（基础数学专业论文）zk作用的原像熵.pdf

学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文z k 作用的原像熵，是在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：张文达 砩年争月日 烯认c 警，：办j 支 b p 年午月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河：l t ! j f f i 范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：了长爻达 - 币年午月6 日z d o 叭年- 篆矿、哼 够月同 我们在本文中 续映射为生成元的 及z 生作用的原像关系熵文中的主要结果是：( 1 ) 讨论了这几类熵之间的关系，得 出了联系所引入的各类熵的不等式( 2 ) 对正向可扩系统，我们不仅证明了两类点原 像熵相等，并且原像分枝熵等于原像关系熵( 3 ) 给出了两类具有零原像分枝熵的 系统：( a ) 由闭r i e m a n n 流形上的一个扩张映射经充分小的c 1 扰动生成的系统，以 及( b ) 有限图上的等度连续系统 关键词：连续自映射序列z 晕作用的拓扑熵z 晕作用的原像熵 i i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e lf o u re n t r o p y l i k ei n v a r i a n t so fz ：a c t i o n sg i v e nb ys p a n n i n gs e t sa n d s e p a r a t e ds e t so fac o m p a c tm e t r i cs p a c ew h o s eg e n e r a t o r sa r e 后c o m m u t i n gc o n t i n u o u s m a p sa r ei n t r o d u c e da n ds t u d i e d t h em a i nr e s u l t sa r e ：( 1 ) t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e s e e n t r o p i e sa r ee s t a b l i s h e d ( 2 ) f o rp o s i t i v e l ye x p a n s i v es y s t e m s ，t w ot y p e so fp o i n t w i s e p r e i m a g ee n t r o p i e sa r ee q u a l ，a n dt h ep r e i m a g eb r a n c he n t r o p ya n dt h ep r e i m a g er e l a - t i o ne n t r o p ya r ee q u a lt o o ( 3 ) t w oc l a s s e so fs y s t e m s ：( a ) as y s t e mg e n e r a t e db ys m a l l - p e r t u r b a t i o n so fa ne x p a n d i n gm a po nac l o s e dr i e m m a n i a nm a n i f o l d ，a n d ( b ) a s y s t e mg e n e r a t e db ye q u i c o n t i n u o u sm a p sd e f i n e do n af i n i t eg r a p h ，h a v ez e r op r e i m a g e b r a n c he n t r o p y k e yw o r d s ：s e q u e n c eo fc o n t i n u o u ss e l f - m a p s t o p o l o g i c a le n t r o p yo fz 七+ - a c t i o n s p r e - i m a g ee n t r o p yo fz k + a c t i o n s v 了 中文摘 英文摘 引言 第一章 第二章 第三章 第四章 附录 参考文 致谢 轨道复杂性的概念 家k a t o k 更是将之誉 i nd y n a m i c s ) ”【1 】 熵于1 9 5 8 年被k o l m o g o r o v z j 入到遍历论的研究之中，其后，a d l e r 等人针对紧度 量空间上的连续映射生成的拓扑动力系统给出了拓扑熵的概念测度熵和拓扑 熵分别在统计学和拓扑学的意义下描述了系统轨道个数随时间演化的指数增长 率经过多年的研究与发展，熵及其相关动力性质的研究已取得了丰富的成果，参 见【1 】 2 】随着研究的深入，人们针对更复杂的系统，从更多的侧面和角度对熵的 性质进行探究和阐释 一方面，基于格系统统计力学研究的需要，r u e l l e 【3 】引入了紧致度量空间 上舻作用的测度熵和拓扑熵的定义，并探讨了它们之间的联系其后，m i s i u r e w i c z 【4 】给出了z n 作用的熵的变分原理的一个优美的证明和通常的由一个映射迭代生 成的动力系统( 即z 1 或z 三作用) 相比，矽或z 2 作用的熵的研究远为困难，相关研 究及最新进展可参见文献【5 】、【6 】和【7 】 另一方面，从熵的定义可以看出，它所描述的是系统正向轨道的增长率，特别 地，对于紧致空间上的同胚映射而言，系统与其逆映射系统的拓扑熵是相同的一 个自然的问题是：对连续的不可逆映射来说，如何利用逆向“轨道”来刻画系统的 复杂性呢? 2 0 世纪9 0 年代，h u r l e y 【8 】，n i t e c k i 【9 】等人在此方向上首开先河，他们借 助逆向“轨道”个数的增长率给出了类似于拓扑熵的一个共轭不变量一原像熵， 并对其给予了深入研究其后，c h e n g 和n e w h o u s e 【1 0 】以及z h u 【1 1 】等人在原像熵 的研究中取得了一批重要的成果 本文的目的是将原像熵合理地引入到z 至作用的研究中，并对它的性质以及 与z 2 作用的熵的关系进行细致的研究 在第一节我们给出一种z 晕作用的拓扑熵危( t ) 接着定义这种类型的拓扑熵 的各类原像熵在第二节中我们讨论了这几类原像熵以及它们与拓扑熵 ( t ) 的 1 关系第三节证明了若系统丁为正向可扩的，则( t ) = h m ( t ) ，h i ( t ) = h t ( t ) ，有 关h p ( t ) ，h m ( t ) ，h i ( t ) ，h r ( t ) 的具体定义我们将在第一节给出在第p n q 节中我们证 明了：( a ) 若系统t 是由闭r i e m a n n 流形上的一个扩张映射经c 1 一小扰动生成的，或 者( b ) 有限图上等度连续的自映射序列生成的，都有h i ( t ) = 0 在附录部分，我们基 于k l a u ss c h m i d t 给的z 七作用的熵，定义的一种新的z 砖作用的熵，并讨论了这类熵的 一些性质 下面首先引入一些基本定义和记号 设 ， 为紧致度量空间( x ，6 ) 上的连续映射，并且它们在x 上的作用 具有交换性，即五( 乃( z ) ) = 乃( 五( z ) ) 对任意i ，j 1 ，七) 以及z x 均成立 称t 为x 上的z 晕作用，若t ：z 晕xx _ x 满足条件： ( i ) t ( o ，x ) = z ； ( i i ) t ( s + t ，x ) = t ( s ，t ( 亡，z ) ) ，其中。为半群z 车的单位元，8 ，t 为半群z 晕中的任意 两个元素 设x 为如下序列的集合 x = ( z n ) n n x ：五( z 几) = x n + l ，1 i 七；若i k l n ，则z n = ( 。 ) 鼍( z o ) ) n e l 4 1 集合) ( 便是空n x 中的任意一点z o 在以 ， 为生成元的z 晕作用下遍历点 集p 的所有轨道，它是紧度量空间兀n z + x 的闭子集，因而也是兀n z + x 的紧子集 关于t i k h o n o v 拓扑，其中= ( o o ) 豫( x o ) l z n ) 由于集合x 为可数集，故集 合x 与正整数集z + 对等，从而存在一一映射妒， 妒：z + _ x ，sh ( z 擘) n n 记( 矗1 ，詹) 篷：幻：后为与序列妒( s ) 相对应的由 ， 的迭代而形成 的x 上的连续自映射序列，用臂表示该序列中第n 个映射记必：) = 群n 1 ) 。 。燃。z 引，( 必：) ) 一l = ( 疗) 一l 。( 粥) 一1 。( 啦乙一。) ) 一用q z 表示边长为f 的 方体，即q z = 兀名1 0 j ，1 1 ，其中呜表示第歹坐标的坐标原点 2 第一章z 茔作用的拓扑熵及其原像熵 首先我们给出与系统( 矗1 ，髭) 譬；一k 相对应的基于x 上的度量6 的 三种度量，进而利用与这三种度量相关联的分离集和生成集定义系 - 统( j t l ，以) 譬；一七的拓扑熵以及各类原像熵 设6 + 是系统( 矗，綮) 譬i ：k 上的任意度量，对任意 o 以及x 的紧致子 集k ，称ecx 为k 的( ( 允1 ，詹) 譬3 i j ：南，扩) 生成集，如果对任意的可k 都 存在可e ，使得扩( y ，) e 用符号r ( ( 彳1 ，话) 孚尹3 i j = k e ，扩，k ) 表示紧致 子集k 的所有( ( 矗1 ，蠢) 等f ：i ，：知，6 + ) 一生成集的基数的下确界，由k 的紧致性 知r ( ( 矗1 ，疋) 譬? i ，：七，扩) 记s ( ( 矗1 ，綮) 善：i 。：七，e ，扩，k ) 为k 的所有 ( ( 矗t ，髭t ) 譬i k ，e ，扩) 一分离集的基数的上确界，类似于文 2 】很容易证明如下 - 一= 1 j 结论： r ( ( 允1 ，髭厶( s ，o ：0 ：如：矗，扩，k ) s ( ( n 结) 基后，扩，k ) r ( ( 允1 ，。) 毫：巧：七，丢，扩，k ) ( 1 1 ) 对于x 的连续自映射序列( 矗1 ，k 讪篷：如：七以及任意的正整数f ，如下定 义x 上的度量d 馏： 诎删) = 唆m 姆a x 。) 刑引，y 其中z 孑= z ，沿2 可 定义1 i z 生作用t 的拓扑熵 = 。s u p 。l i r a l 1 i m s u p 丽1l 。g ( r ( ( n 删f k i k 、( s , 加c 日) ：扩，( s ，x ) ) = 。s 吼u p l i r al i i l ls u p 两11 。g ( s ( ( n ) 篷b d 怂x ) ) 3 称 l i m 0 1 i m ；一s 。u p 啬l 。g ( r ( ( 矗1 ，路) 篆：幻：七，d ；，x ) ) = p l i m 。l i m 。s 。u p 丽11 。g ( s ( ( 矗1 ，丘) 譬：。：七，硪，x ) ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 为连续自映射序列( 矗1 ，咒) 譬。；：蠡的拓扑熵，记作允( ( 彳1 ，詹) 譬i 一k ) 厶，= 1 j 一“厶j = 1q 一6 定义1 2 ( 矗1 ，綮) e 8 j ，= ：如：七的两类点原像熵的定义为 危p ( ( 彳1 ，赍) e 。? j ，= 0 七) = 础s u p l i ml i m s u p 两11 0 9 ( r ( ( 肌驯f k i k 、( s , 孙o c ) 圳默( s 撤f ) ) 一1 ( z ) ) ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 确定 巧2 七 的分枝的h a u s d o 峨量d 笾6 如下：对任意z x ，记t 甾( z ) 为z 的直到f 阶原像树，即 t 笾( z ) = 玑，玑一1 ，y ly o = z 1 0 t k l , 且对1 j ，髭2 j + 1 ( 协) = y j - x ) 杨, t a “l ( z ) 的有序集= 甑，玑一1 ，y l 珈= z 为原像树t 甾( z ) 的分枝，称f 去1 为分 枝p 的阶 设 p = 卧，玑一1 ，y 。，珈= x l t 2 ( z ) ，p = 瓯，玩一1 ，y i ，磊= 叫t 笾( z 7 ) 定义 它们之间的分枝距离为 驴棚p 卜 篓l = 锯弘 y - 是对任意i f _ 整数z ，可以在x 上定义d 2 击) ，使得d 2 七) x ，z 7 ) e ，蕴含着 对t 2 ( z ) 的分枝p ，存在t ( z 7 ) 的分枝p ，满足d ( 如( p ，p 7 ) 0 ，都 有d 接r ( z ，秒) o + 故根据d 捻7 的定义分别存在调整映射 皿：t 2 ( z ) _ t 2 ( 可) ，皿：t 2 ( 可) _ t 2 ( z ) ， 满足( 皿) n + ，这就意味着对t 拶( z ) 的任意分枝，都存在t g ) 的分枝田( p ) ， 满足d ( 8 ，6 ) ( p ，皿( p ) ) o + 并且( 皿) o + ，从而对t 笾( 可) 的任意分枝p 7 ，都存 在t 甾( z ) 的分枝皿7 ( p 7 ) ，满足d ( 8 ，6 ) ( p ，皿7 ( p 7 ) ) 口+ 从而d ；i 6 ( z ，可) n + 再根 据的任意性，便可得到不等式( 1 8 ) ( 3 ) 设o e 1 ，e 为x 的一个极大的( ( 片1 ，詹) 譬i b ， 一d 塘l ( s , b ) ) 一分离集，对任意z x ，i d f ( z ) 为集合( 檄z ) ) 一1 ( z ) 的一个极小的( ，磙) 生成 集若令f = uf ( z ) ，即e 中所有点的七f 步原像集的( ，d ；) 一生成集的并 下面证明f 为x 的一个( ( 矗1 ，船) 譬；一蠡，e ，趔i ) 生成集对任意z x ，设u 2 “& z ) ( z ) ，由于e 为x 的极大的( ( 矗1 ，赍) 蓬：i i = k ，d f ) 一分离 集，故要么u e 此时对任意的可e 都有d ；，可) 要么存 在z e 使得趣；6 ( u ，z ) 从而对2 阶原像树t 譬( u ) 中以为z 端点的分 枝p = k ，矗矗) ( z ) ，矗是) ( z ) ，一f ) ( z ) = 卅必存在吨( 之) 的某个分枝，满 足d ( 8 6 ) ( p ，卢) 因为 d i a m ( x ) ，从而p 与p 7 的阶数相同不妨设： k f ，银f 1 7 名1 ，询= 名】，则旗x ，钰f ) 又由于f ( z ) 为集合( 撤z ) ) 一1 ( 彳) 的极 小( ，娥) 一牛成集，故对于锄( 矗如) ) _ 1 ( z ) ，存在秒f ( z ) ，满足磙( 可，讯z ) 从 而有 d 接( z ，秒) d ；i ( z ，z 埘) + 趔：( 可，z 肼) l 。称常 数l s 为映射序列( 一1 ，詹) 兽羔：i j = k 的可扩常数若对任意s z + ，映射序 列( 矗1 一s ，i 。) 譬i 一玉均为正向可扩的，则称t 为正向可扩的 根据定义对正向可扩系统( x ，( 片1 ，髭) 譬；一 ) 而言，对任意f 1 ， 厶j _ - - 1 3 一“ ( 矗岛) - 1 ( z ) 为其自身的( d 甾，l 。) - 分离集 为证明系统( x ，( s t l ，綮) 燕：i ，：七) 满足 ( ( 矗1 ，f 七k i k ，、( s , 譬。c ：幻：后) = 危m ( ( 矗1 ，咒) 篷1 岛：七) 厶j = l ，一“厶j = ，一“ 我们先给出如下两个引理 in 3 1 设连续自映射序列( 矗1 ，赍) 警：如：南为正向可扩的，对任意f z + ，映射圣f ：x _ n ，zhc a 7 d t t f ( 8 ) 一1 ( z ) ) 是上半连续的 证明：对任意x o x ，z z + ，映射锄( z ) 在z o 处上半连续，当且仅当对任 意 z n ) 黯1 ，若l i r a ，z n x o ，萑j l i m s u p 圣t ( x n ) 哦( 知) 根据x 的紧致性，对任 意 0 ，2 l ，x 的( d 篙，e ) 一分离集的基数有上界由于对任意正整数f 和z x ， ( 矗! ；! f ) 一t ( z ) 为其自身的一个( 武，三。) 分离集，从而亦为x 的一个( d 2 ，l 。) 一分离集， 所以存在m 0 ，满足毋警c a t d ( ( ，i 笛) - 1 ( z ) ) m 故对任意z i z n ) 罂1 ，都有 西f ( z i ) m ，又因为闭区间【o ，m 是紧致的，从而存在有限个正整数口1 ，q m m 为 圣f ( 娩) ) 墨1 的聚点 令g = m a x q 1 ，口m 】，下面证明口 中z ( z o ) ) 叭 1 0 不失一般性不妨设对任意耽x n 器1 都有圣f ( z i ) 设( 矗盘) ) 一1 ( 甄) = = q ，从而可 犰2 ，y i 1 ，y i q ，根据x 的紧致性对任意歹 1 ，g ) 点 列 玑j ) 薹l 必有收敛子列设当i _ o 。时，y i j y j ，从而协( 一笛) - 1 ( z o ) 又 因为映射序列( 矗1 ，) 篷：巧：砖为正向可扩的，故对任意i z + ，若歹j 贝j j 有d 甾( 轨，f ，) l 。，从而d 甾( 蚴，) l 。 于是我们得n c t ( z o ) q = l i ms u p 哦( z n ) 设图g 为一有向图，y ( g ) 表不它的 页点集若存在v o y ( g ) 满足条件： 对任意秽y ( g ) 都存在唯一一条v o n v 的道路，则称图g 是以如为根的树，且 记g = g ( 珈) ) ，记川为从v o n v 能j 道路的边数根据川的值我们对顶点集y ( g ) 分类： y t ( v o ) ：= v v ( a ) l l v i = 亡，t ) 从而c a r d ( v l ( v o ) ) 便是从如出发的边的条数， 称之为如的出度 引理3 2 ( 见文 1 2 g l 理1 1 ) 设g = y ( g ) 是根为u o 的树，该树所有顶点的出度 均小于等于m ，而且存在n 以及入1 ，i 蔫y c a r d ( k ( 如) ) ，则对任意使 ( 争1 o ， 则存在z x 满足对任意f n ，c a r d ( ( f 2 z ) 一1 ( z ) ) 入纠进而 ( ( 肌路) 篷k ) = k ( ( n 船) 篷b ) 证明： 当a = 1 时，因为对任意属于集合n 篷1 矗毫( x ) 的点z ，都有c a r d ( ( 一) 一1 ( z ) ) 下面证明a 1 的情形由于映射中z ：x n 上半连续，x 为紧度量空间，故函 数锄( z ) 在x 上有上界且存在z o x 满足圣f ( z o ) 的值为圣f ( z ) 在x 上的上界，从而可 设n n - m a x ，( z ) 由于对任意正整数m ，n 都有o ( r e + n ) a m a n ，即序列 q 满 足次可乘性，从而序歹u l o g a n 是1 具有次可加性根据文【1 】的定n 4 9 有l o g a = i n fn 5l o ga n 于是有去l o g ( a n ) l o g 入即。礼入础任选一收敛于入的每项均大 于1 的单调递增数列 a n 是，对任意确定h = k h 的都存在n ( h ) h = k h 满足 a 1 ) h - i 丽a n ( h ) 。( 护2 帮 取x h x 使得圣( h ) ( z _ 1 ) = o ( 日) 构造根为x h 的树g _ l ，使得v i k ( x h ) = ( 疋戋) ) - 1 ( z l 1 ) 由( 片1 ，咒) 譬：i 声七的可扩性知存在m 使得g 的所有顶点的外 度不超过m ，根据引理4 ，3 可知存在z h x ，满足对任意1 i 九都有哦( z h ) a 誓 从而可知集合x h ：= x x i 圣i ( z ) 入恣，1 i ) 非空并且为闭集，这 是根据函数4 ) i 的上半连续性推得的又由于数列 a ) 单调递增，即h a h + l ， 故x h + lcx h 进而根据x 的紧致性f q h 1 x h 仍又因为1 i ma h = 入，故对任 意z n h l x 以及任意n 有中nx ) 2a n k 再根据两类点原像熵的定义立即可得 ( ( 矗1 ，髭，( 8 ；0 ：0 ：奶：七) = m ( ( 彳1 ，詹) ( s , 名0 0 ：弓：七) 推论3 4 设系统t 为正向可扩的，并且对任意正整数8 都有 k ( ( n f i ) 塞岛) o ， 则( t ) = h m ( t ) 命题3 5 设连续自映射序列( 片i l ，) 篷：如：七为正向可扩的，则 1 2 ( ( 骨，话) 篆名七) = k ( ( 肌路) ( 8 ) 岛0 0 ：七) 证明：根据定理1 1 的( 2 ) 我们已经有 吃( ( n ) 篷k ( ( 玑以。) 篷矗) ， 故仅需证明不等式 吃( ( n ，k 讪篷0 七) k ( ( n 髭。) 毫岛) 令 = 丘4 ，其中l 。为( 矗1 ，髭2 ) 譬i 一 的可扩常数 然后我们根 据玩( ( 彳1 ，碚) 曼薹：咕：后) 及k ( ( 允1 ，咒i k ) ( 8 , ；o ：o ：弓：七) 的定义，仅需证明对任意 的正整数咙l 及任, - e t , 的z ，y x ，只要d 琏6 ( z ，y ) 就有盛r ( z ，y ) o o 然而由于 系统( 矗，路) 譬m 为正向可扩的，所以z 和y 的原像树砭；( z ) 和磙；( y ) 之间存 在自然的调整映射皿且该映射为双射，使得( ) = d 笾6 ( z ，可) 进而有d 甾r ( z ，y ) d 甾6 ( z ，y ) 在结合定理1 1 的( 2 ) 的证明过程有d 甾，( z ，y ) = d ( s l , b ) x ，可) ，从而 ( ( 一1 ，) 塞：如：丘) = 坼( ( 彳1 ，髭。) 褰：妨：七) 推论3 6 设系统t 为正向可扩的，则玩( t ) = h r ( t ) 1 3 第四章两类具有零原像分枝熵的系统 根据文【9 】，我们知道对于紧度量空间上的正向可扩自覆盖映射和有限图上的 连续自映射来说具有零原像分枝熵本节我们也将给出两类有零原像分枝熵的 系统：( a ) e h 闭r i e m a n n 流形上的一个扩张映射经充分小的c 1 扰动生成的系统，以 及( b ) 有限图上的等度连续系统 设m 为一闭r i e m a n n 流形，l i i | 和d ( ，) y y 别表示由该流形上的一个黎曼度 量( ，) 所诱导的切丛t m 上的范数和m 上的度量称m 上的c 1 自映射f ：m _ m 为扩张的，若存在常数c 0 ，a 1 满足对任意u 瓦m ，有 t f n ( u ) 怆c a n0vi i ，n = 1 ，2 ， 通过选取与( ，) 等价的度量，我们可以做n c = 1 ，于是不妨设c = 1 ，并入称 为厂的扩张常数 定理4 1 若自映射序列( 允1 ，结) 譬i 一k 是由m 上的一个扩张映射，经过 厶i = 1 j 一1 充分小的c 1 扰动生成的，则 鬼( ( 肌船) 肇0 七) 姐 证明：根据文 4 】扩张映射，是自覆盖映射，即，是m 到m 的局部同胚的满的 开映射，并r f f i m 任意一点可，- 1 ( 可) 是中m 的离散集，且，一1 ( 可) 的基数不依赖 于秒的选取又因为m 是紧致的，且自映射序列( 矗1 ，维) 塞：。：七是由厂经过 充分小的c 1 一扰动生成的，从而可以取到常数l o 满足对任意的j = 1 ，2 和任 意z x 的都有 ( 乃8 ) 一1 ( b ( z ，鲁) ) = 巧“z ) u 巧，2 ( z ) u - uk 州z ) ( z ) ， 其中k ，p ( z ) n 巧，。( z ) = 仍( p q , p ，口= 1 ，2 ，后( z ) ) ，而且乃8 k h ( z ) ：k ， ( z ) _ b ( x ，譬) ，h = 1 ，2 ，七( z ) 是微分同胚并且扩张映射，还是结构稳定的，从而 只要对厂的c 1 扰动充分小，则可以取到常数0 入o 入( 入为厂的扩张常数) ，满足 1 4 对任意的可，z ( z ) ，h = 1 ，2 ，尼( z ) 都有d ( 一纠( 可) ，爿刚( z ) ) a o d ( y ，z ) 再根 据一刚( 巧 ( z ) ) = j e 7 ( z ，等) 及力副在巧 ( z ) 上是扩张的，可知d i a m ( 巧? | i l ( z ) ) l o 下面证明当d ( z ，y ) l o 时，对任意正整数f ，如士t 3a k 8 l 圳x ，y ) = d ( x ，可) 事实上， 对f 阶原像树砭；( z ) 的每个分枝p = 【x k l ，x k l 一1 7 z l ，z o 】，可以按如下方式归纳地 选择2 阶原像树砭；( 可) 上的一个分枝= 可她可削一l ，y l ，蜘】：首先取y o = y 因 为矗；( z 1 ) = x o = z ，并且( 程；) _ 1 ( b ( z ，争) ) = y k l ：1 ( z ) uk z ，2 ( z ) u uk z ? 七( z ) ( z ) ， 其c p v k z p ( z ) nv k t j q ( z ) = o ( p 口，p ，口= 1 ，2 ，七( z ) ) ，而且矗纠。( z ) 是微分同 胚，故必然存在唯一一个k z ，j ( z ) ，使得x l u k z j ( z ) 又由于y b ( x ，譬) 所以必可 以找到一点y l k z ，j ( z ) ，满足矗；( 可1 ) = y o = y 接着从j ( z ) 出发，由于z 1 ，y l k z ，j ( z ) 币jn d i a m ( v k l , j ( z ) ) l o 重复上面的过程即可取到沈，使得d ( x 2 ，y 2 ) l o ， 且矗芏1 ( 现) = y 1 按这种方式得到的的砭；( 可) 分枝p = f y k l ，y k l l ，y l ，珈】，即满 足d ( 5 ，6 ) ( p ，p 7 ) = d ( x ，y ) 由p 的任意性就有d ( 一8 ( y ) ，i f ，) ( z ) ) a o d ( y ，z ) 从而对任 意的o o ，存在6 0 ，使得当d ( z ，y ) 6 时，d ( 粥) ( z ) ，粥) ( ) ) e 取x 的满足每个原子的长度均小于等于6 的分划p 接着从分划岛= p 出发构造由( 矗1 ，詹) 篆：咕：知诱导的分划序列 岛( ( 矗1 ，以) 塞：幻：岛) ，r ( ( 爿1 ，謦) 塞：妨：七) 定义映射序列( 夕i 1 ，夕挚) 篷：易：蠡，其中( 羹8 = ( 制然后构造以 r ( ( 片1 ，詹) 塞：巧：膏) 作为新的岛由映射序列( 夕；1 ，夕) 肇：如：七诱导的分划 序列 只( ( “9 k k 、篷k ) ，江1 ，2 根据引理1 1 2 可得，对任意给定的非负整数m ，若z 和y 属于分划的同一原子的内部， 则 d 篇。) n 七( z ，可) 于是从分划p m ( ( 9 i 1 ，夕) 錾：幻：七) 对应的每个原子中取一个内点加到 p m ( ( 夕；1 ，9 窘) 篷：幻：七) 中形成的新集合便为x 的一个( ( 爿1 ，髭) 篷：巧：七， 碟墨) 生成集 记( p 仇( ( 9 i 1 ，夕挚) 塞：如：七) ) 为分戈i 。叭 、- j ，i l ，鳞) 塞：吩：七) 中点的个数， a ( p m ( ( 9 i 1 ，夕磐) 兰薹：妨：七) ) 为分划( ( 9 i 1 ，9 挚) 篷：幻：后) 中原子的个数由于 a ( p m ( ( 扎夕窘) 篷岛) ) 2 ( p m ( ( 9 h 1 7 9 窘) ( 8 垒0 0 ：七) ) ，故 r ( ( n 詹) 警：i j = k e , 碟昱南，x ) a ( 岛( ( 9 h ，鳍) 燕1 庐七) ) + ( p m ( ( 夕h 棚挚) 篷1 铲七) ) 厶j = o j 一“厶 = j 一“ 3 ( p m ( ( 9 i 1 ，鳝) 譬注k ) ) ( 4 2 ) 厶 = 1 ，一“ 根据的p m ( ( 夕 ，以i k ) 篷：如：七) 构造过程，以及引理1 9 便有不等式故 ( p m ( ( “9 挚) 豪0 七) ) 4 e a ( ( ( 夕 ，鳝) 害江七) ) + 2 ( p 仇( ( 9 h 9 ) 譬b 砝) ) 厶巧= 1 j 一“厶j = 1 j 一“ ( 8 e + 2 ) ( p m ( ( 夕h 1 ，瞻) ( 8 茏0 c ：七) ) ( 4 3 ) 进而有( p m ( ( 9 i 1 ，鳍) 篷：幻：七) ) ( ( 8 e + 2 ) m ) ( r ( ( 9 i 1 ，9 1 ) 篆：如：七) ) 对任意满足m n 0 以及x 的紧致子集k ， ecx 称为集合k 的( q ，5 ，e ) 一生成集，如果对任意y k 的都存在y 7 e ，使 2 1 得6 ( ( y ) ，( 可) ) o ，( 盯可以为任 一小 i e 数) i g i r e ，满足o 矗蠹由于弘m ( x o g，丁) ，故为正则测度，从 一 一尤j窟rl，上，队p ：，上l 嬲u 职叮，又，y 而存在紧子集甄觋，i = 1 ，k ，满足p ( 致b i ) e 令f 7 ： p l ，致】，其 中1 8 8 0 = x u 笔l ，则p ( b o ) 艇令圣( z ) ：z l 。g z 对于条件熵 州米卜一善k 喜k 俐圣c 嗡铲) 风x ( 瞄= 一p ( b i ) 圣( 掣) c 圭西c 喘孚，j = 一p ( b o ) 西( 警) = l 、7 p ( b o ) l o g k k el o g 七 上述推到过程用到了如下事实： ( 1 ) 箐 0 ，1 ) ) 对任巍川- ； ( 2 ) 对x 的基数为七的可测分划该分划的熵小于l o g k ( 4 8 ) 对每个i = 1 ，k ，令u i = 1 8 8 0ub i 则“= u 七，u k 为x 的一个开覆盖，这是 因为吼ub i = x u i j l l j 设方体qcz 七，表示分划v m q ( 。( 。) ，o ) 卫m ( 7 ) 中的非 空集合的数目，则吼( v m q ( 。( 毗。) 卫m ( ) ) l o gn ，由于v m q ( 。( 。加) 卫m ) 中的任 意集合u 。n nu i 。一。至多为v m q ( 。( 。) j o ) 卫m ( 7 ) 中2 俐个子集的并，从而 由于 吼( v m q ( 嘶) t 0 ) 卫m ( 7 ) ) l o gn l o g ( 2 1 q i ( v m q ( 吣) t 0 ) ( 卫m ( 所) ) ) p ( t ，) h u ( l ) + 吼( 引) h ( t ，甜) + l 0 9 2 + 盯 令取遍x 的所有有限可测分划，以及盯的任意性，便得到 2 6 危p ( t ) h t 叩( t ) + l 0 9 2 参考文献 【1 】k a t o ka ，f i f t yy e a r so fe n t r o p yi nd y n a m i c s ：1 9 5 8 2 0 0 7 ，j o u r n a lo fm o d e r n d y n a m i c s ，1 ( 4 ) ( 2 0 0 7 ) ：5 4 5 5 9 6 【2 】w a i t e r se ，a ni n t r o d u c t i o nt oe r g o d i ct h e o r y ，n e wy o r k ，b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ， 1 9 8 2 【3 】r u e l l e ，c o m p a c ts e tw i t hz - a c t i o ns a t i s f y i n ge x p a n s i v e n e s sa n ds p e c i f i c a t i o n t r a n s a m e r m a t h s o c 1 8 5 ( 1 9 7 3 ) 2 3 7 2 5 1 4 】m i s i u r e w i c zm ，as h o r tp r o o fo ft h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l ef o raz n + a c t i o no na c o m p a c ts p a c e ，s o c i e t em a t h e m a t i q u ed ef r a n c ea s t e r i s q u e ，1 9 7 6 ，4 0 ：1 4 7 15 7 5 】 s c h m i d tk ，d y n a m i m i c a l s y s t e m so fa l g e b r a i co r i g i n ，n e wy o r k ，b e d i m b i r k h a u s e r - v e r l a g ，19 9 5 6 】g e l l e rw a n dp o l l i c o