（应用数学专业论文）cagd中等距线及测地线相关问题的研究.pdf

摘要 等距线和测地线是计算机辅助几何设计中具有重要研究价值的两类基本曲 线其中，等距线的近似有理表示、逼近误差估计、低次曲线逼近，以及过测地 线的有理曲面、可展曲面设计和调控由于直接关系到几何设计系统、工程技术 应用、工业生产加工的功能、质量、精度及效率等而成为当前的研究热点然而 它们迄今未有令人满意的解决方案本文围绕这些问题展开深入研究，建立起一 系列方便高效的几何算法，取得了以下丰富的创新性理论成果： ( 1 ) 提出一种能够精确等距圆弧的高精度、高连续阶的等距逼近新算法基 于对现有各种等距逼近算法局限性的深入剖析，提炼出按算法几何意义、逼近 误差精度、逼近曲线形式、等距常用曲线等原则来评价等距逼近方法优劣的一 个基本准则；并以此为目标，借助基圆重新参数化的等距逼近思想，采用独特的 参数化函数，创造出一种全新的等距逼近算法：无需预先识别就能精确等距圆 弧这类常用曲线，在高精度要求下比现有等距逼近算法产生更少的分段数和控 制项点数，且将逼近连续阶由一般情况的g 1 提高到c 1 ；从而一举克服了现有算 法中不能精确等距圆弧、高度依赖于点采样、全局误差难以有效控制等种种弊 病，特别适合应用于几何设计系统中，在压缩数据存储量、提高计算效率、改善 曲线整体光滑性效果方面有特别重要的现实意义 ( 2 ) 对基于基圆重新参数化的等距逼近算法进行了透彻的误差估计着眼于 误差产生来源，发现并阐述了基圆重新参数化等距逼近算法与基圆逼近算法之 问的对偶性；揭示出前者的误差来源于近似等距方向与基曲线法向之间的偏角， 并指出近似等距曲线与基曲线上对应点之间的距离向量其模长恒为已知等距距 离但其方向却偏离基曲线法向，只有彻底研究偏角的几何内涵及代数形式才能 精确估计等距逼近误差；基于这种发现，摒弃了常用的对应参数点误差估计方 式，巧用几何信息，提出并成功地实现了用h a u s d o 研距离来计算近似等距曲线 与精确等距曲线上对应点之间误差的新方法；从而在极大程度上完善了基圆重 新参数化这一等距逼近算法的理论研究，并为该算法和其他各类算法的比较提 供了理论依据 ( 3 ) 提出了一种快速实现易于造型、兼容于不同几何设计系统的低次等距 逼近的新算法通过改进传统的向量值p a d 6 逼近方法，结合曲线细分、中点展 i ic a g d 中等距线及测地线相关问题的研究 开等技术，构造出可以达到预设精度的任意次的有理等距逼近，从而消除了现有 的低次等足巨逼近算法中大多采用点采样技术，缺乏稳定性且误差估计不便等局 限性；利用线性方程组求解，使得算法敏捷，误差估计方便，为低次等距几何逼 近提供了一个崭新工具 ( 4 ) 给出了过给定测地线且兼具某些几何特征的一类参数曲面的设计和调 控技术，解决了以往曲面造型中仅有一般设计原理，无法具体进行曲面表示和调 整的问题，为服装鞋帽类的变型设计自动化开辟了一个新途径与此同时，鉴于 计算机辅助设计和制造系统对曲面表示和数据交换的需要，实现了过给定测地 线的有理曲面设计，给出了常用的三次有理曲面的设计算法，充分考虑到设计中 调整曲面形状的需要，采用变分优化技术，便于对曲面直接操作，直观便捷，且 兼顾到曲面造型和光顺的需要 ( 5 ) 提出了全新的可展曲面设计思路基于将曲面看作动曲线上的点沿局 部坐标架在空间中运动所得轨迹的观点，得到了过给定曲线的一张可展曲面的 充分必要条件受鞋衣制造业的启发，特别考虑了给定曲线为所求曲面上一条测 地线的情况根据可展曲面的类型，把给定曲线作相应分类，使得算法在工程中 的应用与实现能够十分方便而有效此外，给出了可展曲面的多项式表示，使得 算法效率进一步提高 ( 6 ) 讨论了广泛应用于工程、能精确表示双曲线、悬链线等超越曲线的 h b 6 z i e r 曲线的奇异点情况利用活动控制顶点技术，刻划曲线奇异点与活动控 制顶点分布的对应情况，并就判别曲线的类型比较了三次h b 6 z i e r 曲线、b 6 z i e r 曲线、有理b 6 z i e r 曲线及c b 6 z i e r 曲线，并指出了这种曲线刻划方法的重要应 用 关键词：计算机辅助几何设计，b 6 z i e r 曲线b 样条曲线，有理曲线，等距曲线， 基圆包络，误差分析，p a d 6 逼近，测地线，f r e n e t 坐标架，b 6 z i e r 曲面b 样条曲 面，变分曲面，可展曲面，奇异点，h b 6 z i e r 曲线，活动控制顶点 a b s t r a c t o f f s e t sa n dg e o d e s i c sa x et w of u n d a m e n t a lc u r v e sw i t hg r e a ti m p o r t a n c ei n r e s e a r c h e so fc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ( c a g d ) t h eo f f s e ta p p r o x i m a - t i o ni nt e r m so fr a t i o n a lr e p r e s e n t a t i o n ，e r r o re s t i m a t i o n ，a n dl o w - o r d e ra p p r o x i - m a t i o n ，a sw e l la st h es u r f a c ed e s i g na n dm o d i f i c a t i o np a s s i n gt h r o u g ht h eg i v e n g e o d e s i c ，h a sb e c o m eo n eo ft h eh o t s p o t so fi n v e s t i g a t i o n ，d u et ot h ed i r e c tr e - l a t i o n s h i pw i t ht h ef u n c t i o n ，q u a l i t y , p r e c i s i o na n de f f i c i e n c yo fg e o m e t r i cd e s i g n s y s t e m s ，e n g i n e e r i n gt e c h n i q u e s ，a n dp r o c e s s i n gi n d u s t r i e s h o w e v e r ，u pt on o w t h e r ea x es t i l ln os a t i s f y i n gs o l u t i o n st ot h ei s s u e s c e n t e r i n go nt h o s ea r e a s ，t h i s t h e s i sc a r r i e so u ta ni n - d e p t hs t u d y , a n dp r o v i d e sas e r i e so fc o n v e n i e n ta n de f - f i c i e n tg e o m e t r i ca l g o r i t h m s t h ea b u n d a n ta n di n n o v a t i v er e s u l t sa r ep r e s e n t e d a sf o l l o w s ： ( 1 ) p r o p o s eah i g hp r e c i s i o na n dh i g h o r d e rc o n t i n u i t yo f f s e ta p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h my i e l d i n gp r e c i s ec i r c u l a ro f f s e t t i n g b a s e do nt h et h o r o u g ha n a l y s i so f a l le x i s t i n go f f s e ta p p r o x i m a t i o nm e t h o d s ，w ea b s t r a c ts e v e r a lp r i n c i p l e sf o ra l - g o r i t h me v a l u a t i o n ，i n c l u d i n gg e o m e t r i ci n t e r p r e t a t i o n ，a p p r o x i m a t i o np r e c i s i o n ， a p p r o x i m a t ec u r v er e p r e s e n t a t i o na n dt h ea p p r o x i m a t i o n e f f e c tf o rc u r v e si nc o i n - m o nu s e a c c o r d i n gt ot h e s ep r i n c i p l e sa n db a s e do nt h ec i r c l er e p a r a m e t r i z a t i o n t h e o r y , w ea p p l yau n i q u ep a r a m e t r i z a t i o nf u n c t i o n ，a n dd e d u c ea ni n n o v a t i v e a l g o r i t h mf o rp l a n a ro f f s e ta p p r o x i m a t i o n t h ea l g o r i t h mh a st h ea d v a n t a g e s o fi m p l e m e n t i n gp r e c i s eo f f s e t t i n gf o rc i r c u l a r sw i t h o u tc u r v ei d e n t i f i c a t i o ni n a d v a n c e ，g e n e r a t i n gam u c hs m a l l e rn u m b e ro fc u r v es e g m e n t a t i o n sa n dc o n - t r o lp o i n t si nt h ed e m a n do fh i l g hp r e c i s i o na p p r o x i m a t i o n ，a n di m p r o v i n gt h e c o n t i n u i t yo ft h er e s u l t a n tc u r v ef r o mg 1t oc 1 s oi ts u c c e s s f u l l yo v e r c o m e s d i f f e r e n tk i n d so fi n t r i n s i cd i s a d v a n t a g e so fe x i s t i n gm e t h o d s ，w h i c hc a n n o to f f - s e tc i r c u l a r sp r e c i s e l y , o rh i g h l yd e p e n do nt h es a m p l i n gt e c h n i q u e ，o rc a n n o t a c h i e v eg l o b a le r r o rc o n t r 0 1 t h ea l g o r i t h mh a sp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ei ns a v i n g d a t as t o r a g e ，r a i s i n gc o m p u t i n ge f f i c i e n c ya n di m p r o v i n gt h ew h o l es m o o t h n e s s ， 8 0i se s p e c i a l l ys u i t a b l ef o rg e o m e t r i cd e s i g ns y s t e m s ( 2 ) c a r r yo u tat h o r o u g ha n m y s i sf o re r r o re s t i m a t i o no ft h eo f f s e ta p p r o x - i m a t i o nt e c h n i q u eb a s e do nc i r c l er e p a r a m e t r i z a t i o n f o c u s i n go nt h es o u r s eo f t h ea p p r o x i m a t i o ne r r o r ，w ed i s c o v e ra n de x p l a i nt h ed u a l i t yo ft h et w oo f f s e ta p - p r o x i m a t i o nm e t h o d sb a s e do nc i r c l er e p a r a m e t r i z a t i o na n dc i r c l ea p p r o x i m a t i o n r e s p e c t i v e l y i tr e v e a l st h a tt h ea p p r o x i m a t i o ne r r o ro ft h ef i r s tm e t h o do r i g i n s f r o mt h ed e n e c t i o no ft h ea p p r o x i m a t eo f f s e td i r e c t i o na n dt h en o r m a ld i r e c t i o n o ft h eb a s ec u r v e ，b u tt h ed i s t a n c eb e t w e e nt h ec o r r e s p o n d i n g p o i n t so ft h ea p - p r o x i m a t eo f f s e ta n dt h eb a s ec u r v ei sa l w a y se q u a lt ot h eg i v e no f f s e tr a d i u s i nt h i ss e n s e ，n op r e c i s eo f f s e ta p p r o x i m a t i o nc a nb ea c h i e v e du n t i lt h et h o r o u g h r e s e a r c h e so ft h eg e o m e t r i cm e a n i n ga n dt h ea l g e b r a i cf o r mo ft h ed e f l e c t i o na n - - g l e w eg e tr i do ft h ee r r o re s t i m a t i o nw a yo fm e a s u r i n gt h ed i s t a n c eb e t w e e n t h ec o r r e s p o n d i n gp o i n t sw i t ht h es a m ep a r a m e t e r b ys k i l l f u l l yu s i n gt h eg e - o m e t r i ci n f o r m a t i o n ，h a u s d o r f fd i s t a n c ee s t i m a t i o ni sp r o p o s e da n ds u c c e s s f u l l y c o m p u t e db e t w e e nt h ep r e c i s eo f f s e ta n dt h ea p p r o x h n a t eo f f s e t t h ed i s c u s - s i o np e r f e c t st h et h e o r e t i c a lr e s e a r c ho nt h ec i r c l er e p a r a m e t r i z a t i o nm e t h o d ， a n dp r o v i d e st h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h ec o m p a r i s o nb e t w e e nt h em e t h o da n do t h e r a l g o r i t h m s ( 3 ) d e v e l o pan e wa l g o r i t h mf o rl o w - o r d e ro f f s e ta p p r o x i m a t i o ni nt e r m s o ff a s ti m p l e m e n t a t i o no fc u r v em o d e l i n g ，a n dg o o dc o m p a t i b i l i t yo fd i f f e r e n t g e o m e t r i cd e s i g ns y s t e m s b yi m p r o v i n gt h et r a d i t i o n a lv e c t o rp a d 6a p p r o x i m a - t i o nm e t h o da n d c o m b i n i n gt h ec u r v es u b d i v i s i o na n de x p a n s i o nt e c h n i q u ea tt h e m i d p o i n t ，t h em e t h o dy i e l d i n ga r b i t r a r yo r d e rr a t i o n a lo f f s e ta p p r o x i m a t i o na n d a c h i e v i n gt h eg i v e np r e c i s i o ni so b t a i n e d t h em e t h o da v o i d st h el i m i t so ft h e s a m p l i n gt e c h n i q u e ，w h i c hl e a d st ou n s t a b l er e s u l t sa n dc a n n o ta c h i e v eg l o b a l e r r o rc o n t r 0 1 i n s t e a di t a p p l i e st h el i n e a rs y s t e mf o rt h ef i n a ls o l u t i o n ，s ot h e c o m p u t a t i o na n d e r r o re s t i m a t i o ni sc o n v e n i e n ta n df a s ti ni m p l e m e n t a t i o n t h e m e t h o dp r o v i d e san e wg e o m e t r i ct o o lf o rl o w - o r d e ro f f s e ta p p r o x i m a t i o n ( 4 ) p r o v i d eat e c h n i q u ef o rd e s i g n i n ga n dm o d e l i n gs u r f a c e sw i t ht h eg i v e n c u r v ea sag e o d e s i c t h ep r e v i o u sr e s e a r c ho n l yp r o p o s e dac o m m o np r i n c i p l e w i t h o u tt h ec o n s i d e r a t i o no ft h es u r f a c er e p r e s e n t a t i o na n dm o d i f i c a t i o nr e q u i r e - m e n t si ng e o m e t r i cd e s i g ns y s t e m s o u rm e t h o ds o l v e st h ep r o b l e m ，d e v e l o p i n ga n e ww a yf o rd e s i g na u t o m a t i o ni ng a r m e n tm a n u f a c t u r ea n ds h o e - m a k i n gi n d u s - a b s t r a c tv t r y c o n s i d e r i n gt h ed e m a n do fd a t ar e p r e s e n t a t i o na n de x c h a n g ei nc o m p u t e r a i d e dd e s i g na n dc o m p u t e ra i d e dm a n u f a c t u r e ( c a d c a m ) s y s t e m ，w er e s e a r c h t h er a t i o n a ls u r f a c ed e s i g n ，a n dp r o v i d ea na l g o r i t h mf o rt h ec o n s t r u c t i o no ft h e c u b i cr a t i o n a ls u r f a c e v a r i a t i o no p t i m i z a t i o nt e c h n i q u ei su s e d ，w h i c hc a nb e o p e r a t e dd i r e c t l yo nt h es u r f a c ei na ni n t u i t i v ew a y , g i v i n gc o n s i d e r a t i o no fb o t h s u r f a c em o d e l i n ga n ds m o o t h i n g 。 ( 5 ) o f f e raw h o l l yb r a n - n e wi d e af o rd e v e l o p a b l es u r f a c ed e s i g n b a s e do n t h ev i e wo fr e g a r d i n gas u r f a c ea sal o c u so ft h em o v i n gp o i n to ft h eg i v e nc u r v e m o v i n ga l o n gt h el o c a lf r a m ei nt h es p a c e ，w ed e d u c et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rt h es u r f a c ep a s s i n gt h r o u g ht h eg i v e nc u r v et ob ed e v e l o p a b l e i n s p i r e db yt h ep r a c t i c ei ng a r m e n tm a n u f a c t u r ea n ds h o e - m a k i n gi n d u s t r y , w e g i v es p e c i a la t t e n t i o nt ot h es i t u a t i o nw h e nt h eg i v e nc u r v ei sag e o d e s i co n t h es u r f a c e a c c o r d i n gt ot h et y p e so fd e v e l o p a b l es u r f a c e s ，t h eg i v e nc u r v e i sc h a r a c t e r i z e di no r d e rt om a k et h ea l g o r i t h mm o r ec o n v e n i e n ta n de f f e c t i v e i ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n b e s i d e s ，r a t i o n a lr e p r e s e n t a t i o ni s p r o v i d e d ，w h i c h f u r t h e ri m p r o v e st h ec o m p u t a t i o ne f f i c i e n c y ( 6 ) d i s c u s st h es i n g u l a r i t yd i s t r i b u t i o no fh b 6 z i e rc u r v e s ，w h i c hc a np r e - c i s e l yr e p r e s e n tt h ew i d e l yu s e dc u r v e s ，h y p e r b o l aa n dc a t e n a r y u s i n gt h em o v - i n gc o n t r o lp o i n tt e c h n i q u e ，t h ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nt h ed i s t r i b u t i o no ft h e m o v i n gc o n t r o lp o i n ta n dt h ec u r v es i n g u l a r i t i e si sc h a r a c t e r i z e d c o m p a r i s o n i nt e r m so ft h et y p eo ft h ed i s c r i m i n a n tc u r v ei sp r o v i d e db e t w e e nt h ec u b i c h b 6 z i e rc u r v e ，b 6 z i e rc u r v e ，r a t i o n a lb 6 z i e rc u r v ea n dc b 6 z i e rc u r v e w ea l s o i l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h i sc u r v ec h a r a c t e r i z i n gm e t h o d 关键词：c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，b 6 z i e rc u r v e b s p l i n ec u r v e ，r a t i o - h a lc u r v e ，o f f s e tc u r v e ，c i r c l ec o n v o l u t i o n ，e r r o re s t i m a t i o n ，p a d 6a p p r o x i m a t i o n ， g e o d e s i c ，f r e n e tt r i h e d r o nf l a m e ，b 6 z i e rs u r f a c e b s p l i n es u r f a c e ，v a r i a t i o ns u r - f a c e ，d e v e l o p a b l es u r f a c e ，s i n g u l a r i t y , h b 6 z i e rc u r v e ，m o v i n gc o n t r o lp o i n t 表格 2 1 在不同误差界吲下用各种方法对同一条三次均匀b 样条曲线作 等距逼近的曲线的控制顶点总数 2 6 2 2 在4 i 同误差界下用各种方法对同一条二次b 6 z i e r 曲线作等距逼 近的曲线的控制顶点总数 2 7 2 3 细分前后利 = j l e e ，a h n 及奉章算法得到的误差界比较。 2 8 3 1 比较l r c ，t m c 和s r c 等距逼近算法的h a u s d o r f f 距离误差界，基 曲线为图3 7 巾曲线 3 9 3 2 比较l e e 等的方法和本章方法得到的等距逼近误羞界，基曲线为 图3 8 巾曲线 4 1 3 3 比较l r c ，t m c 和s r c 等趴逼近算法的h a u s d o r 础i 离误差界，基 f h 线为图3 9 中曲线 4 1 7 1四种i 次曲线的判别曲线的比较 8 8 插图 2 1 二次有理曲线表示的圆弧段 1 9 2 2 沿基曲线凸向等距 2 2 2 3 沿基曲线凹向等距 2 3 2 4 裁剪曲线红色标识的为等距曲线c ，( t ) 和法线( ) ；绿色标识 的为逼近等距l 抖1 线c ；( ) 和c ；( t ) 一c ( 0 2 4 2 5 二次圆弧曲线。2 5 2 6 对兰次均匀b 样条曲线作等距逼近：( 左) ， = j 本章算法作逼近；( 右) 朋以往各种算法作逼近2 6 2 7 对三次b 6 z i e r 曲线作等距逼近的结果比较：( 左) 用本章算法作逼 近；( 右) 用各种算法作逼近2 7 2 8 对五次b 6 z i e r l 辑1 线作等距逼近的结果比较：( 左) 岗本章算法作逼 近；( 右) 细分一次后用本章算法做逼近。 2 8 2 9 ( a ) 恐龙；( b ) 2 0 0 8 年奥运会会徽；( c ) 舞蹈者；( d ) 大象 2 9 3 1 l | c , - ( t ) 一c ，( 0 1 1 高估真实误差3 2 3 2 二次有理圆弧曲线 3 3 3 3 沿曲线凸向等距情形 3 4 3 4 情况1r l 的角，y ，6 和p ( b ) 南( a ) 添加一条辅助线得到3 5 3 5 沿曲线凹向等距情形。3 6 3 6 情况2 中的角，y ，拜口p ( b ) r e ( a ) 添加一条辅助线得到3 7 3 7 ( a ) 三次b 6 z i e r 曲线和它的等距逼近曲线；( b ) l 摩j 散曲线和等距逼近 曲线 3 9 3 8 ( a ) 三次均匀b 样条曲线和它的等距逼近曲线；( b ) 去除自交段后的 曲线和等距逼近曲线4 0 3 9 ( a ) 五次b 样条曲线和它的等距逼近曲线；( b ) 离散曲线和等距逼近 曲线4 1 c a g d 中等距线及测地线相关问题的研究 4 1网次b 6 z i e r 曲线和它的等距曲线 4 7 4 2a ) 四次向量类p a d 6 等距逼近及多项式逼近；b ) 向量类p a d 6 逼近 误差曲线。4 8 4 3a ) 保端点插值的向量类p a d 6 等距逼近及多项式逼近；b ) 逼近误 差曲线4 8 4 4a 1 在最大误差点处离散基曲线后分段进行保端点插值的向量 类p a d 6 等距逼近及多项式逼近；b ) 逼近误差雠线 4 9 4 5 a 1 在t = 1 2 处离展开作保端点插值的向量类p a d 6 等距逼近及多 项式逼近；b ) 逼近误差曲线5 0 4 6a ) 在拐点处离散基曲线后分段作四次保端点捅值的向箭类p a d 6 等 距逼近及多项式逼近；b ) 相应于图a ) 的逼近误差曲线c ) 在中点 处二次离散纂曲线后的向量类p a d 6 等距逼近及多项式逼近；d ) 相 应于图c ) 的逼近误差5 l 取k = 1 4 0 时构造出的三次b 6 z i e r 曲面 6 0 取k = 1 2 0 时构造出的三次b 6 z i e r 曲面 6 0 取k = 1 l o 时构造出的三次b 6 z i e r 曲面6 l 以给定曲线为等参测地线的优化曲面6 5 过测地线且插值两角点的优化曲而 6 6 过测地线且在边界处拟合四次b 6 z i e r 曲线的优化曲而a ) 边 界p ( r ，t ) 处拟合；b ) 边界p ( 0 ，t ) 处拟合 6 7 以腰线为测地线的服装曲面近似构造6 8 螺旋线( o = 2 ，b = 1 时) 7 6 过螺旋线构造柱面7 7 过螺旋线构造锥面7 7 过螺旋线构造切线面7 8 以平面曲线为测地线的可展曲面构造 7 9 多项式表示的广义螺旋线及以其为测地线的可展曲面 8 0 一般多项式曲线及以其为测地线的可展曲丽 8 0 l 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 插图 7 1 对应于三次h b 6 z i e r 曲线四个控制顶点的四条判别曲线以及它们 的切线面( q = 1 3 ) 8 5 7 2 关丁控制顶点如的区域划分( q = 1 3 ) ：r 1 对应于一个拐点； 冗2 对应于两个拐点；r s 对应卡重点( 自交环) ；r 4 无奇异点8 7 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本入声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他入已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝垒盘鲎或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了骧确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：素芝该氍签字日期：2 0 。8 年6 月5 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝姿基鲎有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允谗论文被查阅和借阅。本人授权堂姿盘翌 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：赵疡手包 导师签名： 引功乏 签字昆期：z q 8 年6 胄g目 签字西期：私舻舌月厂啜 第一章绪论 本章首先对计算机辅助几何设计这门学科的形成过程、研究内容等作一概 述，然后较详细地介绍与本文内容相关的国内外的研究现状、代表性工作及存 在的主要问题，扼要阐述本文的研究方法和主要成果 1 1c a g d 的起源与发展 计算机辅助几何设计，也就是c a g d ( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i c a ld e - s i g n ) ，是以计算几何为理论基础、以计算机软件为载体，进行曲线曲面的表达、 分析、编辑和保存的一种技术方法1 9 7 4 年，b a r n _ h i l l 和r i e s e n f e l d 在美国u t a h 大学召开的一次国际会议上最早提出c a g d 一词，并随之出版了与之同名的 会议论文集 1 1 1 ，被视为c a g d 发展史上的奠基性事件1 9 7 9 年，f a u x 和p r a t t 共同编写了第一本c a g d 教材一( c o m p u t a t i o n a lg e o m e t r yf o rd e s i g na n d m a n u f a c t u r e ) ) f 6 9 1 两种专业性国际杂志c a d ( 1 9 6 9 年创办) 和c a g d ( 1 9 8 4 年 创办) 的影响力的日益扩大及权威地位的确立，标志着该学科正式形成 c a g d 是随着造船、航空、机械设计和制造等现代工业的蓬勃发展以及计 算机技术的迅猛发展而发展起来的早在公元初古罗马帝国时代，造船工人就 已经开始利用木制样板来记录船体的基本几何形状意大利文艺复兴时期，造 船工程师首先应用了包括二次曲线在内的绘图技术，木制样条( s p l i n e ) 开始被广 泛应用于曲线绘制中对“样条”的最早记载可追溯到1 7 5 2 年的 4 9 】样条在 船体制造业上的应用，实际上是使用画法几何学定义自由形状的先驱1 2 6 1 直 到现在。还一直涌现着关于c a g d 技术在船舶业上的应用和发展的研究性文 章 1 2 ，1 2 0 ，1 2 9 ，1 4 9 ，1 6 1 推动c a g d 学科产生的另一项关键技术是航空制造业二十世纪初，人类 发明了飞机l i m i n g 提出将传统绘图工艺与现代计算技术想结合，采用二次曲 线把飞机( 确切地说是飞机的外壳) 设计成流线型的思想 1 0 8 他的设计方法首 次用确定的参数定义形状，从而用数字取代了蓝图，被广泛应用于美国的各大 飞机制造业c o o n s 也对这一革命性技术进行了研究 3 9 】1 9 6 3 年，美国波音公 司( b o e i n g ) 的f e r g u s o n 将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线 2c a g d 中等距线及测地线相关问题的研究 和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的f e r g u s o n 双三次曲面片7 0 ，7 1 1 1 9 6 4 年，麻省理工学院( m i t ) 的c o o n s 引进了超限捅值这个全新的数学概念，提 出用封闭曲线的四条边界定义一张曲面f 4 0 ，4 1 1 f o r r e s t 在他的博士论文中对 c o o n s 的工作进行推广，得到有理三次曲面形式f 7 4 】 上世纪五十年代出现的数控技术( n c ) 对c a g d 的发展产生了深远的影响 早期的计算机可以发送数字编码指令，来驱动机械设计与制造设备生产木制或 铁制模具，也就是现在所称的计算机辅助制造( c a m ) 一些汽车制造公司利用它 来铸造汽车的外壳，但在实际应用中却发现：由于形体的相关信息都以蓝图形式 存储，因而难以向计算机中输入描述指令为了攻克蓝图到计算机之间的信息 转换技术理论上的难题，法国雪铁龙汽车公司( c i t r o i i n ) 聘请了一位年轻的数学 家他就是刚从学校毕业的数学博士p a u ld ef a g e td ec a s t e l j a u d ec a s t e l j a u 摒弃了对现有蓝图进行信息采集的思路，而是开始着眼于开发一套全新的曲线 曲面设计系统，采用b e r n s t e i n 多项式和割角算法( d ec a s t e l j a u 算法) 来定义曲线 曲面f 4 6 1 这一工作最大的突破是提出了“控制多边形”概念曲线f h l 面不再由 其上的数据点，而由靠近这些点的控制多边形来定义曲线曲面的形状也不再由 直接改动点数据实现，而是通过移动控制多边形，来作更为直观便捷的调整其 实早在1 9 2 3 年，微分几何学中就已经提出了类似于控制多边形的概念【17 】，但这 一学说却没有应用