e v e d j i e v ，n o n n e g a t i v es o l u t i o nt os o m es i n g u l a rs e c o n d - o r d e rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s j ，n o n l i n e a ra n a l ，1 9 9 9 ，3 6 ：4 8 1 4 9 4 。 【1 7 k s c h r a d e r ，e x i s t e n c et h e o r e m sf o rs e c o n do r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s j ， j d i f f e q u a t ，1 9 6 9 ，5 ：5 7 2 5 8 4 1 8 l j a c k s o na n dk s c h r a d e r ，c o m p a r i s o nt h e o r e m sf o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n j ，j d i f f e q u a t ，1 9 6 7 ，3 ：2 4 8 - 2 5 5 【1 9 】j 。v b a x l e y , e x i s t e n c ea n du n i q u e n