（基础数学专业论文）退化有限伸张映射.pdf

摘要 有限伸张映射包含着以 0 口e q 和j ，= 0a e q ( 退化情况) 这两种情形 本文在竹维欧氏空间中刻画了一类退化的有限伸张映射，其nxn 阶j a c o b i 矩阵的 秩为1 ：1 z 0 ，我们研究了当伸张 函数k ( x ) 指数次可积时，退化有限伸张映射是连续的，l 1l o g 口l 一可积的；最后，我 们讨论了有界退化有限伸张映射的可去奇异性 关键词退化的有限伸张映射；弱单调性；连续性；l 1l o g dl - 正则性；可去奇 异性 a b s t r a c t m a p p i n g so ff i n i t ed i s t o r t i o ni n c l u d et w oc o n d i t i o n s ：o n ei s 以 0 a e q ，t h eo t h e r i s ，= 0口e q ( t h es i t u a t i o no fd e g e n e r a t i o n ) t h i sp a p e rw ed e n o t eb vd ，( z ) t h e j a c o b i a nm a r r i e s ，a n dt h er a 工l ko fn n - m a t r i cd f ( x ) i s2 ：1 l 0 ，w ep r o v et h ec o n t i n u i t ya n dr e g u l a r i t yo fd e g e n e r a t em a p p i n g sw i t h e x p o n e n t i a l l yi n t e g r a b l ef i n i t ed i s t o r t i o n f i n a l l y , w es t u d yt h eq u e s t i o no fr e m o v a b l e s i n g u l a r i t i e sf o rb o u n d e dd e g e n e r a t em a p p i n g so ff i n i t ed i s t o r t i o n k e y w o r d sd e g e n e r a t em a p p i n g so ff i n i t ed i s t o r t i o n ； m o n o t o n i c i t y ；c o n t i n u i t y ； p 1 0 酽l - i n t e g r a b i l i t y ；r e m o v a b l es i n g u l a r i t y i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成 果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 鱼叁衄日期：卫年互月l 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门 或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密0 。 ( 请在以上相应方格内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：堕立年月上日 日期： ! 翌年 0a e q i nf a c t ，m a p p i n g so ff i n i t ed i s t o r t i o n i n c l u d et w oc o n d i t i o n s ：o n ei s 以 0a e q ，t h eo t h e ri s 乃= 0a e q ( t h es i t u a t i o n o fd e g e n e r a t i o n ) i nt h ec a s eo f 以= 0a e q ，t h er a n ko fj a c o b i a nm a t r i cd f ( x ) i s l ：0 l n t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h em o n o t o n i c i t y , c o n t i n u i t y , s e l f - i m p r o v i n gi n t e g r a b i l i t y p r o p e r t i e sa n dr e m o v a b l es i n g u l a r i t i e so ft h es o - c a l l e dd e g e n e r a t em a p p i n g so ff i n i t ed i s - t o r t i o n w es t u d yn o n c o n s t a n tm a p p i n g ，= ( ：厶，厶) ：q r ni nt h es o b o l e vs p a c e i 够2 ( q ，r ”) ，( 1 p 。o ) ，w h e r eq i sac o n n e c t e d ，o p e ns u b s e to fr ”w i t h 礼2 t h u s ， f o ra l m o s te v e r y 。q ，w ec a ns p e a ko ft h el i n e a rt r a n s f o r m a t i o nd f ( x ) ：r n r “， c a l l e dd i f f e r e n t i a lo f 厂a tz ，i e d f ( x ) = i t sl l o r i l li sd e f i n e db yi ，) 厂( r ) i j a c o b i a nd e t e r m i n a n t ，1 5t h e 天 a j t 、 i 百j u 。j ( 1 s n ，l 歹s n ) = s u p d f ( z ) h l ：h 伊- 1 ) k - m i n o r so fd 厂( z ) ，w h e r et h e d e n o t eb y 。( x ，) t h e k - t u p l e i = ( i l i 2 ，i k ) a n dj = 0 1 ，j 2 ，九) a r ef r o mn = ( 1 ，2 ，”) ，a n d1 i l i 2 i k n ，1 歹1 j 2 j k n l e tn o n c o n s t a n tm a p p i n gf ( x ) s a t i s f yj ( x ，f ) = 0a e - q w ea l w a 3 ，sa s s u l n et h a t t h er a n ko fn 7 1 一l n a t r i cd f ( x ) i s ? ：1 l 0 a e q w h e r e a s 以+ l ( x ，厂) = 以+ 2 ( x ，) = = 厶( z ，) = 0 ， ( 3 ) t h e r ei sam e a s u r a b l ef u n c t i o nk = g ( x ) 1 ，f i n i t ea l m o s te v e r y w h e r e ，s u c ht h a t ， s a t i s f i e st h ed i s t o r t i o ni n e q u m i t y d f ( x ) l2 k ( z ) j t ( z ，) a e q ( 1 2 ) av e r yp o w e r f u lm e t h o dw h e nd e a l i n gw i t hc o n t i n u i t yp r o p e r t i e so ff u n c t i o n si sf u r - n i s h e db yt h en o t i o no fm o n o t o n i c i t y , w h i c hg o e sb a c kt oh l e b e s g u e 【1 i n1 9 0 7 m o n o - t o n i c i t yf o rac o n t i n u o u sf l m c t i o n 让i nad o m a i nqcr “s i m p l ym e a n st h a t o s c ( u ，b ) o s c ( u ，o b ) f o re v e r yb a l lbcq r o u g h l ys p e a k i n g ，us a t i s f i e sb o t ht h em a x i m u ma n dm i n i m u m p r i n c i p l e si nq h e n c et h er e l e v a n c ef o re l l i p t i cp d e si sc l e a r h o w e v e r t oe f f e c t i v e l y h a n d l ev e r yw e a ks o l u t i o n st ot h ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e ss u c ht h a t ( 1 2 ) o n en e e d st o a d o p tad e f i n i t i o no ft h es o - c a l l e dw e a k l ym o n o t o n ef u n c t i o n ，d u et oj m a n f r e d i 2 】 d e f i n i t i o n1 2ar e a lv a l u e df u n c t i o nu i 矿1 , 1 ( f 2 ) i ss a i dt ob cw e a k l yl n o n o t o n e i ff o re v e r yb a l lbc 2a n da l lc o n s t a n t s7 n ，s u c ht h a t w ch 3 v c p = ( u m ) + 一( m u ) + m 苫1 ( b ) ， m u ( t ) s ， ) f o ra l m o s te v e r yz b m a n yb a s i cr e s u l t so fm a p p i n g so ff i n i t ed i s t o r t i o nh a v eb e e ne s t a b l i s h e du n d e r s u i t - a b l ei n t e g r a b i l i t yc o n d i t i o n so nt h ed i s t o r t i o nf u n c t i o nk i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h e c o n t i n u i t ya n dt h er e g u l a r i t yo fd e g e n e r a t em a p p i n g sw i t he x p o n e n t i a l l yi n t e g r a b l ef i n i t e d i s t o r t i o n t h ec o n t i n u i t yh e r em e a i l st h ee x i s t e n c eo fac o n t i n u o u sr e p r e s e n t a t i v e l e t 西： 0 ，。) _ 【0 ，。) b eas t r i c t l yi n c r e a s i n g ，d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n w ec a l ls u c h f u n c t i o n so r l i c zf u n c t i o n sa n dw em a k et h ef o l l o w i n gt w oa s s u m p t i o n s ： ( 圣一1 ) 厂掣d _ 。， ( 圣一2 )1 i mt 西7 ( ) = 0 0 w es h a l lc o n s i d e rd e g e n e r a t em a p p i n g so fb o u n d e dd i s t o r t i o n ，t h a ti s ，m a p p i n g so f f i n i t ed i s t o r t i o nw i t hk l m o r e o v e r ，t h e r ee x i s t sa 圣，s a t i s f y i n gc o n d i t i o n s ( 圣一1 ) a n d ( 圣一2 ) ，s u c ht h a t e x p ( ( b ( k ) ) l l ( q ) ( 1 3 ) o u rr e m o v a b i l i t yt h e o r e ma b o u td e g e n e r a t em a p p i n g so fb o u n d e dd i s t o r t i o nw i l lb eg i v e n i nt e r m so ft h ea s s u m p t i o n ( 1 3 ) t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o n2w ee x t e n dt h ec o n c l u t i o no fm o n o - t o n i c i t yi n 【3 】w ep r o v et h ec o n t i n u i t ya n dr e g u l a r i t yo fd e g e n e r a t em a p p i n g sw i t he x p o - n e n t i a u yi n t e g r a b l ef i n i t ed i s t o r t i o ni ns e c t i o n3a n ds e c t i o n4 ，r e s p e c t i v e l y w es t u d yt h e q u e s t i o no fr e m o v a b l es i n g u l a r i t i e sf o rb o u n d e dd e g e n e r a t em a p p i n g so ff i n i t ed i s t o r t i o n i ns e c t i o n5 3 一 ad i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo fm so fh e b e iu n i v e r s i t y c h a p t e r2 m o n o t o n i c i t y 2 1m o n o t o n i c i t yi nh 1 , 1 ( q ，r ”) ( 1 l 佗) t h ec o o r d i n a t ef u n c t i o n so ft h ed e g e n e r a t em a p ，= ( ，止，厶) w l , l ( q ，r “) o ff i n i t ed i s t o r t i o na r ew e a k l ym o n o t o n e ，p r o v i d et h a t 礼一l + 1o ft h ec o o r d i n a t ef u n c t i o n s f o rf ( x ) b e l o n gt o 哪2 ( q ) i ti sr e w a r d i n ga n di l l u m i n a t i n gt oo u t l i n et h i ss i m p l ep r o o f i nv i e wo f ( 1 1 ) ，w eh a v e 地如= 悻慨) 胁j ， ( 2 1 ) ， w h e r e1 i l i 2 i ssn ，j = n 一，i sc a l l e dt h ec o m p l e m e n t a r y ( 佗一 1 ) - t u p l e ，w h i c hi so b t m n e df r o mt h ei n d e x ( 1 ，2 ，礼) b ys i m p l yd e l e t i n gt h ee l e m e n t s o fi a c c o r d i n gt ot h ea s s u m p t i o n ，w ec o n c l u d et h a tf o re a c hi ，t h e r ee x i s t sa tl e a s to n e c o o r d i n a t ef u n c t i o n 凡嚼。( q ) ，歹= ( 1 ，2 ，f ) t h u s ， 9 d f ha - - - a 力乞八 砒。八d z ，= 。 b ys t o k e s t h e o r e m a d d i n ga l lit o g e t h e r ，w eh a v e 以( z ，f ) d x = 0 l e tbb eab a l li nq i ti sn ol o s so fg e n e r a l i t yt oa s s u m et h a tf o rc o o r d i n a t ef u n c t i o n ，w eh a v e t h e n v ：= ( f l m ) + 一( m 一 ) +i 琚2 ( b ) 嘶，= 嚣诎e 肼i 郎i fm a 呻 _ f l 也 m 。, ecb j h e n c e ，i nv i e wo ft h ed i s t o r t i o ni n e q u a l i t y ( 1 2 ) ，w ec a nw r i t e 上制蜒上m ，刷z ，f ( ，；i t ，厂2 ) r f ，= 0 4 错厶 c h a ，p t e r2 m o n o t o n i c i t y t h u s 钞三0o nb ，w h i c hs i m p l ym e a n st h a tms mf o ra l m o s te v e r yz b ，a s d e s i r e d 2 2m o n o t o n i c i t yi ni v l , o ( f l ，r “) ( 1 z 1w ec o n s i d e rf u n c t i o n su nl 。( q ) ，a n dd e f i n e t h e i rm 。d u l u s 。fi n t e g r a b i l i t yb y l s p l p ( u ；e 1 =：li u lj ai p 刁 】 p c ，0 p 一1 t h es p a c e 男( q ) c o n s i s t so ff u n c t i o n sw i t hb o u n d e d m o d u l u so fi n t e g r a b i l i t y , a l s ok n o w n a st h eg r a n dl e b e s g u es p a c el p ) ( q ) ，i sf u r n i s h e dw i t ht h en o r l x l b 2i sab a n a c hs p a c e i tt h e nf o l l o w st h a tt h ec l o s u r eo fl v ( f 1 ) w i t hr e s p e c tt ot h i s n o r n - i ，d e n o t eb yy p ( q ) ，c o n s i s t so ff u n c t i o n sw i t hv a n i s h i n gm o d u l u so fi n t e g r a b i l i t y n a m e l y w h e n e v e ru y 扩( ( 2 ) 1 i m l p ( u ；) = 0 ， ，0 + t h ec o m p l e t i o no ft h es o b o l e vs p a c ew 1 p ( q ) u n d e rt h en o r mi i i i p + f iv | | p ) w i l lb e c a h e dt h eg r a n ds o b o l e vs p a c ea n dd e n o t e db y1 l 1 , p ( q ) t h u s w h e n e v e r 珏| t l 1 , p ( q ) 刚l i m 上l v 珏i p e = 。， l e m m a2 1l e tf ：b 一兄“，b ead e g e n e r a t em a p p i n go f s o b o l e vc l a s sw 1 , l - - ( b ，r n ) ，0 e l ，i nab a l lb t h e n 上阿( 圳叶m ，f ) d z c ( 咖fl j b 刚卜， jb p r o v i d e dt h a tn l + lo ft h ec o o r d i n a t ef u n c t o n sf o rf = ( ，： ) b e l o n gt ow 苫卜5 ( j e 7 ) p r o o f l e tj = ( i l ，i 2 ，：i l ) ，j = n 一，a sa b o v e i nv i e wo f ( 2 1 ) ，w eh a = 、，c z i 。，( 刮叶以( z ，) 幽2 莩zi 。，( 圳_ 西，a - - - a 妖，八如， 5 一 酽 罢 | j ad i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo fm so fh c b e iu n i v e r s i t y _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - _ i i i i i _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一 a c c o r d i n gt ot h ea s s u m p t i o n ，f o re a c h ，= ( i l ：，i f ) ，t h e r ee x i s t sa tl e a s t o i l e c o o r d i n a t ef u n c t i o n 凡孵卜。( b ) ，j = ( 1 ，1 ) i ti sn ol o s so fg e n e r a l i t yt oa s s u m e t h a t 五1 咐卜5 ( b ) w eb e g i nw i t ht h eh o d g ed e c o m p o s i t i o n r 矶，= 如+ 7 ， w h e r e 垆w 2 鲁( b ) a n d7 l 鲁( b ) i ti si m p o r t a n tt 。r e a l i z et h a t7b e c 。m e ss m a l l a set e n d st oz e r o p r e c i s e l y , w eh a v e s e e 4 7 i i l 接( b ) c ( n ) 1 1 ，l | z ( b ) c ( n ) e i l d 川墨( b ) ， b ys t o k e s 7t h e o r e ma n dh b l d e ri n e q u a l i t yw ef i n dt h a t l d f ( x ) l _ 剪ha a 蛾l ad x j jb | 虢。i 吖娥，a 虢：八人娥。八c i x j jb = 7 砒。八八娥；八d x j 1 7 1 1 d f l 2 1 jbjb s ( 丘是如) 胃( f bi 。f l 卜5 d x ) 再 = 1 1 7 | | 鲁l d 州；：c m ) i | d 州等i | d 川e ： 刊啦( 左删吖砂 a d d i n ga l lit o g e t h e r ，w eh a v e t h el e m m ai sp r o v e d l d f ( x ) l 一6 以 ，f ) d x c ) e i d ，i 卜5 d x jbjb t h e o r e m2 1c o o r d i n a t ef u n c t i o n so fd e g e n e r a t em a p p i n g sw i t hf i n i t ed i s t o r t i o ni n t h eg r a n ds o b o l e vs p a c ew i , 0 ( b ) a r ew e a k l ym o n o t o n e ，p r o v i d e dt h a t 扎一l + 1o ft h e c o o r d i n a t ef u n c t o n sf o rf = ( 厶) b e l o n gt o1 琚卜5 ( b ) p r o o f b ys 3 m a m e t r y i ts u f f i c e st op r o v et h a t 厂1i sw e a k l ym o n o t o n e l e tbb eab a l li nqa n dm mb cr e a ln u m b e r ss u c ht h a t 口= ( f l 一 彳) + 一( ”l 一 ) + m ：2 5 ( b ) f o re v e r ye ( o ，1 ) w eh a v et os h o wt h a t m ， c h a p t e r2 m o n o t o n i c i t y f o ra l m o s te v e r yz b w ec o n c l u d e d v = i fm m ， o t h e r w i s e ( s a y , o i las e t ecb ) a p p l y i n gl c m m a2 1t ot h em a p p i n g ( 矶，2 ， ) ：b r “，w eo b t a i n 五塑篱擎如上i 。，( 州吖以( z ，j r ) d x c ( 扎) 上i 。j r ( 圳卜5 如 t h e r e f o r e ，s i n c ee 厶i o i l 卜5 d x 一0 ，a s _ 0a n d1 ) 。f o ra l m o s te v e r yz ，b y t h em o n o t o n ec o n v e r g e n c et h e o r e mw ei n f e rt h a td v a n i s h e sa l m o s te v e r y w h e r ei ne t h i si m p l i e st h a t 钞= o c o m p l e t i n gt h ep r o o fo ft h e o r e m 2 3m o n o t o n i c i t yi nw i , p ( q ，r “) c o n s i d e ran o n n e g a t i v ed e c r e a s i n gf u n c t i o np c 1 ( o ，1 】s u c ht h a t a n d ，i 矿1 , p ( 口) i sad e g e n e r a t em a p p i n g ，w h e r et h er a n ko fj a c o b i a n f ：0 l 0 ，t 0 ， 叩) = 嘛s u p 2 o f 够l 巴， c l e a r l y 西i si n c r e a s i n ga n dc o n v e x u s i n gf a m i l i a rm e t h o da s 5 j ，w ec o n c l u d e l i 鬻a t 一 ( 2 2 ) ( 2 3 ) w ec a nn o ws t a t eam o n o t o n i c i t yr e s u l ti nt h eo r l i c z s o b o l e vc l a s s e s t h ep r o o fi s c a r r i e do u ti n 【6 | t h e o r e m2 2t h ec o o r d i n a t ef u n c t i o n so fad e g e n e r a t em a p p i n gf i y l , p ( b ) o f f i n i t ed i s t o r t i o n ，w i t hps a t i s f y i n g ( 2 2 ) ，a r ew e a k l ym o n o t o n e 0 够 呱徊l | 扛 曲w 烈 姆一 c h a p t e r3 c o n ti n u i t y l e ta ；。d e n o t et h e 嚷晚一m a t r i xo fc o f a c t o r so fa l lz l - m i n o r so fd f ( x ) i n v i e wo f 【7 】w eh a v e f o rl m 忌死。 ( c d l l 入；，( z ) 1 1 2 m ( 磷) m i | 入7 ，( 圳1 2 七 t a k em = 1i n ( 3 1 ) a n du s et h ed i s t o r t i o ni n e q u a l i t y ( 1 2 ) ，w eo b t a i nt h a t 矿代m ) i 2 _ c ：l d f l 2 尧s 磷( z ) 2 娜地舻彬 t a k e 七= l 一1i n ( 3 2 ) ，w eh a v e n ；l 入_ 1 m ) r 1 冬( 醇1 ) 粕k ( z ) 以( z ，n ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) c h o o s i n gs u i t a b l ed i s t o r t i o nf u n c t i o nk ( x ) f o rw h i c h ( 3 3 ) h o l d sw i l lb ed e n o t e db y 硒( z ) t h u s ( 3 3 ) r e a d sa s 八l - - 1 m ) p v 蔚两也( z ，厂) ( 3 4 ) i nt h i sp a p e r ，w ep r o v et h ef o l l o w i n gc o n t i n u i t ye s t i m a t e 。 t h e o r e m3 1a s s u m et h a tf 1 0 c , l ( b ：r n ) i sad e g e n e r a t em a p p i n go ff i n i t ed i s - t o r t i o n ，t h er a n ko fd f ( x ) i s2 ：1 l 0 bw i l ls p l i tt h ep r o o fo ft l l ( 、o r e m3 1t ot w op a r t s l c l n m a3 1a n dl c m m a3 2 一8 l e m m a3 1l e tf ：q r ”b ead e g e n e r a t em a p p i n gi nt h es o b o l e vc l a s s 1 z ( q ，r n ) s u c ht h a t 以( ：，) l k ( q ) a n d ( 3 4 ) h o l d s ，w i t h j = f be x p ( + k 侧出 0a n dab a l lb = b ( x o ，r ) c cq t h e nf o re v e r ys m a l l 0 ，w eh a v e ，州肌磐l o 辫g ， ，b ( 霉o ，r ) k 五：鬲i ， ( 3 5 ) w h c n c v c r7 ( 0 ，r 2 ) r e m a r k3 1t h ep r o o fo fl e m m a3 1w i l lb eb a s e do nt h ef o l l o w i n gi n t e g r a lt y p e i s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t y , w h i c hp r o o fi ss i m i l a rw i t h 【8 】 ，州皿外r 瓶广( k 一 a i - 1 m ，i ) 由 p r o o fl e m m a3 1i nv i e wo f ( 3 6 ) ，w eh a v e 。，州孙2 瓶) - 1 纠 a i - j o b ( = o1 m ) i ) 两，b ( o ，8 )，$ ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) f o ra l m o s te v e r y0 f f ( a ) ! f ( a ) ，k z ( t ) t z ( a ) - 9 c o m b i n i n gt h ed i s t 。r t i 。ni n e q u a l i t yi 八：一1 ，( z ) i r l ( x ) j d x , f ) c 3 - zw i t hh s l d e ri n e q u a l i t y , w ef i n dt h a t l ，t b f ) d x j b 眩一t t ( 嵩) 由( 嘲m ) 牛如) 由 ( 嵩) 由缸) 击l , , , j r ( x , f ) d x ) j e n s e n s i n e q u a l i t ya p p l i e dt ot h ec o n v e xf u n c t i o n ( f ( a ) ，0 0 ) 一 y i e l d s l j b 旺一“ 以( z ，) 出 a n dc o m p u t a t i o n ss h o wt h a t ( 0 ，)：7 一e x p ( a r l ( i 一1 ) 1 外z 丽) - 1 ( 嵩) 由学 ，。g 旺唧( 入2 硐儿州， 上r 2 _ t ij l k 他妄( 半) 南( 2 5 ”一1 2 一1) 击( r 2 - e i 问划 。g(石耋兰；鲁主兰骗)z。以cz，dz w r i t ea ( f ，n ) = e x p ( a 厕) 2 ”，l e t t i n g6 _ 0 ，u s i n gt h ee l e m e n t a r yi n e q u a l i t y nl o g2 2 叱一1 e a 2 l o g2f o ra l l ，a 0 ，a n dt h ef a c tt h a t 1 ，w ec o n c l u d et h a t a n d f j t b ? f l a z ，b r 2 一“ 票驴，。g ( 者掣) 厶坤，) 如i a i 1 n e x tw ei n t r o d u c et w oa u x i l i a r yf u n c t i o n s w es e t 、厂 u i ，a x ) 2 j b r 2 一e ， 以(