（基础数学专业论文）rn中的laguerre超曲面.pdf

中文摘要 摘要 李球几何是研究d u p i n 超曲面或d u p i n 子流形的有利工具，也是一个热点问 题本文研究李球几何的一类子几何l a u g e r r e 几何，对贮中的l a g u e r r e 超曲面 进行探讨 第一部分简要介绍李球几何的基本知识 第二部分介绍时中的l a g u e r r e 几何的基本知识，定义了l a g u e r r e 不变度量 g ，l a g u e r r e 张量l ，l a g u e r r e 第二基本形式b ，l a g u e r r e 形式c 等l a g u e r r e 不 变量，及其相应的欧氏量表达式，并计算了l a g u e r r e 第二基本形式b 的l a p l a c i a n 算子，得到r n 中超曲面的l a g u e r r e 不变量满足的一组内蕴关系式 第三部分介绍r n 中l a g u e r r e 极小超曲面给出了上的不含脐点的曲面 是l a g u e r r e 极小的一个充要条件 关键词：l a g u e r r e 不变度量g ：l a g u e r r e 第二基本形式b ；l a g u e r r e 极小超曲面 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t l i es p h e r eg e o m e t r yi sag o o dt o o lt os t u d yd u p i nh y p e r s u r f a c eo rd u p i ns u b m a n - i f o l d s a n di ta l s oah o ti s s u ew h i c hh a db e e ns t u d i e de x t e n s i v e l yb ym a t h e m a t i c i a n sa t d o m e s t i ca n da b r o a d t h et h e s i si sm a i n l yt os t u d yl a g u e r r eh y p e r s u r f a c ei ni r i nt h ef i r s tp a r t ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a s i ck n o w l e d g eo fl i es p h e r eg e o m e t r y i nt h es e c o n dp a r t ，w eg i v et h es t r u c t u r ea b o u t l a g u e r r eg e o m e t r yi nr 几，a n dd e f i n e l a g u e r r em e t r i cg ，l a g u e r r es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mb ，l a g u e r r es y m m e t r i ct w o t e n s o rl ，l a g u e r r ef o r mc b yd i r e c tc a c u l a t i n ga b o u tl a g u e r r es e c o n df u n d a m e n t a l f o r mb ，w e g e tai n t e r n a l i t yt h e o r e ma b o u tl a g u e r r eh y p e r s u r f a c e a tl a s t ，w es t u d yl a g u e r r em i n i m a lh y p e r s u r f a c ei nr n at h e o r e mo n l a g u e r r e m i n i m a lh y p e r s u r f a c ei nr ni sg i v e n k e yw o r d s ：l a g u e r r em e t r i cg ；l a g u e r r es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mb ；l a g u e r r e m i n i m a ls u r f a c e 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：念弓阏 签名日期：护占年b 月10e l 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名：余；阕 矿 指导教师签名：专蟊鸭 日期：谚年多月de t 日期：年月日 1引言 本文主要研究李球几何中的曲面和l a g u e r r e 几何中子流形在l a g u e r r e 变换 群下的一些性质李球几何是同射影几何相平行的几何射影几何的变换群保持 贮中的线，而李球几何的变换群保持时中的球 1 1 背景及进展 李球几何起源于l i e1 8 7 2 年在m a t h a n n 5 上发表的论文l i e 证明了保定向球 的变换群是李群，我们称为李球变换群l i e 建立了中广义定向球( 包括定向超 球，定向超平面，正常点及无穷远点) 与q n + 1 中类光向量的一一对应其中q n + 1 为 射影空间p n + 2 中的一个二次超曲面，由下列方程决定 q n + 1 = z 】p 2i ( z ，z ) = 一z ；- i - z ；+ + z 三+ 2 一z 三+ 3 = o ) q n + l 中包含射影线，但不包含更高维数的射影子空间射影空间中的点对应 中抛物球串上的定向球l i e 发现有限维李球变换l t g ，它保持时上( n 一1 ) 维定向球，它与o ( n + 1 ，2 ) 士j ) 同胚 曲率球沿着自己的主方向是定球，那么d u p i n 条件在李球变换下是不变的 这样在李球几何下研究d u p i n 超曲面是一个比较好的框架在以后的李球几何 研究中，多数都是用李球几何研究d u p i n 超曲面或d u p i n 子流形如c e c e i l t e 在 d u p i n 超曲面与李球几何的研究中做了许多工作，他系统发展了p i n k a l l 的工作 李球几何包含两类重要的子几何，分别是m o e b i u s 几何和l a g u e r r e 几何 m o e b i u s 几何也称共形几何，是保正交性的几何王长平等人对于m o e b i u s 几何 做了大量的研究工作在职中建立了m o e b i u s 几何框架，得到许多有用的结果 李球几何的另外一类子几何就是本文将要详细研究的l a g u e r r e 几何l a - g u e r r e 几何是保两定向球公切线段长度不变的几何李同柱建立了l a g u e r r e 微 分几何框架，为r n 中构建l a g u e r r e 几何做出了奠基工作本文正是在以上的基础 上，继续深入研究l a g u e r r e 几何，得到了关于l a g u e r r e 几何的另一些重要定理 1 2 本文的研究内容和组织结构 本文内容主要分为三个部分第一部分系统给出李球几何基本知识介绍了 湖北大学硕士学位论文 n 维实向量空间上的双线性形式，以及n 维实射影空间的知识，最后介绍了中 定向球的李几何r n 中的广义定向球，包括定向超球，定向超平面，正常点及无穷 远点通过球极投影对r n 中的曲面做l e g e n d r e 提升，则中两个超曲面称l i e 等价当且仅当它们的l e g e n d r e 提升只相差一个李球变换如果r n 中的定向球集 合只包含定向球面( 不包含点球) 和定向超平面( 可以看成半径为0 ( 3 的定向球) ， 则保持此定向球集合不变的李球变换群称m o e b i u s 变换群m o e b i u s 变换群是保 正交性的变换群若r n 中的定向球集合只包含定向球和点球( 可以看成半径为零 的定向球) ，不包含超平面，则保持此定向球集合不变的李球变换群为l a g u e r r e 变 换群l a g u e r r e 变换群保持两个定向球的公切线段的长度不变m o e b i u s 几何和 l a g u e r r e 几何都是李球几何的子几何 第二部分介绍l a g u e r r e 几何的基本知识李同柱在文 5 】中建立了l a g u e r r e 微分几何的基本框架，得到了高维超曲面的l a g u e r r e 不变量设z ：m n _ 1 _ 是 一个没有脐点的定向超曲面，并且它的第二基本形式非退化，：m n 1 _ 对是它 的单位法向量场定义l a g u e r r e 位置向量y y ：m 竹一1 一r 墨+ 3y = p ( z ，一z ，1 ) 由此出发，找到 g = ( d y ，d y ) = p 2 ( d y ，d y ) = 9 2 i i i 是定义在全局上的l a g u e r r e 不变度量，计算了z ：m n 一1 _ 的结构方程，并进 一步得到下列l a g u e r r e 不变量 ( 1 ) l a g u e r r e 第二基本形式b = 衍b 巧咄。屿， ( 2 ) 对称l a g u e r r e 张量l = 衍己巧蚍p ， ( 3 ) l a g u e r r e 形式c = g 咄 对结构方程再次微分，得到z ：m n 一1 _ r n 的基本方程并可以计算出甜中 l a g u e r r e 不变量的欧氏量表达式及l a g u e r r e 第二基本形式b 的l a p l a c i a n 算子， 从而得到r n 中超曲面的l a g u e r r e 不变量满足的一组内蕴关系式即下列定理 定理a 设z ：m 俨1 _ r n 是的超曲面，则有下面公式成立 ( 扎一1 ) t r ( b 2 l ) + t r l 一( 佗一1 ) t r ( b v c ) + i v b l 2 = 0 ，( 1 2 1 ) 2 第三部分在以上准备知识的基础上，研究r n 中超曲面为l a g u e r r e 极小超曲 面的一个充要条件由此得到r 3 上不含脐点的曲面是l a g u e r r e 极小的一个充要条 件并给出了r 3 上l a g u e r r e 极小曲面但并非欧氏极小曲面的一个例子 定理b 设z o ：m n 一1 _ 时是的不含脐点的丰曲率非零的超曲面，z 是 l a g u e r r e 极小的当且仅当下列e u l e r - l a g u e r r e 方程成立 一m r + 而n - 3 ( r 一州l n 机+ 譬( r 一咄；( 1 n j d ) + 岛p r i ) e i ( 1 n p ) 一( 他一4 ) e i ( r ) e , ( 1 n p ) = 0 ， ( 1 2 2 ) 定理cz ：m 2 一r 3 是不含脐点且主曲率非零的超曲面，z 是l a g u e r r e 极小 的当且仅当叩= p 3 湖北大学硕士学位论文 2 1 双线性形式 2李球几何基本知识 首先介绍双线性形式 定理2 1 1 设( ，) 是礼维实向量空间上的双线性形式，则y 中存在的一组 基e l ，e 2 ，e n ，使 1 ( e ，勺) = 0 当i 歹时 2 ( 勖，e t ) = 1当1 i p 时 3 ( e j ，e j ) = - 1当p + 1 j r 时 4 e 七，e 七) = 0当r + 1 k 佗时 ( 2 1 1 ) r 和p 由双线性形式唯一决定r 称为秩r p 称负指标，r p ) 称为符号 差维数相同的两空间上的双线性形式如果有相同的符号差，则它们是同态的例 女h r n _ l 的标准内积z 就是一个秩等于空间维数的非退化的双线性形式其中 z ，y r 竹，z = ( x l ，z n ) ，y = ( y l ，蜘) z y = x l y l + x 2 y 2 + + z n y n ( 2 1 2 ) 上的标准内积的符号差为( n ，0 ) ，通常我们把符号差为( n k ，惫) 的内积空 间写作聪 令( z ，爹) 是洛伦兹空间r 7 + 1 上的标准内积形式，且 ( z ，y ) = - x l y l + x 2 y 2 + + z n + 1 + 1( 2 1 3 ) 其中z = 0 1 ，x n b 1 ) ，y = ( y 1 ，+ 1 ) 我们把这样的标准内积称为洛伦兹度 且 里 定义2 1 2 设z 是洛伦兹空间r r l 上的向量， 1 x 称为类空向量，当且仅当( z ，z ) 0 4 2 李球几何基本知识 2 x 称为类时向量， 3 x 称为类光向量， 当且仅当( z ，z ) 其中尸2 是醚+ 3 的射影化空间 令u 职是上的单位切丛， u 月，= ( z ，) i z r ? ，毒s n 一1 ) u 上以p 为中心，r 为半径的( n 一1 ) 维子流形，记为 s ( p ，7 ) = ( z ，) u r n i z p = r ) u r 上以为单位法向量的( 钆一1 ) 维平面，记为 尸( ，入) = ( z ，) u r x = 入) 则s ( p ，r ) 与m q 叶1 一一对应 7 = ( 去( 1 + i p2 _ r 2 ) ，三( 1 一i p l 2 + r 2 ) ，两r ) ( 3 1 2 ) 9 湖北大学硕士学位论文 p ( ，a ) 与m q n + 1 一一对应 7 = ( a ，a ，1 )( 3 1 3 ) 定义3 1 1 - i dp = ( 1 ，一1 ，畜) r 墨+ 3 是畸+ 3 中的无穷远向量，若l g ： 丁 o ( n + 1 ，2 ) i f p t = p ) 则t 诱导了q n + 1 上的变换 t ( m ) = p 卅 把上述的t l g 或t ：q 竹+ 1 一q ”+ 1 的变换称为l a g u e r r e 变换 定义3 i 1 表明，l a g u e r r e 变换是把无穷远映为无穷远的李球变换 设z ：m 俨1 _ r n 是中主曲率非零的超曲面是z 的单位法向量做z 的 提升 m ：m 竹_ 1 _ q 1 y = ( x ，- - x ，1 ) 引理3 1 2 设z ，z ：m n 一1 _ 对是中主曲率非零的两个定向超曲面。 z 与碇l a g u e r r e 等价当且仅当存在丁l g ，使 胡= y t 又( d y ，d y ) = 世= 推论3 1 3 超曲面z ：m n 一1 _ 时的共形第三基本形式是l a g u e r r e 不变 量 令_ 1 ，一1 ) 是t m 在d x d x 下的标准正交基，则z 的结构方程 勺( ( z ) ) = r 易e 七( z ) + 觑如 岛( ) = 一邑( z )1 i ，歹，k 死一1 0 ，令n = 爵1r = r i + 云+ 广r n - 1 记q n + l 中的向量叩和无穷远向量p 为 叩= ( 互1 ( 1 + iz 1 2 ) ，三( 1 一lz 1 2 ) ，z ，o ) + r ( z ，一z ，1 ) ，p ：( 1 ，一1 ，o ，o ) 1 0 3 r “中的l a g u e r r e ) l 何 则有 ( 7 7 ，7 7 ) = ( p ，护) = 0 ( 7 7 ，p ) = - - 1 设 e l ，e n - 1 ) 是i i l 下的标准正交基， 0 l ，民一1 ) 是它的对偶基， v = s p a n ( y ，a m y ，e l ( y ) ，e n - 1 ( 可) ) ( 秒，e i ( 秒) ) = ( a m y ，e i ( 秒) ) = 0 ，( y ，i 可) = - ( n 一1 ) ，( e i ( y ) ，e j ( y ) ) = e i ( 秒) = 一( z i ( z ) ，一z t ( z ) ，g l ( z ) ，0 ) ( y ，7 7 ) = 0 ，( e i ( 可) ，叩) = 0 ， e i ( 叩) = ( r 一) e i ( 可) + e i ( 7 ) 秒 ( a m y ，叼) = e i e i ( y ) ，7 7 ) = - ( e i ( 可) , e i ( ? 7 ) ) = 一( r 一) = 0 i i 综上y 上= s p a n n ，p ，并且称刀：m n 一1 _ c n + 1 为z 的l a g u e 仃eg a u s s l 姗 3 2l ? 中l a g u e r r e 不变量 记矿= tr i 一7 ) 2 定义l a g u e r r e 位置向量 y = p y = p ( x ，- - x f ，1 ) ( 3 2 1 ) 则9 = ( d y ，d y ) = p 2 ( d y ，d y ) = p 2 m 是定义在全局上的l a g u e r r e 不变度量 设9 下的标准正交基为 毋，以一1 ) ，对偶基 u l ，一1 ) 则 定义 则 b = p - l e i咄= 以 m = e i ( y ) = 而1 y + 夏石兰可( a y , a y ) ( 3 2 2 ) n ) = ( n ，n ) = 0 ，n ) = 一1 ( ，y ) = ( k ，n ) = 0 ，( k ，y j ) = 如，( a y , y ) = 一( 佗一1 ) 湖北大学硕上学位论文 r 呈+ 3 = s p a n n ，y ) os p a n y 1 ，k 一1 ) o 叩，纱) 经计算可得x ：m 舻1 _ 的结构方程为： t l 一1 鼠( ) = 厶j e j ( r ) + g p j = l ( 3 2 3 ) n 一1 最易( y ) = y + 如+ r 乞鼠( y ) + 嘞p ( 3 2 4 ) 七= 1 毋( 叩) = 一g y + b , j e j ( y ) ( 3 2 5 ) j 从这些方程中，我们得到下列l a g u e r r e 不变量： ( 1 ) l a g u e r r e 第二基本形式b = e i f 鼠j 毗o ， ( 2 ) 对称l a g u e r r e 张量三= e fl 巧蚍p ， ( 3 ) l a g u e r r e 形式c = e tg 0 1 i 其中璐是9 = ( d y ，d y ) - f 的l e v i c i v i t a 联络，e ( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) ，( 3 2 5 ) 再微分一 次，得到z ：m n 一1 一r n 的基本方程： 磅 叼 l i k ，j = l i j ，七 b 珏x b t k , j = c j 6 t k c k 6 强 r j u = l i k s u + l u 6 j k l i k s j t l j l 6 诋 = p - 2 ( 鼠( 7 7 ) ，易( 叩) ) = p - z ( 一r ) 2 = 1 ii ，七= 一2 ) c j ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 。8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 1 1 ) 其中l 巧，k ，s , j ，k ，a ，詹分别是l 巧，g 的协变微分，昆j m 是曲率张量兄的分量，s 是 数量曲率 1 2 航 l 毋 一 幻 己 恕邑 州脯 1 1 0 一g 3 r ”中的l a g u e r r e 几何 由( 3 2 4 ) 式得 又f l 了( 3 2 2 ) 式得 对照各分量得 由( 3 2 7 ) 式得 a y = ( l 谢) y + n 1 ) + ( b i i ) p ii y = ( n - 1 ) n 一_ ( a 玟y i , 可a y ) y i 玩_ 0 莩k = 一丽1 ( y ) ，t = ( n 一2 ) g ( 3 2 1 2 ) r 4 k = b ( n 一3 ) l 圹( l 施，s = - 2 ( 礼一2 ) l 铲亿n 一- 2 上 当n 3 时，由上式知l a g u e r r e 不变量g ，l 巧完全由不变量9 ，b 决定这样我们 有 定理3 2 1r n ( n 4 ) 中两个没有脐点且第二基本形式非退化的定向超曲面 是l a g u e r r e 等价的当且仅当它们具有相同的l a g u e r r e 度量g 和相同的l a g u e r r e 第二基本形式b 在n = 3 时，没有脐点且第二基本形式非退化的定向超曲面完全由l a g u e r r e 不 变量_ 夕，b ，l ) 决定 3 3 r n 中l a g u e r r e 不变量的欧氏量表达式 在上述准备知识基础上，经直接计算可得到下列表达式： = 最( y ) = e i ( 1 n p ) y + e i ( y ) 1 3 湖北大学硕士学位论文 k j = d 一k = d e i ( 1 n p ) 。y + e i ( 1 n p ) d y + d e i ( y ) 一( e j ( 1 n p ) y + 勺( y ) ) 哟 = p - 1 h e s s q ( 1 n p ) y + h e s s q ( y ) + 勺( 秒) 勺( 1 n p ) + e j ( 1 n p ) e j ( 1 n p ) y s i j e ，( 1 n p ) e j ( 1 n p ) y a y = 仃，i = p - 1 ( a l n p + ( n 一2 ) l v l n p l 2 ) 可- i - a m y - i - ( n 一1 ) v l n p ( y ) = p - a 1 ( 1 + i v l n p l 2 ) + 击可+ v l n 砌) ) e ( 叩) = p _ 1 e i ( r 1 ) = p - 1 ( 7 一r i ) e l ( ) + e i ( r ) y 由结构方程得 b q = ( y j ，忍( 7 7 ) ) = p - 1 ( 7 一n ) 西 l 巧= 一( ，j ，) = p - 2 h e s s i j ( 1 n p ) 一e i ( 1 n p ) e ，( 1 n p ) + 去( 1 v l n p l 2 1 ) 如) g = ( e i ，n ) = p - 2 - e , ( r ) + ( r r i ) e i ( 1 n p ) ) 由此得到l a g u e r r e 不变量的欧氏量表达式 3 4 l a g u e r r e 第二基本形式b 的l a p l a c i a n 算子 本节通过计算l a g u e r r e 第二基本形式b 的l a p l a c i a n 算子，得到r 他中超曲 面的l a g u e r r e 不变量满足的一组内蕴关系式 定理3 4 1 设z ：m n 一1 _ 是中的超曲面，则有下面公式成立 ( 礼一1 ) t r ( b 2 l ) + t r ( l ) 一( n 一1 ) t r ( b v c ) + i v b l 2 = 0 定理3 4 1 的证明 由( 3 2 7 ) 式得 b q 蠢k = d b q + b k j k t + b t 州k 鼠七，t b 航七= 6 触g 一以t 瓯 3 r ”中的l a g u e r r e ) 1 , 何 定义 鼠七，幻= ( b k k ，l 一九q + 以i ，l q ) ，j = b e 七，巧一g j + 如g j b ，斛岫= d 上b ，詹+ 局j ，七毗t + 鼠l k o j l j + b i j ，f 七 ( 3 4 1 ) 对( 3 4 1 ) 式外微分得 d 上习，k ( d k + b i j ，七口k 九= d b k j w k i + 咖舰+ d b 知u 幻+ 鼠七政j 幻( 3 4 2 ) 化简( 3 4 2 ) 式，得 上功，剐一b , j ，z 七= b i m j 宅m j 削+ r m l m 由“，b , j = 啡，k k = 谢，惫b i j ( b i k , i + g 如一0 ) ，七 = i _ 七( 鼠七j 知+ g ，詹如一c j ，七瓯向) = t 从m ( 鼠詹，幻+ b i m 幻七+ 七嵇七+ 如瓯，七一轧0 ，k ) = 巴，讹m 勘 鼠岛，巧+ 鼠m ( l 喇6 南七十l k k 一l 幻如七一l m k s k j ) + 岛塘( l 删如+ l i k t ，m j l i j 如七一l m 七如) + 妨仇，k 一如g ，七+ 如c k ，j 一以七g ，j = i j ，七，m ( 几一1 ) j e 7 弓l j 仇+ 璐l k k 一( n 一1 ) b t j g ，j = ( 佗一1 ) t r ( b 2 l ) + t r l 一( 佗一1 ) t r ( b v c ) 其中要利用p h j k t = 岛七氏十l i t r i l k 一厶七以f l j t r i i k 又因为 由 代入式得 壶( 勘) 2 = 嘞嘞+ ( 嘞，七) 2 ” 3t ，3 ，k + l v b l 2 = 0 臼 ( 几一1 ) t r ( b 2 l ) + 仃( l ) 一( 佗一1 ) t , - ( s v c ) + i v b l 2 = 0 1 5 湖北大学硕士学位论文 由此得定理的结论 1 6 4 r ”中的极d x l a g u e r r e 超曲面 4 r n 中的极d , l a g u e r r e 超曲面 本章研究聍中超曲面为l a g u e r r e 极小超曲面的一个充要条件由此得到r 3 上 不含脐点的曲面是l a g u e r r e 极小的一个充要条件并给出t r 3 上l a g u e r r e 极小 曲面但并非欧氏极小曲面的一个例子 4 1 职中的极d , , l a g u e r r e 超曲面 设z o ：m n 一1 一r 凡是r n 中无脐点且主曲率非零的超曲面其边界为o m 兢= z ( ，t ) ：mxr r nt ( - t ，亡) 是z o 的一个变分满足 v p o m ，x t ( p ) = x 0 ( p ) ，如) = d z o ( p ) ：耳m n _ 1 斗乃m n - 1 则轨的l a g u e r r e 体积函数为 邵，= 厶剖军删 ， 称满足l 7 ( 0 ) = o 的超曲面是l a g u e r r e 极小超曲面 引理4 1 1 不含脐点且主曲率非零的超曲面9 9 0 ：m 一1 一是l a g u e r r e 极小 的当且仅当 a 厂：圭l i j b i j = 0 ( 4 1 2 ) t巧 定理4 1 2z o ：胗一1 一是不含脐点且主曲率非零的超曲面，z 是l a g u e r r e 极小的当且仅当下列e u l e r - l a g r a n g e 方程成立 一a r a r + 而n - 3 ( r n ) ( 1 n 批+ 型r t - - 2 ( r n ) e ；( 1 印) + e i p 一) e t ( 1 n p - ) 一( n 一4 ) e t ( r ) e t ( 1 n p ) = 。( 4 1 3 ) 定理4 1 2 的证明 g = p - 2 一e t ( r ) - i - ( r r i ) e ( 1 i l p ) 1 7 湖北大学硕士学位论文 哟= ( d m ，巧) = + e i ( 1 n p ) o j e j ( 1 n p ) o i c t o j = d g c t = 一2 p 一2 e jc l n p ) o 歹 一e i ( r ) + ( r r i ) e t ( 1 n p ) ) + p - 2 一d e i ( r ) + d ( r r i ) e i ( 1 n p ) + ( r r i ) d e i ( 1 n p ) 一p - 2 - e j ( r ) + ( r r o ) e o ( 1 n p ) 0 0 + e i ( i n p ) o j e 3 ( 1 n p ) o i 所以 g j = t p - 3 一a m r + ( r r i ) ( 1 n p ) ，“+ e ir r i ) e t ( 1 n p ) 一( t , 一4 ) e t ( r ) 龟o n p ) + ( 2 4 ) ( r r i ) e ；( 1 n p ) l 巧= p - 2 h e s s i y ( 1 n p ) 一e i ( 1 n p ) e j ( 1 n p ) b 臼 i , j = p - 3 h e s s o ( 1 n p ) ( r 一) 西一e i ( 1 n p ) e j ( 1 n p ) ( r n ) 翰) g 厂 毒 ( n 一3 ) 2 扎一2 = p q ( r 亿) ( 1 n 批一 t ( r r i ) e 2 ( 1 n p ) t = 一m h 而n - 3 ( r n ) ( 1 n p ) 澎+ ( r r i ) e ；( 1 n p ) + e t ( r n ) e t ( 1 n p ) 一n 一4 ) 劬( r ) e i ( 1 n p ) 0 由引理4 1 1 得结论 4 2 r 3 中的极小l a g u e r r e 超曲面 作为上一节的特例，本节讨论r 3 中的极小l a g u e r r e 超曲面，其中的极小超 曲面具有更简单的表达式本节最后给出欧氏极小超曲面和l a g u e r r e 极小超曲 面的关系欧氏空间中的极小曲面一定是l a g u e r r e 极小曲面但l a g u e r r e 极小曲 面却不一定是欧氏空间中的极小曲面 1 8 4 r ”中的极d 、l a g u e r r e 超曲面 推论4 2 1z ：m 2 _ r 3 是不含脐点且主曲率非零的超曲砸，z 是l a g u e 丌e 极 小的当且仅当叩= p 推论4 2 1 的i a t p f l 由结构方程( 3 2 5 ) 得最( 7 7 ) = - c , y + 了b o e j ( y ) 那么易( 置( 7 7 ) ) = 一g ，t y g k + 了- 1 ，t 易( y ) + b 叩= 一g ，t y g 巧+ 最j l 巧y + ( 扎一1 ) n + b i j p ) = ( 一g ，t + b i j l o ) y + ( n 一3 ) c ；k + 护 当n = 3 时，tg l = ，jl 巧嘞由此得结论 如果z ：m 2 一r 3 是欧氏空间中极小曲面，则 后+ 如= 。，r = 击+ 瓦1 = o 那么 a m r = 0 所以r 3 上的欧氏空间中的极小曲面。定也是l a g u e r r e 极小曲面但反之不然，下 面给出一个这样的例子 r 3 上c 兰0 l 三0 的曲面即有： y = ( u 2 + 移2 ，一t 正2 一u 2 ，2 u ，2 v ，u 2 + 2 1 ，u 2 + 2 + 1 ) ( 4 2 1 ) 因为y = p ( z ，一z 专，1 ) ，r 3 中超曲面z 和单位法丛的表达式分别为： 小m ：c 烈，筹器， 洳：( 南，南，篇) 该曲面一定是l a g u e r r e 极小的但并不是欧氏极小曲面 1 9 ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【l 】b r y a n tr ，ad u a l i t yt h e o r e mf o rw i l l m o r es u r f a c e j j d i f f e r e n t i a lg e o m ，1 9 8 4 ，2 0 ：2 3 5 3 【2 】c a m i n h aa ，ar i g i d i t yt h e o r e mf o rc o m p l e t ec m c h y p e r s u r f a c e si nl o r e n t zm a n i f o l d s j d i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n di t sa p p l i c a t i o n s ，2 0 0 6 ，2 4 ：6 5 2 6 5 9 【3 】c e c i lt a n dc h e r ns s ，t a u t n e s sa n dl i es p h e r eg e o m e t r y j m a t h a n n ，19 8 7 ，2 7 8 ： 3 8 1 - 3 9 9 【4 】z h a og s ，l ih z a n dw a n gc p t h es e c o n dv a r i a t i o nf o r m u l a rf o rw i l l m o r es u b m a n i f o l d si ns ”【j 】r e s u l t si nm a t h ，2 0 0 1 ，4 0 ：2 0 5 2 2 5 【5 】l it z a n dw a n gc e ，l a g u e r r eg e o m e t r yo fh y p e r s u r f a c e si nr n j 】m a n u s c r i p t am a t h ， 2 0 0 7 ，1 2 2 ：7 3 - 9 5 【6 】l it z ，l a g u e r r eg e o m e t r yo fs u r f a c e si nr 3 【j 】a c t am a t h e m a t i cs i n i c a ，e n g l i s hs e r i e s ， 2 0 0 5 。2 1 ：1 5 2 5 - 1 5 3 4 7 】l ih z a n dw a n gc e ，s u r f a c e sw i t hv a n i s h i n gm o e b i u sf o r mi n 铲【j 】a c t am a t h e m a t i c s i n i c a ，e n g l i s hs e r i e s ，2 0 0 3 ，19 ：6 71 - 6 7 8 【8 】l i uh l ，w a n gc pa n dz h a og s ，m o e b i u si s o t r o p i cs u b m a n i f o l d si ns n j t o h o k u m a t h ，2 0 0l ，5 3 ：5 5 3 - 5 6 9 【9 】m i y a o k ar ，c o m p a c td u p i nh y p e r s u r f a c e sw i t ht h r e ep r i n c i p a lc u r v a t u r e s j m a t h z ，1 9 8 4 ， l8 7 ：4 3 3 4 5 2 【1o 】m u s s oe a n dn i c o l o d il ，l a g u e r r eg e o m