（基础数学专业论文）几类广义正则半群的某些问题的研究.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 靴做储獬：被因 别磴毛 学位论文版权使用授权书 葺p1 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：导师签字： 巧冈l1 签字日期：2 0 0 9 年乒月帅签字日期：2 0 0 铲年月蜩 山东师范大学硕士学位论文 几类广义正则半群的某些问题的研究 摘要 本文定义了几类广义正则半群，利用半群膨胀的概念，给出了这些半群的若干 刻画本文共分三章，具体内容如下： 第一章给出了毕竟纯整超耵p p 半群的定义，并给出了这类半群的结构定 理主要结论如下： 定义1 9 半群s 称为毕竟强w r p p 半群，若v 口s ，il ? + ne 厶l = 1 ：此时 l 扩 ne 厶的唯一元记为口( + 斗。称毕竟强w r p p 半群s 满足e h r e s m a n n 型条件，即 e 正条件：若( v o b s ) ( 口6 ) ( ) 勿( e ( s ) ) a ( + + ) 6 ( h ) 定义1 1 0 毕竟强w r p p 半群s 称为毕竟纯整超盯p p 半群，若e ( s ) 带，且s 满足e 丁一条件 定理1 1 7 关于半群s 的下列叙述等价： ( i ) s 是毕竟纯整超w r p p 半群； ( i i ) s 是纯整超w r p p 半群丁的膨胀s = s ，t ：翻； ( i i i ) s 是舅一左可消板品的膨胀五= 阢，；缸 的半格，其中e ( 【j & ) 是带 a 吾 且对任意的( i ，。，入) & ( j ，p ) 如，( 尼，) l a 1 ， ( i ，o 入) ( j ，1 ，p ) 】p l 。= 【( ，n ，a ) ( 七，l n ，) 】尹i 。， = 辛 ( i ，1 死入) ( j ，1 ，p ) 】九口：【( i ，1 死，a ) ( 昆，1 n ，) 】死， 且v o 死，v 6 乃0 6 = n 靠6 妇& 口； ( v i ) s 是g w t p p 半群 y ；死 的带状扩张留；l ，a q ；a ，p ，p 的膨胀，且满足 条件： 即a ( y ) ，( z ，z ，a ) l 死a 口，存在鹾吾一五( 如) ，使得 蟛耻m = 嚣。木f 茹囊 n 口一a ，l ，个口，口 第二章利用部分半群的概念，定义了和可消板的膨胀同构的半群，讨论了 矩形群的膨胀上的f 一同余主要结论如下： 定理2 1 3 s 是可消板，t a 的膨胀s = 【s ，j ? a ；刳当且仅当s 同构 于某个m ( 丁；j ，a ；q ，x ，砂) 定理2 2 1 设半群= m ( t ；，a ；q ，) ( ，妒，妒) 与半群7 = m ( 丁7 ：，7 ，a 7 ；q7 ，x 7 ，妒7 ，妒7 ) 分别是可消板k = ，t a 和k 7 = ，7 丁a 7 的膨胀那么半群和7 同构当 l 山东师范大学硕士学位论文 且仅当存在同构u ：t t ，双射 ：，一j ，七：a a 7 和q ：q q ：使得坳q ， 有： ( 1 ) 妒( p ) = 妒。( p q ) ； ( 2 ) 砂( p ) 七= 砂( p q ) ； ( 3 ) x ( p ) 。= x 。p q ) 定义2 3 2 半群s 上的同余p 称为一同余或满足一关系，若口加营o p 蜒 定理2 3 3 设k = l g r 是矩形群s 是k 的膨胀s = s ，k ； r e ( l ) ，( g ) j7 r ( r ) ，其中( l ) ，e ( r ) 分别是l 和r 上的等价关系的集合， ( g ) 是群g 上正规子群的集合 在s 上定义关系j d ： 口j d 6 i r j ，z 暑一1 ，a 丌p 其中。手= ( i ，。，入) ，b = ( 歹，可，卢) 则p 是s 上的同余；反之，s 上的一同余都可如此构造 第三章给出了一类广义正则半群的半直积及结构主要结论如下： 定理3 2 2s n 丁是c p ：富足半群的充分必要条件是： ( 1 ) s 和t 是c p 口一富足半群； ( 2 ) v j f e ( 丁) ，s s 有，8 = ，；v e e ( s ) ，t t 有t 8 = 定理3 3 4s 肜x 丁是c 一乡口一富足半群的充分必要条件是： ( 1 ) s 和丁是c 一髟# 富足半群； ( 2 ) v ，e ( r x ) ，v s s ，比x 有，( s z ) = ，( z ) ；v e e ( s ) ，t x 有t ( e z ) = t ( z ) 关键词：关系p ( ”) ：毕竟纯整超w p p 半群，半群的膨胀，部分半群， c p # 富足半群的半直积 分类号：0 1 5 2 7 2 山东师范大学硕士学位论文 s t u d i e so ns o m eg e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s a b s t r a c t i nt l l i sd i 豁e r t a t i o n ，w e 百v et h ed e 丘n i t i o n so fs o m eg e n e r a l i z e d a n di t sc h a r a u c t e r i z a t i o n t h e r ea r et l l r e ec h 印t e r s 。t h em a i l lr e s u l t s r e g u l a rs e m i g r o u p s a r e 舀v e ni nf o l l o w i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w e 酉v ead e f l n i t i o no fe v e n t u a l l l yo r t h o d o ) 【s u p e r - w r p ps e m i g r o u p 趾1 dd i s c u s st h es t r u c t u r eo fe v e n t u a n yo r t h o d o xs u p e r w r p ps e m i g r o u p s t h em a i l l r e s u l t sa r e 酉v e ni nf o u a w d e f i n i t i o n1 9as e m i g r o u psi sc a l l e da ne v e n t u a u ys t r o n g l yw r p ps e m i g r o u p ，i f f o ra un si 三乎叫ne 厶i = 1 t h e nw ed e n o t et h eo n l ye l e m e n tb y o ( + + ) a ne v e n t u a l l y s t r o n g l yw r p ps e m i g r o u ps a 七i s 矗e se h r e s m a n nt y p ec o n d i t i o n ，t h a 土i st os a 酩e t - c o n d i t i o n ： ( v n ，6 s ) ( 口6 ) ( + + ) 勿( e ( s ) ) n ( + + ) 6 ( + + ) d e f i n i t i o n1 1 0a ne v e n t u a l l ys t r o n 9 1 yw r p ps e m i g r o u pi sc a l l e da ne v e n t u a l l y o r t h o d o xs u p e r w r p ps e m i g r o u p ，i fe ( s ) i sab a n d ，a n ds a t i s f l e se h r e s m a n nt y p ec o n d i t i o n t h e o r e m1 1 7si sas e m i g r o u p t h es t a t e m e n t sb e l o w 甜ee q u i v a l e n t ： ( i ) si sa 1 1e v e l l t u d l yo r t h o d o xs u p e r w r p ps e l n i g r o u p ； ( i i ) s = s ，t ：纠i sa ni n 丑a t i o no fa no r t h o d o xs u p e 卜、) l r r p ps e m i g r o u pt ； ( i i i ) sc 龇lb ee x p r e s s e da sas e i n i l a t t i c eyo f i l l f l a t i o i l so f 冗一l e rc a n c e l l a t i v ep l a i l l 【s & w h i c hs a t i s n e st h ec o n d i t i o n s ：e ( u ) i sab a n d ，a n df o ra l l ( ，口，a ) ，( 歹，p ) 口y 如a p ，( 七，) l a 7 ， ( i ，口，a ) ( j ，1 乃，p ) 】l 口= 【( i ，口，入) ( 七，1 马，) 】k ， 亭 ( i ，l 死，a ) ( 歹，1 ，p ) 】研。口= 【( i ，1 瓦，a ) ( 后，1 耳，) 乃。1 ， 觚dv 0 死，v 6 乃，n 6 = n 口6 妇口； ( v i ) si sa ni n 丑a t i o no fab a n d 一1 i k ee ) ( t e n s i o n 留 y ；厶，人q ；如，卢，p o fad 唧p 舱m i g r o u p y ；死1w h i c hs a t i s 丘e st h ec o n d i t i o n ：v 卢q ( y ) ，( i ，z ，a ) 厶死 a 。，t h e r ee ) ( i s t e s 盛苫a 五( 如) ，s u c ht h a t 彩= 篮车妨a 口，口一、q ，口个n 口 i nt h es e c o n dc ：h 印t e r ，w ed e 丘n et h ei n 丑a 土i o no fc a n c e l l a t i v ep l 龇1 kb yu s i n gp 小 t i a ls e m i 口o u p sa n d 百v ead i s c r i p t i o no fi s o m o r p h i s mb e t w e e ni n 丑a t i o n so fc a n c e u a t i v e 3 山东师范大学硕士学位论文 p l a d k s t h e nw ed i s e u s st h e 一c o n 晷m e n c eo fr e c t a n g 叫a rs 叫g u o u p s 。t h em 咖r e s u l t s a u r e 酉v e ni nf o u o w t h e o r e m2 1 3as e m i g r o u ps = 慨j r 丁a ；科i sai n 丑a t i o no fc a n c e u a t i v e p l a n k ，丁a i f a n d o n l y i f t h e r ea r e a j s o m o r p h i s m b e t w e e n s a n d a 且彳( 丁；，a ；q ，x ，仍妒) t h e o r e m2 2 1t h e r ee ) 【i s t sai s o m o r p h i s mb e t w e e n = a ，( t ；j ，a ：q ，x ，妒，妒) a n d 7 = m ( t 7 ；，7 ，a ；q 7 ，x 7 ，妒，妒) i fa n do n l yi ft h e r ee 】( i s t sai s o m o r p h i s mu ：t _ t 7 ， b i j e c t i v em 印s ：j _ ，7 ，七：a _ a 7a n dq ：q _ q 7 ，s u c ht h a tv p q ， ( 1 ) 妒( p ) = 妒( p q ) ； ( 2 ) 妒( p ) 岛= 妒。( p q ) ； ( 3 ) ) ( ( p ) u = ) ( 。( p q ) d e f i n i t i o n2 3 2ac o i l g r u e n c ep0 fa m i g r o u psi sc a u e d 一c o n g r u e n c eo rs a i d t os a 土i s 匆一r e l a 上i o n ，i f 口p 6 寺口p 6 t h e o r e m2 3 3k = l gxri sa r e c t a n g u l 缸s e m i g u o u p s = f s k ；纠i st h e i n 珏a t i o no fk r ( l ) ，( g ) ，万( r ) 。v n 6 s d e n o t e 口= ( t ，z ，入) ，蜒= ( j ，y ，肛) d e 丘n er e l a t i o ndo ns ： 口加 亭l 巧，z 剪一1 ，a 7 r 卢 t h e nj di sa 一c o n g r u e n c eo fs ；c o n v e r s e l y ，e 、 e r y 一c o n g r u e n c eo fsc a nb es oc o n s t r u e t e d i nt h et h i r d ( h 印t e r ，w eg i v ead e f i n i t i o no fs e n l i d i r e c tp r o d u c to fc p 口一a b u l l d a n t s e m i g r o u pa n dd i s c u s sn e c e s s 村ya n ds 心c i e n tc o n d i t i o nf o rt h es e m i d i r e c tp r o d u c to f t w om o n o i d st ob eac p 口一a b u i l d a n t s e m i g r o u p t h em 缸nr e s u l t sa r eg i v e ni nf 0 1 l o w t h e o r e m3 2 2as e m i d i r e c tp r o d u c ts ati sac 一彩# 吨b u n d e n ts e 血g r o u pi f a n do n l yi f ( 1 ) sa n dt 盯ec j 汐# 一a b u n d e n ts e m i g r o u p s ； ( 2 ) v ，e ( t ) ，s s ：争，8 = ，；v e e ( s ) ，t t ：争护= t t h e o r e m3 3 4aw t e a t h p r o d u c t s 可叹ri sac 一乡# 一a b u n d e n ts e 血g r o u pi fa n d o n l yi f ( 1 ) sa n dta l r ec 一二汐# 一a b u n d e n ts e m i 寥o u p s ； ( 2 ) v 厂e ( t x ) ，v s s ，v z x = 亭，( s z ) = ，( z ) ；v e e ( s ) ，t j r x ：争t ( e z ) = t ) k e ”m r d s ：r e l a t i o np ( 丰引，e v e n t u a u yo r t h o d o xs u p e r - w t p p8 e 皿g r o u p ，i n 丑a t i o no f 船嘶 4 山东师范大学硕士学位论文 g r o u p ，p a r t i a 】s e l i g r o u p ，s e m j d i r e c tp r o d u c to fc 一汐# 一a b u n d 锄1 ts e m i g r o u p c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 2 7 5 山东师范大学硕士学位论文 第一章毕竟纯整超w r p p 半群 李刚等在论文”e h r e s m a n n 型w r p p 半群”中定义了纯整超w r p p 半群，并给 出了其结构定理利用膨胀的概念，杜兰等定义并讨论了毕竟c w p p 半群和毕竟 c r p p 半群在本章中我们利用半群膨胀的概念推广了纯整超w r p p 半群，定义了 毕竟纯整超w r p p 半群讨论了毕竟纯整超w p p 半群和纯整超w r p p 半群的关系， 并给出了毕竟纯整超w r p p 半群的结构定理 设s 是半群，记e ( s ) 是s 的幂等元集令 e 矗= 札e ( s ) i ( v z s ) u n 。= a z ) ， e 最= 饥e ( s ) i ( 、口7 z s ) z n u = z o ) ， e i o = e i ：n e i ： s 上的格林夕4 和纺+ 关系分别为【1 】： p 车( s ) = ( 口，6 ) s s i ( v z ，可s 1 ) n z = o 剪骨6 z = 6 可) ， i 刃+ = ( n ，6 ) s s i ( v z ，可s 1 ) z o = o = 争z 6 = 剪6 】 s 上的格林p “关系为f 2 】： 汐+ + ( s ) = ( 8 ，b ) s s i ( v z ，秒s 1 ) o z i 绍( s ) 口可 = 寺6 z ：勿( s ) 的) 易知， 髟( s ) 乡+ 髟“( s ) ，且v e ，e ( s ) ，e p “( s ) ，且e ，e e ( s ) = j e ，e = e ，厂e ，= ，【引 半群s 上的广义格林夕( 关系为： 彩( ”) ( s ) = 的次直积，记砥x 舅为x 到& 岛 的投影，使得v ( 。1 ，n 2 ，。) x ，( 口l ，0 2 ，n n ) 风；x 毋= ( 口i ，) 同理，魂表示 x 到s 的投影，使得v ( n 1 ，0 2 ，o 。) x ，( 0 1 ，0 2 ，口n ) 砥= d 1 引理1 8 【4 设s 是一个半群下列叙述等价： i ) s 是一个纯整超w r p p 半群； i i ) s = y ；= l 死a 。 ，其中诸& 是识左可消板，e ( s ) 是带且对任意 的( t ，n ，入) s a ，( 歹，p ) 如a 芦( 七，) 厶a ，y ， ( t ，o ，a ) ( 歹，1 ，肛) 尹l 目= ( ，o ，入) ( 七，1 n ，) 】p l ， = 亭【( i ，1 死，a ) ( ，1 ，p ) 】p ，。口= 【( ，1 ，入) ( 七，1 n ，王，) 】乃。，； i i i ) s 是d w r p p 半群 y ；死】的带状扩张历 y ；厶，a 口；f 。，卢，叼a ，卢 且满足条件： v p 乜( y ) ，( i ，z ，a ) l 死a 。，存在否_ 正( 如) ，使得 彩= 妨一术彩_ 口，口一、q ，p个，a ，卢 。 定义1 9 半群s 称为毕竟强w t p p 半群，若v 口sl 工? 叫n e 厶i = 1 ，此时 l g 叫ne 厶的唯一元记为n ( + + ) 称毕竟强w t p p 半群s 满足e h r e s m a n n 型条件，即e n 条件： ( v o ，6 s ) ( 0 6 ) ( + + ) 9 ( e ( s ) ) n ( + + ) 6 ( + + ) 其中勿( e ( s ) ) = ( e ，) e ( s ) xe ( s ) i ( 3 9 e ( s ) ) e g 矽g 彩，) 定义1 1 0 毕竟强w t p p 半群s 称为毕竟纯整超w p p 半群，若e ( s ) 带，且s 满足e n 条件 7 山东师范大学硕士学位论文 引理1 1 l 半群j s 是毕竟纯整超w r p p 半群，则s 2 是纯整超w r p p 半群。 证( 比，( 妒) 1 ) ，n s 2 ，设n = u u ，其中u ，u s 则 n z 驴( s 2 ) n 可 = 争_ l 上( + + ) u 钉z 驴( s 2 ) 札( + + ) 仳 可 = 争“( + + ) n 彻( s 2 ) 乱( + + ) o 可 牟= 争仳( + + ) n 口( + + ) a ；勿( s 2 ) u ( + + ) o 口( + + ) = = n 口( + + ) z 鬈矽( s 2 ) n 口( + + ) 可 = 令8 ( + + ) n ( + + ) z 鬈雩( s 2 ) 8 ( + + ) 8 ( + + ) 爹 = 夸口( + + ) 。翊( s 2 ) 口( + + ) 可 所以口p ”( s 2 ) 盘( + + ) ，从而s 2 是w p p 半群，且口口( + + ) = n ( + + ) 口= 口 若e l ：+ ( s 2 ) n 厶，比，暑，s n z 。勿( s ) 口耖 仁号o e 茁勿( s 2 ) n e 暑， 专e e z 贸( s 2 ) e e 秒 号e z 纺( s ) 叼 易见厶e 厶，所以e l 孑( s ) ne l ，所以e = 口( + + ) 从而s 2 是纯整强w t p p 半 群，且地s 2 ：矿+ = n ( + 制。又s 满足e t 条件，所以s 2 是纯整超w r p p 半群 证毕口 定义1 1 2 f 5 】设x 是包含半群s 的集合，是x 到s 上的一个映射且f 在s 上的限制是s 上的恒等映射，则x 关于二元运算。 ( b 包，6 x ) no6 = o 6 构成s 的一个理想扩张，( x ，o ) 称为s 的一个膨胀，记为x = ，s ；乳 引理1 1 3 设s 是毕竟纯整超w p p 半群，则s 是纯整超w t p p 半群的膨胀 证令 f ：s _ 妒，口ho 口( + + ) 由引理1 1 1 ，s 2 是纯整超w t p p 半群，l s z = 1 s 2 v n ，6 s ，口6 = n b 6 ( + + ) = o ( + + ) o b 6 ( + + ) = 口( + + ) n n ( + + ) 6 b ( + + ) = o o ( + + ) 6 b ( + + ) = ( 口荨) ( 6 f ) ，从而s = 慨s 2 ；“证毕口 引理1 1 4 设x = x ，s 翻，其中s 是纯整超w t p p 半群，则x 是毕竟纯整超 盯p p 半群 8 山东师范大学硕士学位论文 证v n x ，比，五 oo z 刀( x ) no ! ， 车= = 口 z 勿( s ) o 可( 因为o 矽+ ( s ) ( o ) + + ) = 亭( n ) + + z ：叨( s ) ( n ) + + 可 = 争( o f ) + + oz i 勿( x ) ( n ) + + o 秒 所以 口夕( ”) ( x ) ( n f ) + + ，且 ( n ) + + oooz = ( n f ) + + n z = n z f = o o z ， z ono ( o f ) + + = z n ( n ) + + = z 口= zo 口 所以( n ) + + l g 叼ne 厶从而，x 是毕竟w t p p 半群 若e l 岔( x ) ne 厶，贝0e s ，对比，y s 1 ， e z 留( s ) e 可 je e z 历( s ) e e 可 辛n 。e z 劈( x ) 口oe 剪 = = 净( 口) ( e z ) 。勿( s ) ( 口f ) ( e ) = 争( o ) + + ( o 乏) e z ：勿( s ) ( q ) + + ( n ) e 可 = 事( n 荨) + + onoe 。z ：勿( x ) ( 口f ) + + oooe 。 = 寺( 口) + + 。口oz ：勿( x ) ( n ) + + 。oo 幸= 争( 口) z 留( s ) ( 口) ! ， 所以e 乡”( s ) n 荨注意到 e ( 口) = e n = eon = e ono ( n ) + + = 口o ( 口) + + = n ( 口) + + = 口， ( 凸f ) e = ( o ) e f = n oe = ( n ) + + o o 。e = ( n ) + + o 口= ( o ) + + o f = n f 所以e l 琵nk 从而e = ( n ) + + 所以x 是毕竟纯整强w t p p 半群，且口( + + ) = ( 口毒) + + vn ，6 x ，因为( 口f ) + + ( m ) + + 勿( e ( s ) ) ( 口k ) + + ，所以口+ + 0 6 + + 9 ( e ( x ) ) ( 口0 6 ) + + 从而x 是毕竟纯整超w p p 半群证毕口 引理1 1 5 设x 是纯整超w t p p 半群s = y ； 的膨胀x = 【x ，s ；胡，则x 是刃一 左可消板& 的膨胀死= 艮，；。 的半格y ，且v o 咒，v 6 乃，0 6 = o 如b 妇 s o l 8 证设死= n x l 畦) 令如= l 死，则死= 陬，& ；如】 9 山东师范大学硕士学位论文 v n 互，v 6 乃，口6 = 口曲= n 如b 妇& 昂& 口死口从而x = 【y ；死】证 毕口 引理1 1 6 设s = 【y ；死 ，= 陬，& ；缸 ，v n r 是勿- 左可消板， e ( u & ) 是带且对任意的( tn ，入) & ，( 歹，p ) 如如，( 忌，l ，) ， 口y 【( t ，n ，a ) ( j ，1 乃，p ) 】l 口= 【( t ，n ，入) ( 七，1 孔，) 】尹k ， 哥 ( i ，1 瓦，入) ( 歹，1 乃，p ) 】九口= 【( i ，1 死，入) ( 昆，1 b ，) 吼， 且v 口矗，v 6 ，n 6 = n 缸6 妇卢则s 是毕竟纯整超w r p p 半群 证令t = u ，则丁= y ；& ，由引理1 8 ，t 是纯整超w p p 半群 口y 令 乏：s t nh n 如，口z a ， 则s = 旧t ；讣由引理1 1 4 ，s 是毕竟纯整超盯p p 半群证毕口 由引理1 1 3 ，1 1 4 ，1 1 5 ，1 1 6 即得下面的定理 定理1 1 7 关于半群s 的下列叙述等价： ( i ) s 是毕竟纯整超w r p p 半群； ( i i ) s 是纯整超w r p p 半群t 的膨胀s = f s ，t ；翻； ( i i i ) s 是叨一左可消板& 的膨胀死= ，& ；。 的半格，其中e ( u & ) 是带 n y 且对任意的( ta ，a ) & ，( j ，p ) 如如，( 尼，) 0 a 1 ， 【( t ，o ，a ) ( 歹，1 ，p ) 声i 。口= 【( t ，口，入) ( 后，1 耳，) 】乒k ， 弓【( t ，1 死，入) ( j ，1 乃，肛) 】九口= 【( ，l 死，a ) ( 惫，1 耳，) 】九， 且死，v 6 ，0 6 = 口如k p 口； ( v i ) s 是g w r p p 半群 y ；死 的带状扩张历【y ；厶，如；如，p ，7 7 。，口】的膨胀，且满足 条件：v 卢q ( y ) ，( i ，z ，a ) 厶互k ，存在篮否a ) 互( 如) ，使得 蟛m = 妨丰茹 a ，p一、，p千q ，卢 引理1 1 8 f 6 】设s 是一个半群下列叙述等价： i ) s 是一个纯整超跗p p 半群，e ( s ) 是半格； i i ) s 是c w r p p 半群； i i i ) s = y ；】，其中瓦是b 左可消幺半群 推论1 1 9 设s 是一个半群下列叙述等价： 1 0 山东师范大学硕士学位论文 i ) s 是一个毕竟d w t p p 半群； i i ) s 是c w t p p 半群的膨胀； i i i ) s 是尼左可消幺半群死的膨胀& = 【& ，死；缸】的半格，其中e ( u 死) a y 是带，且v n & ，v 6 & ，0 6 = 口。必p 死p 定义1 2 0 半群s 称为纯整超r p p 半群，若v 0 sen 厶i = 1 ，且e ( s ) 是 带，s 满足e t 条件，即 ( v n ，6 s ) ( n 6 ) + 勿( e ( s ) ) 矿6 其中9 ( e ( s ) ) = ( e ，) e ( s ) e ( s ) i ( j 夕e ( s ) ) 铆9 汐，) ，厶= e e ( s ) ie n = n e = n ) e n 厶的唯一元记为n + 引理1 2 1 7 设s 是一个半群下列叙述等价： i ) s 是一个纯整超r p p 半群； i i ) | s 是左消板= 厶霸a a ( q y ) 关于】，的半格，且对y 中任意的 卢n ，( i ，z ，a ) s 。和( 歹，1 ，肛) ，( 尼，1 ，工，) j s 匆， ( ( i ，z ，入) ( 歹，1 乃，p ) ) i 口= ( ( t ，z ，a ) ( 惫，1 功，扩) ) p b 寺( ( i ，1 ，a ) ( j ，1 乃，肛) ) 乃口= ( ( i ，1 死，a ) ( 忌，1 乃，) ) ； i i i ) s 是c r p p 半群 y ；死 的带状扩张勿【y ；厶，a 口；，卢，乩且对y 中任意的 p 凸= ，( ，z ，a ) 厶咒a a ，存在篮否一互( 如) ，使得 嚣孙m = 篚幸嚣a q ，一、q 卢1 o ，卢 推论1 2 2 设s 是一个半群下列叙述等价： ( i ) s 是一个毕竟纯整超r p p 半群； i i ) s 是左消板厶死a n 的膨胀= 【，l 死k ；矗 关于y 的半格， 且对y 中任意的p a ，( t ，z ，入) & 和( j ，1 ，p ) ，( 忌，1 功，z ) 昂， ( ( i ，z ，入) ( j ，1 功，p ) ) 乃口= ( ( i ，z ，a ) ( 忌，1 ，) ) r 口 号( ( 瓦1 死，入) ( 歹，1 功，p ) ) = ( ( z ，1 死，a ) ( 七，1 ，) ) ， 对v n & ，6 昂，0 6 = o 矗蜒口l p 死p a 。卢； i i i ) s 是c r p p 半群；死】的带状扩张纠y ；厶，k ；厶，卢，口 的膨胀，且对y 中 任意的p q ，( ，z ，a ) 厶死a 口，存在君一) 互( 如) ，使得 茹耻= 簦吾a 木筘a 口，口一、口，p个b n ，卢 。 本文中其它未说明的概念和术语见参考文献 1 8 - 2 1 】 1 1 山东师范大学硕士学位论文 第二章可消板的膨胀上的同构和 矩形群的膨胀上的一同余 2 1引言及预备知识 在本章我们借助部分半群通过定义适当的乘法给出了与可消板的膨胀同构的 半群在此基础上讨论了可消板的膨胀间的同构最后我们讨论了矩形群的膨胀上 保持一关系的同余 定义2 1 1 f 8 js 是一个非空集合，对v z ，可，z s ，如果z 掌( 可半z ) 和( z 丰) 木2 存 在则一定相等，则称”宰”为一个部分运算。若非空集合s 具有部分运算，则称为一 个部分半群 幺半群r 称为可消幺半群，如果对任意的o ，6 ，c t ，口6 = n c 号6 = c ，6 0 = 6 = c 为方便起见，矩形带，a 和可消幺半群z 的直积称为可消板 以下用可消板k = j t a 和一个部分半群q 来构造一个半群 设k = j t a 是可消板，q 是一个部分半群，使得knq = d 令 妒：q jp 一妒p ) ， 妒：q a口h 砂( g ) ， x ：q t phx ) ， 是映射 令= 髟u q ，在上定义乘法如下：对于坳，g q ；口，6 乃i ，j ，；a ，p a ( 1 ) ( i ，n ，a ) 0 ，6 ，肛) = ( i ，0 6 ，p ) ； ( 2 ) p ( i ，n ，a ) = ( 妒( p ) ，x ( p ) n ，入) ； ( 3 ) ( t ，n ，入) p = ( t ，口x ( p ) ，妒0 ) ) ； ( 4 ) p g = ( 妒( p ) ，x ( p ) ) ( ( g ) ，砂( 口) ) 以下记为m ( t ；，a ；q ，x ，妒，妒) 特殊的，当k = ，t 和k = t a 时，分 别记为m ( 丁；，；q ，x ，妒) 和m ( t ；a ；q ，x ，砂) 引理2 1 2m ( g ；j ，a ；q ，x ，妒，妒) 是半群 证易证乘法在( 1 ) 一( 4 ) 中是可定义的下证结合律成立 山东师范大学硕士学位论文 令p ，口q ，x = ( i ，口，a ) ，t a ，贝 ( p 口) x = ( 妒( p ) ，x ( p ) ) ( ( g ) ，妒( g ) ) y = ( ( p ) ，x ( p ) ) ( ( q ) o ，a ) = p ( 妒( g ) ，x ( g ) n ，a ) = p ( 口x ) ； 令p q ，x = ( ，口，入) ，】，= 0 ，6 ，p ) j t a ，则 ( p x ) y = ( 妒( p ) ，x ( p ) n ，入) ( j ，6 ，p ) = ( 妒p ) ，x 0 ) n 6 ，p ) = p ( i ，曲，p ) = p ( x y ) ； 令p ，g ，r q ，则 ( p g ) r = ( 妒( p ) ，) ( ( p ) x ( g ) ，砂( g ) ) r = ( 妒( p ) ，x ( p ) ) ( ( 口) x ( r ) ，妒( r ) ) = p ( 妒( q ) ，x ( g ) x ( r ) ，妒( r ) ) = p ( g r ) ； 对于其他的情形可以类似的证明证毕口 定理2 1 3s 是可消板，t a 的膨胀s = 【s ，t a ；胡当且仅当s 同构 于某个m ( r ；，a ；q ，) ( ，乒砂) 证( 必要性) s 是可消板，x 丁a 的膨胀s = 限，t a ；副，则q = s 一( j t a ) 是一个部分半群，并且 s = ( ，t a ) uq ，( ，t a ) n q = 仍 对于v p q ，有必，丁a ，即存在( 绉，唧，) j t a ，使得必= ( 知，唧，) 因此可以定义下列映射： 妒：q 一， ph 妒p ) = ( 必) 研= 绉， 妒：q _ aph 妒) = ( 必) 吼= ， x ：q _ tphx ) = ( 必) 砑= 却 以下验证( ，t a ) u q 上的乘法和m ( t ；j ，a ；q ，x ，妒，妒) 中定义的乘法一致： ( 1 ) ( t ，a ，入) 0 ，6 ，p ) = ( z ，曲，p ) ； 1 3 山东师范大学硕士学位论文 ( 2 ) p ，o ，入) = 必( t ，n ，a ) = ( 知，却，) ( f ，8 ，a ) = ( 知，勖o ，入) = ( 妒( p ) ，) ( ( p ) 口，入) ； ( 3 ) ( t ，n ，入) p = ( t ，n ，入) 毒必 = ( 蟊o ，入) ( i p ，唧，b ) = ( z ，o 唧，) = ( i ，n x ( p ) ，砂( p ) ) ； ( 4 ) p g = 硝睫 = ( 绉，) ( 岛，) = ( 知，z p z q ，入q ) = ( 1 p ( p ) ，x ( p ) ) ( ( q ) ，妒( g ) ) 因此， s = m ( 丁；，a ；q ，x ，妒，砂) ( 充分性) 由引理2 1 2 知s = ( j t a ) uq 是一个半群令 ：( j 丁a ) uq j 丁a ， ( v ( i ，z ，a ) ，x 丁xa )( i ，z ，a ) 一( i ，z ，a ) ， ( v p q ) ph ( 妒( p ) ，x ( p ) ，妒( p ) ) 因为 妒：q 一， ph 妒( p ) = 知， 妒：q aph 妒( p ) = ， ) ( ：q 一丁ph ) ( ( p ) = ( 必) 乃= 唧， 都是映射，所以上述f 是可以定义的 对于v ( i ，z ，入) ，( ，可，p ) j t a ，坳，口q ( t ，z ，入) ( j ，可，p ) = ( t ，z ，入) 毒( 工童，p ) ； p ( i ，z ，入) = ( 妒( p ) ，x ( p ) z ，a ) = ( 妒( p ) ，x ( p ) ，妒( p ) ) ( t ，z ，入) = 必( t ，z ，入) 毒； ( i ，z ，a ) p = ( t ，z x ( p ) ，妒( p ) ) = ( t ，z ，入) ( 妒p ) ，x ( p ) ，妒) ) = ( t ，z ，a ) 必； 1 4 山东师范大学硕士学位论文 册= ( 妒( p ) ，x ) x ( g ) ，砂( q ) ) = ( 妒( p ) ，) ( ( p ) ，妒( p ) ) ( 妒( q ) ，x ( 口) ，妒( 口) ) = 必必 所以s 是可消板j t a 的膨胀s = sj t a ；孔证毕口 推论2 1 4s 是k = ，t 的膨胀s = 限k ；翻当且仅当s 同构于某个 m ( t ；j ；q ，x ，妒) 对偶的有： 推论2 1 5s 是k = t a 的膨胀s = s ，k ；胡当且仅当s 同构于某个 m ( t ；a ；q ，x ，妒) 1 5 山东师范大学硕士学位论文 2 2可消板的膨胀间的同构 在上节我们引入了部分半群，并证明了可消板的膨胀与某个半群m ( t ；j ，a ；q ，x ，妒，妒) 是同构的在本节我们将通过讨论半群m ( t ；j ，a ；q ，x ，妒，砂) 之间的同构关系来研究 可消板的膨胀间的同构问题 定理2 2 1 设半群= m ( t ；j ，a ；q ，x ，妒，妒) 与半群= m ( t 7 ；，7 ，a ；q ，x 7 ，垆，) 分别是可消板k = j t a 和k = t 7 a 7 的膨胀那么半群和同构当 且仅当存在同构u ：t t 7 ，双射 ：，一，南：a a 7 和q ：q q ，使得q ， 有： ( 1 ) 妒( p ) = 妒( p q ) ； ( 2 ) 砂( p ) 七= 妒( p q ) ； ( 3 ) x ( p ) u = ) ( 0 q ) 证( 必要性) 令厂：一7 是一个同构设q = ，i q ，则q ：q q 是一个双 射下证在中( i ，o ，a ) 乡+ ( j ，6 ，肛) 兮a = p 因为 ( i ，口，a ) (