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摘要 本文主要讨论了一类含有吸收项，并且在边界上耦合的非线性抛物方程组 研究其解的爆破和整体存在条件，以及临界指标问题 在绪论中，本文介绍了反应扩散方程的实际意义和来源。在第二章，主要介 绍了与本文有关的必备知识和主要工具，以及本方向上的发展现状，最后介绍 了作者导师的相关工作第三章是本文的重点。讨论了一类含有非线性反应( 吸 收) 和非线性边界流等多重非线性项的反应扩散方程组，给出了解的一些性质和 问题的临界指标研究结果用特征代数方程组的形式加以简洁地描述，清楚地刻 画了所有非线性指标对解的行为的本质作用最后在第四章，本文继续深入探讨 了同一问题在一维情况下的解的爆破速率 关键词：非线性抛物方程( 组) ，反应扩散，整体存在，有限时刻爆破，爆破时 间，临界指标，爆破速率 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd e a l sw i t hc r i t i c a le x p o n e n t sf o rap a r a b o l i cs y s t e mw i t hi n n e r a b s o r p t i o na n dc o u p l e dn o n l i n e a rb o u n d a r yf l u x ，ad e t a i la n a l y s i si sg i v e nt ot h e i n t e r a c t i o n sa m o n gt h em u l t i - n o n l i n e a r i t i e si nt h es y s t e mt h ec r i t i c a le x p o n e n to ft h e s y s t e mi ss i m p l yd e s c r i b e dv i aa c h a r a c t e r i s t i cm a t r i xe q u a t i o ni n t r o d u c e d ， i nt h ei n t r o d u c t i o n ，w e 酉v eb a c k g r o u n d sa n da p p l i c a t i o n so fr e a c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o n s t h es e c o n dc h a p t e rc o n t a i n ss o m ep r e l i m i n a r i e sr e l a t e dt ot h i sp a p e r ，a s w e l la 8s o m eo fc u r r e n ts i t u a t i o n si nt h ef i e l d t h em a i np a r to ft h i sp a p e ri s c h a p t e r 3 ，w h e r ew es t u d yac l a s so fr e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e mw i t hm u l i t i n o n l i n e a r i t e s ，i e ， n o n l i n e a rr e a c t i o n ( a b s o r p t i o n ) a n dn o n l i n e a rb o u n d a r yf l u x ，t h ec r i t i c a le x p o n e n t s a n dt h ec h a r a c t e ro fs o l u t i o n sa r ed e t e r m i n e d t h e s er e s u l t sa r es i m p l yd e s c r i b e dv i aa c h a r a c t e r i s t i cm a t r i xe q u a t i o ni n t r o d u c e dt os h o wt h ei n t e r a c t i o n sa m o n ga l lt h en o n - l i n e a r i t e s f i n a l l y , i nt h el a s tc h a p t e r ，w ed i s c u s st h eb l o w u pr a t eo fs o l u t i o n st ot h i s p r o b l e m k e y w o r d s ：n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ( s y s t e m s ) ，r e a c t i o n - d i f f u s i o n ，g l o b a le x i s t e n c e ，b l o w - u pi nf i n t et i m e ，c r i t i c a le x p o n e n t s ，b l o w u pr a t e 1 绪论 本章介绍了反应扩散方程( 组) 的实际背景，并列举了若干个实际模型 的例子 1 1 引言 偏微分方程的兴起已有两百多年的历史了在二十世纪之前，人们多是直接 联系着具体的物理或几何问题来讨论各种偏微分方程( 包括线性和非线性的) 1 9 0 0 年，希尔伯特在巴黎的国际数学大会上提出了著名的2 3 个数学问题，其中 第1 9 、2 0 和2 3 问题都涉及如何系统地研究偏微分方程的边值问题这就是现 代偏微分方程理论的问题与方法的萌芽之后，希尔伯特空间方法，广义函数论 ( 即分布理论) ，几何一一拓扑概念和代数概念等都纷纷地成为研究偏微分方程 的工具现在，偏微分方程遍及各个数学分支。特别是非线性问题，更是复杂， 也出现了更多需要解决的难题 当今在物理学、化学、生物学和生态学等各个研究领域中，各种各样的偏微 分方程被用来描述实际问题这中间，相当一部分的模型可以归结为二阶抛物型 和椭圆型偏微分方程，即反应扩散方程近二十多年以来，对反应扩散方程的研 究e t 益受到科学工作者的重视并逐渐取得了许多有价值的成果，使有关单一的反 应扩散方程的理论得到了不断的完善。而在最近几年来，随着人们认识的进步， 许多研究者又开始着手进行反应扩散方程组的研究 在近几年中，人们对反应扩散方程解的爆破性理论产生了极大的兴趣爆破 理论与其它各个领域之间的关系( 例如：化学反应堆，量子力学，流体力学，湍 流流量等) 越来越受到广大学者的关注 1 2 模型举例 为了进一步说明反应扩散方程的各种实际意义，下面举出若干实际模型的例 子： 大连理工大学硕士学位论文：一类具有吸收项的反应扩散方程组临界指标的研究 a ：半导体方程 酉o n = d i v q 加( a 。铲a d n g r a 山) 风( n ，p ) 裳= d i v 口脚( 唧g r a d p + p g r a d u ) 如( n 渤 a v = 一口函一+ d ) 其中d ，q ，a 。，唧是给定的函数。 b ：燃烧方程 c ：神经传导方程 瓦0 t = k 1 t + 帆x p ( 一刍) 象= 恐7 t - - ， te x p ( 一面e ) w i t = ；：l 硒屿+ 吼( h ) d ：酶的数学模型 w k ) “= l ，2 ，k ) s = a s k ( s ，n ) + ( 5 0 s ) a t = 口+ 【( s ，a ) 一d ( a o 一) 其中只( s ，。) = 鼎 e ：生态方程( 群体增长，传染病，病虫害等) 饥= “+ u m ( n ，。) + z 。f 她( 。，咄”( 曩s ) ) 幽 砘= 励+ 咧叩) 十z 。g ( 出，珐睢 s ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 12 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) ( 1 2 。l o ) ( 1 2 1 1 ) 从这些例子中，可以看出偏微分方程，尤其是反应扩散方程的强烈的实际背 景还有其它许多领域的方程模型，在此不再一一列举 2 第1 章绪论 1 3 本文的内容安排 在第二章，我f f l x 寸所研究问题的理论基础及所凭籍的工具一一最大值原理 和比较法则不加证明地作了介绍，并且引入了几个在以后的章节可以直接运用的 比较定理的具体形式，从而保证了这本论文在某种意义下具有一定的自封性然 后，我们对反应扩散方程( 组) 的发展现状进行介绍最后提出本文要研究的主 要问题。 第三章是本文的重点我们研究了一类具有吸收项的，并且在边界条件上耦 合的反应扩散方程组，得到了解的整体存在和有限爆破条件在研究过程中，我 们引入了特征代数方程组的概念，用以刻划非线性抛物方程组的临界指标等关键 特征。 在第四章，我们继续深入讨论第三章所提出模型的解的爆破速率问题，进一 步揭示了模型中各非线性项指标一一尤其需要注意的是吸收项一一对爆破所起 的作用 3 2 反应扩散方程准备知识与发展现状 本章介绍了认识研究反应扩散方程所需要的预备知识和主要工具，并 概述了此方向上目前的发展状况 2 1 基础知识 本文主要讨论的是方程解的爆破性与解的整体存在性。下面我们给出与方程 有关的知识。 2 1 1 反应扩散方程及其基本问题 通常在数学上把以下半线性抛物型方程组 塞= d ( z ，“) “+ ，( z ，“，g r a d u ) ，( 忙，) n r + ) ( 2 1 1 ) 称为反应扩散方程组，其中n r “，n ，m 1 ，z = ( z 。，z 。) ，“= ( u ， 。) ， a u2 ( a u h ，a u r a ) g r a d u 2 ( g r a d u l ，g r a d u m ) ，g r a d u i = ( u 1 ，熹) 0 = 1 ，2 ，n z ) d ( x ，u ) = ( d i j ( ，u ) ) ( i ，j = l ，2 ，m ) 根据不同的问题可以研究初值 问题，即n = r “，满足初始条件 u ( z ，0 ) = u o ( z ) ( z r “) ( 2 1 2 ) 也可以研究各种边值问题，即qcr “有界，a q 表示q 的边界，满足边界条件 ( i ) d i r i c h l e t 条件： ( i i ) n e u l i l a l l 1 条件 u = g ( z ，) ，( z ，t ) a n r + ； ( 2 1 3 ) 蕊0 u = 9 ( z ，t ) ，( 。，t ) a n r + ； ( 2 1 4 ) 5 大连理工大学硕士学位论文：一类具有吸收项的反应扩散方程组临界指标的研究 ( i i i ) r o b i n 条件 _ o u + k u = 9 ( z ，t ) ，( z ，t ) a n 咒+ ( 21 5 ) ( 2 1 1 ) 的与时间t 无关的解满足 一d ( x ，u ) a u = ，( z ，u ，g r a d u ) ( z q )( 21 6 ) 我们把定常问题( 2 1 6 ) ，( 2 1 3 ) 或( 2 1 6 ) ，( 2 1 4 ) 或( 2 1 6 ) ，( 2 1 5 ) ( 其中9 ( z ，t ) 口( z ) = l i r a 。g ( x ，t ) ) 的解称为( 21 1 ) 、( 2 1 3 ) ( 或( 21 4 ) 、( 2 1 5 ) ) ，( 2 ，1 2 ) 问题 的平衡解或定态解。( 2 1 1 ) 的空间均匀的解满足常微分方程组 面d u = m ) ，( m ，u ，g r a = m ) ) u ( o ) = t 工o ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 还可以研究( 211 ) 的行波解u ( x ，) = u ( x c ) ( 设n = 1 ) 。 由于( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 是( 2 1 1 ) 的特殊形式，我们也把( 2 ，1 1 ) ，( 2 1 ，6 ) ，( 2 1 7 ) 的 耦合组称为反应扩散方程组 ( 211 ) 中的d 和，也可以依赖于t ，d ( 。，u ) a u 也可以替换为非线性抛物算 子，边界条件也可以是非线性的，也可以是一个泛函，等等。 反应扩散方程研究中的基本问题是： ( i ) ( 2 1 1 ) 的行波解的存在唯一性及稳定性； ( i i ) ( 2 1 1 ) 的初值问题、初边值问题的整体解( 包括周期解和概周期解) 的 存在唯一性及稳定性； ( i i i ) 平衡解的存在性。尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构， 以及平衡解的稳定性问题； ( i v ) 当解没有整体解时解在有限时间内的“爆破”( b l o wu p ) 问题，以及解的 其它性质，例如，“熄灭区”( d e a dr e g i o n ) 问题； ( v ) 计算方法问题；解决( i ) 一( i v ) 中各种问题的计算问题有一些困难，需要 发展一些新的行之有效的计算方法 在本文中，我们讨论的问题主要包括( i i ) 和( i v ) 6 第2 章反应扩散方程准备知识与发展现状 2 1 2 基本概念 首先引入具有如下初边值条件的抛物型方程的一般形式 害怕u = m ，( 叫) 嘞， b t = 9 ( z ，t ) ，( 。，t ) s t ， “( z ，0 ) ：= 曲( z ) ，z q 其中 厶u = 一岛：1 。“( 。，t ) ；+ ：1 h i ( z , t ) 舞 b u = o 百o 百u + 6 ( z ，t ) u ， ( z ，t ) s _ r ， f u = 面o u + l t u ， q t = n ( 0 ，t ) ，岛= a n ( 0 ，t ) ， a , j ( z ，) ，b i j ( x ，) c ( q t ) ，一f 是q t 上的抛物算子 ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) 定义2 1 爆破 若存在常数t ( o 0 ，。 0 范围内的实值函数，9 为连续函数，那么 我们在g 1 空间内对于“ 0 ， 0 ，考虑系统： u = a u + ，( u ， ) ，= ”+ 9 ( 口， ) 如果存在，1 j ( ， ) 0 ，并且9 。( u ，口) 0 ( 其中u 0 ， 0 ) ，则我们称这个系 统为全耦合的；对于相反的情况，我们可以说系统是完全非耦合的 2 2 基于最大值原理的比较法则及其上下解方法 这一节我们不加证明地引入了最大值原理及比较法则，并且给出了几个具体 7 大连理工大学硕士学位论文：一类具有吸收项的反应扩散方程组临界指标的研究 形式的比较定理，这些定理可以直接地运用到以后章节的问题中 2 , 2 1 最大值原理 首先记 乩；瓦o u 也；_ 一o u 。参k 。，器 n“ + 嘣州) 卷+ c ( 州) u ，( 叫) q t l = l b u = 。( z ，t ) 丽o u + 毗帆( z ，t ) 【1 t ， q t = q ( 0 ，t ) ，f t = a nx ( 0 ，t ) 我们总假设： ( a ) j 在q t 内是抛物的，即对每一( z ，t ) q t 和任何实向量0 有 ：la , j ( x ，t ) 矗白 0 ； ( b ) j 的系数都是q t 中的连续函数； ( c ) 在q t 内c i x ，t ) 0 我们有如下强极值原理： 定理2 1 ：设( a ) 、( b ) 、( c ) 成立如果在q t 中j u 0 ( j u 0 ) ，而且在q 丁 中的某点p o ( x o ，t o ) 达到负的最小值( 正的最大值) ，那么对一切pes ( p o ) 都有 u ( p ) = u ( 尸0 ) 定理2 2 ：设u ( x ，t ) c 2 , 1 ( q t ) n g ( 砺) ，当( z ，t ) q r 时，c ( z ，t ) 0 有界且 i ，“+ c ( z ，t ) u 0 ( 20 ) 若在爵上“m ( “2m ) 且存在( z l ，t 1 ) q t 使得 u ( x t ，t t ) = m ( u ( z l ，f 1 ) = m ) ，当c ( x ，t ) 不恒为零时，m 0 ( ms0 ) ，则在q 。 上( $ ，) = m ( u ( x ，t ) = m ) 定理2 3 ：设u ( z ，t ) g 2 ，1 ( q r ) n g ( 爵) ，当( z ，t ) q r 时，c ( z ，t ) 0 有界且 j u - f c ( x ，t ) us 0 ( 0 ) 若存在( i ，i ) a n x 0 ，t l ，使得u ( i ，i ) = s u p q ，u ( i ，刁= m ( u ( 叠，- ) = i n 幻，u ( i ，) = r n ) 且在0 7 1 上“ m ) ，当c ( z ，# ) 不恒等于零时 m 0 ( m 0 ) 又若舄i 仔刃存在，其中q 为a q 的外法向量，a q 有内切球性 质，则嚣b i ) 0 ( 0 ，而c = c ( x ，t ) 是一个定义于q t 的有界函 数，则u ( z ，t ) o 于爵而且若u ( x ，0 ) 不恒等于零，则u ( z ，t ) 0 于q r 对于方程组的情形我们也引入一个正性引理( 【2 9 】第4 8 0 页引理5 1 ) ： 引理1 2 ：若函数b 1 2 ，6 2 l ，q l 和h ；一= l ，2 j 在它i l l 自- 0 定义域中都是非负的，则 如下方程组存在唯一正解 ( 玩) t l i 职一矗酝= q i ，( z ，t ) q t ， 掣：b i l u l + b i 2 u 2 + 心，( 刈) r 丁 巩( z ，0 ) = 矾o ( z ) ，x q ( i = 1 ，2 ) 2 2 3 上下解方法 下面我们引入本文在研究问题时用到的基本方法一一上下解方法 考虑抛物方程的初边值问题 u t = 皿( “) + ，( ) ，0 ，t ) q r 赛刊咄( 叫) 屯 u ( z ，0 ) = 仳o ( z ) ， 卫n 这里口协) 0 对所有有定义的u 都成立若有函数豇( 。，t ) 满足 豇2 皿( 豇) + ，( 豇) ，( 。，t ) q t ， - - 蒙 一g ( 面) ，( z ，t ) r t ， 西( z ，0 ) t 上o ( 卫) ， 茁q ， 9 ( 2 2 1 ) ( 2 2 ，2 ) ( 2 2 3 ) 盔壅墼垄学硕士学堡迨窒：一类具有吸收项的反应扩散方程组临界指标的研究 则称面( z ，t ) 为( 2 2 1 ) 一( 2 2 3 ) 的上解根据最大值原理和比较法则，我们容易 得到在豆x 【0 ，t ) 上有西( 。，t ) u ( 毛t ) 类似地，若有函数u ( x ，t ) 满足 u _ t s 雪( 墼) + ，( 笪) ，扫，醇q t 筹 0 对所有有定义的也都成立，b i 啦= a i 筹+ b i u l ，其中系数口：， b i 满足a i ，b i 0 ，a i + b i 0 ，f i ( x ，t ，“k ，u m ) ，g i ( t t l ，u m ) 关于u j ，j i 递增， i ，= 1 ，2 ，m 类似地我们也可以定义上下解：将( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 中的“= ”号 都变为“”时，称为上解，面将( 2 24 ) 一( 2 2 6 ) 中的“= ”号都变为“”时，称 为下解通常我们记上解为( 瓦，酝) ，下解为( 笪，笪。) 根据比较法则，我们 容易得到在n o ，t ) 上有_ ( 。，t ) 2u i ( x ，t ) 而堡( z ，t ) u i ( x ，t ) ，i = l ，2 ，m 。 关于上下解的有序性的理论及证明，见文献【1 9 】中第三章第四节以及第五章 第二节的有关内容 2 3 反应扩散方程的发展现状 当今，为了解决复杂的非线性问题，各种现代数学工具各显其能然而，人 们发现，对非线性问题的研究不存在一劳永逸的统一工具和方法；非线性问题的 极端复杂性，直接反映了自然现象的极端复杂性例如，对非线性抛物方程组来 说，非线性可以来自反应项、对流项、扩散项( 高阶项) 、边界项( 非线性f l u x ) ，以 及经由它们所形成的各种不同的耦合关系所有这些各不相同的非线性都有可能 导致解的奇性的产生：解在有限时刻内的b l o w u p 、e x t i n c t i o n 、q u e n c h i n g ( 导数 m o w u p ) 等，分别对应于( 固体燃料) 爆炸、( 种群) 灭绝、( 金属) 淬火等现象。上 1 0 第2 章反应扩散方程准备知识与发展现状 述四种非线性闻的相互作用，加之各分量之间的非线性耦合作用( 竞争、互惠、 交叉扩散等) ，使得产生( 或消除) 奇性的规律性极其复杂( 通常还和空间维数及 区域的几何性质有关系) 本论文的目的，就是研究当抛物系统中具有两种以上 非线性时，多重非线性机制之间相互作用对解的奇性的影响。为此，需要多种数 学技巧的结合，需要现代分析与古典分析工具的结合，甚至还需要相当的物理洞 察力。 以非线性扩散方程蚍= a u m 士u p 为例，u “代表扩散项，而士妒代表反 应项( 负号表示吸收项) ，当m = 1 时是热传导方程，而0 m 1 时代表快扩散方程。可以考虑初值问题，也可以考虑附加 d i r i c h l e t 型边值，n e u m a n a 型边值等的初一边值问题，特别地，非线性n e u m a n n 边值( 例如繁= = k u q ) 所表示的是向内或向外的非线性边界流。 关于方程组问题的讨论正日益受到人们的关注方程组中的多个未知函数可 以通过各种方式耦合：可以通过高阶项耦合( 形成交叉扩散问题) ，也可以通过 低阶项或非线性边界流项耦合甚至在一个方程组中还可以同时具有两种以上的 耦合关系。本文所讨论的方程组主要是通过非线性边界流项耦合的情形 自1 9 6 6 年f u j i t a 对半线性抛物方程( 1 ) u c = u + 矿的研究取得关于临界指 标的开创性成果以来，包括a f r i e d m a n ，h l e v i n e ，f w e i s s l e r ，y g i g a ， v a g a l a k t i o n o v 在内的一批著名数学家进入这研究领域方程( 1 ) 的f u j i t a 临界指数标为p 。= 1 + 2 l s v ( n 为空间维数) 和p o = 1 ：当p p o 时初值问题 的解整体存在；p o 1 ) 在文献【6 】中，l d p e z g o m e z 等考虑了 u f “且附加n e u m a n n 条件舞= 9 ( u ) 的初边值问题他们得出了解整体存在 和有限时刻爆破的充要条件在文献 4 中，h u 和y i n 研究了铆；“且附加 n e u m a n n 条件甓= 矿的初边值问题的爆破速率估计，爆破速率为( t 一) 一j 都 1 ) 。在文献 8 中，r o d r l g u e z b e r n a l 和t a j d i n e 研究了具有吸收项的半线性 大连理工大学硕士学位论文：一类具有吸收项的反应扩散方程组临界指标的研究 方程u t = u 一，( u ) 附加n e u m a n n 边界条件甓= g ( u ) 的初边值问题，他们得到 了解整体存在和有限时刻爆破的条件。 在文献 2 0 ，【2 1 】，【2 2 1 中，郑斯宁研究了如下毗= a u + u q z v m = a v f f - u q 2 v p ： 且具有d i r i c h l e t 条件u = ”= 0 的初边值问题，得出了这个问题整体存在和有限时 刻爆破的充要条件，并在一定的假设条件下得出u ，v 的爆破速率分别为( t t ) 一， ( t 一) ，这里t 是爆破时间，而qp 是以下线性矩阵方程组的解 ( p 1 二1 。! 。) ( ；) = ( ) 后来王明新在文献 1 0 对上述问题也进行了研究，去掉了 2 0 】中的某些条件后也 得到了同样的结果 对n 产u ，毗= 附加n e u m a n n 条件鬻= u q l v p i ，器= t z q 2 v p 2 的初边值问 题，d e n g 在文献 1 】中对q l = p 2 = 0 的情形做了研究，得到了解整体存在和有 限时刻爆破的充要条件，后来王明新在文献【1 1 中得出了解的爆破速率估计，u w 的爆破速率分别为口一) 一，( t t ) 一，这里a ，卢如上。 郑斯宁在前人研究成果的基础上，结合自己在研究中遇到的和解决的问题， 综合考虑提出了“特征代数方程组”的概念在研究尤其是f u j i t a 型的非线性反 应扩散方程组解的整体存在性和有限爆破性时，往往整体存在条件和爆破速率估 计都与特征代数方程组的解密切相关。例如以上所列举的方程组，其结论均可用 特征代数方程组的解加以统一和清晰地描述还有如文献 2 3 】和f 2 4 】中类型的 反应扩散方程组：u 产“+ 扩i ”q l ”，毗= + 矿2 “的齐次d i r i c h l e t 问题和 7 z c _ “，仇= a v 的n e u m a n n 边值舞l a n = e p l u + q ，舞i a n = 扩2 料叮：”问题。 “， 的爆破速率分别为l o g ( t t ) ，l o g ( t t ) 一4 和l o g ( t t ) 一 ，l o g ( t t ) 一，( n ，卢) 是特征代数方程 ( p p ：l 驰q 1 ) ( ；) = ( ) 的解 从以上结论可以看出，特征代数方程组在研究非线性反应扩散方程( 组) 时 确实起到很大作用在讨论本文的问题时，一些结果正是受到特征代数方程组的 启发做出来的 纵观前面这些工作，我们发觉时至今日有关研究工作尚存在一些局限性，例 如：( i ) 对同时包含非线性扩散、非线性对流、非线性反应和非线性边界流等多 重非线性的复杂抛物方程( 组) 考虑较少( i i ) 对带吸收项的方程组情形涉及较 1 2 第2 章反应扩散方程准备知识与发展现状 少所以我们对同时包含非线性反应( 吸收项) 和非线性边界流等多重非线性的 复杂抛物方程( 组) 加以考虑，考虑这些非线性项对解的性态的影响，讨论非线 性抛物方程( 组) 中多重非线性机制之间的相互作用，研究解的奇性产生和发展 的规律，解决诸如解的整体存在和爆破性、临界指标、奇性解的渐近性分析( 例 如爆破速率估计) 等因为这些问题同时包含非线性反应和非线性边界流等多重 非线性项，从而这些问题的临界指标以及奇性解的渐近性质，是由多重非线性项 之间的相互作用所决定的我们希望能够刻画所有这些非线性指标之间的相互作 用，揭示临界指标p o ，p 。与爆破速率和它们之间所存在的明确的对应关系。 2 4 本文研究的主要问题 本文研究的问题是一类具有内部吸收项，通过非线性边界条件加以耦合的反 应扩散方程组： ：u + “m ，毗= a v 一 m ， ：铲z 一挲：“口 岛， d 订 0 ) = u o ( z ) ， ( z ，0 ) = v o ( x ) 其中q 鼹。是有光滑边界条件a q 的有界域 “o 和”o 是在豆上满足相容条件的正函数 。n ，t ( 0 ，t ) ，( 2 4 1 ) z a q ，t ( 0 ，t ) ，( 2 4 ，2 ) z 豆，( 2 4 3 ) p q 0 ，啦，屈0 ( i = 1 ，2 ) ， 我们研究的主要目的是要找出问题解的爆破和整体存在条件，以及解的临界 指标；进一步探讨解的爆破速率，从而在本质上揭示模型中各非线性项指标对解 的行为所起的作用最后的研究结果用特征代数方程的形式加以统一清晰的描 述。 1 3 3 具有内部吸收项与耦合边界流的抛物方程组的临界指标 在本章，我们讨论了一类具有内部吸收项并且在边界条件上耦合的非线性抛物 方程组，得到了解整体存在和有限时间内爆破的条件其间受到特征代数方程组的 启发，得到了系统的临界指标。 3 1 问题简介 在本章中，我们研究如下问题 “t = a u + “，蜥= a v v # t ， 丽o u 甜2 一笔划谗， u 。f lc m n ( z ，0 ) = u o ( x ) ，”( z ，0 ) = v o ( 。) zeq ，t ( 0 ，t ) ， 。8 q ，( 0 ，t ) o q ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 其中nc 碾是有光滑边界条件勰的有界域，p ，q 0 ，a 。，岛兰0 ( i = 1 ，2 ) ，u o 和v 0 是在孬上满足相容条件的正函数 在我们所要考虑的问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 中有四个非线性项：一个反应项作 为正源，一个吸收项和两个边界条件因此讨论所有这些非线性项之间的相互作 用是有意思的方程( 3 t 1 ) 和( 3 1 2 ) 可以作为两种混合固体介质的热传导模型， 或者某些化学反应模型( 例如文献【2 6 】) 。利用抛物方程的经典理论( 文献 2 8 ， 【2 9 1 ) ，由比较法则，方程( 3 1 1 ) 一( 31 - 3 ) 存在局部的古典正解 3 2 参考模型 近来，r o d r l g u e z b e r n a l 和t a j d i n e 2 7 研究了具有非线性边界条件的单个反 1 5 大连理工大学硕士学位论文：一类具有吸收项的反应扩散方程组i 艋界指标的研究 应扩散方程 u t = a u + ，( u ) ， 石en ，t ( 0 ，t ) ， 赛刊乩x e 帆蚓岍) ， u ( z ，0 ) = u o ( 。) ， z 丽 作为方程( 3 2 t ) 一( 3 2 3 ) 的特殊情形，有如下结论： 命题3 1 1 在佃2 j ，一p 2 ，到中，令，( ) = 铲- ，9 ( u ) = “ po j j p 2 别的解整体存在的充要条件是0 1 1 l ，0 211 ( 3 2 1 ) ( 32 2 ) ( 3 23 ) 那么方程 口 命题3 ，1 2 在p 2 j ，一p 2 剀中，令，( u ) = u m ，9 ( ”) = “口。 ( i ) 方程p ，2 ，j ，p ，2 砂的解整体存在的条件：恳茎1 ，或者卢l l ， 阮 l 且岛 l ，或者所 l ，疡 i 且历( 卢l + 1 ) 2 。 口 另外，对于含有内部吸收项和非线性边界条件的单个拟线性方程，我们也可 以参考文献1 3 1 ，f 3 2 j 中的结论 另外，在文献( 3 3 中王明新讨论了不含有内部吸收项的如下抛物系统： 咄= a u ，饥= 口，茗q ，e ( 0 ，t ) ，( 3 , 2 4 ) 豢= u p ，豢：咖虎， z a n ，t ( o ，t ) ，( 32 5 ) 卵灯 “( 。，0 ) = u o ( z ) ，u ( ，0 ) = ”o ( 。) ， z n ( 3 2 ，6 ) 得到了方程( 3 2 4 ) 一( 3 2 6 ) 的解整体存在的充要条件：0 2 0 ( 等价于1 ，- r 2 0 ) ，并且o l l 。那么方程 组p j j p ，的解对于适当的大初值在有限时间内爆破 定理3 3 如果1 r l ，l n 茎0 并且吐is1 那么方程组p ，u 一何j 纠的解 整体存在 注l ，在定理3 2 的描述中，“适当的大初值”意味着u o 和v o 充分大，并且 当0 2 1 或者岛 7 时，还需要假定口。一u 2 1 0 注2 从定理3 2 和3 3 中，我们知道对于当n 1 1 时的非平凡情况，方程组 ( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 的临界指标可以简单的描述成( 1 n ，1 您) = ( 0 ，0 ) 的形式。 3 4 定理证明 在以下部分中，我们将逐一证明上述定理首先证明了a l l 的平凡情况， 从而证明了定理3 1 接着，证明了定理3 2 ，得到解的爆破条件最后，通过对 定理3 3 的证明得到解的整体存在条件 3 , 4 1 定理3 1 的证明 本部分的证明利用了命题3 i 1 的结论 定理31 的证明：对于问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) ，根据不变区域理论( 参考文献【3 0 ) ， 显然= “，”o ) 是一个不变区域在这里，应当把吸收项一”m 写成一叫训4 - 。 的形式 1 7 盔垄垄三查兰堡主堂垡塑壅：二耋璺有吸收项的反应扩散方程组临界指标的研究 首先考虑如下单个方程的问题 阢= a u4 - u “ 掣：0 ， ( i c ，( z ，o ) = u o ( x ) ( 茁，t ) f 2x ( o ，t ) ， ( z ，t ) 0 n ( 0 ，t ) z n ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) ( 3 43 ) 根据命题3 1 ，1 ，我们知道对于大初值，如果n l l ，问题( 3 4 1 ) 一( 3 4 3 ) 的解 在有限时间内爆破。因此，我们可以选择( 致o ) 作为( 3 i 1 ) 一( 3 i 3 ) 的下解由 此得出结论：在大初值u o ( z ) 和。， 1 的条件下，( 31 1 ) 一( 3 i 3 ) 的解有限时 间内爆破证毕口 对于问题( 3 i i ) ( 3 1 3 ) ，定理3 i 所讨论的解的有限爆破情况a 1 1 是 比较平凡的在后面的讨论中，我们总假定a l 1 3 4 2 定理3 2 的证明 在1 i 的假定下( 或者等价于q = 1 ) ，爆破条件并1 ，去 0 意味着要么 p 一屁4 - , - f ，q a 24 - 1 0 ，要么p 一危+ 7 ，口一0 24 - i i 或疡 ，y 在这种情况下，如果p 一疡4 - 1 ，q a 2 - f 1 0 ，那么 p q ( 啦一1 ) 慨一7 ) ；如果p 一角+ 7 ，g o z 2 + 1 ( 1 一口2 ) ( 7 一乜) 我们将分别证明以上两种情形( i ) 和( i i ) 来最终证明定理3 2 证明包含四 个引理，其中第一个引理讨论( i ) 的情况，其余三个引理用来讨论( i i ) 注意在 本部分和下一部分，我们总是假定a ，l 。 引理3 1 ：如果0 2 1 或也 1 ，并且有a v o u 8 1 0 那么方程组p j 纠一 p 副的解对大初值在有限时间内爆破 证明：令( “，口) 和u 分别是问题( 3 i 1 ) 一( 3 i 3 ) 和( 3 4 1 ) 一( 3 4 3 ) 的解由定 理3 i ，我们知道“u 6 = r a i n ：- 如( z ) 设= 吼 首先考虑以下问题： = 叫一p 1 岛一1 叫 a w 国卯。卢2 1 鲫， a ” ( 。，o ) = a v o 一。缸 1 8 ( z ，t ) qx ( 0 ，t ) ， ( 。，t ) a q ( 0 ，t ) z q ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) 第3 章具有内部吸收项与耦合边界流的抛物方程组的临界指标 因为a v o u 9 1 0 ，根据抛物方程的比较法则( 参考文献【2 9 】5 4 页的引理2 1 ) ，对 于问题( 34 4 ) 一( 3 4 ，6 ) ，我们有w 0 ，也就是， c 0 因此当( z ，) q ( 0 ，t ) 时，我们有”o ( 。) 接着考虑 p = 卢+ “0 1 筹叫弼， p ( z ，0 ) = “o ( z ) ( z ，) n ( 0 ，t ) ， ( 。，t ) a q ( 0 ，t ) z q ( 3 47 ) ( 3 4 8 ) ( 3 4 9 ) 由比较法则，显然u 卢而且根据命题3 1 1 ，若a 1 1 ，则p ( z ，t ) 在有限时 间内爆破把6 作为p ( z ，) 的正下界，考虑以下的单一方程： + = 一m 宴：以， d 订 u ( x ，0 ) = v o ( x ) ( 。，t ) n ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) a n ( 0 ，t ) o n ( 3 4 1 0 ) ( 3 ，4 ，1 1 ) ( 3 ，4 1 2 ) 由比较定理，显然 2p 对问题( 3 ，4 ，1 0 ) 一( 3 4 1 2 ) ，由命题3 1 2 ，我们知道在 岛7 = m a x ( 1 ，( 卢t 十i ) 1 2 ) 的条件下，对于大初值，v ( z ，t ) 在有限时间内爆破 证毕口 注3 条件”o ( 。) 一u 2 120 是必需的。它保证了在初始时刻t ：0 时，w 的 边界流相对于内部吸收项更占优势，即厶n u 3 ”9 1 矗”9 1 ，从而使在n ( o ，t ) 内，有仇0 为了证明以下定理，首先引入特征函数。 令妒。是 妒+ a 妒= 0 q ) ， 妒= 0 ( z a n )( 3 4 1 3 ) 的第一特征函数，首特征值是 o ，在n 上，伽 0 ，规范化妒o ：i i 啪怯= 1 那么对于所有的z q ，存在正常数q0 = 1 ，2 ，3 ) 使得i v 妒o i c 1 ，在a n 上， c 2 一鬻sc 3 记n l = 。q ：d i s t ( x ，a n ) ( 1 一q 2 ) ( 7 皮) 分成以下三个引理加以讨论。 引理3 2 ：如果0 2 1 ，岛 ( 1 一a 2 ) ( 掣一屈) 那么方 程组p i 纠一p 1 剀的解对于大初值在有限时间内爆破 出。面警砰，出，扣酽i 百b 丽， 这里，妒= m 妒o ，m ，a ，b ，k ，c ，c 都是待定的正常数 堕，型在a qx ( o ，t ) 上进行如下计算： 嚣；端s 尚o v 一 ( 1 一a 2 ) ( 掣一岛) ，只要k 充分大，不等式 半k + 等继潭q 0 3 t 丽- i ) k 显然成立对于固定的k 和l ，使a 充分大，则有： ( 糌) ；静掣邓2 ) 曼a ( 去) 南b 南 不等式( 3 4 1 7 ) 和( 3 4 1 8 ) 分别等价于 k ( 1 - a 2 等，等芸掣蛐， a ，一m k 幻s b 一，兰紫a a 把( 3 ，4 2 0 ) ，( 3 4 ，1 9 ) 代入( 3 4 1 5 ) ，( 3 4 1 6 ) ，得到： 鬻矿。妒，舞岔妒， ( 刈) a q ( o ，t ) t 埘 驯 哪 4 4 4 4 t 龟 龟 t p 0 0 陋 他 b 第3 章具有内部吸收项与耦合边界流的抛物方程组的临界指标 和 对于热望在j2 (