（概率论与数理统计专业论文）两类随机变量的若干极限定理.pdf

内容提要 本文是在攻读硕士学位期间完成的，全文共分三章： 第一章是有关独立同分布随机场变量序列加权和的收敛性质对随机场变量的研究大约 始自上个世纪6 0 年代，由于它在实际生活中的广泛应用，其收敛性质引起了国内外很 多学者的关注在1 9 7 3 年，w i c h u r a 在研究多维时间参数的随机过程的s t r a s s e n 型重对数 律的文章中，得到了独立同分布随机场变量的重对数律；而s m y t h e 则得到了独立同分布随 机场变量经典的k o l m o g o r o v 强大数律 a l l a ng u t ( 1 9 7 8 ) 一般化了s m y t h e 的结果，证明了 独立同分布随机场变置的m a r c i n k i e w i c z 强大数律本文的第一章就是在g u t 等人工作的基 础之上。研究了独立同分布随机场变量加权和的收敛性 第一章，我们主要介绍了独立同分布随机场变量的m a r c i n k i e w i c z - z y g m u n d 强收敛性 s m y t h e ( 1 9 7 3 ) 研究了独立同分布r 维随机变量矩阵的强大数律，证明了如下的定理z 定理a设 x ，；佩n 4 ) 是i i d 随机场，且e x = 0 如果 e i x l ( 1 0 9 + l x i ) 8 1 o o( 1 ) 成立，则 洋一呱s ，何一。) ( 2 ) 反之，如果式( 2 ) 成立，则有式( 1 ) 成立 a l l a ng u t ( 1 9 7 8 ) 剐讨论了当o r 0 满足 屯= 1 骝掣如，“ 雏n 2 亩乏i 蚓。 。 时，对独立同分布随机场变量有下面的定理成立 定理1 设 x ，j ；元n 4 ) 是i i 正随机场变量，满足e x = 0 ，且 e t x l 4 ( 1 - i - e ( 1 r 一1 ) ) ( 1 0 9 + i x l ) “) o o ， ( 4 ) 对于0 r 1 ，1 口，卢 o o ，；1 + = 1 ，式( 3 ) 成立则 攀札口5 ( 5 ) 川1 p ” 一 反之，对有如上关系的a ，卢，r ，若式( 5 ) 对任何满足式( 3 ) 的系数矩阵都成立，则有式( 4 ) 成 立 j 定理2设 x ，；佩n 4 ) 是i i d ，随机场变量，满足 e x = 0 ， e l x 4 ( 1 0 9 + i x i ) “1 ) 0 0 ，( 6 ) 且对于1 n ，卢 0 ， e e x p ( h i x l l ) 】 。， 我们有下面的定理， 定理3设 x ，珠；_ f l n 。) 是满足式( 8 ) 的i i d 随机场变量， 成立，则 ( i )若0 n 1 且h = 女1 0 9 吲，则 ( 8 ) 且式( 3 ) 对于( 0 ，2 慨- 学鲁”； ( 9 ) n _ u ( n )若1 1 且k = i n l 5 ( t o g i n l ) + 。徊 o ) ，占= 1 一；一赫，则 ! 三! 誓堕型。o ，。；( 1 1 ) 反之，对于0 口1 ，若式( 9 ) 对任何满足式( 3 ) 的系数矩阵都成立，则对所有0 0 ，有 e e x p ( h i x d 7 ) 0 0 ， ( 1 2 ) 令 n 。；1 t n ，n 1 ) 是常数矩阵，满足 a 。= 紫氏。 o 。，雏。= 竽( 1 。 0 和所有的。 0 与n 1 有 圣p ( i x n j $ ) 7 p ( i x i z ) ( 1 6 ) 首先是g u t ( 1 9 9 2 ) 证明了行独立随机变量阵列在弱均值所界的条件下的完全收敛性， 定理b令 ；l n ，n 1 ) 是满足 e l j o t i o 。，四t = 0 ( 1 i n ，n 1 )( 1 7 ) 的行独立的随机变量阵列，且为随机变量x 弱均值所界对某个0 n ；) 0 0 n = l e i x l 2 p o o 令 ( 1 8 ) 第三章在弱均值所界的条件下，讨论了行n a 随机变量阵列的完全收敛性 定理5令 五“；1 t m n 1 ) 是满足式( 1 7 ) 的行n a 随机变量阵列，且为随机变量 x 弱均值所界对某个p 1 ，引x 1 2 p 。令岛= 乏銎1 蜀t ( i ) 当1 p n ；e ) 2 时，若式( 1 9 ) 成立，且 ；( e i 蜀t n o o ， ( 2 1 ) n = 1 i = 1 则式( 2 0 ) 成立 ；” a b s t r a c t t h i st h e s i si sf i n i s h e dd u r i n gt h et i m eo fm y a c h i e v i n gm a s t e r sd e g r e eo fs c i e n c ea n di t c o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s c h a p t e rii so nt h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sa b o u tt h ei n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d r a n d o mf i e l d s t h el i m i tt h e o r yo fr a n d o mf i e l d sh a sb e e ns t u d i e ds i n c e1 9 6 0 8 b e c a u s e o fi t sw i d ea p p l i c a t i o n c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so fr a n d o mf i e l d sh a v ed r a w nm a n ys c h o l a r s a t t e n t i o n s i n l 9 7 3 ，w i c h u r a p r o v e d t h e l a w o f i t e r a t e d l o g a r i t h m o f i i d r a n d o i n f i e l d s i n h i s p a p e rw h i c hw a st h ew o r ko ns t r a e s e n - t y p el a w so ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h mf o rm u l t i p a r a m e t e r s t o c h a s t i cp r o c e s s e sw i t hi n d e p e n d e n ti n c r e m e n t s i nt h es a l n ey e a r s m y t h eg o tt h ec l a s s i c a l k o l m o g o r o v ss t r o n gl a wo fk g en u m b e rf o ri , i d r a n d o mf i e l d s a l l a ng u tg e n e r a l i z e dt h e r e s u l to fs m y t h e s ，h eg o tt h em a r c i n k i e w i c z ss t r o n gl a wo fl a r g en u m b e rf o ri i d r a n d o m f i e l d s o u rr e s e a r c ha b o u tt h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so fw e i g h t e ds i n 2 1 8o fi i d r a n d o m f i e l d si nc h a p t e ri i so nt h eb a s i so ft h o s es c h o l a r s r e s u l t s i nc h a p t e ri ，w ec o n s i d e rt h et h em a r c i n k i e w i c z z y g m t m dt y p es t r o n gc o n v e r g e n c eo f i i d r a n d o mf i e l d s s m y t h e ( 1 9 7 3 ) s t u d i e dt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e rf o rr - - d i m e n s i o n a l a r r a yo fr a n d o mv a r i a b l e sa n dp r o v e dt h ef o l l o w i n gt h e o e r m ： t h e o e r ma l e t x ，j ；冗j 俨) b ei i d r n d o mf i e l d sw i t he x = o 可 s i x l ( 1 0 9 + j x l ) 扣1 ( 1 ) h o l d s ，t h e n 洋一o m s 小- + o o ) ( 2 ) c o n v e r s e i y , 寸i 2 ) h o l d s , t h e n ( 1 ) i st r u e a l l a ng u t ( 1 9 7 8 ) s t u d i e dt h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sa n dc 。n v e r g e n c er a t e 。f 至；萨w h e n 0 r 2 i ns e c t i o n2o fc h a p t e ri ，w ed i s c u s st h a tw h e nw e i g l l t e da r r a y o 丽) s a t i s f i e s a a = l i r a s u p a a o 。 n + a ：，a = 斋吲。 ( 3 ) l i i 0 ，f o ri i d r a n d o mf i e l d s ，t h ef o l l o w i n gt h e o e r m sa r et r u e t h e o e r m1 l e t x ，；元) b ei i d r a n d o mf i e l d ss a t i s f y i n ge x = 0 a n d e i x i 肌+ 4 ( 1 7 1 ) ( 1 0 9 + i z l ) 4 1 ) o 。， ( 4 ) v a n d f o r o r i ，1 8 ，声 。，去+ = 1 ，( 3 ) h o l d s t h e n 萨川 ( 5 ) i 元1 1 r ” l 叫 c o n v e r s e l y , 订1 5 ) i st r u e o ra n yc o e o c i e n ta r r a ys a t i s f y i n g ( 3 ) t h e n ( 4 ) h o l d s t h e o e r m2 l e t x ，) 岛；元俨) b et d f a n d o mf i e l d ss a t i s f y i n g e x = 0 ，e i x l 9 ( t o 矿陋i ) 4 。， o o ， ( 6 ) a n d o r l o t ，卢 0 ， e e x p ( h l x l l ) 】 o 。， ( 8 ) w e g e tt h ef o l l o w i n gt h e o e r m t h e o e r m3 l e t ( x ，墨；元，b ef i e l d s0 ，i i 赢r a n d o mv a r i a b l e ss a t i s f y i n g 彻 s u p p o s e 俐h o l d s o r f o ra ( 0 ，2 】t h e n 倒o r 0 o t 1a n d k = 蚓l o g ， 1 i m s u p 幽b e 鲁一； ( 9 ) n o 。 n 一移o r l 1a n db e = i 圳 ( 1 0 9 f 圳) + 5 + 8p o ) ，6 = 1 一；一蒜， 掣。o 叫( 1 1 ) c o n v e r s e l y , 对( 9 ) h o l d s o ra l lw e i g h t sa r r a y ss a t i s f y i n g ( s ) w h e n0 qs 1 t h e n o ra n y 0 h 0 ， e e x p ( h x l1 1 ) o 。 l e t a n ；1 i 礼，n 1 ) b ea r r a yo fc o n s t a n t s ，s a t i s f y i n g a n 2 1 1 罂嚣p a n 。 ( 1 2 ) 罐。= 坠竽( 1 0 ， ；苫p ( i x n l z ) 曼，y 尸( 吲 z ) f o r a l lz oa n n ( 1 6 ) f i r s t l y , g u t ( 1 9 9 2 ) p r o v e dt h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c ef o rt h ea r r a yo fr o w w i s ei n d e p e n d e n t r a n d o mv a r i a b l e so nt h ec o n d i t i o no fw e a k l ym e a l ld o m i n a t e d ， t h e o e r mb l e t 。墨“；1 i n ，n 1 ) b ea na r r a y0 ，r o w w i s ei n d e p e n d e n tr a n d o m v a r i a b l e ss a t i s f y i n g e i ) 0 i i 。，e 墨= 0 ( 1 i n ，n 1 )( 1 7 ) a n db ew e a k l ym e a nd o m i n a t e db yr a n d o mv a r i a b l ex ，s u c ht h a te i x i = p o 。y o rs o m ep ， 0 p n ；s ) 0 n = 1 ( 1 8 ) i nc h a p t e r1 1 1w ed i s c u s st h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c ef o rt h ea r r a y o fr o w w i s en e g a t i v e l y a s s o c i a t e dr s x l d o i d _ v a r i a b l e so nt h ec o n d i t i o no f w e a k l ym e a x ld o m i n a t e d ， t h e o e r m5 l e t 墨e ；1sisn ，n 三1 ) b ea na r r a yo fr o w w i s en e g a t i v e l y 吐船d c 妇拈d r a n d o mv a m a b l e ss a t i s f y i n g ( 1 ) ia n db ew e a k l ym e n nd o m i n a t e d b yr a n d o mb 讲r i b l ex s m m t h a t z l z 2 p o 。f o rs o m e p ，p 1 s e ts n = 冬1 w h e n ls p 2 ，玎 。1n 砉e j 五t 严 竹；) 2 ，茸( i 9 ) h o l d s ? a n d 妄( 目f 墨；i 2 ) ； 。 n ；1 。i = 1 t h e n ( 2 0 ) t 8t r u e ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) 浙江大学硕士学位论文第一章 i i d 随机场变量加权和的的m z 强大款律 第一章i i d 随机场变量力权和的的m - z 强大数律 1 1引言与定义 令 x ，；彳l n “) 是定义在概率空间，p ) 上的t i d 实值随机场变量，这里d 21 是确定的正整数，n d 表示d 维正整数格点集合在本章中，对元= ( 礼l ，n 2 ，一，n d ) n d ， 而；( h ，惫2 ，七d ) n d ，令吲= n l n 2 w ，而再( 或后矗) 表示鱼q ( 或磕m ) ， t = l ，2 ，d ，而磊一o 。表示m i n l i 0 ，满足 凡2 s u p 气n 一，啦矿南乏坩 ( 1 1 。1 ) 考虑加权和 ；i 硷，元n 8 ( 1 ，1 2 ) i s 亓 如果令0 订= 1 ，i 兰tjs 死开n d ，当r = 1 时，s m y t h e ( 1 9 7 3 ) 证明了i i d 随机场的 k o l m o g o r o v 强大数律，即 定理1 1 a设 x ，j 名；佩n 4 是i i d 随机场变量，且e x = 0 如果 e i x l - ( 1 0 9 + i x l ) 4 1 o o ( 1 1 3 ) 成立，则 莆- o 8 s 何_ o 。)( 1 1 4 ) 反之，如果式( i i ，4 ) 成立，则有式( 1 1 3 ) 成立 g u t ( 1 9 7 8 ) 一般化了s m y t h e 的结果，证明了i i d 随机场的m & r c i a k i e w i c z 强大数律，即 定理1 1 b设 x ，妊；蟊n 8 ) 是i i 吐随机场变量如果对于0 r 2 有 e l x l ( 1 0 9 + i xj ) 扣1 o 。( 1 1 5 ) 成立，且当r 1 时令e x = 0 ，则 每- + o 。 何_ o 。) ( 1 1 6 ) 反之，如果式( 1 1 6 ) 成立，则有式( 1 1 5 ) 成立 浙江大学硕士学位论文第一幸 i i d 随机场变量加权和的的m z 强大数律 本章则证明了i i d 随机场的m a r c i n k i e w i c z - z g y m u n d 强大数律，即在相应的条件下。 晶例一一0 ( o r 2 ) 成立，并指出这些相应的条件同时也是必要的特别地，当d ：1 时，文中的一些结果可以导出c u z i c k ( 1 9 9 5 ) ，b a i 与c h e n g ( 2 0 0 0 ) ，以及s u n g ( 2 0 0 1 ) 等人的有 关结果 浙江大学硕士学位论文 5 第一章 i i d 随机场变量加权和的的m - z 强大数律 3 1 2主要结果 定理1 2 1 设 x ，巯；元n 4 ) 是i i d 随机场变量，满足e x = 0 ，且 e i x l 9 ( 1 + 口( 1 r - 1 ) ) ( 1 0 9 + i x l ) 4 1 ) o o ，( 1 21 ) 对于0 r 1 ，l a ，口 o 。，i 1 + = 1 ，武( l 1 1 ) 成立令霸是式( 1 _ 1 2 ) 中所定义的加 权和，则 每。o ， ( 1 删 反之，对有如上关系的n ，鼠r ，若式( 1 2 ，2 ) 对任何满足式( 1 _ 1 ，1 ) 的系数矩阵都成立，则有 式( 1 2 1 ) 成立 定理1 2 2设 x ，弱；元n 8 ) 是；， ，d 随机场变量，满足 e x = 0 ，e i x i 8 ( 1 0 9 + i x l ) 4 1 ) o 。， ( 1 2 3 ) 且对于1 a ，卢 o 。，丢+ = i 1 ，1 r 0 有 e e x p ( h i x 1 ) 】 o o ( 1 2 5 ) 定理1 2 3设 x ，；佩en 4 ) 是满足式( 1 2 5 ) 的i i d 随机场变量，且式( 1 1 1 ) 对于 n ( 0 ，2 成立，令r 是式子( 1 1 2 ) 中定义的加权和，则 ( i )若0 口s 1 且酿= l 磊| 1 1 n g ； 露l ，则 唑n 掣鲁一- ( 1 。6 ) ( n )若1 1 且b = l 佩i 丢( 1 0 9 陋i ) + 5 + 。p o ) ，5 = 1 一一赫，则 掣毗一； ( 1 2 8 ) 反之，对于0 d 1 ，若式( 1 2 6 ) 对任何满足式( 1 1 1 ) 的系数矩阵都成立，则对所有 0 h 7 0 ， e e x p ( h l x l 7 ) 】 o ，m = 0 ，1 ，2 ，一对任何随机场变量x ，下面各式等价： ( i )e l x l 4 ( 1 0 9 + l x l ) “+ 。一1 o o ； ( i i ) e l x l 4 ( 1 0 9 + 1 x 1 ) ”a ( x ) o ； ( i v ) j n j 。犀一1 ( 1 0 9 j ) 4 1 + 仉p ( 1 x l e j 。) o ，5 o ； ( v ) 马n 。归一1 0 0 9 j ) m d ( j ) p ( x i e j 。) o ， 0 ；理的证明参见g u t ( 1 9 7 8 ) 的文章 引理1 3 2设 x ，；宄n 8 ) 是均值为0 且满足式( 1 2 5 ) 的i i d 随机场变量。而 耳讲i 一is 元，元n 8 是相互独立的随机矩阵，满足丑i = 0 ( isi f i , 元n 8 ) 令 o 需；i 一i 再，再n 8 ) 是常数矩阵若以下条件成立： ( i ) 对0 0 ，有 e e t ；x 艄 1 + ；2 “2 。 ，l 雨2e i 。前x k m ( 1 3 1 ) 对给定的 0 ，令t = ! 垫幽，且对所有的。r 都有h 6 d ( e 坩) ，此时对充分大的 m i “1 1 d 啦得到 e i x q 曼 1 + ；( 兰! 竺掣型) 2 口2 而口b 毹2e ( 2 c ) l 吼：如il o g 川】 1 + 。删嚣a 麓2 _ - 鲁v n ( 1 硎冰2 埘峭1 4 1 + o g 陋i ) 亍彘e n 壕r e 2 7 i 鼍一 1 + 吾础亦) 毳剐墨1 6 e ( h 2 ) l x i 4 6 e ( h 2 ) l x f l 4 1 + 考( 1 0 9 川i ：彘e | 墨l 墨l + 。( 1 ) 魄( 1 0 9 博i ) 彘e 【e 州鼍n - + o o g i 鄙矗 l 5 ) 曼e 4 e e 。e 勘嗡h i s e “蚓刮婴唧掣1l o g ) 志) ， ( 1 3 2 ) 用一替换酝，同上方法对充分大的m l d l 一 i 一 d n l 可以得到 p ( 。 i 南 0 ，令墨= x i s i x f is 四，葛= 噩一墨，= i s n 墨，= i g n 缸墨由h s l d e r 不等式，有 牌弥i 衅( 等崩产声 ( 1 s 4 ) 根据已知条件( 1 1 1 ) ，当行_ 时学_ a 2 0 ，有 p ( 1 霸一e 1 2 s j 露i ) o o ， ( 1 3 5 ) 浙江大学硕士学位论文 第一章j i ，d 随机场变量加权和的的m z 强大数律7 则结论成立 当2 时，由m a r k o v 不等式和g 不等式有 善剐刮协吲牝d ( 1 善第1 n 4 n d i 0 ，所以式( 1 3 5 ) 成立定理1 2 1 的充分性得证 必要性 n r 有如定理1 2 1 中的关系，并假定对于满足式( 1 2 1 ) 的任何加权矩阵，式 ( 1 1 2 ) 都成立对每个再n 8 ，取m = 吲：，而其他啦i = 0 ，i i ，j 而根据式( 1 2 2 ) 有 吲：一一0 n - s ( 1 3 6 ) 对任意的5 0 ，有 p ( i 爿j i 再：矾号i 可i 元1 5 ) = p ( i x l 障l 一) o o n 再次应用引理1 3 1 ，式( 1 3 6 ) 表明e i x l 研7 南( 1 0 9 + i x ) d 一1 必要性得证 定理1 2 2 的证明 充分性对i i s 元，1 o 同j ) x ：；= x ；， f 开f 吉( 1 0 9 霾f ) 一3 缸一1 ) 蚓l o g 一2 吲) 馥面= n 厩一a 菥， n ，a = a 毹瑶 ! 疋，n = 南碟 s 日 码，n = n 未碟 t 4 ，a = o 皂( 碚+ 碟) = 蠢( 墨+ 砝) 毽目遮6 晶= 丑， + t 2 ， + t 3 ， + 丑， 首先证明需毋一0 。a 因为i 1 + = i 1 ，卢= 1 + f l ( 1 一) l ，有 i x ：- z fsi x ：- i f 岜字盯f i 一) 由i - i s l d e r 不等式和引理1 3 1 ，以及矩条件e l x l 4 ( 1 0 9 + i x l ) 8 1 o o ，得到 。圣堑吲! ! 竺 一 旧l 侧鼍掣) 譬 _ + 0o 8 对于乃，n ，根据a a ，a 和砖的定义，有 ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 兰阿1 豁心磙l + 乏i 南瑶 h 击碚。) 2 ) 箭嬲例+ 厶出1 1 由【肛；磙。 2 ( 1 3 9 ) 渺 l训万 珏一讣 塑兰查兰翌兰兰兰璺苎一一苎二主翌! ：堕塾望垄兰竺竖查竺竺堡! 堡查塾笙! 因e i xj 4 ( 1 0 9 + l x i ) 8 1 】 o 。，式( 1 39 ) 的第1 项几乎处处收敛于0 由且。 和n 未的定 义，式( 1 - 3 - 9 ) 的后一项最多有o ( 1 0 9 “吲) 个非0 的南，再由碥的定义有 p ( j 4 _ ：南j 咯o ) 2 1 ) 尸(u n 丽o ，o 。j 葛o ) ) i _ ；3 s a 。( 1 0 9 4 哳嗍砂蒜) = 斋o ( 1 0 9 蚪明( ” 根据m a r k o v 不等式，可估计武( 1 3 9 ) 的后一项为正数的概率是一个在协：元n 4 ) 中收 敛级数的一般项因此式( 1 3 9 ) 几乎处处收敛于0 再次，根据毫和碟的定义，可由下式估计马，。一e b 。， 匦i 二星墨：i i ，蚓；， = 。( 岩磊) 令磊= p ( 阪， 一f 五， f t i n # ) ： 尸( f ( 埯一e y i i l 三t 睇) ) i 曼 p ( 陬j 蜥i 一1 ) z 唧( 嵩) 所以 。p 肾蚓弧2 。蚤n 。唧( 蔫i 胁( 1 s m ) 矗n 4 4 。l l “吧” 定理1 2 2 的充分性得证 必要性 反r 有如定理1 2 2 中的关系假定对于满足式( 1 ，1 1 ) 的任何加权矩阵，式 ( 1 2 都成立用同定理i2 i 中的方法，可以得到e l x l 4 ( 1 0 9 + 陋f ) 扣2 1 ，所以e x 是存在的此外，由定理1 2 2 充分性部分的证明，可以对任何满足式 ( 1 1 1 ) 的矩阵有 噤。o 岫 l 元i l p 一 因此，对任何满足式( 1 2 1 ) 的 喊；i i s 蠢，再n 4 ) ，有 黑：了e x i 1 ) 的概率，根据m a r k o v 不等式和b o r e l - c a n t e l 】i 引理 便可得到式( 1 3 1 3 ) 值得指出的是，这里式( 1 3 1 3 ) 成立与否与a ( o 0 ，有 p ( e ( “陬聊( 1 + 。) 2 蚓， d ) = 0 由b o r e l - c a n t e l l i 引理，可得到 p ( e 圳x 1 1 7 1 + 5 i 元1 ) = p ( e i x , 5 1 1 ) ( 1 + j 矗1 ) o o 从而e e x p ( h m 十。，这里h = 丧第1 种情形下的必要性部分得证 塑堡查兰兰生! 兰垡望兰二坐皇：壁垫塑苎量竺垒皇丝塑竺：至堡查整竺 ! ! 当1 0 ，有 魍p ( i 1 1 6 1 ) = o ( 1 3 1 4 )。、拓一7 。 1 0 上2 ， 令碍是将辑对称化后的随机场变量，霹= i 蜜碍，根据s t 。u t ( 1 9 7 4 ) 的定理3 2 ，1 ， 彗。0 所以只需要证明对对称的( 妊；元n 。) 结论成立就足够了下面分两步进行 第1 步：0 1 ( 掣n ， 碟= x i x o o g 叫咻i x ；i ( 掣n ； - - a n i i 伽郝蒜) ， o 备= 一n 岳， 则有 萼= 萎害瑶+ 乏案墙+ 乏等瑶+ 乏等瑶 ：= i + i k + i i k + 对i n ，观察到 i 鲁砝ls 拈琊捌赫= 揣， 满足引理( 1 3 2 ) 的条件( i ) ，此外还有 碟羡尝藻吲2 研a 缸a _ 腓 囡；2 + 2 d + 而( 2 一n ) 1 ，引理1 3 2