（基础数学专业论文）量子逻辑中有效代数与伪有效代数的研究.pdf

量子逻辑中有效代数与伪有效代数的研究 尚云 摘要量子力学是一套构造物理学理论的规则，而量子逻辑是量子力学存在的 数学基础自从1 9 3 6 年，g b i r k h o f f 和j v o n n e u m a n n 提出量子逻辑的概念以 来，完备的复可分的无限维希尔伯特空间中的闭子空间格，作为一种正交模格， 一直是量子逻辑研究的一个主要数学模型随着量子逻辑研究的发展，又出现了 许多新的模型例如，有效代数作为一种量子有效模型，可以体现量子测量中的 s h a r p 与u n s h a r p 问题；伪m v 代数以及伪有效代数可以满足物理系统中非交换 性的需要总的来说，基于相应量子物理系统的需要。对于量子逻辑的研究主要 集中在两个方面t 一个是从运算的角度，基本出发点是态( s t a t e ) ，研究s t a t e 的凸 结构；一个是从代数的角度，基本出发点是物理系统中的可观测量( o b s e r v a b l e ) ， 研究所有o b s e r v a b l e 组成集合的代数结构 本文主要是从代数的角度去研究量子逻辑，主要考虑以下两种量子结构：有 效代数与伪有效代数。这两类量子结构是当前量子逻辑研究的主要对象，本文得 到的结果有助于探讨这两种结构的内部构造，这也是许多学者正在致力研究的课 题本文的创新点主要有如下几个方面t ( 1 ) 根据偏序集上f u z z y 集的特点，给出 了有效代数、盯一完备有效代数等量子结构的构造；( 2 ) 提出了几种新的u n s h a r p 有效代数，例如a n t i b z 有效代数和s - a n t i - b z - 有效代数，并证明了s a n t i b z 一 有效代数的s h a r p 元集合具有标准量子结构性质；( 3 ) 给出了广义理想，广义滤 子的概念，并分别在有效结构、伪有效结构方面得到许多好的性质；( 4 ) 沿着差 分方向，介绍了伪差分偏序集和伪布尔差分偏序集，并分别证明了伪差分偏序集 范畴等价于伪有效代数范畴、伪布尔差分偏序集代数等价于伪m v 代数；( 5 ) 引 入了伪有效代数的定向极限的概念，证明了伪有效代数范畴存在定向极限；引进 了有效代数的逆极限的概念，证明了这样定义的逆极限是范畴意义下的逆极限 文章共分为三个部分 第一部分包含第一章，主要介绍近年来关于量子有效结构与量子伪有效结构 的研究进展以及本文必需的基本概念与结果 第二部分包含第二、三、四章，主要研究有效代数的结构性质各章的研究 内容叙述如下： 第二章从偏序集上的模糊子集出发，得到了某些量子结构的构造，主要给出 有效代数、盯一完备有效代数、完备有效代数、正交代数、正交模偏序集、盯一正 交模偏序集、完备正交模偏序集的构造最后引入f u z z y 有效空间的概念，得到 了带有强序态系统的格序有效代数的一个表现定理 第三章主要给出s h a r p l y 逼近有效代数、a n t i b z - 有效代数、中心逼近有效 代数和s - a n t n b z 一有效代数的概念，确立了s h a r p l y 逼近有效代数和a n t i b z - 有 效代数之间的关系、中心逼近有效代数和a n t i b z 一有效代数之间的关系而且证 明了在s a n t i b z 一有效代数中，a n t i b z s h a r p 元的全体构成一个正交模格 第四章首先给出了o r t h o a l g e b r a s 的广义理想和广义滤子的定义，这些定义 充分体现了广义理想和广义滤子的结构对称性；其次，证明了广义理想和局部理 想之间的等价性，通过广义理想得到了关于o r t h o m o d u l a rp o s e t s 的一个刻画定 理，即一个o r t h o a l g e b r a 是一个o r t h o m o d u l a rp o s e r 当且仅当它的主理想是广义 理想；最后，确立了o r t h o a l g e b r a s 的广义理想和它的支撑之间的关系，建立了它 的支撑集与它的广义理想集之间的同构 第三部分包含第五、六、七三章，主要研究伪有效代数的结构性质各章的 研究内容叙述如下： 第五章首先引进了伪差分偏序集，特别是伪布尔差分偏序集的概念，并详细 讨论了他们的性质然后，证明了伪差分偏序集范畴等价于伪有效代数范畴以及 一个伪布尔差分偏序集代数等价于一个伪m v 一代数最后，对于伪差分格，给出 了它的d 理想的概念，并且证明它等价于伪格序有效代数的r i e s z 理想，因而它 在广义s a s a k i 投射下是不变的 第六章是首先借助伪有效代数中的广义右三角和广义左三角，给出了伪有 效代数中广义理想和广义滤子的定义然后证明了广义理想和理想、广义滤子和 滤子的等价性，探讨了广义理想与局部理想之间、广义滤子与局部滤子之间的关 系其次建立了伪有效代数中广义理想集与支撑集之间的同构最后，引入了伪 有效代数的d 一同余、r i e s z 同余的概念，得到许多好的性质 第七章首先引入了伪有效代数的定向极限的概念，对于对象为伪有效代数、 态射为伪有效态射的范畴，证明了其定向极限存在；对于对象为伪有效代数、态 射为伪有效单态射的范畴。证明了其定向极限存在然后，对于对象为格序伪有 效代数的范畴，通过选择合适的态射得到了一些与正交模格类似的性质最后类 似于集合与拓扑中的方法，介绍了有效代数的逆极限的定义，证明了它是范畴意 义下的逆极限 关键调；有效代数伪有效代数伪差分偏序集广义理想极限 i i s t u d i e so ne f f e c ta l g e b r a sa n dp s e u d o e f f e c t a l g e b r a s i nq u a n t u m l o g i c s s h a n gy u n a b s t r a c ti ti sw e l l - - k n o w nt h a tq u a n t u mm e c h a n i c si sas e to fr u l e st oc o n s t r u c tp 坶s i c a lt h e o r i e s ，a n dq u a n t u ml o g i c si si t sm a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n s i n c ei n 1 9 3 6g b i r k h o f fa n dj y o nn e u m a n np r o p o s e dt h ec o n c e p to fq u a n t u ml o g i c s ，t h e l a t t i c eo fa l lc l o s e ds u b s p a c e so fas e p a r a b l ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lc o m p l e t eh i l b e r t s p a c e ，a sa no r t h o m o d u l a rl a t t i c e ，h a sb e e nr e g a r d e da sa m a i nm a t h e m a t i c a lm o d e l f o rac a l c u l u so fq u a n t u ml o g i c s w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h et h e o r yo fq u a n t u m l o g i c s ，n e wa l g e b r a i cs t r u c t u r e sh a v eb e e np r o p o s e da st h e i rm o d e l s f o re x a m p l e ， e f f e c ta l g e b r a sb e i n gaq u a n t u mm o d e lc a ne m b o d yt h es h a r pa n du n s h a r pp r o p e r - t i e sw h i l ep s e u d om v a l g e b r a sa n dp s e u d o e f f e c ta l g e b r a sc a r lm e e tt h er e q u i r e m e n t o fn o nc o m m u n i t yo nr e l e v a n tp h y s i c a ls y s t e m s i naw o r d ，i nn e e do fr e l e v a n t q u a n t u mp h y s i c a ls y s t e m s ，t h e r ea r et w oc l a s s e so fm e t h o d sf o rs t u d y i n gq u a n t u m l o g i c sl t h e o p e r a t i o na p p r o a c ha n d t h ea l g e b r a i ca p p r o a c h t h ef o r m e ri sb a s e do n t h es t a t e si np h y s i c a ls y s t e m sa n ds t u d i e st h ec o n v e xs t r u c t u r eo fs t a t e s ；t h el a t t e r i sb a s e do nt h eo b s e r v a b l e si np h y s i c a ls y s t e m sa n ds t u d i e st h ea l g e b r a i cs t r u c t u r e o fs e t sc o n s i s t i n go fa l lt h eo b s e r v a b l e s i nt h i st h e s i sw em a i n l yf o c u so nt w ok i n d so fa l g e b r a i cs t r u c t u r e s ，i e e f f e c t a l g e b r a sa n dp s e u d o e f f e c ta l g e b r a s t h e s ea l g e b r a i cs t r u c t u r e sa r et w om a i no b j e c t s i nt h ef i e l do f q u a n t u m l o g i c s t h e r e s u l t so b t a i n e di nt h i st h e s i sc o n d u c et ot h ei n n e r c o n s t r u c t i o n so ft h ea b o v et w os t r u c t u r e s w h i c hi sa l s oo n eo ft h em a i ni n t e r e s t sf o r m a n y r e s e a r c h e r s t h em a i nc o n t r i b u t i o n si nt h i st h e s i sa r ec i t e da sf o l l o w s ： ( 1 ) f r o m t h ev i e w p o i n to ff u z z ys e t so np o s e t s ，w ec o n s t r u c ts o m eq u a n t u m s t r u c t u r e ss u c ha se f f e c t sa l g e b r a sa n da - e f f e c ta l g e b r a se ta 1 ( 2 ) w j f i r s ti n t r o d u c es e v e r a lk i n d so fe f f e c ta l g e b r a si n c l u d i n gt h ea n t i b z e f f e c t a l g e b r a sa n dt h es - a n t i b z - e f f e c ta l g e b r a s ，a n dt h e np r o v et h a tt h es e to f a n t i b zs h a r pe l e m e n t so fs - a n t i - b z - e f f e c ta l g e b r a si sa no r t h o m o d u l a rl a t t i c e ( 3 ) w ef i r s tg i v et h ec o n c e p t so ft h eg e n e r a l i z e di d e a l sa n dt h eg e n e r a l i z e d f i l t e r sf o ro r t h o a l g e b r a s ，a n dt h e ne x t e n dt h e s ec o n c e p t st op s e u d oe f f e c ta l g e b r a s a tl a s t ，w ea t t a i ns o m eg o o dp r o p e r t i e so ni d e a l s ，f i l t e r sa n d s u p p o r t so ft h ea b o v e q u a n t u ms t r u c t u r e s i i i ( 4 ) a l o n g t h ed i r e c t i o no ft h ep a r t i a ld i f f e r e n c e ，w ef i r s tg i v et h ec o n c e p t so f p s e u d od i f 糙f e n c ep o s e t sa n dp s e u d ob o o l e a nd p o s e t s t h e nw ep r o v e t h a tap s e u d o d i f f e r e n c dp o s e ri sc a t e g o r i c a le q u i v a l e n tt oap s e u d oe f f e c ta l g e b r a ，a n dap s e u d o b o o l e a nd p o s e ti sa l g e b r a i c a le q u i v a l e n tt oap s e u d om v a l g e b r a ( 5 ) t ob e g i nw i t h ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fd i r e c tl i m i to fp s e u d oe f f e c t a l g e b r a s ，a n dp r o v et h ee x i s t e n c e o ft h ed i r e c tl i m i tf o rt h ec a t e g o r yo f p s e u d oe f f e c t a l g e b r a s t h e n ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h ei n v e r s el i m i tf o re f f e c ta l g e b r a s ，a n d p r o v et h a ti ti st h ei n v e r s el i m i tf o rt h ec a t e g o r yo f e f f e c ta l g e b r a s t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s 。 t h ef i r s tp a r ti n c l u d e sc h a p t e r1 。a n dm a i n l yr e v i e w sr e c e n td e v e l o p m e n to n q u a n t u m e f f e c ts t r u c t u r e sa n d q u a n t u mp s e u d o e f f e c ts t r u c t u r e s ，a n ds o m e n e c e s s a r y c o n c e p t sa n dr e s u l t sw h e nr e a d i n gt h et h e s i s t h es e c o n dp a r tc o n s i s t so fc h a p t e r s2 ，3a n d4 ，a n dm a i n l yi n t r o d u c e st h e w o r k s0 n q u a n t u me f f e c ts t r u c t u r e s i nc h a p t e r2 ，f r o mt h es t a n dp o i n to f f u z z ys e t so np o s e t s ，w ef i r s tc o n s t r u c t s o m eq u a n t u ms t r u c t u r e sl i k ee f f e c ta l g e b r a s ，盯e f f e c ta l g e b r a s ，c o m p l e t ee f f e c ta l g e b r a s ，o r t h o a l g e b r a s ，o r t h o m o d u l a rp o s e t s ，盯一o r t h o m o d u l a rp o s e t sa n dc o m p l e t e o r t h o m o d u l a rp o s e r s t h e nw ei n t r o d u c et h ec o n c e p to f f u z z ye f f e c ts p a c ea n de s t a b l i s har e p r e s e n t a t i o no fal a t t i c ee f f e c ta l g e b r aw i t ha s t r o n go r d e rd e t e r m i n i n g s y s t e mo fs t a t e sb ym e a n so ff u z z ye f f e c ts p a c e i nc h a p t e r 3 ，w ef i r s ti n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fs h a r p l ya p p r o x i m a t i n ge f f e c t a l g e b r a s ，a n t i - b z e f f e c ta l g e b r a s ，c e n t r a la p p r o x i m a t i n ge f f e c ta l g e b r a s ，a n ds - a n t i b z e f f e c ta l g e b r a s t h e nw ee s t a b l i s hn o to n l yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns h a r p l y a p p r o x i m a t i n ge f f e c ta l g e b r a sa n da n t i - b z - e f f e c ta l g e b r a sb u ta l s ot h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nc e n t r a la p p r o x i m a t i n ge f f e c ta l g e b r a sa n da n t i - b z - e f f e c ta l g e b r a s a tl a s t w ep r o v et h a tt h es e to fa n t i - b z - s h a r pe l e m e n t si ns - a n t i b z - e f f e c ta l g e b r a si sa n o r t h o m o d u l a rl a t t i c e i nc h a p t e r4 ，w ef i r s tg i v et h ed e f i n i t i o n so fg e n e r a l i z e di d e a l sa n dg e n e r a l i z e df i l t e r si no r t h o a l g e b r a s ，w h i c hr e f l e c tt h es t r u c t u r a ls y m m e t r yo ng e n e r a l i z e d i d e a l sa n dg e n e r a l i z e df i l t e r s s e c o n d l y , w ep r o v et h ee q u i v a l e n t r e l a t i o n s h i pb e t w e e ng e n e r a l i z e di d e a l sa n dl o c a li d e a l s ，a n do b t a i nac h a r a c t e r i s t i ct h e o r e mo n o r t h o m o d u l a r p o s e t sb yt h eg e n e r a l i z e di d e a l s ，t h a ti s ，ap o s e ti sa no r t h o m o d u l a r p o s e ri f fi t sp r i n c i p l ei d e a l sa r eg e n e r a l i z e di d e a l s f i n a l l zw ee s t a b l i s ht h ec o n n e c i v t i o n sb e t w e e ng e n e r a l i z e di d e a l sa n di t ss u p p o r t s ，n a m e l y , f o ra no r t h o a l g e b r a ，i t s g e n e r a l i z e di d e a l sa r ei s o m o r p h i ct oi t ss u p p o r t s t h et h i r dp a r ti n c l u d e sc h a p t e r s5 ，6a n d7 ，a n dm a i n l yi n t r o d u c e st h ew o r k s o nq u a n t u mp s e u d oe f f e c ts t r u c t u r e s i nc h a p t e r5 ，w ef i r s ti n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fp s e u d od i f i e r e n c ep o s e t s ， p s e u d ob o o l e a nd p o s e t sa n dd i d e a l s t h e nw ep r o v et h a tp s e u d od i f f e r e n c ep o s e t s a r ec a t e g o r i c a le q u i v a l e n tt op s e u d oe f f e c ta l g e b r a sw h i l ep s e u d ob o o l e a nd p o s e t s a r ea l g e b r a i c a le q u i v a l e n tt op s e u d om v - a l g e b r a s a tl a s t ，w eg i v et h ec o n c e p to f d i d e a l sf o rt h ep s e u d od i f f e r e n c el a t t i c e s ，a n dp r o v et h a tad i d e a li s e q u a lt oa r i e s zi d e a la n di si n v a r i a n tu n d e rg e n e r a l i z e ds a s a k ip r o j e c t i o n i nc h a p t e r6 ，w ef i r s tg i v et h ed e f i n i t i o n so f g e n e r a l i z e di d e a l sa n dg e n e r a l i z e d f i l t e r si np s e u d oe f f e c ta l g e b r a s t h e n ，w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pa m o n g g e n e r a l i z e d i d e a l s ，i d e a l s ，a n dl o c a li d e a l s ，a n de s t a b l i s ht h ec o n n e c t i o n sb e t w e e ng e n e r a l i z e d i d e a l sa n ds u p p o r t s i nt h ee n d w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so fd c o n g r u e n c e sa n d r i e s zc o n g r u e n c e sa n d g e ts o m eg o o dp r o p e r t i e s i nc h a p t e r7 ，w ef i r s td i s c u s st h ed i r e c tl i m i to fp s e u d oe f f e c t a l g e b r a s i ti s p r o v e dt h a t ( i ) f o rt h ec a t e g o r ye i t sd i r e c tl i m i te x i s t sw h e ni t so b j e c t sa r ep s e u d o e f f e c ta l g e b r a sa n di t sm o r p h i s m sa r ep s e u d oe f f e c t m o r p h i s m s ；a n d ( i i ) i t sd i r e c t l i m i te x i s t sw h e ni t so b j e c t sa r ep s e u d oe f f e c ta l g e b r a sa n di t sm o r p h i s m sa r ep s e u d o e f f e c tm o n o m o r p h i s m s t h e n ，w h e no b j e c t sa x el a t t i c eo r d e r e dp s e u d oe f f e c t a l g e b r a s ，w eg e ts o m es i m i l a rp r o p e r t i e st oo r t h o m o d u l a rl a t t i c e sb ys e l e c t i n gs u i t a b l e m o r p h i s m s a tl a s t ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to ft h ei n v e r s el i m i tf o re f f e c ta l g e b r a s ， a n dp r o v et h a ti ti st h ei n v e r s el i m i tf o rt h e c a t e g o r yo fe f f e c ta l g e b r a s k e y w o r d s ：e f f e c ta l g e b r a s ；p s e u d o e f f e c ta l g e b r a s ；p s e u d od p o s e t s ；g e n e r - a l i z e di d e a l s ；l i m i t s v 学位论文独创性声明 y7 2 8 3 5 g 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知。除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：出当日期：呈! 生! 至箩， 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资科室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：，当当日期：至q 盛孟兹 前言 自从m p l a n c k 于1 9 0 0 年首先提出量子概念以来，经过众多物理学家的不断 创新努力，到2 0 世纪2 0 年代就已经建成了一套完整的量子力学理论量子力学 一出现就成为科学不可缺少的一部分，并已有无数成功的例子，包括原子结构、 恒星核聚变、自然界基本粒子等的几乎所有方面f i - 5 什么是量子力学? 量子力学是一个敦学框架或一套构造物理学理论的规则 6 】由于量子力学系统中的随机事件不能用经典k o l m o g o r o v i a n 概率论中随机事 件的结梅来描述，因此对量子力学系统中随机事件的数学描述就成了量子理论 研究的重要问题之一值得注意的是类似的现象在其它领域也出现过，例如心理 学、计算机设计、神经网络以及人脑生理学等【7 】 基于上述原因，众多学者提出了不同的数学模型来反映量子力学的各个方 面最早的方法是j y o n n e u m a n n 在1 9 2 7 年提出来的他认为t 量子力学是建 立在复的、可分的希尔伯特空闯土的物理系统，而且该系统包含两个基本量s t a t e 和o b s e r v a b l e s t a t e 是物理系统的态。可以描述整个物理系统，对应希尔伯特空 间的单位向量；o b s e r v a b l e 是物理系统中的可观测量催l 当于经典概率中的随机 事件) ，对应希尔伯特空间中的自伴算子如果把测量的值看作自伴算子的谱，则 p ( 日) ( 日中投射算予的全体，) 对应系统的二值命题集，因此，p ( 日) 可以看作量 子力学系统的逻辑由于这些公理过于人为化，很难用实验加以检验，于是这些 公理很快受到了批判和质疑 有趣的是，进行修正的角色仍然是由j y o n n e u m a n n 来扮演的1 9 3 6 年， 他和g b i r k h o f f 联合发表了t h el o g i co fq u a n t u mm e c h a n i c s 一书，正式提 出了量子力学的量子逻辑问题他们认为t 量子逻辑考虑的是物理系统的事件结 构对应的命题演算，而与希尔伯特空间上的量子系统相联系的命题演算应与它的 闭子空间之间的演算是一致的它应该是一个正交补的模格厶即 如果z ，b l ，o b ，习b 么( n v o ) ab = ( a a6 ) v 茹， 其中l 中的元素对应所考虑系统中的命题，与形式逻辑不同的是。这里的物理系 统可用实验来检验这显然与经典物理系统对应的b o o l e a n 代数结构不同，因此 量子逻辑是非经典的令人遗憾的是，由于希尔伯特空间日的投射格( 即日的 闭子空间集) 是模格当且仅当该空间是有限维的【9 】 因此模格这种模型具有很大 的局限性在1 9 3 7 年，k h u s i m i 发现：任意的希尔伯特空间日的投射算子集 v ( h ) 满足一个比模律弱的规律，即所谓的正交模律，也就是 如果a ，b p ( 日) ，a b ，那么b = av ( a 1 a 6 ) 后来，i k a p l a n s k y 正式将其命名为o r t h o m o d u l a r ( 正交模) 如果一个正交补的 格满足正交模律，则称为正交模格至此，正交模格( 正交模偏序集) 或口一正交模 格( 仃，正交模偏序集) 就成了标准量子逻辑的代名词它显然是经典b o o l e a n 代数 的非分配性的推广在1 9 6 3 年，g m a c k e y 出版了m a t h e m a t i c a l f o u n d a t i o n s o fq u a n t u mm e c h a n i c s 一书，从量子实验的角度直接验证了量子理论的事件结 构集是一个正交模格这进一步奠定了正交模格是量子逻辑研究中主要模型的地 位【2 , 4 ，1 2 r 1 3 藿子逻辑从产生起就引起了物理学家、数学家、逻辑学家、哲学家的注意经 过半个多世纪的发展，在量子逻辑方面巴经产生了丰硕的成果这不仅有助予对 量子力学中基本问题的认知。也促进了某些纯粹数学学科的出现。如正交模格、 偏序b o o l e a n 代数最近，量子计算、量子信息、量子密码、量子概率等新兴理 论的出现又为量子逻辑提供了广泛的应用领域【6 ，1 4 2 1 而对量子逻辑本身的研 究大致有两种途径；一种是从态出发，研究态的凸结构，其中著名的g l e a s o n 定 理就是这方面的重大成果 9 ，1 4 ，2 2 - 2 3 1 ；另外一种是从可观测量出发，即研究所有 可观测量集的代数结构【2 4 2 7 ，5 1 】 随着量子逻辑研究的发展，从代数的角度，一些新的量子结构被提出来作为 量子逻辑的模型在1 9 9 2 年，f k 6 p k a 在f u z z y 集上引进了一种新的代数结构 一f u z z y 集上的差分偏序集，其中可以比较的f u z z y 集的差分是主要的运算【2 4 】 在1 9 9 4 年，f k 6 p k a 和f c h o v a n e c 把这种差分运算推广到任意的偏序集上 这导致了差分偏序集这种量子结构的出现，两差分偏序集对于解决非交换的测度 论问题与非交换概率问题，起了重要作用 2 5 1 在量子测量中，由于p ) 对应系统的二值命题，具有“y e s - n o ”特征， 称为“s h a r p 测量”而一般的自伴算子则不具有这个特征，称为“u n s h a r p 测 量”显然标准的量子逻辑事件不能描述。u n s h a r p 浏量”为了包含这种事件， d f o u l i s 等人在1 9 9 4 年给出了有效代数 2 6 1 有效代数是都分代数结构，从量子 系统方面，它是希尔伯特空间有效集( 日) ，即希尔伯特空间中界于0 ，i 之间的 自伴算子的推广由于投射算子集尹( 日) ( 日) ，p ( h ) 代表s h a r p 部分而e ( h ) 表示u n s h a r p 部分从量子力学的角度，这也可以肴作是从p v ( 投射算子) 测量 过渡到p o v ( 正算子) 测量1 6 】 另外，在1 9 8 9 年，r g i u n t i o n 和h g r e u l i n g 讨论了弱正交代数 2 7 】事实 上，有效代数、差分偏序集与弱正交代数之间是代数等价的这些结构都可以看 作量子逻辑，即正交模格或正交模偏序集的推广 2 6 ，2 8 】 2 值得注意的是，在量子逻辑的研究中，m v 一代数扮演着与经典逻辑中b o o l e a n 代数相类似的角色一它们描述了两两相容元构成的极大集 2 9 j 在m v 一代数中， 其主要运算是“全部和”运算借助于有效代数的“部分和”运算，我们可以看 到有效代数与m v - 代数有着密切的关系，而这些量子结构都与偏序群有着紧密 的联系【3 0 一3 3 】 为了解决量子力学中的一些新的问题，最近又出现了许多新的量子结构模 型在这些模型中，通过去掉m v a l g e b r a s 中“全部和”运算的交换性，g g e o r g e s c u 和a i o r g u l e s c u 提出了p s e u d o - m v - a l g e b r a s 3 4 类似地，通过去掉“部分和”运 算的交换性，a d v u r e e e n s k i j 和t v e t t e r l e i n 给出了伪有效代数的概念【3 5 3 6 】 这两种模型的关系类似于m v 代数和有效代数之间的关系 本文主要是从代数的角度去研究量子逻辑，主要考虑两种量子结构，即有效 代数( 第二、三、四章) 与伪有效代数( 第五、六、七章) 在有效代数结构方面，第二章从偏序集上的模糊子集出发，得到了某些量子 结构如有效代数、盯一有效代数、正交代数、正交模偏序集、盯一正交模偏序集 的构造，而且通过引入f u z z y 有效空间的概念，得到了带有强序态系统的格序有 效代数的一个表现定理第三章给出了s h a r p l y 逼近有效代数、a n t i - b z 一有效代 数、中心逼近有效代数和s - a n t i - b z - 有效代数概念，确立了s h a r p l y 逼近有效代 数与a n t i b z - 有效代数、中心逼近有效代数与a 肚t i - b z - 有效代数之间的关系， 而且得到“在s - a n t i - b z - 有效代数中，a n t i - b z - s h a r p 元的全体构成一个正交模 格”这一结论第四章给出了o r t h o a l g e b r a s 的广义理想和广义滤子的定义，证明 了广义理想和局部理想之间的等价性，得到了关于o r t h o m o d u l a rp o s e r s 的一个 刻画定理，最后确立了o r t h o a l g e b r a s 的广义理想和它的支撑之间的关系 在伪有效代数方面，第五章引入了伪差分偏序集以及伪布尔差分偏序集的概 念，证明了“伪差分偏序集范畴等价于伪有效代数范畴”以及“一个伪布尔差分偏 序集代数等价于一个伪m v - 代数”这两个结论，最后给出了伪差分格的d 理想 的概念，并证明它等价于伪格序有效代数的r i e s z 理想第六章引入了广义右三 角和广义左三角的定义，给出了伪有效代数中广义理想和广义滤子的定义，证明 了广义理想和理想、广义滤子和滤予的等价性。建立了伪有效代数中广义理想集 与支撑集之间的同构，最后讨论了伪有效代数的各种同余，得到许多好的性质 第七章首先引入了“伪有效代数的定向极限”的概念，证明了“对象为伪有效代 数、态射为伪有效态射的范畴，其定向极限存在”以及4 对象为伪有效代数、态 射为伪有效单态射的范畴，其定向极限存在”这两个结论，其次介绍了有效代数 的逆极限的定义，证明了这样定义的逆极限是范畴意义下的逆极限 3 第一部分绪论 第一章预备知识 本章主要介绍阅读本文时所必需的有关知识，包括偏序集、嚣子逻辑和范畴 论等方面的一些基本概念与结论第一节主要介绍偏序集的一些基本性质；第二 节主要介绍目前关于量子逻辑的有效代数结构；第三节主要介绍目前关于量子逻 辑的伪有效代数结构；第四节主要介绍本文所需的范畴论知识 1 1 偏序集及基本性质 本节除了介绍偏序集与格的基本概念，着重讨论与本文密切相关的正交模格 与正交模偏序集本节主要参考以下文献【3 t - 4 6 定义1 1 1 设尸是一个集合，是p 上的二元关系若满足如下性质； ( i ) v a p a o ；( 自反性) ( i i ) v a ，b p ，a b ，b a 兮口= 6 ；( 反对称性) ( i i i ) v a ，b ，c p i a b ，b c 号a c