（基础数学专业论文）与一类半乘法函数相关联矩阵的行列式的界.pdf

! 型叁鲎塑j 髦；笙查 与一类半乘法函数相关联矩阵的行列式的界 基础数学专业 研究生杨勇指导教师洪绍方教授 设，是算术函数，s = 如小，z 。) 是一个正整数集合。( ，【毛，q 】) 表示一个 n 阶方阵，它的i 行j 到处的元素为函数，在和q 的最小公倍数k ，】处的 取值。本文主要证明了如下结论： 定理1 若，是一个半乘法函数，且有 l ：= ，i z s ，d l x 】= = = = ( f + 卢) ( d ) o ， 那么我们有 ( i ) 【，( z * ) 】2 ( ；+ p ) ( d ) 茎d e t ( f x , ，q 】) m t ) ； k = l d l x h 。 2 1 裴。 ( i i ) n 阶矩阵( ，k ，x j ) 足半正定的。 定理2 设c 为一个正整数，( c ) 表示，的c 重狄利克雷乘积，当，( c i ( x ) = 0 时我们定义7 丙1 两：= 0 ，若，c s 为乘法函数，则有 m 蔼南嘉委虬删蛐( 两1 而) 糊f i ，、耐1 z t z k ( i i ) n 阶矩阵( 巧硐1 ) 是半正定的。 关键词：算术函数，乘法函数， 半乘法函数，狄利克雷( d i r i c h l e t ) 乘积 四川大学硕士学位论文 b o u n d sf o rd e t e r m i n a n t so fm a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t hc l a s s e so f s e m i - m u l t i p l i c a t i v ef u n c t i o n s m a j o r i n g ：m a t h e m a t i c s s t u d e n t ：y o n gy a n gs u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rs h a o f a n gh o n g l e t ，b ea l la r i t h m e t i c a lf u n c t i o na n ds = z l ，z n ) b eas e to fnd i s t i n c t p o s i t i v ei n t e g e r s l e t ( ，p i ，j 町1 ) d e n o t et h en 礼m a t r i xh a v i n g ，e v a l u a t e da tt h e l e a s tc o m l n o n m u l t i p l e k ，q 】o f x ia n d qa s i t s i ，je n t r y i n t h i s p a p e r , w es h o w t h e f o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m l l e t ，b eas e m i m u l t i p l i c a t i v ef u n c t i o n i f 1 l ：= ，1 z s d l x l = = = = ( f + p ) ( d ) o ) ， j t h e ne a c ho ft h ef o l l o w i n gi st r u e ： f i 【m 。) 1 。( 了1 + p ) ( d ) s = l d 陆k 。 d 枉t o 0 ，我们有f + s ，石。 + 证明：比s ，dj 。e 由和锯的定义，我们有( f + 弘) ( 回0 和( ，+ p ) ( d ) 0 。因此 ( ( ，+ e f ) p ) ( 回= ( f + 肛) ( d ) + e ( f + p ) ( d ) 0 ， 即，+ e ，q 。口 引理3 2 ( 【9 】) 设g 是一个半乘法函数。如果1 g 磊，则我们有 n d e t ( g x i ，蚓) b 】2 ( ：+ 芦) ( 回 k = l d 1 。k d t x , o t ( 0 k 引理3 3 ( 【2 0 】) 一个算术函数，是一个半乘法函数，当且仅当对任意的正 整数m 和n 有f ( m ) f ( n ) = ，( ( m ，礼) ) 川m ，h i ) 显然，如果，是一个乘法函数，那么它也是个半乘法函数。 引理3 4 设，是一个算术函数，则，是一个半乘法函数当且仅当；是一个 半乘法函数。 证明：由引理3 3 和定义2 3 可立即得证。口 引理3 5 ( 【1 2 】) 对任意的正整数m 和算术函数，我们有 ( ，+ p ) ( d ) = ，( m ) d i 引理3 6 设，是一个算术函数。如果( 1 i f ) + p c s ，则【1 f ) 毋。 证明：设z s 和d l x ，由引理3 5 有 ( ( 1 ，) + 肛) ( d ) = ( ( 1 ，) + “+ 芦) ( d 1 ) d 】阻 由于d lj d ，dj ，所以d 】j z 。于是由( 1 f f ) + p o 推得 ( 7 1 十+ “) ( d 1 ) o 因此( ( 1 f ) + 弘) ( d ) 0 。所以( 1 ，) 。口 4 四川大学硕士学位论丈 5 定理3 1 设，是一个半乘法函数。如果1 i f c s ，那么我们有 ( i ) y i f ，) 】2 ( 了1 + 脚( d ) d e t ( f x t ，划) ，( z t ) ； k = l d i s h 。 k = l d 恼 2 t 0 ，令 g = ( ) t ( f + e ，) ，则1 9 = 1 f 十e ( 1 ，) 。由引理3 1 有1 g c s 。再由引理 3 2 我们有 酬篙酬，之垂t 高炉荟c t ；+ s 冲邛 因为 = 。s g n ( a ，怎寇案甏 三s 咖，矗黜鬻糕朋固 这里s 。是 l ，n ) 上的对称群，s g n ( a ) 是口的符号函数。也就是说如果口是一 个偶排列，则s g n ( a ) = 1 。如果口是个奇排列，则s g n ( a ) = - 1 。a0 = 1 ，n ) 是下面多项式展开式中关于一的系数 ( 行吲，) l + e m 舭删) i = 1 d 陋 ? 卫州 厂 | ， 盟托。n 亨 喊 呼 一 | | m脚 ，i|， 怒 、 仃雨 有。 我 面方 另 四川大学硕士学位论丈 = 者趔糕f l 睁艄舴却( d ) j n ：1 f ( x k ) + e ( z k ) 1 2 昝岳“。，“ 袭。z ( z k ：矿韶铿警丌n(却(d)瑚，+mncnl2,。 ( 33 )b t t l n ：= 1 【，( z 女) 】2 + b ，+ + 。= 。毒、，。 川 p 叫 裴。 这里b j u = 1 ，2 n ) 是下面多项式展开式中关于矿的系数 【氕z t ) 】2 + 2 s m t ) 氕z t ) + e 2 ( f ( x t ) ) 2 k = l g ( i = 1 ，n ) 是下面多项式展开式中关于一的系数 f l 【( + p ) ( d ) + s ( 7 1 + 州d ) 1 k = 1d l 。k 。 d i 。 j 乖td 忙t 然后我们用( 3 ，2 ) 和( 3 3 ) 分别代替( 3 1 ) 左边和右边的式子，再令e 一0 ，取极 限，我们就得 m m ) 】2 ( + 弘) ( d ) d e t ( f x 舭j 】) = l d k 。 d 扛t 现在我们证明( i i ) 。因为 c 0 ， 肛) ( d ) 0 。设s 7 是s 的任意一个子集， 不等式我们有 所以对任意的d l x ，z s ，我们有( 十 那么 c s ，。对于集s ，由( i ) 左边的 d e t ( s ， ) i i i s ( 。) 2 ( 了1 + p ) ( d ) o z s d i 。 一。磐 这说明了定义在s 上的n 阶矩阵i f i x , ，q 】) 的所有主子式d e t ( f s ，1 ) 是非负的。 因此札阶矩阵( ，b ，j ) 是半正定的。由h a d a m a r d 不等式，我们可得 6 女 z ， 。m 1 和实数0 ，( & + 肛) ( m ) = f i p l m ( 1 一专) 0 ，因此对任 意的正整数集s 和0 ，有靠毋。注意是完全乘法函数，由定理3 3 我们 有下面的结论： 设s = z 1 ，z 。) 是n 元正整数集。如果e 0 ，那么有 娶矗嘉萎碰。邮h 鳓剑e t c 南坯珏南； d 枷 ( i i ) n 阶矩阵( 再：= _ 1j ) 是半正定的。 特别地。媒；芝o ，那么有 7 ，珏壶萎以( d ) o l = 1 因此对于任意的正整数集s ，有毋c 0 。由定理3 3 我们可得如下结论： 设s = z 。，。) 是n 个不同正整数的集合，整数c 21a 那么 i 室i 瓣1 。e 。( 舻) ( d e t ( 研b ) 垂志； 袭。 ( nn 阶矩阵( 亦而1 ) 是半正定的。 里! ! ! 垄堂墅主兰堡垒妻 1 0 参考文献 【l 】t m a p o s t o l ，a r i t h m e t i c a lp r o p e r t i e so f g e n e r a l i z e dr a m a n u j a n s u m s p a c i f i cj m a t h 4 1 ( 1 9 7 2 ) ，2 8 1 2 9 3 【2 t m a p o s t o l ，i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y , s p r i n g e r - v e d a g n e w y o r k ，1 9 7 6 【3 】s b e s l i n ，r e c i p r o c a lg c dm a t r i c e sa n dl c mm a t r i c e s f i b o n a c c iq u a r t 2 9 ( 1 9 9 1 ) 2 7 1 2 7 4 【4 】s b e s l i na n ds l i g h 。a n o t h e rg e n e r a l i z a t i o no fs m i t h sd e t e r m i n a n t b u l l a u s t r a l i a nm a t h s o c 4 0 ( 1 9 8 9 ) ，4 1 3 4 1 5 【5 】s b e s l i na n ds l i g h g c d - c l o s e ds e t sa n dt h ed e t e r m i n a n t so fg c dm a t r i c e s f i b o n a c c iq u a r t 3 0 ( 1 9 9 2 ) 1 5 7 1 6 0 【6 】k b o u r q u e a n ds ，l i g h ，m a t r i c e sa s s o c i a t e d w i t ha r i t h m e t i c a l f u n c t i o n s l i n e a r m u l t i l i n e a r a i g e b r a3 4 ( 1 9 9 3 ) ，2 6 1 2 6 7 ， 7 】k b o u r q u ea n ds l i g h m a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t hc l a s s e so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，zn u m b e rt h e o r y4 5 ( 1 9 9 3 ) ，3 6 7 3 7 6 【8 】k b o u r q u ea n ds ，l i g h ，m a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t hm u l t i p l i c a t i v ef u n c t i o n s l i t ： e a r a l g e b r aa p p l 2 1 6 ( 1 9 9 5 ) ，2 6 7 2 7 5 【9 】s h o n g ，b o u n d sf o rd e m r m i n a n t so fm a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t hc l a s s e so fa r i t h m e t i e a lf u n c t i o n s ，l i n e a r a 瞎e b r aa p p l2 8 1 ( 1 9 9 8 ) ，3 1i - 3 2 2 1 1 0 1s h o n g ，o nt h eb o u r q u e - l i g hc o n j e c t u r eo fl e a s tc o m m o nm u l t i p l em a t r i c e s ， a l g e b r a2 1 8 ( 1 9 9 9 ) ，2 1 6 - 2 2 8 ( as k e t c hw a sg i v e ni na d v m a t h ( c h i n a ) 2 5 ( 1 9 9 6 ) 5 6 6 5 6 8 ) ， 【1 1 】s h o n g ，l o w e r b o u n d s f o r d e t e r m i n a n t so f m a t r i c e s a s s o c i a t e d w i t h e l a s s e s o f a n t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，l i n e a r m u l t i l i n e a r a l g e b r a4 5 ( 1 9 9 9 ) ，3 4 9 3 5 8 1 2 】s h o n g ，g c d - c l o s e ds e t sa n d d e t e r m i n a n t s o f m a t r i c e sa s s o c i a t e dw j t l la r i t h m e t i c a l f u n c t i o n s ，a c t aa r i t h 1 0 1 ( 2 0 0 2 ) 。3 2 1 3 3 2 【1 3 】s h o n g ，f a c t o r i z a t i o n o f m a t r i c e s a s s o c i a t e d w i t h c l a s s e so f a r i t h m e t i c a l f u n c t i o n s c o l l o q m a t h 9 8 ( 2 0 0 3 ) + 11 3 1 2 3 ， 【1 4 】s h o n g ，n o t e so n p o w e r l c m m a t r i c e s a c t a a r i t h 1 1 1 ( 2 0 0 4 ) 1 6 5 。1 7 7 ! 型垄兰墅主芏堡垒塞 1 1 1 5 1s h o n g ，n o n s i n g u l a r i t yo fm a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t hc l a s s e so fa r i t h m e t i c a lr u n e t i o n s ，j a 培e b r a2 8 1 ( 2 0 0 4 ) ，1 - 1 4 1 6 1s h o n g ，n o n s i n g u l a r i t yo fl e a s tc o m m o nm u l t i p l em a t r i c e so ng c d 。c l o s e ds e t s ，上 n u m b e rt h e o r y 。i np r e s s 【1 7 s h o n g a n d r l o e w y , a s y m p t o t i cb e h a v i o r o f e i g e n v a l u e so f g r e a t e s tc o m n l o n d i v i s o r m a t r i c e s ，g l a s g o w m a t h j 4 6 ( 2 0 0 4 ) ，5 5 1 5 6 9 【1 8 】s h o n g a n d r l o e w y , a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f t h es m a l l e s t e i g e n v a l u e o f m a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t hc o m p l e t e l ye v e nf u n c t i o n ( m o d7 ) ，p r e p f i n t 1 9 】p j m c c a r t h y , ag e n e r a l i z a t i o no fs m i t h sd e t e r m i n a n t ，c a n a d m a t h b u l l , 2 9 ( 1 9 8 6 ) ，1 0 9 11 2 0 1d r e a r i c k ，s e m i - m u l t i p l i c a t i v ef u n c t i o n ，d u k em a t h j 3 3 ( 1 9 6 6 ) ，4 9 5 3 【2 l 】h j s s m i t h ，o nt h ev a l u eo fac e r t a i na r i t h m e t i c a ld e t e r m i n a n t ，p m c l o n d o