（基础数学专业论文）永久百慕大期权定价与偏微分方程.pdf

永久百慕大期权定价与偏微分方程 摘要 本文研究永久百慕大期权的定价问题采用二叉树方法和偏微分方程方 法分别对离散情形下和连续情形下的永久百慕大期权进行定价，构造出它们 相应的离散数学模型( 二叉树算法) 和连续数学模型( 抛物型偏微分方程的定 解问题) ，运用压缩映射原理证明永久百慕大期权( 离散和连续) 作为周期解的 存在唯一性，以及利用永久百慕大期权( 离散和连续) 对原生资产的性质证明 在实施口最佳实施边界点的存在唯一性，进而通过迭代法得到在实施e l 永久 百慕大期权( 离散和连续) 含有级数形式的定价公式，以及相应的最佳实施边 界位置所满足的非线性方程同时考虑到b l a c k s c h o l e s 模型的价格偏差，本 文也对带跳跃扩散项的永久百慕大期权进行定价，采用偏微分方程方法构 造出带跳跃一扩散项的永久百慕大期权的数学模型( 它是一个周期解问题) ，以 及给出其相应的定价公式和最佳实施边界位置所满足的非线性方程 关键词二叉树永久百慕大跳跃一扩散最佳实施边界v o l t e r r a 方程 p r i c i n go f t h ep e r p e t u a lb e r m u d a n o p t i o na n d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n a b s t r a c t w ec o n s i d e rp r i c i n gp r o b l e mo ft h ep e r p e t u a lb e r m u d a n o p t i o n w cm a k eu s e o ft h eb i n o m i a lt r e em e t h o d ( b t m ) a n d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nm e t h o d ( p d e ) t ov a l u et h ep r i c eo ft h ep e r p e t n a lb e r m u d a no p t i o ni nt h ed i s c r e t ea n de o n t i n u o u sc a s er e s p e c t i v e l y 、c o n s t r u c t i n gt h ec o r r e s p o n d i n gt h ed i s c r e t em o d e l ( t h ea l g o - r i t h mo fb t m ) a n dt h ec o n t i n u o u sm a t h e m a t i c a lm o d e l ( t h ev a l u ep r o b l e mo ft h e p a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ep e r l o d i cs o l u t i o no ft h ep e r p e t u a lb e r m u d a no p t i o n ( d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u s ) i sp r o v e db yu s i n g t h ee o n s t r a e t i o nm a p p i n gt h e o r e mf u r t h e r m o r et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h eo p t i m a le x e r c i s e db o u n d a r yi sa l s op r o v e db yu s i n gt h ep r o p e r t yo ft h ep e r p e t u a l b e r m u d a no p t i o n ( d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u s ) w i t hr e s p e c tt ot h eu n d e r l y i n ga s s e ta n d t h ep r i c i n gf o r m u l a so ft h ep e r p e t u a lb e r m u d a no p t i o n ( d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u s ) i n t h ef o r mo fs e r i e sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gt h en o n l i n e a re q u a t i o nw h i c ht h eo p t i m a l e x e r c i s eb o u n d a r yi nt h ee x e r c i s ed a t es a t i s f i e sa r em s o g i v e nb yi t e r a t i v ep r o c e s s i n t h em e a n w h i l e ，d u et oc o n s i d e r i n ge x h i b i t i n gs o m eb i a s e si nb l a c k s c h o l e sm o d e l ， w ea l s ov a l u et l mp e r p e t u a lb e r m u d a no p t i o nw i t hj n m p - d i f f u s i o nb yp d e t h e m a t h e m a t i c a lm o d e lo fi ti sg i v e n f u r t h e r m o r et h ec o r r e s p o n d i n gt h ep r i c i n gf o r u m l ao fi ta n dt h en o n l i n e a re q u a t i o nw h i c ht h eo p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r yi nt h e e x e r c i s ed a t es a t 西f i e sa r ep r e s e n tb yi t e r a t i v ep r o c e s s k e y w o r d s b i n o m i a lt r e e p e r p e t u a lb e r m u d a nj u m p - d i f f u s i o no p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r yv o l t e r r ae q u a t i o n y 7 3 4 2 7 2 硕士学位论文 永久百慕大期权定价与偏微分方程 引言 在金融中，期权定价已成为理论与应用研究的一个重要领域由b l a c k s c h o l e s 和 m e r t o n 发明的b l a c k s c h o l e s 模型已成为现代金融理论的代名词1 9 7 3 年b l a c k 和 s c h o l e s 在政治经济杂志上发表了题为k 期权定价与法人的义务的论文，标志着 金融革命的到来，从此，期权市场发展十分迅猛，金融衍生产品变得愈发广泛重要， 期权定价理论迅速崛起 目前，在金融市场上交易的期权大部分是美式期权，而且随着金融业的迅速发展， 为了满足市场特殊需求，许多非标准美式期权开始频繁在场外交易例如：百慕大期权 就是一种典型的非标准美式期权，它既不同于标准的欧式期权，也不同于标准的美式 期权，这种期权按合约规定只限期权在有效期内的一些特定时间才可以提前实施，在 其它时间它与欧式期权一样不能提前实旌百慕大期权是应投资决策和保险业等领域 的实际市场的需要而出现，而且实际市场里许多衍生证券都是属于百慕大期权范畴 例如：美式互换期权，可转换债券以及年金等，因此对百慕大期权进行定价在期权定 价理论方面和实际应用方面都具有重要的意义许多学者曾对百慕大期权定价进行研 究，对于非永久百慕大期权的研究已有不少结果1 9 9 6 年d w o n g 在假定市场是完 全的以及在i t 6 模型下，采用最优停时定理，推导出百慕大期权定价公式( ) ；2 0 0 2 年，m a r t i ns c h w e i z e r 在假定市场是不完全的以及原生资产演化过程是一个半鞅条件 下，通过超复制对冲方法得出百慕大期权的定价公式( 2 】) ；以及姜礼尚教授在著作 中在b l a c k s c h o l e s 模璎理论框架下，采用偏微分方程方法对百慕大期权进行研究等 但相应于永久美式期权，作为美式期权的一个特殊品种：永久百慕大期权，目前对其 研究还尚少 永久百慕大期权是一张没有到期日的美式期权，但它的实施日只是在某些特定的 日期才能进行例如：每周星期一，或每月十号等等为确定计，假定两，卜相邻实施 时间的间隔都是相同的例如：都是一周或一月等等这张期权的定价除了依赖于 标的资产的价位外还与到下一个实施日的时间问隔有关，因此它的价格具有周期性， 其中两个相邻实施时间间隔就是它的周期，所以它是一个周期解问题 众所周知，永久美式期权定价作为一个自由边界问题的解已被解决( 【3 ” ) ，其定 价只依赖于标的资产的价位，而与时间无关，在数学上，它的价格满足一个常微分方 程，而永久百慕大期权的定价仍然与t t 寸l s l 有关，因此在数学上，它的价格满足一个抛物 硕士学位论文2 型偏微分方程因此对于探求其定价公式造成很大匿难，而且永久百慕大期权它也是 一个美式期权，在规定实葱日，同样需要考虑最佳实施边界问题，而最佳实施边界是 一个十分复杂的问题，至今还没有得到很好的解决虽然2 0 0 2 年s1b o y a r c h e n k o 和 szl e v e n d o r s k i i 在假定原生资产价格演化服从l e v y 过程条件下，通过w i e n e r h o p f f a c t o r i z a t i o n 方法推导出永久百慕大期权的定价公式( 见嘲) ，但目前尚未发现用二叉树 方法和偏微分方程方法对原生资产价格演化服从几何b r o w n i a n 运动下对永久百慕大 期权进行定价的研究由于几何布朗运动是原生资产价格演化的一种重要连续模型， 在该模型下对期权进行定价更接近于期权的实际价格规律，所以这一研究是卜分有意 义的本论文正是在b l a c k s e h o l e s 的理论框架下，分别采用离散方法二叉树方法与连 续方法偏微分方程方法分别对永久百慕大期权进行定价首次刻画了永久百慕大期权 离散的数学模型( 二叉树算法) 和连续的数学模型( 抛物型偏微分方程的定解问题) ，通 过压缩映射原理证明了永久百慕大期权( 离散和连续) 作为周期解的存在唯一性；进而 通过期权价格对原生资产价格的性质( 如单调性，期权价格的变化量不超过原生资产 价格的变化量等) ，证明了最佳实施边界点的存在唯一陛；与此同时，把期权价格所满 足的非线性方程转化为一个v o l t e r r a 型积分方程，利用迭代法得出了永久百慕大期权 ( 离散和连续) 的定价公式 现对本文的研究特点作若干说明： 首先，二叉树方法( b t m ) 亦称c r r 方法，它最早在f 6 中被c o xr o s sr u b i n s t e i n 提出二叉树方法既是一个计算期权价格离散的数值计算方法，又是一个期权定价的 离散模型，本质上它是一种概率方法而大量的期权定价问题都可以通过二叉树方法 计算出价格以及它的简单性与易操作性，它已被金融界人士广泛接受 其次，由于期权作为一一种金融衍生产品，它的定价模型取决于原生资产价格的演 化模型在连续时间情形，原生资产价格演化可以通过一个随机微分方程来描述，从而 在此基础上，作为它的衍生物一期权的价格适合的是一个偏微分方程的定解问题因 此利用偏微分方程的理论和方法，建立期权定价的数学模型，导出期权的定价公式， 对期权的价格结构作深入的定性分析，这是一个行之有效的方法，本文正是沿着这一 息路，采用二叉树方法和偏微分方程方法对离散情形下永久百慕大期权和连续情形下 的永久百慕大期权进行定价它的数学模型以及相应的定价公式的探求不仅对衍生证 券的定价有意义，而且在投资和保险业等领域都有重要作用 最后，在金融上突发事件( 例如：自然灾害，重大政治变革) 等引起的价格的剧烈 变动在实际市场上屉较为普遍的，而b l a c k s c h o l e s 模型并未考虑突发事件情况，许多 经验分析指出这种模型给出的价格与实际价格出现偏差，此时跳扩散是对基础资产价 格演化的更加符合实际市场的描述对此，在c o x ，r o s s 7 】中引入纯跳的模型，即原生 资产价格遵循一个已知大小的跳跃过程但没有扩散项，这时的金融市场是完全的，即 硕士学位论文3 存在唯一的公平价格，m e r t o n 8 】推广这种跳模型为跳跃一扩散模型，价格的正常变 动部分仍遵循标准的b r o w n i a n 运动，这就是扩散部分；价格的非正常部分是用跳过 程来描述在理论上，由于跳扩散模型在金融研究的各个领域都有广泛的运用，对这 个模型进行研究在金融研究的各个领域中都将产生广泛的应用价值但目前也尚未发 现对原生资产价格演化服从跳跃一扩散模型下，采用偏微分方程方法对永久百慕大期 权进行定价研究因此本论文也将对带跳跃一扩散项的永久百慕大期权采用偏微分方 程的方法进行期权定价 本文的正文部分安排如下：在第一部分里，采用二叉树方法对永久百慕大期权进 行定价，给出其相应的离散数学模型与定价公式；第二部分。着重在b l a c k s c h o l e s 模 型的理论框架下采用偏微分方程的方法对连续型永久百慕大期权进行定价，得出其相 应的数学模型与定价公式；第三部分，主要是在原生资产演化服从跳跃扩散模型下， 采用偏微分方程方法对永久百慕大期权进行定价，构造出相应的数学模型以及求出其 定价公式 硕士学位论文 第一章永久百慕大期权的二叉树定价 5 1 1欧式期权与美式期权的二叉树方法 4 二叉树方法作为期权定价一种离散的模型和数值方法最早被c o x ，r o s s 和r u b i n s t e i n 于1 9 7 9 年在他的文章 6 中所提到，由于该数值方法用于期权定价简便且易操 作，现已被金融界广泛接受下面介绍欧式期权与美式期权的二叉树方法 把期权的生存区间 0 ，卅，细分为个子区间： 即 a t = 丁，t 。= n a t ，n = 0 ，1 ， 记 w = v ( s j ，t n ) ，s j = 舻，j z 表示期权在t 。时刻，标的资产的价格为马时期权的价格假定s j 从t 。到t 。，变化 只有两种可能：或者以概率p 上升为s j u ，” 1 ( 上升因子) ，或者以概率1 一p 下降为 岛d ，0 妒，o 。+ 1 j = j 0 。+ 1 ( 1 3 4 ) i 蟾= 专( 翟) p m - x ( 1 一p r k + m _ 2 z 妒，j j 。+ 2 - z = 0 证觋： 当j 0 ，= 0 ，显然嵋0 当j = o ， o 硕士学位论文 当一o 。 0 ，我们可以断言存在且唯一的一个元素j 。z 一使得 j 易茎o j5j 。 l ，f 0j ， 即 2 = e z u f - 。= 专一1 奶， j 且j z 引理1 3 2 证毕 基于引理1 3 2 ，问题a ：是等价于问题a ：问题a ：寻找 巧，) 使之满足 结合( 1 3 1 ) ( 1 ，3 4 ) ，我们甭，当j2 ，。， 一d 急。( 驴弋胎删。z + 专( 护叫曲+ 孑各l 9 尸u 卜纠+ m 曲 这里h = m i n n l n 。，7 , e - z ) 不失一般性，假设m 是一个正偶数 记j = j + m 一2 y ，那么 当j o 。足一个负偶数时， 一。，盛m1 ( 1 胁。 。p m t t ( 华) p - - 学( ， ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) m 霄 ，歹。尹 飞 哪 屯鬈 蚝 曼 刖咖 硕士学位论文 当j 。是一个负奇数时 这里 m k = 二p m z = 【2 巡= ( ：) p m 。( 1 一p ) 。妒j + m 2 。 j + m+ ( f 盛p h + 1 + ； 1 - ( 1 ) 】 、2 7 掣( 1 一p ) 掣k ) ( 13 9 ) + 表示为偶数或为奇数的和式 ， 定义函数g ( j ，j ，m ) 如下 当j 。是一个负偶数时， 嘶，m ) ： ( 毕) p “半( 1 纠学1 叫1i ，( 1 0 j k 2 ，谚( 们，k 】) _ 巧( 口2 ，k 2 ) g ，由( 1 21 ) ，记垆k ) = e ( g ，k ) ，根据反向归纳法，我们有 当礼= 吖时，显然1 7 ( 吼，k 1 ) 2k ”( 啦，尬) ， 假设n = k 时，w ( 口1 ，k 1 ) ”( q 2 ，k 2 ) 成立 那么= 一1 时， 哆一1 ( 钆= ：【p 略，( 9 1 】蚓+ ( 1 p 1 ) 幢，( q 。，k 。) 】 2 洳，( q 2 ，k 2 ) + ( 1 一p 1 ) 噔( q 2 ，虬) 】， 由于盼一( 9 2 ，尬) = = 1 p 。嗡1 ( q 2 ，配) + ( 1 一p 2 ) 睡，( 魁) ，因此 1 哆1 ( g l ，4 ) 一喈“1 ( q 2 ，坞) i ( p 2 一p ，) ( v 兰1 ( 驰，k z ) 一v 务( 啦，k t ) ) 】， 又由于哮，虬) 嗡，( 啦，鲍) ，且旷舻訾 o ( 驴啦) ， 所以1 时1 ( g l ，k 】) ”1 ( 驰、k 2 ) 当= 2 时，u 1 ( q l ，k 1 ) 2u 1 ( 口2 ，k 2 ) ，根据 i f k p 驴) j 【q ：k ) = ma c w ( g ，k ) ，酌定义以及仍对k 单凋递增，有( f 么押y ) ，( q 1 ，k 1 ) ( f k ，矿) ，( 口2 ，k 2 ) ，即算子珏神关于髟对参数q ，k 单调递增性封闭 同理可证算子f 1 押关于吃对参数r 单调递流陛封闭因此算子f 1 帅为g 到其 自身的一个压缩映射 若让c ( s ，r ，口，口，k ，l ) 和p ( s ，tg ，盯，k ，) 分别表示永久百慕大看涨和看跌期权 在实施日的价格，由看涨一看跌期权的对称关系式( 见本章附录) ，我们将上述结果概 括成下面的定理： 硕士学位论文 1 2 定理1 4 2 ：( 1 ) 当s t ，r t ，q ，k 时，c ( s ，tq ，口，k ，l ) 十 ( 2 ) 当s l ，r0 ，g t ，kt 时，p ( s ，r ，口，q k ，l ) 十 注：由永久百慕大期权的金融意义可知，g ( s o q ，o - ，k ，l ) ，p ( s ，r 1q ，正k ，l ) 都 是( 9 - 的增函数不幸的是我们不能用二叉树方法证明这一点，但是，上面所有的性质 包括波动率( 9 - 对期权价格的影响都可用偏微分方程方法来证明，( 见第二章) 1 5数值算例 在这一部分里，我们将基于已得到的永久百慕大期权的定价公式进行一些数值计 算在下面的算例里，假定a t = 一天，r = o0 7 ，q = o 0 2 ，o - = 0 4 ，k = 1 ，和l 分别被 设为一周，三个月，一年由于( 13 1 2 ) 是以p 一“硝为控制收敛的，这里p = 1 + r a t ，l = m a t ，n 表示( 1 31 2 ) 的第项，即需要迭代的次数，所以为了得到精确值，迭代次 数的选取与l 的大小有关，l 小，则n 就大，工大，则n 就小而且经过计算， 可知道( 】3 - 1 2 ) 的值主要集中在前面几项，而后面各项的值迅速减小f 理论上可由 二节里a ( j ，j ，m ) 函数的性质以及由因子保证) 下面将在误差控制在o 0 0 l 范围 内，分别把l = 一周，三个月，一年时所需要的迭代次数和相应的最佳实施边界点以 及对于不同的s 所得到的期权值列在如下表一，表二由表一，从纵向看我们可以看 出对任意给定的l ，峙= y ( 岛) 对s j 呈单调递减，且y ( s j ) 的变化量小于岛的改变 量，且逐渐变小；从横向看，对于任意固定的s ，随着工的逐渐变小，y ( s ，) 逐渐变 大且趋于永久美式期权的二叉树价格v o ( s 1 ，作为一个离散的自由边界问题( 见【9 1 ) ， 这表明当两个相邻的时间间隔l 趋于零时永久百慕大看跌期权的二叉树价格将逐渐趋 于永久美式看跌期权的二叉树价格从表三，可以看出期权价格关于波动率( 9 - 呈单调 递增性质 表一 j y ( s ) ，l = 一周y ( s ) ，l = 三个月1 7 ( s ) ，l = 一年( s ) 岛= o 40 60 6060 6 l05 05 0 3 2o 5050 5 0 7 8 060 4 3 0 1 0 4 2 7 404 1 5 70 4 4 1 6 f0 7 03 7 5 0o 3 7 2 7o 3 6 4 4o3 9 2 4 1080 3 3 1 70 3 2 9 60 3 2 2 90 3 5 4 2 l 0 90 2 9 6 70 ，2 9 4 90 2 8 8 90 3 2 3 6 l1 00 2 6 7 80 2 6 6 10 2 6 0 802 9 8 5 ill0 2 4 3 60 2 4 2 00 2 3 7 102 7 7 5 l120 2 2 2 80 2 2 1 402 1 6 902 , 5 9 6 l130 2 0 5 00 2 0 3 601 9 9 40 2 4 4 1 硕士学位论文 表二 f 三= 一周l = 三个月l = 一v 链j n 6 04 62 7 1 1 = t , 3 0 0 0 4 6 0 00 5 0 0 00 5 6 0 0 这里s o = o 4 3 3 9 ( 永久美式期权的最佳实施边界的位置) 表三( l = 一周) i v ( s ) ，口= 0 2v ( s ) ，口= o ，4v ( s ) ，盯= 0 6 岛= o 7 0 30 3 7 5 00 4 9 2 1 0 80 ，2 0 4 003 3 1 70 4 6 3 3 0 90 1 4 4 10 2 9 6 70 4 3 8 7 10 1 0 4 30 2 6 7 80 4 1 7 4 l ，l0 0 7 7 10 2 4 3 60 3 9 8 6 1 20 0 5 8 162 2 2 80 3 8 1 9 1 3 附录 设e ( s ；p ，q ) ，p ( s ，k ；q ，坊，以及s c ( j d ，日) ，s ( n7 7 ) 分别是支付红利的永久百慕 大看涨期权与看跌期权在实施日的期权价值和最佳实旌边界位置，则 叩，即= 妻p ( 等，硒， 、s 。( p ，q ) 昂( p ) = k ， 这里k 是敲定价格，p = 1 + r a t ，目= 1 十q a t ，s = 舻，j z 硕士学位论文 第二章连续型永久百慕大期权的定价 5 2 1 b l a c k s c h o l e s 模型简介 期权定价是一个古老的问题早在1 9 0 0 年，l o u i sb a c h e l i e r 发表了他的学位论文 “t h o r i ed ei as p & u l a t i o n ”( 投机交易理论) 首次利用随机游动的思想给出了股票价 格运行的随机模型1 9 6 4 年p a u ls a m u e l s o n ( 诺贝尔经济学奖的获得者) 对lb a d l e l i e r 的模型进行了修正，以股票的圆报代替原模型中的股票价格，克服了原先模型中可能 使股票& 出现负值的不合理情况 基于这个模型，p s a m u e l s o n 还研究了看涨期权的定价问题结果可以表述为： 设y 是看涨期权的期权金，s 是股价，k 是敲定价，丁是到期时间， 则 v = e 1 j i s e 。n ( d 1 ) 一耳( 如) 1 】( 2 1 1 ) 其中 ，1 ( s k ) 十( n ；+ 1 0 - 2 ) 丁 1 = = = 2 一一一 o q l ( 2 1 2 ) d 2 = d l - a 行，忡) = 而1 仁e 嘞o = ， 这里。，分别是原生资产价格s t 和期权的价格k 的回报在 = t 时刻的数学期望 值这两个量依赖于投资人的偏好，因此虽然这个公式很漂亮，但在实际交易中它是 不熊应用的1 9 7 3 年f i s c h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 建立了看涨期权定价公式 v = s n ( d 1 ) 一k e l 7 ( d 2 ) ( 2 1 3 ) 与公式( 2 1 1 ) 相比较，在这里。，q 。已经不再出现，取丽代之的是无风险利率r 这个 公式的创新之处在于不依赖于投资人的偏好，它把所有投资人引向同一个以无风险乖j 率作为投资回报率的风险中性世界( r i s k n e u t r a lw o r l d ) 1 9 9 7 年由于这个光辉的公式 以及由此产生的期权定价理论方面的一系列贡献，m s c h o l e s 和rm e r t o n ( f b l a c k 已 故) 获得诺贝尔经济学奖 一f 面简单介绍b l a c k s c h o l e s 模型的推导 基本假设： ( a 1 原生资产价格演化遵循几何 r o w n 运动 t n a 7 d t ：d t + a d w , ，( 21 4 ) 硕士学位论文 这里 卢期望回报率( e x p e c t e dr e t u r nr a t e ) ( 常数) ， o - 一波动率( v o l a t i l i t y ) ( 常数) ， d 眠一标准b r o w n 运动( s t a n d a r d b r o w nm o t i o n ) e ( d ) = 0 ， v a r ( d w t ) = d t ， ( b ) 无风险利率r 是常数， ( c ) 原生资产不支付股息， ( d ) 不支付交易费( t r a n s a c t i o nc o s t ) 和税收( t a x ) ， ( e ) 不存在套利机会 利用一对冲原理，我们来给出期权定价的数学模型 形成投资组合 f i = v a s ， ( 是原生资产的份额) ，选取适当的a 使得在( t ，t + d t ) 时段内，1 1 是无风险的 设在时刻t 形成投资组合，并在时段( t ，t + d t ) 内，不改变份额a ，那么由于n 是无风险的，因此在时刻t + d t ，投资组合的回报是 坠譬旦：吣d 兀， 即 d k a d s t = r n t d t = r ( k a & ) d r ( 2 1 5 ) 由于 k = y ( ，t ) ， 其中s t 是由随机微分方程( 21 4 ) 确定的随机过程，因此由i t 6 公式 d k = ( 并+ ；一2 s 2 器+ “s 丽o v ) 出+ 。s 丽o v d 眠 把它代入( 2 1 5 ) 得 ( 差+ j 1o 2 s 2 岩十卢s 丽o v 一删出十( 一s 豢一a a s ) d m = r ( v a s ) t i t f 2 1 6 1 硕士学位论文 1 6 由于等式右端是无风险的，因此等式左端随机项d 帆的系数必为o ，即选取 = 丽o v ， ( 2 1 7 ) 将它代入( 2 1 6 ) ，并消去d t 得到 面o v 坤12 s 2 筹郴菇训一o - 这就是刻画期权价格变化的偏微分方程- - b l a c k s c h o l e s 方程 因此为了确定在合约有效期 o ，t l 内期权的价值，就是在区域： 0ss 岛剐， u ( s 2 ) 一u ( s 1 ) s t s 2 根据f ( s ) 和妒( s ) 都是关于s 单调递减以及( 2 3 4 ) ，我们有 u ( 岛) 一u ( s ) x 卜e 叭驴一q 角， 一矿( s 。e ”a 、厄+ ( r - q - 譬) 。) 】d ， 妒( s 。) 一妒( s ，) 1 由于 矿( s 2 e u “以+ ( r 一。一譬一f q s 以+ ( 一口一譬) 。) e ”口以1 ( r 一。一譬皿( s l 一是) 得到 d ( & ) 一痧( s ，) m a x p ，j 去e 昏析仲十南，吲岫，( s t 岛矗 硕士学位论文 = m o eq l o a - - 函e 一掣阶驯引) = m & x e - q l ( s 1 一s 2 ) ，s 1 一s j ) = s l 一岛 因此算子r 是一个从工二到l 二的映射 为了证明p l 是一个压缩映射算子，对任意0 ，矿l l ，考虑差分算子r u p l y 根据算子的定义，我们有 ( p 。疗) ( s ) 一( 尸。矿) ( s ) l e 吨r 三! 、 ，一、2 丌 伊( s a 以+ r - q - 譬) 。) d u ， 甚 l l 最，驴一p 。矿l i 。e 一7 1 1 0 一矿i i 。 由于0 s 。 ( ks ) + y ( ) d s = 如 s = 砰 f f ) m n ，i 廷 “ 一 r ， - p v 吁 、-l，iij、il，i，一 ，il，、_lt_l，-_，、ll-_、 硕士学位论文 证明：当q o 时，引理23 2 是定理2 31 里v ( s 2 ) 一v ( s 1 ) s 1 一岛的证明的 当q = 0 时，当s k ，妒( s ) = ( k s ) + = 0 ，v ( s ) 0 显然成立 在0 s k 情景下，考虑辅助函数，( s ) ，s 兄+ 如下： 邶障一i ：”焘唧卜噎枣k 虹郴， 作变量替换。：! 竺娑二一迦，那么 作变量替换 = _ i 一l ，那么 盯、l ，( s ) ：。一r 。+ 一一o o 1 嘉。一! ；：，( s 矿u a 、工+ ( r 一譬) t ) d 。一妒( s ) ( 2 3 6 ) 不难证明f ( s ) 关于s 严格单调递增事实上，对任意k s ， s 2 0 假设 存在f 为非空集合，且m e 0 ，使得对任意s e ，v ( ) 一v ( s 1 ) s 1 一岛，否则 v ( s ) = o s ( n r ) ( 或除了一个零测集外) ，但显然它不是问题a 的解，这与定理 2 3 i 矛盾因此 ，( 岛) 一，( s ) 。吼厂十0 。圣。 jo 。 2 ” 2 i y ( 。s 2 e 伸一, t 十( r 一譬) l ) 一y ( s l e a v 亿十p 雩) l ) 】d 一【妒( ) 一妒( s 1 ) “产 可拈上去e 1 一叭s 2 e ”o v z + 0 ，f ( o ) = ( e 。一1 ) k 0 s k ， 。 因此( 2 3 5 ) 是( 2 3 1 ) 的个结果引理证毕 基于( 2 3 5 ) ，问题( 日) 是等价于问题( b ) 问题b ：寻我 y ( s ) ，s o 。) 使之满足 v ( s ) = v ( ，) 现在我们对( 2 38 ) 进行求解 定理2 3 3 ：( 2 3 ，8 ) 的解能被表示成如下形式：当s t ， 踟叫( s ，l + 善以。萨o 吼叫以町，l 却， 这里 p s v ( s ，l ，) = fc ( s ，o ，l ) 噼一) ， g ( s ，0 ，q ，l ) = g 卜1 ( s ，0 ， p 一垂中靠 上佤 一 f 硕士学位论文 2 2 它是一个第二型v o l t e r r a 积分方程通过迭代法，它能被求解记护( s ) = 妒1 ，s 。) 和迭代过程如下： v 。+ 1 ( s ) = 妒( s ，l ，s 。o ) + 6 1 ( s0 ，叩，l ) y 2 ( 即) d r ；，七= 0 ，1 ，一， 这意味着二 y o ( s ) = e ( s ，l ，氏) ， v 1 ( s ) = 妒( s ，l ，i s 。) + a ( s ，0 ，r l ，l ) 妒( 叩，l ，s o o ) d 叩， v 2 ( s ) = 妒( s ，l ，s ) + a ( s ，0 ，叩，l ) 妒( 叼，l ，5 k ) d r + 正( 以。g ( s 翔朋，工) g ( 矸1 o l ) 以 1l 】出) d 弘 ( 2 3 1 5 ) 对于( 2 3 1 5 ) 等式右边第三项，交换变量q 和 的积分次序，我们有 v 2 ( 5 t ) = 妒( s ，l ，i 9 0 。) 十 g ( s ，0 ，卵，工) 妒( 即，l ，s 。) d 即 + ! 。( ! 。g 慨0 , t h l ) g ( q ，o 三) 妒( ，l ，氏) d ”) d ( ， js 。js p o 。 f o o 俨( s ) 2 妒( s ，l 鼠) + 以。a ( s ，o , r h l ) 烈仉l ) d r + 一- - g 2 陋，o ) 日“仉l 氏) d ” j s 一 然后v 2 ( s ) ( = 3 ，4 ，) 能被同理可推得到基于算子见压缩性的证明，序列护( s ) 在s s 。一致收敛于v ( s ) 由于y ( s o o ) = ( k s 。) ，把s = 咒。代入( 2 3 9 ) ，立得 f 2 3 1 4 ) 因此我们已经证明了定理2 3 3 2 4参数r ，q ，o - ，k 对期权价格的影响 在讨论备参数对期权价格的影响之前，我们先对( 2 2 2 ) 式作如下变换： z = 1 n s ，t = l t ，u ( z ) = y ( s ) ，面( z ，丁) = e ( s ，) ，妒( s ) = 妒( z ) ( 2 41 ) 定解问题( 2 2 2 ) 转化为 f 蓑o rj 丢2 竺磐) ( r - - q 一窆羧豇0 粥蚰， 1 面( 岱，o ) = u ( ) ( 一。o z 十o 。， 冬l j 、一7 i ”( z ) = m a x ( i ( z ，l ) ，妒扛) ) 硕士学位论文 2 3 在定理2 31 里，已经证明了永久百慕大期权在实旎日的期权价格v ( s ) 为算子 吃( 见232 ) 在闭集工二上的一个不动点其实我们还可以证明y ( s ) 为算子圪在闭 集ccl 二上的一个不动点，这里c = y ( s ) 上二lv ( s ) 为s 的下凸函数) 事实一h ， 只要验证算子吃是否为闭集e 到其自身的映射，而压缩性仍然成立由算予咒的定 义以及对( 22 2 ) 作变换( 2 4 1 ) ，由( 2 4 2 ) 的极值原理以及c p ( s ) 为下凸函数，能容易证 明吮为闭集c 到其自身的一个映射，因此v ( s ) 对s 单调递减且为s 的下凸函数以 及l i p s c h i s z 连续，根据偏微分方程理论( 见 1 d 1 2 ) ，可取磨光函数k ( s ) c o o ( r + ) ， 使得l i m k ( s ) = v ( s ) ，且嵋( s ) s0 ，k ) 仍然为s 的下凸函数，相应于变换( 2 41 ) ， 记毗( z ) = k ( s ) ，讥( o ，r ) = k ( s ，t ) ，以及魄( z ，t ) 满足的相应的定解问题如下： 掣一譬掣一( r 一9 ：趸0 - 2 糍巽2 。脚 豇。( ，0 ) = “。( z ) 引理2 4 1 ：对于任意给定的也( z ) ，均有塑掣一咄( z ，r ) 丛t 证明：令训( 。，) ：竺掣一啦( 。，r ) 一笪，不难验证，w 适合方程 o xr 掣一生2 型a x 业2 一( r - - q - - a 。2 ) o w 矿( x , 7 。r ) r ) = 一以姐 珈埘，吣，0 ) - 掣q 一等斯掣= s 紫s 唧 叫( z ，o ) o ，由极值原理( 见 3 ) ，立得”( 。，r ) 0 ，若妒( s ) = ( k s ) + ，那么算子r 是从闭集d 羽i 闭焦d 的一个乐缩算子 硕士学位论文 其中 。= 。姜荔糍器) i i y 2 翼簿i v ( s ) l - 证明：由定理2 31 ，算子p 上的压缩性仍然成立主要证明算子p l 为闭集d 到 自身的一个映射一对于任意t ( s ) d ，记驴( s ) = 矿( s ，z ：) ，r 。 r 2 ，同样可取磨光函 数w ( s ) c ”( r + ) 使得! i ，m o e ( s ) = v 2 ( s ) ，且v l ( s ) 茎0 ，嵋( s ) 仍然为s 的下凸函 数，相应于变换( 2 4 ，1 ) ，记面；( z ) = 露( s ) ，噬( z ，r ) = 谁( s ) ， 令鲫( z ，丁) = 面；( z ，丁) 一百：( z ，r ) + 警，不难验证 ( 。，r ) 适合方程 掣一壁2 型o z 型2 一( r 2 - q - 譬) 掣怕吣，r ) = 学+ r 2 ( 锷字r ) ) - 嘣擎! 叫r ) ) - ( r 。南掣叫巾等， 上述最后一个不等号是根据引理2 41 得到。 在r = 。上，w ( z ，。) = i ：( 。) 一i ：( z ) + 学。 根据极值原理，训( z ，7 - ) 不能在 z r ，0 n ，( p 上矿) ( s ，r ，) ( 兄扩) ( s ，r 】) 所以算子吃对于矿( s ) 关于参数r 单调递减的性质 封闭，同理可证算子吃对于矿) 关于参数q 单调递增和关于参数k 单调递增的性 质封闭 而对于任意o - 1 0 - 2 ，记 其中唾( z ，t ) = 日。( z ，r ，吼) ，( i = 1 ，2 ) 不难验证( z ，r ) 适合方程 掣一譬噶脚一( r -