（基础数学专业论文）迭代函数系吸引子的稳定性和一致吸引性.pdf

中文摘要 本文以分形空间的完备性作为前提条件，应用动力系统的基本理论，得出非 一致双曲i f s 吸引子的致吸引性和连续依赖性。 首先，给出了分形空间的定义和分形空间的完备性。 其次，在分形空间中，应用压缩映射和h a u d o r f f 足巨离的基本性质，证明了双 曲i f s 的拼接映射的压缩性。利用压缩映射定理，得到了双曲i f s 吸引子的一致吸 引性。利用b a r n s l e y 和j a c h y m s k i 的证明，双曲i f s 吸引子在h a u d o r f f 距离下连续依 赖紧的参数空间中的变量。 最后，在动力系统的基本理论中，引进集值映射的基本假设，说明它的上半 连续性，最终证明了离散紧耗散系统的全局吸引子的存在性。因为非双曲i f s 是典 型的离散紧耗散系统，所以非双曲i f s 的全局吸引子的存在性是成立的。由于它唯 一的吸引子是单点集，从而转化为吸引子关于参数空间变量的连续性。 关键词：分形空间；h a u d o r f f 足巨离；拼接映射；双曲i f s ：连续依赖性；吸引子；非 一致双曲i f s a bs t r a c t b a s e do nt h ec o m p l e t e m e n to ff r a c t a ls p a c ei nt h i st h e s i s ，w eo b t a i nu n i f o r ma t t r a c t i o na n dc o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo fa t t r a c t o r sf o rn o n - u n i f o r mh y p e r b o l i ci t e r a t e d f u n c t i o ns y s t e m sb yu s i n gt h eb a s i ct h e o r yo fd y n a m i c a ls y s t e m s f i r s t ：t h ed e f i n i t i o no ff r a c t a ls p a c ea n dt h ec o m p l e t e m e n to ft h ef r a c t a ls p a c eh a v e b e e ng i v e n s e c o n d ，i nf r a c t a ls p a c e ，t h eb a s i cp r o p e r t i e so fc o n t r a c t i o nm a p p i n g sa n dt h eh a u s - d o r f fm e t r i ca r ea p p l i e d ，a n da c q u i r et h ec o n t r a c t i o no ft h ec o l l a g em a p p i n go fh y p e r b o l i c i f s r e a c hu n i f o r ma t t r a c t i o no fa t t r a c t i o nf o rh y p e r b o l i ci f sb yt h eb a n a c hc o n t r a c - t i o np r i n c i p l e r e p e a t i n gb a r n s l e ya n dz a c h y m s k i sp r o o f i t h ea t t r a c t o r so fh y p e r b o l i c i f sd e p e n d e n tc o n t i n u o u s l yo nt h ev a r i a b l eo ft h ec o m p a c tp a r a m e t e rs p a c e a tl a s t ，i nt h eb a s i ct h e o r yo fd y n a m i c a ls y s t e m s ，b r i n gi nt h eb a s i ca s s u m p t i o n o fs e t - v a l u e dm a p p i n gt oe x p l a i nt h eu p p e rc o n t i n u i t yo fs e t - v a l u e dm a p p i n ga n dp r o v e t h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a la t t r a c t o r sf o rc o m p a c t l yd i s s i p a t i v ed i s c r e t es y s t e m s b e - c a u s en o n u n i f o r mh y p e r b o l i ci f si sat y p i c a lc o m p a c t l yd i s s i p a t i v ed i s c r e t es y s t e m ， t h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a la t t r a c t o r sf o rn o n - u n i f o r mh y p e r b o l i ci f si st r u e i nt h a ti t s u n i q u ea t t r a c t o ri ss i n g l e t o n ，c o n s e q u e n t l y ，t h i sc h a n g e si n t ot h ec o n t i n u i t yo fa t t r a c t o r f o rt h ev a r i a b l eo ft h ep a r a m e t e rs p a c e k e yw o r d s ：f r a c t a ls p a c e ；h a u s d o r f fm e t r i c ：c o l l a g em a p p i n g ；h y p e r b o l i ci f s ；c o n - t i n u o u sd e p e n d e n c e ；a t t r a c t o r s ；n o n u n i f o r mh y p e r b o l i ci f s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特另, j m 以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：抽金超 签字日期：加。7 年j 月2 万日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定。特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：孔金霹 签字日期：沙a7 年f 月彩日 导师签名以乃鸳 签字目期：沙7 等厂月砑日 第一章引言 第一章引言 迭代函数系统，产生于计算机图形学、仿射几何学与分形理论的 结合，是分形理论的一个重要组成部分。1 9 8 5 年w i l l i a m s $ 【 h u t c h i n s o n 丌创 了i f s 的研究，建立了i f s 的一般理论基础。m i c h a e lf b a r n s l y 等人首先应用 一组收缩仿射变换生成分形图象，即通过对原始图形( 生成元) 的收缩， 旋转，平移等变换形成的极限图形具有自相似的分形结构，并将该 仿射变换集称为迭代函数系统i f s ( i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ) ；以及m f b a r n s l e y 和s d e m k o 的进一步工作使得这一方法成为绘制分形集的方便、有效的 方法，并将之应用到图像的压缩与处理方面，使该方法引起人们的普遍 关注。 i f s 的主要应用于分形绘制和图像压缩。i f s 在分形重构方面取得的 进展引起了图像压缩技术的革新，达到了用常规压缩方法无法达到的 高压缩比。其主要的思想在于存储生成图像的i f s 系数而不存储生成的 图像，恢复时根据i f s 系数用专门的硬件( 解码器) 生成图像。与直接存储 图像相比，分形压缩技术节省了大量的空间。迭代函数系统在自然景物 模拟以及图像压缩方面具有独到之处，是一个可行的，有价值的研究领 域。分形绘制是指在微机的图形显示设备上演示分形图像。因此它在一 大类物体建模问题中具有很大的优势，特别是在自然景物计算机模拟 生成方面优势更加明显，如植物、丛林、山川i 、云烟等等。 i f s 是以仿射变换为框架，根据几何对象的整体与局部具有自相似结 构，经过迭代而产生的自相似结构是生成分形的最简单方法之一。在双 曲迭代函数系中， ( 1 七) 是压缩映射( 压缩系数o l 0 ，有 h ( a b ) 错acb + 和bca + 证明：通过证明日+ ( a b ) s 骨acb 十开始完成证明 假设日( ab ) ，则有s u p ( d ( a b ) ：n a ) ，暗示对于所有的o a 都有d ( a ，b ) 所以，对任意的a a ，我们有a b + e 所以得到结 论：acb + 假设acb + s ，考虑至= i j h ( ab ) = s u p ( d ( a b ) ：a a ) 设a a ，由ac b + ，存在a ? b b ，使得对于所有的a a ，有d ( a jb ) e 所以，d ( a ? b ) 这是对于任意的a a 均成立所以，日+ ( ab ) 同理可证明旷( b ，a ) 错bca + 因为h ( a b ) = m a x ( h ( ab ) h 8 ( b a ) ) 综合上面的两个结论，引理得证 引理2 2 ( 扩张引理) 设( x d ) 是距离空间， 厶：n = 1 ，2 ，o o 是( k ( x ) ，日) 中 的柯西列，【勺) 各1 是无穷整数列，其中，0 佗1 n 2 0 ，存在n 0 ，使得当m n n 时，有a 。ca 。+ 和a nca m + 且o h ( a n a m ) 成立 2 2 分形空间的完备性 定义2 3 设( x ：d ) 是一个距离空间，k ( x ) 是x 上所有非空紧集构成的 空间，日是h a u s d o r f f 足f i 离，我们称( k ( x ) ，日) 构成的距离空间是分形空间 下面我们给出分形空间的完备性定理 4 第二章分形空间的完备性 定理2 1( 分形空间的完备性) 设( x ，d ) 是一个完备的距离空间， 则( k ) 。日) 是一个完备的距离空间甚至，如果 a n k ( x ) ) 怒，是一个柯 西列，那么 a = l i ma n k ( x ) 7 ( x ) 具有如下特征： a = x x ：z 。_ x ，z n a n ) ，其中z n 是柯西列 证明：设 如) 是k ( x ) 上的个柯西列，a 是符合上述定理叙述的定 义，我们把定理的证明分解成下面的几个部分： ( 1 ) a d ( 2 ) a 是闭集并且由x 是完备的，从而是完备的 ( 3 ) 对于任意的e o ，存在n o ，使得当礼n 时，aca n + ( a ) a 是全有界集，因此，从( 2 ) 得到a 是紧的 ( 5 ) l i m n 。a 。= a 。 证明( 1 ) ：我们将通过在x 上 n a t 的柯西列的存在性证明这个部分 为了达到这个目的，找到j 下整数的一个序列1 n 2 n 3 n n o ，选择儿使得墨肌尹1 w e ， 我们有 d ( x n 。x n n ) d ( x n 。，x n m + 1 ) + d ( x g 。+ l ，x n m + 2 ) + + d ( x n 一1 ，x n n ) o 。 一 ，使 得d ( z n , ，m t o 批) 因此，d ( x n , ，。o ) e 令y m ，= z t 帆，则。a m ；由上 面的不等式知，l i m i 。o 。y m 。= a 通过扩张引理，( 。) 扩展成一个收敛序 列 兹a i ，并且a a 因此，我们有a 是闭的由x 是完备空间，acx 是 闭集，所以a 是完备的 证明( 3 ) ：对于任意的 0 ，存在n 0 ，当m 扎n 时，h ( a m a n ) 现在 设扎n 那么对于m n ，有a 。ca n + e 我们将要证明aca 。+ e 为了证 明这个，设a a 存在序列( n a t ) ，并且l i m 一o 。a t = a 存在足够大的n 0 ， 使得对于当m n 时，d ( a 。，a ) 从而，由a mca n + ，a m a 。+ 因 为是紧集，所以如+ 是闭集那么，因为对于m2n 有a 。a n + ，所以 一定有a a 。+ 因此，对于足够大的n 0 ，aca 。+ 这样就完成了证 明 证明( 4 ) ：假设a 不是全有界的所以对于任意的5 0 ，不存在有限 的网我们将找到一组序列 z t ) 墨1 使得对于i j ，均有d ( x x j ) e 我们将 证明这个给出一个矛盾 通过( 3 ) 存在足够大的，使得aca 忆+ 对于任意的戤，存在相对应 的y i a 。，其中，对于任意的y i ，有d ( z t ，y i ) 由于如是紧集，存在 鼽) 的 某个子列 可m 收敛我们能在序列 可n ；) 中找到我所期望足够接近的点特 别地，我们能找到两个点耽。和鼽，使得d ( y n 。，y n 3 ) 0 ，找到，使得当仇m n 时， 6 第二章分形空间的完备性 有h ( a m ，a 。) 那么对于当m ，n n 时，有a mca n + 设佗n ，我们将证明a nca + 设y a 。，存在整数的递增序列 批) ， 使得n l 2 g k ，并且对于m ，n y j ，有a 仇ca n + 南。注 意第一项是a 。ca 1 + 由于y a 竹，存在x n l a n t ，使得d ( 掣x n 。) 由 于x n l a n l ，存在x n 2 a n 2 ，使得d ( x n l ，z 2 ) 参 我们用同样的方法推导找到一个序列x n l 7x n 2 ，x n 3 ，使得z j a ， 并且d ( z j ，z + 。) 南对于任意的j ， d ( j ? z m ) d ( u ，x n l ) + d ( x n l ，x n 2 ) + + d ( x n ，一1 ，x n , ) jo 。 嘉 嘉= e n = 1 。n = l 。 通过上述的证明过程，也可知道 z j 】是柯西列从选择n 的方法， 可知任意i 拘a n jca n + 由厶+ e 是闭集，( z ) 收敛于一点z 且z a n + 甚至，由d ( 可z 屯) ，得出d ( 秒，z ) 所以我们已经证明了对于n ， 有a 。ca + 我们完成了l i k a n = a 的证明因此，( k ( x ) 日) 是完备的距离空间。 7 第三章双曲s 吸引子一致吸引性和连续依赖性 第三章双曲i f s 吸引子一致吸引性和连续依赖性 首先我们给出压缩映射的定义，通过引理的形式讨论压缩映射的 性质。进一步，得到压缩映射的拼接映射也是压缩映射。从而获得双 曲i f s 的定义。在压缩映射定理下保证双曲i f s 的一致吸引性。 3 1 双曲i f s 的一致吸引性 定义3 1 在距离空间( x jd ) 上，一个变换厂：x x n 做压缩的或压缩 映射，如果存在一个常数0 o 是关于，的压缩因子，要 使d ( ，( z ) j ，( 箩) ) ss d ( x ，y ) ，取6 = ；，只要d ( x ，y ) 6 ，d ( ，( z ) ，( 箩) ) 引理3 2 设，：x x 是距离空间( x d ) 上的连续映射，那么，：k ( x ) 一 k ( x ) 证明：设s 是x 上的非空紧集那么显然f ( s ) = f ( x ) i x s ) 非空我们 想要证n s ( s ) 是紧集 设 = ，( z n ) ) 是，( s ) 中一组无限点列那么 z n ) 是s 上的一组无限点 列由于s 是紧集，存在 z n 的子列 z 他。，使得1 i mz 。= 孑且z s 由，的连 续性，与 z n 。) 相对应的 鼽。 收敛不妨设1 i my n 。= 莎由，的连续性，可 知歹，( s ) 综上所述，由，的连续性， 哥= ，l i my n 。= ，l i mf ( z 。k ) = ，( z ) ，( s ) _ 帅) r 中有子列 。) 收敛且极限歹，( s ) ，则，( s ) 是紧集所以我们完成了引 理的证明 引理3 3 设，：x x 是距离空间( x d ) 上带有压缩因子s 的压缩映射， 则，：k ( x ) 一k ( x ) 定义为： i ( b ) = ，( z ) ：z b ) ， v b k ( x ) ， 且厂是( k ( x ) ，日) 上带有压缩因子8 的压缩映射 8 第三章双曲i f s 吸引子一致吸引性和连续依赖性 证明：由引理3 1 知，：x x 是连续的由引理3 2 ， k k ( x ) 映射到它 本身对于任意的b c k ( x ) ，有 h + ( ，( b ) j ，( c ) ) = s u p i n f d ( f ( x ? 耖) ，f ( v ) ：y c ) ：z b ) s u p i n f s d ( x ，y ) ：y c ) ：x b ) = h 4 ( b c ) 类似地，h + ( ，( c ) ，厂( b ) ) s h + ( c b ) 因此， 日( ，( b ) ，( c ) )= m a x h + ( 厂( b ) ，( c ) ) ，h ( ，( b ) ，( c ) ) ) s m a x h + ( b c ) h + ( c b ) = s h ( b c 1 引理3 4 对于所有在k ( x ) 中的b ，c ，d 和e ， 日( b u c ? d u e ) m a x h ( b ? d ) 日( c ：e ) ) 证明： h ( buc jd u e ) = m a x h + ( b u c ，due ) ，h 4 ( due ，buc ) ) 如果 h ( bu c due ) = h + ( buc du e ) ， 或者 h ( buc due ) = h 。( b due ) 或者 h ( b u c ，d u e ) = 日+ ( c d u e ) 设z x ，如果bcc ，后者成立 d ( x ，c ) = r a 可i c nd ( z ，y ) m m r a ! ，i 拶n 她叱m c i n b 地耖) ) m g i 口nd ( z ，可) d ( x b ) 9 第三章双 由i f s 吸引子一致吸引性和连续依赖性 假设日- ( a ，b ) d ( 耖b ) 这是一个矛盾选择耖= z ，有口( a ? c ) 日+ ( ab ) 所以， h ( b u c d u e ) = h + ( c d u e ) sh ( c ，e ) h ( c e ) sm a x h ( b ，d ) ，h ( c e ) ) 类似地，如果前者成立，我们得到 h ( b u c ，d ue ) h ( b d ) h ( b d ) m a x h ( b ，d ) ，h ( c e ) ) 如果 h ( buc ，due ) = h ( d u e ：buc ) ， 或者 h ( buc ，due ) = h ( d buc ) ， 或者 h ( buc ，due ) = h + ( e ，buc ) 如果前者成立，则 h ( buc due ) h ( d b ) h ( d ，b ) m a x h ( b d ) ，h ( c ，e ) ) 如果后者成立，则 h ( b u c ，d u e ) h 4 ( e ，c ) sh ( e ，c ) sm a x h ( b ，d ) ，h ( c ，e ) ) 综上所述，h ( bu c due ) m a x h ( b ，d ) h ( c e ) ) 引理3 5 设( x ，d ) 是一个距离空间，设 厶：n = 1 ，2 ，) 是( k ( x ) ，日) 上 的压缩映射，设对于厶的压缩因子是s n ，n = 1 ，2 ，定义f ：k ( x ) 一 k ( x ) 如下： f ( b ) = ( b ) us 2 ( b ) u u 厶( 日) = u ( b ) 仡= 1 则f 是带有压缩因子s = m a x s n ：n = 1 ，2 ，) 的压缩映射 1 0 第三章双曲i f s 吸引子一致吸引性和连续依赖性 证明：当i = 1 时，日( ，1 ( b ) ， ( c ) ) 8 1 h ( b ? c ) ，可以看出 f ( b ) = 1 1 ( b ) ，s = 8 1 所以结果显然成立 当i = 佗时，假设成立即 日( f ( b ) ，f ( c ) ) s h ( b ，c ) ，8 = m a x 8 n ：咒= 1 ，2 ，一，) f ( b ) = ( b ) u 丘( b ) u u 厶( b ) u 厶+ 1 ( b ) ， 日( f ( b ) f ( c ) ) = 日( ( u ( b ) ) u 厶+ 1 ( b ) ( u 五( c ) u 厶+ 1 ( c ) i = 1i = 1 t ln m a x h ( u ( b ) ，u 五( c ) ) h ( f n + i ( b ) ，厶+ 1 ( c ) ) ) i = 1i = 1 m a x s h ( b c ) s n + 1 日( b g ) 】 g h ( b c ) 畜= m a x s 8 n + 1 ) 我们完成了证明 定义3 2 设k 是一个正整数，并且设五 1si 七) 是x 上的连续自映射 我们称肛= ：i = 1 j2 ，七) 是x 上的迭代函数系( 简称i f s ) 定义3 3一个双曲迭代函数系包含在一个完备的距离空间( x ，d ) 中， 它带有压缩映射 ：x _ x 的一个有限集，厶的压缩因子分别是s 礼( o s 。 1 ) ，扎= 1 2 ，厶是一致压缩映射带有压缩因子s = m a x s 。： n = 1 ，2 ，) 的p = 厶：n = 1 ，2 ，】l 称为一个双曲迭代函数系记 为： x ：厶扎= 1 ，2 ， 定理3 1 ( 压缩映射定理) 设，：x x 是完备距离空i 盲q ( x ，d ) 上的压缩 映射则，拥有唯一的不动点z ，x ，并且对于任意的z x ，序列 广( z ) ： n = 1 ，2 ，) 收敛于z ，就是说， j 1 婴，n ( z ) = x f ，v x x n + o 。 第三章双曲i f s 吸引子一致吸引性和连续依赖性 证明：由引理3 1 知道，是一个连续映射下面我们证明z ，的存在性任 取z o x ，令 x l = ，( z o ) ，x 2 = ，( z 1 ) ，z 。+ l = f ( z n ) 我们得n x e - “点列【z n ) 从关系式z 钆+ 1 = ，( z 他) ，( 扎= 0 11 2 ) ，可以看 出，如果 z 。】收； 则由，的连续性，这个序列的极限就是的一个不动 点 事实上，由 d ( x l ，x 2 ) = d ( f ( x o ) ，f ( z 1 ) ) ss d ( x o z 1 ) ； d ( z 2 茁3 ) = d ( f ( x 1 ) ，( z 2 ) ) s d ( x l ，t , 2 ) ss 2 d ( x o z 1 ) ； 一般地，我们得到 d ( x 佗x n + 1 ) 8 n d ( x o ，x 1 ) 于是，对于任意的自然数p ， d ( x n ，x n + p )d ( x n ，x n + 1 ) + d ( x n + l ，x n + 2 ) + + d ( x n + p 一1 ，z 扎+ p ) ( s n + s n + 1 + + s n + p 一1 ) d ( x o ，x 1 ) ：掣d ( x o , x 1 ) s i 8 一nd ( z o ，z 1 ) 由o s 0 ，使得当d ( z ，y ) 6 时， d ( ( z ) ， ( y ) ) ，v x ，y x 则称 ：a a ) 在x 上等度连续 引理3 6设( x ，d ) 和( a ，p ) 是距离空间设k n ，对于i = 172 ，k ， ： a x _ x 是关于第一个变量的连续映射，并且映射族 ，( a ，) ：a a ji = 1 ，2 南) ， 在x 上等度连续定义变换f ： k f ( a ，b ) = u 五( 入，b ) v x a ，b k ( x ) i = 1 则f 关于第一个变量连续 证明：它足够考虑k = 1 的情况，那么我们使用对于h a u s d o r f f 足巨离著名的 不等式： h ( aub ，cud ) m a x h ( a ，c ) ? h ( b d ) ) v a b c d k ( x ) 来扩展结果 假设在a 中k a 定义如( z ) = s i ( x n ，z ) 对于x x 和n = 0 ，1 ，由于，1 关 于第一个变量连续，序列 ：n ) 收敛于西o 甚至，族 如：扎】在x 上等 度连续 因此，对于x 的任意紧集b ，如( z ) 一西o ( z ) ，对于所有的z b 所以我们 能推断出 l i m 日( ( 口) ，c o ( b ) ) = 0 ， 也就是， l i mh ( f ( x 。，口) ，f ( 入o b ) ) = 0 这样我们完成了证明 1 4 第三章双曲i f s 吸引子一致吸引性和连续依赖性 注释3 2特别地，如果映射，t 关于第一个变量连续，关于第二个变 量非扩张，则上面引理的假设得到满足；也就是，对于入a 和x ，y x d ( 五( 入，z ) ，五( 入，y ) ) d ( x ，耖) ，i = 1 ，2 ，k 引理3 7设( x ，d ) 是完备的距离空间，设，：x x 是带有压缩因 子0 8 1 的压缩映射并且设，的不动点x x ，则 d ( x ，z ，) ( 1 一s ) d ( x ，( z ) ) 对于所有的z x 证明： d ( z ，z ，) = d ( z ，熙，”( z ) ) 2 热d ( x ，( z ) ) l i m d ( ，m - - 1 ( z ) ，m n _ o cu 。 m = l 1 i md ( x ，( z ) ) ( 14 - 8 + 4 - 8 住一1 ) ( 1 一s ) - - 1 d ( x ，厂( z ) ) 引理3 8 设( a ，p ) 和( x d ) 是距离空间，( x d ) 是完备的设，：h x x 是带有压缩因子0 s o 和a a ， 则对于所有的“a ， d ( z ，( a ) ，z s ( u ) ) = d ( f ( a ，z ，( a ) ) ，( p ，z ，( 肛) ) ) d ( ，( 入，z ，( a ) ) ，( p ，z ，( 入) ) ) + d ( ，( p z ，( a ) ) ，( p ，z ，( p ) ) ) d ( ，( a ，z ，( a ) ) ，( p z ，( 入) ) ) 4 - s d ( x i ( , x ) z ，( 肛) ) 它暗示 d ( z ，( 入) x s ( u ) ) ( 1 一s ) 一1 d ( ，( a ? z ，( a ) ) ，i ( u z ，( 入) ) ) 通过限制p 来足够接近a ，使得右边的部分能够任意小( 如果存在一个实 常数c ，使得 d ( ，( 入，z ) ，( u z ) ) sc d ( a ，肛) ，v a ，p a ，v x 义 1 5 第三章双曲i f s 吸引子一致吸引性和连续依赖性 那么 d ( z ，( a ) z s ( u ) ) ( 1 一s ) 一1 c d ( a ，p ) 这是有用的估计) 这样我们完成了证明 定理3 3 设( a ，p ) 是一个距离空间，并且( x ? d ) 是一个完备的距离空 间设k n 和对于a a ， x ：五( a ，) ，i = 1 ，2 ，七) 是带有压缩因子q ( a ) 的双 曲i f s 如果o = s u p a ( a ) ：a a ) 1 ，并且对于i = 1 ，2 ，k ， 关于第一个变 量连续，则吸引子a ( 入) 连续地依赖于a a ；就是说，如果在a 内k 一入o ， 贝, i j h ( a ( a n ) ，a ( 知) ) _ 0 证明：定义拼接映射： k f ( 入，b ) = u 五( 入b ) ，入a ，b k ( x ) i - - - - 1 通过引理3 6 和注释3 4 ，f 在a 上连续根据已知条件和引理3 5 ，我们知道f 在x 上 是压缩的，而且压缩因子是q 0 ， s ( a r ) = 妙x ：d ( y ，a ) o 使 得 7 r ( z 【t ，。) ) cs ( m ) ( 2 ) m 吸引y ，如果讹 0 ，3 t o 使得 7 r ( v t ：o 。) ) cs ( m ) 设x 的子集m ，我们用4 ( m ) ，a 仙( m ) 表示m 的吸引区域和一致吸引区 域他们定义如下： a ( m ) = 2 x ：v 0 ，3 t 0 ，丌( z ，【t ，o 。) ) cs ( m ) a u ( m ) = z x ：垤 0 ，j k b ( z ，) cv 3 t 0 ，丌( k 【t ，) ) cs ( m e ) ) 显然 a 。( 肘) ca ( m ) 】9 第四章非一致双曲i f s 吸引子的一致吸引性和连续依赖性 命题4 2 设y 是x 的子集，存在w k ( x ) ，使得7 r ( u 【t 。) ) cw 则u ( 矿) 吸 引y 证明：假设结论不成立存在o o 和序列x n v ，t 。r + ( 一0 0 ) 以及y n 7 r ( z n ，t n ) 使得 d ( 鲰，u ( y ) ) c o 对于任意的n 由于w 是紧集并且丌( k 【t ，。) ) cw ，存在子列y n ，收敛于某一点y o w 由 定义( 4 3 ) ，我们看出秒o w 当i 足够大时，我们有 d ( y n 。，。( a ) ) t 当这个成立时，我们有 y 丌( z ，s ) = 7 r ( 7 r ( z ，8 一t ) ，t ) 因此，我能够找到至少一个 x 0 丌( z ，8 一t ) c 丌( y ) 使得y r ( x o ，) 所以 y 丌( 丌( u ) ，t ) 2 0 第四章非一致双曲i f s 吸引子的一致吸引性和连续依赖性 我们完成了证明 命题4 3 设m k ( x ) 吸引它自己，则u ( m ) 是不变的； 7 r ( w ( m ) ，t ) = w ( m ) v t 0 证明：由于m k ( x ) ，我们取足够小的 o 使得页面是紧集 假设m 吸引它自己贝0 存在t o 使得z r ( m ，【t o 。) ) c 顶币习由命题4 1 和4 2 ，。( m ) 是 一个非空紧的负不变集并且吸引m 注意。( m ) 必然包含在m 内 引理4 1 ，我们看出丌( u ( m ) ) 是不变观察 7 r ( t r ( w ( m ) ) ，t ) = 7 r ( w ( m ) t ? 。) ) cr r ( m ，【t ，) ) 对于任意的t r + 我们推断出u ( m ) 吸引7 r ( u ( m ) ) 从而，7 r ( w ( m ) ) c 。( m ) ( 通过丌( u ( m ) ) 的不 变性) ，这暗示着。( m ) 正不变因此，u ( m ) 是不变的 定义4 5 设a 是x 的紧子集如果存在4 的领域u ，使得a = u ( u ) ，则我们 称a 是丌的吸引子 定义4 6 集a k ( x ) 称为7 r 的一致吸引子，如果它是不变的并且a 。( 4 ) 是4 的 邻域 定理4 1 设存在吸引自己邻域的m k ( x ) ，则丌存在一致吸引子ac m ，使得也( a ) = a u ( m ) 证明：取6 o 使得b = 颐丽k ( x ) 并n _ m 吸引b 由命题4 3 ，u ( b ) 是不变 的显然u ( b ) cm 设a = u ( b ) ，由于4 吸引b ，它是一致吸引子我们容易看 出如果m 吸引ycx ，则4 也吸引y ，从中我们马上得到屯( 4 ) = a 。( m ) 定义4 7 设( x ，丌) 是集值动力系统，存在正数和使得 日( 7 r ( t ，x 1 ) ：丌( t ? x 2 ) ) n e 一们d ( x a ，x 2 ) v x l x 2 x 则( x 丌) 是紧耗散的 定理4 2设丌在x 上是紧耗散的，则丌存在唯一的全局吸引子4 证明：存在性 由于丌在x 上是紧耗散的，对于任意的b k ( x ) ，u ( b ) 吸 引b 由定理4 1 知，7 r 存在一致吸引子4 ，使得也( 4 ) = b 由于b 的任意性 2 1 第四章非一致双曲i f s 吸引子的一致吸引性和连续依赖性 和x 是紧空间，所以，也( a ) = x 因此么是丌的全局一致吸引子 唯一性 假设存在a _ b ，anb = 仍是丌的全局一致吸引子 取任意的m k ( x ) ，由假设条件，根据定理4 1 ， a u ( 4 ) = m ，a 。( 舀) = m 而4 = 召= u ( m ) ，由。( m ) = n t o 虱丽币两存在足够大的丁 o ，使得当t t 时m 分别吸引到4 召的邻域由4n 召= 0 ，推出 n r t7 r ( m ? 【t o o ) ) nn 丁 t