（基础数学专业论文）两类二阶微分方程组边值问题正解的存在性.pdf

河北师范丈学同等学力人员申请硕i 学位论文魏玉冬 摘要 本文利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理，并赋予，g 一定的增长条件， 证明了二阶多点微分方程组边值问题 u + f ( t ，u ，v ) = 0 ，0 蔓，s 1 ， v + g ( t ，甜，= 0 ，0 s f 1 ， “( o ) = 0 ，u o ) 一t “( 参) = 0 ， l - i m - 2 v ( o ) = 0 ，v ( 1 ) 一l , v ( q 。) = 0 至少存在三对正解，其中f ，g ： 0 ，1 x o ，) 【o ，。o ) 一【o ，o o ) 是连续的 ix 。+ 厂( x ，y ) = 0 ， y + g y ) = o ， i x ( o ) = y ( o ) = x ( 1 ) = y ( 1 ) = 0 关键词微分方程组；j 下解：不动点定理：锥；凹泛函；增泛函 第3 页 共2 l 页 河北师范大学同等学力人员申请硕 ：学位论文魏玉冬 t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rt w 0c l a s s e so fs e c o n d o r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o ns y s t e m s a b s t r a e t i nt h i sp a p e r , w ea p p l yl e g g e a w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e mt od i s c u s s m u l t i p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo ft h es e c o n d ，o r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s y s t e m u 。+ f ( t ，u ，v ) = 0 ，0 t 1 ， v 。+ g ( t ，甜，v ) = 0 ，0 曼t 1 ， “( o ) = o ，u ( 1 ) - k ，“( 鼻) = o ， 篡： v ( o ) = o ，v ( 1 ) - ，v ( 仉) = o ， w h e r e 厂，g ： 0 ，l 】 o ，) 【o ，( 3 0 ) _ o ，) a r ec o n t i n u o u s ，g r o w t hc o n d i t i o n sa r e i m p o s e do n f ，gw h i c hy i e l dt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n sf o r t h es y s t e m m o r e o v e r , b ya n e wf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo f t w i np o s i t i v e s o l u t i o n sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e m ： i x 。+ ( x ，y ) = 0 ， y 。+ g ( x ，力= 0 ， 【x ( o ) = y ( 0 ) = x ( 1 ) = y ( 1 ) = 0 k e y w o r d s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ns y s t e m ，p o s i t i v es o l u t i o n ，f i x e dp o i n t t h e o r e m ，c o n e ，i n c r e a s i n gf u n c t i o n 第4 页共2 l 页 河北师范丈学同等学力人员申请硕j ：学位论文 魏玉冬 1引言 由于在现实世界中往往需要求解微分方程边值问题模型的正解，引起人 们对这个问题的关注及多方面的研究尤其最近三十年，国际文献中这一领域 的论文已有数百篇，广泛的应用背景使这一领域的研究取得了丰富的成果 在研究方法上，e r b e 和w a n g 首先利用k r a n s n o s e l s k i i 不动点定理研究了 方程 u 。+ 口( r ) 厂( “) = 0 的j 下解的存在性“从此以后，不动点定理被广泛应用于讨论常微分方程边值 问题正解的存在性h 5 - 1 0 , 1 2 - 1 4 最近几年，关于常微分方程组边值问题的正解的存在性也越来越引起广泛 的关注与研究 在 2 中，r p a g a r w a l 等人研究了微分方程组的边值问题 u 。+ f ( t ，v ) = 0 ， v 。+ g ( t ，u ) = 0 ， 口l u ( o ) 一届“( o ) = 0 = y , u ( 1 ) 一磊“( 1 ) ， 口2 v ( o ) 一以v ( o ) = 0 = y ：v ( 1 ) 一以v ( 1 ) 至少存在一个正解，其中函数厂，g 分别被连续不减的函数，伊：【o ，a o ) _ ( 0 ，o 。) 所限制，日0i f ( t ，c o ) i a ( t ) q ( t ) ，k ( f ，c o ) f l ( t ) c p ( t ) ，口，l i 0 ，1 】 在 3 中，马如云讨论了微分方程组的边值问题 l + r a ( t ) f ( x ( t ) ，y ( f ) ) = 0 ， y 。+ 2 b ( t ) g ( x ( t ) ，y ( ，”= 0 ， i x ( o ) = y ( o ) = x ( 1 ) = y ( 1 ) = 0 多个非负解的存在性，其中二元函数f ( x ，y ) ，g ( x ，y ) 关于变量x ，y 是超线性的 或次线性的 本文研究二阶多点微分方程组边值问题 第5 页共2 1 页 河北师范大学同等学力人员申请硕士学位论文 魏玉冬 甜。+ f ( t ，u ，v ) = o ，0 t 1 ， v + g ( t ，“，v ) = o ，0 s t 1 ， n - 2 “( o ) = o ，u o ) 一k ( 参) = o ， ( 1 ) i l l m - - 2 v ( o ) = o ，v ( 1 ) 一e ，。v ( 仉) = o ， 其中厂，g ： 0 ，1 x 【o ，o o ) x 【0 ，0 0 ) 一【o ，c o ) 是连续的，并赋予，g 一定的增长 条件，利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理证明了问题( 1 ) 至少有三对正解 另外，本文利用一个新的不动点定理研究方程组边值问题 f x + f ( x ，y ) = o ，0 t 1 ， y ”+ g ( x ，y ) = 0 ，0 t 1 ， ( 2 ) i x ( o ) = y ( o ) = x i ( 1 ) = y ( 1 ) = 0 两对正解的存在性，其中，g ：r2 _ 【o ，0 0 ) 连续 第6 页共2 i 页 河北师范大学同等学力人员申请硕上学位论文 魏玉冬 2 预备知识 首先，为讨论问题( 1 ) ，用到如下的概念和定理： 定义1 设x 为实b a n a c h 空阃，k 是z 中的闭凸子集，如果它满足： ( i ) 若x k ，五0 ，贝0 a x k ， ( i i ) 若x k ，一x k ，则x = 0 ， 则称x 是x 中的锥 定义2 设z 是b a n a c h 空间，k 是x 上的锥，若对于v x ，y e k ，t 【o ，l 】都 有 a ( t x + ( 1 - t ) y ) t a ( x ) + ( 1 一o c t ( y ) ， 则称口为k 上的凹泛函 定义3 设0 4 b 为常数，口是足上非负连续凹泛函，定义凸集只和 p ( 口，口，6 ) 为只= 工k i l l x l l r ) ，e ( a ，疗，6 ) = 工k i 口口( x ) ， i x u b 定理1 ( l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理川)设4 ：万一巧是全连续算子， 口是k 上的非负连续凹泛函，且对任意x e ，口( x ) s l l x l l ，又设存在 0 a b ； ( c ：) 对l l x l l s 口有0 d 有a ( a x ) b 则a 至少存在三个不动点x l ，x 2 ，屯使得 l o ，( f = 1 , 2 ，m 一2 ) ， 第7 页共2 l 页 河北师范大学同等学力人员申请硕上学位论文魏玉冬 0 = 彘 磊 岛 六一2 磊一l = 1 ，0 = 吼 仉 仉 一2 r h , 一l = 1 ， 并且0 t 喜 l ，0 1 1 t i t 1 引理1 【6 1边值问题 的g r e e n 函数为 g ( f ，j ) = n - 2l - l s ( 1 一, ) - e k ，( - t ) s + k 孝j ( t - s ) ( 3 ) h 一2 i - z k | l ，i l 0 r 1 ，鼻一is s m i i l 六，) ，i = l ，2 ，”一1 ； 月一2 f 【( 1 - s ) - k ，( 一j ) 】 0 f 1 ，m a x 专一l ，t ) j 六，i = 1 | ，2 , oo , 栉一1 将( 3 ) 式中t ，毒，玎分别更换为，。，r l ，m 所得到的g r e e n 函数记为g ：( ，j ) 显然q ( f ，s ) 2 0 ，i = 1 , 2 且m e s ( t ，曲 0 , 1 1 x 0 ，1 】i q ( f ，s ) = 0 ) = 0 ，i = 1 , 2 令卅，m i nf g ( f ，s ) a s ，m m a x ，e g , ( t ，s ) a s ， m 2 = m 。a x 。 1 g 2 ( r ，j ) a s ，易见o 脚， 0 ，定义集合 p ( r ，d ) = 工p lr ( x ) 0 ，i n 0 ，使 ，( x ) 口( x ) s a ( x ) ， - m r ( x ) ，v x p ( r ，c ) 又假设爿：丽_ 尸是全连续算子，0 口 6 c ，v x o p ( y ，c ) ， ( d 2 ) o ( a x ) a ，v x o e ( a ，口) ， 第9 页共2 1 页 河北师范人学同等学力人员申请硕士学位论文 魏玉冬 则a 在- p o ，c ) 上至少存在两个不动点而，而使 a 口( x 1 ) ，且口( x 1 ) b ，b o ( x 2 ) 且，( x 2 ) c 引理3t ：p p 是全连续算子 证明t ( x ，y ) 的两个分量 正( 工，j ，) = f g ( f ，j ) o ( j ) ，y ( s ) ) 西，瓦( 工，力= f g ( r ，j ) g ( x ( s ) ，y ( s ) ) 出， d q g ( t ，s ) 定义易知，五( 石，y ) 、正( x ，y ) 为 o ，1 上非负、单调不减的凹函数，故 丁为尸上的自映射由厂，g 的连续性易知，瓦、瓦为全连续算子，从而r 全 连续 第1 0 页 共2 l 页 河北师范大学同等学力人员申请硕士学位论文 魏玉冬 3 主要结论 基于2 相关概念与定理，可以证明如f 两个关于边僵l 司趑( 1 ) 的结论 和一个关于边值问题( 2 ) 的结论： 定理3 f ( t ，u ，v ) g ( t ，“，v ) ：【o ，l 】“o ，呦【o ，o o ) 寸【o ，o o ) 是连续的，另 外假设存在非负数日，b 和c ，使 。 口 b r 2 b d = m a x 2 y b i ，2 y b 2 c ， 并r f ( t ，u ，v ) ，g ( t ，u ，v ) 满足如下增长条件： ( 爿1 ) 当( ，“，v ) 【0 ，1 o ，c l x o ，c 】时， 巾鸬v ) 茎薏，g ( 埘小警州( o ，1 ) ； ( 爿2 ) 当( f ，“，v ) 【o ，l l 【o ，a l o ，a l 时， f ( t , u , v ) 鲁g ( 埘，v ) “帆m i n 。1 蚝( t ) + 埘m 鄹i n ，( ) 6 定理4 设f ( t ，“，v ) ，g ( t ，”，v ) ：0 , 1 1 0 ，) 【0 ，o o ) j o ，o o ) 连续，另外假设 第1 1 页共2 l 贞 翌! ! 堑苎查兰堕竺兰垄星堂堕竺! 兰丝丝兰塑i ! 兰一 存在非负数口，6 和f ，使o a b d = m a x 2 ，b 。，2 ，b 2 c ， 并且f ( t ，甜，v ) ，g ( t ，1 , 1 ，v ) 满足如p 瑁长条仟： ( 爿：) 当( ，刚) 【o ，l 】 o ，争【o 争时， 。 m s 焘，她堋5 壶： ( 4 ) 当m “，v ) 【o ，1 1 【o ，争 o ，尹a 时， f ( t , u , v ) 焘，舭v ) 口，恶n j “，( f ) + r a i n ，】”，q ) 6 定理5 设o 口 ，2 6 4 。， ( b 2 ) 当o “2 b ，o v 2 b ，f ( u ，v ) r - - t n ， 一 则边值问题( 2 ) 在p 上至少有两对解( _ ，y ，) ，( x 2 ，y 2 ) 满足： “m a x m 。a x 删，m 。a y x y ( f ) ) ，且m a ) 【踺一( f ) 翟乃o b 妒是成立的 如果( “，v ) p ( a ，b ，d ) ，那么v d a ( u ，v ) 6 ，0 ( “，v ) l l - 穗n lj ：i g 。( ) 加，”( j ) ，v ( j ) ) 科。r a i nl t , g ：g o ，“( s ) ，v ( s ) ) 西 b ( i i i ) 证明定理l 的条件( c ：) 成立这可由增长条件( 彳：) 得到，证法类似 ( i ) ( ) 证明定理1 的( c 3 ) 成立 如果( “，力p ( a ，b ，c ) 且伊( “，v ) l l d ，则有 川 詈或胁，v ) 詈， 第1 4 页共2 l 页 河北师范大学同等学力人员申请硕士学位论文魏玉冬 蚓理2 有，埘m “i n 。t 1 ( ”) 弧m ，v 川 等地 或 嘲m 州i n t ：( ) 强忱) o 等地 从而有 口( r ( “，v ) ) 2 m i 卜l n j t l ( 玑v ) ( ) + ，茹? ，l 】砭v x o 6 定理1 的条件全部满足，所以丁有三对不动点 。，h ) ，i = 1 , 2 ，3 ，满足 i i ( u , , v , ) l l 6 ， 0 ( “，v ， 4 ，r a q i n 朋“，( t ) + ，r a t i 。i n l 】v 3 ( r ) b 宗坪3 证明亮毕 如果e 中范数定义为：忖，v ) l | l = 2 m a x 眦i i 邯，其他均不改变，则仍有 a ( u ，v ) - l l ( u ，v ) l l 。 类似定理3 的证明可得定理4 注：特别地，当参= r 。时，将条件( 以) 和( 4 ) 可以分别换为如下条件： ( 爿；1 ) ) 当( f ，“，v ) 晚，1 】( 睦，明【o ，d l u o ，明j b ，卅) 时，g 满足下面 三者之一： ( i ) ，( f ，“，v ) 旦， m i ( i i ) g ( r ，“，v ) 2 鱼， m 2 ( i i i ) f ( t ，地v ) 丝， m i 且g ( r ，”，v ) 2 坠丝，( o ，1 ) ： 和( 4 2 ) 当( f ，“，v ) 畴，l 】( 睦，尹d 【o ，争u 鸭i d 】吃b ，罢】) 时，厂，g 满 足下面三者之一： 第1 5 页 共2 l 页 河北师范大学同等学力人员申请硕士学位论文魏玉冬 ( i ) 厂( f ，v ) 鱼， m ( i i ) g ( ，“，v ) 鱼， m 2 ( i i i ) 厂( f ，“，v ) 2 丝， m l 且g v ) 业，口( o ，1 ) 埘2 则定理3 和定理4 的结论仍然成立 第1 6 页共2 l 页 河北师范大学同等学力人员申请硕上学位论文 魏玉冬 5 定理5 的证明 对边值问题 裟淼0 d g 引 【z ( o ) = x ( 1 ) = ， 。 其g r e e n 函数g ( t ，s ) 为 g 也垆 ；? ：瑟竺 g ( t ，s ) 具有如下性质： g ( t ，s ) j ，f ，s 【o ，1 】， ( 6 ) a ( t ，s ) ；，r 【；，l 】，s 【o ，1 】 ( 7 ) 取b = c o ，1 】c 【0 ，1 】， 规定i i c x , y ) l l = m a x m 。a 。xx ( 吼m 。a 。x y ( t ) 1 ，( x ，y ) b ， 易知：( b ，) 为b a n a c h 空| 日j 定义曰上的锥p 为 p = ( x ，y ) b i x ，y 在【0 ，1 】上是非负，单调非减的凹函数 取r 满足昙 ， 吾口肛= 口 所以定理2 的条件全部满足，从而问题( 2 ) 有两的对解( _ ( f ) ，y 。( f ) ) ， ( x 2 ( f ) ，y 2 ( f ) ) 满足： 口 m a x 懋删，懋m 且m a x 蹬而( f ) ，躞y 删 6 ， b m a x m 吁x 2 ( f ) ，m a x y 2 ( r ) ) ，且m a x m i n x 2 0 ) ，l m i n y 2 ( f ) ) c o 由io s f -i 型，i f 宦理5 证明完毕 致谢本文是在张振国教授的指导下完成的，谨在此表示衷心的感谢同 时，对郭彦平教授在论文写作过程中的大力帮助表示感谢 第1 9 页共2 1 页 河北师范大学同等学力人员申请硕士学位论文魏玉冬 参考文献 c 1 l h e r b ea n dh w a n g o nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p r o c e e d i n g so ft h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，1 9 9 4 ， 1 2 0 ：7 4 3 7 4 8 2 p r a g r w a l ，d 0 r e g a n ，p j w a n g , p o s i t i v es o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a l ， d i f f e r e n c ea n di n t e g r a le q u a t i o n s ，k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ，d o r d r e c h t ，1 9 9 9 3 r u y u nm a ，m u l t i p l en o n n e g a t i v es o l u t i o n so fs e c o n d o r d e rs y s t e m so fb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，2 0 0 0 。4 2 ：1 0 0 3 一i 0 1 0 4 r w l e g g e t ta n dl r w i l l i a m s ，m u l t i p l ep o s i t i v ef i x e dp o i n t so fn o n l i n e a r o p e r a t o r so no r d e r e db a n a c hs p a c e s ，i n d i a n ad n i v m a t h j ，1 9 7 9 ，2 8 ：6 7 3 6 8 8 5 r i a v e r y ，c j c h y a na n dj h e n d e r s o n ，t w i ns o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n df i n i t ed i f f e r e n c ee q u a t i o n s ， c o m p u t e rm a t h a p p l ，2 0 0 1 ，4 2 ：6 9 5 7 0 4 6 y a n p i n gg u o ，w e n r u is h a n ，w e i g a og e ，p o s i t i v es o l u t i o n sf o r s e c o n d o r d e r m p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，j c o m p u t a p p l ，m a t h ，2 0 0 3 ，1 5 1 ：4 1 5 4 2 4 7 c p g u p t a ，s o l v a b i l i t yo fat h r e e p o i n tn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f o ras e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 2 ， 1 6 8 ：5 4 0 5 5 1 8 v a 1 1 i na n de i m o i s e e v ，n o n l o c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h es e c o n d k i n df o ras t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o r ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 8 7 ，2 3 ：9 7 9 9 8 7 9 w f e n ga n dj r l w e b b ，s o l v a b i l i t yo fam p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s w i t hn o n li n e a rg r o w t h ，j m a t