（基础数学专业论文）具有特殊结构的hopf代数的研究.pdf

摘要 本文主要研究y e t t e r - d r i n f e l dh o p f 代数， q u i v e r 上的拟三角h o p f 代数以及b i _ f r o b e n i u s 代数本文共分三章 第一章我们研究y e t t e r - d r i n f e l dh o p f 代数( 也称y a n g - b a x t e rh o p f 代数) 我们给 出了y e t t e r - d r i n f e l dh o p f 代数的对极的一些性质；并且利用y e t t e r - d r i n f e l d 模构造了 一类y e t t e r - d r i n f e l dh o p f 代数；我们还把h o p f 代数的h o p f 模基本定理推广到y e t t e r - d r i n f e l dh o p f 代数上另外。我们还证明了某些y e t t e r - d r i n f e l dh o p f 代数的整体维数 等于其上平凡模的投射维数 第二章我们把代数表示论中的q u i v e r 方法应用到h o p f 代数的研究中利用代数表 示论中的q u i v e r 方法构造了一类拟三角h o p f 代数，并且给出了这类拟三角h o p f 代数 的泛r 矩阵( 即y a n g - b a x t e r 方程的解) 第三章我们研究三维a s 正则代数的y o n e d a 代数我们通过找到y o n e d a 代数上的 余结构来确定其上的f r o b e n i u s 余代数结构，从而得到其上的b i 。f r o b e n i u s 代数结构进 而通过y o n e d a 代数的b i f r o b e n i u s 代数结构我们来确定其上的a o 。乘法，从而确定原 有的三维a s 正则代数的生成关系 关键字：n o p f 代数，y e t t e r - d r i n f e l d 模，y e t t e r - d r i n f e l dn o p f 代数，q u i v e r s ，拟 三角h o p f 代数，b i - f r o b e n i u s 代数，a s 正则代数，y o n e d a 代数 中图分类号；0 1 5 3 3 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yy e t t e r - d r i n f e l dh o p fa l g e b r a s ，q u i v e rq u a s i t r i a n g u l a rh o p f a l g e b r a sa n db i f r o b e n i u sa l g e b r a s i nc h a p t e r1 ，w es t u d yy e t t e r - d r i n f e l dh o p fa l g e b r a so ry a n g - b a x t e rh o p fa l g e b r a s w es h o ws o m ep r o p e r t i e so fa n t i p o d eo fy e t t e r - d r i n f e l dh o p fa l g e b r a s ；c o n s t r u c tac l a s so f y e t t e r - d r i n f e l dh o p fa l g e b r a sv i ay e t t e r - d r i n f e d lm o d u l e s ；g e tt h ef u n d a m e n t a lt h e o r e m o fy e t t e r - d r i n f e l dh o p fm o d u l e m o r e o v e r ，w ea l s op r o v e dt h a tt h eg l o b a ld i m e n s i o no f s o m ey e t t e r - d r i n f e l dh o p fa l g e b r a si se q u a lt ot h ep r o j e c t i v ed i m e n s i o no ft r i v i a lm o d u l e i nc h a p t e r2 ，a p p l y i n gq u i v e rt ot h es t u d yo fh o p fa l g e b r a s ，w ec o n s t r u c tac l a s s o fq u a s i t r i a n g u a l rh o p fa l g e b r a s t h e s eq u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a sp r o v i d eac l a s so f s o l u t i o n so fy a n g - b a x t e re q u a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ef i n dc o a l g e b r as t r u c t u r e so v e ry o n e d aa l g e b r a so fa r t i n - s c h e l t e r r e g u l a ra l g e b r a sw i t hg l o b a ld i m e n s i o n a l3 m o r e o v e r ，w eg e ta c l a s so fb i f r o b e n i n s a l g e b r a so v e ry o n e d aa l g e b r a s k e y w o r d s ：h o p fa l g e b r a s ，y e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e s ，y e t t e r - d r i n f e l dh o p fa l g e b r a s ， q u i v e r s ，q u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a s ，b i - f r o b e n i u sa l g e b r a s ，y o n e d aa l g e b r a s c l a s s i f i c a t i o nc o d e ：0 1 5 3 3 u c h a p t e r 1y e t t e r - d r i n f e l dh o p f a l g e b r a s a b i a l g e b r ai sr o u g h l ys p e a k i n g ，a na l g e b r ao nw h i c ht h e r ee x i s t sad u a ls t r u c t u r e ， c a l l e dac o a l g e b r as t r u c t u r e ，s u c ht h a tt h et w os t r u c t u r es a t i s f ya c o m p a t i b i l i t yr e l a t i o n ah o p fa l g e b r ai sab i a l g e b r aw i t ha ne n d o m o r p h i s ms a t i s f y i n gac o n d i t i o nw h i c hc a n b ee x p r e s s e du s i n gt h ea l g e b r aa n de o a l g e b r as t r u c t u r e s t h ef i r s te x a m p l eo fs u c ha s t r u c t u r ew a so b s e r v e di na l g e b r a i ct o p o l o g yb yh h o p fi n1 9 4 1 t h i sw a st h eh o m o l o g y o fac o n n e c t e dl i eg r o u p ，w h i c hi se v e nag r a d e dh o p fa l g e b r a s t a r t i n gw i t ht h el a t e 1 9 6 0 s ，h o p fa l g e b r a sb e c a m eas u b j e c to fs t u d yf r o mas t r i c t l ya l g e b r ap o i n to fv i e w ， a n db yt h ee n do ft h e1 9 8 0 s ，r e s e a r c hi nt h i sf i e l dw a sg i v e nas t r o n gb o o s tb yt h e c o n n e c t i o nw i t hq u a n t u mm e c h a n i c s ( t h es o - c a l l e dq u a n t u mg r o u p sa r ei nf a c te x a m p l e s o fn o n c o m m u t a t i v en o n c o c o m m u t a t i v eh o p fa l g e b r a s ，) p e r h a p so n e o ft h em o s ts t r i k i n ga s p e c to fh o p fa l g e b r a si st h e i re x t r a o r d i n a r yu b i q - u i t yi nv i r t u a l l ya l lf i e l d so fm a t h e m a t i c s ：f r o ma l g e b r a i cg e o m e t r y ( a f f i n eg r o u ps c h e m e s ) ， t ol i et h e o r y ( t h eu n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r ao fal i ea l g e b r ai sah o p fa l g e b r a ) ，g a - l o i st h e o r y , c o m b i n a t o r i c s ，r e p r e s e n t a t i o nt h e o r ya n dq u a n t u mm e c h a n i c s ，m a t h e m a t i c a l p h y s i c s ，v e r t e xo p e r a t o ra l g e b r a s ，c o n f o r m a lf i e l dt h e o r y , a n dt h el i s tm a yg oo n a si ti sp o s s i b l et of o r mt h et e n s o rp r o d u c to ft w or e p r e s e n t a t i o n so fag r o u po ral i e a l g e b r a ，t w ob a s i ce x a m p l e sf o rh o p fa l g e b r a sa r eg r o u pr i n g sa n de n v e l o p i n ga l g e b r a so f l i ea l g e b r a s t h e s et w oe x a m p l e sb o t hh a v et h ep r o p e r t yt h a tt h e ya r ec o c o m m u t a t i v e a n di nas e n s et h a tt h e ya l r e a d ye x h a u s tt h ep o s s i b l ec o c o m m u t a t i v eh o p fa l g e b r a s ：a t l e a s to v e ra l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d so fc h a r a c t e r i s t i cz e r o ，ac o c o m m u t a t i v eh o p fa l g e b r a c a nb ew r i t t e na sar a d f o r db i p r o d u c to fg r o u pr i n ga n da ne n v e l o p i n ga l g e b r ao fa l i ea l g e b r a i np a r t i c u l a r ，af i n i t ed i m e n s i o n a lc o c o m m u t a t i v eh o p fa l g e b r ao v e ra n a l g e b r a i c a l l yc l o s e do fc h a r a c t e r i s t i cz e r ob eag r o u pr i n g t h er a d f o r db i p r o d u c tj u s tm e n t i o n e di st h ea n a l o g u ef o rh o p fa l g e b r a so ft h es e m i d i - r e c tp r o d u c to fg r o u p so rl i ea l g e b r a s ：t h eh o p fa l g e b r ai sd e c o m p o s e di n t ot w ot e n s o r f a c t o r s h o w e v e r ，t h e r ei so n ep o i n tt h a ti sd i f f e r e n ti nt h eh o p fa l g e b r ac a s e ：h e r e ，o n eo f t h et w of a c t o r si s ，i ng e n e r a l ，n ol o n g e rah o p fa l g e b r ai t s e l f , b u tr a t h e ray e t t e r - d r i n f e l d h o p fa l g e b r ao v e rt h eo t h e rf a c t o r i nt h ec a s eo fg r o u p sa n dl i ea l g e b r a s ，t h eo n l y i n g r e d i e n tt h a ti sn e e d e dt of o r mas e m i d i r e c tp r o d u c ti sa na c t i o no fo n ep a r to nt h e o t h e rt h a ts a t i s f i e sc e r t 新nc o n d i t i o n s i nt h ec a s eo fh o p fa l g e b r a s t h e r ei sa na d d i t i o n a l c o a c t i o no ft h i sp a r to nt h eo t h e r ，a n da c t i o na n dc o a c t i o na r ec o m p a t i b l ei ns u c haw a y t h a tt h ec o m p o s e dw h i c hi sa c t e da n dc o a c t e du p o nb e c o m e sas o - c a l l e dy e t t e r - d r i n f e l d m o d u l e 。a n de v e nay e t t e r d r i n f e l dh o p fa l g e b r ai fm ls t r u c t u r ea r et a k e ni n t oa c c o u n t t ou n d e r s t a n dt h i sb e t t e r ，l e t1 1 8e x p l a i nt h e s ec o n d i t i o n sal i t t l ef u r t h e r a sw e h a v ea l r e a d ys a i d ，ay e t t e r - d r i n f e l dm o d u l eo v e rah o p fa l g e b r ai sam o d u l et h a ti s s i m u l t a n e o u s l yac o m o d u l ei ns u c haw a yt h a tt h e s et w os t r u c t u r e ss a t i s f yac e r t a i n c o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n t h es o c a l l e dy e t t e r - d r i n f e l dc o n d i t i o n t h i sc o n d i t i o nh a st h e p r o p e r t yt h a ti th o l d sf o rat e n s o rp r o d u c ti fi th o l d sf o rt h ef a c t o r s ，a n dt h e r e f o r ey e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e sf o r mam o n o i d a lc a t e g o r y , w h i c hi se v e nq u a s i s y m m e t r i ci ft h eh o p f a l g e b r at h a ti sa c t i n ga n dc o a c t i n gh a sab i j e c t i v ea n t i p o d e ay e t t e r - d r i n f e l dh o p f a l g e b r ai st h e nn o t h i n ge l s eb u tah o p fa l g e b r ai n s i d et h i sq u a s i s y m m e t r i cc a t e g o r y l e tkb eaf i e l d w er e e a us o m ef a c t so na l g e b r a s ，c o a l g e b r a sa n dh o p fa l g e b r a s ，s e e 【d nr 】， m 】a n d 【s w l a nk - a l g e b r ai sa 七一v e c t o rs p a c ew i t ht w ok - l i n e a rm a p s m u l t i p l i c a t i o nm ：a a - - - - 4 aa n du n i t 乱：k - - - 4a ，s u c ht h a t 1 ) m ( m o i d ) = m ( i d o m ) ，o e ( a b ) c = a ( b c ) f o r v a ，b ，c a 2 ) m m o d ) = m ( i d o u ) ，i e 1 a = a = a 1 d u a l l y , ak - c o a l g e b r ai sak - v e c t o rs p a c ew i t ht w ok - l i n e a rm a p s c o m u l t i p l i c a t i o n m ：c _ g o ca n dc o u n i t ：c - - - - - 4k ，s u c h t h a t 1 ) ( o i d ) a = ( i d 圆a ) a ，i e c l l o c l 2 0c 2 = c l p c 2 1 0c 2 2 f o r v c d 2 ) 0 固 a 。= ( i d oe ) ，i e f ( c 1 ) c 2 = c = c l e ( c 2 ) n o ww ec o m b i n et h en o t i o no fa l g e b r aa n dc o a l g e b r a ab i a l g e b r ai sa na l g e b r a ( em ，u ) a n dac o a l g e b r a ( h ，f ) s u c ht h a tm ，a r ec o a l g e b r am o r p h i s m ( i e a m = ( m o m ) ( z d o t 固i d ) ( o ) ，e m = m “o f ) ，a u = 似o u ) a ，“= i d ) i f t h e r e e x i s t sak - l i n e a rm a ps ：h 哪叶hs a t i s f i e s s ( h 1 ) h 2 = u e ( h ) = h i s ( h ：) ，t h e nhi s c a l l e dh o p fa l g e b r aw i t ha n t i p o d es n e x t ，w er e c a l lm o d u l ea n dc o m o d u l e l e tab ea na l g e b r a al e f ta m o d u l ei sak - v e c t o rs p a c evt o g e t h e rw i t hak - l i n e a r m a p a 圆v _ v s u c h t h a t ( m ) ( a b ) 口= a ( b t ，) ，1 口= t ， t h ec a t e g o r yo fl e f ta - m o d u l ei sd e n o t e db y m l e tcb eac o a l g e b r a al e f tc - c o m o d u l ei sak - v e c t o rs p a c evt o g e t h e rw i t ha k - l i n e a rm a p 口：v - - - + c o vs u c ht h a t ( c m ) a - 1 ) 1 0 ( a - 1 ) 2 圆a 0 = a - 1 圆( a 0 ) - 1 p ( 护) o ，e ( a - 1a o = a t h ec a t e g o r yo fl e f tc - m o d u l ei sd e n o t e db yg m n o ww ec o m et ot h ed e f i n i t i o no fy e t t e r d r i n f e l dm o d u l e ( d 9 8 ，【d 1 【s 0 0 2 ) f o ra n yh o p f a l g e b r ah al e f ty e t t e r - d r i n f e l dm o d u l ei sak - v e c t o rs p a c evw h i c h i sb o t hal e f th - m o d u l ea n dl e f th - c o m o d u l ea n ds a t i s f i e st h ec o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n 一口) - 1 。一钉) o = h w s h a 。h 2 一t j 0 ， f o ra l lh 只t ，v t h ec a t e g o r yo fl e f ty e t t e r - d r i n f e l dm o d u l ei sd e n o t e db y 嚣y d h e r ew eh a v eu s e dt h ef o l l o w i n gs w s e d l e rn o t a t i o nf o rt h ee o a c t i o np ( v ) = t ，- 1o v 0 h ovt h ea r r o w _ d e n o t em o d u l ea c t i o n w ea l s od e f i n er i g h ty e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e s ，w h i c ha r et h e 鼠2 l l l ea sl e f ty e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e so v e rt h eo p p o s i t ea n dc o o p p o s i t eh o p fa l g e b r a t h e ya l er i g h tm o d u l e a n dr i g h tc o m o d u l et h a ts a t i s f y 0 一九) o 圆 一 ) 1 = ( 矿一 2 ) 圆s c h l 弘1 h 3 o fc o u r s eo n ec a nd e f i n el e f t r i g h ta n dr i g h t l e f ty e t t e r d r i n f e l dm o d u l e s ，w h i c ha r el e f t y e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e so v e rt h eo p p o s j t er e s p e c t i v ec o o p p o s i t eh o p fa l g e b r a ，b u t 如e y a r en o tu s e di nt h ef o l l o w i n g w es h a uu s et h ec o n v e n t i o nt h a tay e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e i sal e f ty e t t e r d r i n f e l dm o d u l eu n l e s ss t a t e do t h e r w i s e t h et e n s o rp r o d u c to ft w oy e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e sb e c o m ea g a i nay e t t e r - d r i n f e l d m o d u l ei fi ti se n d o w e dw i t ht h ed i a g o n a lm o d u l ea n dt h ed i a g o n a lc o m o d u l es t r u c t u r e t h eb a s ef i e l dkb e c o m eay e t t e r - e o r i n f e l dm o d u l ev i at h et r i v i a lm o d u l es t r u c t u r eh k = e ( h ) ka n dt h et r i v i a lc o m o d u l es t r u c t u r ep ( k ) = 1o k y e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e s t h e r e f o r ec o n s t i t u t eam o n o m i d a lc a t e g o r y t h ec a t e g o r yi sp r e - b r a i d e d ；t h ep r e - b r a i d i n g i sg i v e nb y k w ：v 圆w + w o kt ，o b - - - - ( t ，一1 一伽) p 口o t h em a pi sab r a i d i n go nf , y vp r e c i s e l yw h e n 日h a sab i j e c t i v ea n t i p o d e t h ei n v e r s e o f wi s i 。- 1 w ：。v y 圆彤w v h 护。雪( t ，- 1 ) - - - l t ) 1 1 y e t t e r - d r i n f e l dh o p f a l g e b r a s w eb e g i nb yr e c a l l i n gt h en o t i o no fy e t t e r - d r i n f e l dh o p fa l g e b r a s l e thb eah o p f a l g e b r aa n d 嚣3 ，口t h el e f ty e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e o v e rh ai say e t t e r d r i n f e l db i a l g e b r a 3 i n 备y 口i fa i sak - a l g e b r aa n dak - e o a l g e b r aw i t hc o m u l t i p l i c a t i o naa n dc o u n i tea n d t h ef o l l o w i n g ( a 1 ) 一( a 5 ) h o l d ， ( a 1 ) ai sa l e f th m o d u l ea l g e b r a ，i e ， h 一( 口6 ) = ( h 1 一o ) ( 2 6 ) ，h - - - ，1 a = e ( h ) l a ( a 2 ) ai sal e f t 日- c o m o d u l ea l g e b r a ，i e ， p ( n 6 ) = c a b ) 。1 。( n 6 ) 。= n 。1 b 。1 。n 0 6 0 ， p ( 1 ) = i n 0 1 a ( a 3 ) ai sa l e f th - m o d u l ec o a l g e b r a ，i e ， a ( h 一。) = ( 危1 一0 1 ) 。( 2 一0 2 ) ，e ( - - a ) = 印( 危) “( 。) ( a 4 ) ai sa l e f th c o m o d u l ec o a l g e b r a ，i e ， o 一1 。( 0 0 ) - 。( 扩) z = 8 ，_ 。- 1 圆n o 。， n 。1 e a ( a o ) = e a ( a ) l h ( 8 5 ) a ，ea r ea l g e b r am a p si n 嚣y 口，i 。e a o m ( a ob ) = ( m o m ) 0 d o f o i d ) ( a o ) o ：f n l ( n 2 - * b 1 ) oa 2 0 6 2 ( 1 ) = 1o1 ，e ( a b ) = e c a ) e ( b ) ，e ( 1 a ) = l k ai sc a l l e day e t t e r - d r i n f e l dh o p fa l g e b r ai n 嚣y 口i f i th a sa a la n t i p o d est h a ti sa c o n v o l u t i o ni n v e r s et oi d ，i e ， ( a 6 ) t h e r ee x i s t sak - l i n e a r m a p s ：a 叫a i n 备y 口s u c h t h a t s * i d = e = i d * s o n ee a s i l ys e et h a ts i sb o t hh l i n e a ra n dh - c o l i n e a r i ng e n e r a l ，y e t t e r d r i n f e l d h o p fa l g e b r a sa r en o to r d i n a r yh o p fa l g e b r a sb e c a u s et h eb i a l g e b r aa x i o ma s s e r t st h a t t h e yo b e y ( a 5 ) h o w e v e r ，i tm a yh a p p e nt h a ty e t t e r - d r i n f e l dh o p fa l g e b r a s a a eo r d i n a r y h o d fa l g e b r a sw h e nt h ep r e - b r a i d i n gi st r i v i a l ，f o rd e t a i l ss e ei s i nt h ef o l l o w i n g ，w es a yai say e t t e r - d r i n f e l dh o p fa l g e b r a m e a n 8ai sah o p f a l g e b r a i ng y v n e x t ，w eg i v es o m eb a s i cp r o p e r t i e so fy e t t e r - d r i n f e l dh o p fa l g e b r a w ek n o w t h a t t h ea n t i p o d eo fah o p fa l g e b r ai s9 , na n t i - a l g e b r aa n da n t i - c o a l g e b r am a p t h i si sa l s o t r u ef o ry e t t e r - d r i n f e l dh o p fa l g e b r a 。t h ef o l l o w i n gl e m m a 舀v et h ep r o p e r t y 4 l e m m a1 1 1 ai say e t t e r - d r i n f e l dh o p a l g e b r a 埘觇a n t i p o d es ：a _ a 。t h e ns 惦a na n t s a l g e b r aa n da n t z c o a l g e b r aa u t o m o r p h 。s m t h a ti s s os ( a b ) = ( n 一1 s ( b ) ) s ( o o ) ，a ，b a ，a n ds ( 1 ) = 1 s 2 ) a s ( a ) = d i l s ( n 2 ) 圆s ( a l o ) ，a n de s ( 口) = e ( o ) p r o o f ： i fsi sa na n t i - a l g e b r aa u t o m o r p h i s m ，t h e nw eh a v es m = m ( 8o s ) 丁a n d s ( 1 ) = 1 w et a k et h ei d e ao fs w e e d l e ri ns w ，p 7 4 】 c o n s i d e rt h em a p ss m ：a o a _ a ，a o bh s ( a b ) a n dm ( s 圆s ) r ：a o a _ a ，a 圆b h ( 口一1 s ( 6 ) ) s ( n o ) o u rt a s ki st os h o ws m ( a 圆b ) = m ( 8 05 ) 下( 。o n o w ( s m m ) 0b ) = m ( s m o m ) a ( a 固b ) = m ( s m 。m ) ( 0 1 圆o i l 6 l 圆趣圆6 2 ) = s ( a l ( a i l - 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