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取值于局部凸空间的向量测度 摘要 本文主要以j d i e s t l a n d j u h l 的名著( ( v e c t o r m e a s u r e s ) ) 为基础，将b a n a c h 空间上 的关于向量测度的若干结论推广到了局部凸空间中引出了p 一完备局部凸空间、 向量测度关于纯量测度族a 的绝对连续性、局部凸空间上的b a t t l e 积分等概念；重 点推广了文献1 中的如下定理：n i k o d y m 有界定理、b a r t l e d u n f o r d s c h w a r t z 定 理、p e t t i s 定理、d i e s t e l f a i r e s 定理、o r l i c z p e t t i s 定理、v i t a l i h a h n s a k s n i k o d y m 定理、c a r a t h e o d o r y h a h n k l u v a n e k 延拓定理、v i t a l i h a h n s a k s 定理等 关键词：局部凸空间，向量测度，p 一完备，a 一连续 v e c t o rm e a s u r ev a l u e di nl o c a l l yc o n v e xs p a c e a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w eb a s e do nap a p e r ( ( v e c t o rm e a s u r e s o fj d i e s t la n dj u h i w ep r o m o t e s e v e r a lc o n c l u s i o no fv e c t o rm e a s u r e sv a l u e di nb a n a c hs p a c et ol o c a l l yc o n v e xs p a c e t h e n i n t r o d u c e ds o m en e wc o n c e p t ，f o re x a m p l e ：p - c o m p l e t e dl o c a l l yc o n v e xs p a c e 、a - a b s o l u t e l y c o n t i n u o u so fv e c t o rm e a s u r e sf o rs c a l a rv a l u e dm e a s u r e s 、b a r t l ei n t e g r a lo nl o c a l l yc o n v e x s p a c e ，e t c f i n a l l y , w ef o c u so np r o m o t i o no fs o m et h e o r e mi nt h er e f e r e n c e 【1 】，t h ep r o m o t e d t h e o r e ma sf o l l o w s ：n i k o d y mb o u n d e dt h e o r e m 、b a t t l e - d u n f o r d s c h w a r t zt h e o r e m 、d i e s t e l - f a i r e st h e o r e m 、o r l i c z - p e t t i st h e o r e m 、v i t a l i h a h n s a k s - n i k o d y mt h e o r e m 、c a r a t h e o d o r y - h a h n - k l u v a n e ke x t e n s i o nt h e o r e m 、v i t a l i h a h n - s a k st h e o r e m ，e t c k e y w o r d sl o c a l l yc o n v e xs p a c e ，v e c t o rm e a s u r e s ，p c o m p l e t e ，a - c o n t i n u o u s i i 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得囱墓直盔堂及其他教育机构的学位或证，i5 而使用过的材料。与我一同：【：作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：岛仁玫蝻 日期：堡量：鱼! 皇 指导教师签名： 、罗 日期：型! 竺 在学期问研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，u p - 内蒙古久学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印髑：和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意：若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：刍生塞窒堑 日 期：竺，! 羔些一 指导教师签名： 日 、罗火 期：型呈! ：! 内蒙古大学硕士学位论文 引言 关于测度，从提出到现在已经有很长一段时间了1 9 6 5 年，p a u l r h a l m o s ( 2 ) 建立了完 善的数值测度理论1 9 7 0 年，d r l e w i s 在文献f l o 】中给出取值于复数的函数关于集值函数可 积的定义及其相关性质1 9 7 7 年，d i e s t e l 在他的名著( ( v e c t o rm e a s u r e s ) ) f 1 】中建立了b a n a c h 空间上的向量测度理论 关于局部凸空间的向量测度理论的研究工作进展比较缓慢近十多年，国内、外有部分 学者加强了这些方面的研究工作1 9 9 5 年，武立中、孙立民在文献f 3 】3 中讨论了局部凸空间上 向量值测度某些有界变差的等价性1 9 9 6 年，孙立民( 【4 j ) 提出局部凸空间上向量测度的有 界、有界变差、有界半变差、强可加、可数可加等基本概念，在此基础上给出了它们之间的 几个基本关系2 0 0 5 年，陈敏、吕旭丹在文献f 1 1 】中，对局部凸线性空间引入可测函数，讨论 其性质及其强可测，弱可测的关系，在一定的条件下将强可测，弱可测统一为可测同年，陈 敏、吕旭丹在文献【1 2 j 中，在特殊情况下使b o e h n e r 积分、p e t t i s 积分之间建立了一定联系 本文主要以j d i e s t e l a n d j j u h l ，j r 的名著( ( v e c t o r m e a s u r e s ) ) 为基础，将 b a n a c h 空间上的关于向量测度的若干结论推广到了局部凸空间中引出了p 一完备局部凸空 间、向量测度关于纯量测度族a 的绝对连续性、局部凸空间上的b a t t l e 积分等概念；重点推 广了文献1 中的如下定理：n i k o d y m 有界定理、b a r t l e d u n o r d s c h w a r t z 定理、p e t t i s 定理、d i e s t e l f a i r e s 定理、o r l i c z p e t t i s 定理、v i t a l i h a h n s a k s n i k o d y m 定 理、c a r a t h e o d o r y h a h n k l u v a n e k 延拓定理、v i t a l i h a h n s a k s 定理等这对于进一 步建立和完善局部凸空间上b o c h n e r 积分理论将有着重要意义 文章中使用的符号，如果没有特别说明，同于文献f l 】、f 5 】 取值于局部凸空间矢量测度的变差、半变差与有界性 一取值于局部凸空间向量测度的变差、半变差与有界性 在开始我们的讨论之前，先介绍本文所需要的某些定义和结果设x 是实数域或复数 域k 上的向量空间，p 是x 上一族半范数，满足n 口e p p - 1 ( o ) = o 】，其中p 一1 ( o ) 垒缸x ： p ( z ) = o ，这样的半范数族p 常称为分离的令矿p 是半范数族p 生成的x 上的局部凸拓 扑，则( x ，矿p ) 是局部凸h a u s d o r f f 拓扑向量空间，简记为z 空间，有时也简称为局部凸空 间今后每当提到l c s 空间( x ，盯p ) 时，总意味着其拓扑是由x 上某一族分离的半范数p 生 成在文献【1 1 1 中d i e s t e l 曾经给出了取值于b a n a c h 空间的向量测度的定义与基本性质，在这 里我们用类似的方法给出取值于局部凸空间向量测度的定义与基本性质 设q 是某个取定的集，有时也称为基本空间以q 的某些子集为元素作成的集，称为q 上的域如果q 冗，且对任何历，玩厂都有西ue 2 厂，局场厂进一步，如果对任何 一列 e dc ，都有u 譬1 厩兀就称域歹是q 上的伊一域 我们用x 垒( x ，a p ) 表示( x ，盯p ) 的拓扑对偶空间，并对每个p p 考虑x + 的向 量子空间x 。( p ) 全 z + x ：s u p p ( 2 1 1 p ) l + o 。) ，对任意的z x ( p ) 定义忙+ b = s u p p 佃) 1p ( z ) l ，则”帖是x 4 p ) 上的范数，并用b ( x + ) 表示x ) 中的单位闭球，实际 上，( x 0 ) ，”0 ) 正是半范空间( x ，p ) 的拓扑对偶空间( x ，p ) 设尹是非空集合q 的子集作成的域，( x ，口p ) 是z c s 空间，f ：厂叶x 是向量值函数， 如果对任意的e 1 ，e 2 歹，e 1n 局= 西有f ( 局u 励) = f ( e 1 ) + f ( 场) 则称f 是一个有限可 加的向量测度( 简称向量测度) 对任意p 只定义p 一变差l l p ：，_ 【o ，+ 。1 为 l f b ( e ) = s u p ：p 【f ( a ) j 1 1 正h 其中是将e 分成，的有限个互不相交元的分划若对任意的p p 都有i f i p ) + 。o ， 则称f 为有界变差的由下式定义的非负广义实函”i | p ：厂_ f 0 ，+ 。】， i i f l l p ( e ) = s u p i z + f i ( e ) ：e 5 x + b ( x ) ) 】，e 歹 称为妒f l 是纯量测度z 。f 的变差，其中f 的p 一半变差若对任意的p p ，都有 l i r l l p ( q ) + 。o ，则称f 为有界半变差的这些定义在文献【3 】、 4 】中提过 容易验证，取值于z c s 空间的向量测度f 的每个变差和半变差具有下列性质： ( 1 ) 变差l l p 和半变差”i f p 具有单调性； ( 2 ) 变差和半变差具有非负性； ( 3 ) 变差1 1 p 具有有限可加性，半变差”l l p 具有半可加性； ( 4 ) 对任意的e 芦，l i f i i p ( e ) l f i p ( e ) 2 内蒙古大学硕士学位论文 其中( 4 ) 的证明如下 0 f l l p ( e ) = s u p l * f i ( e ) ：矿b ( x p ) ) 】i = s u p 【s u p l z + f ( a ) i 】 z e b ( x ) 1 2a 6 1 i = s u p s u p 【：矿f ( a ) i 】 nz + e b ( x + ) 硒 s u 。p p 【f ( a ) 】= i f i p ( e ) 口 例1 1 取值于f c s 空间向量测度的例 设芦是域， ) 是有限可加数值测度列，u 表示所有数列构成的线性空间，赋予如下的完 全的仿范数肛o = 黑1 两舞b ，z = ( z n ) 是局部凸f r e c h e t 空间定义f ：歹一u 如下 f ( e ) = ( p n ( e ) ) ， v e ， 显然f 是取值于上的向量测度 一般的，设 脚：7 t ) 是有限可加数值测度族 k t 表示所有函数，：t _ k 构成的线 性空间，赋予点点收敛拓扑是完备的j c s 空间，定义f ：歹_ k t 如下 f ( e ) ( 7 - ) = p ，( e ) ，v e f 丁t ，k t f 是取值于k t 上的向量测度 i 1 引理1 2 对任意的z + x 4 ( p ) 和z x ，有妒( z ) i 忙+ i l p p ( z ) 引理1 31 5 】设，盯p ) 是i c s 空间，则对任意的p p 和z x ，有p ( x ) = s u p l l x l ， 1p ( z ) i 定理1 4 设( x ，p ) 是z c s 空间，f ：，_ x 是向量测度，p p e 只则 ( 1 ) 0 f 似e ) = s u p n p ( a 6 he a f ( a ) ，其中s u p 取遍e 的所有厂分划，以及满足条件 k a l 1 的所有有限族 e a ：a ) ck ； ( 2 ) s u p p f ( h ) 】：hce ，h ，】l i l f l l p ( e ) 4 s u p p f ( h ) 】：hce ，h 尸) 证明( 1 ) 设p 只e 丁， 对每个a i i 令 f i t p ( e ) = s u p i x f l ( e ) ：z + b ( x ( p ) ) ) = s u p 8 u p 磊州刮b ( a = 0 ，当z + f ( a ) = 0 3u 取值于局部凸空间矢量测度的变差、半变差与有界性 这样i “i 1 ，且 = 甓谢，当矿f ( a ) o 陋+ f ( a ) i = g a x f ( a ) = i e a z + f ( a ) i a e l l = 妒e a f ( a ) i a e l l 因为矿b ( x + ( p ) ) ，根据引理1 2 有 矿f ( a ) l p 【e a f ( a ) ， a e l la e l l 8 u p l 2 a f e i i 州刮 s u p p 【磊咿( 制， s u p s u 。p 矿f ( a ) i ：z b ( x + o ) ) ) 8 u p 伽f e a f ( a ) i ， “a e n “ a 1 2 i i f l | p ( e ) s u 。p p ( a f ( a ) ) k ( n ) 所以 义j 限瑁引埋1 3 ，用d 嗣仕恧分刘利黼足杀仟f c ajs1 朋有限肤t “：a 儿j ， p【啦(驯2肛s刈up，iaeiii p _ l + 【磊钰删i l l 善l a s u p l z + g a f ( a ) ) l 妒o p l 石 忙s u i i p p 1 赫c a m = ： + f 似) l 鬈。磊嗍a ) i 肛h p 1 而 s u ps u p 矿f ( a ) i 忙l i p 0 的集合a 构成的有限族，一是使x * f ( a ) 0 的集合a 构成的有 限族， i 矿f ( a ) i = z f ( a ) 一f ( a ) a e i i a e i i +a 一 p 【f ( ua ) + p f f ( ua ) j a e i i +a e 一 2s u p p f ( h ) 】：hce ，h 歹 当x 是复的z 空间时， z + f ( a ) = z ；【f ( a ) 】一i 。；【f ( a ) 】 其中z i f f ( a ) 】表示z f ( a ) 的实部，z ；【f ( a ) 】表示x * f ( a ) 的虚部，我们有肛：p l i z i i p 1 ，懈| i p 忪+ i i p 1 ，所以 i z * f ( a ) i i z ：【f ( a ) 】i + l z ；【f ( a ) 】l a e i ia e i i a n s4 s u p p i f ( h ) 】：hce ，h 歹) 这样 i i f l l p ( e ) 4 s u p p f ( h ) 】：日ce ，h 刀 口 注1 5 文献【3 】3 提到了向量测度有界性的概念称向量测度f ：丁一+ x 是有界的，是指f 的值域f ( 芦) 是，盯p ) 中的有界集显然f 是有界的当且仅当对任意的z 。x ，z f 是有 界的纯量测度( 此时称f 为弱有界) ；由定理1 4 进一步可知，f 是有界的当且仅当f 是有界 半变差的，这也正是文献【3 】中定理2 的结论 5 向量测度的强可加性 定义1 6 设( x ，仃p ) 是l 空间， f r ：歹_ x ，r z ) 是域，上族向量测度，对任意的 p p ，若s u p 下t1 1 日似q ) + o 。，则称 b ：7 _ t 为一致有界的， 定理1 7 ( n i k o d y m 有界性) 【1 】设x 是b a n a h 空间，是q 的子集作成的盯一域， b ： 7 - q 是上定义的x 值有界向量测度族，若对任意的e e 有s u p r tl i f r ( e ) i l + c o ，则 b ，7 _ t ) 是一致有界的，即s u p ，? i i f i ic a ) + o 。 定理1 8 是定理1 7 在z c 8 空间中的推广该结论在文献【3 】3 中提出过，但没有具体证咀 定理1 8 设( x ，仃p ) 是f c 8 空间，是q 的子集作成的口域， f r ：r q 是上定义的 x 值有界向量测度族，若对任意的p p ，e 有s u p ，- e t p 【b ( e ) l + o o ，则 b ：r t 是 一致有界的，对任意的p p 有s u p ，tl i f i i p ( q ) + o o 证明因为对任意的pep 和e s u p p f ，( e ) 】= s u p i x 日( e ) i - z + x ，i i x 。i j ps1 ，下t ) + ， r e t7 t 所以，我们对有界数值测度族 矿日：z + x 4 ，岭。i l p l ，下t ) 应用n i k o d y m 有界性定理 1 7 可得 s u pi 茁+ f r i ( a ) + 。 r ! 而 l i f f i i p ( q ) = s u p i x 4 日i ( n ) ：z x ，i l z l l p 1 ，7 - t ) 两端取上确界可得 s u pl i f r l i p ( q ) = 趴1 p i z 日l ( q ) ：z x ，0 z i i p l ，下t ) l x * f r ( e k ) 4 6 不妨设对每个 n n 有s u p r ti i f , i i p ( 晶) 4 6 据定理1 4 的( 2 ) 有 巽掣b l l p ( 取) 6 ， r t 所以存在玩芦，风c 玩使得 s u p p f , ( ) 】 6 r 2 注意到 儡。) c 丁是互不相交集列，这与条件( 3 ) 矛盾 ( 4 ) 令( 5 ) ：首先证明，对任意的p 只 i x + b 1 f zz x ，i i x 0 p 1 ) 是强可加测度 族因为z 耳是强可加的，所以有界，从而每个矿b i 也是非负数值测度 假如1 【矿b l ：，- t ，2 x ，临+ u 尹1 ) 不是强可加测度族，则存在t 和z 吝 b ( x 。p ) ) ，使得i z 5 i 不是强可加的则存在互不相交集列 r ) c ，使得 l ) = q - o e 因此，存在e 0 和两个自然数子列协) ，( m 矗 满足条件 n l m l 7 , 2 m 2 6 现在我们使用数学归纳法因为 0 0 瞄f n l ( ) 6 l l , l , = ! r t l 故存在 七2 南1 全1 使得 t l 2 1 瞄f n i ( ) 6 m 。n l 又 o o 。l ( ) 6 m 2 n 2 故存在k 3 七2 使得 ，礓3 唬r 。l ( ) f m 2 f l k 2 这样进行下去，得 n k l 几如 占 而由条件( 4 ) 得l i m j 。o s u wi i f ，l l 瑚( h j ) = 0 ，矛盾故 矿b i ：7 t , x x + ，i i x 0 ps1 ) 是一 致强可加的 ( 5 ) = 争( 1 ) ：首先证明， 辱：7 t ) 是强可加的向量测度族假如存在t o t 使得b 。 q 向量测度的强可加性 不是强可加的，则存在互不相交集列 互麓) c ，使得 隅) 在( x ，口p ) 中不收敛由于( x ，口p ) 是序列完备的，则 0 ，对任意的自然数，存在m n n ，有 册( ( 局) ) c o = n 而 黝( 三( 蜀) ) = 肛器。矽( 三( 墨) ) 妇叫s u p ，矿 妒1 ：三 一 文 f妒 胁 巾挺 s 矿 p r 蹦传 内蒙古大学硕士学位论文 ( 2 ) 对任意的p p o 故存在 0 和 a n ) c 使得 ( a 。) 厶v n n 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 由引理1 3 得 p o f ( a ) j = s u pi 矿( f ( a 住) 】l 肛+ 0 尹o 1 对每个n n ，存在z 二x + ，i i x ；1 使得 i x ：t f ( a 。) 】| 岛 f 是可数可加的，从而f 是强可加的，据注2 5 得 m f l ：礼n ) 一致强可加，据引理 3 7 得 l z 二f l ：n n ) 一致可数可加对每个自然数n ，令 风全ua j ， i = - 则 巩) 是渐缩集列令 b 全n n - - - - 1 故有 ，l p o ( b ) 2 熙g v o ( b ) = 熙( u a j ) n + o o 。 一 3 = n = 恕# v o ( a j )n + 。o o j = n l i r af2 - j ：0 一n _ o 。厶_ 一 从而( b ) = 0 对任意的a ，a cb 有( a ) = 0 ，于是 p 0 f ( a ) 】= 0 因此对b 的任意分划，当a h 时p o f ( a ) 】= 0 故对任意的自然数竹，因为 所以 p o f ( a ) 】= s u p 旷f ( a ) 忙i h 1 i z ：f ( a ) i j x * f ( a ) j = 0 ，k f = s u 。p i x 二f ( a ) i = 0 “a i i 1 3 可数可加向量测度 令 e 1 全n b l ，+ 1 全岛氏+ 1 ，n = 1 ，2 ， 则 晶) c 是互不相交列，且对m 2 有 o 。o o0 00 0 一l = 鼢一1n ( u 瑗) = u ( 兹n 一) = u 风一t 风= u ( 一l 鼠) ， n = j ，i ：巧n ：一j n = n 所以 下证b m l b = u 罂。b 注意到当i m 时 b m l b i = ( b r n - 1 ) u ( b m + 1 ) u u ( 岛一1 最) = u + 1 u u 易 0 0 cu n = 竹l 0 00 0 一1 b = u ( b m 一1 懈) cu 鼠 i = mn = = m 另一方面，对任意的i m 有 o o e = b i 一1 反c 风一a b icu ( b i n 一1 风) ， n = = m 所以 o o u 局cu ( 一1 玩) = b r a 一1 怊 i = mn = = ” 从而当m 2 时 b m 一1 b = u 晶 因为 l z ：f 1 ：n n ) 是一致可数可加的，所以 m l ，i m 。s u n pl z 卅( u e k ) = o 1 4 内蒙古大学硕士学位论文 从而 o5 0 骢8 u p k f l ( j e i m - 1 ) 2 0 骢8 u 。pi z ：f l 【( b m l b ) u 口】 2 l 骢8 ：p 【i z 二f l ( 一1 b ) + i z 二f i ( b ) 】 2 0 粤b s ：pi z ：f i ( j e i 价一l b ) o o 。t ，| 甄s u 。p i f i ( u 圾) k = m o o 2 0 骢8 u 。p l x ：, f l ( u 玩) = o 故 恕8 u p k f l 一1 ) = o 另一方面，对任意的m 2 ，有 s u pl x ：, f l ( b m 一1 ) l g g m 一1 f i ( b m 一1 ) l 一l f i ( a m 一1 ) i z 二一1 f ( a m 一1 ) i 矛盾，故j f l 是入一连续的，即f a 口 引理3 9 1 x 1 设x 是b a n a c h 空间， b ：一x ，下t 是盯一域上一族一致有界的可数 可加向量测度，则该向量测度族是一致可数可加的充分必要条件是，存在上定义的一个非负 实值可数可加的测度p 使得 毋：下t ) 是一致p 一连续的，即l i r a p ( e ) 。os u p ，ti i f 下c e ) i i = 0 定理3 1 0 设，口p ) 是z c s 空间， 异：一x ，7 t ) 是盯域上一族一致有界可数可 加向量测度，则该向量测度族是一致可数可加( 等价于一致强可加) 的，当且仅当存在e 上定 义的非负实值可数可加测度族a = 脚：p p ) ，使得 耳：7 t ) 是一致a 一连续的 证明 充分性：设 晶) c 互不相交集列，因为对每个p p ，脚是可数可加的，所 以 1 嗯脚( u r ) = 0 据条件，对任意的p p 有l i m 脚( e ) 。os u p f t p 盼( e ) 】= 0 ，所以 m l i ms u t p p 刚旦剐】= o 1 5 可数可加向量测度 即向量测度族 b ：一x ，丁t ) 是一致可数可加的 必要性：因为对每个r z b 是可数可加的，所以对任意的p p ， 耳：7 t ，矿 x + ，i i z 0 p 1 ) 是可数可加数值测度族 ( 1 ) 对任意的p 只有p 防( e ) 】- s u p l 。i i ，li z + f r ( e ) i ，所以 b ：下q 是上一致有 界向量测度族当且仅当对任意的p p z + b ：r t ，z 4 x + ，j i z + l | p 1 ) 一致有界； ( 2 ) 据注2 3 ，可数可加向量测度族 b ：r t 是一致可数可加的，则对任意的p 只 是一致有界一致可数可加的数值 测度族，且对每个r zp ，是p 一连续的，则 蜥：r t ) 是一致弘一连续的 ( 2 ) 进一步证明，确实存在这样的一个p ，使得对任意的e 有 0 p ( e ) ss u p l p r i ( e ) ， v e t 因此p ( 昱) _ 0 当且仅当s u p r ri p ， ( e ) _ 0 ( 1 ) 的证明与文献【1 1 中推论1 2 5 的证明完全一样，( 2 ) 中关于这个新的p 的构造也与文 献【1 】基本一致 1r 内蒙古大学硕士学位论文 只需补充证明：若一致有界的可数可加数值测度 胁：7 t ，关于可数可加非负实值测 度p 一致连续，则 i p ，i ：r t ) 也是一致p 一连续的由于 l i m s u p i g - ( e ) l = 0 肛r e ) _ or。 故对任意的e 0 存在5 0 ，当e e ，且p ( e ) 5 时，对任意的下t 有i p ，( e ) i ，对 日ce ，日e ，有p ( h ) 5 从而i p r ( 日) l ，于是 l 蜥i ( e ) = p r i i ( e ) s4 s u p l , r ( 日) i ：e ) h 1 与t 的连续性矛盾，故t 有界 必要性：因为y 是包囿空间，利用文献【7 1 中的定理4 4 9 结论可得 r - 1 引理4 2 设( k ”j | ) 是赋范空间，( x ，口p ) 是f c s 空间，从y 到x 的所有有界线性算子记 为b ( x ) ，则如下定义的b ( y , x ) 上的半范族p = | l 0 p ：p p ) 是分离的，其中 i i t i i p = s u pp ( t ( 可) ) ，v t b ( y ，x ) ，v p p l t 譬l l l 从而( b ( k x ) ，盯p ) 是z c s 空间， 证明 ( 1 ) ”i l p 是半范数 ( o ) 显然有l i t i i p = s u p l | ，1 1 1p ( t y ) 0 ； ( 6 ) 设孔，易b ( kx ) ，则i 噩+ 易l l p = s u p l l 1 1 1p i ( t 1 + 死) 】ss u p l l 圳1 洳( 乃y ) + p ( t 2 y ) 】 i i t , l l p + i i t 2 1 1 p ； ( c ) 设t b ( y x ) ，忌k 则l l k t i i p = s u p l l l ，1 1 _ _ 1 p ( k t y ) = k l l t i i ，所以| 1 i l p 是b ( y x ) 上的 半范数； ( 2 ) 下证所定义的半范数是分离的 若t b ( y x ) ，且对每个p p i i t i i p = 0 ，则对任意的y y ；有 p ( t y ) i i 列p i l y l i = 0 内蒙古大学硕士学位论文 故p ( t y ) = 0 ，由于p 是x 上分离的半范族，所以t y = 0 ，从而t = 0 口 引理4 3 设( x ，叮p ) 是序列完备的z c s 空间，( 互l i 1 | ) 是b a n a c h 空间，y 是z 的稠密向 量子空间，t b ( k x ) ，则存在唯一的t b ( z ，x ) ，使得对任意的y t y = t y ；且对任意的 p 只j j 刚p = f i t i j p ( 称之为保持半范族性质) 证明设teb ( k x ) ，z z 因为y 在z 中稠密，存在y 中序列 鼽) 使得y n _ z ( 依”i i 拓扑) 因为_ ( 是y 中的c a u c h y 列，而t 是连续的，所以 t ) 是x 中的依拓扑 盯尸的c a u c h y 列由于( x ，盯p ) 是序列完备的，存在z 使得 t 鼽一z ( 依拓扑口p ) 记z = l ( z ) ( 1 ) z 与 貅) 选取无关。若y 中序列t 妊 也依z 中范数收敛于乙则在y 中，鲰一菇一0 ( 依| f 1 f ) 由于t 是连续线性算子，依拓扑矿p 有 t t = t y n t ( 一以) 一z 这就说明z 与 鼽】选取无关显然是从z 到x 的线性算子，而且是t 在z 上的延拓 ( 2 ) t b ( z ，x ) ，即是从z 到x 的有界线性算子任取z z ，p 只取定 ) ck 使 得y n _ z ( 依”| f ) 出于p 是x 上的关于拓扑口p 的连续半范数，有 p ( t z ) = ，! 受p ( t y n ) 1 1 黑j | 丁j i p | | 3 nj | = | l t j j p jj z j j 拓+ 以o o 一 一 所以t 是有界的，而且对任意的p p 归0 p 例l p ，进而忪l l p = i i t i i p ( 3 ) t b ( z ，x ) 是t 的唯一的延拓，若7 b ( z ，x ) 也是t 的延拓，则对任意的名z ， 以及 鼽) cy 满足y n z ( 依1 1 1 1 ) 有 f ( z ) = ，熙( ) = n l 。i m t ( ) = ( z ) 故= t 口 设( x ，仃p ) 是序列完备f c s 空间，是由q 的子集作成的域，f ：f _ x 是有界向量测 度，对q 上任意歹可测的简单函数，= 甚l n “x 晶，定义野( ，) = 警la n f ( 晶) ，( 其中 西，岛，晶) 是q 的芦分划，o t l ，o r 2 ，口m k ) ，如果对厂可测简单函数全体构成的向 量空间g 赋予上确界范数l t f t t = 8 u p ，和) f ：。q ) ，则昂是从c 到x 的线性算子 ( 1 ) 证明野是有界线性算子： 1 9 局部凸空间中的b a r t l e 积分 设，= 毽lq 。x 既是q 上的y 可测简单函数，对任意的p 只据引理1 3 ， p i t f ( f ) = p 匹o t 。f ( 晶) 】 n = l 2u妒anflip n - - - - 1 ( 晶) l 忙s l一 i l f l l o oo 巢，p 叩( 驯 f i f l l o 。s u pi 矿f l ( q ) 峪+ l = l l f l l o 。l l f i i p ( q ) 因为f 是有界向量测度，所以有i i f i i p ( q ) 8 f 肚( q ) n = l 令 o 全e n x e , , 则l i ，o l i o os1 ，所以 i i t f i i 圹s u p ，p 陆( 川2p t t 。r ( o ) = p 匹e n f c e n ) i i f i i p ( e ) e i i i l l * 1磊 令_ 0 ，得 i i t f i i p 0 f 畎q ) ( 2 ) 由( 1 ) ，( 2 ) 得i i t f i i p = j i fj j p ( q ) 扩张到一般空间b ( 刁可得结论 定理4 4 设( x ，盯p ) 是f c s 空间，是由q 的子集作成的域，记所有厂上有界的x 值向 量测度全体为6 0 ( 厂，x ) ，则，上的p 一变差族p ”= i f i i p ( a ) ：p p ) 是6 口( f x ) 上的分离 的半范族，从而( 乩( 厂，x ) ，盯p ”) 是z 空间 证明6 n 俨，x ) 对加法运算和数乘运算显然封闭p ”是b a ( t ，x ) 上的半范族，下面证明 半范族尸”是分离的 若f 阮( 厂，x ) ，对每个p p i i f i i p ( q ) = 0 则据定理1 4 ( 2 ) ，有s u p p f ( h ) 】：hcq ，日 一i i f i i p ( q ) ，从而对任意的日厂，hcq 有纠f ( 日) 1 = 0 又因为，口p ) 是j c s 空间，所 以f ( 日) = 0 ，即f = 0 i - 1 注4 5 设( x ，矿p ) 是z c s 空问，厂是由q 的子集作成的域，按照前面的讨论b ( 一在上 确界范数下是b a n a c h 空间，艿徊伊) ，x ) 表示从口( 刀到x 的有界线性算子全体，按引理 4 2 ，侈( b ( 一，x ) 赋予半范族p + 时成为l c s 空间 d i e s t e l f a i r e s 定理在局部凸空间中的推广 综上可得以下定理 定理4 6 设( x ，口p ) 是序列完备的i c s 空间，是非空集合q 的子集作成的域，有界线性 算子空间召( b ( 一，x ) 和有界向量测度空间6 0 ( ，x ) 是拓扑同构的l c s 空间，f k ( 只x ) ，t b ( b ( 一，x ) ，其对应关系fhz 由如下表达式确定： ， i d f = t ( ，) ， v ，b ( ，l z 且对任意的p p ，满足l i t i i p = i i f i i p ) 证明对于f 阮( 厂，x ) ，由前面的讨论以及b a r t l e 积分的定义和性质可知，f 确定的有 界线性算子野就满足所有的要求，设t b c b ( y ) ，x ) ，定义 f ：笋_ x 为 f ( e ) 垒t ( x e ) ， v e 歹， 其中x e 是e 上的特征函数，显然f 是向量测度由于z 是有界线性算子，所以对任意的 p p 和任意的e 厂有 p 【f ( e ) 1 = p t ( x e ) 1 i i t i i p i i x e i t sl i t i i p + o o ， 故f 是有界向量测度，下证t = t f 设9 = 墨1a n x e 是芦可测简单函数，其中n n ( ，e 1 ，是q 的歹分划，由野 和t 的定义 t ( 夕) = q 。t ( x 晶) = q n f ( e n ) = t f ( g ) n = ln = l 对任意的，b ( 一，存在厂可测简单函数列 鲰) 使得g n _ ，( 依范数o 。) 因为t , t f 均为 有界线性算子，由引理4 1 它们又是连续线性算子，已知对任意的扎n 有 t ( 厶) = 矸( 厶) ， 令竹_ o o 可得 t ( ，) = t r ( s ) 所以t = t f 由前述砰的定义及性质，t 满足对应关系所要求的性质 综上所述，由f 对应于t