（基础数学专业论文）多复变数的几类全纯映射族.pdf

摘要 本文主要针对多复变数的几类全纯映射族进行研究，其中包含o t 次的殆星 映射，n 次的星形映射，n 次的强星形映射，卢型螺形映射，一致星形映射和 一致凸映射等，另外，还有几类我们自己定义的映射类：a 次的殆p 型螺形映 射，n 次的序型螺形映射和。次的强卢型螺形映射等全文共分六章 第一章我们简要地介绍了多复变数几何函数论发展的背景，本文所用到的一 些定义和记号，以及本文的主要结果在第二章中，我们分别在不同的空间和区 域上推广了r o p e r s u f f r i d g c 算子，并且证明了a 次的殆星性质和a 次的星形性 质在这些算子作用之下是不变的由此，我们可以利用单复变量的n 次的殆星 函数和。次的星形函数构造出多复变量的o t 次的殆星映射和n 次的星形映射 第三章通过在c “中的有界星形圆形域和复b a n a c h 范数之下的单位球上建立一 些微分不等式，给出了。次的殆星映射的两个充分判别条件在第四章中，我们 在复b m l a c h 空间中的单位球上定义了几类新的映射：n 次的殆卢型螺形映射， c x 次的卢型螺形映射和。次的强卢型螺形映射，并且证明了它们的增长掩盖定 理利用这些结果，可以分别得到卢型螺形映射，n 次的殆星映射，。次的星形 映射和n 次的强星形映射的增长掩盖定理同时，通过对这几类映射的研究，我 们也可以更清楚地看到它们之间的一些几何关系第五章主要研究多复变数的一 致星形映射和一致凸映射，给出一致凸映射的一个判别准则，并且得到关于这两 个映射的类似于h a r n a c k 不等式的结果，从而使得有关这两类映射的研究内容更 加丰富另外，在本文的最后一章，我们还讨论了有界星形圆形域上正规化全纯 映射的掩盖定理这里我们完全抛开了映射的几何性质，并且所研究的区域也是 相当广泛的 本文的主要结果是在已有结果的基础上更深入的研究，不仅得到了一些全新 的内容，将原有的结果作了推广，而且也统一了以前所知的有关结论，从而使得 我们对各类映射族之间的关系有了更进一步的认识 s o m ec l a s s e so fh o l o m o r p h i cm a p p i n g s i ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t hs o n l ec l a s s e so fh o l o m o r p h i cm a p p i n g si ns e v e r a lc o m p l e x v a r i a b l e s ，s 1 l c ha sa l m o s ts t a r l i k em a p p i n g so fo r d e ro ，s t a r l i k em a p p i n g so fo r d e ro s t r o n g l ys t a r l i k em a p p i n g s o fo r d e r ，s p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p e 卢，u n i f o r m l ys t a r l i k e m a p p i n g s ，u n i f o r m l yc o n v e xm a p p i n g sa n dt h r e eo t h e rm a p p i n g s ：a l m o s ts p i r a l l i k e m a p p i n g s o ft y p e8a n do r d e rd s p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p e0a n do r d e rda n d s t r o n g l y s p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p e 卢a n do r d e ro ，w h i c h a r ed e f i n e db yu si nt h i se s s a y i t c o n s i s t so fs i xc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ed e v e l o p n l e n to fg e o m e t r i c f u n c t i o nt h e o r yi ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，s o l n ed e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n s ，a n dt h e m a i nr e s u l t so ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w ee x t e n dt h er o p e r s u f f r i d g eo p e r a t o ro n d i f f e r e n td o m a i n sa n dd i f f e r e n ts p a c e s ，a n dp r o v et h ef a c tt h a tt h e yk e e pt i l ep r o p e r t i e s o fa h n o s ts t a r l i k e n e s so fo r d e roa n ds t a r l i k e n e s so fo r d e rn s ow ec a ng e ta l m o s ts t a r l i k en l a p p i n g so fo r d e roa n ds t a r l i k em a p p i n g so fo r d e r 。i ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s b yr e l a t e df l m c t i o u si no n ec o m p l e xv a r i a b l e i nc h a p t e r3 ，w ee s t a b l i s hs o m ep a r t i a l d i f f m e n t i a li n e q u a l i t i e so nb o u n d e ds t a r l i k ee i r c l a rd o m a i n sa n dt h eu n i tb a l lo fb a n a c h n o r mi nc “t h e nb yu s i n gt h e s ei n e q u a l i t i e s ，w ec a ng e tt w os u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r a h n o s ts t a r l i k em a p p i n g so fo r d e roi nc h a p t e r4 ，w eg i v et h ed e f i n i t i o n so fa l m o s t s p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p e0a n do r d e ra ，s p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p e8a n d o r d e rn a n ds t r o n g l ys p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p e 卢a u do r d e ro ，a n do b t a i nt h e i rg r o w t ha n d c o v e r i n gt h e o r e m so l lt h eu n i tb a l li nc o m p l e xb a n a c hs p a c e s a st h e i rc o r o l l a r i e s ，w e c a l l g e tt h eg r o w t ha n dc o v e r i n gt h e o r e m s f o rs p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p e 卢，a l n m s t s t a r l i k em a p p i n g so fo r d e ro e ，s t a r l i k em a p p i n g so fo r d e roa n ds t r o n g l ys t a r l i k en l a p p i n g so fo r d e rot h e n ，f r o mt h e s er e s u l t s ，w ec a n s e et h eg e o m e t r i cr e l a t i o n so ft h e s e n l a p p i n g sm o r ec l e a r l y i nc h a p t e r5 ，w ei n v e s t i g a t eu n i f o r m l ys t a r l i k ea n du n i f o r m l y c o n v e xm a p p i n g so nt h eu n i tb a l li nc “，g i v eac r i t e r i o nf o rt h el a t t e r ，a n do b t a i ns o m e r e s u l t sw h i c ha r es i m i l a rt oh a r n a c ki n e q u a l i t i e s h e n c et h ec o n t e n t so ft h e s et w om a p p i n g sa r er i c h e n e dal i t t l e i nt h el a s tc h a p t e r ，t h ec o v e r i n gt h e o r e m st o r n o ir e a l i z e d h o l o m o r p h i cm a p p i n g so nb o u n d e ds t a r l i k ec i r c u l a rd o m a i n sa r ea l s oo b t a i n e d h e r e w eh a v ea b a n d o n e dt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so ft h e s em a p p i n g s ，a n dt i l ed o m m u sw h i c h w ed i s c u s s e da r em o r eg e n e r a l t i l ei n a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r eb a s e do nt h ep r i m a r yr e s u l t s ，t h e yn o to n l y e x t e n db u ta l s ou n i t et h e m s ow ec a nh a v ead e e pr e a l i z a t i o na b o u tt i l er e l a t i o n so f t h e s ei n a p p i u g s 致谓 首先，我衷心感谢我的导师刘太顺教授三年来对我的辛勤培育和无微不至的 关怀刘老师渊博的知识，严谨的治学态度，深邃的洞察力和诲人不倦的精神都 深深地影响了我，使我从中受益匪浅，也为我以后从事科研工作打下了良好的基 础本文的工作中倾注了他的心血 也要感谢龚升教授，他的一些专著和文献给我们提供了丰富的学习资源，他 勤奋的科研态度和对学生谆谆教导的精神为我们树立了学习的榜样 史济怀教授在讨论班上提出的一些独到的见解，使我们拓宽了思路并且开阔 了视野；任广斌教授在本文的完成过程中提出了很多中肯的意见和建议；平时在 与师兄徐辉明和师弟刘小松的讨论过程中使我获益颇多；科大多复变课题组的其 他成员也提供了许多帮助，在此向他们一并致谢 在科大学习的几年时间里，河南大学数学系的董道珍教授，卢克平教授和刘 浩教授也给了我很大的关心和帮助，我在这里表达对他们诚挚的谢意 最后，我还要感谢我的父母和家人，他们在我多年的求学生涯中给了我莫大 的支持和鼓励，我的每一份成绩里面都融入了他们的汗水和嘱托 第一章内容概要 1 1 引言 复变函数理论的基础是1 9 世纪由三位杰出的数学家c a u c h y ，w e i e r s t r a s s 和 r i e m a n n 奠定的，到现在已有一百多年的历史，它是一门相当成熟的学科，在数 学和自然科学的多个领域中都有重要的应用，单复变数的几何函数论作为它的一 个分支，在复变函数理论的发展过程中起着举足轻重的作用二十世纪上半叶， 有许多数学家都致力于这方面的研究工作，并且取得了许多优美的结果目前已 有大量著作叙述这方面的工作，例如 d u r l g o l l p o n 1 等 一个十分自然的想法就是如何将单复变数几何函数论中的丰硕成果推广到 多复变数空间历史上最早考虑这件事情的数学家也许是 c a r t a n1 9 3 3 年，他 在为p ，m o n t e l 的著作( l e c o n ss u rl e sf o n c t i o n su n i v a l e n t so um u t i v a l e n t s ) 所写的跋 ( s u ri ap o s s i b i l i t ed e n t e n d r ea u x f o n e t i o n sd ep l u s l e u r sv a r i a b l e sc o m p l e x e sl at h e o r i e d e sf o n c t i o n su n i v a l e n t s ) 中指出 c a r l ：即使像“单位圆盘上全纯单叶函数的展开 式的系数的模是有界的”这样的基本结果，在多复变数空间也是不成立的但是， 在多复变数全纯映射的展开式中，同一阶的系数不再是一个，而是有很多个有 没有这种可能：对一个系数来讲，其模不再有界，而对一些系数加以适当的组合 之后，其模却可望有界针对这一问题，c h f i t z g e r m d 举了反例给出否定的答 案 f i t l 这也就是说，不论将这些系数进行何种组合，它的模均可无界另外， h c a r t a n 还指出，单复变中相应的增长定理和掩盖定理等，当映射是双全纯时， 在多复变数空间上也是不成立的 ， ch f i t z g e r a l d 的反例十分信服地告诉我们，如果将单复变数几何函数论中 的一些结果推广到多复变数空间中去，雨又指望得到一些正面结果的话，光有双 全纯映射的条件是不够的，必须加上其它的一些限制很自然地想到的是加上几 何上的限制：如凸映射和星形映射等 事实上，当映射加上这些几何性质之后，就碍到了一系列十分有趣的结果 1 9 8 8 年龚升教授和c l f i t z g e r a l d 教授等首先在多复变数几何函数论的研 究上取得突破性进展以来，一批国内外学者，例如t j s u f f r i d g e ，王世坤，余其 l 2 中国科学技术大学博士学位论文 煌，郑学安，刘太顺，i g r a h a m 和g k o h r 等，在龚升教授的带领下，对多复 变数的几何函数论进行了系统深入的后续研究，得到一些重要的成果这些基 本问题的解决，为几何函数论的发展开辟出了一条新的路径中外学者在这个 领域的研究工作，使得这个方向日益活跃起来，成果也更加趋于完善随着多 复变数几何函数论这十几年的逐步发展，龚升教授连续多次将一些主要成果整 理成专著出版，这些著作现在已经成为这个领域的基本文献详细内容可参见 g o n 9 1 【g o n 9 2 g o n 9 3 g o n g4 g o l l g y u - z h e n 9 1 等 在单复变数的几何函数论中，在研究星形函数和凸函数的同时，许多数学家 又引入了它们的一些子类，如a 次的殆星函数【m i l m o c 2 ，a 次的星形函数【r o b l ， o 角星形函数 b r a k i r l ，卢型螺形函数 s p a l ，一致星形函数 g 0 0 1 ，一致凸函数 f g 0 0 2 1 等关于这些子类也有许多优美的结果那么，这些相应的结果能否推广 到多复变数空间? 在二十世纪九十年代，已有一些数学家对此问题做了研究，并 得到部分很好的结果本文也是着眼于此，分别对。次的殆星映射，a 次的星 形映射，a 次的强星形映射，_ 8 型螺形映射，一致星形映射，一致凸映射及由它 们构造出来的几类新的映射等作了更进一步的探讨 星形函数和凸函数是单复变数几何函数论研究的一项重要内容，且它们有许 多很好的几何性质我们在前面也已指出，研究多复变数空间的星形映射和凸映 射具有一定的意义但是，当空间的维数n 1 时，我们知道的星形映射和凸映 射都很少，所以，如何构造高维空间的星形映射和凸映射也成为多复变数几何函 数论研究的一项重要课题1 9 9 5 年，k r o p e r 与t j s u f f r i d g e r o p s u f l 引入一 种算子，可以从复平面c 中单位圆盘d 上的一个正规化局部双全纯函数，构造 出多复变数空间c n 中单位球b n 上的个正规化局部双全纯映射，并且保持星 形性质和凸性性质我们称这个算子为r o p e r - s u f f r i d g e 算子在本文的第二章， 我们将对r o p e r s u f f r i d g e 算子作进一步的推广，在不同的空闯和区域上利用复平 面c 中单位圆盘d 上的o l 次的殆星函数和o 次的星形函数分别构造出多复变数 的a 次的殆星映射和n 次的星形映射另外，还可利用其它的方法来构造这些 映射，在第二章的第五节我们对这些结果作了一些简单的介绍 由于原来我们对星形映射子族的性质知道的甚少，所以对它们的研究一般都 是借助于定义但是有些时候仅仅农赖于定义未必能得到好的结果，那么我们就 1 2 记号与定义 3 必须更深入地了解它们的性质在第三章中，我们分别在c “中的有界星形圆形 域和复b a n a c h 范数之下的单位球上给出a 次的殆星映射的两个充分判别条件 映射的增长掩盖定理也是几何函数论研究的一项重要内容对芦型螺形映 射，“次的殆星映射，a 次的星形映射和a 次的强星形映射，c “中单位球b “ 上的增长掩盖定理已有在第四章中，我们在复b a n a c h 空间的单位球上定义了 三类新的映射：。次的殆卢型螺形映射，n 次的卢型螺形映射和a 次的强p 型 螺形映射，并且证明了它们的增长掩盖定理利用这些结果，可以分别得到卢型 螺形映射，o 次的殆星映射，n 次的星形映射和a 次的强星形映射的增长掩盖 定理，并且这些结果与b “上的相应结果有完全相同的形状 在第五章中，我们主要研究多复变数的一致星形映射和一致凸映射，给出一 致凸映射的一个判别准则，并且得到关于这两个映射的类似于h a r n a c k 不等式的 结果 以往我们研究映射的掩盖定理，都是从增长定理得到，并且还要紧密地依赖 于映射的几何性质那么，如果抛开它们的几何性质，对于更一般的映射能否得 到好的结果? 有鉴于此，在本文的最后一章，我们讨论了有界星形圆形域上正规 化全纯映射的掩盖定理 1 2 记号与定义 在本节中，我们将介绍多复变数几何函数论中的一些常用记号与定义 我们用c 表示复平面，c ”表示n 维复欧氏空间对c “中的元素z = ( z l ，z 。) 7 ，w = ( w l ，埘。) 7 ，用b “( w ，r ) = z c “：i z l 一w l l 2 + + l 一w 。1 2 r 2 ) 表示以w 为中心，以r 为半径的开球，o b “( w ，r ) = 。妒：j ：1 一w 1 ) 2 + + l z 。一w 。1 2 = r 2 ) 表示b “( ”，r ) 的边界当w = 0 ，r = 1 时，简记为b ”= b “( o ，1 ) 在单变量的情况，记d = b 1 ( o ，1 ) 对任意的z c n ，记l = 以丐用日( q ) 表示 从域( 连通开集) n 妒到c “的全纯映射的全体称映射，h ( a ) 是n 上的局 部双全纯映射，如果j a c o b i 矩阵 驰) = ( 蚴o z k 。 4 中国科学技术大学博士学位论文 在每一点z n 非奇异；称，是f 2 上的双全纯映射，如果逆映射，一1 存在，且 在f ( n ) 上全纯；称，为q 上的正规化全纯映射，若f h ( q ) 满足f ( o ) = 0 ， b ( o ) = i ，其中，表示单位矩阵；称，为q 的全纯自同构，若，是把q 映为自己 的双全纯映射，n 的全纯自同构的全体记为a u t ( n ) 2 ， 设三 ( z ) 表示，在z 点的二阶f r 6 c h e t 导数，亦可看作c n c “到c n 的有 r 艉， 界线性算子，它在n c “上的限制之 ( ：) ( ) 为一个n 阶复方阵，表示为 ，2 ( k = 砉0 2 f i i c z ，“t ) 。! 埘! 。，“= c “z ，“，c “ 对于复b a n a c h 空间x ，记b = z x ：j i x l l o ， 成立，参见 g o n 9 4 对多复变数的情形，对应于( 11 ) 的条件应该是什么呢? 在这方面最早的结果是由s u f f r i d g e s u f 2 1 给出的他讨论了如下的r e l n h a r d t 域玩： b = z c “：p = ( ) i 1 1 ) ，p 1 他证明了：若，：岛_ 为岛上的局部双全纯映射，且f ( o ) = 0 ，则f 为相对 于原点而言的星形映射，当且仅当 f ( z ) = 以( z ) t “( z ) ，。纬， 其中 m 容易验证：当p = 1 ，n = l 时，即为单位圆盘上的情形 若n cc “为域，：n _ c “为n 上的局部双全纯映射，有很多关于，成 为n 上的星形映射的判别准则，可参见【g o n 9 2 】的第六章和 g o n 9 3 】的第七章 下面引入星形映射的一个子类 定义1 2 3 设0 墨o 1 ，f 是b “上的正规化局部双全纯映射，若 r e 2 j ；- 1 ( z ) ，( z ) n 1 2 ， z b “，( 1 2 ) 则称，为b ”上的n 次的殆星映射 由此定义容易看出，若，是b “上的。次的殆星映射，则，一定是b “上的 星形映射，从而一定是单叶的 6 中国科学技术大学博士学位论文 我们给出b 8 上a 次的殆星映射的一个例子 例1 2 4 设 ，( z ) = l 1 + ( 卜2 。) 乱 钭 1 + ( 1 2 ) 料 1 + ( 1 2 。) 乱 专= 2 r + ( 一2 ) z 。 1 石= 广 其中z = ( z h ，z r t ) b “，易见，是b “上的正规化局部双全纯映射，且 r e - j ) - 沁扣r e 壹恢i 。掣篙坐刈一z b n 故，是b “上的。次的殆星映射 当n = l 时， ( 1 2 ) 成为r e 孝。，= 。：当n = 百1 时， ( 1 2 ) 成为 l 箸一- 卜z 以 在许多情形下，我们可以通过证明上面的第二个不等式来说明一个正规化双 全纯函数是星形的，有些时候证明这个式子成立也许会比证明通常的判别准则更 方便一些这类函数在单复变数的几何函数论中也有一些研究，参见 m i l - m o c 2 在本文的第二章中，我们证明了a 次的殆星性质在推广的r o p e r s u f f r i d g c 算 子作用下是不变的；在第三章中，我们分别在c “中的有界星形圆形域和复b a n a c h 范数之下的单位球上给出a 次的殆垦映射的充分判别条件；在第四章中得到n 次的殆星映射的增长掩盖定理 类似于n 次的殆星映射，星形映射的另一个子类是a 次的星形映射 定义1 2 。5 设0 o t 1 ，是b “上的正规化局部双全纯映射，若 l 赤亨丐1 ( z ) ，( z ) 一磊1l 瓦1 ， z 矿 0 ) ) ( 1 3 ) 则称，为b “上的a 次的星形映射 这个定义是由p c u r t 给出的，参见 k o h l i d 易见，若，是b t t 上的n 次的星形映射，则它一定是b ”上的星形映射；进 一步，当0 卢 a ，z 叫 、， 1 2 记号与定义 7 这恰好是单位圆盘d 上的n 次的星形函数的解析定义式 我们将在第二章中研究。次的星形性质在某些推广的r o p e r s u f f r i d g e 算子 作用之下的不变性由此，我们可以利用单复变数a 次的星形函数来得到多复变 数的。次的星形映射 在 k o h l i c l 】中，还有星形映射的另外一种子类，这也是由p c u r t 给出的 定义1 2 6 设0 os1 ，是b “上的正规化局部双全纯映射，若 a r g ( i 叮1 ( z ) m ) ) i o 时，它还是b “上的卢次的强星形映射 当”= l 时，上式可简化为 l a r g 错j z 咄 这恰好是单位圆盘d 上的a 角星形函数的解析定义式 星形映射的一种扩充是螺形映射 定义1 2 7 设，：d _ d 是正规化双全纯函数，卢e ( 一，) ，若 r e 卜篇卜z e d , 则称，为d 上的卢型螺形函数 当声= 0 时，即为d 上的星形函数 1 9 7 5 年，krg u r g a n u s 在 g u r l 】中给出多复变数卢型螺形映射的定义 定义1 2 8 设f ：b “_ 咿是正规化局部双全纯映射，若p ( 一；，j ) ，且 e x p ( 一e _ 1 p t ) f ( b “) ci ( b ”) ，t 0 ， 则称厂为b “上的卢型螺形映射 并且，对于b n 上的口型螺形映射，有下面的解析判别条件 8 中国科学技术大学博士学位论文 定理1 2 9 设f ：b “_ c “是正规化局部双全纯映射，则f 是b “上的卢型 螺形映射当且仅当 r e e 一。4 ，j i l ( z ) ，( z ) 】0 ，z b “ 从以上所定义的这几类映射可以看出，它们的解析判别条件在几何上有着 一定的关联比如说，卢型螺形映射要求单位球在映射e 1 目丌扣方，i 1 ( z ) f ( z ) 之 下的象落在右半平面；次的殆星映射要求单位球在映射丌泉影j i l ( z ) ，( z ) 之 下的象落在实部大于等于a 的右半平面；a 次的星形映射要求单位球在映射 而i 口亨j i l ( z ) ，( z ) 之下的象落在右半平面和虚轴相切的一个圆内；而a 次的强星 形映射则要求单位球在映射丌扣亨j f l ( z ) f ( z ) 之下的象位于右半平面的一个角型 区域内那么，如果我们将映射e - i 口, n 邪1 j i l ( z ) ，( 。) 的象分别限制在右半平面实 部大于等于某一常数的范围内，或一个圆内，或一个角型区域内，能够得到什么 样的结果呢? 基于这样的想法，在卢型螺形映射的基础上，结合。次的殆星映 射，“次的星形映射及。次的强星形映射的几何性质，我们定义下面几类映射 首先，由于映射e 1 4 砰i - - 。7 吁1 ( 。) ，( z ) 当z _ 0 时的值为e 1 8 ，那么如果单位 球在此映射之下的象位于实部大于等于某一个常数的右半平面，它的象域必须包 含e - i b 这一点，也就是说所取的这一个常数一定要小于r e e l 口= c o s f l ，因此这个 常数只能在 0 ，c o s 卢) 之间变化，即此区域满足r e ( c o s 卢，其中c ，o 0 ，1 ) ， 从而我们可以如下定义映射： 定义1 2 1 0 设，是b “上的正规化局部双全纯映射若8 【0 ，1 ) ，芦 ( 一，) ，且 r e e - i z g j i l ( z ) ，( z ) 】c y l l z l l 2c o s ， g b “， 则称，为b “上的“次的殆芦型螺形映射 当n = 1 时，即为 舶p 篇卜c o s 卢，z ed 在定义1 2 1 0 中取卢= 0 时，它恰好是b “上的。次的殆星映射的定义 类似地，如果单位球在映射e 1 4 扣i 叮1 ( 。) ，( z ) 之下的象位于右半平面与虚 轴相切的圆内，那么这个圆也必须包含e - i 点，而此点到虚轴的距离为c o s 卢，从 5 12 记号与定义 9 而圆的半径就一定要大于丁c o s ，故取圆盘为1 e 一( 警一is i z p ) l 百c o s f l ，其中e c d ( 0 ，1 ) 定义1 2 1 1 设，是b ”上的正规化局部双全纯映射若a ( 0 1 ) 、卢 ( 一 ，) ，且 p 赤z j f ( 硝( 沪( 百c o s f l - is i n 卢) i 百c o s f l ，z b n 0 ) ) 则称，为b “上的。次的卢型螺形映射 当n = 1 时，即为 卜器一( c o ：s 。抽仞7 百c o s f l ，z 印 在定义12 1 1 中取卢= 0 时，它恰好是b ”上的a 次的星形映射的定义 同样，如果单位球在映射e 。4 邢1 罗1 ( 。) ，( z ) 之下的象位于右半平面的角 型区域内，那么这个角型区域也一定要包含e l p 点，从而我们所取的角型区域 就是顶点在虚轴上，关于过e 。p 且与实轴平行的直线对称的角型区域，即满足 la r g k 一( 一is i n 卢) l 蓦q ，其中e c ，口( 0 ，1 定义1 2 1 2 设，是b “上的正规化局部双全纯映射若a ( 0 ，u 卢 ( 一 ，) ，且 。 卜p 9 赤础硝+ is i n f l i z 趴 o ) ， 则称，为b ”上的a 次的强卢型螺形映射 当n = l 时，即为 e 卅貉+ is i n f l z e d 在定义1 21 2 中取卢= 0 时，它恰好是b n 上的a 次的强星形映射的定义 在第四章中，我们对这几类映射作了研究，给出例子说明确实存在这样的映 射类，并且在复b a n a c h 空间中的单位球上分别得到它们的增长掩盖定理利用 这些结果，我们可以推出矽型螺形映射，o 次的殆星映射，a 次的星形映射和 a 次的强星形映射的增长掩盖定理 1 0 中国科学技术大学博士学位论文 在f g o o l 】和【o 0 0 2 】中，a w g o o d m a n 分别引入了一致星形函数和一致凸函 数的概念 定义1 2 1 3 设，：d 矗c 为正规化双全纯函数 ( 1 ) 1 如果对任意的e d 及任意圆弧7 = p d ( ( ，r ) nd ，0 r 1 + 弧线 f ( v ) 相对于，( ( ) 是星形的，即当z 沿着正方向在7 上变动时，a r g ( f ( z ) ，( e ) ) 是非减的，则称，是d 上的正规化双全纯一致星形函数； ( 2 ) 如果对任意的( d 及任意圆弧，y = 口p r ) nd 0 ， l + 弧线 ，( 1 ) 是凸的，即当z 沿着正方向在7 上变动时，a r g ( d f ( z ) ) 是非减的，则称， 是d 上的正规化双全纯一致凸函数 之后，s ，k a n a s ，g k o h r 和m ，k o h r 在 k a i l ，k o h - k o h l ! 中将这两类函数推广 到多复变数空间，给出相应的定义在本文中，我们对这两个定义作了适当的修 改，叙述如下： 定义1 2 1 4 设，：b n _ c “是正规化双全纯映射若对任意z o b “， 0 ，- l + l l z o l i ，流形f ( o b “( 。o ，r ) nb “) 相对于，( 2 0 ) 是星形的，即从，( 知) 出发 的射线与s ( 0 b “( z o ，r ) n b “) 最多只有一个交点，则称，是b “上的正规化双全纯 一致星形映射所有b “上的正规化双全纯一致星形映射的全体记为u s t ( 日“) 显然，日n 上的正规化双全纯一致星形映射一定是星形映射，因为在定义 12 1 4 中取z o = 0 时，它恰好是星形映射的定义。 定义1 2 1 5 设f ：b “_ c “是正规化双全纯映射若对任意z o b “， 0 r 1 + i i z o l l ，流形f ( o s ”( 如，r ) n b “) 相对于，( 。o ) 是凸的，即f ( o b “( z o ，) n 口“) 和，( z 。) 总是位于该流形在任意一点处的切空间的同一侧，则称，是b “上的 正规化双全纯一致凸映射所有b “上的正规化双全纯一致凸映射的全体记为 u c v ( b ”) 显然，b n 上的正规化双全纯一致凸映射一定是凸映射，因为在定义1 2 1 5 中取= o = 0 时，它恰好是b “上凸映射的定义 在第五章中，我们将对这两类映射做进一步的探讨 5 1 3 本文的主要结果 1 3 本文的主要结果 本文主要针对多复变数的几类全纯映射族进行讨论，分别在不同的空间和区 域上研究了：a 次的殆星映射，o 次的星形映射，n 次的强星形映射，卢型螺 形映射，一致星形映射和一致凸映射等，并且得到了有界星形圆形域上正规化全 纯映射的掩盖定理现将主要结果叙述如下 熟知，r o p e r s u f f r i d g e 算子具有很好的性质，利用此算子可以构造出多复变 数空间上的星形映射，凸映射等一些映射类在第二章中，我们将它作了推广， 得到新的算子，并且在单位球b “上证明了这个算子是保持。次的殆星性质的 定理2 2 3 设，为单位圆盘d 上的n ( o o 1 ) 次的殆星函数，则 砟邮“川垆( ( 掣献埘) 是b n 上的n 次的殆星映射，其中= = ( ：) b “，z l d ，z o = ( ，) 7 c 一1 ， 卢 o ，1 ，7 【o ，；】，满足卢+ 7 1 ，且，( z 1 ) 0 当z 1 d o ) ，幂函数取分支使 得( 譬) 8 l o = 1 ，( 九z 1 ) ) 7 i 。0 - 1 由此定理，可得到下面一些附加的结果 注记2 2 4 当。= 0 时，定理2 2 3 即为 g r a - h a m k o h - s u f l 中星形映射的 相应结果 注记2 2 5 当卢= 0 时，定理2 2 3 为：设，为单位圆盘d 上的d ( osd 1 ) 次的殆星函数，则 m = ( ) 是日n 上的。次的殆星映射，其中7 0 ，扛而幂函数取分支使得( ，( z 1 ) ) 1 i z 。= o = 1 注记2 2 6 当，y = 0 时，定理2 23 为：设，为单位圆盘d 上的o ( o sn 1 ) 1 2 中国科学技术大学博士学位论文 ，7 c = ，= 币n ，一t ，c z ，= 、f 一( z d ，一：。) 是b ”上的n 次的殆星映射，其中卢 0 ，1 ，且( z 1 ) 0 当z l d o ) ，幂函数 取分支使得( 掣崩：，o = 1 当定理2 23 中的- y = 0 时，还可证明此算子在b “上保持d 次的星形性质 定理2 2 7 设为单位圆盘d 上的o ( o n 1 ) 次的星形函数，则 心触哪= ( ( 抖。) 是b ”上的d 次的星形映射，其中。= ( ：) b ”，z l d ，匈= ( 珏，) c 一1 ， 卢i o 1 1 且( z 1 ) 0 当z l d o ) ，幂函数取分支使得( 掣) 。i ：，：o = 1 f z c “ 我们可以定义新的算子使得它在此区域上保持n 次的殆星性质 定理2 3 3 设，为单位圆盘d 上的o ( os 口 1 ) 次的殆星函数，则 眯) 砘m ：，禺。= ( 他1 ) ，( 掣严( ，m 胪。锄，( 掣沙( ，矿) 7 是 q = q n ，p 2 ，m = ( z c n 上的。次的殆星映射，其中珊2l ，岛1 0 1 0 ，去 ，满足岛+ 1 ，且 ( z 1 ) 0 当z l d o ) ，幂函数取分支使得( 譬) 毋l 。：o = 1 ，( ，( z 1 ) ) wf ：。：o = l ， j = 2 ，- 一n 注记2 8 4 当p 2 一= p 。= 2 ，卢2 = 岛，1 2 = 时，定理 2 33 即为上节的定理2 2 3 ；当n = 0 时，定理233 即为刘小松和刘太顺的结果 f l i u l i u l 舛 勺 。脚 卜 2 z 、， l 肼 勺 。芦 + 2 z 13 本文的主要结果 如果将区域推广到更一般的情形，此时并不知道算子是否保持。次的殆星 性质，所以我们就将算子作了一些简化，得到下面的定理 定理2 3 5 设，为单位圆盘d 上的o ( o d 1 ) 次的殆星函数，则 砟哪。，a ( ，) = ( 化1 ) 1 ( 掣严z 。，( 掣) b , - z n ) 是域 n = m = z c “ 上的。次的殆星映射，其中p j l ，j = 1 ，n ；岛 o ，1 ，且，( z 1 ) 0 当 。d o ) ，幂函数取分支使得( 掣) 毋i ：。：o = 1 ，j = 2 ，n 注记2 3 6 在定理2 3 5 中取o = 0 ，即得算子，阮，风( ，) 在域q m 上 保持星形性质 另外，定理2 3 5 中的算子在域n m m 上还保持n 次的星形性质 定理2 3 7 设，为单位圆盘d 上的o ( o a 1 ) 次的星形函数，则 驰哪。，a ( ，) = ( m 1 ) 一s ( z 1 ) 产孙，( 掣) b z n ) 7 是域 n = n m ，p 。= z n z j p j 1 ) j = l 上的a 次的星形映射，其中p j 1 ，j 一1 ，n ；岛 o ，1 ，且，( 御) 0 当 z l d 。) ，幂函数取分支使得( 掣) 岛 。：o = 1 ，j = 2 ，n 如果我们考虑复h i l b e r t 空间日的情形，也要在单位球b 上定义相应的算 子，并且可以证明它有类似于b “上的结果 定理2 4 2 设，为单位圆盘d 上的a ( oso 1 ) 次的殆星函数，则 砟h ) e ) ) e + ( 料) 4 ( ，眙，e ) ) 兀叫那) e ) 是口上的d 次的殆星映射，其中z 日，卢 0 j 1 】，7 0 ，扎且满足+ 7 1 ，幂 函数取分支使得( 华) 4 i e ：o = 1 ，( ，( ( ) ) ，b 。= 1 ，e 是h 中的一个单位向量 1 n 勺 。赳 1 4 中国科学技术大学博士学位论文 注记2 4 3 当定理2 4 2 中的。= 0 时，即得算子 脚h 他，e ) ) e 十( 料) 4 ( ，他，e ) ) 兀叫邵) e ) 在b 上保持星形性质 类似于星形映射的情形，对。次的殆星映射也可证明下面的结果 定理2 5 4 若d ( 1 jsn ) 是单位圆盘d 上的正规化a 次的殆星函数，那 么 f ( z ) = ( ( z 1 ) ， ( 钿) ) 7 ，z = ( 2 一，z 。) b “ 是b n 上的a 次的殆星映射 另外，通过其它的途径，也可以构造出多复变数的o l 次的殆星映射 定理2 5 6 若j ( 1 j ，z ) 是单位圆盘d 上的正规化。次的殆星函数 ，l 20 满足b = 1 ，那么 j = 1 一z 妻( 掣) “，引钆，引旧 是b n 上的。次的殆星映射 用同样的方法，可以证明上面的结论对a 次的星形映射也是成立的 定理2 5 8 若d ( 1s j 茎n ) 是单位圆盘d 上的正规化。次的星形函数，那 么 f ( z ) ：( ( = 1 ) ，n ( ) ) ，。= ( z l ，) b “ 是口n 上的n 次的星形映射 定理2 5 1 0 若l ( 1 j n