（应用数学专业论文）fibonacci数列的推广与应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 通过对f i b o n a c c i 数列的通项公式，f i b o n a c c i 数列在选优法上的应用以及f i b o n a c c i 数列与l u c a s 数列的关系等问题的研究。本文主要是将古典的f i b o n a c c i 数列进行各种形 式的推广。一个推广方向是把原来问题里面的兔子个数进行改变，例如：如果每一对成 兔每月生埘幼兔，幼兔经过二个月后成为成兔，即开始繁殖，试问一对幼兔羚个月后 能繁殖成多少对兔子? 另一个推广方向是把原来问题里面的开始给的兔子数改变，例 如：如果每一对成兔每月生1 对幼兔，幼兔经过2 个月后成为成兔，即开始繁殖，试问 k 对幼兔力个月后能繁殖成多少对兔子? 这个结果将是一个非常有趣的数列，并得到相 应的递推公式。 从而研究了广义的f i b o n a c c i 数列的应用，即在数值计算的三次样条插值以及用差 分方法解常微分方程边值问题时，要处理对角方程组，其系数可构成一个甩阶三对角行 列式。用数学归纳法证明了广义f i b o n a c c i 数列的相差5 ，6 ，7 的前刀项的和式，得到 f i b o n a c c i 数列、l u c a s 数列的相差5 ，6 ，7 的前n 项的和式，通过它的通项就能轻松计 算其值。用生成函数的方法的除了f i b o n a c c i 数列通项的基础上，将f i b o n a c c i 数列由 各项取自然数推广至各项取任意实数，得到广义f i b o n a c e i 数列，其中 r o = 口，r 1 = 6 ，r 州= u r 。+ v r 川( 刀= 1 , 2 ，) ，其中口，b ，u ，1 ，r 。并用生成函数的方法得出 推广后的广义f i b o n a c c i 数列的通项。这种方法可应用在求有关递推数列的通项中并得 到广义f i b o n a c c i 数列的通项。 关键词：f i b o n a c c i 数列；广义f i b o n a c c i 数列；l u c a s 数列 f i b o n a c ci 数列的推j 。与戍川 t h ep r o m o tio na n da p piic a tio no ft h efib o n a c ci s e q u e n c e a b s t r a c t f r o mt h eg e n e r a l i z e df o r m u l a ，t h ef i b o n a c c is e q u e n c ei nc h o o s e so ns u p e r i o rm e t h o d a p p l i c a t i o na sw e l la st h er e l a t i o n sw i t ht h el u c a ss e q u e n c e t h i sa r t i c l ei sm a i n l yf o c u so n t h ev a r i o u sp r o m o t i o no fc l a s s i c a lf i b o n a c c is e q u e n c e o n ep r o m o t i n gd i r e c t i o ni sc h a n g i n g t h en u m b e ro ft h er a b b i ti nt h eo r i g i n a lq u e s t i o n ，f o re x a m p l e ：i fe a c hp a i ro fa d u l tr a b b i t s p r o d u c e skp a i r sb a b yr a b b i t sm o n t h l y ，t h eb a b yr a b b i t sg r o wu pt w om o n t hl a t e ra n ds t a r tt o r e p r o d u c e ，t h eq u e s t i o ni st h a th o wm a n yp a i r so fr a b b i t sc a nb er e p r o d u c e db yap a i ro fb a b y r a b b i t sm o n t hl a t e r t h eo t h e rp r o m o t i n gd i r e c t i o ni sc h a n g i n gt h er a b b i tn u m b e rw h i c hg i v e s t h eo r i g i n a lq u e s t i o n si n s i d es t a r t ，f o re x a m p l e ：i fe a c hp a i ro fa d u l tr a b b i t sp r o d u c e s1 p a i ro f b a b yr a b b i t se v e r ym o n t h ，t h eb a b yr a b b i t sg r o wu pt oa d u l tr a b b i t st w om o n t h sl a t e ra n ds t a r t t or e p r o d u c e ，t h eq u e s t i o ni st h a th o wm a n yr a b b i t sc a nb er e p r o d u c e db ykp a i r so fb a b y r a b b i t snm o n t h sl a t e r t h i sr e s u l tw i l lb eav e r yi n t e r e s t i n gs e q u e n c ea n dt h ec o r r e s p o n d i n g r e c u r r e n c ef o r m u l ai sa l s oo b t a i n e d t h ea p p l i c a t i o no fm u l t i p l i c i t yg e n e r a l i z e df i b o n a c c is e q u e n c ei ss t u d i e d ，n a m e l yw h e n t h ec u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o no fn u m e r i c a lc a l c u l u sa n dd e a l i n go r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hd i f f e r e n c em e t h o ds o l u t i o n ，t h eo p p o s i t ea n g l ee q u m i o ns e t s h o u l db ep r o c e s s e d ，i t sc o e f f i c i e n tm a yc o n s t i t u t ens t e p st h r e eo p p o s i t ea n g l ed e t e r m i n a n t s h a dp r o v e nw i t ht h em a t h e m a t i c a li n d u c t i o nt h eg e n e r a l i z e df i b o n a c c is e q u e n c ed i f f e r s5 , 6 ，7 f i r s tn s t e p so ft h es u mf o r m ，o b t a i n st h ef i b o n a c c is e q u e n c e ，t h el u c a ss e q u e n c ed i f f e r s5 , 6 ，7 f i r s tni t e m st h es u mf o r m b a s e do nt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n sm e t h o de x c e p tt h eg e n e r a lt e r m o ff i b o n a c c is e q u e n c e ，t h ef i b o n a c c is e q u e n c ec a nb ep r o m o t e db ye a c hi t e mf r o mt h en a t u r a l n u m b e rt ot h ea r b i t r a r yr e a ln u m b e r ，t h e nt h eg e n e r a l i z e df i b o n a c c is e q u e n c ei sg o t r o = 口，r l = 6 ，r 。+ 1 = u r 。+ v r 。一l ( ，z = 1 , 2 ，) a ，b ，甜，v r s t i l l ，t h ep r o m o t e dm u l t i p l i c i t yg e n e r a l i z e df i b o n a c c is e q u e n c e sg e n e r a lt e r m i s o b t a i n e db yt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n sm e t h o d t h i sm e t h o dm a ya p p l yt o t h er e l a t e d r e c u r r e n c es e q u e n c ea n dh eg e n e r a l i z e df i b o n a c c is e q u e n c e k e y w o r d ：f i b o n a c c is e q u e n c e ；g e n e r a l i z e df i b o n a c c is e q u e n c e ；l u c a ss e q u e n c e i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 人迕理l ：人学硕十研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库迸行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：拙植 导师签名： 亚至芏 人连理l ：人学硕十学位论文 已l吉 jl 口 意大利数学家斐波那契( f i b o n a c c il ) ，出生在比萨的一个富商家庭，是那个时代 欧亚之间数学交流的重要使者。他是欧洲黑暗时期过后第一个有影响的科学家。他涉及 的数学领域非常广泛，包括算数、代数、几何学以及数学在商业中的应用。斐波那契在 1 2 0 2 年写成的计算之书中，提出了兔子问题，即：如果每一对成兔每月生一对幼 兔，幼兔经过二个月后成为成兔，即开始繁殖，试问年初的一对幼兔一年后能繁殖成多 少对兔子? ( 假定不发生死亡) ，该问题一直来都受到人们的关注。 四百多年之后，法国数学家a g i r a r d 注意到与兔子问题有关的数列的一般表达方 式，1 6 3 4 年他记= l ，u = l ，u 2 = 2 ，后来这个数列被f e a l u c a s 首先命名为f i b o n a c c i 数列。经过人们研究发现，f i b o n a c c i 数列表达式有多种，归纳起来主要有递推公式、 b i n e t 公式、组合表达式、矩阵表达式以及行列式表达式。f i b o n a c c i 数列各种表达式的发 现，蕴含了数学发现的多种方法，体现了深刻的数学思想。本文对f i b o n a c c i 数列的b i n e t 公式、组合表达式及矩阵表达式的推求进行初步探讨，力求展现这些表达式可能的发现 途径及其从中反映出的数学思想方法。特别是对于f i b o n a c c i 数列的各种推广形式进行了 研究，得到了许多新的结果。 f i b o n a c ci 数列的推j “与应刚 1古典fib o n a c ci 数列问题研究综述 1 1f ib o n a c oi 数歹0 的基石出矢口识 1 1 1 f i b o n a c c i 数列的概念 十三世纪，意大利数学家斐波那契提出了“兔子问题”：初始有雌雄兔子一对，假 定过两月便可繁殖雌雄各一的一对幼兔( 假定不发生死亡) 。问第 个月时共有多少对 兔子? 显然，兔子的数量是如下数列1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，1 3 ，2 l ，3 4 ，5 5 ，8 9 ，1 4 4 ， 假设其一般项为e ，则此数列可用如下一般递推关系式求出： f o = 1 ，f = 1 ， c = e l + c 一2 ，刀2 该数列被称为f i b o n a c c i 数列。 这个问题一提出就引起了后世源源不断地兴趣，人们对它的研究一直没有间断，如 今仍充满着现代活力，著名的国际杂志( ( f i b o n a c c iq u a r t e r l y ) ) 就是专门刊登各种与 f i b o n a c c i 数相关的数学论文。早期的研究，主要是基于序列本身的各种性质进行研究， 例如给出序列的各种表达形式，给出序列满足的各种恒等式，最重要的一个应用就是由 黄金分割与f i b o n a c c i 数的关系得到其在优选法上的应用。我们将在本章详细论述这一 部分内容。 1 1 2f i b o n a c c i 数列通项公式的计算方法 f i b o n a c c i 数列通项公式，即b i n e t 公式： e = 击l ( 学卜( 学门 国内外学者给出很多方法来计算此公式，现简略综述如下： ( 1 ) 待定系数法 设： 只+ 2 一p f + l = 鸟( c + l p f ) ，( p + q = 1 ，p q = 一l 及f o = l ，e = 1 ) 则有： p ：学胪学，或p = 学胪学 人连理i ：人学硕十学能论文 取： 取： p ：学胪学删有： e + 2 一p f , “= 哆( 只+ l 一矽) = q n + l ( 墨一p f o ) = q ”+ 2 p ：学胪学删有： 联立方程组： 可得： ( 2 ) 矩阵法 注意到 令 t= ， c + 2 一g e + i = p ( e + l g e ) = p ”1 ( 只一q f o ) = p ”2 ie + 2 一p c + l = q ”2 【c + 2 - q f + l = p ”2 只= 击烨r 咩门 = 脚3 4 ， 么= 删有： 五= a f 一i = a 2 z 一2 = = a p l i 其中石= ( 乏) = ( ：) ，下面关键是算出么”l 。 令f2 e a | - 磐一兄一l = 0 ，解得特征值为： 。 1 - i - , 5 。 1 5 以2 i 一，如2 i 一 对应的特征向量分别为： 砀= 哮问一斟= 所以a = p a p ，其中： 3 f i b o n a c ci 数列的推j “与应朋 嘞m 州州季季 ， 人= ( 舌9 砒击 誊 。 由此得到： 彳”一= 尸人? 一1 p = 一托烈百烈三二，) ：一 卜 ”+ 如”一+ o 1 51 0 丑”五一五如”+ ”1 五一五如”1 j = 一甜制1 0 ”1 以0 5i 五”一乞”j l = = - - a n - i 仁击( 二 c = 万1 ( 一) ( 3 ) 生成函数法( 母函数法) 设 f 的母函数为： 则有： 厂( x ) = f o + 曩x + 最x 2 + 一y x n = o 一矿( x ) = 一f o x e x 2 一g x 3 一x 2 f ( x ) = 一f o x 2 一f , x 3 一r x 4 一一f x 斛2 n = o 4 肿 x 。脚 一 i i 人迩理l ：人学硕十学位论文 因此， 又由r = 1 ，鼻= 1 ，c + 2 一只+ l 只= 0 ，可得f i b o n a c c i 数的生成函数为 似) = f 与 注蒯击= 艺n = o 删及南= 去c 去一去，其中_ = 丁- i + 4 - g ， 而：- 1 丁- - f g 。于是得到： 似) ：j l ( 上一上) = 脚- , 矿1 _ 工：1 万一可1 弦” = _ 一t h ” 脚工2 一_ 工2 + 1群+ 1 7 = 薹去2 - - 错” 惫岩x 五x ? “x ；“ =11 + , j 5 y “一( 半广矿 蚌冰爿”一”1 o ( 4 ) 特征方程法 c = e l + e 一2 ( 疗2 ) 可以看作二阶齐次递推方程矗+ 一，+ 一2 = 0 中 a = 一1 ，b = 一1 的一个特殊方程。因此可以利用特征方程法，特征方程 。 z 2 一x 一1 = 0 有特征根为： 1 + 矗1 一朽 五2 丁叠2 丁 它的通解为： ( 半) 一+ c 2 ( 半) ” 这里，c i ，c 2 为待定系数。而e = l ，互= 1 ，于是有： 5 ” x 、，c 一 +c 一 +c，- 、 。脚 x + x 、jr e，l + 矗 = 、， 2 x r 一l c 三，有刀一七 f ( x ：) ，则极大点f 必在( 口，而) 区间上，区间( x ：，b ) 可以舍去。 g ( x 1 ) 劫 幽1 3 当f ( x ，) f ( x ：) ，进一步 在( 口，x ：) 区间上找极值点。若继续用三等分法，将面对着这一实事，即其中x 。点的试验 没发挥其作用。为此设想在( o ，1 ) 区间的两个对称点x ，1 一x 分别做试验。 0 1 - x x 1 幽1 6 设保留( 0 ，x ) 区间，继续在( o ，x ) 区间的下面两个点x 2 ，( 1 一x ) x 处做试验，若 x 2 = ( 1 一x ) x ，则前一次l x 的点的试验，这一次可继续使用可节省一次试验。则有： x 2 + x 一1 = 0 x ：二! 尘：o 6 l8= = u 0 l 芍 f i b o n a c ci 数列的推j 与戍川 0 0 3 8 2 = ( 0 6 1 8 ) 2 0 6 1 8 1 图1 7 这就是所谓的0 6 1 8 优选法。即若在( 0 ，1 ) 区间上找单峰极大值时，可在x i = 0 6 1 8 ， 而= 1 0 6 1 8 = 0 3 8 2 点做试验。比如保留区f 自j ( 0 ，0 6 1 8 ) ，由于( 0 6 1 8 ) 2 = o 3 8 2 ，故只要在 0 6 1 8 x 0 3 8 2 点作一次试验。 优选法中可利用f i b o n a c c i 数列，和o 6 1 8 法不同之点在于它预先确定试验次数，下 面分两种情况介绍其方法： ( a ) 所有可能试验数f 好是某个c 。 0 只_ 2以一1 只 图1 8 这时两个试验点放在只一。和e 一：两个分点上，如果e 一，分点比较好，则舍去小于c 一： 的部分；如果e 一：点更好，则舍去大于e 一。的部分。在留下的部分共e 一。个分点，其中 第e 一：和c 一，第二试验点，恰好有一个是刚才留下来的试验可以利用。 可见在e 个可能试验中，最多用疗一1 次试验便可得到所求的极值点。 ( b ) 利用f i b o n a c c i 数列进行优选不同于0 6 1 8 法之点，还在于它适合于参数只能取整 数数值的情况。如若可能试验的数目比c 小，但比e 一，大时，可以虚加几个点凑成e 个点， 但新增加的点的试验不必真做，可认定比其他点都差的点来处理。 定理2 测试力次可将包含单峰极值点的区间缩d , n 原区间的1 e + 。+ s ，是任意 小的正实数，撑2 。 证明：对厅用数学归纳法。 当，7 = 2 时，将区间( 口，6 ) 平分成e 卅= 2 段。在分点( 包括端点口，b ) 分别标上o ，1 ，2 在1 点的两侧各取占，在l + e 与1 占两点上测试，无论哪一点较优，保留下来的区间长 度为l + c ，命题成立。 假设对于疗一1 ，命题成立。 对于，z ，将区间( 口，b ) 平分成e + 。段，对分点( 包括端点( 口，b ) ) 依次标上0 ，l ，c + 。 先在c 一。点与c 点测试，无论哪一点较优，保留下来的区间均为c 段。根据归纳假设， 再做疗一1 次测试( 内含前两次测试之一) 可将含极值点的区| 日j 缩小到l + e 段，即原区间 ( 口，b ) 的1 c + i + f 。 人述理人 碗十学忙论文 因 斗( 5 1 ) 2 。o6 1 8 ，当h 较大时，可将十h 继的两个测试点取在待测区间的 ，月“ o6 1 8 及1 一o6 1 8 处。由( ! 妥兰) n 2( 3 1 ) 推广，得： c = 织一l4 - a f n 一2( 3 2 ) 式中，曩，e 已知；五和为2 个常数，称满足关系式c = 碱一。+ 以一：的数列为推广的 f i b o n a c c i 数列。下面求它的一般项c 。 令p 为一个待定的常数，由上式得： e p e 一。= ( 兄一p ) c 一。一冬c 一：】( 3 3 ) p 一 若上式等号左端与右端括号内的式子具有类似的形式，则有： p 2 两, j 或p 2 一舻一= 0( 3 4 ) ( 2 4 ) 是关于p 的一元二次方程，对其判别式进行讨论。 ( 1 ) 若= 名2 + 舡 0 ，则( 2 4 ) 式有相异二实根既2 = 去( 名才+ 4 ) 将p ，代入( 2 3 ) 式得： c p c 一= ( 五一p 。) ( c 一。一p 。只一：) 类似地，有： ( 名一p 。) ( c 一。一p ，只一2 ) = ( 五一p ，) 2 ( c 一2 一仍c 一，) ( 力一p 。- 3 ( e p 。e ) = ( 五一p 1 - 2 ( 五一p e ) 将上面的疗一2 个式子相加，消去等号两端相同的相可得： 冗一p ，e 一。= ( 五一p ，- 2 ( 五一p 曩) 同理 c p ：e 一1 = ( 五- p ：) ”2 ( e p ：互) 联立( 2 5 ) 、( 2 6 ) 式，应用克莱姆法则，得到c 的表达式： ( 3 5 ) ( 3 6 ) f i b o n a c ci 数歹u 的推j “与席脚 f ：量 h 由于p l + p 2 = 兄，p l p 2 = - , u ，故： f ：篮：! 型! 墨丝丝：二旦盟璺 ”p1一p2 ( 2 ) 若= + 4 = 0 ，则( 2 4 ) 式有2 个相等的实根p = 罢 将p 代入( 2 3 ) 式得： 只一p f , 一l = p ( c 一1 一p f , 一2 ) 类似地，有： p ( c 一一p f , 2 ) = p 2 ( c 一2 一以一，) p ”。( e p f 2 ) = p 肛2 ( e p e ) 将上面的刀一2 个式子相加，消去等号两端相同的相可得： e = p f 一i + p ”。2 ( e p 曩) 类似地，有： p f 一l = p 2 f o 一2 + p ”2 ( e 一嬲) p ”2 疋= p ”1 曩+ p ”2 ( 丘一硝) 将上面的纷一1 个式子相加，消去等号两端相同的项得： 只= p ”- 1 e + ( 甩一1 ) p ”_ 2 ( 局一p e ) = p ”一2 ( 珂一1 ) 最- ( n 一2 ) p f 】 ( 3 ) 若= 刀+ 4 t 2 巧= 互= 1 其中，f i b o n a c c i 数列的通项为： 6 口 口 c 6 c 6 口 大连理一l ：人学硕十学位论文 e = 去【( 学卜( 半门 满足a 瓦+ 蛾+ ，：瓦+ 2 的数列称为广义的f i b o n a c c i 数列。 若名= 1 ，u = 1 ，则是古典的f i b o n a c c i 数列，如下： 厶= l 。i - l + 厶一2 珂 2 厶= 1 ，厶= 3 其中，l u c a s 数列的通项为： 厶：( 半) 一一( 半) 一 l u c a s 数列为广义f i b o n a c c i 数列的一种，即l u c a s 数列与古典的f i b o n a c c i 数列递 推关系式相同，只是初值不同，因此l u c a s 数列与f i b o n a c c i 数列之间有着密切的关系。 厶厶t = 芝竽+ 1 0 坨+ 。+ 2 0 + 7 坨+ ：】 ：。：。三：。= 半 3 ( 纷+ l o 波梢+ ( 以+ 1 6 ) f 2 州】 厶。三，。厶。= 掣【4 ( 胛+ 1 0 坊州+ 3 0 + 9 ) f 3 州】 刘端森、李军庄、李超在( ( f i b o n a c c i 数与l u c a s 数线性组合的一组恒等式一文中， 介绍了f i b o n a c c i 数与l u c a s 数线性组合的一组恒等式【1 7 1 。利用f i b o n a c c i 数和l u c a s 数 的生成函数以及g a g e n b a u e r 多项式生成函数的关系，得到了下列的计算公式： ( 吨+ 崛) ( 咄+ 崛) ( 咄+ 峨) = 嚣n + j 广讹m ，僦七) ( 第七1 ) = ( 一口) ”一( 2 口+ 6 ) 7 。，i l l 。“| ：。：。二“1 疗= o 七= 0- ，、- n7 o 几 其中e ，厶分别为经典f i b o n a c c i 数列和l u c a s 数列m ，以为任意非负整数，a , b 为整数。 傅拥军给出有关f i b o n a c c i 数和l u c a s 数的几个恒等式1 5 1 。利用母函数的方法，研究 了以f i b o n a c c i 数和l u c a s 数为系数的指母生成函数，揭示了f i b o n a c c i 数和l u c a s 数之 间的内在联系，得到了几个关于f i b o n a c c i 数和l u c a s 数的有趣的恒等式。 定理设口o ，口l ，a 2 ，- l 为非负整数， c ) 为f i b o n a c c i 数列，1 ，则有： 鬻 硼 f i b o n a c c i 数列的推j “与应州 定理u 设b o ，b l ，一，b 2 h 为非负整数，三。为l u c a s 数列，1 ，则有： y翌盟! ：丝垫：鱼 + 蔫，_ i ；。b o ! b l ! b 2 - l ! ，z ! 李桂贞建立了一些包含广义高阶f i b o n a c c i - - l u c a s 数的恒等式f 1 6 】 3 4 j f 3 列。以定理的形 式给出，如下： 定理1 ( 1 ) 巧( 口，6 ) 聪( 口，6 ) = 0 ( 珂 o ) ； ( 2 ) 掣( 口，6 蟛( 口，6 ) = o ( n o ) 定理2 ( 1 ) 碟。( 口，6 ) = 碍册( 口，6 嵋写”( 口，6 ) = 0 ( 2 ) 露( 口，6 ) = g ”( 口，6 ) f 叫( k - “( 口，6 ) = o 其中m 为整数。 定理3 ( 1 ) 伽) = 烈k + n 。- j 州- 1 卜拶 ( 2 ) k ，垆k ( _ 1 ) 矿 2 k - jf k _ ? ( a , b ) j = o 定理4 ( 1 ) f n + l ( i t ) ( 口，6 ) ：亟兰学t ( 口，6 ) + b ( 2 k + n ，- 1 ) f ( k ) r 6 ) 刀+ j 1 + l ( 2 ) f 2 t k ) ( 口，6 ) = a f l ? ( a ，6 ) + 6 群( 口，6 ) + f n ( k - 1 ( 口，6 ) ( 3 ) 匕+ 1 ( 。( 啪) ：坐竿群( 啪) + b ( 2 k + n - 1 ) l 禁! l ( 啪) 一圭驴( 啪) n + l门+ i 以+ l ” ( 4 ) 厶+ 2 似( 口，6 ) = 2 上嚣1 ( 口，b ) + r c k - 1 ( 口，6 ) + 口( 口，b ) + b l ! j ( 口，6 ) 定理5 任意给定两个自然数聊，z 有 e + 。( 口，6 ) = e ( 口，6 ) ，二( 口，6 ) + 6 e i ( 口，6 ) ，二一i ( 口，6 ) 肖玉兰在( ( f i b o n a c c i 数列和l u c a s 数列的卷积一文献中，通过设c 表示f i b o n a c c i 数列，e = 只一l + c 一2 ，丘= e = 1 ，e 。表示l u c a s 数列，。= 三川+ 肫，本文给出了 f - l 数列的卷积表达式e 三嘣和( 一1 ) e 厶一。2 7 1 。 f e n g z h e nz h a o 和t i a n m i n gw a n g 使用l a m b e r t 系列和其它已知的结果，研究了广义斐 人连理a ：大学硕士学位论文 波那契和卢卡斯方程的值域计算及其求得它们的近似值【7 】【8 1 【l 】。 t o n y 研究了f i b o n a c c i n 步和l u c a s n 步序列中的元，是f i b o n a c c i n 步和l u c a s n 步序 列的自然概念化，当f i b o n a c c i n 步序列是几乎没有元时，l u c a s n 步序列是有元的【2 3 1 。当 n 1 0 0 时，将第一个1 0 0 0 0 项元素发生率制成表格，并根据这些序列研究两个关于丢番 图方程的猜想。 ( 4 ) f r e j m a n 和g r y t c z u k 分别证明了方程_ ) c ，+ 少= 少，x , y , z e n e ，n 2 2 没有解【6 j 【9 】。 文伟在关于广义f i b o n a c c i 矩阵集合上的f e r m a t 方程一文中，对广义f i b o n a c c i 矩阵集合上的f e r m a t 方程进行了探讨 2 5 】。通过设彳。是m 阶广义f i b o n a c c i 矩阵 2 1 ，设 b = 兹jk z ，k o 证明了方程，+ j ，”= z ”，x ，y ，z b ，刀，z 2 没有解( 刀，x ，y ，z ) 。 ( 5 ) t i a n p i n gz h a n f ，y u a n k u im a 使用基本方法研究了广义斐波那契多项式和伯努力 方程之间的关系，并给出几个与它们相关的有趣的例子【2 2 】。 ( 6 ) 胡京爽从数学建模角度分析了斐波那契数列的形成过程【1 3 】【1 4 】。并队模型进行了 推广。分析了此数列的单调性、具体表达式、极限、与幂级数的关系【l 叭，以及斐波那契 数列的数学美特征。论述了斐波那契数列在高等数学教学中的方法论价值。 f i b o n a c c i 数列的推广与应用 结论 本文从f i b o n a c c i 数列的通项公式，f i b o n a c c i 数列在选优法上的应用以及f i b o n a c c i 数列与l u c a s 数列的关系；到广义的f i b o n a c c i 数列的应用，即在数值计算的三次样条 插值以及用差分方法解常微分方程边值问题时，要处理对角方程组，其系数可构成一个 n 阶三对角行列式。用数学归纳法证明了广义f i b o n a c c i 数列的相差5 ，6 ，7 的前门项 的和式，得到f i b o n a c c i 数列、l u c a s 数列的相差5 ，6 ，7 的前n 项的和式，通过它的通 项就能轻松计算其值。用生成函数的方法的除了f i b o n a c c i 数列通项的基础上，将 f i b o n a c c i 数列由各项取自然数推广至各项取任意实数，得到广义f i b o n a c c i 数列，其中 r o = 口，r l = 6 ，r 川= u r 。+ v r 川0 = 1 , 2 ，) ，其中口，b ，u ，r 。并用生成函数的方法得出 推广后的广义f i b o n a c c i 数列的通项。该方法可应用在求有关递推数列的通项中并得到 广义f i b o n a c c i 数列的通项。 主要工作是将古典的f i b o n a c c i 数列进行各种形式的推广。一个推广方向是把原来问 题里面的兔子个数进行改变，例如：如果每一对成兔每月生k 对幼兔，幼兔经过二个月 后成为成兔，即开始繁殖，试问一对幼兔，z 个月后能繁殖成多少对兔子? 另一个推广方 向是把原来问题里面的开始给的兔子数改变，例如：如果每一对成兔每月生1 对幼兔， 幼兔经过2 个月后成为成兔，即开始繁殖，试问k 对幼兔n 个月后能繁殖成多少对兔子? 这个结果将是一个非常有趣的数列，并得到相应的递推公式。 人迮理i ：人学硕十学位论文 参考文献 【l 】al m k v i s tg as o l u t i o nt oat a n t a l i z i n gp r o b l e m t h ef i b o n a c c iq u a r t e r l y ，19 8 6 ，2 4 ( 4 ) ：3 16 3 2 2 【2 】b e r n s t e i nl ，j a c o b i p e r r o na l g o r i t h m t h e o r ya n da p p l i c a t i o nl e c t u r en o t e si sm a t h b e r l i n ： s p r i n g e r - v e r l a g ，19 71 【3 】陈计斐波那契二角形数学通讯，19 9 4 ：3 - 6 【4 】d o vj a r d e n o nt h ep e r i o d i c i t yo ft h el a s t d i g i t so ft h ef i b o n a c c in u m b e r s t h ef i b o n a c c iq u a r t e r l y 。l9 6 3 ： 2 l - 2 2 【5 】傅拥军有关f i b o n a c c i 数和l u c a s 数的几个恒等式浙江师范人学学报( 白然科学版) ，2 0 0 6 ： 1 4 1 1 4 4 6 】f r e j m a nd o nf e r m a t se q u m i o ni nt h es e to ff i b o n a c c im a t r i c e s d i s c u s sm a t h ，19 9 3 ：61 6 4 7 】f e n g z h e nz h a o t h ev a l u e so fac l a s so fs e r i e si n v o l v i n gg e n e r a l i z e df i b o n a c c ia n dl u c a sn u m b e r s i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fm a t h e m a t i c a le d u c a t i o ni ns c i e n c e & t e c h n o l o g y 2 0 0 5 ：4 3 - 4 7 【8 】f e n g - z h e nz h a oa n dt i a n m i n gw a n g ，s o m er e s u l t so ng e n e r a l i z e df i b o n a c c ia n dl u a c sn u m b e r sa n d d e d e k i n ds u m s ，t h ef i b o n a c c iq u a r t e r l y ，2 0 0 4 ，4 2 ( 3 ) ：2 5 0 _ 2 5 5 9 】g r y t c z u ka o nf e r m a t se q u a t i o ni nt h es e to fi n t e g r a l2x2m a t r i c e sp e r i o d m a t hh u n g a r , 19 9 5 ： 7 9 8 4 【1 0 】 美】g 克莱鲍尔数学分析上海：上海科学技术出版社，1 9 8 1 】郭晓丽，职桂珍f i b o n a c c i 数列的推j 及虑用郑州轻j i ：业学院学报，2 0 0 1 ：3 - 5 【1 2 】郭晓丽f i b o n a c c i 数列的推，及应用郑州轻l ：业学院学报，2 0 0 l ：3 - 5 1 3 】胡京爽斐波那契数列建模与高等数学教学洛阿f 人学学报，2 0 0 5 ：9 4 9 8 【1 4 】 美】克莱闪古今数学思想上海：上海科学技术出版社，1 9 8 4 【1 5 】李海青两类j 义f i b o n a c c i 数列的关系青海师范人学学报( 白然科学版) 2 0 0 2 ：2 4 2 5 【1 6 】李桂贞一些包含j 义高阶f i b o n a c c i - - l u c a s 数的恒等式洛刚师范学院学报，2 0 0 5 ：1 1 1 3 【l7 】刘端森，李军庄，李超f i b o n a c c i 数与l u c a s 数线性组合的一组恒等式商洛师范专科学校学报， 2 0 0 5 ：6 8 1 8 】刘荣辉f i b o n a c c i 数列的通项公式和虑川人庆师范学院学报，2 0 0 6 ：2 - 4 1 9 】马巧云j “义f i b o n a c e i 数列的通项硝安联合人学学报，2 0 0 4 ：3 0 3 2 ； 2 0 】s h a r il y n n s u p