（基础数学专业论文）drinfeld量子偶和弱t余代数上的cmz定理.pdf

摘要 设7 r 表示一个群。在本文中，我们引进了弱d o i - h o p f ”一模和弱”一扭曲s m a s h 积的概 念，得出了弱y e t t e r d r i n f e l d ”一模是弱d o i h o p f7 r 一模的特例，这是c a e n e p e e l 等人( 见文献 的主要结果的推广。其次还得出了弱t _ 余代数上的d r i n f e l d 量子偶是弱7 r 一扭曲s m a s h 积的一类。最后，从一个带有弱h o p f 代数同构的群作用的弱h o p f 代数着手，通过扭曲对偶 的方法，我们建立了一个拟三角弱h o p f 丌_ 余代数，这是v i r e l i z i e r ( 贝文献【1 9 ) 主要结果的 推广。利用这个方法获得了非平凡的拟三角弱h o p f7 r 一余代数的例子。 关键词：弱h o p f7 r - 余代数；弱d o i - h o p f 一模；弱7 r 一扭曲s m a s h 积；d r i n f e l d 量子偶； 分次量子群胚。 a b s t r a c t l e t7 rb eag r o u p i nt h i sp a p e r w ei n t r o d u c et h en o t i o n so faw e a kd o i h o p f7 m o d u l e a n daw e a k7 r - t w i s t e ds m a s hp r o d u c t w es h o wt h a tt h ey e t t e r - d r i n f e l d7 r - m o d u l e so v e ra w e a k c r o s s e d h o p f7 r c o a l g e b r a ( w t c o a l g e b r a ) a r es p e c i a lc a s e s a s t h e s e n c w w e a k d o i - h o p f r m o d u l e s ，g e n e r a l i z i n gt h em a i nr e s u l tb yc a e n e p e e le ta 1 ( r e f e r e n c e 3 ) a n dt h a tt h ed r i n f e l d d o u b l ef o rw t - c o a l g e b r a s ( r e f e r e n c e 1 7 1 ) a p p e a r sa sat y p eo fs u c haw c a k7 r - t w i s t e d8 n l & s h p r o d u c t ，r e s p e c t i v e l y , f i n a l l y , s t a r t i n gf r o maw e a kh o p fa l g e b r ae n d o w e dw i t ha na c t i o no fa g r o u p 7 rb yw e a kh o p fa u t o m o r p h i s m s ，w ec o n s t r u c taq u a s i t r i a a l g u l a rw e a kh o p f ”一e o a l g e b r a b yat w i s t e dd o u b l em e t h o d ，g e n e r a l i z i n gt h em a i nr e s u l ti nv i r e l i z i e rr r e f e r e n c e 1 9 ) t h i s m e t h o da l l o w su st oo b t a i nn o n - t r i v i a le x a m p l e so fq u a a i t r i a n g u l a rw e a kh o p f 7 r c o a l g e b r a s k e yw o r d s ：w e a kh o p f ”- c o a l g e h r a ；w e a kd o i h o p f ”一m o d u l e ；w e a k7 r - t w i s t e ds m a s hp r o d - u c t ；d r i n f c l dd o u b l e ；g f a d e dq u a n t u mg r o u p o i d s 1 1 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：刘煎日期：尘q & 玉i q 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 签名：壹殓导师签名：地日期；地1 3 ：f ! 第一章引言及基本结果 上世纪4 0 年代初，h h o p f 在研究拓扑群的上链时构造出了一类既有代数结构又有余 代数结构的代数系，到了1 9 6 5 年，m i l n o r 与m o o r e 合作在a n n o fm a t h 上发表了题为 。o nt h es t r u c t u r eo fh o p fa l g e b r a s 。的文章后( 见文献【1 1 】) ，这个代数系才被正式称 为h o p f 代数m i l n o r 与m o o r e 的这篇文章是开拓性的，给h o p f 代数的结构研究奠定了 基础，此后，h o p f 代数引起了数学家的广泛重视尤其在1 9 8 6 年，前苏联数学物理学家 v g d r i n f e l d 在b e r k e l e y 国际数学家大会上报告的。量子群。一文( 见文献【6 】) ，引起了数 学与物理学家的广泛关注其主要结果是用量子群( 即一类非交换非余交换的h o p f 代t t ) 的 代数结构提供了物理场上杨一b a x t e r 方程的解d r i n f e l d 因此于9 0 年获得了f i e l d s 奖， 从而掀起了h o p f 代数研究的新高潮可以说量子群理论( 见文献 9 】 1 0 ) 是李群、李代数 代数群( 或群环) 发展到一定阶段的产物，综合了物理学与数学的许多分支的思想与内容，具 有十分丰富的理论内涵与应用范围( 例如，在低维拓扑，组合数学图论，算子代数，辫子群 及非交换几何中已得到成功应用) ，也有其深刻的物理背景量子群理论创立以来日益成为 当今国际数学与理论物理研究的热点之一在h o p f 代数理论中，y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴的 研究与杨一b a x t e r 方程密切相关，是d r i n f e l d 量子偶结构的表示理论，而d o i h o p f 模概括 了至今为止的所有作用，如。h o p f 模，相关h o p f 模l o n g 模及分次模等尤其是1 9 9 7 年，c a e n e p e e l 等人( 见文献 3 】) 证明了y e t t e r - d r i n f e l d 模是d o i - h o p f 模的特例( 这里我们 称这个结果为c a e n e p e e l - m i l i t a r u - z h u 定理，简单起见，称为c m z 定理) 1 9 9 8 年，我 的导师王栓宏和李金其证明了d r i n f e l d 量子偶是一类扭曲s m a s h 积( 见文献【2 0 ) 最近，为了推广r e s h e t i k h i n - t u r a e v 不变量到3 - 维流形，这个流形带有( 7 r ，1 ) 上的 同伦类映射，其中，r 是个群，2 0 0 0 年t t l r a e v 给出了交叉丌_ 范畴的概念这类丌范畴的 例子可以从一类所谓的交叉l i o p f 丌- 余代数( 简称为。t - 余代数) 的概念中建立值得注意 的是，为了构建一类新的辫子交叉范畴，这个概念最近被推广为弱交叉h o p f 丌- 余代数( 简称 为，w t - 余代数) ( 见文献【1 7 】) 作为h o p f ”余代数纯理论的研究开始，2 0 0 4 年z u n i n o ( 见文献 2 2 2 3 1 ) 提出了一类 般的d r i n f e l d 量子偶的构建，引进了有限型t - 余代数上的y e t t e r - d r i n f e l d 模的概念，这 个概念最近被推广到弱t _ 余代数特别地，2 0 0 4 年王栓宏证明了在t - 余代数上c m z 一 定理成立，还证明了t - 余代数上的d r i n f e l d 量子偶结构是铲扭曲s m a s h 积的一种类型( 见 文献【l7 】) 同时，v i r e l i z i e r 利用代数的扭曲方法建立了分次量子群( 见文献【2 1 】) ，从而提 供了拟三角h o p f 丌- 余代数的方法 在本文中，我们将考虑这些问题到弱h o p f 丌- 余代数的情况 我们的主要结果如下： 壅童查堂堑圭兰堡丝塞 苎三塞! ! 童垦董奎竺墨 2 主要结果1 一( 见定理3 7 ) 设h = ( 占，a ，s ) 是个w b 余代数，固定n 7 r ， 那么 ( 1 ) 1 4 可以形成右弱丌- 日”o1 4 - 余模代数，余模似的结构p 如= 磅4 ：上- - - - - 4 王ko ( 日”o 日) a 由下列公式给出， 赤( = ( 2 ，“) ( 1 ，。) o 踮丸一- ( “( 1 , a x - l a - 1 ) ) oh ( 2 ，d ) ( 2 ， ) ( 1 1 ) vh 风 ( 2 ) 日是左弱，r h a p o h - 模余代数，日9 0 h 在日上的作用如下。 ( h o j ) g = i g h ， vg 丑0 ，h 丑? ，f 月0 ( 3 ) 由左右弱a - y e t t e r - d r i n f e l d 模构成的范畴w ) 协。( 日) 和由左右弱 r - d o i - h o p f 模构 成的范畴如w m ”8 ( 日”固h ) 同构 主要结果2 ：( 见定理4 1 1 ) 设日是个w t _ 余代数，有双射反对极s ，b 是w t 代数，双射反对极记为4 如果( b ，日，盯) 是弱”斜配对，那么d ( h ，b ) 是w t - 余代数且 带有如下结构； v 口7 r ，第o 个分量d 。( 日，b ) 是个结合代数，乘法由等式( 4 1 6 ) 给出，单位元 为【1 。一l 园1 】 余乘由下式给出， a 。( 限因，用) = 【即( ( 1 一- 。一t 卢) ) 因，日】o ( 2 ，卢一- ) 园，f 2 】 vq ，卢7 r ，h _ o 口，f b ，这里我们记口( f ) = 日o f 2 余单位是这样获得： ( 陋园b ，】) = o j ，1 ( ，s 1 5 ；一- ( ) ) = 仉们( ， 1 ( 1 ，7 ) 弦( 1 ( 2 ，1 ) ) vh h 1 。，b i ，y 7 r va ，d ( h ，b ) 的反对极的第a 个分量定义如下： 瓯( 陋明) = 【瓦( ) 瓯1 】【1 。吼a 。( f ) 】- 陋。一t ( ) 吼1 1 。阱a ( f ) 】 vh 瓦，f b ，这里a 是日的反对极，而瓦= 妒。o & 一t 则是霄的反对极 vn 7 r ，共轭同构映射为； 即( 陋吼，】) = 【y a h ) 瓯即( 州 vh h 口，b 0 ，y r 壅查查耋堡圭兰堡篁塞 苎三塞! ! 童垦至奎竺墨 3 主要结果3t ( 见命题4 1 2 ) 设日是有限型的w t - 余代数，而b 是有限型的w t 代 数如果( b ，e 口) 是弱n 斜配对而且是非退化的，那么量子偶d ( h ，b ) = d a ( 日，b ) ) 。臼 有个弱拟三角结构，由下给出。 吼，口= 【e 。一，园，1 】o 【1 p 一- 囟，f 4 1 。l d 口( 日，b ) pd a ( h ，b ) 瓦，p = ( ，) 1 】。【1 p 一- 瓯p 。l d 。( 日，b ) 。巩( 日，b ) 主要结果4t ( 见定理5 5 ) 设盯：b0 h k 是弱h o p f 斜配对，：丌一 a u 融日町( b ) 是群同态( 也就是，从丌到b 上的弱h o p f 代数同构组成的集合之间的作用) 且百是b 的镜面那么一簇代数d ( b ，h ) = d ，日k = d ( - b ，h ，札) k e r t ，) 。霄是弱 h o p f 丌余代数，其结构如下给出t 如口( 【0 0 h i ) = ( a 1 ) 固h i o k 固h 2 】， ( 陋。卅) = 盯( 1 6 2 ，h ) s b ( a l m ) ， s ：( 陋oh i ) = p ( o l ，h d s ( 口2 ) 固s ( ) 盯( 丸( 幻) ，s ( b ) ) 】 v 口b ，h h ，q ，卢丌 第二章基本定义 在这一章里，我们回顾了关于弱h o p f 群余代数的一些基本定义和结果( 见文献【1 5 】 【1 7 】，【1 8 】【2 2 】【2 3 】) 在整篇文章中，k 表示个固定的域，我们所有的问题都是在 上讨论我们总是假定霄是一个有单位元1 的抽象群，o 表示瓯如果u 和y 是两个舡 向量空间，那么昆y ：u o v v ou 就表示个扭曲映射，定义为死y 0 口) = 口o t ，vt 正【，可v 2 1 i f - 余代数 回顾文献 1 0 1 1 1 3 1 4 ，我们知道一个7 1 - 余代数( 群余代垄妁是一簇肛向量空间 c = c ：) 。自，同时带有一簇肛线性映射= 口：c 钿c 台o c 0 ) 。，p 霄和舡线性映 射- c ：a k 使得在下列意义下是余结合的t ( q p o d 0 ，) 叩 = a d o p ，) 。，所，对于任意a ，尾7 7 r o d c 4 0 ) “1 = i d = g o 铽以) 1 对于任意q 7 r ( 2 1 ) ( 2 2 ) 我们使用s w e e d l e r 对余乘的记法( 见文献【1 8 i ) ，即za 。，口( c ) = c ( z ， c ( 2 ，口) v 口，p r 和c 2 2 i f - 余模 给定一个群余代数c 一个右丌- d 余模是一簇缸线性空间m = 如 。自，并带有 一簇舡线性映射p m = p 如：朋妇 厶圆c _ ) 郇霄( 称为余模结构映射，或者余作用) ， 使得vn ，卢，y 丌， ( 尚 i d c , ) m 叩一= ( i d m o 卢，) 昭m ，所， ( 2 3 ) 且vo l 丌。有 ( i d a oe ) 毖= i d m 我们使用s w e e d l e r 对于余作用的记号，可得vo t ，卢7 1 ，f i t , 收口，有 p 易( m ) = m ( o ，。) o m ( z ，所 厶p o ( 2 4 ) 用类似的方法。我们也可以定义左”d 余模和”( gc ) 一双余模 右丌- d 余模范畴记为朋一一，它的态射是7 f - 余模映射同样地，我们可以引入左丌- d 余模范畴- 句m 和丌- d 双余模范畴。一c 朋”对于m 。一c m ，我们使用s w e e d l e r 的 4 东南大学硕士学位论文第二章基本定义5 记号得， m p h ，卢( m ) = m ( 一1 ，耐0 m ( o ，卢) c 乞o vo t ，p 7 r ，m 磊啦 2 3 什c - 余模似的对象 设c = q ，。日是个群余代数，y 是个缸向量空间右丌- d 余模似的对象是二 元组v = ( k = p r h 。) 这里，va 丌，以：y 一v o a 是一个k - 线性映射， 此映射被称为是个余模似的结构，记为西( 口) = v ( o ，o ) o ”( 1 ，”并满足下面的条件。 v 在下面的意义下是余结合的，即va l ，b ， ( p 誓p i d c b ) 。戎= ( i d v o ，沁) 。p x 耙， v 在下面的意义下是余单位的，满足 ( i d v o ) o 彳= i d v ， ( 2 5 ) ( 2 6 ) 类似地，我们可以定义个左丌一d 余模似的对象，在这种情况下，对于个左开d 余模似 的对象y ，我们记阢扣) = ”( 一1 ，a ) 固v ( o ，o ) ，vo t 7 r 和口v 2 4 对偶 c = ( c r n ，a ，) ) 是一个群余代数，a 是一个带有乘法和单位元l 的代数v ， h o m k ( c 0 ，a ) ，g 胃d m ( c 每a ) ，c a 叩，我们定义卷积乘法； ( ，g ) ( c ) = m ( f 圆g ) n ，口( c ) = y ( c o ，口) ) g ( 。( 2 一) ) h o m k ( c 印，a ) 等式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 说明 c o n y ( c , a ) = oh o m k ( c 。，a ) d * 在被赋予卷积+ 和单位元1 a e 后是个群分次代数，也被称为卷积代数 特别地，对于a = ，群分次代数c o n y ( c , k ) = o 。霄c ：叫做c 的对偶，记为驴 2 5 弱h o p f ”余代数 见文献【1 7 】，一个弱半单h o p f 弘余代数( 弱半单群余代妫h = f k ，m 。，1 。，a ，s 。霄 是一簇代数 凰：，竹k ，l a n n ，同时又是一个群余代数 日：，a = 。口 ，) 即自，使得t 东南大学硕士学位论文第二章基本定义 ( i ) 余乘。毋：c 钿q 固c _ 是一个代数同态( 不必保持单位元) ，且有t 6 ( a a oi d u , ) a a 卢，1 ( 1 卿) = ( a 。，卢( 1 卵) o1 7 ) ( 1 。 a s ，1 ( 1 所) ) ， ( a ，口oi d 日 ) 卵7 ( 1 础1 ) = ( 1 。固口，( 1 所) ) ( 。( 1 印) o1 7 ) ， vn ，卢，一y 7 r ( i i ) 余单位e ：1 k 是一个缸线性映射，满足等式。 e ( g x h ) = ( g 茹( 2 ，1 ) ) s ( z ( 1 ，1 ) h ) = ( g z ( 1 ，1 ) ) ( 。( 2 ，1 ) ) ， ( 2 7 ) vg ，h ，z 月1 个弱h o p f7 r - 余代数( 群余代数) 是个弱半单h o p f ”余代数h = 日。，m a ，l a , ，) 。 并带有簇拓线性映射s = & ：k z 一，) 。丌( 叫做反对极) ，使得下面的等式成立一 m a ( & 一，oi d l t ) a 一，。( ) = 1 ( 1 4 e ( h l ( 2 ，1 ) ) m a ( i d s os a t ) o t ，a - - - ( h ) = ( 1 ( 1 ，1 ) h ) 1 ( 2 ，。) & ( g o ，0 ) ) 卯矿t ) 咒( 鲰3 ，。) ) = s 0 ( 9 ) ， vh h t ，g 日0 。o 7 r 注意；( 1 ) ( 1 - 1 1 ，m 1 ，1 1 ，1 。1 ，g ，韪) 是个弱h o p f 代数 ( 2 ) 上述定义中的一套原理并不是对偶的 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 3 ) 一个弱h o p f 7 r - 余代数日被称为是有限型的，如果vn 丌，上k 作为肛向量空间都 是有限维的这并不意味着o 。日月j 是有限维的( 除非日。= 0 只对于有限个o t ”不满 足) ( 4 ) 弱h o p f 群余代数日的反对极s = & ) 。丌被称为是双射的，如果每个& 都是双射 2 6 w 1 余代数 个弱的h o p f 群余代数h = t 玩， k ，1 。，) 。日叫做个弱交叉h o p f 群余代数( 简 称为w t - 余代数) ，如果它带有一簇代数同构妒= ：日j 凰咖一， 郇h ( 交叉) 。使 得： ( i ) 每个都保持余乘和余单位，即va ，反，y 7 r ，有 ( o 妒。) 卢疗= 嘶一1 ，针。一l ， e 妒。= ， ( i i ) 妒是乘法的， 妒叩= 妒舢 v 口，卢f i - ( 2 1 1 ) 东南大学硕士学位论文 第二章基本定义 设胃是一个w t - 余代数，那么我们有tl p lj g = i d x ，1 = 妒r - ，va r 。 并且妒保持反对极。即t 妒。& = 昂叩一- 即va ，卢7 r 2 7 镜象曰 设日是个w t _ 余代数，那么满足下面的条件的w t 余代数称为日的镜象豆。 va 丌，令詹0 = 日0 一- vn ，p 7 r ，群余代数结构如下定义。 7 厶a ，口( ) = ( ( 即oi d h b 一。) oa e - l a - i 只口一- ) ( ) = 妒口( ( 1 ，e - l a - l ，) ) 固h ( 2 ，口一- ) 吼圆h e ，( 2 1 2 ) vh 凰口= 日j 一- 。一- 曰的余单位是研= 研 va 7 r 。厅的反对极雪的第a 个元素如下给出， 鼠= o & 一l vn 7 r ，曰的交叉映射9 的第口个元素如下给出。 2 8 拟三角弱h o p f 群余代数 = 妒口 见文献 17 】，个拟三角弱h o p f 群余代数是个二元组( e r ) ，这里h = 日。，g ，s 订 是一个w t - 余代数，并带有一簇映射r = 吼，口- - - 8 c o h ，。( 1 印) ( 三。kg e ) a 。，口( 1 叩) ( r - 矩阵) 满足下面的条件t 吼。p ( _ 1 1 ) = 群一，( ) 吼西( 2 1 3 ) vh 月o ，口，p 7 r ( i d h oo 邻 ) ( 吼，所) = ( 心 ) 1 阳( 黾p ) 讲，( 2 1 4 ) ( 瓦，口oi 4 巩) ( r e 一，一，) = ( r a - t , 7 ) l e - a 3 ( r e - - , 7 ) 一鹞，( 2 1 5 ) vn ，卢，7 7 r 同时还存在一簇映射再= 瓦，口即( 1 叩) ( z k 圆砟) 2 麓。一。( 1 印) ) 满 足： vn ，p 7 r ， 风，口瓦，口= - r - 口c o h ，( 1 卵) ，_ 口，口吼，口= a a ，p ( 1 卵) ，( 2 1 6 ) v 口，p ，1 r ， ( 即。即) ( 吼 ) = 8 融一肿一z ( 2 t t ) 注1 ) 对于弱h o p f 代数皿，r 1 1 是个b 矩阵 2 ) 元f hr 唯一决定t 如果面和霄是郇( 1 叩) ( 三k 圆k 三咯) 矾一，( 1 印) 的两个元素且 满足先前的等式，那么v 口，p 丌有 瓦= 口，p - - - c o 旷t ( 1 叩) = - n ，p 风，口瓦一= 郇( 1 筇) 瓦口= 砭，口 对偶地，个弱h o p f _ 7 r - 代数日是一簇缸余代数 ( k ，。，s 。) ) 。e 霄，这里三被称为 日的第a 个分量，带有如下结构t 簇融线性映射m = m 。，：王k o 王_ 王b 。，胚，被称为乘法而且是满足结合 律的，如果vo i ，p ，1 ”， m a x , , 7 ( m a ，口oi 由) = 竹k 所0 如om 触) ( 2 1 8 ) 假定h 三k ，9 占咯，其中口，p 丌，我们令h g = m a a h o g ) 在这种记号下，等 式( 2 1 7 ) 能简单地重写为( h g ) l = h ( 9 1 ) ，vh 三，g 王珀，f 巩和v 口，卢，y 映射，口：月；o 日口日妇是余代数映射( 不需要保持余单位) ，使得 8 卿( 幻z ) = 8 叩( 鲰1 ) ) 铀( 耿2 ) f ) = 锄( 幻( 2 ) ) ( 鲫f )( 2 1 9 ) 这里我们运用s w e e d l e r 记号t口0 ) = 鲰1 ) 固g ( 2 ) vh 日。，g 月j ，f 甄和q ，卢，y 霄 个代数态射叮：k + 研被称为单位，如果我们令1 = 叩( 1 k ) ，有如下等式成立t l h = h = h l ， vh 月0 q 7 r ， ( 1o d ) l ( 1 ) = 1 ( 1 ) ol 、t 。1 ) o1 2 ) = i o ) o1 1 ) 1 ( 2 ) o1 2 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 这里1 = 1 一簇舡线性映射s = ：风日：一- 。自被称为反对极，满足如下等式t 竹k ，口( o 弛。) 。( ) = 1 ( 1 ) ( 1 ( 2 ) ) ，( 2 2 2 ) m 口，, ( i d ao ) n ( 九) = ( 1 ( 1 ) h ) 1 ( 2 ) ，( 2 2 3 ) ( ( 1 ) ) h ( 2 ) & ( ( 3 ) ) = ( 危) ( 2 2 4 ) vh 月0 和vo 7 r 进步地，弱h o p b r - 代数日被称为交叉代数( 简称为w t - 代数) ，如果存在一簇余代 数同构妒= 如：月：昂叩一， ，称为共轭，满足t 东南大学硕士学位论文第二章基本定义 一妒是乘法，即v 口，所丌，有咖机= 掣协：点k + 皿舢缸剐一- 特别地， 讥i 巩= i d a 一妒与m 是相容的，即vp 7 r ，我们有咖( h g ) = 怕( ) 咖( g ) 一妒与1 是相容的，即v 口丌，我们得到咖( 1 ) = 1 和 9 m n 一，n ( 固碱) 。= 1 1 = m m 。一- ( t d 如 s n ) 。( 2 2 5 ) 个h o p f 丌- 代数日被称为有限型的，如果vn 7 r ，三k 作为舡空间是有限维的 第三章w n 余代数上的c m z - 定理 在本章中。通过研究w t 一余代数上的弱y e t t e r - d r i n f e l d 模和w t _ 余代数上的弱d o i - h o p f7 r 一模的概念，我们将给出在w t - 余代数上成立的c a e n e p e e l - m i l i t a r u - z h u s 定理( 简称 为，c m z 定理) ( 见文献 3 1 ) 定义3 1 令日是个w t - 余代数，我们固定q 丌个左右弱a - y e t t e r - d r i n f e l d 模y ( 简称为w y o 。- 模) 是肛线性空间，而且既是左五a - 模又是右丌_ 皿余模似的结构 v = p v = 以) 。) 并有如下条件成立。 硝( ) = v ( o ，o ) 圆v ( 1 ，柚v o t 风= i ( i ，。) v 0 1 ( 2 ， ) 风， h ( 1 ，。) ( o ，o ) oh ( 2 ， ) q 1 ， ) = ( h ( 2 ，。) 口) ( o ，o ) o ( h ( 2 ，口) ) ( 1 ，砷以一l ( h 1 ，a h 一1 ) ) va 丌，口v ，且h 曰0 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 给定两个w ) 谚。一模( k ) 和( 彬) ，定义一个w ：w p , , - 模同态，：( k ) 一 ( 彬p ) ，是一个三k - 线性映射使得t va ” 彬o ，= ( ，o i 电) o 以，( 3 3 ) 即是， ，( ) ( o ，o ) o ，( ) ( 1 ，砷= ，( ”( 0 0 ) ) ov ( 1 ， ) v 口v 于是我们可以构造范畴日w 弦2 ， 对象是w ：v d 。模，态射是w m 一模映射的合成，也就是标准的线性映射的合成 类似地。我们可以定义右左弱a y e t t e r - d r i n f e l d 模的概念并记右左w y 艺0 一模的范畴为 “w y l ) o h 特别地，日是个w t - 余代数，我们固定q 丌一个左左弱a - y e t t e r - d r i n f e l d 模 y 是肛线性空间，并带有左”口余模似的结构v = ( e p y = ( 西h 霄) 和左日。一模使得下 列条件成立。 以( u ) = 钌( 一1 ， ) o v ( o ，o ) 风o t v = 1 ( 1 ，柚风0 1 ( 2 ，田k h ( 1 ， ) ”( 一1 。 ) h ( 2 ，v ( o ，o ) = ( h ( 1 ，0 。口) ( 一1 ， ) 九( ( 2 ，。一1 地) ) o ( h ( i ，口) 口) ( o ，o ) va 7 r ，口v 和h 月l 。 现在，我们构建了范畴嚣w y 口。，对象是w y 口口- 模，态射是w y d 。- 模的合成，也就 是标准的线性映射合成 类似地，我们可以定义右右弱a - y e t t e r - d r i n f e l d 模。而且右右弱w y 巩一模形成范畴， 记为w 如勃 1 0 例3 2 设h = ( 玩) ，a ，s ，s ) 是一个w t - 余代数，固定n 丌那么月。是右 丌- 日”o 皿余模似的对象，带有如下的余模结构； p ( ) = ( 2 ，破) ( 1 ，。) oh ( 2 ，酿) ( 2 ， ) os 0 以一- ( ( 1 ，献一，r - ) )( 3 4 ) vh 丑a 推论3 3 假定日是一个w t - 余代数，固定口7 r y 带有左三f a 模作用和右丌皿 余模似的结构，那么v = ( v p v = p v e 。) 是个h w y 磋一模的充分必要条件是下式成 立t 反( 秽) = h ( 2 ，口砷( 1 ，曲口( o ，o ) oh ( 2 ，。 ) ( 2 ， ) 甜( 1 ， ) s a 如一- ( ( i ，n 一- 。一- ) )( 3 5 ) v 口k ，h 日： vo ，r ，设圩w y z ) 日是范畴日w y v 的不相交并，范畴日w j , z ) 日是带有辫子范畴 d 的结构类似地，我们可以定义范畴嚣w ) 渺，日w y d _ l j r 和w ) 侈嚣 最后，显然可见下面命题成立 命题3 4 设日是个w t - 余代数，我们可以得到， 日w y 矿掣日一w 弦肿叩；w y 碟型备嚣嚣啪 日w y d 芦垒j ! f f 泖x c a w ) 缈；w y r g 型日幻，w ) 缈日哪 令h = ( ( 日。，m 。，1 。，a ， ) 是一个弱h o p f 丌余代数，令a 是个代数右弱丌- 王卜余 模代数是一个”皿余模似的对象，= 力) e 。) 满足下列条件( 见文献【7 】) t 硭( 曲) = a ( o ，o ) o ，o ) o o ( 1 ，。) 6 ( 1 ，田 vo t 7 r 和v 玛b a ( 1 固e ；) z ( 1 ) = 1 ( o ，o ) 0 1 ( 1 栅 v 口，卢，r ( 3 6 ) ( 3 7 ) 注意若a 带有一个彳就是一般的右弱研一余模代数( 见文献【1 2 】) 类似地，我们可以定义左”日余模代数和丌- 三卜双余模代数的概念 令= ( t 三，t r t , 。，1 。，a ，e ) ) 是个弱h o p f i t - 余代数，令c = q ，a c ，e c 是个丌余 代数c 称为个左弱丌- 口- 模余代数，如果有一簇k - 线性映射俨= 锯：日。o c r 口c 0 口7 r ) 使得下列条件成立 ( c a ，谨) 是左凰模。 va 7 r ( 3 8 ) a 。c ，口( c ) = h o ，。) c ( 1 ，o h ( 2 ，卢) c ( 2 ，卢) ，v 口，7 r ，c l 二知，h 目妇( 3 9 ) x c ( h l c ) = e ( m ( 2 ，1 ) ) c ( t 0 1 ，1 ) c ) vc g ，h ，1 月i ( 3 1 0 ) 注意若a 带有妒p 就是一个普通的左弱h i 一模余代数 东南大堂硕士学位论文 第三章w t - 余代鼗上的c 1 v i z 定理 类似地，我们可以定义右弱丌三l 模余代数和弱卅日_ 双模余代数的概念 例3 5 令h = ( 三k ，m 。，1 。，) ，a ，g ，s ) 是一个弱h 0 p f 丌余代数，那么 ( 1 ) 日j 能够变成一个右”日”oh - 余模似的对象( 见文献1 2 ) 余模似的结构p 如= p ：日。日。o ( 日”o h h 由如下公式给出。 p ( ) = h ( 2 , c a ) ( 1 ，砷。蹄九一，( 峨1 ，幽一- 口一- ) ) ( 2 幽) c 2 ， ) vh 月a ( 2 ) ( h ，m ) 是一个右弱r - h 一模余代数，其中7 7 z = m 。： k o 日：王) 。霄 定义3 6 令日= ( 凰，m a ，1 。，) ，a ，s ) 是个弱h o p f 丌- 余代数，( a ，) 是个右 弱丌- 三卜余模代数， ( c ，妒g ) 是个左弱丌- 三卜模余代数左右弱d o i - h o p fl r - 模m 是一个 左a 模还是一个右丌- d 余模似的对象，且有余模似的结构p ：2 f ：m m o g 使得下面 相容性条件成立， 硭 m ) = a ( o ，o ) m ( o ，o ) o a 0 ，。) m ( 1 ，。) ， ( 3 1 1 ) vo ，卢丌，m m ，口a 左右弱d o i - h o p f7 f - 模带上小模映射和”余模映射构成的集合将形成左右弱 r - d o i - h o p f 模范畴，记成a w ) a ”c ( 日) ，称为左右弱d o i - h o p f ”模范畴 类似地，我们可以定义范畴r c w m ( h ) ，即由左左弱d o i - h o p f ”模构成的；范畴 w m r g ( 哪是由右右弱d o i - h o p fn 模形成的；而范畴。- v w 4 ( 哪则是由右左弱d o i - h o p f 卅模形成 现在，我们得到w t 余代数上的c m z 定理的类似形式 定理3 7 设日= ( 二口) ，a ，s ，s ) 是一个w t 一余代数，固定q 7 r 那么 ( 1 ) 日。可以形成右弱w - h o poh - 余模代数，余模似的结构p 如= 硝。：日： 王o ( 日”o 日h 由下列公式给出： p 争( 脚= 坛“j ( 1 ，。，固帑九一，( ( 1 ，。r l o - 1 ) ) o ( 2 ，。 ) ( 2 j ( 3 1 2 ) vh 风 ( 2 ) 口是左弱丌- 日9 0 h 一模余代数，日叩o h 在h 上的作用如下， ( h o f ) g = i g h ， vg 日二，h 月? ，1 以 ( 3 ) 由左右弱a - y e t t e r - d r i n f e l d 模构成的范畴w 明，口旧) 和由左右弱_ ，r - d o i - h o p f 模构 成的范畴如n ，m ”日( 日”0h ) 同构 证明t ( 1 ) 通过例子3 5 ( 1 ) ，我们得到王k 是一个右_ - h a poh - 余模似的对象等式 ( 3 6 ) 是满足的( 见文献2 1 ) ，现在我们只需要证等式( 3 7 ) 成立实际上对1 。其中o 丌， 东南大学硕士学位论文第三章v t - 象代数上的c s z 一定理 我们有下式成立 1 a ( o ，o ) os 二= r 印。鼠卢( 1 。( 1 ，1 ) ) = 1 ( 2 ，。) ( 1 ，a ) o 菇( s 一1 丸一l ( 1 ( 1 ，1 ) ) ) o ；( 1 ( 2 ，。) ( 2 ，1 ) ) = 1 ( 2 ，。) 1 1 ，曲es ( s - 1 丸一，( 1 ( 1 ，1 ) ) ) oe ；( 1 2 ，1 ) ) = 1 ( 2 ，。) l ；1 ，。) os - 1 九一- ( 1 ( 1 ，p 一，) ) o1 2 棚 = 1 ( 2 ，口) ( 1 ，a ) os - 1 九一- ( 1 ( 1 ，p 一1 ) ) o1 ( 2 ，a ) ( 2 ，所 = 硝。( 1 。) ( 2 ) 很容易验证日是一簇日。oh - 模，即等式( 3 8 ) 和等式( 3 9 ) 满足，为了验证等式 ( 3 1 0 ) 成立，我们计算如下； g ( ( m0z ) ( 女( 1 ，1 ) oh ( 1 ，1 ) ) ) e ( ( ( 2 1 ) 0h ( 2 ，1 ) ) c ) = e ( k ( 1 ，1 ) mpl h ( 1 ，1 ) ) ( ( 2 ，i ) c k ( 2 ，1 ) ) = ( 反1 ，x ) m ) e ( 1 h ( 1 1 ) ) ( 危( 2 ，1 ) 嘶2 ，1 ) ) = e ( 1 h c k m ) = e ( ( ( m o f ) o 砷) c ) 所以可得日是个右丌- 日”o 皿模余代数 ( 3 ) 令( k 以 一) 有如下结构， 以) e 。) 是个右开日一余模似的对象，( k ) 是左上k 一模那么v 凰w m ”h ( 曰- 0 日) 成立的充要条件是等式( 3 1 1 ) 成立，也就是要 有下式成立t p ：( 口) = h ( 2 ，。( 1 ，。) v ( o o ) o ( 0 1 丸一l ( ( 1 肆a - l a - 1 ) ) oh ( 2 ，a a ) ( 2 ， ) ) 。( 1 ， ) = h ( 2 ，。 ) ( 1 ，。) v ( o ，0 ) h ( 2 ，叫( 2 ， ) 饥1 ， ) s 品以一l ( ( 1 ，n 一l a - a ) ) vh 三，口v 这个结论连同推论3 3 可知v h a w j i r - h ( h o p 日) 的充要条件是 v w y o 。, ( h ) 这就说明w y d , ，( h ) 同构于风n 0 m ”一日( 日”oh ) 口 等式( 3 5 ) 给出了利用张量y 和上h 得到丌一余模似的对象和模结构的方法，其中a 7 r 引理3 8 令日是个w t _ 余代数，有一个双射反对极s 假定y 是个右”日- 余 模似的对象，那么若 j 眈( o 口) = ( ( 2 。a ) ( 1 ，a ) ov ( o ，o ) ) 固h ( 2 ，。a ) ( 2 ， ) 可( 1 ，砷s ! 晶i 虬一1 ( ( 1 ，a a - 1 口, - 1 ) ) vh 月r 口，口v ，其中口”则有月：o v a t t 一日 证明，直接验证 命题3 。9 令日是一个w b 余代数有双射反对极s ，w 日w y d $ 赫大学硕士学位论熏苎妻! ! ：象f 懒上的c 塑墨：曼墨 1 4 ( 1 ) 假定v 是一个右，r - h - 余模似的对象，那么王bov