数理经济复习提纲及解答.doc

数理经济复习提纲1.叙述弹性的一般定义：一般的，函数关于的弹性定义为或2.证明：（1）两个函数乘积的弹性等于这两个函数弹性的和；证明：令，二者的积记为，需证明.事实上，从而有（2）两个函数商的弹性等于这两个函数弹性的差。证明：令，二者的商记为，需证明事实上，从而有.3.已知逆需求函数为P = 12.5Q-0.05，求需求的价格弹性；解：在逆需求函数的两端取自然对数并简化得，而，因此需求的价格弹性为4.用数学语言解释边际概念；一种产品的边际效用，是指在原有的边际消费水平下再追加一个消费单位所增加的效用，记作，数学上表示为由于, 故经济学者一般用度量边际效用，即=.任一点处的边际效用，叫做边际效用函数，表示为=.5.用数学语言表述边际效用递减法则；(指在一定时间内，一个人消费一种产品的边际效用随其消费量的增加而减少)数学上边际效用递减法则是指边际效用函数是消费量的减函数，即有，因此，凹效用函数可使边际效用递减法则成立.6.证明：考虑任意市场中的某厂商，并假设TR(Q)和TC(Q)分别是其总收入和总成本函数，则利润函数P(Q) = TR(Q)-TC(Q)在Q*处获得极大值的一阶必要条件是Q*满足：MR(Q*)= MC(Q*),并给出经济解释 ；证明：由于在处获得极大值，因此又,因此，满足经济解释： 一个厂商应该继续生产产品，一直到再多生产一单位产品的成本刚好与该单位产品所带来的收入相抵消。若下一个单位产品给厂商增加的收入大于它给厂商增加的成本，则生产下一个单位的产品将增加厂商的利润，因而厂商应继续生产。若再多生产一单位的产品所增加的成本大于它给厂商（在市场上）增加的收入，则再多生产一单位的产品将减少厂商的利润，即厂商本应该提早停产。7. 叙述并证明：完全竞争市场的利润极大化的二阶充分条件；叙述：假设满足，则在处取得极大值的充分条件是，即证明：由极值的二阶充分条件当函数在处有时，在处取得极大值。8. 叙述并证明：考虑完全竞争市场情形，利润函数获得极大值的必要条件；叙述：考虑完全竞争市场情形，假设厂商面对既定的价格，则利润函数在处获得极大值的必要条件是满足=证明：因为在完全竞争的市场情形，此时厂商的总收入为,边际收入为一条水平直线=（如下图），为厂商的均衡产量，此时有，即=9. 给定厂商的成本函数C(Q) = Q3-14Q2+69Q+128，其中固定成本为128，试求厂商的有效供给曲线；解：厂商的供给曲线为停止生产点曲线的最低点以上的那部分边际成本曲线，其方程组为用两种方法求曲线的最低点。法一：微分法,=,=2.令=0，得=7，又事实上，处处大于零，因此是凸函数，故曲线的最低点的纵坐标为法二：由定理3.3.3知极小值点必须满足=，即，得=7.又因为，所以曲线的最低点的纵坐标为。从而厂商的供给曲线为10.证明：对于完全垄断市场以及其它各种不完全竞争市场，则MR必然低于AR，即MR 1和c 0；市场的反需求函数为PD = g(Q)，对垄断厂商课以一个从价税r. （1）分别求课税前后的最优定价P*和P*；（2）证明厂商在课税后的最优定价一定大于课税前的最优定价，即P* P*；（3）厂商在课税后的最优产量Q*一定小于课税前的产量Q*. 解：（1）在不征收从价税情况下，据式知，厂商的最优供给量满足，而最优定价为在征收从价税的情况下，据式可知厂商的收益为.边际收益为，从而厂商的最优供给量满足，而最优定价为（2）比较式和可知，这说明课税后厂商的定价会提高。（3）令课税前后的最优产量分别为和，则和.注意到反需求函数是单调递减的，所以其反函数一定也是单调递减的。因此由可得.12.厂商在一个完全竞争市场上组织生产，成本函数为TC = C(q)，.产品的市场销售价格为P. 如何安排产量才能获得极大利润？（1）把厂商的产量安排问题表示成一个极值问题；（2）写出厂商最优产量(均衡产量)满足的一阶必要条件，并解释其经济含义；（3）写出厂商最优产量满足的二阶充分条件，并解释其经济含义；（4）假设q*满足（2）和（3）中的一阶必要条件和二阶充分条件，分析产品销售价格分别对最优产量和最优利润的影响？（5）解释二阶充分条件在比较静态分析中所起的作用. 解：（1）令表示厂商的利润，则，因此厂商的问题相当于求一元函数的极大值问题。（2）最优产量应满足的一阶必要条件为或.这说明最优产量处的边际成本等于产品的销售价格。（3）最优产量应满足的二阶充分条件为即即在附近边际成本是递增的。（）需分别求和为此首先必须确认和都是的一元函数，这需要从一阶必要条件式出发。下面利用复合函数求导法则给出求的一种方法。由于和，所以，进一步利用一阶必要条件可将式化简为且其经济含义是最优利润也是随着产品销售价格的增加而增加。（此问页还有另一种解法）（）从求解（）的过程中看到二阶充分条件可确保比较静态分析的进行。13.给定效用函数，这里X和Y分别表示软饮料和汉堡包的消费量.（1）分别验证软饮料和汉堡包的边际效用递减法则是否成立？（2）求软饮料对汉堡包的边际替代率；（3）这个边际替代率是递减的吗？（4）分别解释点A = (5，20) 和B = (20，5) 处的软饮料对汉堡包的边际替代率的含义解：（）首先求出汉堡包和软饮料的边际效用函数，（对效用函数进行二阶偏导）容易看出随着增加而减少，随着增加而减少。因此两种商品的边际效用递减法则都成立（）（）由（）的结论可知边际替代率是商品的消费量的递减函数。（）(5,20)点表示消费者有较少的软饮料（5个单位）和较多的汉堡包（20个单位）。由（）的结论，在点的边际替代率20/54这表示消费者愿意放弃4个汉堡包来换取1瓶软饮料（以保持其消费效用不变）。(20,5)点表示消费者有较多的软饮料和较少的汉堡包。类似地，在点的边际替代率5/200.25。这表示消费者愿意放弃1/4个汉堡包来换取瓶软饮料（以保持其消费效用不变）。从这两个边际替代率可以看到，随着消费者占有软饮料的增加（由5瓶到20瓶），消费者为换取1瓶软饮料而愿意放弃的汉堡包在减少（由4个到1/4个）。这进一步具体说明了软饮料对汉堡包的边际替代率随软饮料消费的增加而减少。14.叙述：定理7.4.4(一阶微分准则)设函数F：U R是的，U Rn是开凸集，则（1）F是凹的充要条件是：对任意x，yU有F(y)-F(x)DF(x)(y-x)； （2）F是严格凹的充要条件是：对任意x，yU且xy有F(y)-F(x) DF(x)(y -x).15.叙述：(二阶微分准则)设有函数F：UR是的，U Rn是开凸集，则（1）F在U上是凹的充要条件是：F(x)的Hessian矩阵F(x)对任意xU是半负定的；（2）F在U上是严格凹的充分条件是：F(x)的Hessian矩阵F(x)对任意xU是负定的；（3）F在U上是凸的充要条件是：F(x)的Hessian矩阵F(x)对任意xU是半正定的；（4）F在U上是严格凸的充分条件是：F(x)的Hessian矩阵F(x)对任意xU是正定的16. 试证明Cobb-Douglas函数F(x1，x2) = x1ax2b(a，b 0)是R+2上的拟凹函数；证明：P200 17. (欧拉(Euler)定理)令z = f(x1，xn)是R+n上的的k次齐次函数，则对任意xR+n有18.(充分条件欧拉定理的逆命题)设z = f(x1，xn)是R+n上的函数,若对任意xR+n有则z = f(x1，xn)是R+n上的的k次齐次函数19.给出一种同位函数的定义：(Simon and Blume (1994)给定定义在锥S R+n上的一个n元实值函数V(x)，称函数V(x)是同位的(homothetic)，若V(x)是一个齐次函数的正单调变换，即存在一个正单调变换g(z)：R+ R和一个齐次函数U(x)：S R+，使得V(x) = g(U(x)；20.设一厂商用n种投入生产一种产品,令厂商的生产函数为Q(x)且是C1的，x R+n 是投入组合，p是这个单一产品的销售价格，C(x)表示投入组合为x时的成本（1）试写出利润极(最)大化的一阶和二阶必要条件以及二阶充分条件，并给出一阶必要条件的经济解释；（2）特别当各种投入有不变的单位成本(wi是单位投入i的成本且是常数)时，再讨论（1）；解：由题意，厂商的收入为(x)(x)，厂商的成本为（），从而厂商的利润为(x)(x)C(x)（）厂商的利润极大化即使(x)获得极大值的一阶必要条件为，其经济含义为：投入的边际收入等于投入的边际成本。厂商的利润极大化即使(x)获得极大值的二阶必要条件是利润函数(x)在处的Hessian矩阵是半负定的。厂商的利润极大化即使(x)获得极大值的二阶充分条件是负定；厂商的利润最大化即使(x)获得最大值的二阶充分条件是对任意，是半负定的。（）此时C(x)，因此一阶必要条件式变为或前面一个式子的经济含义是，在最优投入组合处每种投入的边际收入等于这种投入的价格；第二个式子的经济含义是：在最优投入组合处每种投入的边际产量等于这种投入的价格与产出价格之比。由于C(x)是线性函数，所以，从而由式子(x)(x)C(x)有故厂商利润极大化即使(x)获得极大值的二阶必要条件是是半负定的。厂商利润极大化即使(x)获得极大值的二阶充分条件是是负定的；厂商的利润最大化即使(x)获得最大值的二阶充分条件是对任意，是半负定的这相当于生产函数(x)是凹函数21.假设（1）某厂商利用两种投入A和B生产一种单一产品，生产函数为Q = Q(a，b)，这里a和b分别为两种投入A和B的投入量；（2）两种投入的价格分别为Pa0和Pb0，产出的价格为P0，它们都不受厂商的控制；（3）生产过程需要t年才能完成，因此销售收入必须贴现后才能与目前的生产成本进行比较. 设贴现率为r. 试写出利润极(最)大化时最优投入应满足的一阶必要条件和二阶充分条件，并讨论其经济含义；解：由题意，总成本是，总收入为，从而总利润为厂商的最优投入水平()应满足下面的的一阶必要条件(1)这里分别表示投入的边际产量是分别关于的偏导数式(1)表明一阶必要条件的经济含义是最优投入处的边际产量()和()的现值和分别等于投入A和B的价格().此外由式(1)可知在最优投入处有因此一阶必要条件也意味着:投入对投入的边际技术替代率等于投入的价格与投入的价格之比.厂商的最优投入水平()应满足下面的的二阶充分条件就是利润函数的Hessian矩阵在()处是负定的,即,此式等价于生产函数在()点处的Hessian矩阵是负定的.此外,此式意味着在()处分别是和的严格减函数.但在()处分别是和的严格减函数不能保证二阶充分条件成立.22. 考虑生产两种产品的厂商. 设这两种产品的价格分别为P10和P20(是外生变量)，第i种产品的产量记为Qi. 假设厂商的成本函数为C(Q1，Q2) = 2Q12 + Q1Q2 +2Q22. 试求厂商的最优生产计划和相应的最优利润；解:由于,因此这两种商品的生产是技术上相关的.利润函数为收益函数与成本函数之差.令可求出可能的极值点.解这个方程组得和.由于利润函数在点处的Hessian矩阵是负定的,因此是利润函数的严格极大值点,因而是最优生产计划.进一步,由于对任意R2+都是严格凹函数,从而是最大值点.23. 设某垄断厂商在A和B两工厂生产同一种产品，其成本函数分别为TCA(QA)和TCB(QB)，其中QA和QB分别为A和B两工厂的产量,又该产品的销售价格为P = f(QA + QB),试给出A和B两工厂的最优生产量满足的一阶必要条件，并说明其经济含义；解:A、B两工厂的总收益为,从而他们的总利润为A、B两工厂的最优生产量应满足一阶必要条件为和,即 即.这个一阶必要条件的经济含义为:每个工厂的产量的边际成本等于总产量的边际收入.24. 设垄断厂商在三个不同市场面临的反需求函数(平均收入函数)为P1 = 63 -4Q1，P2 = 105-5Q2，P3 = 75 -6Q3,总成本函数为C(Q) = 10 + 15(Q1 + Q2 +Q3), (Q = Q1 + Q2 + Q3). （1）求实行价格歧视时三个市场的最优供应量和相应的最优价格(以使总利润最大)，并比较各个市场的需求弹性与价格之间的关系；（2）不实行价格歧视时，三个市场的最优供应量和相应的最优价格；（3）比较（1）和（2）两种情形下总的供给量以及最优利润的大小; 解:(1)三个市场的收益分别为, ,.从而其边际收益分别为,而总供给量的边际成本为,令，可得，,而总产量为.进一步将，代入平均收入函数得到由于都是凹函数，是凹函数，所以是凹函数，因此，使获得最大值。计算得出三个市场的需求的价格弹性分别为。因而，而，这个结果与前面理论上推导出的结论是一致的，即某个市场弹性越小，则在该市场给产品的定价就越高。（2）不实行价格歧视意味着.从而三个市场的反需求函数为,分别解出得到(1),从而得到厂商面临的总需求函数为，而逆需求函数为，而利润函数为，令解得。又，因此使利润函数获得最大值。将代入总需求函数得到三个市场的最优统一定价。再将代入式(1)中的三个式子，得到三个市场的最优供给量分别为.（3） （1）和（2）两种情形下总的最优供给量均为20，但前者的最优利润（689）大于后者的利润（约639）。可见实行价格歧视时所获得的最优利润大于不实行价格歧视时所获得的最优利润。24. 假设需求曲线是D(p) = a -bp，追随者的成本函数为C2(y2) = y22/2，领导者的成本函数为C1(y1) = cy1(c是常数),试求出领导者的利润极大化产量； 解：对于任意的价格P，追随者的最优产量满足价格等于边际成本，即.于是追随者的供给函数为.领导者面临的需求曲线(剩余需求曲线)是进一步可得领导者面临的反需求函数为,从而领导者的利润函数为,进一步可得领导者的利润最大化产量为,均衡价格为;追随者的产量为,而总产量为.25. 给定一个价格接受的厂商的生产函数Q(K，L),假设QKL 0，即,资本的边际产量随着劳动力的增加而增加,给定产品价格P，资本的租金率r和工资w，则它的利润函数为p(K，L) = PQ(K，L)-rK-wL,假设厂商利润极大化问题的二阶充分条件成立，试分别讨论外生变量r、w和P之一的变化对各个内生变量的最优值K*和L*的影响； 解:最优解应满足下面方程组表示的一阶必要条件为了讨论外生变量的变化对内生变量的最优值的影响，需求.从而可将这个方程组左侧中另外两个外生变量均看作常数，因而方程组的左侧是和的三元函数。对这个方程组的两端求全微分，并将外生变量的微分移到等式的右侧，注意到，可得，即().式()中的所有二阶偏导数都是在点处计算的。二阶充分条件成立意味着利润函数在处的Hessian矩阵是负定的,因此,且()令表示方程组()的系数矩阵,则容易验证.因此方程组()有唯一一组解,.由式()以及,可知;由式()和可知.从而资本的租金率增加时将导致最优资本和最优劳动力的使用下降.26.写出数学定义：间接效用函数、支出函数、Marshall需求函数、利润函数、成本函数；间接效用函数:称效用极大化问题的目标函数的最优解为间接效用函数.具体来说,间接效用函数定义为V(p,I)U(x)|pxI,x0或V(p,I)U(x（p，I）),这里x(p,I)为的最优解.支出函数：称极小化问题的目标函数的最优值为支出函数，具体来说，支出函数定义为e(p,)=px|(x),x0或e(p,)=ph(p,),这里h(p,)是问题的最优解。Marshall需求函数：间接效用函数中的x(p,I)为Marshall需求函数。利润函数：利润极大化问题的目标函数的最优值称作润函数。具体来说，利润函数定义为（p,w）pf(p,w)-w（p,w）,其中（p,w）为问题的最优解。成本函数：相应于给定的生产函数f(x)的成本函数c(w,y)是在保证产出为y的情况下的最小成本，即c(w,y)= wx|f(x) y,x027. 写出数学定义：效用极大化问题、支出极小化问题、效用极大化问题与支出极小化问题的对偶性、利润极大化问题、成本极小化问题；效用极大化问题：假设x