（基础数学专业论文）具有常余维数2k7不动点集的（z2）k作用.pdf

摘要 设：( 易) 七x 胗_ 胛是群( 磊) k = 五，t 2 ，死l 砰= 1 ，互t j = t j t , 在光滑闭 流形m n 上的作用，则不动点集f 是m ”的有限个闭子流形的不交并若f 的每个分支具 有常维数n r ，则称f 具有常余维数r 设m o n 代表n 维未定向上协边群，令矗k 是具有 下述性质的n 维光滑田流形m “所在的上协边类构成的集合。m n 上存在不动点集为常 余维数r 的( 邑) 七光滑作用，则靠，七构成未定向上协边群m 仉的子群，矗七= 。 ，以，七 构成未定向上协边环m o 。= n om c k 的理想本文中，我们通过巧妙地构造流形m 使 其所在的上协边类不可分解，从而可以作为上协边环m o 。的生成元并在m 上定义适 当的( 历) 七作用使其不动点集f 具有常余维数r ，最终决定了未定向上协边环m o 。的理 想露7 关键词：( z 2 ) 知一作用上协边类不动点集射影空间丛 i a b s t r a c t l e t ：( 易) 七x m 一胗d e n o t e as m o o t h a c t i o n o f t h e g r o u p ( 易) 南= 噩，死l 砰= 1 ，正乃= 乃正) o nac l o s e dm a n i f o l dm n t h ef i x e dp o i n ts e tfo f t h ea c t i o ni st h ed i s j o i n t u n i o no f c l o s e ds u b m a n i f o l d so fm ”，w h i c ha r ef i n i t ei nn u m b e r i f e a c hc o m p o n e n to ffi so f c o n s t a n td i m e n s i o nn r ，w es a yt h a tfi so fc o n s t a n tc o d i m e n s i o nr l e tm o nd e n o t et h e u n o r i e n t e dc o b o r d i s mg r o u po f d i m e n s i o nn a n d 矗t h e s e to f u n o r i e n t e dc o b o r d i s mc l a s s e so f m nt h a ta d m i t sa ( 易) k - a c t i o nw i t hf i x e dp o i n ts e to f c o n s t a n tc o d i m e n s i o n r 靠七i sag r o u po f m o na n dj 。r ，七= n r 靠，知i sa ni d e a lo ft h eu n o r i e n t e dc o b o r d i s mr i n gm o 。= n om o n i nt h i sp a p e r , w ed e t e r m i n e 嚣7b yc o n s t r u c t i n gi n d e c o m p o s a b l em a n i f o l d sma n dd e f i n i n g a p p r o p r i a t e ( 易) - a c t i o no nm k e y w o r d s ：c o b o r d i s mc l a s s ；( z 2 ) k - a c t i o n ；f i x e dp o i n ts e t ；p r o j e c t i v es p a c eb u n d l e i v 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文具有常余维数2 。+ 7 不动点集的( 7 , z ) 。作用，是在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：彻彭 7 , 0 4 年争月e l 指导教师确认c 签名，：昱纽 沙3 年v 月2 ，弓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：何五易 7 弓年印月够日 指导教师。签孙掘 沙等年、月上e t 引言 拓扑学，作为几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在 已发展成为研究连续性现象的重要数学分支由于连续性在数学中的表现方式与研究方 式的多样性，拓扑学又分为若干分支，例如点集拓扑学，几何拓扑学，代数拓扑学，微分拓扑 学等拓扑学的研究成果与方法对于数学各个领域的不断渗透是2 0 世纪理论数学发展中 的一个明显特征 微分拓扑学是随着代数拓扑学与微分几何学的进步自二十世纪三十年代兴起的一门 新的数学分支，它是研究微分流形在微分同胚下不变性质的学科这方面的研究在本世纪 三十年代就有h w h i t n e y 的浸入理论【l 】，s s c a i r n s 的三角剖分定理【2 】，j h c w h i t e h e a d 的组合流形的正则邻域定理【3 】，为了研究微分流形上的向量场，w h i t n e y 还提出了纤维丛 的概念，从而使许多几何问题都与上同调( 示性类) 和同伦问题联系起来在五十年代中期 以后，由于1 l t h o m ，j m i l n o r , s s m a l e ，m k e r v a i r e ，e c z e e m a n ，b m a z u r 等人一个又一个 的重要研究成粜微分拓扑学这门新学科受到极大的重视 正如拓扑学研究连续映射的性质一样，微分拓扑学研究微分映射的性质是首要的问 题从w h i t n e y 关于e u c l i d 平面映射的奇点的研究( 1 9 3 6 ) 起，w h i t e h e a d ，s m a l e ，t h o m ， j c m o o r e 在研究流形之间映射的奇点问题，g 1 映射提高成c 映射问题，横截正则映射 问题等方面做出了卓越的贡献 其次，微分拓扑学的研究对数学的各个领域及其它学科领域不断渗透，并相互结合，相 互作用例如，六十年代初，s m a l e 开始的微分动力系统理论就是流形上的常微分方程论 同时，a t i y a h 等人也创立了微分流形上的椭圆型算子理论著名的a t i y a h s i n g e r 指标定理 把算子的解析指数与流形的示性类联系了起来，这是分析学与微分拓扑学结合的范例另 j l - , t h o m 以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础创立了突变理论，为从量变到质变的 转化提供各种模式，它在物理学、化学、生物学、语言学等方面已有许多应用最后在经济 学方面，对于经济的数学模型，均衡的存在性、性质和计算等根本问题都离不开微分拓扑 学 r t h o m 的协边理论开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多困难的微 分拓扑问题被转化为代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展 从八十年代开始，吴振德教授带领他的学生开始了协边理论的研究，并取得了许多重要的 成果 对群在流形上作用的研究几乎与微分拓扑的历史一样长，b r o u w e r 不动点定理即为最 早的例子模2 整数加群易在微分流形上的作用，简称为对合，是一种十分重要的情形吴 振德教授从多方面对这一问题做了深入的研究 1 到目前为止，虽然汤在微分流形上作用的研究已得到很多结果，但是关于群( z 2 ) 七( 后 2 ) 在微分流形上作用的研究结果还不完善作者在王彦英教授的指导下，结合协边理论研 究了具有( 磊) 知作用的一类特殊流形的分类问题 为了清楚地表达结果，先介绍下列概念和记号 设：( 汤) 七m n 一胪是群( 易) 知= 丑，乃，死l 砰= l ，正乃= 乃正 在 光滑闭流形m 上的光滑作用，则不动点集f 是m n 的有限个闭子流形的不交并若f 的每个分支具有常维数扎一r ，则称f 具有常余维数r 设m 仉代表未定向上协边群， m o 。= n om 仉代表未定向上协边环，其中的加法运算为 卅u 【n n 】= m “un n l ， 乘法运算为【m 1 【n “】= 【m 珏 一由【4 】可知m o 。是玩上的多项式代数，且在每 个维数他2 u 一1 ) 上有一个生成元，即m o 。= 忍b 2 ，瓤，x 5 ，z 6 ，x 8 ，】记以知是具有 下述性质的礼维光滑闭流形m n 所在的上协边类构成的集合tm n 上存在不动点集为常 余维数7 的( 易) 知光滑作用，则以，七构成未定向上协边群m o n 的子群，曩知= n 墨蠹 构成未定向上协边环m o 。的理想易证靠，七靠，七+ l ，墨七t 飞r 拧c 一- r + 。一 s t o n g 在文章【5 】5 中提出了计算墨1 的问题，并计算了矗1 c o n n e r 和f l o y d 证明了 j u 1 = ( o ) 【6 】，c a p o b i a n c o 在文 7 】，【8 】中决定了矗l 和露1 ，而z 5 1 u 1 6 ，曩l ，置l 则分别由 1 w a t a 9 ，w a d a 1 0 ，吴振德i 1l 】和k i k u e h i 1 2 】所决定 1 9 9 2 年p l q p e r g h e r 1 3 】开始考虑k 1 的情形他证明了以知= ( o ) ，最知包含所有 维数不小于2 的类r j s h a k e r 在【1 4 】中讨论了r 2 七的情形，证明了当r 2 知时，有 l ( o ) ， r = 1 ， 墨七= o l = 0 0 ，m 仉， re t ，饥， io 僻0 0 ，m 仉n k e r x ，ro d d ，r 3 这里x ：m 仅_ 忍表示模2 欧拉示性数对于r = 2 k , r = 2 h + 1 ，r = 2 + 2 ，r = 2 七+ 3 ，r = 2 知+ 4 ，r = 2 七+ 5 的情形，咒知已分别由i l j s h a k e r , 王彦英，刘作，李日成，冯杏 芳等在文献【1 5 ，【1 6 】，【1 7 】，【1 8 】， 1 9 】， 2 0 】中决定 在本文中，我们通过巧妙地构造流形m ，使其所在的上协边类不可分解从而可以作为 上协边环m o 。的生成元，并在m 上定义适当的( 易) 七作用使其不动点集f 具有常余维 数r ，决定了未定向上协边环m o 。的理想j 搿7 结果叙述如下t 定理1 设七25 ，伽2 u 一1 ) 是m o 。的一组生成元，则有 弘+ 7 一j m o nk e r x ， 佗2 七+ 8 j m 知 一1 2 七， r r n l r l 0 ，则对n 2 r , “+ 2n 2 u 一1 ，在靠七中存在不可分解元z ” 文【2 0 】中定义了广义d o l d 流形：对拓扑空间x 及正整数m ，定义s mxx xx 上的 对合t 为：t ( u ，z ，y ) = ( - - u ，y ，z ) ，将商空间s m xxx t 记为p ( m ，x ) 若x 为n 维流 形，则p ( m ，x ) 为m + 2 n 维流形并证明了 4 引理1 8 矧 p ( m ， p ) 】为m o 。中的不可分解元当且仅当【m n 】不可分解且 二：1 ) 三1 删2 引理1 9 例若【胪】不可分解且n r i n 2 七】，则【胗】蓝j r 七 引理1 1 0 俐设( 易) 七作用于流形胗且s ( a 。，沁) 【m 0 ，则胗的不动点集的某一 分支的维数不小于【a i 2 七】+ + 队2 知】- 为了应用引理1 1 0 的方便，下面给出一种计算示性数的方法： 设u = ( t 1 ，1 2 ，) 为正整数n 的一个分拆，凳l0 = n ，令= ( 。o i l ，t ：， ：，1 ) 为住的一个分拆，记叫u = ( i t ，1 2 ，l ：，i ：，i ：n ) 为礼+ n 的一个分拆，如果是 弓的一个分拆( 1 j m ) ，则称u 1 忱为u 的加细 给定一个闭流形胪，u = ( i l ，i 2 ，) 为1 1 的一个分拆，s 。( t ) = f 4 - 3 1 扣- j 2 缘是 关于r 个变量t 1 ，t 2 ，0 p n ) 的最小对称多项式则钆( t ) 可表示为基本对称多项式 盯l ，c r 2 ，0 r 的多项式，不妨设s u ( t ) = p ( 盯1 ，0 2 ，听) ，我们用m n 的第j 个s t i e f e l w h i t n e y 类w j ( m n ) 代替0 j ( isj r ) ，可得上同调类p ( 0 3 1 ，蚍，嘶) ，记其为钆( 胗) 钆阻“】表示与钆( m n ) 对应的示性数 引理1 1 1 1 2 4 ；。删如果z n m 2 一1 ) 是m o 。的生成元，则 如”训= ：纂篡掣触组 若 ( m n ) = n ：1 ( 1 + 锄) ，即m n 的全s t i e f e l = w h i m e y 类能分解成一次项因式相乘的形 式，则 ia ，( a l ，眈，) 如果r n ， “渺卜1 讹口2 m 必如果分n 引理1 1 2 1 4 ；删l 】对最七有下列结论 粥 毫m m o 仉n 帆：署 5 不可分解元的存在性 首先，我们在不可分解的上协边类中选取恰当的代表元并且在其上定义具有常余维 数不动点集的( 汤) 奄作用，从而给出j 拳7 中的不可分解的上协边类 引理2 1 对k 6 ，竹2 七+ 9 ，n 为奇数且钆2 u 一1 ，则存在不可分解元x n 嚣7 证明考虑以下几种情况： ( 1 ) 珏= 2 岛+ 9 取z n = r p ( 2 0 ；2 詹一1 0 ) 】 因为 ( ：2 k + 8 + ( 2 k - 1 1 ) ( 2 知j8 ) 三1 m 。d2 由引理1 1 知z n 是不可分解的 下证7 在r p ( 2 0 ) 上建立( 磊) 3 作用，其中乃( 1 歹3 ) 作用在r p ( 2 0 ) 上为在y i 上乘以 一1 ，若l = 1 ，2 ，2 j + 2 j _ 1 r o o d 2 j + 1 + ，则( 噩，乃，码) 在r p ( 2 0 ) 上的不动点集为7 个 r p ( 2 ) ，令( 易) o 作用在其它上是恒同又2 3 + 2 七一1 1 = 2 k _ 3 2 七，由引理1 3 知作用的不 动点集u p ( 2 ) r p ( o ) r p ( o ) xe 是2 维的，所以余维数是r = 2 k + 9 - 2 = 2 k + 7 ， 即z 狂舅7 ( 2 ) n = 2 七+ 1 1 由文【1 7 】中的构成知，存在2 血一1 + 5 维的不可分解元a 2 + 5 蓐。1 + 5 + 2 知一1 ，故 存在q 2 t 一- + 5 的代表元舻b 1 + 5 及其上的可换对合，砭一。，其不动点集f 的维 数为3 考虑广义d o l d 流形p ( 1 ，m ) = s 1 m 妒- 1 + 5 m 2 b 1 + 5 z 在s 1 m 2 卜1 + 5 m 2 扣1 + 5 上定义可换对合正，死，乃，置噩如下。 噩( t ，z ，可) = ( 一t ，z ，y ) 死( 钍，茁，y ) = ( 一t ，墨( z ) ，( 可) ) 码( t ，z ，y ) = ( 一t ，( z ) ，砭( 耖) ) 噩( t ，茁，y ) = ( 一t ，( z ) ，砭( 秒) ) 冠( “，z ，可) = ( 一，一，( z ) ，一，( 秒) ) 正均与r 可换，因此在p ( i ，m 2 。- i + 5 ) 上导出相应的对合，其不动点集为f = s 1 ( f ， f ) t ：t 吝4 维的，其中( ，) = ( z ，z ) lz f ) 为对角线集，且p ( 1 ，舻b 1 + 5 ) 的 6 维数是1q - 2 ( 2 七一1 + 5 ) = 2 七+ i i 维；又因舻扣1 + 5 是不可分解的，且 ( 1 + 2 k 1 - 一lq 1 _ 5 一1 ) 兰l m 。d2 由引理1 8 得，p ( 1 ，m 2 k - i + 5 ) 是不可分解的 综上可知【p ( 1 ，m 鲈。1 + 5 ) 】，慧7 ( 3 ) n = 2 知十1 3 取= 【n p ( 2 0 ；2 七一6 ) 】 因 ( ：三。) + ( 2 k - 6 - i ) ( n 一01 ) 兰1 m 。d2 由引理1 1 得茁n 是不可分解的 下证x n 露7 因l + 3 = 2 知一6 + 3 = 2 知一3 2 七，3 m + 2 = 2 0 ，所以m = 6 ，2 m - 1 - zq - 1 = 2 k - b7 ，由 引理1 4 知露7 ( 4 ) 礼= 2 七- i - 1 5 取茁住= r p ( 2 0 ，n 一2 七一1 3 ；2 知一6 ) 】 因 ( ：+ - 2 1 2 ) + ( n ：1 ) + c 2 知一8 ，( 礼一01 ) 三1 m 。d2 由引理1 1 得z n 是不可分解的 一一 下证z n 舅7 因z - 1 - 3 = 2 七一6 + 3 = 2 七一3 r l = 0 ，r m 4 取= 【冗p ( 2 r m + 1 + 2 m 一1 6 ，n 一2 知一2 r m 一1 ；2 知一2 r m - i - 1 + 1 8 ) 】则 ( 2 + 。：三一1 6 ) + ( n 一2 7 二：钿一1 ) + c 2 知一2 + l + 1 6 ，( n 一01 ) 三1 m 。d2 由引理1 1 得z n 是不可分解的 下证x n 露7 7 因1 + 3 = 2 k - 2 r m b 1 + 1 8 + 3 = 2 k _ ( 2 r m + 1 - 2 1 ) 2 k ( 24 ) ，3 m + 2 = z m + 1 + 2 r m - 1 6 ， 所以m = 2 一6 ，2 m + ! - 4 - l = 2 知- 4 - 7 由引理1 4 知z 竹碍7 ( 6 ) n = 2 七十2 七一1 1 = 2 七+ 2 七一2 + 2 k 一3 + + 2 + 1 取z 珏= 【r p ( 2 奄一1 + 2 七一2 4 ，竹一2 七一2 七一2 5 ；2 走一2 知一1 + 1 0 ) 】 因 墨一4 ) + ( 一= 一一5 卜趔8 ，0 ) 三1 删2 由引理1 1 得z n 是不可分解的 下证z n 露7 因；+ 3 = 2 k 一2 k l - 4 - 1 0 + 3 = 2 k 一( 2 量一1 1 3 ) 2 k , 3 m + 2 = 2 是一1 + 2 k 一2 4 ，所以 m = 2 七一2 2 ，2 m - 4 - z + 1 = 2 知十7 ，由引理1 4 知舅7 ( 7 ) 2 知+ 2 七一14 - 1 7 1 = 0 ，因为2 七+ 2 知一1 + 1 n 2 k + 1 1 ，所以存在r i 使得亿+ 1 r i + l ，而鲈+ 2 知一一2 = 2 知+ 2 七一2 + 2 七一3 + + 2 ，含 有从2 的从1 到k 一2 的任何次幂所以 l 薯+ 1 ) _ ( 2 七暑一2 ) 兰。删2 又因为 ( ：二：) 三。 由引理1 1 得z 住是不可分解的 下证z n 7 因2 + 1 = 2 七一1 + 1 5 + 1 2 知，2 m + 1 = 2 奄一1 5 ，所以m = 2 k 一1 8 ，m + z = 2 七十7 由引理1 5 知z n 露7 8 ( 8 ) 2 七+ 14 - 1 n 2 k + 2 1 取= 【r p ( 2 七+ 1 1 5 ，佗一2 七+ 1 + l ；1 5 ) 】 因 ( 2 5h - 1 ) + ( 1 5 - 2 ) 0 ) 甜2 由引理1 1 得z n 是不可分解的 下证z n 。j n n 2 k 知+ 7 因f4 - 1 = 1 54 - 1 2 七，2 m4 - 1 = 2 1 1 5 ，所以m = 2 知一8 ，m4 - z = 2 七4 - 7 ，由引理 1 5 知z n 露7 ( 9 ) 礼2 k + 24 - 1 由引理1 7 知存在不可分解元z n 露7 引理2 2 对k 6 ，n 2 知4 - 8 ，n 为偶数，则存在不可分解元露7 证明考虑以下几种情况： ( 1 ) 住= 2 七4 - 8 取= 【r p ( 3 1 ；2 知一2 2 ) 1 因为他一1 = 2 七4 - 8 1 = 2 k4 - 2 24 - 24 - 1 因此 ( 礼二1 ) + c 2 知一2 3 ，( n 一01 ) 三1 m 。d2 由引理1 1 得是不可分解的 下证x n 露7 在r p ( 3 1 ) 上建立( 磊) 4 作用，其中t j - ( 1 歹4 ) 作用在r p ( 3 1 ) 上为在犰上乘以 一1 ，若t = 1 ，2 ，2 j m o d2 j + i , 则( 乃，死，t 3 ，t 4 ) 在r p ( 3 1 ) 上的不动点集为1 6 个r p ( 1 ) ， 令( 汤) o 作用在其它上是恒同，且2 4 + 2 七一2 3 = 2 七一7 2 k ，由引理1 3 得z n 的不动点集 为ur p 0 ) xr p ( o ) r p ( o ) e 是1 维的，所以余维数是r = 2 k4 - 8 1 = 2 七4 - 7 ， 即$ n j n 2 k 4 - 7 ( 2 ) 祀= 2 知4 - 1 0 取z n = 【r p ( 1 5 ；2 知一4 ) 】 因 ( 佗三1 ) + ( 2 k - 4 - 1 ) it t - - 1 ) 三1 m 。d2 ， 由引理1 1 得是不可分解的 9 下证z 。稳7 在r p ( 1 5 ) 上建立( 乙) 2 作用，其中乃d = l ，2 ) 作用在r p ( 1 5 ) 上为在y i 上乘以 一1 ，若i = 1 ，2 ，2 j + 1 m o d 力+ ，则( 丑，乃) 在r p ( 1 5 ) 上的不动点集为4 个r p ( 3 ) ；令 ( 磊) o 作用在其它上是恒同，且2 2 + 2 七一5 = 2 七一1 2 奄，由引理1 3 得的不动点集为 ur p ( 3 ) r p ( o ) r p ( o ) e 是3 维的，所以余维数是r = 2 七十1 0 3 = 2 七+ 5 ，即 露7 ( 3 ) 珏= 2 知+ 1 2 取。n = 【r p ( 1 7 ；2 七一4 ) 】 因 ( 2 视4 一+ 1 1 ) + ( 2 k - 5 ) ( 佗一01 ) 兰l m 。d2 由弓l 理1 1 得z 竹是不可分解的 下证z n 露? 7 因1 + 3 = 2 一4 + 3 = 2 七一1 r l2l ，k 一1 4 ， ( i ) r l 3 取= r p ( 2 n 一2 知+ 1 1 3 ；2 七+ 1 一他+ 1 4 ) 1 则2 n 一2 h 1 1 3 = 2 聃1 + z m + 1 + + 2 r l + l 一2 k + l 一1 3 = 2 m + l + + 2 r 1 + 1 2 32 21 = 2 m + 1 + + 2 3 ( 2 r l 一2 1 ) 一2 2 1 = 2 r m + 1 + + 2 3 ( 2 r l 一3 + + 2 + 1 ) 一2 2 1 = 2 r m + l + + 2 r 1 + + 2 4q - 2 + 1 而n 一1 = 2 七十2 + 2 r m 一1 + + 2 l 一1 = 2 k + 2 r m + 2 7 m 一1 + + 2 r 2 + 2 r l 一1 + + 2 + 1 所以 ( 2 佗二：【一1 3 ) + c 2 奄+ l n + 1 3 ，( n 一01 ) 三l m 。d2 由引理i i 得是不可分解的 下证z n 露7 因2 + 1 = 2 知+ 1 一竹+ 1 4 + 1 = 2 k + l n + 1 5 2 k + 1 + 1 5 一( 2 七十1 6 ) = 2 一1 2 k ，2 m + 1 = 2 n 一2 k + 1 1 3 ， 所以m = 佗一2 七一7 ，m + z = 2 七十7 ，由引理1 5 知走7 ( i i ) r l = 3 取= f r p ( 2 n 一2 知+ 1 1 7 ，2 ；2 蚪1 一竹+ 1 6 ) 1 。 则2 n 一2 k + 1 1 7 = 2 k + 1 + 2 知+ + 2 r 2 + 1 + 2 4 2 k + 1 1 7 = 2 k + + 2 r 2 + 2 + 2 n + l 一1 = 2 七+ + 2 朋+ 2 + 2 心+ 护一l + 2 + 1 而n 一1 = 2 七+ 2 k 一1 + 2 k 一2 + + 2 他+ 2 3 1 = 2 七+ 2 k 一1 + 2 k 一2 + + 2 朋+ 2 2 + 2 + 1 因此 ( 2 n 二：【一1 7 ) + ( 竹：1 ) + ( 2 k + l - n + 1 6 - 2 ，( n 一01 ) 三l m 。d2 由引理1 1 得z n 是不可分解的 下证z n 露7 因2 + 1 = 2 k + 1 一竹+ 1 4 + 1 = 2 k + 1 一竹+ 1 5 2 七+ 1 + 1 5 一( 2 七十1 6 ) = 2 七一1 2 k ，2 m + 1 = 2 n 一2 k + 1 1 3 ， 所以m = 竹一2 知一7 ，m 十z = 2 知+ 7 ，由引理1 5 知z n 露7 ( i i i ) r l = 2 ，r 2 芝4 取x n = r p ( 2 n 一2 知+ 1 1 3 ；2 知+ 1 一n + 1 4 ) 】 则2 n 一2 k + 1 1 3 = 2 + 1 + 2 r m + l + + 2 r a + l + 2 r 2 + 1 + 2 r 1 + 1 2 知+ 1 1 3 = 2 r m + l - l - + 2 r a + l + 2 r 2 + l - t - 2 r 1 + 1 2 s 一2 2 1 1 1 = 2 + 1 + + 2 r a 4 - 1 + 2 r 2 + + 2 3 + 2 + 1 而 所以 n 一1 = 2 知+ 2 + 2 r m 一1 + + 2 您+ 2 2 1 = 2 k + 2 + 2 r m 一1 + + 2 您+ 2 + 1 ( 2 铭一乏二3 1 3 ) + c 2 ：= + 1 - - n - - 1 3 ) ( n ：1 ) 兰l m 。d2 由引理1 1 得茁n 是不可分解的 因z + 1 = 2 知+ 1 礼+ 1 4 + 1 = 2 k + 1 一住+ 1 5 2 k + i + 1 5 一( 2 k 十1 6 ) ：2 知一1 2 蠢，2 m + i = 2 n 一2 k + l 一1 3 ， 所以m = 礼一2 七一7 ，仇+ z = 2 詹+ 7 ，由引理1 5 知z 。露7 ( i v ) 9 1 = 2 ，r 2 = 3 且n = 2 知+ 2 七一1 + + 2 功十2 ”，其中如4 ，从七到n 之间存 在2 的任意次幂取= 【即( 2 n 一2 k 十1 1 7 ，2 ；2 k + z n + 1 6 ) 1 贝42 n 一2 蠡+ 1 1 7 = 2 k + 1 + 2 k + + 2 , - 2 + i + 2 4 2 k + 1 1 7 三2 量+ + 2 r 2 + 2 + 2 r 2 + 1 一l = 2 知+ + 2 , - 2 + 2 + 2 , - 2 + 2 , - 2 1 - 4 - 2 + 1 而竹一1 = 2 知+ 2 奄一1 + 2 k 一2 - 4 - + 2 r 2 + 2 3 1 = 2 知4 - 2 知一l + 2 k 一2 + + 2 住+ 2 2 + 2 + 1 毛m 。2 ) + ( 2 詹+ 1 - - n + 1 6 - - 2 ) 0 ) 兰1 涮2 由引理1 1 得茁n 是不可分解的 下证嚣7 因f - i - l = 2 七+ 1 一n - i - 1 4 + 1 = 2 k + 1 一他+ 1 5 2 k + 1 + 1 5 一( 2 h + 1 6 ) ：2 k 一1 2 知，2 m + 1 = 2 n 一2 k + 1 1 3 。 所以m = n 一鲈一7 ，m + z = 2 七十7 由引理1 5 知露7 ( v ) t 1 = 1 ，仡之2 取x n = 【r p ( 2 n 一2 七+ 1 1 3 ；2 七+ 1 一佗+ 1 4 ) 1 则2 n 一2 奄+ 1 1 3 = 2 + 1 + 2 r m + 1 + + 2 r a + l + 2 r 2 + i + 2 2 2 h + i 一1 3 1 2 = 2 r m + 1 + + 2 r 3 + 1 + 2 s ( 2 您一2 1 ) 一1 = 2 r m + l + 十2 r 3 + 1 + 2 r 2 + + 2 s i = 2 r m + l + + 2 3 + i + 2 r 2 + + 2 2 + 2 + 1 而 n 一1 = 2 奄+ 2 + 2 一1 + + 2 您+ 2 一l = 2 知+ 2 r m + 2 m 一1 + + 2 n + 1 ( - 1 3 ) + ( 2 七+ i - - n + 1 3 ) 0 ) 舭 由引理1 1 得是不可分解的 因z + 1 = 2 k + 1 一礼+ 1 5 + i = 2 k + 1 一n + 1 6 2 k + 1 + 1 7 一( 2 七+ 1 6 ) 2 七，2 m + i = 2 n 一2 知+ 1 1 5 ，所以m = n 一2 七一8 ，m + z = 2 知+ 7 ，由引理1 5 知z n z 7 。 ( 6 ) 礼= 2 七“ 取卫n = 【r p ( 2 知+ 1 ，2 七一1 二7 ；参一1 十7 ) 】 因 ( 三：) + ( 2 三_ 二7 ) + ( 2 k - i + 5 ) ( n 一01 ) 三1 m 。d2 由引理l 。1 得是不可分解的 下证露7 因l + l = 2 k - 1 + 7 + 1 = 2 知一1 + 8 2 ，2 m + l = 2 k + 1 ，所以m = 2 k 一1 ，m + l = 2 k + 7 ， 由引理1 5 知露7 ( 7 ) 2 七+ 1 + 2 n 2 七4 - 2 1 0 取= 僻p ( 2 蚪1 9 ，竹一2 七+ 1 2 ；1 2 ) 】 因 ( 2 知n 十- 。一19 ) + ( n 二二：【一2 ) + 1 。( 见01 ) 耋1 m 。d2 这是因为2 k + 1 + 2 礼s2 k + 2 6 ，所以2 k + 1 + 1 n 一1 2 k + 2 1 1 若设礼一1 = 2 七+ 1 + 2 r m + + 2 n ，k 之r m r m l r l = 0 因为2 七+ 2 1 1 = 2 知+ 2 2 3 2 1 = 2 k + 1 + 2 知十+ 2 4 + 2 2 + 1 ，所以n 一1 的分解式中 不含有2 n ，其中4 或= l ，3 ，而2 七+ 1 9 = 2 k + 1 2 3 1 = 2 s ( 2 知+ 1 1 ) 一1 = 2 七十+ 2 4 + 2 3 1 = 2 七十+ 2 4 + 2 2 + 2 + 1 ，分解式中仅仅不含有2 3 所以 n - 一1 9 ) 一。一 由引理1 1 得o 。是不可分解的 下证。, i ，l n 2 k + 7 因z + 1 = 1 2 4 1 = 1 3 2 膏( 七6 ) ，2 仇+ 1 = 2 k + 1 9 ，所以m = 2 k _ 5 ，m + l = 2 k + 7 ， 由引理1 5 知舅7 ( 8 ) n = 2 k + 2 8 取茁n = 【r p ( 2 知+ 1 1 3 ，2 。卧1 8 ；1 4 ) 】 n 一1 = 2 k + 2 9 = 2 k + l + 2 忌+ + 2 4 十2 2 + 2 + 1 2 奄+ 1 1 3 = 2 七+ + 2 4 + 2 2 + 2 + 1 ，2 k + 1 8 = 2 知4 - 2 知一1 + - 4 - 2 3 ， ( 2 七：二3 ) + ( 2 ：l8 ) + ( 1 4 - 2 ) ( n 一01 ) 兰l m 甜2 由引理1 1 得是不可分解的 下证z n 。j n n 2 h 七+ 7 因1 + 1 = 1 4 4 1 = 1 5 2 k ( 南6 ) ，2 m 4 1 = 2 j , + 1 1 3 ，所以w t = 2 砖一7 ，m + l = 2 k + 7 ， 由引理1 5 知z n 舅7 ( 9 ) 礼= 2 k + 2 6 取x n = r e ( 2 七+ 1 9 ，2 七+ 1 8 ；1 2 ) 】 所以 1 4 竹一1 = 2 七+ 2 7 = 2 血+ 1 + 2 七+ + 2 3 + 1 2 七+ 1 9 = 2 七十+ 2 4 + 2 2 + 2 + 1 ，2 知+ 1 8 = 2 知+ 2 七一1 + + 2 3 ， ( 2 知n + 。- 一19 ) + ( 2 知n + 。- 一18 ) + ( 1 2 - 2 ) ( n 一01 ) 兰1 m 。d2 由引理1 1 得x n 是不可分解的 下证z n 。g n n 2 ，m 七+ 7 因l + l = 1 2 + 1 = 1 3 2 七( 七6 ) ，2 m + l = 2 七+ 1 9 ，所以m = 2 k _ 5 ，m + l = 2 知+ 7 ， 由引理1 5 知z n 露7 ( 1 0 ) n = 2 知+ 2 4 取= 【r p ( 2 七+ 1 9 ，2 七+ 1 6 ；1 2 ) 1 仃一1 = 2 k + 2 5 = 2 k + l + 2 k + + 2 3 + 2 + 1 2 磨+ 1 9 = 2 知+ + 2 4 + 2 2 + 2 + 1 ，2 k + 1 6 = 2 七十2 知一l + + 2 3 + 2 ， ( 2 二_ 二9 ) + ( 2 n ，- 一1 6 ) + ( 1 2 - 2 ) ( n 一01 ) 三l m 。d2 由引理1 1 得是不可分解的 下证$ n 霹7 因1 + 1 = 1 2 + 1 = 1 3 2 k ( k 6 ) ，2 m + 1 = 2 k + 1 9 ，所以m = 2 七一5 ，m + l = 2 七十7 ， 由弓l 理1 5 知z n j n 2 k + 7 ( 1 1 ) n = 2 k + 2 2 取z n = 【r p ( 2 七+ 1 9 ，2 矗+ 1 4 ；1 2 ) 1 因n = 2 七十2 2 ，所以住一1 = 2 k + 2 3 = 2 2 ( 2 知1 ) + 1 = 2 k + 1 + 2 知+ + 2 2 + 1 ， 而2 1 9 = 2 七+ 1 2 3 1 = 2 + + 2 4 + 2 2 + 2 + 1 ， 2 七+ 1 4 = 2 k + 1 2 2 = 2 七+ + 2 3 + 2 2 所以 ( 2 三_ 二9 ) 十( 2 二= _ 二4 ) + l 。( 竹一01 ) 兰1 仃的& 2 由引理1 ：1 得z n 是不可分解的 下证z n 露7 因f + 1 = 1 2 + 1 = 1 3 2 k ( k 6 ) ，2 m + 1 = 2 k + 1 9 ，所以m = 2 k _ 5 ，m + l = 2 七十7 由引理2 5 知z n 7 ( i 2 ) n 2 七十“ 由引理1 7 知，存在不可分解元z n 7 引理2 3 对k = 5 ，礼4 1 ，礼为奇数且n 2 一1 ，则存在不可分解元z n 露7 证明考虑以下几种情况： 1 5 取z n = 【r p ( 2 0 ；2 2 ) 】由于n 一1 = 2 5 + 2 3 ，2 0 = 2 4 + 2 2 因为 ( 主：；) + ( 2 2 - 1 ) ( 2 5 言2 3 ) 三l m 。d2 由引理1 1 知z 。是不可分解的 下证茁n 露 在r p ( 2 0 ) 上建立( 易) 3 作用，其中t j ( 1 歹s3 ) 作用在r p ( 2 0 ) 上为在佻上乘以 一1 ，若i = 1 ，2 ，+ 2 j - 1 r o o d2 j + 1 - t - 2 j ，则( 噩，乃，噩) 在n p ( 2 0 ) 上的不动点集为7 个 r i p ( 2 ) ，令( 易) o 作用在其它上是恒同又2 3 + 2 知一1 1 = 2 七一3 2 七，由引理1 3 知z n 的 不动点集为u r p ( 2 ) r p ( o ) r p ( o ) e 是2 维的所以余维数是r = 4 1 2 = 3 9 ， 即茁n 罐 ( 2 ) 铭= 4 3 由文【1 7 】中j 搿2 的构成知，存在2 1 维的不可分解元a 2 1 j 讪1 s 4 ，故存在口2 l 的代表 元m 2 1 及其上的可换对合