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硕士学位论文三阶非线性著分方程的边值问题 三阶非线性差分方程的边值问题 专业：基础数学 硕士生：吴雄健 指导教师：王其如副教授 摘要 本篇硕士论文主要是研究三阶非线性差分方程的边值问题 研究差分方程边值问题时，常用的方法是格林函数结合不动点理论，即通过 构造g r e e n 函数，把差分方程转化为等价的和式方程，但是其中牵涉到大量的繁 琐的计算，从而使问题变得较为复杂 本文直接利用代数理论和不动点理论，将复杂的边值问题转化为等价的矩 阵方程，然后引入适当的算子，将所研究的问题解的存在性转化为算子方程不动 点的存在性，最后利用锥上的不动点定理得到了一系列新的边值问题解的存在 性，以及一个或多个正解存在的条件本文的方法避免了传统方法因需要构造格 林函数而带来的困难，对研究高阶多点边值问题较为有利，对离散系统的边值问 题的研究在方法上提供一种新思路 关键词：代数理论；不动点理论；非线性差分方程；边值问题；正解 硕+ 学位论文三阶1 f 线性莘分方程的边值问题 t h ep r o b l e mo f b o u n d a r yv a l u eo f t h i r d o r d e r n o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n m a j 0 1 1p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：w u x i o n i 鲴j a n s u p e r v i s o r ：w a n g q i r ua s s i s t a n tp r o f e s s o r a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ea u t h o rm a i n l ys t u d i e st h ep r o b l e mo f b o u n d a r yv a l u eo f t h i r d o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n i no r d e rt os t u d yt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n w eo f t e n u s eg r e e n sf u n c t i o n sa n df i x e dp o i n tt h e o r y t h a ti s ，b yc o n s t r u c t i n gg r e e n s f u n e t i o n s ，w et r a n s f o r mad i f f e r e n c ee q u a t i o ni n t oa ne q u i v a l e n ts u m m i n ge q u a t i o n h o w e v e r , t h i st r a d i t i o n a lm e t h o dn e e d sal o to fd i f f i c u l tc o m p u t a t i o n s ，w h i c hm a k e s t h ep r o b l e mm o r ec o m p l i c a t e d i nt h i st h e s i s ，b ym a k i n gu s eo f a l g e b r at h e o r ya n df i x e dp o i n tt h e o r e m s ，t h e a u t h o rt r a n s f o r m st h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi n t oa ne q u i v a l e n tm a t r i xe q u a t i o n ， t h e nd e f i n e sap r o p e r o p e r a t o rt ot r a n s f o r mt h ep r o b l e mi n t ot h ee x i s t e n c eo ff i x e d p o i n to ft h eo p e r a t o r i nt h ee n d ，b yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mi nac o n e ，w eo b t a i n t h ec o n d i t i o n so fe x i s t e n c eo fo n eo rm o r ep o s i t i v es o l u t i o n so ft h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n t h i sn e wm e t h o da v o i d st h ed i f f i c u l to f c o n s t r u c t i n gg r e e n sf u n c t i o n s i ti sh e l p f u lf o rs t u d y i n gh i g h e r - o r d e ra n dm u l t i p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i ta l s op r o v i d e san e ww a y f o rs t u d y i n gt h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fd i s c r e t es y s t e m s k e y w o r d s ：a l g e b r at h e o r y ；f i x e dp o i n tt h e o r e m s ；n o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ； b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n i i 硕士学位论文三阶非线性差分方程的边值问题 第一章绪论 1 1 问题产生的历史背景 非线性微分方程是现代数学的一个重要分支，数学中的大量微分方程都源于 自动控制，电路信号系统，经济学，生态系统，几何学，力学等实际问题中因此，它在 众多的科学领域及实际中得到了广泛的应用，推动着这些学科不断的向前发展特 别是在现代生态学，经济学，人工神经网络力学，计算机图像处理等领域非线性微 分方程的理论更是不可缺少然而，从生产实际和科研中碰到的微分方程往往比较 复杂，在很多情况下求不出解的表达式，人们为了研究解的性质和求近似解，通过 将连续变量离散化，便将微分方程离散化成差分方程另一方面，我们发现许多的 差分方程是直接来源于医学，生物数学，统计学，物理学，以及矩阵计算等实际问题 近几年来，随着电子计算机的迅速发展，差分方程理论已广泛的应用于计算机信息 控制，工程控制，神经网络科学和社会经济活动中在过去的十几年里，大量的文献 对差分方程理论进行研究，这些研究所采用的方法大多是受到微分方程中有关问 题研究方法的启发，这些研究涵盖了差分方程的许多方面，如初值问题，边值问题， 有界性，周期性，稳定性，吸引性，振动性【l 。7 】但是，由于差分方程与微分方程有着 明显的差别，研究差分方程时不能照搬微分方程中的理论与方法，导致研究差分方 程的方法与手段较少，因此研究差分方程需要在研究方法上不断改进，从而促进差 分方程理论的发展+ 同时，由于经典力学，流体力学，热传导理论，化学理论等学科提出了大量的边 值问题，其应用的广泛得到了充分的体现，同时也得到了长足的发展，特别是近几 十年来微分方程的边值问题得到了较大的关注，而且对差分方程边值问题的研究 也引起了广大学者的兴趣 因此，对差分方程边值问题的研究无论是在理论研究方面还是在实际应用中 都是非常有意义的工作 硕士学位论文二阶非线性差分方群的边值问题 1 2 边值问题的概述 许多的实际问题归结为解微分方程的边值问题，对微分方程边值问题的研究 早在所谓的s t u r m ( 斯图姆) 和l i o u v i l l e ( 刘维尔) 时期就已经开始，至今在这方 面已有广泛深入的研究，多种非线性分析的工具和方法被用到该问题的研究中，主 要有上下解与单调迭代的方法卜”l ，拓扑度同伦的方法f z 2 , z 3 1 ，变分的方法与临界点 理论 1 4 - 1 6 ) 重合度理论，不动点理论 在文献胛1 中，g u p t a 利用c a r a t h e o d o r y 条件m 。2 7 1 论讨论边值问题： x + f ( t ，x ，z ) t0 ，( 1 1 ) x ( o ) = 0 ， z ( ，7 ) = j ( 1 ) ，r e ( o ，1 ) ( 1 2 ) 当厂：【0 , 1 x r 2 一只满足c a r a t h e o d o r y 条件，则边值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 至少有一个解 x ( t ) c c l i o ，1 】 然而，对方程( 1 1 ) 所对应的差分方程边值问题的研究则缺乏相应的理论与方 法其主要是利用g r e e n 函数结合不动点理论来研究解的存在性 在文献1 1 8 1 中f e n g ，l i u ，y a o 利用上下解方法，分别讨论了当，c ( 【o 1 】r ，r ) 在有限区间和无限区间上满足某些增长性条件时，三阶微分方程边值问题： u + f ( t ，“p ) ) = 0 ，( 0 s te 1 ) ，( 1 3 ) u ( 0 ) ；u ( 1 ) = “”( o ) = 0( 1 4 ) 解与正解的存在性另外还有一些利用g r e e n 函数结合不动点定理研究三阶微分 方程解与正解存在性，可以参考文献 | 9 - 2 3 1 在文献1 中，e l o e 讨论了下面一般形式差分方程边值问题： a u ( t ) + f ( t ，“o ) ，u ( t + 1 ) ，( f + 2 ) ，o + h 一1 ) ) = 0 ，( 1 5 ) 满足边值条件： 只一1 ( f 。) = u ( t j ) = a i ， 1s ien ， 硕士学位论文三阶非线性差分方程的边值问题 。砉冉( 等m ， ( 1 s ) 的解的存在性 其中：口= t l ( f 2 t 。宣b l + n ，t j e z ( a ，b 一1 + ，1 ) 在这篇文章中作者是利用g r e e n 函数结合s c h a u d e r 不动点理论得出差分方程边 值问题( 1 5 ) - ( 1 6 ) 解的存在性定理 近几年来，m e r d i v e n c i ，a g a r w a l ，h e n d e r s o n 及w a n g 等人将微分方程边值问题的 一些结果推广到离散情形 m e r d i v e n c i t “2 7 1 研究了二阶差分方程边值问题： a 2 n ( t 一1 ) + ( f ) ，0 ( f ) ) = 0 ，t 【1 ，t + i 】， ( 0 ) = “( 丁+ 2 ) = 0 ( 1 7 ) ( 1 8 ) 在，为超线性或次线性情形下给出了正解的存在性定理，并把结果推广到2 n 阶的 情形 a g a r w a l ，h e n d e r s o n 【2 8 1 考察了三阶差分方程边值问题 岔h ( f ) + 口o ) ，( h ( f ) ) ；o t 【o t 】，( 1 9 ) “( 0 ) = “( 1 ) = u ( r + 3 ) ；0 ， ( 1 1 0 ) 其中：，e c 僻+ ，r + ) ( r + 表示非负实数) ，口( f ) 是定义在【0 ，r 】上的正值函数作者 利用g r e e n 函数结合g u o k r a s n o s e i s k i i 不动点定理，在，为超线性或次线性情形 下给出了正解的存在性定理及两个正解存在的充分条件 我们注意到微分方程边值问题研究中，大多数要利用g r e e n 函数这个工具，受 微分方程边值问题的启发，我们研究差分方程边值问题时，g r e e n 函数也成了一个 经常用到的工具，但对于差分方程边值问题而言，构造g r e e n 函数和把差分方程转 化为等价的和式方程牵涉到大量的繁琐的计算，从而使问题变得更加复杂本文 的意义在于避开求g r e e n 函数，而将差分方程边值问题转化为等价的算子方程，利 用代数知识结合s c h a u d e r , g u o 一勰n o s e l ，s k i i 不动点定理讨论边值问题解的存在 性以及一个或多个正解存在的条件 硕p 学位论文二阶1 f 线性差分方样的边值问题 1 3 本文的主要工作 本文受以上工作的启发，研究下面的三阶非线性差分方程： ? h ( f 一1 ) + ，( f ，u ( t 一1 ) u ( o ，“( f + 1 ) ) = 0 ，t z ( 1 ，n )( 1 1 1 ) u ( 0 ) = a ，“( 1 ) = b ，u ( u + 1 ) = c ( 1 1 2 ) 解的存在性其中a u ( t ) = “p + 1 ) 一h ( f ) ，z ( 1 ，n ) = l 2 ，j v ) ，o ，u 。，“：，u ，) 是关于u 。，“! ，u ，连续的实值函数 和 三阶非线性差分方程的边值问题： 岔u ( t 一1 ) + f ( t ，u ( t 一1 ) ，u ( 0 ，“o + 1 ) ) = 0 ，t z ( 1 ，n )( 1 1 1 ) ( 0 ) = 0 ，“( 1 ) = 0 ，“( j v + 1 ) = 0( 1 1 3 ) 正解和多个正解的存在性，其中，( f ，“：，h ，) e c ( z ( 1 ，n ) 1 0 ，0 0 ) 3 , 【o ，m ) ) 本文的工作安排： 第一章：阐述本文工作的历史背景，本文的创新之处 第二章：利用代数知识结合s c h a u d e r 不动点理论，讨论三阶非线性差分方程 边值问题( l 1 1 ) - ( 1 1 2 ) 解的存在性和唯一性 第三章：利用代数知识结合g u o k r a s n o s e l s k i i 不动点定理讨论边值问题 ( 1 1 1 ) ( 1 1 3 ) f 解的存在性，多个正解存在的条件 差分方程边值问题由于其实际意义，引起了许多学者广泛的关注，许多的文献 对差分方程理论进行了研究，这些研究方法大多是受到微分方程边值问题研究方 法的影响本文受文献 2 9 , 3 0 i 启发，直接利用代数理论结合不动点理论的方法研究 三阶非线性差分方程的边值问题，获得了一系列新的边值问题的解存在性和唯 一性的结论本文新的研究差分方程边值问题的方法是将复杂的边值问题转化为 等价的线性方程组解的存在性问题，新的方法避免了传统方法因需要构造格林 函数而带来的困难代数理论结合不动点理论研究差分方程边值问题的方法，对研 究高阶多点边值问题尤为有利，对离散系统的边值问题的研究在方法卜提供了一 种新思路，以此为基础，对更高维的研究有指导意义 硕士学位论文三阶非线性著分方程的边值问题 第二章三阶非线性差分方程边值问题解的存在性 2 1 引言 为了以后叙述的方便，我们用z ，r 分别表示整数集，实数集，对a , b z 且a n b 时，记z ( a b ) = a ，a + l ，a + 2 ，b 本章主要是研究下面的三阶非线性差分方程 a 3 u ( t 一1 ) + ，o ，“( f 一1 ) ，“( f ) ，u ( t + 1 ) ) = o t z ( 1 ，n ) ，( 2 1 ) 在下面的边值条件下： ( 0 = a ，( 1 ) = b ，u ( n + 2 ) = c ，( 2 2 ) 解的存在性和唯一性，其中a ，b , c 分别是给定常数，表示前差分， 0 0 a u ( t ) = “( f + 1 ) 一“( f ) ，2 h ( f ) = ( 血o ) ) ，a 3 u ( t ) = ( 2 n ( f ) ) 为给定的f 整数， f ( t ，u l ，u 2 ，“3 ) 是关于“1 ，u 2 ，n 3 连续的实值函数 差分方程的边值问题在物理，材料，电路等方面有着广泛的应用许多学者对 类似的差分方程的边值问题解的存在性和唯性做了广泛的研究但相对微分方 程的边值问题则缺乏足够的理论和方法目前许多文献中，所用的方法是格林函数 结合不动点理论而本文中是利用代数理论结合不动点理论来研究边值问题 ( 2 1 ) - ( 2 2 ) 解的存在性和唯一性即将边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 解的存在性转化为等价的 线性方程组解的存在性，然后在一个闭凸集上定义一个全连续的算子，利用 s c h a u d e r 不动点定理得到边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 解存在的条件，这样避开了g r e e n 函 数繁琐的求解过程 当t 从1 到n 取值时，我们将方程( 2 1 ) 转化为下面的方程组 u 0 ) 一抽( 2 ) + 知( 1 ) 一h ( 0 ) = - f 0 ，“( 0 ) ，“( 1 ) ，h ( 2 ) ) ， n ( 4 ) 一3 “( 3 ) + 3 “( 2 ) 一u o ) = - f ( 2 ，“( 1 ) ，“( 2 ) ，h ( 3 ) ) ， h ( ) 一3 u c 一1 ) + 3 “( 一2 ) 一u ( n 一3 ) = 一，( 一2 ，u ( n 一3 ) ，u ( n 一2 ) ，h ( 一1 ) ) ， u ( n + 1 ) 一3 “( ) + 3 u ( n 一1 ) 一u ( n 一2 ) = 一，( 一1 , u ( n 一2 ) ，u ( n 一1 ) ，“( ) ) ， “( j + 2 ) 一3 “( + 1 ) + 3 w ( ) 一一1 ) = 一，( ，u ( n 一1 ) ，“( ) ，“( + 1 ) ) 我们令： u = ( 2 ) ，n ( 3 ) ，“( ) ，u ( n + 1 妒， 硕十学位论文三阶1 f 线性著分方科的边值问题 f ( t ，u ) = a = 一f ( 1 ，“( 0 ) ，“( 1 ) ，“( 2 ) ) + 爿一3 b 一( 2 ，h ( 1 ) ，h ( 2 ) ，“( 3 ) ) + b f ( n - 1 , u ( 一2 ) ，u ( u - 1 ) ，“( ) ) 一，( j v ，u ( u - 1 ) ，“( j v ) ，u ( u + 1 ) ) 一c o0oo一31 oooo33 0 000一1 3 则上述方程组可转化为下面的矩阵方程： a u = f ( t ，u ) ，( 2 3 ) 即边值问题( 2 1 ) - ( 2 2 ) 解的存在性与唯一性可转化为矩阵方程( 2 3 ) 解的存在性与 唯一性问题 2 2 预备知识与定理 在空问里，埘任意向量【，= ( “，“：，“，) 7 ( t 表示向量的转置) ，定义范数 驯l2 ( 善“；) 2 ，则( r ”, 1 1 4 1 ) 就构成了一个b a n a c “空问同时对任意的阶 矩阵p = ( p ，) ，。，定义矩阵范数为| = j 。s u 6 二。i l e p u r i 在r “中定义算了方程 u = s u ，( 2 4 ) 其中全连续算予s ：r ”一r “为： s u = a 。1 f ( r ，u ) ， 注【1 】o 。1 表示q 的逆矩阵 0 0 0 0 o o o 0 0 0 0 o o o 1 o 0 1 o 3 ，o 3 o o 3 o o 硕士学位论文三阶非线性差分方程的边值问题 首先我们来证明矩阵0 是可逆的 定理2 1 矩阵q 的逆矩阵q 。1 存在 其中 q 一 证明：令d = d e t q 利用数学归纳法，结合高等代数知识可求得 。= a e t q 2 ( 一1 ) “ 尘半+ s 】一。 故矩阵o 可逆 定理证毕 由定理2 1 可知q 可逆，因此方程( 2 3 ) 可化为： u q 。1 ，( f u ) ( 2 5 ) 故边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 解的存在性与唯一性可转化为矩阵方程( 2 5 ) 解的存在与唯 一性问题 定理2 2 三阶非线性差分方程边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 解的存在性和唯一性等价于 算子方程( 2 4 ) 不动点的存在性和唯一性 证明：假设三阶非线性差分方程边值问题( 2 i f ( 2 2 ) 有解u + ( 唯一性类似) ，则 u = q 。1 f o ，u + ) = s u 。，即s 有不动点 反之，如果s 有不动点，即s u = u ，而s u = q 1 f o ，u ) 所以( 2 5 ) 存在解u = q 。1 f o ，c ，) ，即三阶非线性差分方程边值问题( 2 1 ) - ( 2 2 ) 有解 定理得证 ，。l o o o o 0 1 o o o 0 o 1 o 3 o o o o 0 3 o o 0 1 o o 0 0 o 1 0 3 0 o o 。o 3 o o o o o 3以。 一o o o 硕+ 学位论文三阶非线性著分方程的边值问题 2 3 解的存在性与唯一性 本节主要是根据函数，o ，“。，“：，u ，) 关于。，“：，如是非线性函数的情形来研究 三阶非线性差分方程边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 解的存在性和唯一性 首先给出本节所要用到的几个定义和引理 定义2 1 设d 是线性空间，e 是d 中的闭集，称e 是为一闭凸集，如果 缸+ ( 1 一o y e e ，( v x ，y e ，v 0 s s 1 ) 定义2 2 口2 i 设置，b 2 是b a n a c h 空间，t b 1 至l j b 2 线性算子，称t 是全连续的( 或紧的) ， 如果弘e 且峙忙1 , n = 1 2 ，序列 巩) 在岛中有收敛的子序列 引理2 1 【”1 f s c h a u d e r 不动点定理) 设b 是b a n a c h 空间，e 是b 中的闭凸集，若t 是e 到其自身的映射，且是全连 续的，则映射t 在e 中至少存在一个不动点 引理2 2 1 3 1 3 2 1 ( 压缩映象原理) 设b 是b a n a c h 空间，t 是b 到其自身的映射，如果存在0 p o 及t o e z ( 1 ，) 满足： i f ( t ，“c f ，( f 0 ，“l ， v i l u l l s i i = 1 1 = p ， ( 2 7 ) 由于8 = p i p 。， 利用( 2 6 ) ，( 2 7 ) 得到 i ，( f ，“) l _ n 西o ，由( 2 8 ) 得到 i f ( t ，“) ism 。c ( r + 亭) p 。， v l 卜0 p 。 令 e ：= u ：s i q - 1 l i 面 + 触+ 研) ，u e r ” ， 其中m = m a x i a 一3 b i ，俐，i c l 由定理2 2 知，三阶非线性差分方程边值问题 ( z 1 ) - ( 2 2 ) 等价于算子方程 u = s u ， 其中定义全连续算子s ：e ：一e ：为：s u = q - 1 ，( f ，u ) 显然e ! 是闭凸集，由，( f ，h 。，“：，“，) 的连续性可知s 是全连续的，下面证明s 是 b 到自身的映射： 设u ：，则l i s u l l = 陋f ( t ，c ，) 1 f s 妙| l | | ，p ，u ) 0 s 酬| 厢( ( r + + m ) 所以s ( e ：) c e ：同样利用引理2 1 得到存在( ，e ：，使u - - s u 即三阶非线性差分 方程边值问题( 2 1 ) - ( 2 2 ) 至少有一个解 宦弹证毕 硕士学位论文三阶非线性差分方程的边值问题 推论2 2 若对任意( t ，“，“2 ，如) e z ( 1 ，j 】v ) 硝，有 牡皆吨 其中u = ( h ，“：，叱) ，f ( t ，“) = ，( f ，“。，“：，) ，= “h “；+ “；， 则三阶非线性差分方程边值问题( 2 1 ) - ( 2 2 ) 至少有一个解 证明：由l i r ai f ( t u ) = * 知，( f , j i , u 2 , ”3 ) 为无界函数，我们可以利用定理2 5 中 证明f ( t ，u ，“：，h ，) 为无界函数情形相似的方法来证明 故三阶非线性差分方程边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 至少有一个解 推论证毕 下面给出三阶非线性差分方程边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 存在唯一解的充分条件 定理2 6 如果下面的两个条件同时成立： ( 1 ) 函数，满足l i p s c h i t z 条件：即存在关于t 的一值函数l ，( f ) ，l 2 0 ) ，l 3 ( f ) ，使 得f ( t ，“l ，h 2 ，“3 ) 满足 i ，( f ，“。，“! ，“，) 一f ( t ，v ，v ! ，屹1 豇。( t ) l u ，一r 1 + 工! ( t ) l u ：一r ! i + l ，o ) 卜，一v ，i ，( 2 9 ) v ( f ，“l ，“2 ，“3 ) ，0 ，v l ，v 2 ，v 3 ) e z ( 1 ，n ) x r3 ； (2)o c 历炉嵫m a ，x l ，( f ) + l ! ( f ) + l ( f ) ) c 1 ， 则三阶非线性差分方程边值问题( 2 1 ) - ( 2 2 ) 存在唯一解 证明：令 e ，= ：| | u | | s 炉l l 历衅。+ m ) ，u r ”) ， 其中k o 。吲m a 。川x l - 娜- l + 工z ( o i “：i + 。帅，i + f ( t 0 0o ) ， m = m a x i 一一3 b i ，圳c 由定理2 2i l l ：三阶非线性差分方程边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 解的存在性和唯一 生等价 1 ：算子方程 u = s u 不动点的存在性和唯一眭， 其中定义全连续算子s ：e 3 一易为：s u = q 。，o ，u ) 硕士学位论文三阶非线性差分方程的边值问题 由条件( 2 9 ) n - j - 得，对于任惹的f z ( 1 ) 有 i ，( f ，h ：，) is l l ( f ) 卜。i + l ：( t ) l - ：i + 工，( t ) l u ，l + i f ( t ，0 ，o o ) i ， ( 2 1 0 ) 首先证明：s ( e 3 ) ce 3 任取【，e ，则l i s u l i = i 睁f ( t ，u ) i s 炉i ih f ( , ，u ) l i s 矿小( 一f ( 2 ，“( 1 ) ，“( 2 ) ，“( 3 ) ) + 口) 2 + i + ( - f ( n ，u ( n - 1 ) ，h ( ) ，h ( + 1 ) ) 一c ) 2 s 矿l 何( k 。+ m ) 所以s ( e 3 ) c e 3 下证存在o o ， t z ( 2 , n + n 硕士学位论文三阶非线性差分方程的边值问题 定义3 2 3 ”设b 是b a n a c h 空间，k cb 且非空，满足 ( 1 ) 对任意的u ，v e k 以及任意口，卢苫0 ，有删+ 印e k ； ( 2 ) 若u , - u e k ，则u = 0 ， 则称k 是b 中一个锥 引理3 i t 邶”5 1 ( g u o k r a s n o s e i s k i i 不动点定理) 设曰是肋n 口幽空间，k c 口是口中的一个锥q l ，q 2 是k 中开子集，o e q 。，q ，c q2 ， 若全连续算子 s ：k n ( q 2 、q 1 ) 一k 满足 ( 1 ) ir s u l i s ，u e k na q 。，且l l s o l i z 眇u e k f 3 0 q ：， 或者 ( 2 ) i i s u i l = i p i i ，u k na q 。，上tr t s u i i s i 眇u e k na q ：， 则s 在k n ( q 2 q 。) 上有一个不动点 3 2 预备知识和定理 由第二章的内容可知，三阶非线性差分方程边值问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 可以转化为下 列的矩阵方程 u = q f ( t ，c ，) ， ( 3 3 ) 其中 u = ( “( 2 ) ，h ( 3 ) ，( ) ，“( + 1 ”7 ， f ( t ，u ) = 一f o ，“( o ) ，“( 1 ) ，“( 2 ) ) 一f ( 2 ，“( 1 ) ，“( 2 ) ，“( 3 ) ) 一f ( n - l u ( n 一2 ) ，“( - 1 ) ，h ( j v ) ) 一，“( 一1 ) ，“( ) h ( + 1 ) ) 硕十学位论文三阶非线性差分方科的边值问题 q = 00oo 一13 3 i 。 q 。1 表示o 的逆矩阵 因此首先来证明矩阵q 是可逆的 定理3 1 矩阵0 的逆矩阵q 。1 存在，且逆矩阵q 。1 中的每一元素都小于零 q = q 表示如下的矩阵 oo0o一13 q = ( 口# ) n 。，q 0 , i e z ( 2 ，n + 0 1 ， x 寸v u = ，“：，叫。) r e x , 定义范数眇忙( 耋“；) j 1 ，则僻，i | j | ) 构成b a n a c h 空间 令扣。熙( 嘞) ，肛。m a x ( - q 。) ，o 日2 赤c 1 ， = u , u z , u 3 ) ，一屑而， m l i m m a x 。，眢一峨 。l 陋i m m a x ，眢一a x 凡， 概，。丑瓣，眢刊n ，o ! ! ! ：! 菡m 删“ “ 嬲圳嚣眢刊吮兕茹矧删1 m 由第二章的内容及定理2 2 可知：三阶非线性差分方程边值问题( 3 1 ) - ( 3 2 ) 等f f r - z 算子方程： u = s u 其中算子s ：x 一工为：s u = q f ( t ，u ) ，即 肌( f ) 2 苫靠【- ，( 删( ，- 州r ) ，“( 川) ) 】 i = 2 ，3 ，- - ，n “ ( 3 4 ) 由f ( t ，u ) 的连续性容易证明s 是全连续算子 现定义锥k c 础下： k = u 石：u ( 0 0 1 | l , 1 1 ，i = 2 ，3 ，n + 1 1 于是对于任蒽u k ，我们有 i i s v l i = ( s h ( 2 ) ) 2 + ( 妇( 3 ) ) 2 + + ( s h ( j v + 1 ) ) 2 厂可一 5 妒2 ( 善，( l “卜1 ) ( r ) ，岍1 ) ) ) 2 = 卢f ，( ，“( r 一1 ) ，“( r ) ，“( r + 1 ) ) _ 硕士学位论文三阶1 f 线性著分方科的边值问题 s u ( i ) 苫口罗f ( r ，u ( r 一1 ) ，“( r ) ，“( r + 1 ) ) _ r 1 7 z 赢i = 口i i s v | j 又因为s u ( i ) 苫0 ，所以s u k 于是s ( k ) c k 3 3 正解的存在性 ( 3 5 ) 本节主要是讨论三阶非线性差分方程边值问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) f 解的存在性 定理3 2 假设 ( h 1 )m a x ，0 = 0 ，m i n l = 。； 或者 ( h 2 )m a x k = 0 ，m i 昵= 成立，则三阶非线性差分方程边值问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 至少有一个正解 证明：在条件( h 1 ) 下( 超线性的情形) ： 首先由m a x f o = 0 知，对于满足亭c 1 的 ，0 ，存在充分小的p 0 ，使得 ，p ，“。，“! ，“，) s 亭l l u l l ，v sp 。 故对满足忖0 = p 。的u ek ，由( 3 4 ) ，( 3 6 ) 得到 鼬( f ) s 卢善，( r ，“( r 一州恻川) ) s 创制i c c 炒 故对任意u e k na q l , 有l l s u i ic 忖i | 其中q 。= u ：u e k ，| | e ，0sp ， ( 3 6 ) 另一方面，l h m i n l = 。知对于满足删菇，1 的任意m o ，存在p ! ，百e l ，使当 u ( o z0 1 p 1 1 ，i z ( 2 ，n + 1 ) 且苫印：时有 ，o ，“。，“：，“，) zm ( 3 7 ) 硕十学位论文三阶非线性差分方程的边值问题 于是对满足桫| | = p ：的u k ，由( 3 4 ) ( 3 7 ) 得到 s u ( i ) zay ，( ，u ( r 一1 ) ，( r ) ，( ，+ 1 ) ) 一 za m ( 归而i 酉而万+ + 归万面i 丽而而) z 倥 州加 故对任意【，k naq ：，有陋刎，i i v l l ， 其中q ：= u ：u e k ，i i v l i s p ： 显然q l c q 2 于是由( 3 5 ) 和引理3 1 知存在u kn ( d ：q 。) ，使s u = u ，所以三阶非线性差分方 程边值问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 有一个正解 在条件( h 2 ) 下( 次线性的情形) ： ： 首先，由m i n f o = o o 知对于满足洲。n 4 3 0 ，1 的任意m 。 1 3 ，存在充分小的n o ， 使当( f ) = 疗桫i l ，i z ( 2 , n + 1 ) 且s p 。+ 时有 ，( f ，“。，“：，叱) 苫m 。i | | , l l ， ( 3 8 ) 删l l v 1 = p 。+ 的u k ，i ：h ( 3 4 ) ，( 3 8 ) 得到 s u ( i ) = a ，( r ，“( r 一1 ) ，“( ，) ，“r + 1 ) ) z 洲。( 舻面i 酉而i + + 护万面i 丽河而) z a m 。n 4 9 0 l v i l l i 【：1 1 故对任意u knao ，有临u i i ，l i v l l ， 其中q ，= u ：u k ，1 p 0s p 。) 另一方面，由m a x l - - o 知，对于满足 c ；的亭) o ，存在充分大的q p + ，使得当 “( f ) o ，i z ( 2 ，n + i ) a l b l i 苫口时有 ，( f ，“。，“：，n ，) s 1 1 ( 3 9 ) 硕十学位沧文三阶非线性差分方程的边值问题 选取p z q + 1 + 2 ，黜) ，( f ，“- ，“：，“，) ) 川s 9 ( 3 1 0 ) 4 a 。= u ：u e k ，p0 p 2 ) ，那么对满足| | 【厂0 = p 2 的u e k ，由( 3 4 ) ，( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 得 t ( f ) s 卢，( ，n ( ，一1 ) ，“( r ) ，“( ，+ 1 ) ) = 卢荟，( r 一，；，( r + 卢荨竹 l i a ql i l q s 创圳+ 创，詈， ，o ，“) 归l f q s 卢洲卜等 c p ：= l l v l l 故对任意u e k naq 。，有l l s v l | c l i v l l 显然q 3 c q 4 于是由( 3 5 ) n 日i n3 1 知在条件( h 2 献，a 时，也存在u e k n ( d 4 q ，) 使s u ：u ， 故三阶非线性差分方程边值问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 有一个_ ：- f 解 综上所述定理证毕 定理3 3 假设存在两个正常数p ，一p ：，使得下面两个条件成立： ( h 孔 m a x f ( ，“- ，“! ，“，) 5 面p l ； l “ ( h 4 ) 蚪m i 酣n ，“：，“，) ) z 丽p 2 ， 则三阶非线性差分方程边值问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 至少存在一个f 解u ，且 m i n p 。，p 2 o ，存在充分大的p ：了p l ，满足 础m i n ”眢吐= 去 叫圳，印! ， 十是当印2 p 2h 寸 ，( f ，“) = 丽1i t n l & ，鬲1 p ：，( 3 1 2 ) 此时( 3 1 2 ) 满足定理3 3 中的条件( h 4 ) 利用定理3 3 知推论得证一 推论3 2 如果下面两个条件成立： c m ， m a x 2 九 。，高) ； c n s ，m i n ，o “。( 泰，。) 则三阶非线性差分方程边值问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 至少存在一个f 解 证明：首先由m a x 丘= 厶得到，对于亭= 面1 - - a 3 0 , 存在充分大的q 。，满足 一m a x 。，眢咄巾万1 ， v 孙( 3 1 3 ) f 而分厂( f ，u ) 有界和无界来讨论： ( i ) 若，( f ，n ) 无界，一定存在一个“【o ，m ) 3 且”l i = p 。，q 以及t o g z ( 1 ，) 使得下式成立 m 小，( f 0 ) s 古c 面1 c 2 p 硕士学位论文三阶非线性差分方程的边值问题 ( i i ) 若，( f ，“) 有界，不妨设：，p ，h ) sm ，( m 为大于0 的常数) ，( 3 1 4 ) 这时取充分大的p 。 m a x g ，m n f l ) 由( 3 1 4 ) 得到，o ，“) s m 。，存在充分小的o o ，存在充分小 o j l u l l ， 其中q ! = 【，：u e k ，i i v l i s p 2 ( 3 1 7 ) ( 3