（基础数学专业论文）几类非线性发展方程的定解问题.pdf

摘要 本文讨论几类非线性发展方程( 组) 的初边值问题和c a u e h y 问题，在一定条件下证明 这些问题局部解和整体解的存在唯一性、整体解的渐近性，并给出解发生爆破的充分条 件，主要结果包括以下五部分内容 在第二章中，利用g a l e r k i n 方法证明广义立方双耗散方程 t 正t t t 嚣一n t 妇i + h l 一一= ，( “) 站，z r ，f 0 ， ( 1 ) 的周期边界问题和c n u c h y 问题整体广义解和整体古典解的存在性，唯一性和正则性，并 给出c a u e h y 问题的解在有限时刻爆破的充分条件假设方程( 1 ) 具有初值 珏扛，o ) = 铷( z ) ，地( 毛o ) = 缸1 扛) ， z 冗 ( 2 ) 得到的主要结果如下： 定理1 设，c + 1 ( 弼，( s ) 下有界，t 1 0 日+ 1 ( r ) 和仳l 西日( r ) 如果七一1 2 忙= 1 + p l = 2 + 助，见，耽o ) ，则c a u 由问题( 1 ) ，( 2 ) 有唯一整体广义解“( 毛) y ( 【o ，r l r ，七一l 2 ) = 七一1 2 时，t ( z ，t ) 有连续导数t r ( z ，t ) ，0 8 + r k 一1 ，r = 0 ，1 ，2 和广义导数如p ( z ，t ) ，0 8 + r 后+ l ，r = 0 ，1 ，2 ，3 ，( 为t ) o ，r l x 月) 定理2 设，c k + l ( 用，( s ) 下有界，t l o h k + l ( 兄) 和i i , leh ( 兄) 如果七一1 4 ( 七= 1 + p l = 2 + 仡，p 1 ，抛o ) ，则c a u e h y 问题( 1 ) ，( 2 j 甫唯一古典解“( z ，t ) y ( 【o ，刀x r ，七一1 4 ) ， 定理3 假定d 0 ，c ( r ) ，t 0 日2 ( 月) ，t l 日1 ( r ) ，a ( s ) = 嚣f o - ) a r 和 g ( 铷) l 1 ( 兄) ，且存在常数p 0 和 0 使得 2 f ( s ) 8 【4 + 8 p + 2 a 一1 e 一1 d 2 】g ( s ) + ( 4 p + 一1 口一1 d 2 _ ) ；2 ，v3 r 看p 向的条仵z 一成互，贝l l c a u c h y i 叫题( 1 ) ，( 2 ) 阴j 义肼( t ，t ) ，v ( | o ，1 1 r ，七一1 3 ) 或古典解( z ，t ) v ( i o 刀r ，知一1 4 ) 在有限时刻爆破： ，。o，z t o o ( 1 ) e i ( o ) = 【u l 幢) d 1 2 d z + i i t o1 1 2 + 口i i 札l1 1 2 + bi i 弛弛0 2 + a ( u o ) a z 。； ( 3 ) 局( o ) 0 ， hm 【铷( f ) t d 翻如+ 8 ( 砌，程1 ) v 一j 一p 一 2 + 4 口+ a 一1 一1 d 2 1 面拜矿 ，o o， 局( o ) 【1 | 0 d 日2 出+ 1 1u l1 1 2 0 ， ，一o 。，一 其中 ，0 0，z 臣( t ) = 【 撕( ) d 臼2 d x + ot 0 2 + 口l lu t1 1 2 + bo 眦。1 1 2 j - o rj - - 0 0 ，l p 0 0 + 2 o u r1 1 2 d r + 2 g ( 钍) d z j 0j 一 定理4 设d 0 和 0 使得 s ，( s ) ( 2 + 4 f l + a - l e - 1 d 2 ) g ( s ) ， vs r ， 若下面的条件之一成立，则问题( 1 ) ，( 2 ) 的解u ( x ，) ( 参看定理3 ) 在有限时刻爆破： ( 1 ) e 1 ( o ) 0 ； ( 2 ) 厂”l 仁玳娃，”矧1 “1 ) ；屈而一，一【厂眯心。d x u l d x + a ( u o dx( 2 ) l 咖( f 敝 ( ) 矧，“t ) 店孑：了万= i 【咖( ) 必】2 j 一j - - 0 0 j - - 0 0 。 j 一j 一 + a f fu o8 2 在第三章中，研究源于d n a 的一广义i m b q 方程组 u t = 口够k 。一a 2 ( 札2 ) 。+ 冬( v 2 ) 缸+ a 3 u 。耐t ，z r ， 0 ，( 3 ) 砘= m ( “t ，) 。+ 0 3 t k 耐t ， z r ，t 0 ( 4 ) 周期边界问题局部古典解的存在性和唯一性其次利用周期边界问题序列证明c a u c h y f 司 题局部古典解的存在性和唯一性设方程组的初始数据为 “( z ，0 ) ：= t 幻( z ) ，地( z ，0 ) = 可l ( z ) ，z r ，( 5 ) v ( z ，0 ) = 珈( z ) ，仇( z ，0 ) = v l ( x ) ，z r ( 6 ) 主要结果有： ” 定理5 如果蛳，m ，v 0 u 1 h 5 ( 兄) ，贝t | c a u c h y l h 题( 3 ) 一( 6 ) 在【o ，2 】r 上有唯古典 解t t ( 川) ，v ( x ，t ) ；其中o 0 ， t ，( z ，0 ) = t ，o ( z ) ， z 冗 在c 1 ( 【0 ，) ；胁9 ( r ) n 俨( r ) ) 中存在唯一的整体广义解和唯一整体古典解，并讨论解的 渐近性质通过伸缩变换 钉( z ，) = u ( 去毛2 ) ， 分别将上述两个c a u c h y 问题转化为与之等价的c a u h c y 问题 砘一一笔；+ 击+ 击m ) 。= 而1 妒而1 ) ，+ 咖) - g ( u ) 一 r ，t 0 ，仃) t 工( z ，0 ) = t 1 0 ( z ) ，z 冗 ( 8 ) 和c a u h c y f 司题 饥一竺u 。一t l = 9 ( u ) 一9 ( t 正) 。：，z r ，t 0 ， ( 9 ) 札( z ，0 ) = t 1 0 ( z ) ，。r ( 1 0 ) 得到的主要结果是： 定理6 设下面的条件成立： ( 1 ) s 2 ，u o 伊； ( 2 ) ，c 眦r ) ； ( 3 ) g c l 。) + 1 ( r ) ，9 ( o ) 一0 且存在常数g ，使得对任意的s 冗，未9 ( s ) = 夕，( s ) 岛； ( 4 ) 妒g 【目( r ) 且对任意的s r 妒( s ) s 0 或者存在常数a ，使得s ) a 贝| j c a u c h y 问题( 7 ) ，( 8 ) 存在唯一整体广义解“c 1 ( 1 0 ，o o ) ；h 8 ) 定理7i t t u ( z ，) 是问题( 7 ) ，( 8 ) 的一个整体广义解或整体古典解如果“o 日1 ， c 1 ( r ) ，g 俨( r ) ，g ( o ) = 0 且对任意的s r ，9 ，( s ) c o o ) ，0 f 仇若k = 0 ，z = 0 ，m 2 + ：，则问题( 9 ) ，( 1 0 ) 有唯一古典解“俨( 【0 ，o o ) ；w ”9nl ”) ，即“ c 2 ( 【o ，o o ) ；( 尹( r ) nl o 。) 定彗j 1 0 设u ( z t ) 是问题( 9 ) ，( 1 0 ) 的整体广义解或整体古典解，若u o h 1 ，g 俨( 聊， a ( o ) = 0 和对任意的8 r ，矿( s ) c o 0 ， 钍( z ，0 ) = 妒( z ) ，t k ( z ，0 ) = 舻( z ) ， z r ( 1 1 ) ( 1 2 ) 解的存在性和唯一性，其中，( t i ) = 纠“i p 利用位势井方法，证明此问题整体解的存在性和 解在有限时刻爆破主要结果是： 定理i i 假设1 s 型：芈，且e ( o ) = d 时( ( 一理) 一 妒，( 一鲤) 一5 1 ；f ，) + ( 妒，砂) + ( ，也) 0 ，则问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的 解在有限时刻爆破 在第六章中，讨论下列广义b b m b u r g e r s - g i n z b u r g - l a n d a u 方程的初边值问题 3 饥一n 毗+ p “+ 1 2 u + 厶( 1 ) 勺= 5 a a ( u ) + g ( u ) ，( z ，t ) q r ，0 3 ) j = 1 t = 0 ，a u = 0 ， u ( z 0 ) = 均( z ) ， 方程( 1 3 ) 的初边值问题 ( z ，t ) a n 【0 ，卅 丁孬： u ：0 ，豢：o ，( 丁，) a q 【o ，卅 “扩 u ( x ，0 ) = 伽( t ) ，z 豆 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 和方程( 1 3 ) 的初边值问题 赛，警- o ( 州) 加【0 刀，a p 劬 ”、。7 。”o ”1 u ( x ，0 ) = t o ( z ) ， z q ( 1 8 ) ( 1 9 ) 整体广义解的存在性和唯一性，初边值问题( 1 3 ) ，( 1 8 ) ，( 1 9 ) 解的爆破，以及初边值问题( 1 3 ) 一 ( 1 5 ) ，初边值问题( 1 3 ) ，( 1 6 ) ，( 1 7 ) 和初边值问题( 1 3 ) ，( 1 8 ) ，( 1 9 ) 解的衰减性质 主要结果有； 定理1 2 假设下面条件成立： ( 1 ) t l o 日4 ( q ) ； ( 2 ) c p ( 冗) o = 1 ，2 ，3 ) 和存在常数k 0 ，使得vs r ，i 乃( s ) i k ，i = 1 ，2 ，3 ； ( 3 ) g ( r ) ，9 ，( s ) a ，和1 9 ，( s ) | j “h l + 1 ，其中a 和k 1 o 为常数，0 6 o 为常数，0 0 ，使得对任意的s r ，g ，( s ) - b ； v ( 5 ) 存在o 0 ( 1 ) a r ep r o v e da n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fb l o w - u po ft h es o l u t i o n sf o rt h ec a u c h yp r o b - l e m si nf i n i t et i m ea r eg i v e n t h ei n i t i a lv a l u e so fe q u a t i o n ( 1 ) n r eg i v e nb y u ( z ，0 ) = t 1 0 ( z ) ，t l t ( z ，0 ) = u l ( x ) j z r ( 2 ) t h em a i nr e s u l t sa r es t a t e da sf o l l o w s ： t h e o r e m1s u p p o s et h a t c b + l ( r ) ，( s y 强b o u n d e db e l o w ，u 0 h k + l ( r ) ， 札l h 七( 兄) i fk 一1 2 ( k = 1 + p l = 2 + p 2 ，p 1 ，p 2 o ) ，t h e n t h ec a u c h yp r o b l e m ( 1 ) ， ( 2 ) h a sau n i q u eg e n e r a l i z e dg l o b a ls o l u t i o nu ( x ，t ) y ( 【0 ，刀r ，k 一1 2 ) = w h e n k 一1 2 ，v ( x ，t ) h a sc o n t i n u o u sd e r i v a t i v e st 白( z ，t ) ，0 8 + r k 一1 ，r = 0 ，1 ，2a n d g e n e r a l i z e dd e r i v a t i v e s 如f r b ，) ，0 s + r 七+ 1 ，r = 0 ，1 ，2 3 ，扣，t ) 【o ，t i 曰) t h e o r e m2s u p p o s et h a tf c k + l ( r ) ，f ( s ) i sb o u n d e db e l o w ，札o h k + l ( r ) ， u l 日o ( r ) i fk 一1 4 ( k 一1 + n = 2 + p 2 ，n ，p 2 o ) ，t h e nt h ec a n c h yp r o b l e m ( 1 ) ， ( 2 ) h a sau n i q u ec l a s s i c a lg l o b a ls o l u t i o nu ( x ，t ) y ( 【o ，刀r ，k 一1 4 ) t h e o r e m3a s s u m et h a td 0 ：，g ( r ) ，u o h 1 ( r ) ，u l l 2 ( r ) ，g ( s ) = j ：f ( t ) d - r ，g ( t 幻) l 1 ( r ) a n dt h e r em ep 0 a n de 0s u c ht h a t 2 ，( s 扣f 4 + 8 卢+ 2 a 一1 一1 护】g ( s ) + ( 4 卢+ e - l a 一1 d 2 一) s 2 ，v8 冗 t h e nt h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o nu ( x ，t ) y ( 【o ，刁r ，k 一1 3 ) o rt h ec l a s s i c a ls o l u t i o n 札 ，t ) y ( 【o ，卅xr ，k 一1 4 ) o ft h ec a u c h yp r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) b l o w s - u pi nf i n i t et i m e i fo n eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s ： v n ( 1 ) e 1 ( o ) = 仨【j 乙u t ( ) 吲2 d x + 0 u 01 1 2 + ni l1 1 1 2 + 6i i 0 2 + 三c ( “o ) d z 。； ( 3 ) e 1 ( 0 ) 0a n d 仁 眯贼仁州刚水蚪n ( 刚，) 鼍群即) 仁【绯蚓2 血+ i i 1 1 2 。 w h e r e ， h 目( ) 2 ，。【，。啦( ，t ) 吲2 d z + i i u1 1 2 + ni i 啦1 1 2 + 6i i 1 1 2 + 2 j 0i i “r1 1 2 打 ，一j 一 ， + 2 g ( u ) 血 j o o t h e o r e m4a 鹤u m et h a td 0 ，c ( r ) ，g ( s ) = j 苫f ( r ) d r ，u o h 1 ( r ) ，1 1 , 1 驴( 冗) ，g ( 咖) l 1 ( 励a n dt h e r ea r ec o n s t a n t s 卢 0a n d 0s u c h t h a t s ，( 5 ) ( 2 + 4 黟+ a - i 一1 d 2 ) g ( s ) ， v8 冗， t h e nt h es o l u t i o n “( z ，t ) ( s e et h e o r e m3 ) o ft h ep r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) b l o w s - u pi n f i n i t et i m e i ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ： ( 1 ) e 1 ( o ) o ； ( 2 ) j ：【，：锄( ) 越厂二。“t ( ) d d z + 口( 咖，“，) 、品= i 万= t f ：【仁。秕。( ) d 刳2 d z + ni i 蜘1 1 2 i nc h a p t e r3 w ef i r s tp r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h el o c a lc l a s s i c a ls o l u t i o n t ot h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ra s y s t e mo fg e n e r a l i z e di m b qe q u a t i o n sa r i s e d f r o m d n a ， 乱= n l 地。一n 2 ( 札2 ) 。+ 要( 铲) 。+ n 3 疵t ，t r ，t 0 ， ( 3 ) v t f = u l ( ，) 工z + a 3 7 妇z r f 0 ( 4 ) n e x tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h el o c a lc l a s s i c a ls o l u t i o nf o rt h ec a u c h yp r o b l e m t ot h i ss y s t e ma r ep r o v e db yt h es e q u e n c eo ft h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h e s y s t e m ( 3 ) ，( 4 ) o w n st h ei n i t i a lc o n d i t i o n s ： u ( x ，0 ) = t 0 扛) ，t 1 0 ，0 ) = “l ( z ) ，z r ， 钉( z ，0 ) = 霸0 c x ) ，仇( z ，0 ) = m 扣) ，z r ( 5 ) ( 6 ) t h em a i nr e s u l t sa r e 嬲f o l l o w s ： t h e o r e m5i ft 1 0 ，u l ，蜘，i 1 日5 ( r ) ，t h e nt h e r ee x i s t sau n i q u ec l a s s i c a ls o l u t i o n t ( z ，t ) ，v ( x ，t ) o ft h ec a u c h yp r o b l e m ( 3 ) 一( 6 ) i n 【0 ，t 2 】xr ；w h e r e0 0 ， 可( 聋，0 ) = t 协( z ) ，z r h a sau n i q u eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o ni nc 1 ( 【o ，o o ) ；w ”巾( 兄) nl 。( 兄) ) ，au n i q u eg l o b a l c l a s s i c a ls o l u t i o na n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n b yt h es c a l i n gt r a n s f o r m a t i o n 钉( z ，2 ) = u ( 赤z ，。) ， t h ea b o v em e n t i o n e dt w oc a u c h yp r o b l e mb e c o m ec a u e h yp r o b l e m 啦一一笔+ 击+ 了i a f ( u ) 。= 丽1 妒( 击) 。+ 咖) 一咖) 一， z r ，t 0 ， ( 7 ) u ( x ，0 ) = “o ( z ) ，z r( 8 ) a n dc a u c h yp r o b l e m 一呈- - “x a 2 u t - - u x x x x t ：9 ( ) 一9 ( 仳) 。，z 兄，f o 一口 = 9 【) 一9 【仳j 竹，z “， u i 】c ( 9 ) 就( z ，o ) = t 旬( 上) ，z r( 1 0 ) r e s p e c t i v e l y t h em a i nr e s u l t sa r ea 8f o l l o w s ： t h e o r e m6a s s u m et h a tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ： ( 1 ) s 2 ，u o h 。； ( 2 ) ，c i 。j ( r ) ； ( 3 ) g e 伽i + 1 ( 固，g ( o ) = 0a n dt h e r ei sac o n s t a n tc b ，s u c ht h a tf o ra n y8 r ，岳9 ( s ) = ，( s ) c o ； ( 4 ) 妒g m ( 固a n df o ra n y8 r ，妒( s ) s 0o rt h e r ei sa c o n s t a n tc 1 ，s u c ht h a t 妒s ) c 1 t h e nt h ec a u c h yp r o b l e m ( 7 ) ，( 8 ) a d m i t sau n i q u eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o nu g 1 ( 【o ，o o ) ；日4 ) t h e o r e m7a s s u m et h a tu ( x ，t ) i sag l o b a lg e n e r a f i z e ds o l u t i o no rag l o b a lc l a s s i c a l s o l u t i o nf o rt h ep r o b l e m ( 7 ) ，( 8 ) i fu 0 h 1 ，f c 1 ( r ) ，g c 哆( r ) ，g ( o ) = 0a n d v s r ，矿( s ) ( 七 o ) ，0 l m i f 七= 0 ，? = 0 ，m 2 + ：，t h e n t h ep r o b l e m ( 9 ) ，( 1 0 ) h a sau n i q u eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n “i 岁( ( o ，o 。) ；w “，”n 工。) ， i e ，“c 口( ( 0 ，o o ) ；( 产( 月) n 三) t h e o r e m1 0s u p p o s et h a tt ( z ，t ) i sa g l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o no rag l o b a lc l a s s i c m s o l u t i o nf o rt h ep r o b l e m ( 9 ) ，( a o ) i ft 1 0 h 1 ，g c 2 ( r ) ，g ( 0 ) = 0a n dv s r ， d ( 8 ) c o 0 ， ( z ，0 ) = 妒( z ) ，u i ( z ，0 ) = 妒( 霉) ， z r ( 1 1 ) ( 1 2 ) w e p r o v et h a tt h eg l o b a le x i s t e n c ea n df i n i t et i m eb l o wu po ft h es o l u t i o nf o rt h ep r o b l e m b ya i do ft h ep o t e n t i a lw e l lm e t h o d t l h em a i nr e s u l t sa r es t a t e da sf o l l o w s ： t h e o r e m1 1s u p p o s et h a t1 8 型趔p - i ，a n d ( ( 一硬) 一；妒，( 一a 2 ) 一；妒) + ( 妒，妒) + ( 仇，以) 0 鲫e ( 0 ) = d ，t h es o l u t i o no ft h ep r o b l e m ( 1 1 ) ，( 1 2 ) b l o w su pi nf i n i t et i m e i nc h a p t e r6 ，w ed i c u s st h e f o l l o w i n gi n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fb b m b u r g e r s - g i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n 3 t 一口t t + 肚+ ，y 2 t + 乃( 乱) = 6 a g ( u ) + g ( 1 ) ， ，t ) q t ， ( 1 3 ) h = 0 ，t = 0 ， 。u ( x ，0 ) = u o ( x ) ( z ，t ) o 2x 【o ，刁， z 孬： t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fe q u a t i o n ( 1 3 j “= o ，筹= o ，( 州) 御【o ，刀， “( z ，0 ) = ( z ) ， z 丽 a n dt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fe q u a t i o n ( 1 3 ) 嘉，万o a u _ o ( 刈) a n 【0 刀，a a 。、“。7 。” ( z ，0 ) = t 0 ( z ) ， 茁西 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s so ft h eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o no ft h ea b o v e p r o b l e m s ，a n d 舀v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fb l o w u po ft h es o l u t i o nf o rt h ep r o b l e m ( 1 3 ) ，( 1 8 ) ，( 1 9 ) i nf i n i t et i m e ；w ea l s os h o wt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n sf o r t h ep r o b l e m ( 1 3 ) 一( 1 5 ) ，t h ep r o b l e m ( 1 3 ) ，( 1 6 ) ，( 1 7 ) a n dt h ep r o b l e m ( 1 3 ) ，( 1 8 ) ，( 1 9 ) 耽em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： t h e o r e m1 2a s s u m i n gt h a tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ： ( 1 ) u o h 4 ( q ) ； ( 2 ) 伊( 月) “= 1 ，2 ，3 ) a n dt h e r ee x i s t sac o n s t a n tk 0 ，s u c ht h a tvs r ，j ( s ) j k ，i = 1 ，2 ，3 ； ( 3 ) 9 g 4 ( 兄) ，( s ) a ，a n di ( s ) i k l l s 悸- + 1 ，w h e r e6 0 ，k 1 0a n daa r e c o n s t a n t s ，0 0a n db a r e c o n s t a n t s ，0 0 ，s u c ht h a tf o ra l ls r ， g ，( s ) 一b ； ( 5 ) t h e r e e ( i s t sac 。i l s t a n t0 0 ， “( z ，0 ) = 咖( 动， t p ，o ) = “l p ) ，z 冠 ( 1 1 ) ( i 2 ) 其中u ( x ，t ) 是未知函数，下标z 和t 表示求偏导数，t 协= u 一。，n 0 ，b 0 是实常数，d 是实数，f ( s ) 是给定的非线性函数，t l o ( z ) 和“。( z ) 是定义在r 上的已知函数 模型方程( 1 1 ) 出现在许多物理问题的研究中事实上，在对波导管中非线性波传播 问题的研究中，由于波导管与外部介质的相互作用，通过波导管外表面的能量交换是不可 忽略的如果考虑到非线性弹性杆( 它的材料是超弹性的，例如m u r n a g h a n 材料) 的表面 与介质之日j 的相互作用1 ，利斥 h a m i l t o n 原理可以得到杆的纵向位移u ( z ，) 满足下面的 双耗散方程( d d e l 地t t i 。= 三( 6 矿+ l u t t 一阮) 。( 1 3 ) 同样可以得到下述的立方双耗散方程( 【2 ，3 】) u “一t i “= ( 锄3 + 6 u 2 + a u t t h 缸+ d u t ) 据， ( 1 4 ) ，r 其d o u ( z ，t ) 是纵向位移且与应变鼍成比例，u ( x ，t ) 是横向位移，o 0 ，b o ，c 0 和d 0 是常数，这些常数依赖于、，o u n g 模数，扭转模数肛，波导管密度p 以及p o i s s o n 系 数显然，如果，( “) = i “3 + ；“2 ，口，b y f t l d 分别被；，五b 和：替换，则方程( 1 1 ) 变为方 f f 至( 1 4 ) 如果d 一0 ，( u ) = ；t t 2 ，d 和6 分别换成；和；，刚方程( 1 1 ) 变为方程( 1 3 ) 对于波在成层液体中的凝结材料物理现象的经典问题在1 4 1 中得到了以下方程： u a t i 。= ( c u 3 + d 1 1 2 一阮：。) 。+ ( ，“) 。+ g u z z t ( 1 5 ) l 当