（基础数学专业论文）关于分析的一些研究.pdf

四川大学硕士学位记文 关于分析的一些研究 专业：基础数学 研究生；童念栋指导教师：张树果教授 摘要：本文分为两部分，第一部分使用分析的方法研究两个基础不等式的 推广，主要得到三个新的定理；第二部分建立关于实分析的三个独立定理。 在第一部分开始，我们简化了文【2 冲关于不等式( 2 ) 的推广的证明，主 要运用了逻辑分析与凸函数这一分析工具，取代了文【2 】中繁琐的计算证明。接 着，作者对不等式( 1 ) 与( 2 ) 的推广结果f 2 】作了新的思考，定理4 的证明使 用了积分形式的h o l d e r 不等式，其关键思想是将代数式转化为积分的形式。 在第二部分中，我们建立了三个新的定理其内容均属于集论拓扑范畴。定 理l 主要运用了连续延拓构造了一个泛测度零集；定理2 证明绝对连续函数在 一定条件下具有良好的性质；定理3 揭示了实函数与第一纲集的某种关系。 关键词：j e n s e n 不等式；泛测度零集；测度；第一纲集 四川大学颁：学位论文 s o m er e s e a r c h e so i la n a l y s i s m a j o r ：f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t e ：t o n gn i a n d o n g s u p e r v i s o r ：p r o f z h a n gs h u g u o a b s t r a c t ：t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s ：t h ef i r s t i n v e s t i g a t e s t h e g e n e r a l i z a t i o n so ft w of u n d a m e n t a li n e q u a l i t i e su s i n gt h em e t h o do fa n a l y s i s ；t h e s e c o n de s t a b l i s h e st h r e et h e o r e m sw h i c hb e l o n gt ot h ec a t e g o r yo fr e a la n a l y s i s a tt h eb e g i n n i n gt h ef i r s tp a r t ，w es i m p l i f yt h ep r o c e s so ft h eg e n e r a l i z a t i o no f t h ei n e q u a l i t y ( 2 ) 【2 】t h es i m p l i f i c a t i o nm a i n l yu s e st h el o g i ca n a l y s i sa n dc o n v e x f u n c t i o nt os u b s t i t u t et h eo r i g i n a li n t r i c a t e l yc o m p u t i n g a f t e rt h a t 。w et h i n kt h e g e n e r a l i z e dr e s u l t so fi n e q u a l i t i e s ( 1 ) a n d ( 2 ) w h i c hb e l o n gt oh u a n gf 2 】，t ov e r i f y t h e o r e m4 ，w em a k eu s eo fh o d e ri n e q u a l i t yo fi n t e g r a lf o r m t h ek e yi d e ai st o t r a n s f o r ma l g e b r a i cf o r mi n t oi n t e g r a lf o r m i ns e c o n d p a r t ，w e e s t a b l i s ht h r e et h e o r e m sw h i c hc o n c e r t is e t - t h e o r e t i c t o p o l o g y t h e o r e m1c o n s t r u c t sas e to fu n i v e r s a lm e a s u r ez e r ou s i n gc o n t i n u o u s e x t e n s i o n ；t h e o r e m2v e r i f i e sa b s o l u t e l yc o n t i n u o u sf u n c t i o nb e i n go fg o o d p r o p e r t yu n d e rs o m ec o n d i t i o n ；t h e o r e m3r e v e a l ss o m er e l a t i o nb e t w e e nr e a l f u n c t i o na n dm e a g e n k e yw o r d s ：j e n s e ni n e q u a l 时；u n i v e r s a lm e a s u r ez e r o ；m e a s u r e ；m e a g e r l 四j i i 大学顾l 学位论文 第一章关于两个不等式的若干研究 一、引言 文【1 1 列出两个不等式：若足+ 且墨= 1 ，则有 n ( 1 + ) ( n + 1 ) ” 密c + 扣n + 文 2 】进行推广得到了两个定理 定理1 ：若玉矿且窆玉：鲫，其中n 尺+ ， 脯t ，厮时鼻c t + 扣a + 争 i i ) n t i 万时，刍6 0 ) o ，使得当玉u 。( n ，艿( ) ) 时有 密鼢 o ) 上连续( 可以假 i i = i 四川大学硕 ：学位论文 定e 口 n ) 因此在i 上有最大值或最小值当o 。_ 2 , 7 v - 万时，使用拉格 明日乘数法司求得稳定点x l x 2 一矗= 1 2 ，总共只有两个稳定点，因此 m + 吉) “必是，( ，) 在巧上的最大值或最小值显然_ o 时 啤野，( ，工。) - 一故e 充分小时0 + 二) ”必是，( i 一，戈。) 在s “上的最小值 疗 我们断言+ 言) “是，在o - n ，萋t 2 n n 上的最小值，否则 3 0 。 ( n + 三) 一，o x o 窆# ：一口，：，( 砰， a百 取岛 r n i n ( 砰，j ：) 且0 充分小，这与。+ 4 是，在瓦j 上的最小值矛 n - ，故 + ! ) “是，在o 。，g ”( 工) = ! 尘! 三釜；：；笋 zl j + 工i 。 z t i 万时，g 气j ) 止i 石， 饥t 2 + 5 ( f = l ，2 ，n ) - - - - r l a ，x i 不全相等 则有 批卜“+ 如脚( 半) 叫归卧+ 出口+ 1 1 这样我们不必使用h a s s e 矩阵，也可以简洁得到文【2 】的定理1 接下来，作者给出( 1 ) 与( 2 ) 的引申及相关定理先来考虑 ( 工) = x l n x ， ( 工) = 三 0 ，( 蛳 o ) 四川人学硕上学位论文 则 ( j ) 在( o 十一) 上是严格凸函数由j e n s e n 不等式有 砉陆( ，- ，+ + 一( ，。) 】一1 ! 华) ( y ， 。) 门 竹j 记= n a ， 取y i ：l + 上 工 有f l + 上州 l工j f 。+ 土那+ lx n 上+ + 三l ：一nj ( 1 + 上) 峙】 工l 工_ x l + + 工 a 工l j 1 l + t + 兰! 墨、 故可得定理1 ；若 。，窆i = 1x i = n a , f l ；。( 1 + ) 。专( 1 十吉) 州l 七 l _ l i 定理2 ：妒( 工) 定义在( o ，劲上满足矿( o ) = 妒7 ( o ) = o ，j a o ，( 茗) a 若 。 o ( 嘶蛳 从而由j e n s e n 不等式jg ( x i ) + + 占( k ) - n g ( a ) 其次船剐( o ) 叫( o ) 工+ 学以0 0 o ) 由j e n s e n 不等式 g m ( _ ) + + g m ( ) n g 。0 ) ，从而 h m ( 啦学( n + 主1 = 1 “啦学( n + 扣扣) ：! 坐塑( 口+ 马一- - 口m 于是 窆i = 1 妒( ) 骡( _ + 击) = m 宝= ok ( j ) n 。+ ”1 薹坐挚d ” ，刮 f “ m = o 坍： ：，l ( 日+ 三) n t ( a ) 定理4 z 0 0 ，la r c t a n ，( z ) l s m ( v x f ) 。 引理4 结合引理2 与3 ，若f 是月中闭集，f c ( f ) ，则为c ( 月) ， 6 四川1 人学硕学位论史 g l ，= f 定理1 定义l = y ：陧尺中闭集 ，若映射：c ( 尺) _ l 使得p ( ，) = 耳，且 卅( ，( y ，) ) = 0 ，则x = f 7y e 具有泛测度0 。 ：e c i r ) 证：首先易知x 是闭集。v h ：x _ h ( x ) ( h 是x 上同胚) ，由引理 4 j 3 f c ( 尺) ， r x = h 从而m ( h ( x ) ) m ( ，( x ) ) m ( ，( 一) ) = 0 最后由引理1 知x 具有泛测度0 。 引理5 5 】若，是 口，b lp 的绝对连续函数，则，( x ) 在h b 】上几乎处处可微， 且，b ) 在【口，纠上可积。 引理6 【5 】若，( 工) 是k 纠上的绝对连续函数则，( 算) 一，( ) = r ，7 ( t ) d t 。 引理7 5 f ( x ，y ) 在【0 ，l l x o ，l 】可积，则有 m m 川咖卜f 肌渤出p 弓l 理8 5 】设，l a ，纠，若觇如，6 】有f ，( f ) 疵= o ，则 f ( x ) = 0 ，a e x a ，b 】。 定理2 ，( x ) 在【o ，1 】上绝对连续且f ，( 工) 出= o ，令 ，= o ，l 】，g ( 柚= ，( 曲r 厂( f ) 出， 则 g ( 工) = 0 a e 工， 证： 首先，g ( x ) 在【0 , 1 】上绝对连续。记e = x e1 ：譬( 力存在) ，则 m ( e ) = 1 r g ( 触= n ，缸) r ，( f ) 出+ ，2 ( x ) l d x 7 四川i 凡学硕十学位论史 由引理7 ， 由引理6 ， 2 r ，7 ( x ) s o 。f ( t ) d t l d x + i f ! ( x ) d r = f 哺邝) ，( x ) x l 。，( 工) d t i d x + , i f ：( j 地 上式= f f f ( t ) f ( x ) 石，( x ) d x d t + 1 7 f2 ( 石) d x = j ：邝) 1 1 ，( ) 石。( j ) d x d t + s f2 0 ) d x 上式= j ：，( f ) ，( y ) 一，( f ) 】出+ r ，：( x ) d x = 一j ：，2 ( f ) 西+ r f2 ( x ) d x 0 ， 由此知 l y g ( x ) d x - 0 ( e ，) 且f g ，( j ) 出= o 。 构造函数 ( y ) = n ( 一g ( t ) ) d t d x ， 则 ，( y ) = r ( 一g 缸) ) 出o ( v y ，) 。 由此推出h ( y ) 在，上递增。 现在计算r g ( f ) 疵，4 7 f ( x ) = l * f ( t ) d t ，由分部积分公式可以推出 2 l l g ( t ) d t = f f 2 ( 工) 】钒= f2 ( 工) e = o 。 由引理7 j i l ( 1 ) = f r ( 一g ，( f ) ) 出协= 一：ig ( f ) d 砌= g 缸) ( 1 一f ) 班 = r 占( t ) t d t - - - l g ( t ) d t = o 。 由此可知 ( 工) o ( v x ej ) 。因此，r ( 一g 缸) ) 出= o ( r y e ，) 。由引理8 ， 最后可得占( 工) = 0 a e x e ，。 引理9r e 个实数集a 是m e a g e r 当且仅当存在一个r 上自n 丕h 使得 四川人学硕学位沧文 h ( a ) 包含在一个的n u l l s e t 中。 引理1 0 1 5 f l a ，纠，e 【n ，b 】可测，f ( 工) 在e 上存在则 m + ( ，( e ) ) i 。i f7 ( 工) i d x 。 b 引理1 1 5 ( 逐项积分) 若( ( j ) l 是e 上非负可测函数列，则有 上瞽卜= 善胁，出 引理1 2 1 5 ( f u b i n i 逐项微分) 【 ( 工) 是【口，6 】上的递增函数列， ( j ) ：o e a ，纠上收敛，记，( 工) = ( 工) 则，7 ( x ) = z f ( x ) d zx e 【口，b l 定理3 五( 工) ) 函是一个r 上单增的连续函数序列，瓢，e ( f d = ( 一w ，。) ，3 正实数序列( 乙， 0 ，v i a ，纠月( 一一 a 占 * ) ， 记巨( f ) = ( z e 【口，6 1 ：，( z ) 与( 工) 都存在，r o ( x ) e i l 丘( m ) = une a i ) e = ne ( m ) 则吧集e ，乃集是m e a g e r 。 证：易知，( j ) = ( 石) 是r 上单增自同胚。 9 四川大学硕i ：学位论文 由引理1 2 在e ( m ) ) 与e z a 息，7 ( 工) = 丑工，( 互) 因丸( z ) 在e 与( m ) 上非负可测，由引理1 1 j h ，出屯瞽肭卜= 萎( k 椭叫 由引理1 0 m + ( ，( e ) ) s i ，( x ) k t x = i ：e f ( x m 上。，缸) d x ：专f f 台l 如( m )丑( j ) 出1 善k e , d x = 。删! ( m ) ) 厶 0 ( m 一) 从而m ( ，( e ) ) = 0 因，是r 上自同胚，由引理9 知定理3 得证。 ( 评注：将陋，剀依次用 - n ，n l 来代替铆= l ，2 ，) ，从而可知在结论中将 工陋，b 】改为x r ，其余不变，则定理一样成立。) 1 0 四川凡学硕 ：学位论文 参考文献 【l 】匡继昌常用不等式 m i 济南：山东科学技术出版社，2 0 0 4 年 【2 】黄常春一个关于变数和的条件不等式的讨论【j 】乐山师范学院学报 ( u n p u b l i s h e d ) 【3 】张筑生数学分析新讲【m 】北京：北京大学出版社，2 0 0 4 年 【4 】胡克解析不等式的若干问题【m 】武汉：武汉大学出版社，2 0 0 3 年 f 5 】周民强实变函数论 m i 北京大学出版社2 0 0 2 年 6 】j o h nc o x t o b y m e a s u r ea n dc a t e g o r y m n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g 1 9 8 0 ：4 9 5 1 7 1a r n o l dw m i l l e r h a n d b o o ko fs e tt h e o r e t i ct o p o l o g y m i a m s t e r d a m ： e l s e v i e rs c i e n c ep u b l i s h e r sb v 1 9 8 4 ：2 1 2 2 2 2 【8 】k e n n e t hk u n e n s e tt h e o r y m a m s t e r d a m ：n o r t h h o l l a n dp u b l i s h i n g c o m p a n y ，1 9 8 0 ：4 7 6 1 9 】 b u l l ，u a c a d o n