（基础数学专业论文）关于例外型weyl群的点hopf代数.pdf

硕上学位论文 摘要 本文找到了所有关于例外型w 色y l 群的负1 型点h o p 玳数，并且证明了任何非负l 型 点h o p 玳数的维数是无限维，我们得到以下2 个重要的结果： 令g 为例外型的w 6 y l 群则 ( i ) 对任意在w b y l 群g 上的双一n i c h o l s 代数豸( p 。，x ) ，存在鼠在g 的表的第一 列，和歹满足1 歹以u 使得孵( p 。，) ( ) 型孵( p 。i ，) ( ) 是分次p u l l - p u s hy dh o p f 代数同构； ( i i ) 磐( 伉。，) ( ) 是一1 型的当且仅当歹出现在g 表的第四列； ( i i i ) d i m ( 豸( 伉。，) ( ) ) = 。o 若歹不出现在g 表的第四列 令日为点h o p f 代数满足w 宅y l 群g = g ( 日) 为例外型的。则 ( i ) 存在r s r ( g ，r ，7 ，仳) 使得冗竺豸( g ，r ，乱) 是分次p u l l 一p u s hy dh o p f 代数同构，其中r ：= d i a g 觚( 日) 和詹是r ( 1 ) 作为代数在兄中生成的子代数；对 任意c 薪( g ) 和p 七( r ，钆) ，存在& 在g 表中的第一列且1 歹以u 使 得u ( c ) = s i 和) ( 罗= x 令a g ：= li 存在c ( g ) 使得s c ) 且对任 意i a g ，鼠，g ：= di 存在p 七( n 钍) 使得) ( 撄= ) ( ) ( i i ) 日是一1 一型的当且仅当对任意i a g 和任意歹鼠 g ) 歹出现在g 表中的 第四列 ( i i i ) 若存在i a g 和歹鼠g 使得j 不出现在g 表中的第四列，则d i m 日= 关键词：箭图，h o p f f 弋数，w e y l 群 关于例外型w 6 y l 群的点h o p f f 弋数 a b s tr a c t a u 一1 一t y p ep o i n t e dh o p fa l g e b r a sw i t hw e y lg r o u p so fe x c e p t i o n a lt y p ea r e f o u n d i ti sp r o v e dt h a te v e r yn o n 一1 一t y p ep o i n t e dh o p fa l g e b r ai si n 丘n i t ed i m e n s i o n a l w 色g e tt w oi m p o r t a n tr e s u l t sa sf o l l o w 8 ： l e tgb eaw b y lg r o u po fe x c e p t i o n a lt y p e t h e n ( i ) f b ra 1 1 yb i o n en i c h o l sa l g e b r a 笏( o s ，x ) o v e rw 色y 1g r o u pg ，t h e r ee x i s ts e i nt h ef i r s tc 0 1 u m no ft a b l eo fga n d 歹w i t h1 j 以us u c ht h a t 豸( p 。，) ( ) 竺 磐( p s t ，) ( y ) i sag r a d e dp u u p u s hy dh o p fa l g e b r ai s o m o r p h i s m ； ( i i ) 缈( p 。t ，) ( ) i so f 一1 一t y p ei fa n do n l yi f 歹a p p e a r si nf o u r t hc 0 1 u m no f t a b l eo fg ： ( i i i ) d i m ( 豸( p 刚) ( ) ) = i f 歹d o e sn o ta p p e a r si nf o u r t hc o l u m no ft a b l e o fg l e t 日b eap o i n t e dh o p fa l g e b r aw i t hw b y lg r o u pg = g ( 日) o fe x c e p t i o n a l t y p e t h e n ( i ) t h e r ee x i s t sa nr s r ( g ，r ，7 ，私) s u c ht h a tr 竺孵( g ，r ，7 ，) i s 酽a d e d p u l l p u s hy dh o p fa l g e b r ai s o m o r p h i s m ，w h e r er ：= d i a g f i l t ( 日) a n dr i st h e s u b a l g e b r ag e n e r a t e db yr f l ) a sa l g e b r a si nr ；f o ra i l yc 疋r ( g ) a n dp j c ( r ， ) ， t h e r ee x i s t ss ti nt h ef i r s tc 0 1 u m ni nt a b l e so fga n d1 歹以us u c ht h a t 钆( c ) = s ia n d ) ( 害= ) ( l e ta g ：= i t h e r ee x i s t sc j j | c ，( g ) s u c ht h a t s i c ) a n df o ra n yi a g ，鼠，g ：= dl t h e r ee x i s t sp 如( 7 ，“) s u c ht h a t x 影= x ( i i ) 日i so f 一1 一t y p ei fa n do n l yi ff o ra n yz a ga n da 1 1 y 歹鼠，g ，歹a p p e a r s i nt h ef o u r t hc 0 1 u m no ft a b l eo fg ( i i i ) i ft h e r ee x i s ti a ga n d 歹鼠，gs u c ht h a t 歹d o e sn o ta p p e a ri nt h e f o u r t hc o l u m no ft a b l eg t h e nd i m 日= k e y1 v b r d s ：q u i v e r ；h o p fa l g e b r a s ；w b y lg r o u p i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：土日期：2 0 0 譬年兰月 ， 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“、”) 作者签名： 导师签名： 王彭 弓畏者诲 日期：细学年笠月，6 日 日期：2 吩3 年 3 ：月 ，日 关于例外型w 宅y l 群的点h o p f f 弋数 1 1 引言 第1 章绪论 h o p 玳数是2 0 世纪6 0 年代以后迅速发展起来的代数学的新学科。域f 上的h o p f 代数是同时具有f 代数结构和它的对偶结构( 余代数结构) 并满足一定相容条件的 代数系统。h o p 玳数的发展有两个来源。一个来源是代数拓扑学。这方面的工作可 以追溯到h o p fh 于1 9 4 1 年关于系统在域中的连通李群的上同调群的研究；另一个 来源是表示理论，开始于h o c h s c h i l dg 和m o s t o wh 于1 9 5 7 年对李群的表示环的研 究。s w e e d l e rm e 【1 】沿着这个方向建立了非分次的h o p 玳数理论，推动了h o p 玳数 的迅速发展。h o p 玳数理论在许多数学分支，例如代数群理论，域扩张的g a l o i s 理 论【2 1 3 】和b r a u e r 群理论，李代数和李超代数【4 - 8 】等，都有重要应用。 上世纪9 0 年代，h o p f f 弋数的分类问题成为研究热门。h o p 玳数的分类不仅对 于代数学内部，而且对数学的其它许多领域都有广泛应用。数学物理中，d r i n f e l d 和j a m b o 有关h o p f f 数的工作已用于求解量子、a n g b a x t e r 方程【9 0 1 1 共形场 理论中，f r e n k e li 和z h uy 已成功地将h o p 玳数应用到共形场理论模型。拓扑学 中，拟三角h 0 p 玳数和带形h o p 玳数为纽结，链环，缠结和三维流形提供了许多不 变量【1 2 1 3 】算子代数中，h o p f 代数也可用来作为某些扩张的不变量【1 4 1 。 h o p 玳数的分类研究方兴未艾 1 5 _ 19 1 。对单项h o p f 代数( 一类余路h o p f 代数) 和 余路h o p f 代数的单点子h o p 玳数的分类近来已获得此外，a n d r u s k i e w i t s c hn 和s c h n e i d e rh j 对交换余根上的有限维点h o p 玳数分类做出了有意义的结果 2 0 一2 2 1 最近，他们对非交换余根的情形也有研究。特征为零的代数闭域上的有限维三 角h o p f 代数已由p a v e le t i n g o 拜口s h l o m og e l a k i 给出了完全确定的分类。 另外，含特征标的分歧数据系统 2 3 j 可用来分类p m 箭图h o p f l 弋数，从而研究含 特征标的分歧数据系统对分类h o p 玳数有重要意义【2 4 l 。 1 2 本文研究的问题和方法 本文致力于关于例外型w 6 y 1 群的有限维复点h o p f f 弋数日的分类。关于有限a b e l i a n 群的有限维点h o p f 代数的分类已经完成( 见f 2 5 2 9 1 ) 。论文f 3 0 3 5 】考虑了部分非a b e l i a n 的情形，例如，对称群，二面体群，交错群和m a t h i e u 单群。 本文找到了所有一1 一型的关于例外型w e y l 群的点h o p 玳数，并证明每个非一1 一 型的点h o p f f 弋数是无限维的。我们首先给出关系双一n i c h o l s 代数豸( 伉，x ) f 3 1 ，3 2 】和 箭向n i c h o l s 代数。【3 6 ，3 7 1 用软件g a p 计算例外型、v e y l 群的等价类，中心化子和特 征标表。运用f 3 6 ，3 7 中的结果和f 3 8 ，定理1 1 中的箭图h o p f 代数和n i c h o l s 代数的分类 理论，我们得到一1 一型的关于例外型w r e y l 群的点h o p 玳数。 一1 一 硕上学位论文 1 3基本概念和记号 令忌为复数域；g 为有限群；g 记群g 的不可约表示的同构类的集合；g s 记s 的 中心化子。岛，岛，风，只和g 2 的w _ e y l 群叫做例外型的w e y l 群。 箭图f 3 9 4 0 】q = ( q o ，q 1 ，s ，亡) 是个有向图【4 1 】，其中q o 和q 1 分别是顶点和箭向 的集合；s 和亡是2 个从q 。到q o 的映射对任意箭向n q 1 ，s ( o ) 和( o ) 分别叫做 其起点和终点，且。被称做从s ( n ) 到( o ) 的箭向对任意佗0 ，佗路或箭图q 中一 条长度为礼的路是一个箭向p = n 竹o n 一1 0 1 的有序序列，对所有1 i 礼一1 都 满足亡( o ) = s ( 吼+ 】) 注意到0 路正是一个顶点，而1 一路正是一个箭向。在这种情 况下，我们定义s ( p ) = s ( 0 1 ) 为p 的起点，亡( p ) = 亡( o 。) 为p 的终点对。一路z 而言，我 们有s ( 茁) = 亡( z ) = 。令q 扎为礼一路的集合令掣q 毳记所有从茁到可的伽路的集合，其 中z ，可q o 因此，可q 磊= p q ns ( p ) = z ，亡) = ) 箭图称为q 有限的，当q o 和q ，是有限集合箭图q 称为局部有限的，当可q ； 当对任意z ，可q o 是有限集合。 令g 为一个群令尼( g ) 记g 中等价类的集合对g 的共轭类基数系数的形式 和r = e f k f g lr c c 称作g 的分歧数据，即对任意c 足( g ) ，r g 是个基数特别 的，g 的共轭类的形式和r = g 芄( g ) r c c 具有非负整系数，就是g 的一个分歧数 据 对任意分歧数据r 和c 赶( g ) ，由于r c 是个基数，不失一般性，我们选择集 合昆( 7 ) 使得其基数是r c 令肠( g ) ：= c 疋( g ) ir c o = c 瓦( g ) i 七( r ) 0 _ 如果存在g 的分歧数据r 使得可饼的基数，对任意满足z - 1 可c 瓦( g ) 的z ，爹g 都等于7 c ，则q 称做由分歧数据7 决定的h o p f 箭图在这种情况 下，存在一个从七( r ) 到可q f 的双射，从而我们记q = o 龆ji 七( r ) ) ，对任 意z ，可g 满足z 一1 c 疋( g ) 对表示空间( vp ) ，d e gl p 记表示空间y 的维数。 ( g 7 ，u ) 称做关于不可约表示的分歧数据系统( 或简记为r s r ) ，若r 为g 的 一个分歧数据；乱是从j i c ( g ) 到g 的映射，满足对c j i c ( g ) 有u ( c ) c ；七( n 钆) 和龙( i ) 是集合，满足l 如( z ) i = d e g ( p 拶) 和七( r ) = _ ( i ，歹) ii 七( r ，姐) ，歹s 如( i ) ) 对任意c 肠( g ) ，i 如( 7 ，让) ；万= p 拶 - t 七( 郴) ，c 薪( g ) 兀g 芄，( g ) ( g u ( c ) ) ( 舭) 满足j d ；) g ( c ) 对任意i 七( r ，钍) ，c 群( g ) 对r s r ( g ，r ，万，牡) ，令) ( 拶记p 拶的特征标，对任意t 昆( ? ，乜) ，g 辑( c ) 若 分歧数据r = r e c 且i 尼( n 饥) i = 1 ，则我们称其为双一的。因为r 只有一个共轭 类c 且l 昆( 7 ，u ) f = 1 我们称与双一r s r ( g ，r ，7 ，让) 对的箭图h 0 p f 代数，n i c h 0 1 s 代数和y e t t e r - d r i n f e l d 模都是双一的 若西：a _ a ，是一个代数同态且( m ，q 一) 是一个左a 7 一模，则m 变为一个左a 一 模满足a 一作用，由o z = ( n ) z 对任意o a ，z m 确定，称为通过多的p u l l b a c k a 一模，记为西m 对偶的，若：c _ c 7 为余代数同态，且( m ，6 一) 是个左c 一余模， 一2 一 关于例外型w b y l 群的点h o p 玳数 则m 是个左c 7 一余模满足c 7 一余模结构，由6 卜：= ( q i d ) 6 一确定，称为通过西的p u s h o u tc 7 一余模，记为毋m 若b 为h o p f 代数且m 为b h o p f 双模，则我们称( b ，m ) 为h o p f 双模对任 意两个h o p f 双模( b ，m ) 和( b 7 ，m ，) ，若咖为从b 到b 7 的h 0 p 玳数同态，妒同时 是一个从m 到西m 7 西的男一双模同态，且从多m 砂到m 7 的j e 7 一双模同态，则( ，矽) 被称 为p u l l 一p u s hh o p f 双模同态类似的，我们称( b ，m ) 和( b ，x ) 为y d 模和y dh o p f 代数，当m 是y db 一模且x 是y e t t e 卜d r i n f e l d 范畴岩y d 中的辫子h o p 玳数注意 到每个y e t t e r - d r i n f e l d 模简称为y d 模【4 2 4 3 1 对任意两个y d 模( b ，m ) 和( b 7 ，m ，) j 若是从b 到b 7 的h o p f 代数同态，且矽 同时是从m 到西m 7 的左j e 7 一模同态和从砂m 到m 7 的左b 7 一余模同态，则( ，矽) 称为p u l l p u s hy d 模同态对任意两个y dh o p 玳数( b ，x ) 和( b 7 ，x ，) ，若是从b 到b 7 的h o p f 代数同态，砂同时是从x 到西x 7 的左b 一模同态和从x 到x 7 的左b 7 一余模同态，同 时，矽是从x 到x 7 的代数和余代数同态，则( ，矽) 称为p u l l - p u s hy dh o p f 代数同 态( 见f 4 4 ，定理4 的记号1 ) 对s g 和( p ，y ) g s ，这里是关于y e t t e r d r i n f e l d 模m ( 仇，p ) 的精确描述 ( 在 1 0 ，8 里介绍) 令t 1 = s ，t m 为0 。的编号，即包含s 的等价类，且令阢g 使得仇s ：= 仇s 订1 = 屯对所有1 i m 则m ( 仇，p ) = 0 1 1 r ( z )= r ( y z ) 5l z 1o z 2 + l 可( 一1 ) z 1 圆可( o ) 勿， ( 名)( 名) ，( 可) 可得r ( z ) 元。应 对第二个结论，由于冗作为余代数分级是严格分次的( 见 2 5 ，引理2 。3 和引理2 4 ) ， 詹由第一个结论可得是一个n i c h o l s 代数口 定义2 5 俐r s r ( g ，r ，7 ，u ) 称为一1 型，若乱( c ) 是实的且钆( c ) 的阶数是偶 数满足) ( 拶( 乱( c ) ) = 一) ( g ( 1 ) 很口) ( g ( 钍( c ) ) = 一d e g j d g ) 对任意g 秭( g ) 和任 意i 如( r ，乱) 亿) 群g 上的m c 危d f s 代数r 称为一1 一型的，若存在一1 型r s r ( g ，r ，让) 使 得兄竺豸( g ，r ，7 ，u ) 是分次p 以却札娩y d 舶彤代数同构 以钇) 假设r 是缓y d 中的分次辫子舶硝代数且作为余代数分级是严格分次 的。若由r 作为代数生成的子代数宠在r 中是一1 一型的，则r 称为一1 一型的 以砂点舶万代数日有群g = g ( 日) 称为一1 一型的，若日的滤子图是一1 一型的 命题2 6 一) 若r s r ( g ，r ，万，u ) 竺r s r ( g 7 ，r 7 ，j d 7 ，钆7 ) 和r s r ( g ，r ，万，乱) 是一1 一 型的，则r s r ( g 7 ，r 7 ，u 7 ) 也是一1 一型的 似，若r 型尉是分次p u 肛p 钍s 九y d 舶代数同构且r 是一1 一型的，则尉也 是一1 一型的，其中r 是群g 上的m c 危o f s 代数且只7 是群g 7 上的m c d f s 代数 一别点日呖代数日和点甄硝代数h 7 作为日吧厂f 弋数是同构的，日是一1 一型， 则日，也是一1 一型 一6 一 关于例外型w b y l 群的点h o p f 代数 证明( i ) 存在群同态矽：g g 7 ，一个元素b g 使得咖( 危云1 乱( c ) c ) = 乱7 ( 咖( c ) ) 对任意c 瓦( g ) 和双射c ：七( 7 ，“) _ 如( g ) ( r 7 ，) 使得p g 垡j d 甾岔饥。 对任意i 七( r ，u ) 从而 x 7 茹吕；啪( 珏7 ( ( c ) ) ) = x 7 茹吕5 ( ( 九弓1 2 上( c ) 九e ) ) = x 拶( u ( c ) ) ( 由于同构) = 一x 拶( 1 ) ( 由于一1 一型) = 一x 7 蔽吕5 ( c ( 1 ) ) = 一x 7 翳5 ；对( 1 ) ， 结论成立 ( i i ) 由【3 8 ，命题2 4 】，存在两个r s r ( g ，r ，7 ，u ) 和r s r ( g 7 ，r 7 ，钆7 ) 使得r 竺 孵( g ，r ，万，钆) 和兄7 垒孵( g 7 ，r 7 ，让7 ) 是分次y d h o p f 代数从而r s r ( g ，n7 ，乱) 掣 r s r ( g 7 ，r 7 ，p 7 ，) 由 3 8 ，定理4 由定义2 5 和( i ) 得r s r ( g 7 ，r 7 ，乱7 ) 是一1 一型的 ( i i i ) 很明显g r 日垡g r 日7 是分次h o p f 代数从而r 型r 7 是分次p u l l p u s hy d h o p f 代数同构，其中冗= d i a g 日且r 7 = d i a g h 7 ，由 3 8 ，引理3 1 】令豆和宄，分别记 由r ( 1 1 和蜀，、作为代数在冗和r 7 中生成的子代数显然矗竺袁，是分次p u l l p u s h y dh o p f 代数同构由( i i ) 得日7 是一1 一型的口 命题2 7 若日是点舶代数且实的g = g ( 日) 并不是一1 一型的，则日是无限 维的 证明令冗是日的( 滤子) 图由 3 8 ，命题2 4 ( i i ) ，存在r s r ( g ，7 ，7 ，u ) 使 得兄垒磐( g ，r ，乱) 是分次p u l l - p u s hy dh 0 p f 代数同构由假设可得，存在c b ( g ) 和i 七( 7 ，乱) 使得) ( 拶( ( c ) ) 一d e g ( p 拶) 或u ( c ) 是阶数是奇数根据 引理2 2 得双一n i c h o l s 代数豸( g ，r 7 ，p 7 ，u 7 ) 是无限维的，其中分歧数据r 7 = r 岛c ， 拶= 硭，钍7 ( c ) = 珏( c ) ，如( r ，铭7 ) 垦七( n 珏) 满足i 七( r 7 ，珏，) | = 1 由于( 忌( q ，) 1 ，o d ( g ，r 7 ，p 7 ，“，) ) 是( 忌q ，o d ( g ，7 ，) ) 的辫子子空间，我们有 d i m 豸( g ，r ，7 ，乱) = 和日是无限维的口 r s r ( g ，r ，扎) 称为无限型的，若孵( g ，r ，7 ，乱) 是无限维的对任意r s r ( g ，r ，钆) ， 由上述的证明过程可得，若存在c 秭( g ) 和i 七( _ 钆) 使得d i m 孵( p u ( c ) ，p 拶) = o o ，则d i m 孵( g ，r ，7 ，乱) = 在这种情况下，r s r ( g ，r ，7 ，乱) 称为本原无限型 例如，实群上的非一1 型r s r 是本原无限型的 引理2 8 孵( o 。，j d ) 垡毋( o s ，j d 7 ) 是分次p 乱胁p 乱s 九托e 卜d 疵毗纪上而代数 同构当且仅当存在九g 和g 的群代数同态使得( 危- 1 s 危) = s 7 且p 7 九型p ，其 中九( 9 ) = ( - 1 9 允) 对任意9 g 证明令c 和c 是g 的两个共轭类，且r = r c c 和7 7 = r c ，c 7 为g 的两个分 歧数据应用引理2 1 ，我们只需证明够( g ，r ，7 ，乱) 垡孵( g ，r 7 ，u 7 ) 是分次p u l l p u s hy e ! t t e r - d r i n f e l dh o p f 代数同构当且仅当存在危g 和g 的群自同构使 一7 一 硕士学位论文 得矽( 忍_ 1 u ( c ) 九) = u 7 ( c 7 ) 和p 7 9 ：九竺p 咎应用 3 8 ，定理4 ，我们只需证r s r ( g ，r ，7 ，u ) 竺 r s r ( g ，r 7 ，乱7 ) 当且仅当存在 g 和g 的群自同构咖使得( _ 1 u ( c ) 允) = 乱7 ( c 7 ) 和吕竺p 拶而这是显然的口 定理2 9 令g 为群，且 & ii q ) g 满足下列条件? 对任意s g ，存在a u t ( g ) 和i q 使得s t 和砂( s ) 是共轭的i 若存在a u t ( g ) 使得s i 和( s ，) 对于i ，歹q 是共轭的，则i = j 则 孵( p 。，p ) iz q ，j d g s t ) 在分次p u f f - p 祝娩y d 舶硝代数同构意义下， 是g 上双一m c 九d l 玳数的代表元， 证明若磐( p 。，p ) 是g 上的双一n i c h o l sh o p f 代数，则存在i q ，a a u t ( g ) 和九g 使得九( s ) = s i 令，7 = p ( 九) 由引理2 8 ，豸( o 。，p ) 竺豸( p 即9 7 ) 是分 次p u l l p u s hy dh o p f 代数同构 根据引理2 8 得：磐( p 剐p ) 和男( 伉j ，) 不是分次p u l l - p u s hy dh o p f 代数同 构，当i 歹和i ，歹q 口 2 2 例外型、y l 群上的双一n i c h o l s 代数 在这个部分里，我们给出所有例外型w e y l 群上的一1 一型双一n i c h o l 8 代数关于 分次p u l l p u s hy dh o p f 代数同构 在表1 1 2 中，我们运用以下记号s i 记g 的第i 个共轭类的代表元( g 是例外 型w e y l 群) ；c e n i 记s t 在g 中的中心化子；) ( y 记c e n i 对任意i 的第歹个特征标；以u 记 对s l 中心化子c e n t 的共轭类的个数；以劭记中心化子c e 毗满足非一1 一型孵( p 。；，x p ) 的 特征标) ( 的个数；c l t 眵 记s i 是在c e n 的第歹个共轭类中注意z 歹记c e n i 的第歹个特 征标，在3 6 ，3 7 1 中对任意i 由电脑计算得出 下面我们给出主要结果 定理2 1 0 令g 为例外型的溉群则 以) 对任意在肌y 群g 上的双一m c 危d 脑代数豸( p 。，) ( ) ，存在s i 在g 的表的第一 列，和j 满足1 歹以u 使得孵( o 。，) ( ) 竺豸( p 即) ( ) 是分次p 钆z 乒p 乱s 九y d 上而玎 代数同构? 一砂孵( p 。，) ( y ) 是一1 一型的当且仅当歹出现在g 表的第四列j 一别d i m ( 豸( o 。i ，) ( ) ) = o o 若歹彳i 出现在g 表的第四列 证明( i ) 不失一般性，我们假设g 是鼠的w b y l 群存在s i 使得和s 是同一 共轭类，由于s 1 ，s 2 ，s 2 5 是g 所有共轭类的代表元由引理2 1 和 3 8 ，命题1 5 的 记号 或定理2 9 ，存在j 使得笏( 伉，x ) 竺孵( p 。；，) ( ) 是分次p u l l - p u s hy dh o p f 代 数同构，由于x ：1 1 ，x ，) ( 。是对s t 的中心化子c e 所有不可约表示的特征标 ( i i ) 由后面的程序可以得到 ( i i i ) 由引理2 2 可以得到口 一8 一 关于例外型w 匆l 群的点h o p f f 弋数 定理2 1 1 令g 为例外型的肌们群则 例若g 为g 2 的肌群，对其代表元系【磐( 伉；，j d ) iz q ，p 西) 中，有q = 1 ，2 ，4 ，5 ，6 ) ， 一砂若g 为乃的肌群，对其代表元系 彩( 伉。，p ) ji q ，p 西) 中，有q ： 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，2 2 ，2 3 ，2 4 i 以圳若g 为如的肌群，对其代表元系 豸( o 即p ) li q ，j d 西) 中，有q = 1 ，2 ，2 5 ) i 证明( i ) 由定理2 9 和程序 见p 1 9 】可以得到8 2 和s 3 是同构的，即在同一个q 中 ( i i ) 类似( i ) ，结果显示( 程序及结果见p 2 0 ) 表明以下各括号中的s 是同构的： s 5 ，s l o ) ， s 6 ，s 1 1 ) ， s 9 ，s 1 9 ) ， s 7 ，s 8 ，s 1 7 ，s 1 8 ) ， s 1 5 ，s 1 6 ，s 2 0 ，s 2 1 ) ， s 2 4 ，s 2 5 ) ( i i i ) 类似( i ) ，结果表明( 程序及结果见p 2 2 ) 对任意s i ，s j 都不在同一个q 中口 2 3 点h o p f 代数 在这个部分，我们给出所有一1 一型点h o p f 代数满足由例外型w e y l 群g = g ( 日) 关 于h o p f 代数同构 下面，我们给出另一个主要结论 定理2 1 2 令日为点日啊代数满足肌群g = g ( 日) 为例外型的则 俐存在r s r ( g ，r ，7 ，钆) 使得r 垡毋( g ，7 ，7 ，u ) 是分次p 钆肌p 乱眈y d 舶 代数同构，其中兄：= d i a l 。( 日) 和詹是兄( 1 ) 作为代数在r 中生成的子代数i 对 任意c 肠( g ) 和p 七( r ，钆) ，存在s t 在g 表中的第一列且1 j 以1 ) 使 得乱( c ) = s i 和) ( 抄= ) ( ”令a g ：= tl 存在c 肠( g ) 使得s t c ) 且对任 意z a g ，鼠，g ：= di 存在p 七( r ，u ) 使得) ( 撄= ) ( 扩) 以砂日是一1 一型的当且仅当对任意i a g 和任意歹鼠g ，歹出现在g 表中的 第四列 f ，娩砂若存在i a g 和歹鼠。g 使得歹不出现在g 表中的第四列，则d i m 日= 。o 证明( i ) 由引理2 4 ，冗是n i c h o l 8 代数由 3 8 ，命题2 4 ( i i ) ，存在r s r ( g ，r ，7 ，乱) 使得r 竺召( g ，r ，7 ，钆) 作为分次y dh o p f 代数令札。为从k ( g ) 到g 的映射满 足“o ( c ) = 勖当s i c 对任意c 秭( g ) 由 3 8 ，命题1 5 的记号 ，存在r s r ( g ，r ，u o ) 使得r s r ( g ，r ，万，钆) 笺r s r ( g ，r ，p 7 ，咖) 对任意鼠c 肠( g ) 和p 七( r ，让) ， 存在1 歹以u 使得) ( 笛( p ) = ) ( 应用 4 4 ，定理4 ，我们完成证明 ( i i ) 由定义2 5 可得注意) ( 记g 表的第歹个特征标) ( ( i i i ) 由性质2 7 可得口 一9 一 硕士学位论文 第3 章程序 在g a p 中运用下列的部分程序，论文 1 6 ，1 7 得到了例外型w e l y 群共轭类 的代表元和所有这些代表元中心化子的特征标表我们用 1 6 ，1 7 】中的结果和下面 在g a p 中的程序，我们得到表1 1 5 g a p l ：= s i m p l e l i e a l g e b r a ( ”e ，6 ，r a t i o n a l s ) ； g 印 r ：= r d o t s y s t e m ( l ) ； g a p w ：= w e y l g r o u p ( r ) ；d i s p l a y ( 0 r d e r ( w ) ) ； g a p c c l ：= c o l l j u g a c y c l a s s e s ( w ) ； g a p q ：= n r c o n j u g a c y c l a s s e s ( w ) ；d i s p l a y ( q ) ； g a p f b rii n 1 q d o r ：= o r d e r ( r e p r e s e i l t a t i v e ( c c l i ) ) ；d i s p l a y ( r ) ； o d ： g a p s 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 1 ) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 1 ：= c o l l j u g a c y c l a s s e s ( c e n l ) ； g a p s 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 2 ) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 2 ：= c o i l j u g a c y c l a 8 s e s ( c e n l ) ； g a p s 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 3 ) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p e 1 3 ：= c o n j u g a c y c l a s s e s ( c e n l ) ； g a p s 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 4 ) ；c e n l ：= c e l l t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 4 ：= c o n j u g a u c y c l a s s e s ( c e n l ) ； g a p s 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 5 】) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 5 ：= c o l l j u g a c y c l a s s e s ( c e n l ) ； g a p s 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 6 】) ；c e n l ：= c e l l t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 6 ：= c o l l j u g a c y c l a s s e s ( c e n l ) ； g a p s 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 7 】) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，8 1 ) ； g a p c 1 7 ：= c o n j u g a c y c l a s s e s ( c e n l ) ； g a p s 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 8 ) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 8 ：= c o l l j u g a c y c l a s s e s ( c e n l ) ； g a p s 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 9 ) ；e e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 9 ：= c o i l j u g a c y c l a s s e s ( c e n l ) ； g a p 8 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 1 0 ) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 1 0 ：= c o l l j u g a c y c l a s s e s ( c e n l ) ； g a p s 1 ：= r ，e p r e s e l l t a t i v e ( c c l 1 1 】) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 1 1 ：= c o n j u g a c y c l a s s e s ( c e n l ) ； g a p s 1 ：= r 印r e s e n t a t i v e ( c c l 1 2 】) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； 一1 0 关于例外型w b y l 群的点h o p f 代数 g 印 c 1 2 ：= c o n j u g a c y c l a s s e s ( c e n l ) ； g 印 8 1 ：= r 启p r e s e n t a t i v e ( c c l 1 3 ) ；c e n l ：= c e n t r 以i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 1 3 ：= c o n j u g a c y c l a s s e 8 ( c e n l ) ； g a p 8 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 1 4 】) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 1 4 ：= c o l l j u g a c y c l a s s e 8 ( c e n l ) ； g a p 8 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 1 5 ) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g 印 c 1 1 5 ：= c o i l j u g a c y c l a s s e 8 ( c e n l ) ； g a p 8 1 ：= r e p r e 8 e n t a t i v e ( c c l 【1 6 ) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 1 6 ：= c o l l j u g a c y c l a s s e 8 ( c e n l ) ； g 印 s 1 ：= r e p r e s e n t a t i v e ( c c l 1 7 ) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g 印 c 1 1 7 ：= c o i l j u g a c y c l a s s e 8 ( c e n l ) ； g a p 8 1 ：= r 印r e s e n t a t i v e ( c c l 1 8 】) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s 1 ) ； g a p c 1 1 8 ：= c o n j u g a c y c l a s 8 e 8 ( c e n l ) ； g a p s 1 ：= r 凳p r e s e n t a t i v e ( c c l 1 9 ) ；c e n l ：= c e n t r a l i z e r ( w ，s