（基础数学专业论文）中立型泛函微分方程的周期解与概周期解.pdf

摘要 摘要 研究泛函微分方程的周期解与概周期解问题，不仅有很大的应用的价值，而 且丰富了泛函微分方程理论体系。本文对中立型泛函微分方程的周期解与概周期 解问题作了一些研究，主要如下： 一、考虑了中立型泛函微分方程： 昙( 删吲蝴硼= 础舭) + 喜g 如( f 一删) ) + 4 ( 0 ，浏，2 ，一 利用指数型二分性理论和不动点理论建立了保证其概周期解的唯一存在性的充分 条件，并且得到该唯一概周期解的全局指数稳定性。 二、考虑了带有脉冲的中立型泛函微分方程： 丢“( f ) 一否n ( f ) 一。一砌= 喜q o 一+ 妻嘞( f m o 一坳+ 乃( f ) ，掸靠，f _ l ，2 ， 【a x ( t ) = 4 z ( f ) + ( 石( f ) ) 十 ，t = 吒，k z 利用不动点理论考虑了其概周期解的唯一存在性。 三、考虑了带有任意时滞泛函微分方程： j ( f ) = 一a ( t ，x ( t + ) ) 善o ) + 厂( f ，z ( f + ) ) 利用不动点理论，研究了其概周期解的唯一存在性。 四、利用k 一集压缩的重合度理论研究了下高阶中立型泛函微分方程： 工m ( f ) + 口( f ) 工”( f f o ) ) + 4 ，( f ) x n ( f ) + 6 f ( f ) 石o ( t - r ( t ) ) = p ( f ) 得到了其周期解存在的充分条件。 关键词中立型泛函微分方程；指数型二分性；周期解；概周期解；k 一集压缩； 不动点。 摘要 a b s t r a c t i n v e s t i g a t i n gt h ep r o b l e mo fp e r i o d i cs o l u t i o na n da l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o nf o r f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sn o to n l yh a sa p p l i e dv a l u eb u ta l s oe n r i c h e st h es y s t e m o ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ep r o b l e mo fp e r i o d i c s o l u t i o na n da l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o nf o rn e u t r a lf i m c t i o u a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a s f a l l o w i n g ： 1 、i i n v e s t i g a t en e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ： 丢( 删吲观( ) ) _ 吲蛳j ( f ) + 骞啪坞( 啪1 ( f ) ) ) + 芦l 加，胛 a n de s t a b l i s ht h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ea l m o s t p e r i o d i cs o l u t i o n so fi tu s i n gt h et h e o r yo fe x p o n e n t i a ld i c h o t o m ya n dt h e o r yo ff i x e d p o i n ta n dc o n s i d e rt h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o r t h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s 2 、is t u d yi m p u l s i v en e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ： lz ( f ) = 唧a ) - o ) + ( f ) ( 一】i | ) ) + 苁( f ) ，f i 4 ，i = 1 ，2 ，一， 1l = lj = t 【a x ( f ) = 4 x ( f ) + ( 毒( f ) ) + 靠，t = r k ，k z a n do b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sf o ri tu s i n g f i x e dp o i n tt h e o r y 3 、id i s c u s sf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha r b i t r a r yd e l a y ： x ( f ) = 一a ( t ，石o + ) ) x ( ，) + ( f ，x ( ，+ ) ) b yu s i n gf i x e dp o i n tt h e o r y , ir e s e a r c ht h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ea l m o s t p e r i o d i cs o l u t i o n sf o ri l 4 、b yu s i n gt h et h e o r yo fc o i n c i d e n c ed e g r e e ，ie s t a b l i s hs u f i i c i e mc o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n so ft h eh i g h e ro r d e rn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ： “( f ) + 岱o ) 工加o r o ) ) + 窆q ( r ) ，( t ) + m - i 岛( f ) o ( ，一f ( ，) ) ：p o ) 忙o枷 摘要 k e yw o r d s ：n e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；e x p o n e n t i a ld i c h o t o m y ；p e r i o d i c s o l u t i o n s ；a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s ；k - s e tc o n t r a c t i v e ；f i x e dp o i l l t t h e o r y 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得善葶鲻函雪或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：丑嘶 签字日期卅年4 月j 多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解善箩摩妖雪有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权 商以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：里荔蚌 导师签名： j 虱予；苫 签字日期：二唧年4 月二多日 签字日期：h7 年毕月h 日 学位论文作者毕业去向： 工作单位：电话： 通讯地址： 邮编： 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 时滞是客观世界中普遍存在的现象，要准确描述时滞现象，就不可避免地考 虑时滞问题，泛函微分方程就是描述带有时滞的现象的数学模型。泛函微分方程 在生态系统、神经网络和工程等领域中得到了广泛的应用。周期现象与概周期现 象同样是客观世界普遍存在的。因此，研究泛函微分方程的周期解和概周期解是 有很大的现实意义的。很多学者在这方面做了大量的工作，见参考文献【1 1 6 】。但 是中立型泛函微分方程的中立项给中立型泛函微分方程的研究带来一定的困难， 本文主要在前人的基础上，对中立型泛函微分方程的周期解与概周期解问题做了 一些讨论，得到了一些新的结果，推广了有关文献中的结论，如：中立型泛函微 分方程的概周期解的存在性与全局指数稳定性；带有脉冲的中立型泛函微分方程 的概周期解的存在性；中立型高阶泛函微分方程的周期解的存在性等。 脉冲微分方程突出的特点是能够充分考虑到瞬时的突变现象对状态的影响， 所以脉冲微分方程能够更深刻、更精确地反映事物的变化规律，对脉冲微分系统 周期解问题引起了很多学者的兴趣，得到了一些较好的结果，但是脉冲泛函微分 方程的概周期解问题的有待进一步深入研究。因此，考虑脉冲泛函微分方程的概 周期解即有一定的理论意义，也有很大应用价值。 1 2 本文的主要工作 1 、在文献【l 】中，作者研究了如下泛函微分系统： 荆= _ 五( r ) 嘻( 倦如( r 一勺( r ) ) ) + ，f ( r ) 扣1 ，扎歼， 的概周期解的存在性和唯一性，且得到了概周期解的全局指数稳定性。但中立型 泛函微分系统的概周期解以及解的稳定性问题很少有入研究，关于中立型泛函微 分系统的概周期解的全局指数稳定性更是鲜有人关注。本文在文献【l 】的基础上， 第一章绪论 讨论了如下泛函微分系统： 昙( ( ，) 一q ( f ) 蕾( f r ) ) = q ( f ) ( f ) + o ) 毋( ( f 一勺( f ) ) ) + ( f ) ，f = 1 ，2 ，栉 “l ，一l 建立了保证该系统概周期解的存在性和唯一性的充分条件，并且得到了该系统的 概周期解的全局指数稳定性，推广了文献【l 】的结果。 2 、在文献【8 】中，作者研究了下带有脉冲的泛函微分方程： 一o ) = 嘞( f m ( f ) + 嘞( f ) 乃( _ ( f 一_ 1 1 ) ) + 以( 绩f q ，i = l ，2 ，啊 、j 。lj 2 l l a x ( f ) = 4 j ( f ) + ( 砸) ) + 以，t ；f i ，k z 建立了其存在唯一概周期解的充分条件。本文考虑了下带有脉冲的中立型泛函微 分方程 j 丢( - 0 ，使得，毪e 丑有b “) 一毋( 屯) 卜k 一恐i 。 记上= ( b a g ( 1 - 1 ，厶，厶) ，q = 4 + d c a + d b l ，易见q 为非负矩阵。 ( ) p ( e ) o ) 表示 o ( o ) ，厶，= l ，2 ，一；设p ，h 为两月阶矩阵，p h ( p h ) 表示 p - h _ o ( p - h o ) 。v ( ，) c ( ( o ，悯) ，月) ， 钞巾) “m s u p 掣，厦巾) = 1 警掣。 r 月 月 对度量空间c ( 卜f ，o j ，r ”) ，v 伊；渤，仍，婊) 7 e c ( o f 】，r ”) ，定义范数 1 1 妒1 1 = = m ，a ；x 。s ，u 。p i 妒，7 t ) l 。 定义1 1l 设f ：震 r 为连续函数，若v s o ，集合 t ( f ，占) = r 1 1 ：o + r ) 一厂( 叫 o ，存在正实数 ，= ，( 占) 0 ，对任意长度为，p ) 的区间内，一定存在r ，使得i ，o + f ) 一厂( ，) i o 和m l ，使得k ( ，) 一彳( f ) 卜m 忉一矿8 e - a tv t o , i = l ，2 ，斤，则称x ( f ) 为 全局指数稳定的。 定义1 3 ：对甩阶矩阵置= ( ) 。，若毛o ，i ，j - - 1 ，2 ，栉且f ，k 。1 o ， 则称k 为m 一矩阵。 2 2 概周期解的唯一存在性 引理2 1 ”：若爿为，阶矩阵，a _ o g p ( a ) l ，则( e 一彳) 。o 且e - a 为m 一 矩阵，其中e 为玎阶单位矩阵 定理2 1 ：若系统( 2 1 1 ) 满足条件( 日) ，( 马) ，则系统( 2 1 1 ) 存在唯一的概周期 解。 证明：设j = 妒p = ( 鲲，仍，) 7 ，仍：只寸r 为概周期函数，= l ，2 ，珂 ， v 妒z ，定义范数例| = 磷警协( ，) j ，则z 为及翮空间一 v 舻z ，作如下辅助系统： 荆= 一q ( ，) 再( ，) 一q ( ，) q ( f ) 仍( h ) + 喜( r 磅( 纺( ，一勺( ，) ) ) + 荆，川2 ，一 f 2 2 1 ) 6 第二章中立型泛函微分系统概周期解的存在性与指数稳定性 由文献【7 】中相关知识知：系统( 2 2 1 ) 存在唯一的概周期解f 【j ， 彳( ，) = l e x p ( 一f q ( 群) 幽) 一c ，( s ) q ( s ) 饵p r ) + 骞o 两。一勺( s ) ) ) + ( s ) 凼 f = 1 ，2 ，一。( 2 2 2 ) 令可( f ) = q ( f ) 仍( t - r ) + x ，c ( t ) 。v 妒z ，作映射m ：z j 工： m 妒= ( ( 中妒) 1 ，( o 矿) ：，( o 妒l ) = ( 彳，习，砰厂 若x + 为在x 中的不动点，则x ( r ) 为系统( 2 1 1 ) 的概周期解，反之亦然。事实上， 若x 为在石中的不动点，则m 扩= 工，即有 # o ) = f ( f ) = q ( f ) 可o f ) + # ( t ) ，i = l ，2 ，| ， ( 2 2 3 ) 故有丢( 彳( ，) 一q ( r ) o r ) ) = ( 彩( ，) y = 一q ( f ) 童i ( f ) 一q ( f ) 口f o ) x j ( f r ) + 窆( r k ，( 工：( f 一勺( t ) ”+ ( ，) j ( r ) ( 荆一口( ，) f ( ) ) 一q ( ，) q ( ，) 舶一r ) + 善( ，域，一勺( r ) ) ) + 砌 1 ( ，) 州+ 喜( r k ( 巧( r 一巧( ，) ) ) + ( ，) ，川，2 ，刀 , k 而x ( f ) 为系统( 2 1 1 ) 的概周期解。反之，若工( f ) 为系统( 2 1 1 ) 的概周期解， 令一( ，) = # ( f ) 一珥( f ) o r ) ，i - - 1 ，2 ，靠，则片( f ) 为下以为o ) 为未知函数的微 分系统的概周期解： 删= 一q ( r ) 乃( ，) _ q ( ，) 珥( ，) f ( ) + 喜( ，k ( ( ，一勺( ，) ) ) + 圳，纠，如，刀 笙三兰! 皇型鋈里塑坌墨堑竖旦塑壁塑墅垄笪兰! ! 翌璺星堡 类似系统( 2 2 1 ) 的分析知，一( f ) 为系统( 2 2 4 ) 的唯一概周期解且吖( ，) = # ( f ) ， 于是有。的定义知，x 为m 在x 中的不动点。由此可见，若。在x 中有唯一不动 点，则系统( 2 1 1 ) 有唯一的概周期解。 下证明存在自然数，使得中”：x 斗x 为压缩映射： v 矿，矿z ，有条件( ) 和( 2 2 2 ) 式知： l ( ( m 伊) ( f ) 一p 缈) ( r ) ) j i = 阿p ) 一矽( ，) l - b ( ，) 仍。一r ) + # ( ，) 一q ( t ) 奶( f f ) 一矽( 叫 = i q ( f ) ( 仍( f r ) 一( f r ) ) + l e x p ( 一f q ( 灿) 一q ( s ) q o ) ( 仍( s r ) 一 ( s r ) ) + 言屯( s ) ( 毋( 纺( ( 卅毋( 蚧( ( 堋) j 凼l 巧翟陬t ) 一妒( 训 + l e x p ( 一口疋一s ) ) i 虿瓦s 。u p ( r ) 一妒( r ) ) ，l + 窆j - i 瓦- s t u p e rl ( r ) 一妒( r ) ) 刖西 s 万, s 。u p 挑) 一妒( 酬+ 荨絮) 一妒( r ) ) f i + i 1 备n j 。磐) 一( 酬 卜引册肌) 删) ，i + 百1 刍n m t 凹) 删) 小，2 m ( 2 2 5 ) 其中 ( ，) 一y ( f ) l = 仍( f ) 一( f ) ，i = i ，2 ，力，表示妒( f ) 一1 f ，( f ) 的第f 个分量。 由( 2 2 5 ) 式知： ( j ( ( 巾矿) ( r ) 一( m 矿) ( ，) ) 。i ，i ( ( 中伊) p ) 一( 西矿) ( r ) ) 。j ) 1 忙荨) 吵( f ) 刊) 1 峙嘉矾溜一咖， b + 导 眢j ( 嘶) 一妒( 观卜i i 缶n _ - 普i ( 嘶) 一听) ) 朋1 第二章中立型泛函微分系统概周期解的存在性与指数稳定性 q ( 、s ，u 。p 1 ( 伊( f ) 一矿( f ) ) 。i ，一，s ，u 。p ( 缈o ) 一妒( r ) ) 。1 7 ( 2 2 6 ) e b ( 2 2 6 ) 式可得：( 等( 。妒) ( r ) 一( 巾妒) ( ，) ) 。| ，s 。u p l ( ( 。妒) ( r ) 一( 中妒) ( ，) ) 。1 ) 7 q b m f ) _ 妒( f ) ) l i ，s 。u 。p m ，) 一y ( 训丫 ( 2 2 - 7 ) 从而可知：( 磐( 。”妒) ( r ) 一( m “y ) ( ，) ) 。l ，磐l ( ( m “妒) ( r ) 一( m ”妒) ( r ) ) 。1 7 = ( 溜眦旷1 妒) ( r ) ) 一西( ( 旷1 妒) ( f ) ) ) l l ，普m ( 旷桃) ) 一。( ( 矿1 矿) ( r ) ) 埘 q ( 鬻( “妒) ( ，) 一( 垂“一v ) o ) ) 。l ，磐i ( ( m “伊) ( r ) 一( “矿) ( ，) ) 。旷 q ”( 蚋妒( ，) 一妒( 训，s 。u p 肌) 一缈( 训厂 ( 2 2 8 ) 由条件( ) 知：p ( q ) 1 ，故i i i i l 矿= 0 ，这表明存在自然数和正数， 1 使 得= ( l 。j 9 0 蓬r , js r ，i = 1 川2 一，疗， j - i 由( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) 式可得： 胁”矿) ”( ”矿) ( 训磐胁”伊) ( r ) 一( 中”妒) g ) ) 妻吩鬻l 扣( r ) 一y ( ，) ) ，l s 喜白理篙：霉 ( 妒( f ) 一缈( ，) l - r 5 p - 9 0 i = 1 ，2 , - - - , 阼， ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 由( 2 2 1 0 ) 式可知 0 0 ”矿一中”妒0 = m 吲a 。x s ，u 。pj 【 c p ) ( f ) 一( 。y ) ( f ) l l ，矿一矿o ( 2 2 1 1 ) 9 第二章中立型泛函微分系统概周期解的存在性与指数稳定性 所以m ”为x 中的压缩映射，由b a n a c h 空间中的不动点理论知：o 在石中存在唯 一的不动点，即系统( 2 1 1 ) 存在唯一概周期解。定理证毕。 2 3 概周期解的全局指数稳定性 似) k 1 r p ( q ) l k ，其中扣m 。a ；x g 定理2 2 ：若系统( 2 1 1 ) 满足( q ) ，( 只) ，则系统( 2 1 1 ) 的唯一概周期解是全 局指数稳定的。 证明： 由定理2 1 知，系统( 2 1 1 ) 存在唯一的概周期解，设为 x ( ，) = ( 耳o ) ，( ，) ，( ，) ) 7 ， 设矿( ) = ( 衍( f ) ，疚( f ) ，或( f ) ) 7 = ( i ( f ) ，蔓o ) ，( ，) ) ，- r t o 使得( 易一芒i q ) 善 ( 仃，d ，口) 7 ， 即葡毒一击降扫石+ 丢喜眺 盯名m 噼击旧+ 喜) 警婶乩2 ，m 故磐卜嘶一互1 - 型k e 。一南喜 。，姆妇”一- ， 于是j 口 o 使得： 喵蜥一警一雨e a r 刍n 1 驴。，拓k l ，( 2 3 2 ) 取 1 ，使得聪f 一 1 。 ( 2 3 3 ) 下估计( f ) i ( f 【o ，r 】) 的值：由于x ( f ) ，膏( f ) 均为系统( 2 1 1 ) 的解，故有 丢( 乃( r ) 一q ( ，) 乃( ) ) 1 ( r ) 只( f ) + 荟n ( 毋( _ ( ，一勺( ，) ) ) 一彤( 巧( ，一勺( ，) ) ) ) i = 1 ，2 ，疗 ( 2 3 4 ) 在( 2 3 4 ) 式两边从。到，( 0 f s f ) 积分并移项可得： ( f ) l = b ( f ) 咒( f r ) + 只( o ) 一q ( o ) 只( 一r ) 一f q ( s ) 只o ) c + ， f ；n ( s ) ( 毋( - ( ( 卅g 如( ( 删凼l s 虿忙一妒。8 + 怕一矿5 + 虿眵一妒+ i i + 亏f ( s ) b + 喜毛- f ，兰曼( 秽) b 翌= 苎! 兰型堡里堡坌墨堑塑旦塑坚堕查垄堡兰塑墼整塞丝 s ( 2 虿+ 1 ) 归一妒0 + 亏f 铿嚣一s u 。p ，( s ) b + 善n 瓦f 罂努，恶( 口) 陋 ( 2 k + o l l 妒叫i i + ( - + 弘”l 卜m a x s u 。p ，i 乃( 钏蚓- 1 2 ，州【o ，r 】 于是有 m a 。x ，s ，u 。p y , ( e ，) 1 毛肛一妒+ i i + k 2f m 。a ；x 。，三墨p ) l 豳 其中毛= 2 。| + 1 屯2 懋【亏十荟瓦- j ，从而由咖棚不等式可得： m a x ，曼m ( 曰i 毛卜矿ps 圳妒一妒p ，f o 】 ( 2 3 5 ) 故有 协( f ) i 毛眵一缈+ 0 e 协，r 【o ，f 】，i - - 1 ，2 ，疗。 ( 2 3 6 ) v 占 0 ，取q ( r ) = 誊( 岛+ 占) p 一4 ，f = l ，2 ，一，( 2 3 7 ) 其中毛= ( 3 | i + 1 ) 肛一矿8 p 如，故由( 2 3 2 ) ，( 2 3 7 ) 式可得： d - q ( f ) = 一c 赋( 岛+ 占) e 一“ 卜+ 警+ 专嘉瓦_ 白沁妙“ 一酬f ) + 警+ 南嘉瓦- 白胁砂“ 一嘶) + ( 毒砷) + 专芸瓦例r ) 卜l ，2 ，川2 3 8 ) 其中面( f ) = s u p 鸱o ) = q o r ) ，f = l ，2 ，厅。 ，f s ，s r 由( 2 3 3 ) ，( 2 3 6 ) ，( 2 3 7 ) 式可知：v t 0 ，f 】有： k o ) l = i ”o ) 一q ( f ) ”p f ) i 1 只( f ) i + 七i 舅o 一- f ) i ( 3 露+ 1 ) 4 妒一矿。8 e 蜘 sj p 1 ( 毛+ 占) = “) ( 2 3 9 ) 即有q ( ，) k ( ，) j ，v r 【o ，f 】，i = 1 ，2 ，厅。 1 2 ( 2 3 1 0 ) 塑三兰! 兰型望鱼丝坌墨竺塑旦塑鳖塑查垄堂皇塑墼整塞丝 下证；哆( ，) k ( ，) l ，v t r ，i = l ，2 ，玎。否则，3 i e 1 ，2 ，田，3 t o f ，使得： q ( 岛) = m 岛) l 且q ( f ) b ( f ) ，v t e o , t o 】，j = l 州2 一m ( 2 3 1 1 ) 。一(1(fo)lq(fo)=lim。supt!鱼二!l二竺垒_!：堕二删 0 一月 1 i m 翱p i 坐兰l 二睦鱼m l i m i i l f 竺鱼生二竺鱼! h - + o - - ，l -+oh = d 一( k ( 气) i ) 一边嘞( 岛) ， 即有d 一( k ( f 0 ) i ) d _ q ( f 0 ) ，i = l ，二，2 一m 由( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 式可得： i = l ，2 ，栉， d - i 弓( ，o ) i 一q ( f o ) i 弓( f 0 ) j 十巧虿只( f 0 ) + 杰瓦勺乃( f o ) j - l v f e 【吲= 卧 ( 2 ，3 1 2 ) i = 1 ，2 ，玎，( 2 3 1 3 ) ( 【】为取整函数) 则o f l r f ，类似上面分析有；取 ，= 阿 1 只( f ) i k ( r ) l + 露l 乃o f ) l q ( r ) + 七1 只( r r ) i q ( ，) + 七哆( f f ) + 七2 l y , ( 1 - 2 r ) i q ( r ) ( - 拖“+ ( 扩) 2 + + ( ) ，) ，扛，2 ，行， 故有k ( f ) j s f 万哆( ，) ，= l ，2 ， ( 2 3 1 6 ) 由( 2 3 1 6 ) 式知： b ( ，) 一种) l - 嘶) i 1 ，有： i 薯( f ) 一f ( f ) i 0 缈一妒+ e ，f o 。 故系统( 2 1 1 ) 的唯一概周期解x ( f ) 为全局指数稳定的。 定理证毕。 第三章带有脉冲的中立型泛函微分方程的概周期解 第三章带有脉冲的中立型泛函微分方程的概周期解 在文献【8 】中，作者研究了下带有脉冲的泛函微分方程； r“ jz ，( r ) = 勺( f 珥( f ) 十嘞( f ) 乃( _ ( ，一 ) ) + 以( f ) f f ，i = l ，2 ，啊 、 j - i 。i 【a x ( t ) = 4 x ( f ) + ( j ( f ) ) + 以，t = 吒，k e z 建立了其存在唯一概周期解的充分条件。本章在此基础上考虑了下带有脉冲的中 立型泛函微分方程： rj_ j 鼍( 五o ) 一( f ) t o 一 ) ) = 吩( f 磅) + a o ( t ) f l ( x j ( t - - h ) ) + y i ( t ) ，f 0 ，i = l ，2 ， 1 i - i，- li m l 卜 若( f ) = 4 j 呼) 十( j ( f ) ) + k ，t = 靠，k z 利用不动点理论，给出了其存在难一概周期解的充分条件。 3 1 预备知识 记r “为刀维欧氏空间，工= e o l ( x t ，黾，矗) 模定义为h = m p k 1 ) ：记 曰= 亿) ：q r ，靠 0 为一常数。本章考虑下带有脉冲的中立型泛函微分方程； j 丢( 五( f ) 一嘉o 心( 1 一a ) ) = 嘉( f ) ( f ) + 骞( o l ( x a t 以”+ 以( 1 ) l i - 1 ，2 ， 【a x ( t ) = 4 瓤，) + ( j ( f ) ) + ，t = r k ，k e z ( 3 1 1 ) 这里位) t 震，嘞( # ) ，b y ( t ) ，( f ) c 俾，动，f a u ) c ( r ，固，i ，= 1 ，2 疗； ( 6 ) n ( f ) e c ( r ，尺) ，i = l ，2 ，珂；l ( 功c ( g r “) ； ) e 曰，j i z ； ( c ) 4 r “，以r “，a x ( t ) = x ( t + o ) - x ( t - o ) 。 第三章带有脉冲的中立型泛函微分方程的概周期解 记t o r ，? c ( t o ) 表示所有矿：【，o - h ，f o 卜争q 的集合，其中矿有第一类间断点 q ，岛，见( f o - h ，t o ) ，且在间断点处为左连续的。 若唬e e c ( t o ) ，_ i e x ( o = z ( f ，t o ，磊) ，i e q 为方程( 3 1 1 ) 满足下初始条件下的解： 工( f ，岛，唬) 2 受，t o - 。h ，$ 、f o ( 3 1 2 ) 【x ( t o + o , t o ，办) = 磊( r o ) 、 初值问题( 3 1 i x 3 1 2 ) 的解x ( ，) = x ( f ，t o ，唬) ，x q 有以下特征； ( a ) 当f o 一而s ，s 岛时，解x ( f ) = x ( t ，t o ，九) ，x q 满足初始条件( 3 1 2 ) 。 ( b ) 当t f o 时，满足初始条件( 3 1 2 ) 的解善( ，) = z ( ，t o ，唬) ，x e q 为一分段连续函 数，且有第一类间断点，= 气，后z ，在间断点处左连续，即满足下式： x ( q o ) = x ( r ) ；x ( 靠+ o ) = x ( r d + a x ( r d = x ( o ) + 4 x ( f ) + ( x ( f ) ) + 靠。 ) 若存在某个正数，使得q o ，对任意长度为，p ) 的区间内，一定存在f ，使得i ( f + f ) 一f ( o j 0 ，该集合中任意序列都有公共的相对稠密的占移位数集。 定义3 3 有第一类间断点靠的分段连续函数妒：r 寸r “称为概周期的，若其满足： ( 序列集合 ) ，= t + ，一，k ，z ，纯) b 为一致概周期的； ( 6 ) 对v 占 0 存在实数艿 0 使得：对炉( f ) 的同一连续区间上的任意的两点， 和，当i ，- r l 0 使 得：警矗= 0 0 。 若以( ，s ) 为方程x ( f ) = 彳( ，) x ( f ) ，o i ，瓴 b c a n c l 秒阵，则7 y 麓( 3 1 3 ) 的 c a n c h y 阵为下形式： 第三章带有脉冲的中立型泛函微分方程的概周期解 f 以( f j ) ，吒一l j ，i ； w ( t ，3 ) = u k “( f ，q + o ) ( e + 4 ) 以( ，曲，一i 占q t + l ； i 以+ l 矗，q + o ) ( 互+ 4 ) ( q ，q + o ) ( e + 4 ) q ( f ，咄f j i s f t 占，卜一q j 占，k e z 时，矩阵爿( ，) 存在相 对稠密集t 和正数r ，使得对v f t 时，有 l 彤o + 矗s + 力一协印l r ，；。 介绍以下条件： 日4 函数乃) 为b 。h r 概周期的；o 溜 ) l o 使得：对晰，v 置时：m 警防( 一乃( v ) l 厶k v | ，j = z ，2 ，雄a 也函数嘞o ) 为b 0 h r 概周期的；o 翟k ( f ) l 。毛 o 使得；m a x m ( f ) i ， c o ： h 7 函数( f ) 为b 。h r 概周期的；r o 磐b ( ，) l - 瓦 ，f ，= 1 ，2 ，撑。 甄函数嘞( f ) 为b o l l r 概周期的；且o 0 ，存在岛，0 毛 s 、相对稠密集r 和 第三章带有脉冲的中立型泛函微分方程的概周期解 买簌集q ，便得r 列式于成互： ( 口) l 么o + f ) 一4 0 ) l s ，f 胄，f r ； ( 6 ) i a o ( t + r ) 一a o ( t ) i ，i z ，i ，j = l ，2 ，”； ( f ) j ( f + f ) 一正( f ) i f ，| i z ，j = l ，2 ，斤； ( j ) i 毛( f + f ) 一b o ( t ) i c ，后z ，i ，j = l ，2 ，疗l 1 4 + ，一4 l 占，碍珐而z ： ) j y j ( t + r ) 一y j ( t ) i 占，j j z ，= 1 ，2 ，一； ( g ) i 扎。一以i - s ，t , s 矗； s 实数，一m a x 协+ 霹酗扣+ 竽窆j - i 毛+ 剖“ 第三章带有脉冲的中立型泛函微分方程的概周期解 则方程( 3 1 1 ) 存在唯一概周期解。 证明：定义d c p c ( r ，置”) ，q ，( t ) c d = 妒) l i i 妒 露 。其中u d 2 翟i 雄) i ， 露= k c o ( 去+ l _ l e - 。1 。 定义： = l 矿，s ) ，o ) d s + e w ( t ，。) “， r k l 其中r ( o = c o l ( r , ( t ) ，r 2 ( t ) ，扎 f ”。 则有：慨4 s 磐 m a xl 畹园眇酬西+ 驴批1 ) s 眢 m l 。“。i 力c 酬函+ 丕缸4 。吲i 靠l k c o ( 妻+ j 1 - e 一- 。1 = 露 ( 3 2 1 ) 定义。：。亡。，矿= 妒。堋妒一o s 爿。则v 妒。，由( 3 2 1 ) 式得： 8 妒i l i i 妒一o + o 8 f r k 了+ 霞= 吉。 在d 中定义算子：v e e d 跏= 喜( f 概( ，一+w ( t ，d 【( 蔷n 嘞( s ) ) ( 萎n ( 咖。o 一功 + 嘞( j ) 乃( 纺。一而) ) + 巧( s ) 】西+ w ( t ，靠) 【( 烈q ) ) + 以】 下证明s 为从d 。到d 的自映射：v 矿d ，有： 胁一0 = 2 1 笙三皇堂查壁堑盟! 皇型鋈里丝坌查塑盟塑旦塑坚 8 砉6 ，( f ) 纺( f 一矗) + e w ( t , j ) 【( n 嘞o ) ) ( n o ) 纺。一厅) ) + 窆嘞( s ) 乃( 纺。一_ i ，) ) 】凼 ，- ij c lc 1= 1 + 乏形c 屯。，t 厶c 妒c 矗， i i h ， s 峄謦+ 等c 喜础驴n + 华窆j - i 嘞+ 昌卜i i = ，悱鲁 记f lq q ，其中z 和q 为引理3 2 中定义的，则： i i 却o