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分数布朗运动环境中期权定价模型的研究 摘要 未定权益的定价是金融数学研究的核心问题之一，它涉及到现代金融学的 资产定价理论、投资组合理论以及现代数学中的随机分析和优化理论等学科。 要对风险进行有效的管理，就必须对金融衍生证券进行正确的估价，如何确定 金融衍生证券的公平价格是它们合理存在与健康发展的关键。 经典的b s 模型是建立在布朗运动环境下的。然而，实证研究表明股票价 格过程具有长期依赖性和自相关性，因此近年来许多学者开始用满足这两种性 质的分数布朗运动研究股票价格过程。布朗运动是分数布朗运动的一种特殊情 况。所以，研究分数布朗运动环境中的期权定价更具有广泛性和实用性。 本学位论文主要致力于金融学中若干奇异期权定价问题的研究，建立在分 数布朗运动环境中的期权定价数学模型，本文所做创新工作为：一、推导出在 分数布朗运动环境中欧式缺口期权、二元期权的定价公式。欧式缺口期权是一 种奇异期权，其到期收益不是与执行价格比较，而是以另一个常数g ( 即缺口) 作比较。二元期权也是一种奇异期权，其收益取决于到期资产价格与执行价格 的大小。二、推导出在分数布朗运动环境中幂型期权的定价公式。幂型期权也 是一种奇异的欧式期权，幂型支付欧式看涨期权是到期支付函数为 办( s 口) ) 一刚+ 的期权，其中乃( x ) = x “( a 0 ，为常数) 。从而，我们推广了部 分奇异期权的定价。 关键词：分数布朗运动；缺口期权；二壳期权；幂型期权；期权定价 t h es t u d yo fo p t i o np r i c i n gm o d e li nf r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o ne n v i r o n m e n t a b s t r a e t u n c e r t a i np r i c i n gi so n ec o r eo ff i n a n c i a lm a t h e m a t i c s s t u d y ，i ti n v o l v e st h e t h e o r i e so fm o d e r nf i n a n c es u c ha sa s s e tp r i c i n gt h e o r y ，i n v e s t m e n tc o m b i n a t i o n t h e o r ya n dt h et h e o r i e so fm o d e r nm a t h e m a t i c s ，s u c ha ss t o c h a s t i ca n a l y z i n ga n d o p t i m i z i n gt h e o r yt o o e f f e c t i v em a n a g e m e n to fr i s ko c c u p i e st h er i g h te v a l u a t i o n o fd e r i v a t i v es e c u r i t i e s t h ec r i t i c a lt h i n gi st h a tt h ef i n a n c i a ld e r i v a t i v es e c u r i t i e s e x i s tr e a s o n a b l ya n d d e v e l o pp r o p e r l yi sh o w t ov a l u ei t sf a i rp r i c e c l a s s i c a lb - sm o d e lw a se s t a b l i s h e di nb r o w n i a nm o t i o ne n v i r o n m e n t h o w e v e r , e m p i r i c a lr e s e a r c hs h o w st h a ts t o c kp r i c eh a sl o n g r a n g ed e p e n d e n c ea sw e l la s s e l f - s i m i l a r p r o p e r t i e s ，s om a n yr e s e a r c h e r sb e g a nt os t u d ys t o c kp r i c ew i t h f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o nt h a t ，h a st h e s et w op r o p e r t i e si nr e c e n ty e a r s b r o w n i a n m o t i o ni sas p e c i a lc a s eo ff r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n t h e r e f o r e ，t h es t u d yo f o p t i o np r i c i n gi nf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ne n v i r o n m e n ti sm u c hm o r ew i d ea n d p r a c t i c a l t h i sd i s s e 醇a t i o ni si n t e n d e dt os t u d ys o m ee x o t i co p t i o np r i c i n gp r o b l e m s ，s oa s t oe s t a b l i s ht h em a t h e m a t i cm o d e lo fo p t i o np r i c i n gi nf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n e n v i r o n m e n t ，a n dt h ei n n o v a t i o no ft h i sd i s s e r t a t i o ni s ：f i r s t ，w eg e tg a po p t i o na n d b i n a r yo p t i o np r i c i n gi nf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ne n v i r o n m e n t g a po p t i o ni sa n e x o t i co p t i o n ，i t se a r n i n g sd o e s n td e p e n do nt h es t r i k ep r i c e ，b u td e p e n d so na c o n s t a n tg ( c a l l e dg a p ) b i n a r yo p t i o ni sa l s oa ne x o t i co p t i o n ，i t sv a l u ed e p e n d s o nw h e t h e rt h ep r i c eo fu n d e r l y i n ga s s e ti sh i g h e rt h a ns t r i k ep r i c e se c o n d ，w eg e t p o w e ro p t i o np r i c i n gi f if r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ne n v i r o n m e n t p o w e ro p t i o ni s a ne x o t i co p t i o na sw e l l ，i t sp t y o f ff u n c t i o ni s h ( s ( r ) ) 一k 】+ ，h e r e 办( x ) = x 。 ( 口 0i so b f l 髫t a n t ) t h e n ，w ee x t e n d e do p t i o np r i c i n go fs o m ee x o t i co p t i o n s k e yw o r d s 矗a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ；g a po p t i o n ；b i n a r yo p t i o n ；p o w e ro p t i o n ； o p t i o np r i d i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 金起王些太堂一或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 一铭文 签r 日 学位论文版权使用授权书 本学位论支作者完全了解盒胆王些太堂：有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授 权金目曼王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签 学 工 通讯地址： v 月胪 f 后去向： 导师签名： 签字日期：矽尹月f 日 电话： 邮编： 致谢 本文是我的硕士研究生学位论文，也是我硕士学习成果的一次总结，在我 的硕士学习期间和论文写作期间，得到了许多老师、同学和好友的帮助，他们 的悉心指导和热情帮助令我终生难忘。 本论文是在我的导师杜雪樵教授的悉心指导下完成的，老师的严谨求实的 治学态度、广博的学识和朴素的作风给我留下了深刻的印象，为我树立了学习 的榜样，这些将使我终生受益。 真诚的感谢导师杜雪樵教授在我整个研究生学习阶段悉心的关怀和指导， 感谢他的言传身教和谆谆教导。衷心的感谢凌能祥老师、惠军老师等老师的辛 勤培养和教诲，是他们的教育使我顺利的完成硕士学习。还要感谢我的许多同 窗同学的帮助和关怀。感谢我的家人，感谢他们的支持和关怀。 最后，感谢并祝福所有帮助和曾经帮助过我的人! 作者：何成洁 2 0 0 9 年2 月 第一章绪论 本章主要对金融数学的研究范围及期权的发展历史给予介绍，首先介绍金 融数学研究的范围及国内外发展现状，接着介绍期权的发展。 1 1 金融数学历史及现状 金融数学是金融学和数学的交叉性学科，它通过建立金融市场的数学模型， 主要运用现代数学理论和方法( 如：随机分析、随机最优控制、组合分析、非线 性分析、多元统计分析、数学规划、现代计算方法等) 研究风险资产的定价、避 险和最优投资消费的选择。其核心问题是在不确定多期条件下的证券组合理论 和资产定价理论。现代证券组合理论、资本资产定价模型、套利定价、期权定 价理论、资产结构理论、利率期限结构理论等在现代金融理论中占据重要地位。 世界各国金融创新运动日益加快，众多新的金融产品和衍生工具不断涌现，新 的金融服务也层出不穷。因此金融市场的运行规律、资产组合选择、金融衍生 工具的设计与定价、风险分析与管理、以及相关的投资决策分析显得空前重要， 这也正是金融数学研究和解决的核心问题。实践说明金融理论和金融数学的发 展，极大地促进了世界各国的经济和社会发展。相反，金融投机可以象原子弹 一样摧毁一个国家或地区的经济。因t 此，金融数学的研究在国内外越来越成为 热门话题。 2 0 世纪8 0 年代以来的金融学和金融数学目前从事金融数学研究的主要有 三类：概率论和随机分析学者，随机控制论学者和数理统计学者。近年来， 一些从事统计物理和非线性科学研究的学者也被吸引到经济和金融领域。他们 将本学科的研究方法移植到经济系统和金融复杂性的研究中来，尝试揭示金融 市场这一自适应复杂系统的演变规律。金融数学模型都是在很多假设的条件下 才能成立，这些假设有些与客观现实有一定差距甚至抵触，因而解决这类问题 就不理想，范围也十分狭窄，需妻在数学上改进和发展。世界各国金融背景和 管理模式各异，需要大量建立符合自己国情的金融模型和分析方法。同时由于 金融环境和社会需求不断发生变化以及创新运动的发展，为金融理论和金融数 学提出了越来越多的问题。自从i 9 9 5 年以来，金融数学在我国经济金融界和数 学界已引起极大的兴趣和广泛的关注，国内一大批有识之士积极引进和宣传现 代金融理论，积极倡导建立具有中国特色的金融数学、金融工程和金融管理学 科。1 9 9 6 年国家自然科学基金委员会已将“金融数学、金融工程和金融管理”列 为国家“九五”重大研究项目。金融数学兴起是金融经济学的一场革命，它给金 融经济带来巨大的活力，促进金融理论、金融实践和金融创新。金融数学是金 融领域的高技术，能为抗御金融风险发挥重要作用。 1 2 期权定价的发展 现代期权定价理论的历史，开始于1 9 0 0 年，法国数学家路易斯巴舍利耶 ( l o u i sb a c h e l i e r ) 在他的投机理论中最早提到期权定价模型，这一理论认 为股票价格服从布朗运动，巴舍利耶的投机理论被认为是资产定价理论诞生的 标志。只是巴舍利耶的模型存在缺陷，之后斯普里克尔( cms p r e n k l e ) 、萨缪尔 森( pas a m u e l s o n ) 、卡苏夫( k a s s o u f ) 等分别建立起不同的期权定价模型，1 9 7 3 年布莱克( f i s c h e rb l a c k ) 和斯科尔斯( m y r o ns c h o l e s ) 在他们的期权与公司财务 的定价l i j 中在假设股票的价格服从对数正态分布，无套利机会，没有交易费 用等一系列理想假设下，推导出了股票不付红利欧式期权定价公示。期权定价 理论才有了重大的突破。b s 模型的问世标志着期权定价领域的研究框架基本 完成。几乎与此同时，默顿( m e r t o n r ) 在合理的期权定价理论【2 】一文中对 布莱克一索尔斯模型和定价公式作了完善和多方面的推广，并将他们利用期 权来估价公司负债的思想发展成为所谓的“未定权益分析”。考克斯( j c c o x ) 和罗斯( s a r o s s ) t 3 j 于i 9 7 6 年提出了风险中性定价理论。在这一思想的影响 下，1 9 7 9 年啥里森( j m h a r r i s o n ) 和克瑞普斯( d k r e p s ) l 训提出了用鞅方法刻 画无套利市场和不完全市场，并用等价鞅测度对期权进行定价和套期保值或 对冲，这对金融数学的日后发展产生了深远的影响。期权定价和实物期权8 0 年代以来，金融数学得到蓬勃发展，主要工作可以归纳为如下几个方面：( 1 ) 将布莱克一尔斯模型推广到带跳的扩散过程和随机波幅情形，以便解释从实 际期权市场中观察到的用布莱克一索尔斯模型羌法解释的现象；( 2 ) 研究依赖价 格变化路径的特异期权的定价和它的数值计算方法；( 3 ) 研究不完全市场( 主要 是带跳的随机过程或一般的半鞅过程模型) 中的期权定价、套期保值或对冲以及 最优消费一投资组台问题；( 4 ) 研究带“摩擦”的金融市场中的期权套期保值或 对冲，这里所指的摩擦包括交易费、税收、买卖价差和各种约束条件；( 5 ) 带 违约风险的期权定价问题；( 6 ) 不对称信息下的市场交易。 期权是在规定条款下购买或出售一项资产的权利。期权分为看涨期权和看 跌期权。看涨期权的持有者有权在某一确定的时间以某一确定的价格购买标的 资产。期税也可分为美式期权和欧式期权。美式期权可以在有限期内任何时候 执行，而欧式期权只能在到期日执行。关于期权的的更多介绍可参见文献 【5 】一【1 1 】。 ： 随着期权定价的理论的发展，期权定价模型不断的被修正，向时新的定价 方法已经不同标的资产的期权定价也不断出现。姜礼尚【1 2 】利用偏微分方程求解 了部分期权的定价。莫顿【1 3 】考虑了离散红利支付的期权定价i h - j 题。b a l l ，l e i f 等( f 1 4 】一2 0 】) 讨论了当有资产价格有异常跳跃时的期权定价。b l a d t 等 ( 2 1 】 2 2 1 ) 在保险精算模型下讨论了期权的定价问题。m a s s i m o 等( 【2 3 一【2 6 】) 对一些奇异期权给出了定价公式，推广了期权定价的范围。 2 传统的期权定价模型都是在假设标的资产的价格满足几何布朗运动过程， 由于布朗运动的性质导致资产的价格满足相应的性质，这就使得统计数据出现 肥尾性。近年来又有学者提出了在股票价格服从分数布朗运动下的期权定价问 题，由于分数布朗运动既不是半鞅也不是马尔科夫过程，所以它能够用来描述 半鞅随机过程和马氏过程描述不了的现象。同时分数布朗运动也是一类高斯过 1 程，并且标准布朗运动是h u r s t 参数为h = 喜的分数次布朗运动的特殊情形。而 z 且分数布朗运动具有长相依性和自相关性。由于分数布朗运动的这些性质使得 其成为研究数学金融的一个良好工具。胡耀忠，bo k s e n d a l ，cb e n d e r 等 ( 【2 8 1 一 3 6 】) 建立了分数次布朗运动的随机积分理论，并证明了市场无套利且为 完全市场，并且给出了分数布朗环境下欧式期权的定价。刘韶跃、杨向群等 ( 【3 7 1 1 4 7 ) 国内其他学者也分别从不通方面讨论了分数布朗运动环境中的期 权定价问题。本文在胡耀忠定义的分数布朗运动随机积分意义下，讨论了缺口 期权以及幂型支付期权的定价公式。 本文结构如下：第二章介绍期权相关基础知识以及本文所要用到的相关的 随机过程知识。第三章介绍分数布朗运动环境中欧式标准期权的定价，并与几 何布朗环境中的期权定价公式相比较。第四章介绍欧式缺口期权的定价和二元 期权的定价。第五章将介绍欧式幂型支付函数下的期权定价公式。第六章为结 论与展望。 3 第二章预备知识 2 1 期权相关知识 2 1 1 期权定义及特点 期权【7 嘣j 亦称选择权，期权的基本含义是买卖特定商品或有价证券的合约， 并在合约到期时由合约的买方决定是否执行这一合约，是一种金融衍生工具，其 持有人有权在未来一段时间内( 或某特定日期) ，以一定的价格购买或者出售一 定数量的指定资产，但是没有此义务。期权的特殊之处在于合约的持有者只拥 有这种权利而没有义务执行合约，这是期权与一般合约的不同。期权的卖方又 称为立权人，授予期权的买方或成为持有者这种权利，期权的买方为取得这种 权利需要支付一定的费用即期权的价格。期权规定的交易物称为标的资产，期 权规定的到期日的日子执行日期称为到期日或期满日。期权合约中约定的商品 价格称为执行价格也称为敲定价格。 从期权的定义可以看出其具有如下特点： ( 1 ) 期权交易的对象是买进或卖出某种商品的权利，而这种权利具有一定 的时间期限，一旦超过合约规定的期限，期权的拥有者就会失去这种权利。 ( 2 ) 期权的买卖双方享有的权利或义务存在明显的不对称性，期权的买方 享有在规定的时间内执行合约或者不执行的权利，而没有义务必须执行。期权 的买方一旦决是执行期权，卖方就必须无条件地履行合约所规定的义务。买方 所承担的最大风险就是期权费，获得的利益却是可能无限的。而卖方的最大利 润就是权利金，理论上的损失却可能是无限的。 ( 3 ) 期权的买方须事先支付期权费，卖方因为有履行合约的义务，因此要 交纳保证金。期权交易是一种零和游戏，期权的买方的盈利就是卖方的亏损， 期权的卖方的盈利就是买方的亏损。 ( 4 ) 期权的价格是一个变量，它随时间的变化而变化，而敲定价格是事先 确定并记载子合约中的，在合约的有效期内不会发生改变。 2 1 2 期权的分类 ( 1 ) 期权的两种基本类型是：看涨期权、看跌期权。看涨期权又称买入期 权，此合约给予持有者在规定的时间内( 规定的日期) 以约定的价格从卖方购 买一定数量的特定商品。看跌期权又称卖出期权，看跌期权的持有者在某确定 的日期以确定的价格出售标的资产。还有一种期权是双向期杈是合约的持有者 拥有在规定的日期按确定的价格从卖方处买入或实出事先规定的特定商品的权 利。 ( 2 ) 按履约时间的不同可以分为欧式期权和美式期权。欧式期权是仅在到 4 期日才可以执行，美式期权可以在到期日内的任何日期执行。在交易所内交易 的期权大多是美式期权。 ( 3 ) 期权还可以按交易的场所划分为场内期权和场外期权。场内期权是在 集中性的期权市场交易的标准化合约，其交易数量、敲定价格、到期日以及履 约时间均由交易所规定。而场外期权是非标准化的期权合约，其交易数量、敲 定价格、到期日以及履约时间均可由交易双方自由协议。按交易的标地资产可 以分为商品期权、股票期权、外汇期权、利率期权、指数期权、期货期权等。 ( 4 ) 期权还可以分为标准期权和奇异期权：欧式期权和美式期权都是标准 期权；奇异期权往往是路径依赖期权，其价值不仅取决于到期价格，而且还依 赖于历史价格。主要的奇异期权有：亚式期权，障碍期权，回顾期权，复合期 权等。 2 1 3 期权的价值 期权的价值主要由内在价值和时间价值构成。 期权的内在价值定义为零和期权立即执行时所具有的价值这两者中的最大 值。因此，看涨期权的内在价值为m a x ( s x ，o ) ，( 其中是股价，x 为执行价格) 。 看跌期权的内在价值为m a x ( x s ，0 ) 。具有内在价值的期权又叫实值期权，内 在价值为零的期权为叫两平期权，当期权立即执行时持有者有负的现金流则期 权为虚值期权。一个处于实值状态的美式期权的价值一定大于或等于其内在价 值。 期权的时间价值是指期权价值高于它内在价值以上的价值。基础资产未来 值的不确定性意味着期权价值通常不同与内在价值。一般期权价值都具有内在 价值和时间价值，但是虚值期权臾具有时间价值。一般期权有效期越长，时间 价值也越大，当期权临近到期日时，在其他条件不变的情况下，其时间价值下 降速度加快，并逐渐趋于零，当达到到期日时，期权的时间价值为零。 2 1 4 影响期权价格的因素 由于期权的价值由内在价值和时间价值构成，则决定内在价值和时间价值 的因素就是决定期权价值的因素。茼内在价值主要由标的资产的价格和期权的 敲定价格决定，而时间价值则可能由多种因素决定。 1 ) 基础资产价格和执行价格 如果看涨期权被执行；则收益为基础资产和执行价格的差额。随着标的资 产价格的上升，看涨期权的价值也就越大，随着执行价格的上升，看涨期权的 价值就越小。反之，看跌期权的价值随着标的资产价格的下降和执行价格的上 升而减小。 2 ) 到期期限 5 当期权的有效期限增加时，美式期权无论是看涨还是看跌期权的价值都会 增加。考虑其他条件相同但是只有到期日不同的两个期权，因为美式期权在到 期日之前的任何时期都可以执行，所以有更多的机会获利。所以有效期长的期 权的价值只会大于或等于有效期短的期权。欧式期权的看涨或者看跌期权的价 值并不一定随着有效期的增加而增加，这是因为有效期长的期权不一定包含有 效期短的期权的所有执行机会。如果没有股利等因素的影响，有效期长的期权 的价值会比有效期短的期权价值。 ，3 ) 波动率 股票价格的波动率是用来衡量未来股票价格变动的不确定性。随着波动率 的增加，股票上升的很高和下降很低的机会也随着增加，对于股票持有者来说， 这两种趋势将相互抵消。而对于期权的持有者来说，股票价格上升看涨期权的 持有者将获利，股票价格下降看跌期权的持有者将获利。基础资产价格的波动 率对期权价格具有重大的影响，波动率越大，期权价格就越高。 4 ) 利率及红利 当其他变量保持不变的条件下，一般利率与看涨期权正相关，与看跌期权 负相关。当利率上升时，看涨期权的价格增加，看跌期权的价格减少。这是由 于当整个经济中的利率上升时，股票的预期收益也将增加，而期权持有者的未 来现金流将减少。股票在除息日后，红利将减少股票的价格，由于股票价格的 减少，看涨期权的价值也将减少，着跌期权的价值将增加。所以看涨期权的价 值于红利的大小成反向变动，看跌期权的价值与红利的大小成正向变动。 2 2 随机过程相关知识 2 2 1 b r o w n 运动 定义苎11 2 6 1 若一个随机过程 x ( f ) ，f o ) 满足： ( 1 ) 童( o ) = o ； ( 2 ) x ( f ) ；t o ) 有独立的乎稳增量； ( 3 ) y s 釜o ，f o ，x ( s t t ) 一碧0 ) - n ( o ，盯2 r ) 。 则称 x ( f ) ，f 垒o 是布朗运动或维纳过程。 当a = l 时，称 x ( f ) ，t o ) 为标准布朗运动，常表示为形( f ) 或b ( r ) 。 由上述定义可知，标准布朗运动w ( t ) 具有下述性质： ( 1 ) ( 正态增量) 形( f ) 一形o ) ( o ，t j ) ，即彤( f ) 一w ( s ) 服从均值为0 ，。 方差为t - s 的正态分布； 6 ( 2 ) ( 独立增量) v c ( t ) - w ( s ) - - - n ( o ，f d ，独立于过程过去的状态 形 ) ，0 u s ； ( 3 ) ( 轨道连续) 对v w 力，形( f ) 是t 的连续函数。 2 2 2 分数布别运动 定义2 2 2 9 1 设( 力，尸) 为一概率空间，0 h 1 ，h u r s t 参数为h 的分数 布朗运动是一个连续的g a u s s i a n 过程 ( f ) ) ，尼+ = ( b n ( t ，；f r + ，w s 2 ，满 足： ( 1 ) ( o ) = 研( f ) 】= 0 ，对任意的，r + ： ( 2 ) e b n ( t ) b n o ) 】：昙m 1 2 + i 占2 hi ，一j 1 2 疗) i j ，r r + 。 标准布朗运动口( r ) 是( r ) 当日：去时的情况。 分数布朗运动具有如下性质： ( 1 ) 当i 1 日时，嘞o ) 是反持久的，即砌，( 妇) 0 ，过程当( 与过程q 胃( r ) 有相同的有限 维分布。 2 2 3 伊藤随机过程及伊藤定理 定义2 3 2 6 1设随机过程x = x ( f ) ，f o ) 满足如下的伊藤积分： v 0 t o f 妻时定义了分数布朗运动的随机积分，并证明了市场无套利且为 z 完全市场，n c e u l a 3 2 】利用这种积分求解了b s 公式，刘韶跃也采用这种积分求 解了有红利支付的欧式期权和混合期权的定价公式，本文也采用这种随机积分， 1 并恒假设圭 h k 等价于 l o 乳x p 一圭a 2 t 2 h 扣( 聊 k 即盯如( 丁) 一( 1 l l i s + ，丁一互1o 2 t 2 h ) 也就是等 一i ns _ _ - + r t 产_ l a 一2 t 2 l t 令铲= x 邵( 毗跗m ) 】= e s e x p 妒丁一l o 2 th + a t z x 忑1 e x p 一手) 出 = s e r t f _ 。均y 翥1 唧 一竿地 = s e 盯( 4 ) 耻堋】= k 去唧 础 = k n ( d 2 ) 其中4 ，畋如上定义j 则分数布朗运动下欧式看涨期权的价格为： c ( s ，t ) = e - r r e m a x ( s ( t ) 一k ，o ) 】 = e - r t e 【s ( 丁) s ( r k ) - - e 一盯e j q s ( 7 ) k ) 】 = s n ( 4 ) 一e 一，r k n ( d 2 ) 定理3 5 当r ( t ) = ，z ( t ) = p ，仃 ) = 盯为常数时，执行价格为k ，到期日 为t ，分数布朗运动环境下无红利支付的欧式看跌期权价格为： p ( s ，t ) = e - r t 尺( 一畋) 一( 一面) l1 吐，畋如上定义。 定理3 6 当厂o ) = 厂，p ( f ) = p ，盯o ) = 盯为常数时，执行价格为k ，到期日 为丁，分数布朗运动环境下无红利支付的欧式看涨、看跌期权的价格关系为： c ( s ，丁) 一p ( s ，丁) = s e - r r k 定理3 7 3 3 】当r o ) = r ，p ( f ) = p ，盯) = 盯为常数时，执行价格为k ，到期 日为r ，分数布朗运动环境下无红利支付的欧式看涨期权在到期前任意时刻 t o ，明的价格为： c ( s ( f ) ，t ) = s ( t ) n ( d , ) - e 吖卜剧( 吱) 其中盔=竺二s夏(t二)二芝三丢兰一cr2 。 畋= 坚等一2 口心t 曲一t 删 推论3 8 当，u ) = 尸，盯u ) - - o 为常数，当有红利率为6 ( 6 为非负常数) c ( s ( f ) ，丁) = s ( t ) e 一6 r 一( 4 ) 一e 一7 r 一k ( 以) 其中幺亡竺l二i工杰差尹兰一a2(t2_t2)， 畋= 坚筹c r 2 ( t 一2 n - t 2 n ) 。 z 仃丁2 日一f 2 h l 。 1 2 权在到期前任意时刻t e o ，t 】的价值为： ，1， c ( s ( f ) ，t ) = s ( t ) e x p 一f6 ( s ) 凼 ( 4 ) 一e x p 一j r ( s ) d s k n ( d 2 ) u t l ，t 其中盔=竺兰塞三二二!兰杰善拿兰一a2(t2h-ttm)， 吐= 坚避裟一。 仃0t 锄一t 曲 从分数布朗运动环境下的期权定价公式可以看出，当日= 三时，定理3 4 就是b s 欧式看涨期权定价公式，并且定理3 5 ，3 6 就是标准布朗运动下无红 利支付的欧式期权的看跌公式以及欧式期权的看涨看跌平价关系。同时推论 3 8 ，3 9 就是当参数为常数时和为非随机确定函数时，有红利支付的欧式期权 的定价公式。 3 3 分数布朗运动环境f 参数对期权的影响 将由定理3 7 中的分数布朗运动环境下的欧式看涨期权的定价公式得到的 希腊字母与对应的标准布朗运动环境下的希腊字母进行比较，可以发现在 = 三时，传统的b l a c k - s c h 。l e s 期权公式得到的希腊字母与分数布朗运动环境 下的b l a c k s c h o l e s 期权公式得到的希腊字母又是一致的，各个希腊字母的表达 式分别是【3 3 】： ( 1 ) d e l t a 期权价格与股票价格的变化情况： 分数布朗运动下的厶= 百o c = ( 4 ) ， 0 6 一 当日= 圭，它与用传统期权公式得到的= 丽o c = ( 4 ) 是一致的。 ( 2 ) g a m m a 衡壹d e i t a 变化的速度： 在分数布朗运划中，= 面0 2 c = 瓦游 当日= 三2 时，它与用传统期权公式得到的，= 嘉= 器是一致的。 1 3 ( 3 ) t h e t a 删权时| 日j 价值的折预的速度： 分数布朗运动下的e = 鲁一h t 2 川嚣睾一r k e x p ( 叫眦) ， 当日2 时， 它与用传统期权公式得到的 e = 鲁= 一鬻一成 e x p ( 一，( r f ) ) ( 吃) 是一致的。 ( 4 ) v e g a 期权价格对股票价格波动率的敏感性： 分数布朗运动下的y = i o c = s j 产矿= 歹- ( 4 ) ， 当日= 1 2 时，它与用传统期权公式得到的y = 丽o c = s , 、- t - t n ( 吐) 是一致 的。 ( 5 ) r h o 无风险利率的变动的变动对于期权价格的影响程度： 分数布朗运动下的p = i o c ：k 仃一f ) e x p ( 一，( 丁一f ) ) ( 以) ， 当日= 三2 时， 它与用传统期权公式得到的 p = i o c = k ( t f ) e x p ( 一，( 丁一f ) ) ( 以) 是一致的。 1 4 第四章分数布朗运动环境下二元期权、缺口期权定价模型 本章主要介绍欧式二元期权以及欧式缺口期权的定价模型。 4 1 引言 二元期权是一种最简单的奇异期权。欧式二元期权是到期时如果价格在预 先约定的价格范围内，则支付期权持有者某一固定的金额，否则不支付。比如 欧式二元买权支付形式为： q = 言未三，欧式卖权支付形式为：弓= 言未至。 欧式缺口期权也是一种奇异期权，其特点是到期收益不是与执行价格比较， 而是以另一个常数g ( 即缺口) 作比较，如执行价格为k 的欧式缺口看涨期权， 其到期价值为g q = m 瓢s t 。一g s 爵r k 定理4 1 在风险中性下，分数布朗运动环境中单一标的型欧式二元看涨期 权的价值为： b ce 、 工， = 1 。删( 以) m s + ，丁一丁2 日 其中畋= 产。 证明：由引理3 1 知s ( 丁) k 等价于 s e x p r 丁一吾行2 + 盯( 聊 k ( 砂母昙埘一三o - 2 t t m ) 等 一i n s l r t 产_ l c r 一2 t 2 n 令_ b u i ( 广t ) = x ， b q = 8 吖7 e s t x 】= 2 川x e i t 跏置) 】 玎玎x 去e 卧萼础 = p 一盯则( 畋) 。 1 6 定理4 2 在风险中性下，分数布朗运动环境中单一标的型欧式二元看跌期 b p r = e - r t 删( 畋) 其中吃如定理4 1 所定义。 推论4 3 在风险中性下，当有红利p ( f ) = p 支付时，分数布朗运动环境中 单一标的型欧式二元看涨期权的价值为： b c = p 吖r 剧( ) 其中吐= 望s 一。 现在考虑双标的型的二元期权定价，即其到期收益取决于两种资产与两个 执行价格之间的关系。 令两种股票的价格过程分别满足如下随机过程： d s l ( t ) = 地) 墨( f ) 巩+ 盯。( f ) 驽o ) 魂焉o )s l ( o ) = s d s a ( t ) = 心( f ) 岛( f ) 出+ 盯2 ( 矿) 逆( f ) 瑶( f )最( o ) = 最 其中s ( f ) 为f 时刻第衍中股票的价格，“o ) 和吼( f ) 分别是第衍