（基础数学专业论文）李代数上的一些仿凯勒结构.pdf

摘要 摘要 本文以左对称代数理论为基础学习了李代数上的仿凯勒结构。李代数上的仿 凯勒结构对应着李群上的仿凯锄结构。关于它有两种平行的解释，其一是李代数 上的一个仿凯勒结构和一个弱双极化足等价的，另外从数学物理的角度看它等同 一个( 非交换) 李代数的相空间。本文主要从后者出发，通过学习左对称代数上 的一种特殊方程一舅方程来构造相关李代数上的仿凯勒结构。左对称代数a 上 的方程的一个对称解可以导出向量空间直和ao 印的一个仿凯勒李代数结构。 特别地，我们发现：尽管在一般情形下，a0 小上所有由左对称代数a 上的s 方 程的对称解导出的仿凯勒李代数结构足不同构的，但作为辛李代数结构它们都足 同构的。 本文结构：第一节，绪论；第二节，给出一些基本概念，定义和定理；第三节， 介绍璺方程并证明辛李代数结构同构的结论；第四节，给出一些四维李代数上的 仿凯勒结构：第五节，给出一些高维的例子。 关键词：仿凯勒结构；g 方程；左对称代数；李代数 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yp a r a l ( 砌e r8 t r i l c t l l r e 8o nl i ea l g e b r 嬲i nt e r m so f 1 e f 0 8 y m m e t r i ca l g e b r 鹄i ti 8a na l g e b r 萄ci n t e r p r e t a t i o no fp a r a k e rs t r u c t u r e 8 o nl i eg r o u p 8 ap a r a k 苴h l e r8 t m c t l l r eo nal i ea k e b r ac o r r e s p o n d st oaw e a k d i p o l a r i z a t i o ni nt h el i ea l g e b r a f 、l r t h e m o r e ，e 、，e r yp a r a k 螽h l e rl i e8 1 9 e b r ai s e q i l i 词e n tt oa ( n o n _ a b e l i a n ) p h 鹪e8 p a c eo fal i e 胡g e b r ai nm a t h e m a t i c a lp b y s i c s w bs 七u d yp 盯a k 若h l e rl i ea k e b r a8 t r u c t l l r 鹤丘o mt h e8 y m m e t r i c8 0 l u t i o 璐o f5 l e q u a t i o nw h i c hi 8a na n a l o g u eo ft h ec l a 8 s i c a ly a n 争b 吐e re q u a t i o n a 町砌e t r i c s o l u t i o no f e q u a t i o ni nak r s y m m e t r i ca l g e b r aai n d u c 髑ap 盯a k 茂h k rl i e a 瞎e b r as t r u c t u r eo na 0a 。( 嬲v e c t o r8 p a c e s ) w b 丑n dt h a ta l lp a r a k 甜l l e rl i e a l g e b r a8 t r u c t u r e 8o nao a i n d u c e db yt h ed i f f e r e n t8 y m m e t r i cs o l u t i o n 80 fg e ( 1 u a t i o ni nl e f b 盯m m e t r i cm g e b r aa a r e8 y m p l e c t i c a u yi s o m o r p h i c ，a l t h o u g ht h e y a r en o t “；o m o r p h i c 船p a r a k 茸1 1 1 e rl i ea l g e b r as t r u c t l l r 鹤i ng e n e r a l t h ep a p e ri 8o r g 缸i z e d 嬲f o u o w s i n c t i o n1 ，w e 舀v ea ni n t r o d u c t i o n i n s e c t i o n2 ，w e 百v e8 0 m ed e f i n i t i o 瑚，n o t a t i o 璐a n db a 8 i cr e s u l t 8 i n8 e c t i o n3 ，w e 西v et h es e q u a t i o na n dp r o v et h e 嘲l l l t0 n8 y m p l e c t i ci s o m o r p h i s m ；i n8 e c t i o n4 ， w e 百v ep 盯a k 蕴l l l e r8 t r u c t 嗍o ns o m ef o i l rd i m e 珊i o n a ll i ea l g e b r 蠲；i n8 e c t i o n 5 ，w e 舀v e8 0 m e 钗锄p l e 8i nh i g h e rd i l n 伽画o n 8 k e yw o r d s ：p a t a k e r8 t r u c t l l r e ；s - e q u a t i o l e r 一8 y 删n e t r i ca l g e b r a ；l i e a l g e b r a n 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文昀印刷本和电子敝 本：学校有权保存学位论文的印刷本积电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存沦文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部f _ 】或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为困的的裁 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：馕冬季 2 咖6 年岁月弓j 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 援导教师签名：学位论文佟喾签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 ! 内郝5 年( 嫒长5 年，可少于5 年) 秘密l o 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 、机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：灸左平 2 6 年岁月j j 日 1 i n t r o d u c t i o n 1 i i l t r o d u c t i o n ap a r a k i h l e rl i e8 1 9 e b r ai 8as y m p l e c t i cl i ea l g e b r aw h i c hi sad i r e c t8 u m ( a sv e c t o r8 p a o e 8 ) o ft w ok 咿a n 舀a n 肌b a l g e b r 嬲j l l 8 t 船w e a kd i p o l a r i z a t i o n 8 p 缸a k 氲h l e ra l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e db yk a n e y l l i 【it od e s c r i b eah n d “h o m o 陟 n e o l l sp a r a k 抽l e rm a l l i f o l d s ( 【k a 】，【k k 】) ap a k 抽l e rm a n i f o l di 8 ，b yd e 缸i t i o n ， a8 y m p l e c t i cm a n i f o l dw 1 1 i e ha d m i t 8ap a i ro ft r a n 8 v e r s a ll a g r a n 西姐f o l i a t i o n 8 n w a si t r o d u c e db yp l i b e m a n n ( 【l 】) a n dh a 8b e e ns t u d i e de 吼e n 8 i v e l y8 i n c e1 9 8 0 s ( 【d i ( 】，【h d i q ，【h d k n 】，【k a 】，【k k 】) i n 【k a ji tw a sp r o v e dt h a tg 日( gi 8c 0 e c t e d l i ef o u pa n d 日i 8a n n e c t e dc l o s e d8 u b g r o u p ) h 嬲ap 甜a k 主i h l e rs t n l c t u r ei fa n d o n l y i f t i l e r e 曲t 8a w e a kd i p o l 龇乜a t i o i n l i ea l g e b r a 蛋= l i e gs u c h t h a t t h e 毗e r s e c t i o no ft h et w ol a g r a n 西a n8 u b a l g e b r 嬲c o i c i d e 8 吡h “= l i e 日w h e n gi 8a 舱m i - 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t a i n 毗e r e s t i n g8 t r u c t l l r 0 nl i eg 呻u p sa n dl i ea l g e b r 船( 【a s 】，f d a m l 2 】，【s h 】) ，缸 t e g r a b l e 盯m t e 脚( 【b 0 】，【s s 】j l m 】) ，c l a s s i c a l y a n 争b 眦e r e q u a t i o n ( 【e s 】，【e s s 】，【g s 】 l 1 i n t r o d u c t i o n b d 】) ，p o i 8 s o nb r a c k e t sa n di r m n i 协d i m e n 8 i o n a ll i ea l g e b r 8 s ( 【g d 】，【b n 】) ，q u a n - t u mf i e l dt h e o r y ( 【c k 】) ，0 p e r a d s ( 【c l 】) a n ds 0o n o nt h eo t h e rh a n d ，ap a r a k 萏h l e rl i ea j g e b r ai 8j u s tap h a 8 e8 p a c eo fal i e 胡g e b r ai nm a t h e m t i c a lp h y s i 噶( f k u l 一2 】) ap h a s e8 p a c eo fal i ea l g e b r a9 i 8a l i ea 1 学e b r as t r u c t l l r eo nt h ed i r e c t8 1 1 i ng0 9 + ( 蠲v e c t o rs p a 麟) 8 u c ht h a t9a n d 9 + a 舱l i e8 u b a l g e b r a 8 舡l dt l l en a t u r a l8 k e w s y l 砌e t r i cb i l i n e 缸f o r m u ( z + o ，可+ 扩) = 一 ； vz ，剪g ， o ，6 + 9 ； ( 1 3 ) i 8a2 - c o c y c l e ，w h e r e i 8t h eo r d i n a r yp a i rb e t 唧n9a n d 矿i n b 冽i t w a 8p r o v e dt h a t ，ap 盯a k 狐k rl i ea l g e b r ai 8e q l l i v a l e n tt oa e wb i a l g e b r a8 t m c - 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e q u a t i o na n dp r o v et h er e 8 毗o n8 y m p l e c t i ci s o m o r p 址；m ；i n8 e c t i o n4 ， w e 舀v ep 盯a k i h l e r8 t r u c t l l r 鹪o n8 0 m ef o l l rd i m e n s i o n a ll i ea l g e b r 够；i ns e c t i o 5 ，w e 百v e8 0 m ee x 锄p l e 8i nh i g h e rd i m e 姗i o 邶 t l h r o u 曲叫tt h i sp 印e r ，砸t h o u t8 p e c i a l8 a y i n g ，a l la l g e b r 嬲a r e0 f 缸i t em - m e 瑚i o n a n d ( 1 ) 8 t 龃d 8al i eo rl e f b 日y m m e t r i ca l g e b r a t hab 鹄i sa n dn o n z e r 0 p r o d u c t 8a te a c h8 i d eo f i 2 2 p r e l i m i n 撕e sa n d8 0 m eb a s i cr e s u l t s 2 p r e l i l l l i n a r i e sa n ds o m eb a s i cr e s u l t 8 2 1 p a r a k 荟h l e rs t r u c t u r e sa n dw e a kd i p o l a r i z a t i o n s d e 丘疵i o n2 1l e tmb eas y m p l e c t i cm 砌如l d 埘t hs y m p l e c t i cf o 眦u l e 七 f + ，f 一”e ap a i ro f t r a n 8 v e r s a lf o l i a _ 七i o n 8o m t h et r i p l e 尬u ，p 细 c a j l e da p a r 北 m l e r m a n i f o l d i f e a c h l e a f o f j 吐i 8a l a g r a n g i 龃8 u b m a n i f o l do f m i f a l i e f o u p ga c t 8 0 n f 鹪8 y m p l e c t o m o r p h i 8 m 8 w h i c h p r e e r v 器e a c h o f t h e 拥r o f o h a t i o n 8 ，t h e nw ec a u e dt h ep 嬲止勘1 l e r8 t l m c t l l r e 培g i n v 缸i a n t n i r t h e r m o r e ，i f ga c t 8t r 锄i t i v e l yo m ，t h e nw e8 a ymi sah o m o g e n e o 邶p a r a k a l l l e rm 8 i l i f o l d d e f i n i t i o n2 2 ( 【k a 】) l e tgb ear e a ll i ea l g e b r a ，ma8 u b a l g e b r ao f9 ， j e 扎d ( 9 ) a n d 加ea na i t e m a t i n g 二f o r m0 n 多t h e n 候咒，力i 8c a l k da p 甜a k 孔l e ra l g e b r a ，i ft h ef o l l o 祈n gc o n d i t i o l l 8a r e s a t i s 矗e d ： ( 1 ) ，“cha n dp 三1( m o d 咒) t h e 士1 一e i g e 璐p a c el m d e rt h e o p e r a t o r0 ng 用i n d u c e db y ，跚e q u i d i m e 璐i o n a l ； ( 2 ) 扛，j 胡兰j 【聋，翊( m o d “) ，霉h ，掣g ； ( 3 ) j 陋，引兰【j 。，引+ k ，j 胡一j 口。，胡( m d dh ) ，z ，耖g ( 4 ) p ( z ，9 ) = 0 i fa n do n l y i f z 咒； ( 5 ) p ( k ，们，z ) + p ( 【玑翻，茹) + p ( k ，胡，可) = o ，比，玑z 9 d e f i n i t i o n2 3l 酏9b ear e a ll i ea l g e b r aa n dg + ，9 一b et w os u b a l g e b r 船 o f 98 n d 加e 柚a l t 锄a t i n g2 f o mo n g t h e n t h e t r i p l e 矿，多一，办i 8c a u e da w e a kd i p o l a r i z a t i o 咀i ngi ft h ef 0 u 娟，i n gc o n d i t i o 璐a r es a t i 8 矗e d ： ( 1 ) g = 9 + + 9 一； ( 2 )p ( g + ，9 + ) = p ( 9 一，妒一) = 0 ； ( 3 ) p ( z ，多) = o i f a n do n b ，i f $ g + n g 一； ( 4 ) p ( k ，胡，z ) + p ( b ，习，石) + p ( k ，司，可) = o ，比，z g d 胡n i t i o n2 4 ( 【k a l ) l e tgb ear e a ll i ea k e b r a 粕dg 士b et w o8 u b - 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