（基础数学专业论文）临界群与超线性椭圆方程多解的存在性.pdf

摘要 本文主要应用m o r s e 理论研究p - l a p l a c i a n 方稗的d r i c h l e t 边值问题非平凡 解和半线性情况卜多重解的存在系性我们的非线性项是超线性的，但是不满足 通常的a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 条件( a r 条件) 或其存原点的对偶形式我们分别 在原点处渐近线性、无穷远处超线性，及原点处超线性、无穷远处渐近线性的条 件卜，得剑非平凡解的存在性证明的关键是在新的条件下计算无穷远处的临界 群和原点处的临界群 对于p = 2 的半线性情形，我们运用截断技巧和m o r s e 不等式，得到一个正 解、一个负解，以及一个变号解 关键字 m o r s e 理论，临界群，超线性，多重解，变号解 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rp - l a p l a c i a ne q u a - t i o n sw i t hd r i c h l e tb o u n d a r yv a l u eb ya p p l y i n gt h em o r s et h e o r y t h en o n l i n e a r i t yi s s u p e r l i n e a rb u td o e sn o ts a t i s f yt h eu s u a la m b r o s e t t i r a b i n o w i t zc o n d i t i o n ( a rc o n - d i t i o n ) o ri t sd u a lf o r mn e a rz e r o w eo b t a i nn o n t r i v i a ls o l u t i o ni nt h ec a s e st h a tt h e n o n l i n e a r i t yi sa s y m p t o t i c a l l yl i n e a rn e a rz e r oa n ds u p e r l i n e a rn e a ri n f i n i t y , o ri t i ss u p e r l i n e a rn e a rz e r oa n da s y m p t o t i c a l l yl i n e a rn e a ri n f i n i t y t h ek e yp o i n ti nt h ep r o o f s i st oc o m p u t et h ec r i t i c a lg r o u p sa ti n f i n f i t ya n da tz e r o u n d e rt h en e wa s s u m p t i o n s i nt h ec a s et h a tp 。2 ，w eo b t a i nap o s i t i v es o l u t i o n ，an e g a t i v es o l u t i o na n da s i g n c h a n g i n gs o l u t i o nv i a t h et r u n c a t e dt e c h n i q u ea n dm o r s ei n e q u a l i t y k e y w o r d s m o r s et h e o r y , c r i t i c a lg r o u p s ，s u p e r l i n e a r ，m u l t i p l es o l u t i o n s ，s i g n c h a n g i n gs o l u t i o n s 1 1 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成 果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论 文而产生的权利和责任。 责任人( 签名) ：弓侈 啾年6 月幺日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ( 请在以上相应括号内打” ”) 作者签名：之u 日期：o 缉厂月谚日 导师签名：弘髻久；皮 日期：口j f 年月j ，日 第一章引言 1 1 相关知识介绍 变分方法常用于具有变分结构非线性方程多解研究，考察如下形式的非线性 算子方程： a x = p ( 1 1 ) 这里a ：x _ y 是一个映射，x 和y 是两个b a n a c h 空间当这个非线性问 题具有变分结构时，即存在可微的非线性泛函圣：x r ，使得 ( 她垆( 叭u ) m = ! 觋坐掣汕u 啦 ( 1 2 ) 这时空间x 的对偶空间x + ，则方程( 1 1 ) 的弱解等价于求 雪7 ( 让) = 0 ( 1 3 ) 的解u x ，即u 满足 ( 圣7 ( u ) ，口) = 0 ，y v x ( 1 4 ) 我们称满足( 1 3 ) 的元素u 是泛函西的临界点求解具有变分结构的非线性 问题的解等价于求其能量泛函的临界点，寻找泛函临界点所形成的数学理论称之 为临界点理论 经典变分法求泛函极小，而现代变分方法主要极大极小方法和m o r s e 理论， m o r s e 理论揭示了泛函的临界点的个数及类型与泛函水平集的拓扑性质之间的深 刻关系它标志了大范闱分析的开端 下面是现代变分法巾的一些主要内容介绍，这些内容可以在【7 ，1 9 ，2 2 ，2 5 ，2 6 1 找到 设x 是b a n a c h 空间，圣：x r 是c 1 泛函约定以下记号，记j c = u x l , i , 7 ( u ) = o ，圣。= u x l v ( u ) c ，j l c 。= u t c l o ( u ) = c 为了考察泛函的水甲集的拓扑性质的变化与临界点存在性的关系，下面形变 性质是基本的 定义1 1 1 ( 形变条件) 设x 是b a n a c h 空间，圣：x _ r 是c 1 泛函c r 如 果对任意e 0 和瓦。的任何邻域，存在( 0 ，g ) 和一个连续映射叩( 屯u ) ： 【0 ，1 1 x 一义使得 ( i )7 7 ( o ，u ) = i t ，y u x ； ( i i ) v ( t ，u ) = u ，y u 隹圣一1 ( 【c 一手，c + 司) ； ( i i i )当8 t 时，圣( 叩( s ，z ) ) 垂( 叩( ，z ) ) ； 临界群与超线性椭圆方程多解的存在性 2 ( i v ) 叩( 1 ，西。+ 5 ) c 垂。一5 ； 则称垂在水平c 处满足形变条件 在许多问题中，形变性质由女下的c e r a m i 条件来保证的 定义1 1 2 ( ( c ) 条什) 设x 是b a n a c h 空间，圣：x r 是c 1 泛函对任意的 c r ，若任何满足 圣( 钍。) 一c ， ( 1 + 0 札。i i ) 圣( “n ) 一0( n 一) 的序列 u 。) 都有收敛子列，则称圣满足( c ) 。条件，若对任意的c r ，圣都满足 ( c ) 。条件，则称西满足( c ) 条件 极人极小方法和m o r s e 理论已成为现代临界点理论的重要组成，是研究具有 变分结构的微分方程解的存在性的两个重要办法在极大极小方法中，a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z 1 在1 9 7 3 年建立了的l i i 路引理路引理的建立是现代极大极小 方法的开端完全改变了研究具有变分结构的非线性问题的方法 命题1 1 1 ( 山路引珲 1 】) 设x 是b a n a c h 空间，圣：x _ r 是c 1 泛函满足 ( c ) 条件设存在常数r 0 和e x ，l r ，使得 m a x ( 删，圣( e ) ) 0 ，y ( x ，t ) 在无穷远处是超线性的，即对有的z q 一致的有 l i m y l 纠( p x 一, 。t i ) = + 。一o 。p 卅t ( 止) 存在0 0 使得在对有的( z ，) q r 和s 【0 ，1 】有o t ( z ，t ) 厂( z ，s ) 由( 以) 知道，泛函雪：嘣p r ， 吣) = 三i v 札m z 一m ，札) 如 ( 1 8 ) 是c 1 的在p = 2 时，a m b r o s e t t ia n dr a b i n n o w i t z 【1 】用下面的条件( a r ) 3 0 p ，m 0 ，s ti t l m ，0 0 ，天( a 1 ，a 2 ) ，使得 , 入ll t l p p f ( x ，t ) a i l p 届界群与超线性椭圆方程多解的存在性 5 定理1 2 1 假设( ) ( 知) ，( ，1 ) ，( ，2 ) 成立，问题r j 砂在明p 中至少有一个非平凡 的弱解 注记( i ) ：在p 2 时，由j j ：至今对p - l a p l a c e 算子的谱仍不够清楚，人们往往 用i l i 路引理来得到问题( 1 7 ) 的非零解；为此常常假设0 是泛函垂的局部极小点 然而在本文巾条件( ，o ) 下0 并不是泛函中的局部极小点刘轼波在文【1 6 】中，由 条件( ) ，( ，o ) ) 和( a r ) 条件下得到问题( 1 7 ) 一个非平凡的弱解 注记( i i ) ：条件( 止) 最初是由j e a n j i a n 1 2 】在考虑r 上的半线性方程时引 入的，随后刘轼波李树杰【1 7 1 对于更一般的p 1 的情形，在条件( ) ，( ) ，( 尼) 和f ( x ，u ) = 一( x ，一u ) 下，证明了( 1 7 ) 的无穷多解的存在性 注记( i i i ) ：假设对任意的z q ，当t ( 0 ，+ ) ，勰关于t 是单调递增，当 t ( 一，o ) ，勰关于t 是单调递减的 z j件( 尼) 成立，证明见义【1 7 ，命题2 3 】 条件( ，o ) 仅与p - l a p l a c e 算子的前两个特征值有关与k p e r e r a 2 1 j 一样，我 们也可以考虑与后面的特征值相关的情形设 ( 庀) 入= l 尚储答对一致z q 存在 则我们有下面定理 定理1 2 2 假设( ) ( 靠) ，( ) ，( 丘) 成立，且ag 盯( 一p ) ，问题门砂在哝p 中至 少有一个非平凡的弱解 注记：k p e r e r a 2 1 】在( e ) 和( a r ) 条件下得到问题( 1 7 ) 一个非平凡的弱 解 以上两个定理都是考虑无穷远处超线性的情形，我们也可以考虑在原点超线 性，而在无穷远处渐近线性的情形设 ( ，3 ) 入21 4 氅裔翟对z q 一致成立，a 尼 ( ，4 ) | f i l i 。m 。f ”( x 一, 。t ) = 对茁q 一致成立 ( f 5 ) p f ( x ，t ) 一，( z ，t ) t 0 对所有的z q 和t 0 成立 定理1 2 3 假设( ，3 ) ，( ) ，( ) 成立，且ag 盯( 一p ) ，问题印，砂在嘲p 中至少有 一个非平凡的弱解 注记( i ) ：设 m 圳( p - 2 ) t 4 - 筹， 则容易验证f ( x ，t ) 满足条件( ) ，( ，4 ) ，( ，5 ) 冈此根据定理1 2 3 ，问题( 1 7 ) 有非 零解 临界群与超线性椭圆方程多解的存在性 6 注记( i i ) ：条件( ) 意味着我们的问题在无穷远处是渐近线性的存文【1 0 】 中d r 矗b e k r o b i n s o n 在著名的l a n d e s m a n l a z e r 条件下，得出问题( 1 7 ) 的解的存 在性，但是他们没有讨论非零解的存在性值得指出的是：在义【1 0 】中，他们甚至 允许在无穷远处共振，即a 仃( 一口) 的情形 注记( i i i ) ：这个结果改进了近米郭玉霞一刘嘉荃【1 1 ，定理1 2 】的结果，他们 在条件( ，3 ) ，( ，5 ) 和其中， ( 片) 给定( 1 ，p ) ，存在? ，a 0 使得 f ( x ，t ) a l t l ”，( z ，t ) ，q ( 一n r ) 下得到一个非平凡的解显然本文条件( ，4 ) 比( 片) 弱 他们这个结论推广了文【2 0 ，定n 3 】的结果类似的结果可见文【1 8 】但注记 ( i ) 中例子并不满足这些文章所假设的条件 注记( i v ) ：当条件( ) ，( ，4 ) ，( ，5 ) 成立时和当t 很小时，( z ，t ) 关1 ：t 足奇函 数成立时，王志强在文【2 4 】得到无穷多解 受蒋美跃张恭庆【9 】的启发，下而我们对半线性情形p = 2 ，考虑问题1 7 我们首先设 ( ) 存在p 0 使得当i t i p 和z q 时，有 m 知2 则我们有如下的定理 定理1 2 4 假设( ) ，( ) ，( 尼) ，( ，6 ) 成立，p = 2 ，则问题r j 砂在螺2 中至少有一 个正解、一个负解如果问题门砂只有有限个正解和有限个负解，那么它一定有 一个变号解 特别地，p = 2 时问题( 1 7 ) 一定有三个非零解在条件( a r ) 下相应的结果 是王志强【2 3 】证明的 注记：( ) 意味着p 是泛函圣局部极小值点，从而由山路引理，得到一个山 路型解，口解和1 1 i 路型解临界群都可以计算，从而m o r s e i 等式得到第三个解，再 采用截断技术和m o r s e 不等式得到这个解是变号的 考虑截断问题 第二章临界群计算 ：笺吐 心l ： 其中 ( 2 1 ) ，+ c z ，u ，= ， 由( ) 知， 。当掣= 慨 由此运用f a t o u 引理，当u s 时， 1 i 驰石1 厂f ( z ，u ) ：十o 。 t 一+ 。o 护 、。 于是 垂( t u ) = 等一f ( z ，t u ) d z = 扩( 三一刍f c 。，t ，如) 一o 。c t _ + o 。， 6 临界群与超线性椭圆方程多解的存在性 7 徽 a 1 使得圣( t o u ) a ，由( ，2 ) 得 v ( x ，z ) ( q r ) ，f ( z ，z ) 0 因此若 西( t 札) = 吾一f ( z ，t u ) 如。 d e ( 蚴= t p - 1 _ u m 加) 出 詈伽+ 洲叫u ) 如一埘( 州乱) 妇 = p 。一r 厂( z ，t u ) d z ) p n 1 ) 引理2 1 3 假设( ) ，( f 1 ) ，( f 2 ) 成立，则仇( 圣士，o o ) 皇0 j 证明首先我们证明瓯( 西+ ，o o ) 笺0 ， 设p 一= u x ：让 0 由( ) 知， 1 i m 型：+ 由此运用f a t o u 引理，当u s p 一时， 。1 i m 1 4 ( z ，玩) = + 。o 陆界群与超线性椭圆方程多解的存在性8 于是 州叫= ；一跏咖 卅( 三一刍脚血) 一一。c t 一删 n 则对“s p 一存在t o 1 使得圣+ ( t o u ) a 假若 叫叫= ；一脚m 0 使得圣( t 仳) = 0 而且因为圣( t u ) = 0 ，所以有 旦d ti t = t 酬= 矧d 吣丁u ) 。 因而，由隐函数定理易知，t 在圣一1 【o ，。o ) o ) 是连续的如果圣( 乱) s0 ，令t ( u ) = 1 ，那么t ：x r 是连续的 定义叼( s ，乱) ：【0 ，1 】x _ x 叩( s ，钍) = ( 1 8 ) u + s t ( u ) u ，( 8 ，u ) 【0 ，1 】x 显然，叩是从( x ，x o ) ) 到( 圣o ，圣o o ) ) 连续形变，凶此 q ( 圣，0 ) = 凰( 垂o ，圣o o ) 竺h k ( x ，x o ) ) 口 临界群与超线性椭圆方程多解的存在性 1 0 注记( i ) ：相关的结果，可参照文【1 1 ，1 3 ，1 8 ，2 0 】值得注意是所有这些文章的 假设都可以推出( 形) 我们这个引理改进了文f 2 0 ，1 1 1 的结果 注记( i i ) ：为了得到上述引理中的局部结论瓯( 圣o 0 ) 竺0 ，我们却要求全局的 条件( ，5 ) ，这个令人不满意的情形已经出现在文f 2 0 ，定理1 】，并且文【2 0 ，注记1 3 】， 中也对此进行了一些讨论 但是如果= l 且q = ( a ，b ) 是r 中的开区间由于此时有连续嵌入 咄”a ，6 ) ql 。( n 6 ) ，( 2 7 ) 则可用如_ 卜的局部条件( 五) 代替了全局条件( 厶) ，即我们有下面的推论 推论2 2 1 设n = 1 ，q 是r 开区间，假设( ，3 ) ，( ) 和 ( 尼) 存在p 0 使得当0 0 使得当西( u ) 0 且0 i l u l i 0 和卢( o ，p ) 时，使得对所有的z q 和0 0 情形对于t 锱l s | 坤3 对上述不等式进行( 0 ，t ) 积分，得 聃，= 小刊幻锱小p - 2 s d s = 沁啦 第三章定理的证明 3 1 拟线性方程的非平凡解 在本节中，我们来证明定理1 2 1 ，定理1 2 2 ，定理1 2 3 在第二章中，我们已 经计算出圣在原点和无穷远处的临界群，从而运用m o r s e 理论，我们可以完成定 理1 2 1 ，定理1 2 2 ，定理1 2 3 的证明 定理1 2 1 的证明因为s ( x ，0 ) = 0 ，所以0 函数是泛函圣的一个平凡的临界点， 由【1 5 ， 3 1 n 3 3 】，条件( ，0 ) 蕴涵着泛函圣在原点有局部环绕，再根据【1 4 ，定理2 1 1 可知c 1 ( 圣，0 ) 0 ，最后南引理2 1 2 和命题1 1 3 易知泛函垂至少有一个非平凡 的临界点 口 为了证明定理1 2 2 ，我们需要如f 引理 引理3 1 1 ( 1 2 1 ，l e m m a4 1 】) 假设( ，) ，( 疗) ) 成立，则存在p 0 和墨c 1 ( x ，r ) ， 使得 讯，= 糍吲卺 1 ， 那么当i l u l l 2 p 时，0 是中和蕃唯一临界点其中 驰) = 狮v u i p d x - a 川呐 注记：仔细核查f 2 1 ，引理4 1 1 ，的证明可知 e = i n f 惮( u ) i l 0 p 0 ，札一 0 ，而且牡+ ，u 一也是泛函圣( u ) 的临界点，这些已经成为临界 点理论中很平凡的结论 下面用文( 9 1 的的方法，在问题( 1 7 ) 只有有限个正解和有限个负解的条件下， 南m o r s e 不等式得到变号解的存在性假设 札 指是j 卜解的集合， 仳_ 7 是负解 的集合， v t ) i 变号解的集合，令 x 士( 札手) = ( 一1 ) 南慨( 圣士，u 手) k x ( u 手) = ( 一1 ) 知眠( 圣，札手) k 注意到由强极值原理乱手都是础( q ) 中的正、负锥 p 士= 札础( q ) ：对x q 有士u ( x ) 0 ) 的内点瓶在p 士的内点廿的充分小的c l 邻域内有o l e o , = 圣土i 锚，利用 8 1 的 结果，我们得到 c d 垂，u 手) 竺q ( 圣i 锚，札手) 兰g ( 垂士l c 吾，u 手) 竺q ( 西士，“手) 从而x 士( u 手) = x ( 乱手) 凶为0 是泛函垂，西+ 和西一的局部极小，凶此 x + ( o ) = x 一( 0 ) = x ( o ) = 1 对泛函西，圣士应用m o r s e 不等式，得： x + ( o ) + x ( u ) = 0 ， t p x 一( o ) + ) ( ( 呵) = 0 ， p q r x ( o ) + x ( “) + x ( 呵) + x ( q ) = 0 ， 由( 3 4 ) ，( 3 5 ) 和( 3 6 ) 得 r ) ( ( 耽) = 1 ， 泛函圣( 札) 必须有个变号解 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 口 参考文献 1 】a a m b r o s e t t i ，p h r a b i n n o w i t z ，d u a lv a r i a t i o n a lm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s ，j f u n c t a n a l 1 4 ( 1 9 7 3 ) ，3 4 9 3 8 1 a a n a n e ，n t s o u l i ，o nt h es e c o n de i g e n v a l u eo ft h ep - l a p l a c i a n ，n o n l i n e a rp a r t i a ld i f o f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p i t m a nr e s e a r c hn o t e s ，3 4 3 ( 19 9 6 ) ，1 - 9 t b a r t s h ，k c c h a n g ，z q w a n g ，o nt h em o r s ei n d i c e so fs i g nc h a n g i n gs o l u t i o no f n o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m ，m a t h z 2 3 3 ( 2 0 0 0 ) ，6 5 5 6 7 7 4 】t b a r t s h ，s j l i ，c r i t i c a lp o i n tt h e o r yf o ra s y m p t o t i c a l l yq u a d r a t i cf u n c t i o n a l sa n d a p p l i c a t i o n st op r o b l e m sw i t hr e s o n a n c e ，n o n l a n a l 2 8 ( 1 9 9 7 ) ，4 1 9 - 4 4 1 5 】k c c h a n g ，s o l u t i o n so fa s y m p t o t i c a l l yl i n e a ro p e r a t o rv i am o r s et h e o r y , c o m m p u r e a p p l m a t h ，3 4 ( 1 9 8 1 ) ，6 9 3 7 1 2 f 6 】k c c h a n g ，m o l 。s et h e o r yo nb a n a c hs p a c e sw i t ha p p l i c a t i n s ，c h i n e s ea n n m a t h ， b 6 ( 1 9 8 3 ) ，3 8 1 3 9 9 k c c h a n g ，i n f i n i t ed i m e n s i o n a lm o r s et h e o r ya n dm u l t i p l es o l u t i o np r o b l e m s ， b i r k h t i u s e r ，b o s t o n ，1 9 9 3 8 】k c c h a n g ，h 1v e r s e sc 1i s l a t e dc r i t i c a lp o i n t s ，c r a c a d s c i p a r i s ，3 1 9 ，4 4 1 州6 【9 jk c c h a n g ，m y j i a n g ，d r i c h l e tp r o b l e m sw i t hi n d e f i n i t en o n l i n e a r i t i e s ，c a l c v a r ， 2 0 ( 2 0 0 4 ) ，2 5 7 2 8 1 1 0 】p d r f i b e k ，s r o b i n s o n ，r e s o n a n c ep r o b l e m sf o rp - l a p l a c i a n ，j f u n c t a n a l ，1 6 9 ( 1 9 9 9 ) 1 8 9 2 0 0 【11 】y x g u o ，j b l i u ，s o l u t i o n s o fp - s u b l i e a rp - l a p l a c i a ne q u a t i o nv i am o r s et h e o r y ，j l o n d o nm a t h s o c ，7 2 ( 2 0 0 5 ) ，6 3 2 - 6 4 4 【1 2 】l j e a n j e a n ，o nt h ee x i s t e n c eo fb o u d e dp a l a i s - s m a l es e q u e n c ea n da p p l i c a t i o nt o a l a n d e s m a n - l a z e rt y p ep r o b l e ms e to nr n ，r o y s o c e d i n b u r g h ，( 1 2 9 ) 1 9 9 9 ，7 8 7 8 0 9 【1 3 jq s j i u ，j b s u ，e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o rd i r i c h l e tp r o b l e m sw i t hp - l a p l a c i a n ，j m a t h a n a l a p p l ，2 8 1 ( 2 0 0 3 ) ，5 8 7 - 6 0 1 1 4 】j q l i u ，t h ei n d e xo fas a d d l ep o i n t ，s y s t s c m a t h s c ，2 ( 1 9 8 9 ) ，( 3 2 3 9 ) 【1 5 】j q l i u ，j b s u ，r e m a r k so nm u l t i p l en o n y r i v i a ls o l u t i o n sf o rq u a s i l i n e a rr e s o n a t p r o b l e m s ，j m a t h a n a l a p p l ，2 5 8 ( 2 0 0 1 ) ，( 2 0 9 - 2 2 2 ) 【1 6 js b l i u ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n st oas u p e r l i n e a rp - l a p l a c i a ne q u a t i o n ，e l e c t r o n j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，6 6 ( 2 0 0 1 ) ，( 1 - 6 ) 1 4 临界群与超线性椭圆方程多解的存在性 1 5 【1 7 】 s b l i u ，s j l i ，i n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n sf o rs u p e r l i e a re l l i p t i ce q u a t i o n ( i nc h i n e s e ) ， a c t am a t h s i n i c a ( c h i n s e r ) 4 6 ( 2 0 0 3 ) ，n o 4 ，6 2 5 - 6 3 0 【1 8 】s b l i u ，s j l i ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o raa s y m p t o t i c a l l y l i n e a r p - l a p l a c i a ne q u a t i o n s ， b u l l l o n d o nm a t h s o c ，3 6 ( 2 0 0 4 ) ，8 1 8 7 1 9 lj m a w h i n ，m w i l l e m ，c r i t i c a lp o i n t st h e o r ya n dh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，s p r i n g e r ，b e r l i n ， 1 9 8 9 v m o r o z ，s o l u t i o n so fs u p l i e a ra tz e r oe l l i p t i ce q u a t i o nv i am o r s et h e o r y , t o p o i m e t h o d s n o n l i n e a ra n a l ，1 0 ( 1 9 9 7 ) ，3 8 3 8 9 f 2 1 】k