（基础数学专业论文）一类特殊的射影平坦的（αβ）空间以及对偶平坦的finsler空间.pdf

附件3 独创性声明 学位论文题目：二垄继盟盥超鲤星! 幽坚蚓 偶坦盟而胁豇园 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者： 鹰踝 签字日期： ) d 口7 年鲜月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权供留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：函不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：李幂导师签名：至佳 签字日期：) 7 年乎月27 日签字日期：d 7 年争月2 日 一类特殊的射影平坦的( o z ，) 空间以及 对偶平坦的f i n s l e r 空间 基础数学硕士研究生 指导教师 摘要 李梁 王佳教授 本文研究了一类特殊的射影平坦( a ，p ) 一度量，以及具有对偶平坦的f i n s l e r 空间第三部分得 出了m a t s u m o t 。度量f = 为射影平坦充分必要条件，这里n =i y j 是一个黎曼度量， 卢= b i y i 是一个1 一形式，而且完全确定了射影平坦且具有常曲率的m a t s u m o t o 度量的局部结构 本文第四部分讨论了对偶平坦的f i n s l e r 空闽，并且得到了对偶平坦的几个等价命题，构造出了一个 对偶平坦的度量主要获得一下结果： 定理3 1f = 禹射影平坦当且仅当。射影平坦，p 关于n 平行 引理3 。1 若f = 禹射影平坦具有常益率k = a = c o n s t a n t ，那么a = 0 定理3 2 若f = 为射影乎坦且具有常曲率k = 0 ，那么f 为局部m i n k o w s k i a n 度量 命题4 1 设( m ，f ) 为一个f i n s l e r 空间，f 为对偶平坦的当且仅当在t m 上存在一个纯量函 数q ，q ( a y ) = a q ( 鲈) ，a 0 ，使得 2 ( q f 2 ) 矿= 3 ( f 2 ) 一 此时，q = 掣 命题4 2 设( a 厶f ) 为一个f i n s l e r 空同f 为对偶平坦的当且仅当 ( f 2 ) 。矿= ( f 2 ) 一一 1 引理4 1 t o 是一个定义在强凸邻域的q r n 的f u n k 度量，f i n s l e r 度量l = f 2 诱导的测 地系数满足 石= 一秒昂， 其中h = 一o l ，则当且仅当 k 一= ( o l ) 矿 定理4 1 ， o = e ( z ，y ) 是一个定义在强凸邻域的nc 彤。的f u n k 度量，对于任意一点 口= ( a i ) q ，我们在t 1 2 = n r r 。定义一个函数f = f ( z ，y ) ，如下 l = 2 0 2 ，) + ( e 2 ) 一( 一o ) = 2 0 2 + 2 0 2 e 矿( 一一) ， 那么l 是对偶平坦 具体表达式为： ，一2 ( 讥丌1 研砸f i i 万巧+ ) 3 l21 f 啊甲孺f 司雨萨i 亏菏 定理4 2 假设妒= 妒( 暑，) 为m i n k o w s k i 范敦，q = y 舻i 妒( ) 0 ，s a t i s f i e s 2 ( q f 2 ) = 3 ( f 2 ) 一 3 t h e r e q = 簪 p r o p o s i t i o n4 2l e t ( m ，f ) i saf i n s l e rs p a c e ，fi sd u a lf l a ti fa n d o n l yi f ( f 2 ) 一旷= ( f 2 ) 。t 矿 l e m a4 1 l e teb et h ef u n km e t r i co i ls t r o n g l yc o n v g xd o m a i nf 2 舻a n d 岙= 一1 _ g “或“ f i n s l e ri n e t r i cl = f 2i n d u c e s0 i fa n do n l yi fls a t i s f i e s k t = ( e l ) 扩 t t 咖r e m4 1l e to = e ( x ，掣) b et h ef u n km e t r i co nas t r o n g l yc o n v e x d o m a i nqc 酽 f o ra na r b i t r a r yp o i n ta = ( ) q , d e f i n ea f u n c t i o n f = f ( x ，材) o n t q = n 舻b y 五= 2 0 2 ( 髫，) + ( 0 2 ) ( 一一a q = 2 ( 3 2 + 2 0 2 e 矿( 一o ) t h e n l i sd u a t f l a t t h ec o n c r e t ee x p r e s s i o ni 暑 t h e o r e m4 2l e t 妒：妒0 ) b eam i n k o w s k in o r m l e t0 g i v e nb yg = 一 g “吼l ， d e i l o t et h es p r a yd e f i n e di nq = b 舻l 妒( 管) 0 ，y v ( c ) 对任意的0 y v ，在v 上的基本形式鲫是非退化的，其中 舭，沪互1 丽0 2 y + s u + t v ) l 0 这时( k l ) 称为一个m i n k o w s k i 空间如果对任意的y v 都有l ( - y ) = 工( ) ，则称l 是 对称的 设肘是一个维流形，t m 上的函数f ( z ，y ) 称为f i a s l e r 度量，如果f 满足 ( a ) f ( x ，y ) 在t m o ) 上是c ”的； 7 ( b ) 对v y v ，b ( 口) = f ( z ，y ) 是t z m 上的m i n k o w s k i 范数，即 i ) f 关于y 是正1 阶齐次的，即 f ( a y ) = a f ( u ) ，a 0 ，y y ； i i ) 对任意的0 y v ，在v 上的基本形式鲰是非退化的，其中 枷) = ；磊 f 2 ( y + s u + t v 叱铷 此时称( m ，f ) 为f i n s l e r 空间 如果l = 鲫( z ) 矿矿，f i n s l e r 度量l 就称为黎曼度量，因此f i n s l e r 度量仅仅是没有二 次限制后，对黎曼度量的一般化，通常我们用g = 表示黎曼度量在上个世纪， 黎曼度量是非常重要的度量，而且已经被深入的研究 在流形m 上的每一个f i n s l e r 度量都能诱导t m 上的一个向量场 g ：刮刍一z 饰m 杀 这里 g l ( 刚) ：2i a i r ( 刚) 慨- 矿( z ，y ) y 一l t ( x , ) ) ， 其中( z ，y ) ：= ( ( z ，) ) - 1 可以证明 ( 。，a y ) = a 2 ( z ，) ，a 0 ， 我们此时称g 为f 诱导的一个f i n s l e rs p r a y 当然并不是每一个s p r a y 是由f i n s l e r 度量 诱导的 令 冰= 筹n嘣i 训) = 岳n ) 我们称吩为f 的联络系数，巧女为f 的c h r i s t o f f e l 符号 我们给出测地线的定义 假设c ( t ) 为( m ，f ) 的一条参数曲线，若它满足测地方程 万d 2 x i 十2 ( c ( t ) ，面d c ) = 。， 其中 分= 扣 f 2 k f 2 则称c ( t ) 为测地线，g 为f 的测地系数其中( g “) 表示( g u ) 的逆矩阵 ( m ，l ) 为f i n s l e r 流形，对于一条参数曲线c ：c = c ( t ) ，0 t 1 ，曲线的弧长定义为 瓜：而丽m 利用这个长度结构，我们能够定义在mxm 上一个函数d = d p ，q ) d ，q ) = i n f l ( c ) 这里取所有连接p 和q 曲线的下确界，这个距离函数满足 ( i ) d ( p ，q ) 20 ，等式成立当且仅当p = q ( i i ) d ( p ，q ) d ( p ，r ) + d ( r ，口) d 称为l 的距离函数 定义：如果在任意一点，在t m 上总存在一个局部坐标系( x iy ) 使得g = y i 刍，则 s p r a yg 称为平坦的 如果g 是平坦的，那么总存在一个适当的坐标系，使得由g 决定的测地线是线性 的，或者说任意一条测地线盯( ) 的坐标( ( 力) 可以写成线性的，即= a i r + 护 下面介绍几何量 对任一非零向量y t p m ，定义c a r t a n 挠率为： q = c 舀k ( x ，y ) d x 4 0 d x j o d x 2 ：7 p m o m o t p m _ r ， 其中 吲训) = j 器n 定义平均c a f t a n 挠率为 毛= 五( z ，y ) d x ：昂m r ， 其中 五舻一杀卜肛硐 定义r i e m a n n 曲率为 吼= r 2 d x k 鼠：t v m t v m ， 其中 r k = 2 丽o g i 一筹矿+ 2 c j 器一雾器 9 r i e m a n n 曲率的迹 r i c ( x ，”) = ( n 一1 ) n ( y ) = r 嚣( z ，) ， 称为p d c c i 曲率r = n ( x ，口) = 元与五t c ( z ，9 ) 称为r i c c i 标量 定义b e r w a l d 曲率为 目= 鼋t z d 。如圆出l 刍l 。：耳吖圆弓m t p m t p m ， 其中 b ；埘( z ，) = 石；( z ，y ) 定义平均b e r w a l d 曲率为 目= 易纠。d x 。l 。：t p m 圆t p m r ， 其中 e j k ( x ，y ) = 言稚。( z ，) ， 定义局部m i n k o w s k i a n 度量为l 对于流形m 上任意一点x ，在t m 上总存在一个局部坐标系( ，y ) ，使得f = f ( y ) 只是关于( y ) r n 的函数，则f 称为局部m i n k o w s k i a n 度量 对一个二维平面p c 昂m 和0 昂m 定义旗曲率为 砒沪而两器等， 其中p = 8 p a n y ，u ) ，显然k = 0 乍亭r = 0 如果k ( p , y ) = g ( x ，) ，即k ( p , y ) 与所选平 面无关，只与p m 和0 y 露m 有关，则称f 具有标量曲率k = k ( z ，) ，在一个局 部坐标系下，这等价于 磁：k f 2 ( 磋一霉) ：f 2 ( 酩一庐“) ：k f 2 ； 如果k 是一个常数，那么我们称f 具有常曲率k 这里先来介绍一下( a ，卢) 一度量： f = 口( s ) ，8 = z c , ， 1 0 其中a = “i 乃是黎曼度量，口= 趣( z ) 矿是非零的1 一形式满足l l 风 0 ，1 8 1 b 0 ， 1 2 i i ) 日( z ，y ) 在t m 0 是c 0 。的 例2 4 ：对于任意一个f i n s l e r 度量l = k ( z ，g ) ，函数h ：= l ( x ，) 是一个h 函数 定义：在流形m 的个d i v e r g e n c e 函数d ，如果在局部坐标系( 以) 下，它满足下 面的条件，则称函数d 为正则的d i v e r g e n c e 2 d ( 一1 ( 。) ，咖一1 ( z + ) ) = l ( x ，! ，) + p ( x ，y ) + o ( 1 y 1 3 ) ，( 6 ) 这里l = l ( x ，y ) 为f i n s l e r 度量，p = p ( x ，y ) 为t m o 上的c 。函数，满足 p ( z ，a y ) = a 3 p ( z ，) ，a 0 引理2 3 ( 【3 3 】) d 为流形m 上的一个正则d i v e r g e n c e ，而且，p 在( 6 ) 中给出，那么 h ：= _ p ( z ，) 一；l 妒( z ，g ) ( 7 ) 此时h 为m 上的h 函数，因此( 6 ) 可以写成 2 d ( 咖一1 ( 。) ，庐一1 ( 茁+ 可) ) = l ( x , y ) + ：l 。( z ，可) 可七十日( 茁，剪) + 。( 1 可1 3 ) ，( 8 ) 定义；( 工，日) 就称为流形m 上的信息结构，其中l = l ( x ，y ) 是流形m 上的f i n s l e r 度量，h = h ( x ，y ) 是一个h 函数 ( 厶日) 为流形m 上的信息结构，我们能够定义一族s p r a y s g a = y i 瑟0 2 瓯( 训) 未 其中 嚷( 训) = g l ( 训) + ；矿( 训) ( 训) 那么g 口称为( l ，h ) 的n s p r a y 如果在流形上一个信息结构( 厶日) 的g 。是平坦的，也就是说g 。= 0 ，那么这个信 息结构称为。平坦的，如果它是1 一平坦，那么称( ，日) 为平坦 定理2 1 ( 3 3 1 ) ( l ，h ) 为流形m 上的一个信息结构，对于某个口0 ，( l ，h ) 是。 平坦，即 = 一2 9 i ( x , 口) ( z ，) 当且仅当存在一个局部坐标系x 满足 也e 矿矿= 2 l 一 ( 9 ) 1 3 日= 一6 i 。l 一矿 ( 1 0 ) 证明：假设( ，h ) 是平坦由假设，存在一个标准坐标系( ，y ) ，满足g ：( z ，y ) = 0 ， 即 岔= 一芸g 玎( z ，可) 五0 ( 。，y ) 由上式得： 日( 训) = 一去如( 删) g ，) = 一去( 刚) 矿 因此 ( 训) = 一爹2 ( 枷) 乃( 训) = 壶9 ( 训) ( 训) 口】矿 和前面等式比较。我们得到结论 相反，如果l 满足，那么l 的s p r a y 系数为 ( 训) = i g u l 一( 砌) 由于。我们有 = 一秒( 舢) r ( 训) = 秽 * i ll - 训) 【如( 钏) 矿1 = 一耖( 础) 幻( 剐) 因此 g ：( 。，y ) = i ，( z ，y ) + 2 9 i j ( z ，) b ( z ，) = 0 因此d s p r a y 为平坦的 我们给出( 局部) 对偶平坦的定义， 定义l = l ( x ，y ) 为流形m 上一个f i n s l e r 度量，如果在任何一点，都存在一个局 部坐标系( ) ，使得l = l ( x ，y ) 满足， l = k y l y 。= 2 l 一 ( 1 1 ) 那么l 就称为( 局部) 对偶平坦的 命题2 1 黎曼度量g = 趵( z ) 矿矿是局部对偶平坦的当且仅当 咖) = 患( z ) 证明；假设g 是局部对偶平坦，那么存在局部坐标系( 一) ，使得l ：= g 满足( 1 1 ) ，则 a g , t ( z ) + o g k t ( z ) = 2 a a g t k 、( z ) i ，1 交换指标得到 一o g i l ( 卅警( 加2 0 。g k ，l ( z ) ( 1 2 ) 两式相减得到 o g i k ( z ) = 0 9 k 1 ( 。) 因此，存在一个函数妒( z ) 满足( 1 2 ) 成立，反之结果是平凡的 例2 5 设曲( ) 为在舻上的一个m i n k o w s k i 范数，qc 舻为由它定义的一个强凸 邻域记作 q ：= 妇舻l ( ) 0 ，使得 2 ( q f 2 ) 矿= 3 ( f 2 ) 一 ( 2 5 ) 此o , - j - q = 鹄乒 证明：设 q ：掣 ( 2 6 ) 即， 2 q f 2 = ( f 2 ) 一矿 对上式两边关于y 求微分得： 2 ( q f 2 ) 矿= ( f 2 ) 。- 矿七+ ( f 2 ) 扩酵= ( f 2 ) x k y i y 知+ ( f 2 ) 一 ( 2 7 ) 因此( f 2 ) 妒矿= 2 ( f 2 ) 一当且仅当 2 ( q f z ) = 3 ( f 2 ) 一 注意：如果f 满足( 2 5 ) ，对于某一个q ，q ( a 9 ) = a q ( y ) ，v a 0 ，那么用y 对( 2 5 ) 进行缩并。可以得到q = 掣 命题4 2 设( m ，f ) 为一个f i n s l e r 空问f 为对偶平坦的当且仅当 ( f 2 ) 。矿= ( f 2 ) ：t 一 ( 2 8 ) 证明 假设f 为对偶平坦的，由命题( 4 1 ) 得，对于某一个定义在t m 上的纯量函数q ， q ( a ) = 柚，v a 0 ，使得f 满足( 2 5 ) ，即 2 ( q f 2 ) 矿= 3 i f 2 ) 一 那么 ( 确幽t = 驷p ) 矿矿= ；i q f e 矿= t f 矿 即 ( f 2 ) 一矿= ( f 2 ) ；t 矿 反之，若 ( f 2 ) 。- 矿= ( f 2 ) ：t 那么 ( f 2 ) 一扩暑，= ( f 2 ) 。* 一y = 2 ( f 2 ) 一 即，f 对偶平坦 注： ( f 2 ) 一矿= ( f 2 ) 。一 ( f 2 ) 。矿= 2 ( f 2 ) 一 上面的条件说明 ( f 2 ) 矿9 ，矿一y = 0 我们由f u n k 度量出发来构造一个新的例子，首先来看一个引理： 引理4 2 ；e 是一个定义在强凸邻域的q 舻的f u n k 度量，f i n s l e r 度量l = f 2 诱 导的测地系数满足 石：一毛。， 1 2 9 ) 其中厅= 一 e l 。则当且仅当 工一= ( e l ) 驴 ( 3 0 ) 证明。假设l 诱导了s p r a y0 ，使得测地系数满足方程( 2 9 ) ，那么由引理“1 ) 得到l 是对偶平坦的，那么 l k 矿= 2 l 一 ( 3 1 ) 2 1 h = - 知灶一；e 工 即 3 0 l = l 。t 矿 3 ( e l ) 矿= l 。矿可+ 匕= 3 l 一 所以( e ) = 岛“ 反之，若l 满足方程( e 工) 矿= l x 一，则 k t 矿驴= ( e l b t 矿暑，。= 2 ( e 五b t = 2 k 所以l 是对偶平坦的，此时测地系数满足( 2 9 ) 定理4 1 ，8 = 9 ( z ，是一个定义在强凸邻域的qc 肜的n n k 度量， 点n = ( 酽) q ，我们在t q = q 形定义一个函数f = f ( x ，y ) ，如下 l = 2 0 2 扛，鳓+ ( e 2 ) ：；( 一一口) = 2 0 2 + 2 e 2 ；扛一8 ) 那么l 是对偶平坦 证明 ( 3 2 ) 对于任意 f 3 3 ) l 一= 4 0 0 妒+ 2 ( e 2 ) 。k 0 矿( 一) + 2 0 2 0 。一( 一n 1 ) + 2 0 2 0 矿罐 = 4 0 2 e 旷+ 4 0 2 e 旷0 一q 7 + 2 0 2 ( 羽铲) 旷一。勺十绚氇e = 6 0 2 0 矿+ 4 0 2 0 矿o 矿( ) + 2 0 2 0 矿o v a , ( 一n ) + 2 0 3 e 。矿( a i ) = 6 e 2 e 萨+ 6 0 2 ；r 0 1 g 0 + 2 e 3 岛v p c ) ( 。l b - ：( 2 0 3 + 2 0 3 e 掣t ( 工一n ) ) 矿= 6 0 2 0 矿+ 6 0 2 e 矿e v r ( 一o ) + 2 0 3 e 矿矿( 一) 由此我们得到l 一= ( 0 l ) 矿，那么根据引理4 1 ，l 是对偶平坦的 把f u n k 度量表达式代入，我们可以得到这个度量的具体形式，如下 二= 警鬻器磊器等铲 f = n = 2 时，我们得到 工= 拦萼磊哥筠 利用m a p l e 可以验证满足方程k t 一扩= 2 疋z 定义4 1 ：若在开子集nc 舻一个f i n 。l e r 度量l = l ( z ，口) ，它的泰勒展式如下 二= a i ，。( y ) ( 。“一z 分) ( z m z 分) 那么称l 在x 0 n 是解析的，其中n t 。是舻 o ) 上的c 一函数，满足 a i l - i m ( a g ) = ：a 2 a i l h ( ) ，a 0 因此0 0 ( ) = l ( x o ，) 是f p 上的m i n k o w s k i 范数 定理4 2 假设p = 妒( ) 为m i n k o w s k i 范数，n = 妇彤iv ( y ) l ，0 为定义在 q 上的s p r a y 系数，表达式为( 2 9 ) ，l = l ( x ，y ) 为定义0 q 邻域上的f i a s l e r 度量，若l 诱导了s p r a y g ，那么l 静表达式如下 o o 1m l 2 三翥蒜【矿( f 抽) 妒( g 他) 】| = o ( 3 4 ) 其中妒( ) ：l ( 0 ，) 反之，如果给定一个定义在酽上的m i a k o w s k i 范数妒= 砂( 口) ，那么 由( 3 4 ) 定义的函数l 诱导了s p r a y 0 ，即l 是对偶平坦的 证明：q c 舻为由m i n k o w 5 k i 范数妒= 妒( g ) 定义的强凸领域e = o ( x ，口) 为定义 在q 上的f u n k 度量，由f u n k 度量的定义， e ( 0 ，们= 妒( 口) ，y j 矿 假设在f t 上，存在一个f i r b l e r 度量l = 工( z ，v ) 满足( 3 0 ) 邵么由上式以及f u n k 度量的定义得刭 工一= ( e 二) 矿 l 。= ( o l ) f d = ( 0 ，：1 l 十e 幻) 矿 = ( 0 0 可j l + 0 ( e l ) 矿) 矿 = ( o l ) y , u j 2 3 ( 3 5 ) 设妒( ”) ：= l ( o ，) ，r ”得到 l r l 。t m = ( 0 ”l ) p l 一，t m 也钆。t 。( o ，y ) = 杪纠矿1 归 ( 3 6 ) 因此如果l = l ( z ，y ) 在z = o ，y 0 处解析，那么 = 互o o 而1 ；量杪蜘叫一1 扣 ( 3 7 ) 上式可以表达成 扣删l d 。m m ( f 删妒( 圳 ( 3 8 ) 反之，假设l 由( 3 8 ) 给出，l 在z = 0 q 的一个邻域是收敛的，对( 3 8 ) 关于一求微 分，得 知= ，毛嘉。乏( 矿纠儿咖( f ) “ = 量翥扩纠$ 1 k y i t _ y i m - - 1 扎玑扣- = 曼翥i 矿纠u k y q y t m - 1 ( 咖“堙扣一z 另一方面，我们可以从f u n k 度量的定义得到 e 儿咖( 刚) 2 赢【e 卅1 h 俨( 训) 那么 e 礼咖( o ，) 2 责【e 卅1 h 驴( o ，) 因此f u n k 度量可以写成 肚毛南礼：。妙+ 1 h “们1 ” 因此 m 一，1 钆2 三南礼：，护坳h “咖“扣 对上式关于圹求微分，得到 ( e 功矿= 。：1 可“委：。陋卅1 地v 。咿( 们l ” ( 3 9 ) 从可以看处l 满足l 一= ( e l ) 矿 由引理4 2 ，l 诱导的s p r a y 0 满足( 2 9 ) ，即l 对偶平坦t 五、进一步的问题 还有一些值得我们思考和进一步讨论的问题： 1 找到更多的不是射影平坦，但是为对偶平坦的度量 2 分类对偶平坦的( 玛卢) 度量以及找到刻划对偶平坦的不变量 3 进一步探讨对偶平坦的度量与曲率的关系 参考文献 【l 】1 pa n t o n e l l i ，r i n g a r d e na n dm m a t s u m o t o ，t h et h e o r yo fs p r a y sa n df i n s l e rs p a c e sw i t h a p p l i c a t i o n si np h 3 ，s i c sa n db i o l o g y , k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ，1 9 9 3 f 2 jpl a n t o n e d l ia n dzz a s t a w n i a k ( e d s ，知f i n s l e rg e o m e t r y , f i n s l e rs p a c e sa o dn o i s ea p p l i e d i nb i o l o g ya n dp h y s i c s ，p e r g a m o np r e s s ，m a t h e m a t i c a la n dc o m p u t e rm o d e l i n g ，2 0 ( 1 9 9 4 ) n o ，4 5 1 3 】d b s o ，c r o b l e sa n dzs h e n ，z e r r a e l on a v i g a t i o no nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，j o fd i f f e r - e n t i a lg e o m e t r y , 2 0 0 3 【4 d b a oa n dz s h e n ，f i n s l e rm e t r i c so fc o n s t a n tp o s i t i v ec u r v a t u r eo nt h el i eg r o u ps 3 。j l o n d o nm a t h ，s o c6 6 ( 2 0 0 2 ) ，4 5 3 4 6 7 ( 5 1xc h e n ，f i a s l e r s p a c e 3 f s c a l a r c u r v a t u r e a u d p o i e c t i v e c h a t i g e s o f f i l l e r m e c r i c s j o f m a t h ( p r c ) ，2 3 ( 2 0 0 3 ) ，4 5 4 6 2 【6 1 x c h c n 。o nt h ef l a gc u r v a t u r ea n ds - c u r v a t u r ei nf i n s l e rg e o m e t r y ，p r o c e e d i n g so ft h e i n t e r n a t i o n mc o n f e r e n c e 。i n t e g r a lg e o m e t r ya n dc o n v e x j t y ”，e d i t e db ye ，l g r i n b e r g e t c s w o r i ds c i e n t 诳c ，2 0 0 6 【7 】x c h e n f i n s l e rs p a c e sd fs c a l a rc u r v a t l l r ea n dp r o j e c t i v ec h a n g e so ff i n s l e rm e t r i c s ，j o f m a t h ( p r c ) ，2 3 ( 4 ) ( 2 0 0 3 ) ，4 5 5 - 4 6 2 【s l xc h e na n ds b a c s o ，f i r b l e rc o n f o f 诅dt r a u s f o r m a t i o n sa n dt h ec u r v 皿ei n v a r i a m t s ，p u b l m a t h ，d e b r e c e n ，7 0 1 2 ( 2 0 0 r ) ，2 2 1 2 3 1 【9 | x ，c h e n ，s b a c e oa n dz s h e n ，c u r v a t u r ep r o p e r t i e so f ( a ，p ) 一m e t r i c s ，a d v a n c e ds t u d i e s i np u r em a t h e m a t i c s ，m a t h s o e o fj a p a nf c oa p p e a r ) 1 1 0 1x c h e na n dz s h e n ，p r o j e c t i v e l yf i a tf i n s l e rm e t r i c sw i t ha l m o s ti s o t r o p i cs - c a z v a t u r e ， a e t am a t h e m a t i c as c i e n t i a ，2 6 b ( 2 ) ( 2 0 0 6 ) ，3 0 7 - 3 1 3 ， 1 1 lxc h e n dz s h e n ，o nd 口g j m e t r i c s ，p u b lm a t h d e b r e c e n ，6 6 涵4 ) ( 2 0 0 s ) 。5 0 3 5 1 2 。 1 1 2 】xc h e na n dz ，s h e n ，ac l a s so ff i n s l e rm e t r i c sw i t hm o t r o p i cs - c n r v 3 t u y e ，s u b m i t t e dt o 1 8 r lj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s j 1 3 1x c h e na n d 乙，s h e n 。ac o m p a r i s o nt h e o r e mo nt h er i c c ic 1 l r v a t u r ei np r o j e c t i v eg e l ) m - e t r y , a n n a l so fg l o b ea n a l y s i sa n dg e o m e t r y , 2 3 ( 2 0 0 3 ) ，1 4 1 - 1 5 5 【1 4 】s s c h e r n ，t h ef i n s l e rg e o m e t r yi sj u s tr i e m a n n i a ng e o m e t r yw i t h o u tt h eq u a d r a t i c r e s t r i c t i o n 。n o t i e e so ft h ea n l e rm a t hs o c ，9 ( 1 9 9 6 ) ，9 5 9 - 9 9 8 ( 1 5 lss c h e r e ih i s t o r i c a lr e m a r k so ng a u s s - b o n n e t ，a n a l y s i ja tc e t e r a t u m ed i d i e a t e dt o j u r g e nm o s e r ，1 9 9 1 ：2 0 9 - 3 2 1 ， 【1 6 】s ，s ，c h e r na n dz s h e n ，r i e m i a n - f i n s l e rg e o m e t r y , w o r l ds c i e n t i f i c ，2 0 0 5 ， f i 7 1pf i a s l e r ，u b e rk u r v e na n df 毯c h e ai na i t g e m e i n e nr a u m e n ，f d b s e r t a t i o n ，g b t t i n g a n ， 1 9 1 8 ) ，b i r k h a u s e tv e r l a g ，b a s e l ，1 9 5 1 【1 8 】g ，h a m e l ，u b e rd i eg e o m e t r i e e ni nd e n e nd i eg e l a d e f t d i ek i i r z e s t e ns h a d ，m a t h a n n 5 7 ( 1 9 0 3 ) 2 3 1 2 6 4 1 1 9 rs i n g a r d e n ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dp h y s i c s ，t e r x s o r 。k s v 0 1 3 0 ( t s z 6 ) ，2 0 1 一i 0 9 ( 2 0 jm ，j ia n dz s h e n ，o ns t r o n g l yc o n v e xg r a p h si nm i n k o w s k ig e o m e t r y , c a n a d i a nm a t h b u l l e t i n 4 s ( 2 ) ( 2 0 0 2 ) ，2 3 2 - 2 4 6 p a c e s ，s p r i n g e r 。1 9 5 9 ， f 2 1 ) m m a t s u m o t o ，t h eb e r w a l dc o n n e c t i o no f8f i n s l e rs p a c ew i t ha n ( q ，口) 一m e t r i c ，t e n s o r ， n s v 0 1 5 0 ( 1 9 9 1 ) 1 8 - 2 1 ( 2 2 jm ，m a t s u m o t o ，p r o j e c t i v ec h a n g e so ff i n s l e rm e t r i c sa n dp r o j e c t i v e l yf i a tf i n s l e rs p a c e s ， r e n s o r ，n s ( 1 9 8 0 ) ，3 0 3 - 3 1 5 2 3 1m m a t s u m o t o ，f o u n d a t i o n so ff i n s l e rg e o m e t r ya n ds p e c i a lf i n s l e rs p a c e s ，o t s u ，j a p a n ： k a i s e i s h ap r e s s ，1 9 8 6 2 4 】m m a t s u m o t o r a n d e r ss p a c e so fc o n t a n tc u r v a t u r e ，r e p m a t h ，p h y s 2 8 ( 1 9 8 9 ) ，2 4 9 - - 2 6 1 2 5 lr m i r o n a n d m a n a s t a s i e i ，v e c t o r b u n d l e sa n d f i n s l e r s p a c e s w i t h a p p l i c a t i o n s t or e l a t i v i 乇y g c o m e t r yb a l k a np r e s s ，b u c h a r e s t ，r o m a n i a ，1 9 9 7 2 6 】t o k a d a ，o n m o d e i s o f p r o j e c t i v e f i a t f i n s l e rs p a c e s o f c o n s t a n tn e g a t i v e c u r v a t u r e ，t e n s o r ， n s 。4 0 ( 1 9 8 3 ) 。1 1 7 - 1 2 4 1 2 7 1z s b e n ，f i n s l e rm e t r i c sw i t hk = 0a n ds = 0 ，c a n a d i a nj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ，5 5 ( 2 0 0 3 ) ， n o 1 1 1 2 1 3 2 f 2 8 1z s h e n ，t w o - d i m e n s i o n a lf i n s l e rm e t r i c so fc o n s t a n tc u r v a t u r e ，m a n u s c r i p t am a t h e m a t i c a ， 1 0 9 ( 3 ) ( 2 0 0 2 ) ，3 4 9 - 3 6 6 ， 【2 9 】z ，s h e n ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo fs p r a ya n df i n s l e rs p a c e s ，k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ， d o r d r e c h t ，2 0 0 1 1 3 0 jz s h e n ，l e c t u r en o t e so nf i n s i e xg e o m e t r y , s i n g a p o r e ，n e wj e r s e y , l o n d o n ，h o n gk o n g ： w j r l ds c i e n t i f i cp u b l i s h e r s 2 0 0 1 【3 1 】z s h e n ，o np r o j e c t i v e l yr e l a t e de i n s t e i nm e t r i c si nr i e m a n n - f i n s l e rg e o m e t r y , m a t h e m a - t b c h ea n n a l e n ，3 2 0 ( 2 0 0 1 )