（基础数学专业论文）关于严格伪压缩映象和m增生映象迭代序列的收敛性.pdf

关于严格伪压缩映象和一增生映象 迭代序列的收敛性 摘要 这篇硕士论文主要研究关于严格伪压缩映象和舻增生映象的几种迭 代序列的强收敛与弱收敛问题具体的证明了下面一些结果； ( i ) 设e 是一致凸、旷一致光滑b a n a c h 空间，k 是f 的非空有界闭 凸子集，t ：k k 是严格伪压缩映象，实数列 n 。) ， 风) c ( 0 ，1 】满足条 件0 盱1 b i sas e q u e n c ei nt h ei n t e r v a l ( 0 ，1 】 s u c ht h a t0 a 纩1 b 0 成立下面我们处处设a 是m 增生映象且0 r ( 川 记 f ：= 。d ( a ) ：0 a z ) = a 一1 ( o ) 我们用工和4 分别表示a 的预解式和吉田( y o s i d a ) 逼近即 1 j r = ( 1 + r a ) 一1 ，a ，= 二( j 一工) ， r 0 t 众所周知，山：丽一丽是单值且非扩张映象我们用f ( ) 表示五的 不动点集已熟知，任给r 0 ，z d ( a ) 有f ( 五) = f ，4 z a ( j x ) 和 0 4 髫| | i n f 1 y f ：y a z ) ；如果e 是一致凸b a n a c h 空间，则丽是e 的闭凸子 集，又同顾到，如果映象t ：d ( t ) ce _ + e 是非扩张的，则i t 是增生映象并 且如果d ( t ) = e ，则j ，一t 是m 增生映象 ( 二) 、弓i 言 严格伪压缩映象最早是由b r o w d e r 和p e t r y s h y n 引入和研究，这类映象与 b a n a c h 空问映象的不动点理论密切相关，而不动点理论在建立各类方程( 其中 包括各类线性或非线性的、确定或非确定型的微分方程、积分方程以及各类算子 方程) 解的存在唯一件问题中起着重要作用1 9 6 7 年，b r o w d e r 和p e t r y s h y n s i 正 明：设日是h i l b e r t 空间，kc 日是一非空有界闭凸子集，t ：k ，k 是 严格伪压缩映象，则对于任何固定7 ( 1 一而，1 ) ，由f 式定义的序列 z 。1 ： z 。+ 1 ：一，y o 。- 4 - ( 1 一，y ) t z 。= h j + ( 1 7 ) 卅” 1 ) ，r t 1 ，弱收敛于t 的不动点如 果丁又是半紧的，则 g 。) 强收敛于r 的不动点1 9 7 4 年，r h o a d e s e l 证明：设日 是h i l b e r t 空间，k 是日的非空紧凸子集，t ：k k 是严格伪压缩映象，实数 序列 。) 满足下列条件：( i ) o t 0 = 1 ，( i i ) 0 。 1 ，n 1 ，( i i i ) 。o o ：1 = o 。， ( i v ) 。1 1 里a n = q 1 一k 则m a n n 迭代序列z 。+ l ：= ( 1 一) z 。- 4 - 口。r z 。，, r t 0 ， v z o k ，强收敛于? 的不动点2 0 0 1 年，m o o s i l i k e 和a u d o m e n e 【7 】证明：设 一2 浙江师范大学硕士学位论文 e 是q 一一致光滑b a n a c h 空问，k 是e 的非空闭凸子集，t ：k k 是半 紧的严格伪压缩映象，f ( t ) o 设实数序列 。) ， 风) 满足下列条件：( i ) 0 ，风1 ，v n 1 ，( 瓿) 0 a o 纩1 b ( q ) 、_ q - 1 c q ) ( 1 一风) ，v n 1 ， | n ，b ( 0 ，1 ) ( i i i ) 甚1 熙 o o ，r = m i n 1 ，( 口一1 ) 则i s h i k s w a 迭代序列 z 。 ： y n = ( 1 一风) z 。4 - 风t x n ，z 竹+ 1 = ( 1 一a n ) z ”4 - a n t z n ，v 竹1 ，强收敛于t 的不动点2 0 0 4 年，m o o s i l i k e 8 证明：设日是h i l b e r t 空间，k 是日的非空 闭凸集， 互) 墨1 是个到k 的严格伪压缩映象，f = n n ，= 1 f ( 乃) d 设 $ o k ， a 。) 是( 0 ，1 ) 中的数列且l i m = 0 则由下式定义的迭代序列 o 。 ： z 。= o z n x 一14 - ( 1 一) 死z 。，n 1 ，其中矗= 死m o d n ，弱收敛于 z ) 篓1 公共不 动点 1 9 6 7 年，b r o w d e r 1 i 证明：设e 是h i l b e r t 空间，k 是e 的非空闭凸子集， f ( t ) o ，v z k ，0 t 1 设观是唯一一点满足方程o f = t x4 - ( 1 一t ) t x t ， 则当t 一0 时， 茹t ) 强收敛于t 的不动点，此不动点是f ( 丁) 与。的最近点 1 9 8 0 年，r e i c h 把b r o w d e r 的结果推广到一致光滑b a n a c h 空间，证明了f ( 是 k 的太阳非扩张保核收缩，即存在一个从k 到上f ( t ) 的非扩张保核收缩p 使得 p ( p 0 4 - t ( x p o ) ) = p x ，v x k ，t 0 ，尸z 4 - t ( x p x ) k 1 9 9 6 年，s h i m i z u 和t a k a h a s h i 应用b r o w d e r 1 】的思想征明了：设e 是h i l b e r t 空间，? ：k _ k 足具有实数列 c 【1 ，o o ) 且l i r ak = 1 的渐近非扩张映象，f ( f ) o 设0 ，l 0 b a n a c h 空间e 称为光滑的，如果e 的光滑模 p e ( - ) = 8 u p ( i i z + y l i + i i 。一y 1 1 ) 2 一l ：i i = 1 i = 1 ，l l y l i = 7 ) 0 ， v7 - 0 b a n a c h 空间e 称为一致光滑的，当且仅当l i m ，一o ( 细( r ) f ) = 0 b a n a c h 空间 e 称为q 一一致光滑的，如果存在常数c 0 ，实数1 q 0 ，ve ( 0 ，2 】 回颐到，h i l b e r t 空间，l p ( 或知) 空间，1 p o 。，和s o b o l e v 空间w 嚣， 1 p 0 使得i i j 。( 。) 一j q ( ) 0 二。j | z 一掣ij 。一1 设p 是自然数集上的平均，即z o o 上满足“= 1 = 弘( 1 ) 的连续线性泛函， 已熟知，p 是上的平均，当且仅当i a f a 。：n ) p ( o ) s u p a 。：n ) ， v a = ( a 1 ，a 2 ，) p 根据实际情况，本文用( o f l ) 代替泛函值p ( o ) n 上的 平均p 称为b a n a c h 极限i 2 1 1 ，如果( o 。) = ( 口n + 1 ) ，v a = ( a 1 ，a 2 ，) z o o ，利用 h a h n b a i m c h 定理，可证b a n a c h 极限的存在性，又熟知，如果“是b a n a c h 极限， 则 l i m i n f a n 脚( ) l i m s u p ，v a = ( 0 1 ，眈，) l o o ( n 一 设 o 。) 是e 中的有界序歹1 j ，则可定义e 上的实值连续凸泛函 妒 ) = h i f 妨。一。i f 2 ，v 名e 一6 浙江师范大学硕士学位论文 设e 是一实b a n a c h 空间，且u = 如e ：忙0 = 1 ) e 的范数称为g a t e a u x 可微的( 且e 称为光滑的) ，如果极限 l i 。监兰掣l 二监旦，( 2 1 ) 对每个z ，y u 都存在e 的范数称为一致g a t e a u x 可微的，如果对每个可u ， 极限( 2 1 ) 对z u 一致地存在己熟知，如果e 是光滑的，则正规对偶映象j 是单 值的且是从e 的强拓扑到f 的弱星拓扑连续的；如果e 的范数是一致g a t e a t t x 可微的，则j 在e 的每个有界子集上是从e 的强拓扑到e 的弱星拓扑一致连续 的e 的范数称为f r e c h e t 可微的，如果对每个z u ，极限( 2 1 ) 对y u 一致地 存在已熟知，e 的范数是f r e c h e t 可微的，当且仅当，对每个有界子集bce 与每 个。e ，有点璺( 2 t ) 1 ( j l x + 圳j 2 一忙= ( ，( 。) ，y ) 对y b 一致地成立，其中， j ( ) 定义为j ( x ) = 矿驴：( 矿，。) = 忙1 1 2 = i 矿1 1 2 ) e 的范数称为一致f r e c h e t 可微的( 且e 称为一致光滑的) ，如果极限( 2 1 ) 对( 。，y ) u u 一致的存在由于 e + 是一致凸的当且仅当e 的范数是一致f r e c h e t 可微的，故每个具有一致凸对偶 空间的b a n a c h 空间是自反空间且具有一致g a t e a u x 可微范数反之，其逆不真 b a n a c h 空间e 称为严格凸的，若其瞥位球面不含任何线段换句话说，若有 蕴含关系 | j z l l = 1 ，0 yj l = 1 且z y = i i 去( z + s ，) i j 0 ，ve 0 显然，任何一致凸b a n a c h 空 间既是严格凸的，义是自反的而且，已熟知，若e 是一致凸的，则j 在 0 ，2 】上严 格递增，凸且连续特别地，l p ，如空间和s o b o l e v 空间w 景，1 p 1 具有一致正规结构的空间是自反 的，所有一致凸或一致光滑的b a n a c h 空间都具有一致正规结构【 ( 二) 、一些弓i 理 引理2 1 【2 4 j ：设e 是具有一致g 直t e a u x 可微范数的b a n a c h 空间，k 是e 的 非绎闭凸子集， 。 足e 中的有界序列设p 是b a n a c h 极限，名k 则 ， n l l z 。一名1 1 2 = r a i nt t 。l i 。一1 1 2 ， 当月仅当 p n ( 可一z ，j ( 石n z ) ) 0 ， vy k 。 定义2 1 ：我们称函数碰：丑t 丑属壬c ，如果形满足丰面条件： ( 1 ) w ( o ) = 0 ， ( 2 ) r 0 号w ( r ) 0 ， ( 5 ) t s w ( t ) w ( s ) 引理2 21 2 5 】：设e 是一致凸b a n a c h 空间，则对于任何r 0 ，存在i r 使得对于每个茁，y b r ，矿，( 。) ，y + j ( 可) 有 ( z y ，。+ 一y 。) w 名( 1 l x 一”0 ) l | z 一分 引理2 31 7 】：设e 是实口一一致光滑b a n a c h 空间，k 是e 的非空凸集，? 髟一k 是严格伪压缩映象， ) 箍1 ， 风) 箍。是区间【0 ，1 】中的两个实数列 死：k 一耳定义如下： z 。z 一( 1 一o 。) z + 。t ( ( 1 一屏。) o + 风t x ) ， vz k 则对于任何z ，y 耳有 0 2 乙z 一2 乙引r 【1 + 矗川z 一引1 4 一q 。 a 。一1 q ( 1 一z n ) - c 。口纩1 】i i x - - t ( g ( n ) ) - - ( y - - t ( g , 。( y ) ) ) l l 。 一8 一 浙江师范大学顾士学位论文 其中，“：= 2 q 。风 - 1 d q ( 1 + l ) q + g q 。厶( 1 - 4 - l ) q + 1 僻， 鲰( z ) ：= ( 1 一风) z + 风t z ， 乳( 可) ：= ( 1 一风) + 风t y 标注2 1 ：( 1 ) 若存在b 【0 ，l 】，使得。扩1 b 0 ，e 0 ，存在叩 0 使得对于任何t l i p ( k ，1 + 7 7 ) 有 ( g d 峨( t ) n b r 】+ 岛) n k c f ( t ) 引理2 6 【4 1 ：设e 是一致凸b a n a c h 空间，k 是e 的非空闭凸子集，则对于每 个p n ，r 0 和e 0 ，存在叩 0 和n 使得对于每个t l i p ( k ，1 + 卵) 和 z ：n ，j = 0 ，p ) ck n 最r ，如果满足 卉慨州一t 驯叼，vn i ，歹= o ，p ， 就有 上r t + l ；“薹a j x j , i + 1 - - t ( ；。l | 钲，v 礼氓) x ea v 引理2 7 【2 5 j ：设e 是实自反b a n a c h 空间，k 是e 的非空闭凸子集设泛函 g ：k 一( 一o 。，+ o 。) 是真弱下半连续的且! i mg ( x ) = + o o 则存在x o k 使 z 1 | 4 0 0 得 g ( x o ) = i n f g ( x ) ：z ) 引理2 8 2 6 】：设e 是一致凸b a n a c h 空间，耳是e 的非空有界子集，则存在一 连续严格增和凸函数g ：【0 ，0 0 ) 一【0 ，o o ) ，g ( o ) = 0 使得 i i t x + ( 1 - t ) y l l 2 t l i x l l 2 + ( 1 一t ) l f 2 一t ( 1 一t ) g ( 1 l x y u ) ，vz ，y kt f 0 ，1 】 定义2 2 ：设e 是实b a n a c h 空间，c 是e 的非空子集设d 是c 的子集，p 是 c 到上d 的映象则p 称为太阳的，如果对任何z g 和t 0 ，p x + t ( z p z ) c ， 则p ( p z + t ( x p z ) ) = p z g 到c 上的映象p 称为保核收缩的，如果p = p 2 c 的子集d 称为是c 的太阳非扩张保核收缩，如果存在一个c 到上d 的太阳非 9 二、预各知识 扩张保核收缩 引理2 9 【2 7 1 ：设e 是实线性赋范空间，其范数是g a t e a u x 可微的，k 是e 的 非空子集设p ：e - ，k 是保核收缩则下面命题等价： ( 1 ) ( p z z ，j ( y p x ) ) 0 ，v 茁e ，y k ； ( 2 ) 如一w ，j ( p z p 叫) ) l i p 名一p 叫0 2 ，v 名，w e ； ( 3 ) p 既是太阳的又是非扩张的 因此，在k 上至多存在一个太阳非扩张保核收缩 定义2 3 ：设t ：d ( t ) ce e 是一映象，t 称为强伪压缩的，如果存在 j 一) j ( x y ) 和一常数k ( 0 ，1 ) 使得 ( t x t y ，j ( x 一芗) ) j 。i l z y l l 2 ，vo ，y d ( t ) ， 引理2 1 0f 2 8 】：设e 是实b a n a c h 空间，k 是e 的闭子集，t ：k e 是连 续强伪压缩映象，且 骂+ p ( ( 1 一a ) z + a t x ，k ) a = 0 ，vz k 则t 有唯一不 动点 引理2 i i1 12 ：( 预解恒等式) 如果a ，p 0 ，则 。= 以( 譬z + ( 1 一譬) z ) ，$ e 引理2 i 2l i 2 ：设 ) 是非负实数列设存在非负整数n o ，使得 a n + 1 ( 1 一) 嘞。+ t 6 n ，v 竹n o 其中o k 0 ，使得对任何( 0 ，1 ) ，当x ，y e ，忙一洲 em a - x l l x l l ，1 ) 时，有 0 z + ( 1 8 ) 耖i | m a x l i x 1 ，f l y l ( 1 2 d m i n c ，1 一a ) ) 引理2 1 61 1 l l ：设e 是一致凸b a n a a h 空问，其范数是f r e c h e t 可微的，g 是e 的非空闭凸子集发 t o ，丑，噩，) 是一个从c 到c 的非扩张映象序列 并满足n 警o f ( 瓦) d 设z c 和& = 瓦r 一1 蜀，v 乱n 则集合 n 。o o ：o 历 5 k z ：m n ) n f 至多含一个点，其中f = n 昙of ( 矗) 引理2 1 71 2 9 1 ：设e 是一致凸b a n a c h 空间，c 是e 的有界闭凸子集，t ： c 一c 是一非扩张映象如果序列 o 。 s q 收敛于z c 且序列 z 。一t x 。) 强收 敛于0 ，则t z = z 一1 l 一 、关于严格伪压缩映蒙平均逼近的强收敛 三、关于严格伪压缩映象平均逼近的强收敛 ( 一) 、预备工作 引理3 1 ：设e 是实b a n a c h 空间，k 是e 的非空有界闭凸子集，t ：k k 是严格伪压缩映象则存在点列 z 。) ck 使得互。一t z 。- ，o 协o o ) ， 证明：记k = ( 1 一l 加) 任取x o k 定义映象： 2 k 茁= ( 1 一a nx o + a 竹t x 因为耳是凸集，故死：k - 由于丁是严格伪压缩的，故对任何。，耳，有 ( 2 l $ 一2 乙! ，j ( x 一暑，) ) = a 。( t x t y ，i ( x 一秒) ) 入。i i 茁一1 1 2 这说明对每个n ，映象只是强伪压缩的又因为每个严格伪压缩映象是 l i p s c h i t z 的，从而对每个n n ，r 是l i p s c h i t z 的，由引理2 1 0 知，存在k 满足t x 。= z 。因而对任何n n ，有 。一t x 。= ( 1 一入。) ( z o t x 。) 用d i a m k 表示k 的直径，于是由上式当n o 。时，就有 i t 。n t x n i i ( 1 一a n ) d i a m k5 寺d i a m k 一0 ( n o o ) 口 下面这个引理是通过仔细修改定理3 | 8 】得到的， 引理3 2 ：浸e 是一致凸b a n a c h 空间，是e 的非空有界闭凸子集，则对于每 个r 0 ，r r 利e 0 ，存在叩 0 ，札n 使得对于每个2 肌和每个k 到k 的自映蒙t ，如果满足s u p 钏瓦。l i ：n n ，z k n b ) r 和噩l i p ( k ，1 + 卵) ，则 i f 斋啦一正( 熹酬，v m f $ k n m 证明：设r 0 ，r r ，e 0 由引理2 5 知，存在6 0 ， 0 使得 ( c o i f s ( s ) n 魄】+ 鼠) n kc 只( s ) ，vs l i p ( k , 1 + 6 ) ， 和 ( c o i f s ( s ) n b r + 段) n kc 毋( s ) ，vs l i p ( k ，1 + ) 取7 - 0 ，p 使得r 7 - 毒3 ，7 - f 且2 r ( p + 1 ) t 2 2 由引理2 6 知，存在 浙汀师范大学硕士学位论文 叩 0 ，1 n 使得对于每个s l i p ( k ，1 + 叩) 和 x j ，。：n n ，j = 0 ，p ) c k n b n ，如果满足 熹勤, i + 1 - - s 圳叩，v 礼，j - - - - o , - ，p ， 则 二n + l 善”；b x j , + l - - s ；。j npp 我们可以假设叩且卵1 ，p n ( 1 + 1 ) ( 1 一a 。) 正+ o 。t x ，可推得 口t - 虿， vn 1 ，a 9 3 ，s u p x h m 由t x = z e k t x z 0 = o 。j i 。一t x l i = 2 0 m _ 0 ( n _ o 。) 于是，存在2 n 使得当n j 时，有l i 死z 一l l 7 4 ( 1 + 叩) ，从而当n ，m 2 时，有i l 露。一7 m z | f , 7 4 因2 n 2 m ( n + 1 ) ，o 一co ) ，故存在3 n 使 得当忆3 时，有2 n 2 m ( n + 1 ) h i 2 取= m 瓢 1 ，2 ，3 ) 设z 肌， t ：k ，k 是一映象满足 s u p i i t x l l ：佗，茁k n b r r ， 丑l i p ( 耳，1 + 7 7 ) 设。k nb r ，令 够= 乃+ 州z ， vt n ，q = 0 ，一，l 一1 显然i i 鳐| | r ，v 扎n ，g = 0 ，一，l 一1 令 叼2 d 可萎组t ，口_ 0 1 ，卜1 设n 肌，q o ，1 ，l 一1 ) 由于 雨1 岛| | 蜴计t 一正矽口+ ；0 = ；五1 了兰00 乃+ o + t + 1 ) i x 一丑+ o + f ) f z i l + 击了：1 l 兀+ 0 + t + 1 ) i x t l x + t l x 一丑兀+ o + t v 石i | 笔警+ 专磬( ；+ ( 1 + 叩) 尚) + 叩， 1 3 、关于严格伪压缩映象平均：；氆近的强收敛 于是 而1 二| | 孵一丑叼i i 而1 ：。0 叼一瞻i i + 嘉l l w ：+ l 一丑w 赤翟。i f 赤p ；o 媾t 一两1 吼川 + 士岛l 南e ；o 蠕一五( 寿鬈：o 辨t i l 鬲2 r + 孚丁2 令 a ：= t o ，n ) ：1 1 w 一丑叼| | 7 ) ， b 晏= o ，n ) a 三 则# a 3 ( n + 1 ) r ，h a ：- - bh b ：= n + 1 ，和当z b ：时，有i w 7 一五珥? | j 7 - f ， 于是w 尽) ，其中# a ：表示集合a ：的基数由于 0 击岛贸一雨1 函叼| | = | 赤：。醇一雨1 ：o ( 赤銎o ) 1 1 雨1 p = 。| i 赤：。彰一赤：o 谚+ t 赤。糟= 籍， 故 j i 嘉：。聍一志炬碟叼j | l i 击：。掰一而1 ：。叼忡i i 赤。磁叼l + 0 击诞职腭一壶 。砩叨0 丝n + l + 等鲁r - b 箍揣h 霹r q - 2 r t - 4 - - 警= 由于 志互叼印。 f d t z ) n 蹴 及 丑l 咖( k 1 + ，7 ) c l 咖( ，14 - ) ， 因而可推得 雨1 孵= 蕊1 。璐叼q - ( 赤：o 贸一壶讵矾叼) ( c o 最( 丑) n b r ) n k c r ( 丑) ，vn n ，口= 0 ，1 ，l 一1 设m 2 ( 肌- - b 1 ) 取竹n ，s o ，1 ，l 一1 使得仇= z ( n + 1 ) q - 8 则礼 l 浙汀师范大学硕士学位论文 因此 丽1 函正z = 旦m 监+ l 。( 南哿贸) + 而n + l 。l - - ：1 卧。( 击：。贸) c o ( 忍( 正) n b n ) n k cf e ) v 仇z ( m + 1 ) ，。k n b 口 引理3 3 ：设e 即是一致凸又是一致光滑b a n a c h 空问，k 是e 的非空有界闭 凸子集，t ：k 一k 是严格伪压缩映象设 ) 是【0 ，1 中的实数序列，满足条 件0 q 纩1 b ( q - 1 c 口) ( 1 一风) ，vn i v ，任给x o k ，则存在唯一一点 z 。k 使得 茁n = 0 1 n x o + ( 1 一) 熹善 证明：令 _n 瓯z = q 椭+ ( 1 一q n ) 南耽 故 1 1 & z 一& 训( 1 一) 元b ：o0 正z t , y l l ( 1 一。机) i l z 一引j ， 于足由b a n a c h 压缩映象原理知，存在唯一一点z 。k 使得 一 n $ n = o n z 。+ ( 1 一q n ) 南善z 口 引理3 4 ：设e 既是一致凸又是一致光滑b a a a a e h 空问，k 是e 的非空有界闭 凸子集，t ：k _ + k 是严格伪压缩映象设 q 。) 是【0 ，1 】中的实数序列，满足条 件0 0 ( 3 2 ) 由w 1 9 及引理2 1 知， m ( y w ，j ( x m 一伽。) ) 0 ，vy k ，( 3 3 ) 用w 代替( 3 ，1 ) 中的y ，w 代替( 3 3 ) i = i = i 的y ，然后两式相加得， p 4 ( w w ，j ( x m w 。) 一，( 。m 一 ) ) 0 ，( 3 4 ) 从而( 3 2 ) 与( 3 ，4 ) 矛盾，因此妒在耳中只有唯最小值点 下面证明存在n n 使得耳w = w ，从而可知w 是t 的不动点否则，我们 可以假设死伽w ，v n 于是存在e 0 使得对于每个m n ，存在f m 满 足i i t t w 一伽0 e 令 s u p t 2 k w f ：_ = r 0 ， 于是t t w ，w k n b r ，一方面由引理2 8 知，存在一连续严格增和凸函数 妒：【0 ，。) 一【0 ，o 。) ，妒( o ) = 0 使得 i i t = + ( 1 一t ) y l l 2 t l l x l l 2 + ( 1 一t ) l l y l l 2 一# ( 1 一t ) g ( 1 l = 一y 1 1 ) ， v 。，彭k ，t 【o ，1 】于足 妒( t z + ( 1 一t ) y ) t 妒 ) + ( 1 一t ) 9 白) 一t ( 1 一t ) g ( 1 l = 一y 1 1 ) ， v 。，影定，t f o ，1 】因此，存在正数6 使得 胁( i i z 。一丑! = 字型 ；l 胁( 1 l z n ，丑”1 1 2 ) + u ( 1 l = 。；一删1 1 2 ) 】一5 【p l ( i f 。m t z x 。| j - t - i i t z x 。一t 瑚i i ) 2 + p ( j j “。一伽0 2 ) 】一5 ， 一1 6 浙江师范大学颁士学位论文 由引理3 2 和丑的定义知，存在充分大的l 使得 l | z 。一丑z m l l e ， ve 0 且i i t l x 。一丑t ，l l l i $ m w 1 1 因此存在6 0 ，使得 m ( 1 l 。一丑。l | + i i t l z , , , 一t * w 1 1 ) 2 u , ( 1 l 五z 、一乃 j f 2 ) - 4 - 巧 p t ( i l o 。一w 1 1 ) 2 + d 于是 m ( 1 l x 。一t 半- 1 1 2 ) “( 1 i z 。一叫0 2 ) 一 m ( 1 l x m 一 1 1 2 ) 另一方面，由w d 知， 地( 1 | z 。一 0 2 ) m ( | | 一t t 掣w + 0 2 ) 矛盾从而存在某个n n 使得瓦w = w 故鲫是丁的不动点 口 引理3 5 ：设e 既是一致凸又是一致光滑b a n a c h 空间，k 是e 的非空有界 闭凸子集，t ：k k 是严格伪压缩映象，序列 z 。) 如同引理3 3 ，设 ) 是 f 0 ，1 】中的实数序列，满足条件0 a 纩1 b 0 使得 i i x 。+ l z 。i l 蓁鉴竺椎高k i = 高鬟：j 九r n - - 一1 = 秽4 ， l n a 竹一1 川u j k 一，z 竹一1 i i + ( 1 一a 竹) l ij r 。z n z 他一10 、7 m ( 1 8 n 一血n i ia - 1 1 一丢著i ) + ( 1 一a n ) l l x n x n 一1 1 1 如果r 。一1 r 。，类似的，我们也可以有( 4 4 ) 式成立利用引理2 1 2 及定理的条件 ( i ) ，( i i ) ，( i i i ) ，可得 i l z 。+ 1 一z 。0 一0 ( 4 5 ) 注意到 l i 五z n z n0 1 1 也z n 一五j r 。z 竹0 + 0 以。7 z n 一。竹0 + 0 4 。n 一。”“ 2 1 1 z 。一 。z 。| l + i i 五7 0 z 。一工。i i 2 ( 1 l x 。一z 。+ 1 1 i - f0 。什1 4 。z 。1 1 ) + i l 以j r 。一山。筠川， 于是，由( 4 2 ) 式，( 4 3 ) 式及( 4 5 ) 式，得 以$ n z n _ o ( n 一o 。) ( 4 6 ) 刘任意t 0 成立设函数- y ：l o ，o 。) 一( o ，1 ) 满足。魄- r ( t ) = 0 令 t t = 7 ( 亡) u + ( 1 7 ( 芒) ) 以 易知，五是e 到e 上的b a n a c h 压缩映象，又由g 是闭凸子集，于是存在魂c 满 足方程z t = 7 ( f ) 乱+ ( r 一7 ( t ) ) 魂现在断言 免一q u ( t 一o 。) ，( 4 7 ) 其中q ：c 一f 是从c 到上f 的唯一太阳非扩张映象事实上，设 k ) 是( 0 ，o o ) 中的序列且满足l i r at 。= 因 n o o 。 0 一，| l - y ( t 。) l l u 一，l l 7 ( t 。) i i u f l i 2 1 + ( 1 一- r ( t 。) ) i l 五。z t 。一，i i + ( 1 一，y ( k ) ) 0 施。一，i l ， 四、迭代逼近m 一增生作了的零点 故 l i 魂。一，i ! l u 一，“ 于是 ) 是有界序列由此我们定义c 上的泛函夕： g ( x ) = l i m i i z f 。一z 孵 因l 五五。一五。i l 一0 ( n o o ) 及l l z “一j 0 l = 7 ( k ) l l u 一以。z k l | 一 o 一) ，故i 磊k 施。一2 k