（基础数学专业论文）群与图的若干问题.pdf

摘要 本论文研究的是群与图的问题，主要包括小度数c a y l e y 图，3 度半对称图及广 义正规子群与群的结构三部分内容 群g 的c a y l e y 图x = c a y ( g ，s ) 称为正规的，如果右乘变换群r ( g ) 在a u t x 中正规在本文第二章中，我们研究了4 矿阶二面体群的3 度c a y l c y 图的正规性，得 到了两个图正则表示和一类非正规的c a y l e y 图，其中p 是大于3 的素数另外，还得 到了几类给定正规性的半二面体群c a y l e y 图的同构 设g a u t x 传递的作用在点集v ( x ) ( 或边集e ( x ) ) 上，我们说x 是g 一点传递 的( 或g 边传递的) 特别地，当g = a u t x 时，我们说x 是点传递的( 或边传递的) 若a u t x 传递的作用在弧集合a ( x ) 上，则称图x 足弧传递的或对称的正则的边 传递但非点传递图x 称为半对称图在本文第三章中，我们对6 p g 阶半对称进行了 分类，其中p 和g 都是奇素数且有3 p q 群g 的子群日说是在g 中g 拟正规的，若日与g 的所有s y l o w 子群可置换在 文献【7 4 】中，作者们在p ( g ) 的每个素数阶子群在g 中s 一拟正规的条件下，得到了 群g 的一个特征在本论文第四章中，首先，我们针对上述结论给出了两个反例，并 将上述结论作了一下修正；其次，我们在所得结论的基础上，将条件限制在比p ( g ) 小的子群p ( ) 上，其中是群g 的正规子群且使得g n 是超可解的，得到上述 结论的一个推广；另外，我们还得到了弱s 一可补子群与c f - 可补子群的一些性质 性 关键词：c a y l e y 图；正规c a y l e y 图；半对称图；对称图；g 拟正规子群；超可解 a b s tr a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d ys o m ep r o b l e m so ng r o u p sa n dg r a p h s t h em a i nr e s u l t s i n c l u d et h r e ep a r t s ：c a y l e yg r a p h so fs m a l lv a l e n c y , c u b i cs e m i s y m m e t r i cg r a p h s a n dt h ei n f l u e n c eo fi t sg e n e r a l i z e dn o r m a ls u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo ft h eg r o u p a c a y l e yg r a p hx = c a y ( g ，s ) o fg r o u pg i ss a i dt ob en o r m a li fr ( g ) ，t h e g r o u po fr i g h tm u l t i p l i c a t i o n s ，i sn o r m a li na u t x i nc h a p t e rt w o o ft h i sp a p e r ， b yi n v e s t i g a t i n gt h en o r m a l i t y , w ec l a s s i f yc u b i cc a y l e yg r a p h so fd i h e d r a lg r o u po f o r d e r4 矿，w h e r epi sa no d dp r i m e i na d d i t i o n ，w eo b t a i nt w og r ra n daf a m i l yo f n o n n o r m a lc a y l e yg r a p h a l s o ，w es o l v es e v e r a li s o m o r p h i s mp r o b l e m so fc a y l e y g r a p ho fs e m i d i h e d r a lg r o u p sw h o s en o r m a l i t yw e r ed e t e r m i n e d i fas u b g r o u pgo fa u t xa c t st r a n s i t i v e l yo nv ( x ) ( o re ( x ) ) ，w es a yt h a tx i sg - v e r t e x - t r a n s i t i v e ( o rg e d g e - t r a n s i t i v e ) i nt h es p e c i a le a s ew h e ng = a u t x ， w es a yt h a txi sv e r t e x - t r a n s i t i v e ( o re d g e - t r a n s i t i v e ) i fa u t xa c t st r a n s i t i v e l y o na ( x ) ，w es a yt h a txi sa r c - t r a n s i t i v eo rs y m m e t r i c ar e g u l a re d g e - t r a n s i t i v e b u tn o tv e r t e x - t r a n s i t i v eg r a p hw i l lb er e f e r r e dt oa 8as e m i s y m m e t r i cg r a p h i n c h a p t e rt h r e eo ft h i sp a p e r ，w ec l a s s i f ya l lc o n n e c t e ds e m i s y m m e t r i cc u b i cg r a p h s o fo r d e r6 p q w h e r epa n dqa r eo d dp r i m e sw i t h3 p q as u b g r o u po fgi ss - q u a s i n o r m a li ng ，i fi ti sp e r m u t e sw i t he v e r ys y l o w s u b g r o u po fg i n 【7 4 ，t h ea u t h o r sg a v eac h a r a c t e r i z a t i o no faf i n i t eg r o u pg u n d e r t h ea s s u m p t i o nt h a te v e r ys u b g r o u po ft h eg e n e r a l i z e df i t t i n gs u b g r o u po fp r i m e o r d e ri ss - q u a s i n o r m a li ng i nc h a p t e rf o u ro ft h i sp a p e r ，f i r s t l y , w ep r o v i d et w o c o u n t e r e x a m p l e so ft h i sr e s u l t ，a n dm a k eac o r r c c t i o nt oi t ；s e c o n d l y , w ee x t e n dt h e r e s u l tu n d c rt h ea s s u m p t i o nt h a te v e r ys u b g r o u po fg e n e r a l i z e df i t t i n gs u b g r o u p o f o fp r i m eo r d e ri ss - q u a s i n o r m a li ng w h e r eni san o r m a ls u b g r o u po fg s u c ht h a tg ni ss u p e r s o l v a b l e ；a sab y p r o d u c t ，w eg e ts o m ep r o p e r t i e so fw e a k l y l va b s t r a c t s s u p p l e m e n t e ds u b g r o u pa n dcf s u p p l e m e n t e ds u b g r o u p k e y w o r d s ：c a y l e yg r a p h ；n o r m a lc a y l e yg r a p h ；s e m i s y m m e t r i cg r a p h ；s y m - m e t r i cg r a p h ；s - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p ；s u p e r s o l v a b i l i t y 原创性l 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者：勘舀b l 日期：刎? 年占月二日 i 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大学。根 据郑州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州大学可以将 本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该学位 论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为郑州大学。保密论文在解 密后应遵守此规定。 学位论文作者：幽e k k 日期：为呷年；月2 日 第一章前言 在本论文中，所出现的图均为有限、简单、无向的连通图，所出现的群均为有限 群给定一个图x ，我们用y ( x ) ，e ( x ) ，a ( x ) 和a = a u t x 分别表示图x 的顶点 集合，边集合，弧集合和全自同构群对于x 的两个相邻点札和 ，我们用a 1 表示a 中固定单位元1 的集合，用a 1 。表示a 中固定点1 ， 的集合，用u v 表示从u 到u 的 弧，用x 1 ( 秒) 表示v 的邻点集合，x ( u ) 表示与v 距离足i 的点的集合其它有关群论 和图论的概念和记号，参看文献1 - 8 有限单群的分类经过群论工作者长达1 5 0 年的努力，已于上个世纪八十年代完 成( 见 2 ) 学者们最终证明，有限单群共有十八个无限族和二十六个零散单群单 群分类完成后，g o r e n s t e i n 提到了群论研究的几个发展方向：新领域的出现( 比如， 对可解群的研究更加深入) ，图的研究以及在分类过程中提出的研究方法的应用等 在有限单群的分类过程中，既有应用图来研究群的方法，例如g o l d s c h m i d t 引入 的用陪集图的方法去研究群的融合问题，也有应用群来研究图的方法，例如s a b i d u s s i 陪集图则足通过群来构造的点传递图r f r u c h t 在1 9 3 8 年证明了对于任意给定的 抽象群，都存在一个图以它为白同构群( 见 9 】) ，此项工作揭开了群与图论研究的帷 幕w t t u t t e 的著名文章“af a m i l yo fc u b i c a lg r a p h s ”( 见【1 0 】) ，可以看作足群 论对图论的第一个精彩的应用而对于图论在群论上的应用，值得提出的足应用图 论方法研究置换群，并j l h i g m a n - s i m s 单群也是作为图的自同构群而发现的在群 与图的研究中，图的对称性的研究一直是热门问题它主要通过图的自同构群所具 有的某些传递性来描述，其d p c a y l e y 图和半对称图都是很典型的代表c a y l e y 图和 半对称图的研究，既是对有限单群分类过程中提及的利用群论研究图论方法的应用， 又是对有限单群分类结论的应用 有限单群分类完成后，对可解群的研究更加深入，其中一项重要的工作就是对 正规性的改造基于利用正规子群来研究群的结构具有一定的局限性。学者们转为 研究比正规子群条件稍弱的广义正规子群因而，对于一个有限群来说，研究某些 2第一章前苦 子群的某种广义正规性对整个群结构的影响也显得很有意义了 1 关于c a y l e y 图的研究 c a y l e y 图足由a c a y l e y 在1 8 7 8 年提出的，当时提出的目的足为了解释群的生 成元和定义关系由于它构造的简单性、高度的对称性和品种的多样性，越来越受到 图论学者的重视，从而成为代数图论中群与图方向的一个重要研究领域近些年来， 随着计算机的发展，人们发现c a y l e y 图还是构造与设计互联网的数学原型，因而又 获得了较为实际的应用，c a y l e y 图的重要性日益增加 设g 是一个有限群，s 为g 的不包含单位元1 的子集，如下定义群g 关于其 子集s 的c a y l c y ( 有向) 图x = c a y ( g ，s ) ：顶点集为v ( x ) = g ，边集为e ( x ) = ( 9 ，s g ) g g ，8 s ) 若s = s ，n c a y ( g ，s ) 可以看作是无向图，将两条有 向边9 危和幻看作一条无向边夕危显然，g 的右乘变换群n ( a ) 包含在a u t x 中， 且x 是连通的当且仅当g = 侈) ，也就是说s 是群g 的生成子集( 有向) c a y - l e y 图c a y ( g ，s ) 称为正规的，如果n ( a ) 望a = a u t ( x ) 我们称有限群g 有正规 的c a y l c y 图，如果g 有子集s 使得群g 关于子集s 的c a y l c y 图c a y ( g ，s ) 是正规 的 对于一个给定的群g 来说，确定g 的所有j 下规和非正规的c a y l e y ( 有向) 图，是 由徐明曜在 1 1 】中最先提出来的事实上，只有素数阶循环群，阶为两个不同奇素数 群和2 p ( p 足素数) 阶群c a y l e y 图的正规性足完全知道的( 见【1 2 1 4 】) 大多数非交换 单群上的3 度连通图，线性群p s l ( 2 ，q ) 上所有连通2 度c a y l e y 有向图，交换群上的大 多数连通的小度数c a y l e y 图，具有两个幂零类的p 群上的所有连通4 度c a y l e y 图和 所郁3 为奇素数) 阶群的4 度连通c a y l e y 图都是正规的( 见 1 5 ，1 7 - 2 1 ) ，其中p 和口 都是奇素数所有非连通正规c a y l e y 图，所有印2 阶群的2 度非正规c a y l c y 有向图， 所有印2 阶群3 度c a y l e y 图的正规性，二面体群所有非正规的4 度1 一正贝；j c a y l c y 图和 正则p 群上所有2 度连通非正规c a y l e y 图都已被确定( 见 2 2 - 2 6 ) 在文献 1 6 ，2 7 - 3 7 中，大量学者还做了另外一些关于c a y l e y 图的研究工作 关于c a y l e y 图方面的工作，我们主要是对4 矿阶二面体群的3 度c a y l e y 图进行 了分类，得到了两个图正则表示和一类非正规的c a y l e y 图，其中p 是大于3 的素数 另外，我们还得到了几类给定正规性的半二面体群c a y l e y 图的同构 第一章前言 3 关于3 度半对称图的研究 若a u t g 的子群g 传递地作用在点集v ( x ) ( 或边集e ( x ) ) 上，我们说图x 是g - 点传递( 或g - 边传递) 的特别地，当g = a u t x 时，我们说图x 是点传递( 或边传 递) 的设g a u t x ，可以得到g - 边传递但非g 点传递的图必为二部图，其中二 部图的两个二部子集都是g a u t x 的轨道若x 是正则图，则两个二部子集的 阶数相等一个正则的g - 边传递但非g - 点传递的图x 称为g - 半对称图特别地， 若g = a u t x ，则图x 称为半对称图进一步，若x 没有孤立点，a u t x 传递地作用 在弧集合a ( x ) 上，则称图足弧传递的或对称的一个既是边传递又是点传递的图 不一定足对称图然而，既足边传递又足点传递的奇数度图，则必是对称图显然， 对称图既是边传递图又是点传递图 半对称图的研究最早始于f o l k m a n 3 8 】，他构造了半对称图的一些无限类，提出 了八大问题其他学者也在半对称图方面做了大量的工作( 见f 3 9 - 4 8 ) ，并给出了运 用组合理论和群理论来构造半对称图的新方法近年来，许多学者利用覆盖图来研 究半对称图m a r u 吾论等利用覆盖理论构造了3 度半对称图的一个无限类，对蚝3 的 循环覆盖( 其保纤群包含一个边传递但非点传递的传递子群) 进行了分类( 见【4 9 ，5 0 】) ； w a n g 等对具有半对称性的蚝，3 的磊j 下则覆盖进行了分类( 见【5 1 】) h c a w o o d 图的 初等可换覆盖的半对称性在文献【5 2 ，5 3 】中已被确定利用 5 3 ，5 4 】中的方法，m a l n i 5 等在【5 5 】中确定了m s b i u s - k a n t o r 的初等可换群的极小半对称正则覆盖投射；f e n g 等在【5 6 】中证明了与覆盖图相关联的覆盖投射必是半对称的由于完全图硒不是 二部图，故不存在对称图使其为k j 的一个覆盖因而4 p ，4 矿和4 矿阶的3 度半对称 图一定足有限多个事实上，不存在4 p ，4 矿和4 矿阶的3 度半对称图另外，d u 等 在文献【5 7 】中证明不存在6 p 阶的3 度半对称图m a l n i 6 和l u 等在 5 8 ，5 9 】中分别 对2 矿阶和6 p 2 阶3 度半对称图进行了分类 关于3 度半对称图方面的研究，我们辛要对6 p q 阶的3 度半对称图进行了分类， 其中p 和g 是奇素数且有3 p q 3 关于广义正规子群与群结构关系的研究 4 第一章前占 正规子群在有限群的研究中起着十分重要的作用在正规子群概念的基础上， 不少群论学家引入了与正规性密切相关的且比正规性条件弱的一些子群o v s t e i n o r e 在文献f 6 0 1 中提出了拟正规子群的概念，即群g 的子群日称为拟正规子群，如 果对群g 的任意子群k ，都有h k = k 日显然，拟正规子群是对正规子群的一个 推广在文献【6 1 】中，拟正规子群也被称为置换子群1 9 6 2 年k c g e l 在【6 2 】中提出 了另外一个比拟正规子群更弱的子群，即g 拟j 下规子群群g 的子群日称为g 拟正 规的，若日与g 的所有s y l o w 子群都可置换王燕呜于1 9 9 6 年在文献【6 3 】中引入 了c - 正规子群的概念s k i b a 在【6 4 】中引入了弱g 可置换子群和弱g 可补子群( 实际 上就是w a n g 在【6 5 】中提出的a 可补子群) 李等在f 6 6 】中提出了c 可补子群的 概念上述拟正规子群，g 拟正规子群，c - 正规子群，弱g 可置换子群，弱g 可补子群 和以可补子群均称为广义正规子群 大量学者通过对有限群g 的任意素数阶子群在g 中的特殊性质来确定群g 的 结构s h a a l a n 在【6 7 】中证明了，若g 足一个有限群且其每个素数阶子群与4 阶子 群在g 中g 拟j 下规，则g 足超可解的自然而然地，学者们考虑将条件中群g 的 极小子群换成比g 小的子群的极小子群，从而得到下述结论：若g 是一个可解群 且f ( a ) 的每个素数阶子群与4 阶子群在g 中b 拟正规，则g 是超可解的( 见 6 8 】) ； 若g 是一群且p ( g ) 的每个素数阶子群与4 阶子群在g 中g 拟正规的，则g 是超可 解的( 见【6 9 】) 接下来，学者们将这些结果拓展到群系理论中，见 7 0 ，7 1 a s a a d 等 在f 7 2 ，7 3 】中得到的下列结论：设厂足一个包含超可解群系甜的饱和群系，g 是一 群且存在正规子群日使得a h 厂，若日( 或f ( h ) ) 的每个素数阶子群与4 阶子群 在g 中s 拟正规，则g 厂 在文献 7 4 i 中，学者们在p ( g ) 的每个素数阶子群在g 中口拟正规的条件下， 得到了群g 的一个特征在本论文中，针对上述结论我们给出了两个反例，并且将 上述结论作了一个修正在所结果的基础上，我们将条件限制在比f ( g ) 小的子 群p ( ) 上，其中是群g 的正规子群且使得g n 是超可解的，得到了一个推广 的结果另外，我们还得到了弱g 可补子群与c a - 可补子群的一些性质 本文共分为四章，主要工作及章节安排如下： 第一章，介 - j c a y l e y 图，3 度半对称图和广义正规子群与群结构关系的发展 和现状 第一章前占5 第二章，对卸2 阶二面体群的3 度c a y l e y 图进行了分类，得到了两个图正则表 示和一类非正规的c a y l e y 图另外，还得n - f 几类给定正规性的半二面体群c a y l e y 图之问的同构 第三章，对6 p 口阶的3 度半对称图进行了分类，其中p 和q 都足奇素数且有3 ，其中( i ，2 矿) = 1 若s = ，a ，6 ) ，取 仃：， 其中( i ，2 p 2 ) = 1 显然o r a u t g ，且 【口，a ，6 ) 。= o ，a ，” 因此在同构意义下仅需考虑 o ，a ，耐即可 若s = ，a ，a p 2 ，则 ( s ) = ( a ) g ， 故情况( 1 2 ) 不可能出现 ( 2 ) s 中不含2 矿阶元且s 中元不全为2 阶元 s 中的非2 p 2 阶元且非2 阶元的元素的阶数是矿，2 p ，p ，其元素形式为：，( i ，2 p 2 ) 1 ，矿因此s 为以下两种情况： ( 2 1 ) s = ，a 一，扩) ，其中( i ，2 p 2 ) 1 ，p 2 ； ( 2 2 ) s = a i ，a 一，6 ) ，其中( i ，妒) 1 ，p 2 对于上述两种情况来说，都有 ( s ) ( a ，b ) = g ， 故情况( 2 1 ) 和情况( 2 2 ) 均不可能出现 ( 3 ) s 中仅有2 阶元 i 主l - ：a u t g 在集合 a j b l j 锄 上的作用是传递的，故我们不妨设6 s 因 此s 可为以下两种情况： ( 3 1 ) s = a b ，a j b ，6 ，其中i ，j z 2 r a o ) ，i jr ( i ，j ) 呈磊p 2 ； ( 3 2 ) s = a 南b ，b ，) ，其中后锄 o ) r ( k ，矿) 竺z 2 f 对于情形( 3 1 ) 来说，可以分为 ，j 中至少有一个是珞中的元和i ，j 都t - 1 - 艇甘_ ：z 一, 2 p 。 中的元这两种情况进行讨论 若i ，歹中至少有一个是珞中的元，不妨设歹取 盯： = ， 显然盯a u t g 且 6 ，a b ，a t b 矿= 【6 ，a i b ，6 ， 其中亡= i - l j 由i 的任意性，可知可以取易矿中任意不为0 和1 的元 设= p ，a b ，a t 6 ) ，其中s 的下标t 与b 中是相一致的下面考虑s 在a u t g 作用下的轨道 群g 的任一同构映射有如下形式： 妒： ：二三6 ， 其中i 珞，j ：因而有 蹬= 凼，a i + j b ，a u + j b 设s ，= p ，a b ，n ，6 ，r t t 若存在群g 的一个同构映射妒使得 s i = s f 当且仅当 若j = 0 ，则有 a l b ，”6 ，o 抗卅6 ) = 6 ，a b ，口t 舛 i + 歹，t i + 歹) = l ，t 7 ) ， 进而可以得到 t t 兰1 ( m o d 2 p 2 1 若j = 1 。则有 i + 歹，t i + 歹) = 0 ，t ， 进而有 t + t 兰1 ( m o d 2 p 2 ) 或t ( 1 一t 7 ) 兰l ( m o d 2 p 2 ) 若j = t ，则有 ( i + j ，t i + 歹) = o ，1 ， 进而有 ，( 1 一t ) 兰l ( m o d 2 p 2 ) 或者一1 ) 三t ( m o d 2 p 2 ) 因此s ，与& 在a u t g 作用下同构当且仅当t 与t 满足下列条件之一：t t 三 l ( m o d 2 p 2 ) ；t + t 兰l ( m o d 2 p 2 ) ；t ( 1 一t ) 兰l ( m o d 2 p 2 ) ；t ( 1 一t ) 三l ( m o d 2 p 2 ) ；t 7 ( t 一 1 ) 三t ( m o d 2 p 2 ) 若i ，j 都不是珞中的元，又( i ，歹) 垡z 2 f ，则z ，j 必为一奇数和一偶数否则 若lj 均为偶数，则( z ，j ) ( 2 ) ，矛盾若ij 均为奇数且都不足珞中的元，则i ，歹三 o ( m o d p ) ，从而( i ，j ) 妇) ，矛盾不妨设i 为奇数，歹为偶数根据磊矿中元的形式 可知，i = 矿或i = l l p ，其中z 1 假设i = 矿由于o ( a j ) = o ( a 2 ) ，则存在矿a u t g 使得 从而 又取 显然口a u t g ，且 ( ) 仃= a 2 ，矿= b 6 ，a p 2 b ，6 ，盯= 6 ia p 2 b ，a 26 ) f 口_ 0 p 2 + 2 引t6 _ 矶 6 ，a p 2 b ，a b 口= 协6 ，n 26 ) 因此同构意义下仅需考虑 6 ，矿6 ，0 6 假设i = l l p ，其中z l 珞取 p ： 等 显然p a u t g ，且 6 ，a p b ，a t b p = 6 a h p b ，口j 6 ) 其中j = z 1 1 由于歹为锄中任意与p 互素的偶数，则f 可以取遍孙中与p 互素 的偶数 设岛= 6 ，a p b ，a t b ，其中s 的下标2 与a b 中z 是一致的下面考虑& 在a u t g 作用下的轨道 群g 的任一同构映射有如下形式： 妒： ：二：6 ， 其中z 珞，j 锄因而有 筇= 0 j 6 ，n 咖卅6 ，a a + j b 设s ，= 1 6 ，a p b ，a f6 ，且z z 若存在群g 的一个同构映射妒使得 警= s r 当且仅当 a j b ，q 咖卅6 ，n 甜钾6 = 6 ，a p b ，a 。” 若j = 0 ，则有 i p + j ，i l + j ) = p ，n ， 进而可以得到 r 三( m o d 2 p ) 或f f 7 三p 2 ( m o d 2 p 2 ) 勘= p ，则有 咖+ j ，i l + j ) = ( 0 ，n ， ! 曼箜兰童苤l 王尘壁墼g 型! 旦z 鬯丝堕全囹墼 l + 1 7 三p ( m o d 2 p ) 或i i 三p 2 + p l ( m o d 2 p 2 ) 若j = l ，则有 i p + j ，i l + 歹】= o ，p ) ， 进而有 i i 三p 2 + p 1 7 ( m o d 2 p 2 ) 或者z 7 l 三p ( 1 7 + ) ( m o d 2 p 2 ) 因此s ，与& 在a u t g 作用下同构当且仅当? 与1 满足下列条件之一：l 三( m o d 2 p ) ； u 三p 2 ( m o d 2 p 2 ) ；l + l 三p ( m o d 2 p ) ；i i 三p 2 + p l ( m o d 2 p 2 ) ；u 三p 2 + p l ( m o d 2 p 2 ) ；l l 三 p ( z + 1 ) ( m o d 2 p 2 ) 对于情形( 3 2 ) 来说，可以分为七足珞中的元和后不是珞中的元这两种情况 进行讨论 若南是珞中的元，取 r ：i a - - 4 a 詹 显然丁a u t g 且 a b ，b ，a p 2 ，r = a 七b ，6 ，a p 2 因而在同构意义下我们仅需考虑 0 6 ，b ，a p 2 若后不是珞中的元且( 七，矿) 笺z 2 p 2 ，则后为锄中与p 2 互素的偶数 由于d ( n 七) = o ( a 2 ) ，则存在口a u t g 使得 ( a 2 ) 。= a 岛，b a = b 从而 6 ，0 2 b ，a p 2 。= 6 ，n 七b ，a p 2 ) 所以在同构意义下我们仅需考虑伯，a p 2 ，a 2 6 】 2 44 p 2 阶二面体群3 度c a y l e y 图的正规性 在本节中，我们确定了4 矿阶二面体群的3 度c a y l e y 图的正规性，并且完成了4 矿 阶二面体群的3 度c a y l c y 图的分类，同时还得到了两个卸2 阶二面体群的图正则表 示和一类非正规c a y l e y 图 设x = c a y ( g