（基础数学专业论文）乘法半群为正规纯整群的半环.pdf

乘法半群为正规纯整群的完全正则半环 摘要 本文主要研究了完全正则半环类的一个重要的子类o n b g 一一它是由乘法半群 为正规纯整群的半环构成的半环类，讨论了这类半环的的基本性质和结构 率文分为四部分第一部分，介绍了半环的概念及相关理论，并回顾了本文中将 会涉及的完全正则半群中一些概念和结论第二部分，讨论了一类重要的完全正则半 环类r e g 一乘法矩形群半环类，刻划了这类半环的性质，并给出了次直积分解 第三部分，研究了乘法半群是正规纯整群的半环，通过对完全正则半群上的几个重要 同余关系在半环上的推广，对o n b g 中具有坚固构架的半环进行了不同角度的次直 积或m a l c e v 积的分解第四部分，对文 2 1 作者所提出的一个问题给出了新的解释， 刻画了具有性质p 的完全正则半群，并将部分结果推广到了半环上 关键词：完全正则半环；正规纯整群；次直积；坚固构架 2 c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i r i n gw h i c hm u l t i p l i c a t i v er e d u c t s a r en o r m a lo r t h o g r o u p a b s t r a c 1 1 i nt h i sd i s s e r t a t i o n ：w ed e v o t et os t u d ya ni m p o r t a n tc l a s so fs e m i r i n g s ，i nw h i c h t h em u l t i p l i c a t i v er e d u c t so fs e m i r i n g sa r en o r m a lo r t h o g r o u p s w ed i l i b e r a t et h e f u n d a m e n t a lp r o p e r t i e sa n ds t r u c t u r eo fs e m i r i n g si nt h i sc l a s s t h i st h e s i sc o n s i s t s o ff o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri n c l u d e st h eb a s i cn o t a t i o n sa n dd e f i n i o n s w e i n t r o d u c es o m ec o n c e p t sa n dt h e o r i e sr e l a t e dt os e m i r i n g s ，a n dr e c a l lt h en o t a t i o n s a n dr e s u l t so fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p sw h i c hw i l lb eu s e di nt h ef o l l o w i n gi n c h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e ras e m i r i n gc l a s sw h i c ht h em u l t i p l i c a t i v er e d u c t so fs e m i r i n g s a r er e c t a n g u l a rg r o u p w ec h a r a c t e r i z et h ep r o p e r t i e sa n do b t a i nt h ed e c o m p o s i t i o n o fs u b d i r e c tp r o d u c t so fm e m b e r si nt h i sc l a s s i nc h a p t e rt h r e e ，w ei n v e s t i g a t et h e s e m i r i n g sw h o s em u l t i p l i e a t i v er e d u c t sa r en o r m a lo r t h o g r o u p s w ee x t e n daf e wo f c o n g r u e n c e si nc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p st os e m i r i n g s f r o md i f f e r e n tw a y s w e g e tt h ed e c o m p o s i t i o n so fs u b d i r e c tp r o d u c t sa n dm a l c e vp r o d u c t so ft h e s es e m i r i n g s b ym a k i n gu s i n go ft h ee x t e n d e dc o n g r u e n c e s i nt h ef i n n a lc h a p t e r ，w eg i v ean e w i n t e r p r e t a t i o na b o u tap r o b l e mi n 【2 】c h a r a c t e r i z ec o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p sw i t h p r o p e r t yp + a n ds p r e a ds o m er e s u l t st os e m i r i n g s 。 k e y w o r d s ：c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i r i n g ，n o r m a lo r t h o g r o u p s ls u b d i r e e tp r o d u c t ， s t u r d yf r a m e 3 西北大学学位论文知识产权声明书 7 3 6 5 5 i 本人完全了解学校保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作 知识产权单位属于西北大学学校有权保留向国家与管部门或机构送交论文的复印件 或电子版本人允许论文被查阅或借阅学校可将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同 时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北 大学保密论文待解密后适用本声明 二l j弓， 学位论文作者签名：1 静今逍龟 指导教师签名： 缓卞 日期：沙咕年o r 月i 五日r 年d r 月p 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名：蹬秀珂龟 日期：z p o j 年j 月二日 第一章绪论 1 1 引言 历史上，半环概念早先是由d e d e k i n d 于1 8 9 4 年在代数数论的原著中提出后 来，n o e t h e r ，k r u l l 等人在研究环的理想时也提到过半环的概念1 8 9 9 年，h i l b e r t 在讨论自然数公理和非负有理数时，也涉及到半环的概念自1 9 6 7 年r e d e i 和1 9 7 4 年a g o s t a 的两本有关半环著作问世以后，半环的代数理论有了较快的发展 1 9 9 1 年，g o l a n 在其著作t h et h e o r yo fs e m i r i n g sw i t ha p p l i c a t i o n sa n dt h e o r e t i c a l c o m p u t e rs c i e n c e 【1 1 中系统地阐述了半环的理论， 半环是装有加法、乘法两个代数运算且满足分配律、结合律的代数系，比环更广 泛，因此半环理论有着重要的理论和应用价值，例如在泛函分析，拓扑学、图论非 交换理论、最优化理论、自动机理论、形式语言理论以及在数学与计算机科学、量子 物理学的交叉领域中都广泛用到半环的概念与特征从某种程度上来说，这些领域的 深入研究也促进了半环理论的更快发展 半环的结构和相关理论的研究已成为一项十分有意义的工作近几年来，半环理 论有了很大的发展，主要从环的观点，半群的观点来研究半环许多代数学者从事这 方面的研究m h e n r i k s e n 给出了半环的扩( d ) = o 定理嘲；m0 p o i n s i g n 发丧了 半环的子除环一文嘲；r d l a t o r t e 的硕士论文为半环的根( q ；于此同时，些 学者从半环的加法半群入手研究半环的结构与性质，从而进一步推动了半环理论的发 展p a u l hk a r r e l l a s 发表了关于逆半环的论文 s l ，j o h nz e l e z n i k o w 得到了有关纯整 半环与环的很好的结果【8 i ，h u a r r yh u t c h i n s 研究了具有性质1 + 1 = 1 的除半环【l l i y qg u o ，fp a s t i j i n 与m ks e n 在左c l i f f o r d 半环的半群结构的研究方面取得了漂亮 的结果 半环的结构一直是半环理论一个主要的研究内容半环的同余、同态、理想是研 究半环结构的主要工具文 1 4 】给出了“( 2 , 2 ) 型代数的坚固构架结构”的理论，从而 得到了一个很好的研究半环结构的方法，因为半环也是( 2 , 2 ) 型代数，所以可以刻划 1 不同类型的半环的坚固构架结构在本文的第三章我们给出了一类特殊半环0 n b g 的坚固构架结构对一般半环来说，它的加法半群和乘法半群并不是完全对等的，只 有乘法对加法的分配律而没有加法对乘法的分配律，但是这两个半群之间又存在着密 切的关系，相互影响，互相制约因此从半环的加法半群出发和从半环的乘法半群入 手成为研究半环结构和性质另思路文 1 2 】， 2 6 中已研究了加法半群为完全正则半 群的半环，在本文的第二章研究了乘法半群是矩形群的半环；第三章研究了乘法半群 是正规纯整群的半环，充分利用完全正则半群上的同余关系并将其过渡到半环上成为 半环同余，从而可以从不同角度给出这类半环的次直积或m a l c e v 积分解；第四章对 文 2 】作者所提出的一个问题给出了新的解释，并将部分结果推广到了半环上，得到 了一些有趣的结果 1 2 预备知识 本文的主要工作是将完全正则半群上的一些性质推广到了半环上所以，首先我 们给出完全正则半群上的一些常用的概念和结论 设( s ，) 为半群对口s ，若存在z s 使得。= 凹。和口z = 贯8 ，则s 称为 完全正则半群单的完全正则半群称为完全单半群设s 为完全正则半群由文f 2 】 知：我们可以从两个角度出发，对完全正则半群的子簇进行刻划若s 的幂等元集合 e ( s ) 是s 的子半群，则s 称为纯整群特别地，若e ( s ) 是正则带( 正规带，矩形 带，左零半群) ，则s 称为正则纯整群( 正规纯整群，矩形群，左群) 矩形群( 左群) 是群和矩形带( 左零半群) 的直积另一方面，若g r e e n h 关系是s 上的同余，则s 称为群带若氕是s 上的正规带同余，则s 称为正规群带，若s 是纯整群又是正规 群带，则s 称为正规纯整群带事实上，由文1 1 】定理2 7 我们知道：正规纯整群 与正规纯整群带是等价的 半群s 的非空子集a 是左( 右) 酉的是指，对任意的a ，b s ，口，曲a ( a ，b a a ) 兮b a 若a 是s 的幂等元集合e ( s ) ，且既是左酉又是右酉的，则s 称为b 酉 的 事实上，很容易得到结论：若完全正则半群s 是e 一酉的，则在自然偏序“” 2 下，所有比幂等元大的元还是幂等元另外，我们所熟悉的半群，如带、群、矩形群都 是e 一酉的由文 1 】知：若s 上的同余p 是幂等纯同余，则s 是e 一酉的当且仅 当s p 是目一酉的 命题1 2 1 若s = y ；晶，妒。，口 是完全单半群的坚固半格，且对任意的n 卢 k s 。是e 酉的，则s 是e 一酉的 证明设e ，e 。e ( s ) ，刍o ，卢e 使e s a ，。e 岛，则e o = ( e 妒钆邮) ( n 妒口，叩) e ( 鼠口) ，且e 妒。，叩e ( 瓦p ) 又囡& 口是且酉的，则有8 妒口，。口e ( s ) 即。2 即，。口= ( o 即，。口) ( 。妒口，。口) = n 妒口，叩由妒口，。口是单同态，可得：a 2 = 。e ( 印故s 是e 一酉 的 口 引理1 2 2 2 1 若s 是完全正则半群，则，是s 上最小的半格同余，最大的幂等 元同余类集合为完全单半群的同余，唯一的同余类集合为完全单半群的半格同余 引理1 2 3 1 2 j 若s 是完全正则半群，则y = d 。 c l i f f o r d 半群s 是完全正则的逆半群，即s 的幂等元集合e ( s ) 是s 的中心，即 v a s ，e e ( s ) ，e a = a e 完全正则半群s 是c l i f f o r d 半群的充要条件是口= h 对p c o n ( s ) ，若纠f ( 鳓一e p ) ，则p 称为幂等纯同余相应地，若p i e ( s = e ，陋 表示恒等关系) ，则p 称为幂等分离同余设j 5 r 是正则半群，若p 是幂等分离同余，则 pn “= 这个结论常常用于对半群进行次直积分解，因为有下列引理； 引理1 2 4 n 设 触，。e 是半群s 上的一族同余，且a t , c a p 。= ，那么s 是半 群s p 。，a a 的次直积 由此可知，从同余入手是分析讨论半群及半环结构的一个重要手段下面给出有 关半环基本知识 定义1 2 5 半环( s ，+ ，- ) 是指在非空集合s 上装有两个二元运算“+ ”和“。 且满足条件： ( 1 ) ( s + ) 和( s ，) 都是半群； ( 2 ) ( v a ，b ，c s ) ( n + 6 ) c = a c + 6 c 和c ( a + b ) = c a 十c b 3 如果v 为任一给定的半群类，我们用奶v 表示乘( 加) 法半群属于v 的半环 的垒体在本文中，c r 表示完全正则半群类，s z 表示半格类，c 表示c l i f f o r d 半 群类，r b 表示矩形带类，l z 表示左零半群类，l g 表示左群类，c s 表示完全单 半群类，n b g 表示正规群带类，r o b g 表示正则纯整群类，o n b g 表示正规纯 整群类例如，s 和o n b g 则分别表示乘法半群是半格的半环类和加法半群是正 规纯整群的半环类正规纯整群的半环类，但本文的主要研究对象是乘法半群为正规纯 攘群的半环类o n b g ， 定义1 2 6 设s 是半环若s 的乘法半群( s ，) 为完全正则半群，则s 称为完 全正则半环完全正则半环类记为c r 设s 是半环，由于s 的加法半群和乘法半群上都有各自的g r e e n 一关系，从而我 们用西澎 表示s 的乘( 加1 法半群上的g r e e nd - 关系对于其他的g r e e m 关系，具 有类似的记法 定义1 2 7 设p 是半环s 上的一个等价关系，若p 分别为s 的乘法半群( s ，) 和加法半群( s ，+ ) 上的同余，则p 称为半环s 上的同余 定义1 2 8 设s 是半环，p 是s 上的同余，若s p 是w 半环，则p 称为s 上 的w 一同余 定义1 2 9 设v 和w 是某个半环类i 的两个子类，如果s i ，p c o n ( s ) ， 那么v 和w 的m a l c e v 积是由满足以下条件的半环s 组成： ( 1 ) s 上存在一个w 一同余； ( 2 ) 每一个p 一类都在v 中； ( 3 ) 每一个p 一类都是s 的子半环 我们总是把v 和w 的m a l c e v 积记为vo w 定义1 2 1 0 设a ， a ) 倒是一族半环若满足以下条件： ( 1 ) a 兀诺，a t ； ( 2 ) 2 对v i j ，几( a ) = a 1 其中仉是从a 到a 的投影映射 则a 称为半环a ， ，的次直积 4 第二章乘法矩形群半环 本章给出了乘法矩形群半环的定义和若干刻划，并给出了它的一些较好的性质 2 1 基本概念 定义2 1 1 半环s 称为乘法矩形群半环，是指它的乘法半群( s ，- ) 是矩形群 我们用i t e g 表示乘法矩形群半环类 设s 为半环，a s 若a + a = o ，则a 称为s 的加法幂等元；若a a = a ，则。 称为s 的乘法幂等元若半环s 中的所有元既是加法幂等元又是乘法幂等元，则称s 是幂等元半环这里指出，如不做特别说明，下文中的e ( s ) 均指半环s 的乘法幂等 元集合 若s 是纯整群，则可定义s 上二元关系y 如下： ( va ，b s ) a y b 咎a = a o b a o ，b = b o a b o 引理2 1 2 ( 2 】若s o ，则y 是s 上最小的c l i f f o r d 半群同余，且为幂等纯的， 并满足口= “y 定义2 1 3 若半环s 是e 中的成员，亦即它的乘法半群是群，则称s 为除半 环 我们知道：矩形群的乘法幂等元集合e ( s ) 是矩形带所以矩形带是特殊的纯整 群，并且不难证明二元关系y 是其上的最小的群同余下面的定理给出了r e g 中半 环的等价刻划，证明了矩形群上的同余y 为乘法矩形群半环上的半环同余 2 2 主要结论 定理2 2 1 若s e r ，则下列命题等价 f 1 ) s l k e g ； 5 ( 2 ) s 满足：a o b o a o = a o ； ( 3 ) s 6 c s ； ( 4 ) y 是s 上最小的除半环同余 证明( 3 ) 兮( 2 ) 辛( 1 ) 显然成立这里仅给出( 1 ) 辛( 4 ) 和( 4 ) 辛( 3 ) 的证明 ( 1 ) = 争( 4 ) 由上文所述已知y 是s 的乘法半群( s ，) 上最小的群同余，从而只 需证明y 是s 的加法半群( s ，+ ) 上的同余对任意的n ，b ，c s ，设nyb ，有： n+c=( 。+ c ) o ( + c ) ( n + c ) o = ( 。+ e ) o a ( a + c ) o + 如+ c ) o c ( 口+ c ) o = ( o + c ) o o o b a o ( a + c ) o + ( o + c ) o c ( a + c ) o = ( a + c ) o a 0 6 0 b b o a o ( 。+ c ) o + ( a + c ) o c ( d + c ) o = ( o + c ) 。6 0 6 6 0 ( + c ) o + ( o + c ) o c ( a + c ) 。 ( 由( e ( s ) 一( a + c ) 0 6 0 + c ) o 十( a + c ) o c ( a + c ) o = ( a + c ) o ( b + c ) ( + c ) 。 ( 由。y b ) ) 是矩形带) 同理可得：b + c = 伯+ c ) o ( 。+ c ) ( b + c ) o ，故a + cyb + c 类似地，可以证明c + nyc + b 从而y 是s 上最小的除半环同余 ( 4 ) = ( 3 ) 对任意的e f ) ，若j ，日( s ) ，使e ，则e = e ，= f e 又由 y 是s 上的最小除半环同余，故y 是幂等纯同余，且所有的乘法幂等元在同一y 一类 中从而有e y ，营e = e r e 和，= ，e ，= ( ，e ) ，= e f = e 故e 是本原幂等元由e 的任意性可知s 是完全单半群酬y 是群，显然是e _ 酉的，又因y 是幂等纯的，由 文【2 】2 引理i i 5 7 可知s 是e - 酉的，再由文【2 】命题i i 5 6 可得到s 是纯整的口 命题2 , 2 2 设s 直e g ，对任意的o ，b s ，下列命题等价： ( 1 ) 前c o n ( s ) ； ( 2 ) s 是e 与蛊b 中半环的直积，即s o 鱼b ； ( 3 ) s 是z ，g 和直z 中半环的次直积 证明( 1 ) 辛( 2 ) ( s ，- ) 是矩形群，由引理2 2 可知：心y = 西= u ( 泛关系) ，且 r ) ，是( s ，) 上的幂等纯同余，再由文 2 引理1 1 3 3 有：心n y = 恒等关系) 故半 环s 是酬饨和彤y 的直积这里( s 前，+ ，) a b ，由定理2 , 4 ，( 剐y ，+ ，) e ( 2 ) 兮( 1 ) i t 是e 中半环上泛关系，鸭是a b 中半环上恒等关系，从而饨是 e 直b 中半环上的同余 ( 2 ) 铮( 3 ) 由文【1 3 j 结论1 ，可直接得到口 引理2 2 3 1 ”】设( s ，+ ，) 是半环若( s ，) 是单的，( s ，+ ) 有一个幂等元，则 ( s ，+ ) 是带 推论2 2 4 若s r e g ，则下列命题等价： ( 1 ) ( aa s ) a + 。= ( 2 ) ( va s ) a + n = ， ( 3 ) ( s ，十) 是带 推论2 2 5 设s i k e g ，若s 至少存在一个加法幂等元，则对任意的，b s ， 下列命题等价： ( 1 ) i t c o n ( s ) ； ( 2 ) ( + 6 ) o = a o + b o 证明( 1 ) 号( 2 ) 由命题2 5 可知，存在同构映射妒：s s h s y ，o 一 ( 矗。，k ) 由引理2 , 6 可知：除半环中若有一个加法幂等元，则它的加法半群是带除 半环s y 的加法半群是带从而对任意的o ，b s ，| e ，e ( s ) ，使 n 妒= f f i 。，y o ) ，b q o = ( 直，k ) ，则护妒= ( 直。，l u ) ，护妒= ( 直，1 。) ， 其中l 。是群( s y ，) 的单位元那么 ( o o + 6 0 ) 妒= a o c p + 6 0 妒= ( 宜。，l ) + ( 矗，1 ) = ( 矗e 十，l v ) = ( 。+ 6 ) o 妒， 因为妒是同构映射，故有( a + 6 ) o = a o + b o ( 2 ) 垮( 1 ) 对任意的，b ，c s ，设口佗b ，则有： 扩= b o 辛n o + c o = b o + c o 净 沁+ c ) o = ( 6 + c ) o ，从而a + c i tb + c 同理可得：( c + 。) o = 如+ 6 ) o 故碡o o n ( s ) 口 7 第三章n b g 和o n b g 的性质和结构 本章主要的研究对象是n b g 和o n b g ，给出了这一类半环的一些较好的性质， 并利用文 1 4 中所提出的“( 2 , 2 ) 型代数的坚固构架”理论，得到了这类半环的坚固构 架结构另一方面，我们从完全正则半群上的几个重要的同余关系着手，对o n b g 中半环进行了不同角度的次直积分解 3 i 基本概念 文 2 】定理i v 1 6 对n b g 中的半群进行了一个非常完美的刻划，成为整篇论文 的根基性定理，在以后的论证分析中多次用到其定理表述如下： 定理3 1 2 f 2 】若s c r ，则下列命题等价： ( 1 ) s 是正规群带，即s n b g ； ( 2 ) s 是局部c l i f f o r d 半群； ( 3 ) s ( e ( s ) ) 满足2 ) - m a j o r i z a t i o n ； ( 4 ) s 是完全单半群的强半格； ( 5 ) s 是可能并上一个零元素的完全正则半群的次直积； ( 6 ) s s # v c s ； ( 7 ) s 满足等式：( a x y a ) o = ( a y x a ) o ； ( 8 ) s 没有子半群同构于如或磁； ( 9 ) s 上的自然偏序是相容的； ( 1 0 ) 对任意的。，z ，y s ，x y7 ty x 辛x a y7 - ty a x 引理3 1 3 1 2 1 设s = 【y ；& ，x 。月】是正规群带若a ，b 岛，则下列命题等 价： ( 1 ) a b ； ( 2 ) a p 且a x 。，口= 6 ； ( 3 ) b = b o a = a o b 8 显然6 n b g 是南b g 的一个子类所有n b g 具有的性质0 n b g 也具有，但 反之未妊成立另一方面，由定理3 1 2 我们知道：正规群带是完全单半群的强半格 那么易知正规纯整群带就是矩形群的强半格因此要想弄清6 n b g 的性质和结构， 应充分利用第一章中直e g 的结构和性质定理 3 2n b g 和0 n b g 中半环的性质 在第一章的介绍中，我们已知二元关系y 是纯整群上的最小c l i f f o r d 一半群同余， 并且证明了y 是乘法矩形群半环上的除半环同余，本章我们将证明y 是o n b g 中 半环上的最小的c l i f f o r d - 半环同余，即c - 同余 定理3 2 1 若s o n b g ，则y 是s 上的最小的e 同余，即s y 是乘法半群 为c l i f f o r d 半群的半环 证明s 的乘法半群( s ，) = 【y ；，) ( 。，口】是正规纯整群，故y 是( s ，) 上最小 的c l i f f o r d 半群同余从而只需要证明y 是s 的加法半群( s ，+ ) 上的同余对任意 的a ，b ，c s ，设oyb ，且，b & ，a + c s ，有： a + c = + c ) o ( o + c ) ( o + c ) o = ( d + c ) o a ( a + c ) o + ( a + c ) o c ( a + c ) o = ( a + c ) o 0 0 6 口o ( 盘+ c ) o + 如+ c ) o c ( o + c ) o ( 由。b ) = ( a + c ) o n o b o b b o a o 托+ c ) o + ( a + c ) o c ( a + c ) o = ( o + c ) o x l ，。1 a o x a ，钾垆) ( n ，。1 b b o a o ( o + c ) o + ( o + c ) o c ( o + c ) o ( 由( e ( & ，) ，) 是矩形带) = ( a + c ) o 疋7 ，州6 0 x 。，舯6 护扩0 + c ) o + ( o + c ) o c 如+ c ) o = ( a + c ) o b o b b o a o ( 口+ c ) o + ( o + c ) o c ( a + c ) o = ( o + c ) o b o b b o ( o + c ) o + ( a + c ) o c ( a + c ) o = 她+ c ) 0 6 ( 。+ c ) o + ( + c ) o c ( o + c ) o = ( n + c ) o ( 6 十c ) ( o + c ) o 同埋可得：b + c = ( 6 + c ) o ( 。+ c ) p + c ) o ，故a + c yb + e 类似地可以证明c + 。y c + b 9 从而y 是s 上最小的c l i f f o r d - 半环同余口 命题3 , 2 2 设s o n b g 若前c o n ( s ) ，则西c o n ( s ) 证明( s ，) 是正规纯整群由文【2 】命题i i56 可知：荷y = 移又由定理3 2l 知：y 是s 上的半环同余故西是s 上的半环同余口 我们知道：正规带是特殊的正规纯整群，即n b o n b g ，那么r b o n b g ， 且不难证明冗是n b 中半环上的同余从而由命题3 2 2 可以得到下面推论： 推论3 2 3 若s n b ，则西c o n ( s ) 在文 1 5 】中，有结论；西是r b n 玉中半环上的同余事实上，命题3 2 3 是 对上述结论的一个推广 命题3 , 2 4 设s o n b g 若充c o n ( s ) 且对任意的口中有一个加 法幂等元，则对任意的a ，b s ，满足：( 曲+ 6 n ) o = 护6 0 + b o a o 证明设( s ，) = 【y ；& ，x 。，口1 ，对任意的a ，b s ，刍a ，卢y ，使n & ，b 岛， 则a b ，b a 叉目由命题3 2 2 知西c o n ( s ) ，那么( s o 口，+ ，) 是s 的子半环，且 口r e g 又因h s 。口= h si s 。口c o n ( s 叩) ，由推论1 8 和文【2 j 定理1 1 8 5 有： ( 0 6 + 6 0 ) o = ( a b ) o + ( b o ) o = a o b 0 + b o a o 口 推论3 2 5 设s ( s n b g n 矗若元c o n ( s ) ，则s 满足；( a b + 6 0 ) o = a o b o + b o a o 定理3 2 6 若s 6 n e e ，则下列命题等价： ( 1 ) s 是族子半环 & ) ( 口y ) 的并，其中鼠l k e g ； ( 2 ) s 是一族子半环 ) 陋y ) 的无交并，其中i k e g ； ( 3 ) s 蛊e g 。t f 4 ) d c o n ( s ) 证明( 3 ) = ( 2 ) 和( 2 ) 辛( 1 ) 显然成立 ( 4 ) 净( 3 ) 由西是s 的乘法半群( s ，) 上的半格同余，故s 西，而每一个 西一类都是l k e g 中的成员从而s l k e g 。当f ( 1 ) = ( 4 ) 设半环s 是r e g 中一族子半环 ) ( n y ) 的并，则s o 一定包含 】0 于s 的某个峦类，那么s 的每个办类都是s 的子半环从而，移是s 上的同余 口 推论3 2 7 若s n b g ，则下列命题等价： ( 1 ) s 是一族子半环 & ) 江y ) 的并，其中0 s ； ( 2 ) s 是一族子半环 & ) ( n y ) 的无交并，其中炙c s ； ( 3 ) s 0 s 。宫t ( 4 ) 西c o n ( s ) 定理3 , 2 8 设s o n b g ，若砬c o n ( s ) ，则s 是n b 和e 中半环的次直 积 证明 由文【2 】知：7 i 是正规纯整群上的正规带同余，故( s f ，+ ，) n b 由 定理3 , 2l 知，y 是s 上最小的e 一同余，即( 彤y ，十，) e ，因为y 为幂等纯的， 则有h n y = e 从而s 是s 饨与s y 的次直积 命题3 2 9 设s o n d o 若s 满足：缸+ 6 ) o ：口o + b o ，则是- 5 上的r n b 。 同余 证明由文 2 】知t z 是s 的乘法半群上的右正规带同余下面证明：也是 s 的加法半群上的同余设居( s ) = 。f 口研，那么( e ( s ) ，+ ，) 妇由文 1 剐 知，是e ( s ) 上的半环同余对任意的。，6 ，c s ，设口b ，则有： 口o b o 净0 0 + c 0 6 0 + c o = ( 口+ c ) o ( 6 + c ) o 辛o + c ( 。+ c ) o ( b + c ) o b + c 类似地可以证明：c + 。c + b 从而是s 上的r n b 一同余口 对偶她，我们可以证明：设s o n b g 若s 满足：( o + 6 ) o = a o + 6 0 ，则7 乏是 s 上的n b 同余 推论3 2 1 0 设s o n b g 若s 满足下列条件之一 ( 1 ) 谴c o n ( s ) ； ( 2 ) 扣+ 6 ) o = a o + b o 则s 是l n b ，e 和r n b 中半环的次直积 证明由文【1 6 】知：n b = 亡n b v i i n b 那么当s 满足条件( 1 ) 时，由定理3 2 8 可得，s 是l n b ，e 和r n b 中半环的次直积当s 满足条件( 2 ) 时，由命题3 29 ， z 和诧分别是s 上的l k n b 一同余和l n b 同余，又因为n 宠n y ：矗n y 一! 由引理1 24 ，故s 是s e n b ，s y e 和s 诧i ：t n b 的次直积 口 3 3o n b g 的坚固构架结构 这一节我们将给出o n b g 及n b g 中半环的坚固构架结构首先在这里引入赵 宪钟教授在文【1 4 】中所提出的( 2 , 2 ) 型代数的坚固构架结构的概念及相关结论 定义3 3 1 f 1 4 jb 是构架，是指在( 2 , 2 ) 型代数上定义一个下半格偏序关系并满足 下列条件： o ab a + b ，a b sa b 对任意的a ，b b ，这里a b = 9 2 由( 口，b ) 一个下半格序的幂等的( 2 , 2 ) 型代数是指一个( 2 , 2 ) 型代数满足下列等式：x + x = z = x x ，且其上定义的下半格偏序“”关于口上的“+ ”和4 ”是相容的设 ( b ，十，) 是一个下半格序的幂等的( 2 , 2 ) 型代数对任意的a ，b b 因o a bs a ，故 有a b = 口ab + a a b a + o b a + b 类似地可得： aab a b 这样就证明了 ( b ，+ ，) 满足构架的条件从而我们知道：一个下半格偏序的幂等的( 2 , 2 ) 型代 数是一个构架但反之却未必成立设s 是一个具有下列“+ ”和“”运算的构架： 且其下半格序“s ”如下定义 u 讳t 工廿= 封u = u 、 然而s 不是一个下半格序的幂等的( 2 , 2 ) 型代数，因为n 6 ，0 + a = n 盛6 = b 十a ( “s ”与“+ ”不相容) 在半群的理论中有“半群的坚固半格”的概念，文 1 4 将这个概念延拓到了( 2 ，2 ) 型代数上，即有了下面的“( 2 ，2 ) 型代数的坚固构架”的概念 定义3 3 2 【1 q 设 ( & ，+ ，) jo b ) 是族不相交的( 2 , 2 ) 型代数，其中b 是 构架，对任意的。，- y b ，妒郇：咒一昂伊a ) 是单同态，且满足下列条件： ( 1 ) 妒。= l s 。； ( 2 ) 如果 ，p o t ，那么妒。，p 妒卢，1 = 妒。，； ( 3 ) 如果7 sa 卢，那么 妒。7 + - s 1 日妒口，1 十卢妒a + 口，7 s 。l p 。h s 3 妒。1 至s 。8 中。8 h 如果s = u 。e b ，对任意的o s 。 b 昂，在s 上定义如下运算： 。+ b = ( o 妒口，憎4 - 嘶，n 口) _ p n - + 1 口。 卢 a b = ( n 妒a , c 。 f 1 6 妒8 ，。 p ) 妒荔，。 口 那么( s ，+ ，) 仍是( 2 ，2 ) 型代数，记为s 一【_ b ，；，妒。，8 ，称为( 2 ，2 ) 型代数& 的 坚固构架 命题3 3 3 设b s e 若在b 上定义下半格偏序“s ”如下： o s6 甘a b = 口 那么b 是一个构槊 证明对任意的口，b 口，显然有a b n ，a b 兰b 那么 ( a ( 0 + b ) = ( o ab ) a + ( 。ab ) b = ( o ab ) + ( o ab ) = 。a b 由b 蓟，故有恤 6 ) ( 。+ 6 ) = ( 。+ b ) ( 6 ) = n a b 从而a a b 曼o + b - 同样地，有 ( 口ab ) a b = f ( o ab ) a l b = 扣a6 ) 6 = a ab = a b ( a a6 ) 13 从而aab o b 因此b 是一个构架 口 定理3 3 扩4 ) 设s = ( b ，；s o ，妒。，口】若在s 上定义二元关系0 + 如下： ( ，b s ) a 0 4 b 营。妒a , o a 0 = 咖口m 口 则0 + 是s 上的同余，且s 是b 和s o 。的次直积 有了上面相关知识的介绍，下面我们给出0 n b g 及i i b g 中半环的坚固构架结 构 定理3 35 设s o n b g 若西c o n ( s ) ，则s 是半环f t e g 的坚固构 架b ，即s = f b ，s ；s o ，x n ，口】当且仅当( s ，) 是矩形群的坚固半格 证明必要性是显然的只需要证明充分性设s ( ) n b g ，西c o n ( s ) ，且 ( s ，) 是矩形群的坚固半格由文f 2 中定理i v 16 和定理i v ，1 7 可知：( s ，- ) = 【b ；s 。，x 。，口】，其中卢o ，b = s d ，且s 的每一个吐类就是s 。，而x 。，口是从矩形 群( & ，) 到矩形群( 昂，) 的单阊态 x a ，p ：s o _ 昂，a a z ( a ) ， 这里即是品中唯一满足。口口的元素事实上。西是s 上的乒同余，即 b = ( 剐口，+ ，) s g 在日上定义一个下半格偏序：( v 皿b b ) 。b 辛a b = ， 由命题3 3 3 可知，b 是个构架另一方面，我们知道：半环s 的每一个n 类咒 是r e g 中的半环， 下面证明：x 郇是半群( & ，+ ) 到半群( s 口，+ ) 上的同态对任意的q p b ，且 卢so 和任意的a ，b & ，j8 口，历，9 8 e ( 勘) ，使 n ) ( 目= 。8 日= e o a ，b x a 口= b s o = f e b 和( a + b ) x 。，口= + b ) g o = 9 口( n + b ) 则 f 口+ b ) g o = a g e + b g o = e o a g o + b g z ( 由文【2 定理i v l 3 和定理i v l6 ) = a e f l 9 a lb z g z = ( 口e 口+ 6 办) 卯 对偶地可得：( a + b ) g z = g z ( a + b ) ；卯( o 印+ t 岛) ，由正则半群上自然偏序关系的定 1 4 义，有： ( a + 6 ) 卯0 8 日+ b 局又由文【2 知：完全单半群中自然偏序关系为恒等关 系故有( o + 6 ) 卯= n 印+ 6 如辛( a + b ) x 。，口= a x 。口+ b x 郇由a ，卢的任意性，每个 x 即是从半环咒到半环岛的半环同态最后，我们来考察s 上的运算对任意的 a s o ，b 品，由于( s ，) 是矩形群的坚固半格，显然有： a b = ( o ，a p ) ( 6 ) ( 口。 d ) 】x 矗。 口 对于s 上的加法运算，我们为了证明： o + b = ( a x ” 口+ b x z ，。 口) x 暑跏 口， 只需证明： ( a + b ) x a + 口，a 口= a x a d 口+ b x z ，n 口 再次利用“完全单半群中的偏序关系是恒等关系”来证明，方法类似于上述，这里不 再赘述这样就证明了s = 【b ，；，) ( 础】是直e g 中的半环鼠的坚固构架b 口 推论3 3 6 设s r b g 若西c o n ( s ) ，则s 是半环& 鲍的坚固构架b ， 即s = 【b ，；，x 印】当且仅当( s ，) 是完全单半群的坚固半格 设s = 【y ；& ，) ( 。，口 o n b g ，若在s 上定义二元关系日如下： ( a es a ，b 昂，7 q p ) a o b 铮a x 。t = b x z ，1 ， 则9 是s 上最小的矩形群同余( 由文 2 】) 这里的口与定理3 5 中定义的在( 2 , 2 ) 型代数的坚固构架意义下的扩是一致的， 从而我们可以得到下面结论： 7 定理3 3 7 设s ( ) n b g 若西c o n ( s ) ，则s 是舭g 与劬中半